Analysis 1

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=5\cdot\left(\mathrm e^{-0,3x}- \mathrm e^{-4x}\right)$ modelliert für $0 \leq x\leq 12$ die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut. Dabei beschreibt $x$ die Zeit in Stunden $(h)$ nach der Einnahme des Medikamentes und $f(x)$ die Konzentration in Milligramm pro Liter $\left(\frac{\text{mg}}{\text{l}}\right).$

Eine Person nimmt das Medikament ein. Berechne die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes. Gib den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert $2,8\; \frac{\text{mg}}{\text{l}}$ annimmt.
Das Medikament wirkt, wenn die Konzentration im Blut mindestens $0,5\, \frac{\text{mg}}{\text{l}}$ beträgt. Bestimme, in welchem Zeitraum das Medikament wirkt.

(6 Punkte)

Zeige rechnerisch, dass die Konzentration ungefähr $0,7$ Stunden nach der Einnahme des Medikamentes mit etwa $3,75\,\frac{\text{mg}}{\text{l}}$ am größten ist.

(4 Punkte)

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration genauso groß ist wie zwei Stunden später.

(3 Punkte)

Bestimme die Lösung der Gleichung $\(f$ und interpretiere die Lösung im Sachzusammenhang.

(4 Punkte)

Eine vereinfachte Modellierung geht davon aus, dass bis $6$ Stunden nach der Einnahme des Medikamentes die Konzentration durch $f$ beschrieben wird und danach die Abnahmerate der Konzentration konstant ist. Dabei ist die konstante Abnahmerate so groß wie die Änderungsrate der durch $f$ beschriebenen Konzentration nach $6$ Stunden.
Bestimme den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem Modell null $\,\frac{\text{mg}}{\text{l}}$ ist.

(4 Punkte)

Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut eingenommen. Die Gesamtkonzentration ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der durch $f$ beschriebenen Konzentration, die sich aus der ersten und zweiten Einnahme ergeben. Die Gesamtkonzentration soll $6 \,\frac{\text{mg}}{\text{l}}$ nicht übersteigen.
Untersuche, ob diese Vorgabe eingehalten wird.

(4 Punkte)

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)= \mathrm e^{-a\cdot x}- \mathrm e^{-4x},$ $x \in \mathbb{R},a\gt 0, a\neq4$ gegeben.
In der Abbildung sind zwei Graphen der Schar dargestellt. Jeder Graph der Funktionenschar hat genau einen Extrempunkt. Eine Stammfunktion von $f_a$ ist durch $F_a(x)=-\frac{1}{a}\cdot \mathrm e^{-a\cdot x}+\frac{1}{4} \mathrm e^{-4x}$ gegeben.

Berechne die Werte von $a$ , für die die Fläche zwischen dem Graph von $f_a$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0;1]$ den Inhalt $0,2$ hat.

(4 Punkte)

Entscheide, für welche Werte von $a$ an der Extremstelle ein Maximum und für welche ein Minimum vorliegt.
Begründe deine Entscheidung ohne Berechnung der Extremstelle.

(6 Punkte)

Der Graph von $f_a$ wird an der $x$ -Achse gespiegelt.
Berechne die Werte von $a,$ für die sich der gespiegelte Graph und der Graph $f_a$ unter einem rechten Winkel schneiden.

(5 Punkte)

(30 Punkte)

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Konzentration eine Stunde nach Einnahme

$f(1) \approx 3,6 \; \frac{\text{mg}}{\text{l}}$

Zeitpunkt bestimmen

Es soll gelten:

$5\cdot (\mathrm e^{-0,3x}-\mathrm{e}^{-4x})=2,8$

Mit dem solve-Befehl des GTRs ergibt sich, dass die Konzentration nach ungefähr einer Viertelstunde erstmals den Wert $2,8$ annimmt.

Intervall bestimmen

Es soll $f(x) \geq 0,5$ gelten.

