Aufgabe 2

Das Jagdverhalten von Raubkatzen in der freien Wildbahn ist gekennzeichnet durch eine hohe Anfangsbeschleunigung. Darauf folgt eine kurze Phase mit annähernd konstanter Geschwindigkeit, bevor die Geschwindigkeit wieder abfällt.
Die Geschwindigkeit eines Tigers bei einem Jagdvorgang aus der Ruheposition heraus wird für $0\leq t\leq 10$ zunächst ohne Berücksichtigung der Phase mit konstanter Geschwindigkeit modelliert. Dazu wird für $0\leq t\leq 10$ die Funktion $f$ mit

$f(\mathrm{t})=0,0808\cdot \mathrm{t}^{3}-1,71\cdot \mathrm{t}^{2}+10,08\cdot t,$ $t\in \mathbb{R}$

verwendet. Dabei gibt $t$ die Zeit seit Verlassen der Ruheposition in Sekunden und $f(\mathrm{t})$ die Geschwindigkeit in $\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ an.

Abbildung 1

(1)

Gib den Funktionswert von $f$ für $t=5$ an und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2)

Weise rechnerisch nach, dass der Tiger seine Maximalgeschwindigkeit von ca. $18,2\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ungefähr $4,2$ Sekunden nach Verlassen der Ruheposition erreicht, und gib die Maximalgeschwindigkeit in $\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}$ an.

(3 + 8 Punkte)

Ermittle das Zeitintervall, in dem die Geschwindigkeit des Tigers mindestens $15\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ beträgt.

(4 Punkte)

(1)

Berechne $\displaystyle\int_{0}^{4,2}f(t)\mathrm dt$ und erläutere die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

Wenn ein Tiger seine Maximalgeschwindigkeit erreicht hat, dann kann er diese für höchstens $10\; \text{s}$ beibehalten. Hat er seine Beute bis dahin nicht gefasst, muss er den Jagdvorgang abbrechen. In einem konkreten Fall wittert ein Beutetier den Tiger und ergreift die Flucht. Als der Tiger seine Ruheposition verlässt, ist das Beutetier $100 \;\text{m}$ entfernt und hat seine konstante Fluchtgeschwindigkeit von $12\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ bereits erreicht.

(2)

Untersuche, ob der Tiger unter diesen Bedingungen das Beutetier einholen kann.

(6 + 5 Punkte)

Im Folgenden wird das Jagdverhalten anderer Raubkatzen mit einem veränderten Modell betrachtet, das durch einen Parameter $u$ für konkrete Raubkatzen spezifiziert werden kann. Die Geschwindigkeiten dieser Raubkatzen aus der Ruheposition heraus werden für $0 \leq t \leq 10$ näherungsweise durch Funktionen der Schar $g_u$ mit

$g_u(t)=-\dfrac{1}{3u^2}t^3+4t$ , mit $0\leq t\leq10,$ $3\leq u\leq 4$ , $t$ , $u\in\mathbb{R}$

beschrieben. Dabei gibt weiterhin $t$ die Zeit seit Verlassen der Ruheposition in Sekunden und $g_u ( t)$ die Geschwindigkeit in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ an.

Es ist $g_u(t)\geq 0$ für $0\leq t\leq10$ und $3\leq u\leq4.$

(1)

Ermittle rechnerisch die Maximalgeschwindigkeit der Raubkatzen in Abhängigkeit vom Parameter $u$ . Auf eine Betrachtung der Randwerte kann dabei verzichtet werden.

[Zur Kontrolle: Die Hochpunkte der Schar sind $H_u(2u \mid g_u(2u))$ .]

(2)

Eine konkrete Raubkatze legt ab dem Verlassen der Ruheposition eine Strecke von $65\;\text{m}$ zurück und benötigt dafür $6\;\text{s}.$ Gehe davon aus, dass die Funktion $g_u$ den Geschwindigkeitsverlauf auf dieser Strecke modelliert.

Ermittle mit dem Modell der Funktion $g_u$ die Maximalgeschwindigkeit, die diese Raubkatze auf dieser Strecke erreicht hat.
Ohne Nachweis darf benutzt werden, dass $G_u$ mit $G_u(t)=-\dfrac{1}{12u^2}t^4+2t^2$ eine Stammfunktion von $g_u$ ist.