Mit dem solve-Befehl wird die Gleichnug $5\cdot (\mathrm{e}^{-0,3x}-\mathrm{e}^{-4x})=0,5$ gelöst.

Daraus ergeben sich die Werte $x_1 \approx 0,03$ und $x_2 \approx 7,7.$

$x_1 \leq x \leq x_2$ erfüllt $f(x) \geq 0,5.$

$x_2-x_1 \approx 7,67$

Die Konzentration beträgt ungefähr 7,67 Stunden mindestens $0,5 \frac{\text{mg}}{\text{l}}.$

Die Konzentration soll nach $0,7$ Stunden am höchsten sein, gesucht ist also das Maximum von $f$ in $[0;12].$

1. Schritt: Ableitungen aufstellen

$\(f$ $= -1,5 \mathrm e^{-0,3x}$ $+ 20 \mathrm e^{-4x}$

$\(f$ $= 0,45 \mathrm e^{-0,3x}$ $- 80 \mathrm e^{-4x}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Diese Gleichung wird mit dem solve-Befehl des Taschenrechners gelöst.

Es ergibt sich $x \approx 0,7.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( f$

Also befindet sich das Maximum an der Stelle $x\approx 0,7.$

4. Schritt: Funktionswert berechnen und Intervallränder überprüfen

$f(0,7)=5\cdot (\mathrm e^{-0,3\cdot 0,7}-\mathrm e^{-4\cdot 0,7})$ $\approx 3,75$

$f(0)=5\cdot (\mathrm e^{-0,3\cdot 0}-\mathrm e^{-4\cdot 0})$ $=0$

$f(12)=5\cdot (\mathrm e^{-0,3\cdot 12}-\mathrm e^{-4\cdot 12})$ $=0,14$

Die Konzentration ist ca. $0,7$ Stunden nach der Einnahme mit etwa $3,75 \; \frac{\text{mg}}{\text{l}}$ am größten.

Gesucht ist die Lösung der Gleichung:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$f(x)=f(x+2)$

Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergibt sich $x \approx 0,2.$

Ungefähr 0,2 Stunden nach der Einnahme ist die Konzentration genauso groß wie zwei Stunden später.

Es gilt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( f$

Lösen dieser Gleichung mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergibt: $x\approx 2,3.$

Die Ableitung $\(f$ gibt die momentane Änderungsrate an der Stelle $x$ an, während der Term $\frac{f(x+1)-f(x-1)}{2}$ die durchschnittliche Änderungsrate zwischen den Stellen $x-1$ und $x+1$ angibt.

Im Sachzusammenhang bedeutet die Gleichung, dass die momentane Änderungsrate der Medikamentenkonzentration nach ungefähr 2,3 Stunden genauso groß ist, wie die durchschnittliche Änderungsrate zwischen den Zeitpunkten $x_0=2,3-1=1,3$ und $x_1=2,3+1=3,3.$

Die Konzentration für $x \geq 6$ wird durch die Tangente des Graphen von $f$ durch den Punkt $(6 \mid f(6))$ beschrieben.

1. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Dafür wird zunächst der Funktionswert und die Steigung bei $x=6$ berechnet.

$f(6)=5 \cdot (\mathrm e^{-0,3\cdot 6}-\mathrm{e}^{-4 \cdot 6})$ $\approx 0,8256$

$\(f$ $\approx -0,2479$

Mit diesen Werten kann die Tangentengleichung aufgestellt werden:

$t(x)=-0,2479 \cdot (x-6)+0,8256$

2. Schritt: Nullstelle der Tangente berechnen

Es gilt $t(x)=0$ . Die Nullstelle wird über den solve-Befehl des Taschenrechners ermittelt.

Die Lösung ist $x\approx 9,3.$ Ungefähr $9,3$ Stunden nach der Einnahme ist die Konzentration nach diesem Modell gleich Null $\frac{\text{mg}}{\text{l}}.$

Die Gesamtkonzentration wird durch die Funktion $g(x)=f(x)+f(x-4)$ für $x \ge 4$ beschrieben.
Es soll $g(x) \le 6$ für $x \geq 4$ gelten. Zur Überprüfung wird graphisch das Maximum von $g$ mit dem Taschenrechner bestimmt.

Die Koordinaten des Hochpunktes sind ungefähr gegeben durch $(4,63 \mid 4,98 ).$ Damit liegt der maximale Funktionswert bei $y_{max} \approx 4,98 \lt 6.$ Die Vorgabe wird also eingehalten.

An der Abbildung ist erkennbar, dass die Graphen der Funktionenschar $f_a$ nur die Nullstelle $x=0$ besitzen. Die Graphen von $f_a$ verlaufen also im Intervall $[0;1]$ entweder nur oberhalb oder unterhalb der $x$ -Achse.

Gesucht ist also ein Wert für $a,$ sodass $\,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{0}^{1}f_a(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, = 0,2$ gilt.

Nach Aufgabenstellung ist bereits eine Stammfunktion $F_a$ gegeben. Damit ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

Diese Gleichung kann mit dem solve-Befehl des Taschenrechners gelöst werden.

Für $\displaystyle \int_{0}^{1}f_a(x)\;\mathrm dx= 0,2$ ergibt sich die Lösung $a_1\approx 1,9$ und für $\displaystyle \int_{0}^{1}f_a(x)\;\mathrm dx =-0,2$ die Lösung $a_2\approx 22.$

Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty} f_a(x)=0$ und $f_a (0)=0.$
Der Abbildung kann entnommen werden, dass ein Maximum vorliegt, wenn $f_a(x)\gt 0$ für $x\gt 0$ und ein Minimum vorliegt, wenn $f_a(x)\lt 0$ für $x\gt0$ ist.

Es muss dementsprechend untersucht werden, für welche Werte $a$ die Schar $f_a$ positiv bzw. negativ ist.

Ist $x \gt 0$ und $a\lt4$ , so gilt $\mathrm{e}^{-ax}\gt \mathrm{e}^{-4x}$ . Damit ist $f_a(x)=\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-4x}\gt 0.$
Ist $x\gt0$ und $a \gt 4$ , gilt $\mathrm{e}^{-ax}\lt \mathrm{e}^{-4x}$ . Somit ist $f_a(x)=\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-4x}\lt 0.$

Für $a\lt4$ nimmt $f_a$ an der Extremstelle ein Maximum an und für $a\gt 4$ ein Minimum.

Wird der Graph von $f_a$ an der $x$ -Achse gespiegelt, ergibt sich die Funktion $g_a(x)=-f_a(x)=-\mathrm{e}^{-a \cdot x}+\mathrm{e}^{-4x}.$

1. Schritt: Schnittstelle berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&g_a(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] \mathrm{e}^{-a \cdot x}-\mathrm{e}^{-4x}&=&-\mathrm{e}^{-a \cdot x}+\mathrm{e}^{-4x} \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergibt sich, dass sich die Graphen von $g_a$ und von $f_a$ an der Stelle $x=0$ schneiden.

2. Schritt: Ableitungen bilden

Es gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

3. Schritt: Wert für $a$ ermitteln

Der gespiegelte Graph und der Graph von $f_a$ schneiden sich nur im Ursprung. Damit sich die Graphen im Ursprung senkrecht schneiden, muss $\(f$ gelten.

Rechenweg anzeigen

$-a^2+8a-15 = 0$

Mit der $pq$ -Formel ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} a_{1/2}&=& -\dfrac{-8}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-8}{2} \right)^2-15} \\[5pt] &=& 4\pm 1 \end{array}$

Es ergibt sich $a_1=3$ und $a_2=5.$ Für diese Werte von $a$ schneiden sich der gespiegelte Graph und der Graph von $f_a$ unter einem rechten Winkel im Ursprung.

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