(8 + 6 Punkte)

(1)

$f(5)=17,75$

$5$ Sekunden nach Verlassen der Ruheposition hat der Tiger eine Geschwindigkeit von $17,75 \; \dfrac{\text{m}}{ \text{s}}$ .

(2)

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem GTR folgt:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 2: zero

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT

Daraus ergeben sich $t_1 \approx 4,19$ und $t_2 \approx 9,91$ .

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(f$

Das Maximum liegt an $t_1\approx 4,2.$

3. Schritt: Funktionswert bestimmen

$f(4,19)\approx 18,16$

Somit hat der Tiger nach ca. 4,2 Sekunden seine Maximalgeschwindigkeit von ca. $18,16\; \dfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 65,5\; \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ erreicht.

Der GTR liefert für die Gleichung $f(t)=15$ die Lösungen $t_{s_1}\approx 2,266$ , $t_{s_2}\approx 6,739$ und $t_{s3} \approx 12,159$ .

Der Zeitpunkt $t_{s_3}$ liegt außerhalb des betrachteten Zeitraums.

Aus dem Verlauf des Graphen von $f$ folgt, dass das gesuchte Zeitintervall ca. $2,3 \, s$ nach dem Verlassen der Ruheposition beginnt und ca. $6,7 \, s$ nach dem Verlassen der Ruheposition endet.

(1)

Berechnung

Eine Stammfunktion von $f$ ist beispielsweise $F(t)=0,0202 \cdot t^4 -0,57 \cdot t^3 +5,04 \cdot t^2.$
Damit gilt $\displaystyle\int_{0}^{4,2}f(t)\;\mathrm dt = F(4,2) -F(0) \approx 52,96$ .

Wert erläutern

Der Tiger legt in den ersten $4,2 \; \text{s}$ der Modellierung eine Strecke von ca. $53\; \text{m}$ zurück.

(2)

Der Tiger erreicht nach ca. $4,2 \, \text{s}$ seine Maximalgeschwindigkeit. In diesem Zeitraum legt er ca. $53 \, \text{m}$ zurück.

Danach läuft er mit seiner Maximalgeschwindigkeit von $18,2 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ weiter.
Die Strecke, die der Tiger in $t$ Sekunden nach Verlassen der Ruheposition zurücklegt, hat für $t\gt 4,2$ eine Länge von $l_{\text{Tiger}} \approx (53+(t-4,2)\cdot 18,2).$

In diesem Zeitraum von $t$ Sekunden wächst die Entfernung des Beutetiers zur Ruheposition des Tigers auf $l_{\text{Beute}}= (100 +t\cdot 12).$

Die lineare Gleichung $l_{\text{Tiger}}=l_{\text{Beute}}$ hat als einzige Lösung $t\approx 19,9$ .

Der Tiger müsste seine Maximalgeschwindigkeit daher ca. 15,7 Sekunden beibehalten, um die Beute einzuholen. Er würde die Jagd abbrechen, da er die Beute unter diesen Bedingungen nicht einholen kann.

(1)

Erste und zweite Ableitung bilden:

$\(g_u$ .

$\(g_u$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} g_u$

Wegen $t\gt0$ und $u\gt 0$ folgt $t= 2u.$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(g_u$ .

An der Stelle $t=2u$ liegt folglich ein Hochpunkt vor.

Wegen $g_u(2u) = \dfrac{16u}{3}$ , ergeben sich die Hochpunkte der Schar mit $H_u(2u \mid \frac{16}{3} u)$ .

Die Maximalgeschwindigkeit der Raubkatze beträgt somit $\dfrac{16 \cdot u}{3} \, \, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ .

(2)

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{6}g_u(t)\;\mathrm dt= 65$

Mit dem solve-Befehl des GTRs folgt: $u \approx 3,93$

Da die Maximalgeschwindigkeit für diesen Wert von $u$ nach $2\cdot 3,93\approx 7,86$ Sekunden angenommen wird, die Raubkatze jedoch schon nach 6 Sekunden am Ende der betrachteten Strecke ist, erreicht die Raubkatze ihre Maximalgeschwindigkeit auf dieser Strecke nach 6 Sekunden.

Die Maximalgeschwindigkeit folgt mit $g_{3,93}(6) \approx 19,34 \frac{\text{m}}{\text{s}}$ .