Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Smarter Learning
  • Prüfungsvorbereitung
    • Original-Prüfungsaufgaben 2004-2020
    • Abitur und Abschlussprüfungen aller Schularten und Bundesländer
  • Digitales Schulbuch
    • Spickzettel, Aufgaben und Lösungen
    • Lernvideos
  • Lektürehilfen
    • Über 30 Lektüren und Pflichtlektüren
  • Mein SchulLV
    • Eigene Inhaltsverzeichnisse
    • Eigene Favoritenlisten
über 8 Fächer
Jetzt freischalten
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
NRW, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
Zentrale Klausur zum Ende...
Zentrale Klausur zum Ende...
Zentrale Prüfung 10 E-Kur...
Zentrale Prüfung 10 G-Kur...
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Abitur LK (WTR) bis 2016
Abitur GK (WTR) bis 2016
ZK zum Ende der EF (WTR) ...
Abitur LK (GT...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
Zentrale Klausur zum Ende der EF (GTR)
Zentrale Klausur zum Ende der EF (CAS)
Zentrale Prüfung 10 E-Kurs
Zentrale Prüfung 10 G-Kurs
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs
Abitur LK (WTR) bis 2016
Abitur GK (WTR) bis 2016
ZK zum Ende der EF (WTR) bis 2014

Aufgabe 1

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Die Zahl der Haushalte in Deutschland, die über einen Glasfaseranschluss erreichbar sind, wächst ständig. Aber nicht alle erreichbaren Haushalte nutzen auch ihre Anschlüsse.
Die Abbildung zeigt die Anzahl der Haushalte mit genutztem Glasfaseranschluss (im Folgenden Glasfaserhaushalte genannt) für die Jahre 2011 bis 2017. Dabei wird auf der $t$-Achse die Zeit in Jahren seit dem 01.01.2011 und auf der $y$-Achse die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend angegeben.
a)
Die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend wird durch eine Exponentialfunktion $f$ der Form $f(t)=a \cdot e^{b \cdot t}$ modelliert, deren Graph durch die Punkte $P_1(0 \mid 296)$ und $P_2(4 \mid 590)$ verläuft. Diese Funktion soll für Prognosen bis zum Jahr 2026 ($t=15$) genutzt werden.
(1)
Gib den Parameter $a$ an und bestimme $b$ auf drei Nachkommastellen genau.
Im Folgenden soll mit $f(t)=296 \cdot e^{0,17 \cdot t}$ weitergearbeitet werden.
(2)
Im Jahr 2017 wurden in einer Erhebung ca. $880.000$ Glasfaserhaushalte gezählt.
Bestimme die sinnvoll gerundete Anzahl der Glasfaserhaushalte, die sich bei der Modellierung mit der Funktion $f$ für den 01.01.2017 ergibt.
Ermittle die prozentuale Abweichung zu dem Wert aus der Erhebung.
(3)
Bestimme im Modell für $0 \leq t \leq 15$ den Zeitpunkt, zu dem die Anzahl der Glasfaserhaushalte am schnellsten wächst.
Bestimme die zugehörige Wachstumsgeschwindigkeit und gib die Einheit an.
(4+4+6 Punkte)
#exponentialfunktion#prozent
Es wird prognostiziert, dass der Markt für Glasfaseranschlüsse im weiteren Verlauf in eine Sättigungsphase eintritt, da eine zunehmende Zahl von Haushalten bereits über einen Glasfaseranschluss verfügt. Im Folgenden wird die Funktion $f$ nur zur Prognose der Anzahl von Glasfaserhaushalten in Tausend bis zum 01.01.2026 ($t \leq 15$) genutzt. Der momentane Zuwachs der Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend pro Jahr ab dem 01.01.2026 ($t \geq 15$) wird durch die Änderungsrate $z$ mit der Funktionsgleichung
$z(t)=50,32 \cdot e^{6,99-0,296 \cdot t}$ modelliert.
b)
(1)
Es gilt: $z(t)> 0$ und $z'(t)<0$ für alle $t\in\mathbb{R}$.
[Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]
Interpretiere diese Aussage für $t\geq 15$ im Sachzusammenhang.
(2)
Bestimme die Anzahl der Glasfaserhaushalte, die gemäß der Modellierung von 01.01.2026 bis zum 01.01.2036 hinzukommen.
(3)
Gib einen Ansatz für einen Funktionsterm einer Funktion $h$ an, der für $t\geq15$ die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend modelliert. Eine Vereinfachung oder Berechnung ist nicht erforderlich.
(4+4+4 Punkte)
Bei vielen Technologien nimmt die Anzahl der Nutzer aufgrund des technischen Fortschritts mit der Zeit wieder ab. Um auch diesen Aspekt zu erfassen, wird für $t\geq 15$ eine alternative Modellierung genutzt. Die Funktion $k_a$ mit der Funktionsgleichung
$k_a(t)=296 \cdot e^{2,55}+50,32 (t-15) \cdot e^{2,55-a \cdot (t-15)},$ $t\geq 15, a > 0$
$ k_a(t)=296 … $
modelliert im Folgenden die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend für $t \geq 15$.
#funktionenschar
c)
(1)
Weise nach, dass für $t=15$ die Änderungsrate der Funktion $k_a$ unabhängig vom Parameter $a$ mit der Änderungsrate der Funktion $f$ übereinstimmt.
[Zur Kontrolle: $k_a'(t)=50,32 \cdot (1-a (t-15))e^{2,55-a(t-15)}.$]
(2)
Die Funktion $k_a$ besitzt ein lokales Maximum $H_a.$
Bestimme das lokale Maximum $H_a$ der Funktion $k_a$ in Abhängigkeit von $a$.
[Hinweis: Auf den Nachweis einer hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.]
Alle Hochpunkte $H_a\left(15+ \frac {1} {a} \mid k_a \left(15+ \frac {1} {a}\right)\right)$ der Funktionenschar $k_a$ liegen auf dem Graphen der Funktion $g$ mit $g(t)\approx 237,08 t +234,69$.
[Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]
(3)
Um den Sachverhalt angemessen zu modellieren, soll der Wertebereich für den Parameter $a$ weiter eingegrenzt werden.
Bestimme den Wertebereich für den Parameter $a$ so, dass die maximale Anzahl der Glasfaserhaushalte zwischen fünf und sechs Millionen liegt.
(5+5+4 Punkte)
#änderungsrate#funktionenschar#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
#gtr
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV-PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Parameter angeben
Einsetzen der Koordinaten von $P_1$ in die Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& a\cdot \mathrm e^{b\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; P_1(0\mid 296) \\[5pt] 296 &=& a\cdot \mathrm e^{b\cdot 0} \\[5pt] 296 &=& a\cdot 1\\[5pt] 296 &=& a \\[5pt] \end{array}$
$ a=296 $
Einsetzen der Koordinaten von $P_2:$
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& a\cdot \mathrm e^{b\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; a= 296 \\[5pt] f(t) &=& 296 \cdot \mathrm e^{b\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; P_2(4\mid 590)\\[5pt] 590 &=& 296 \cdot \mathrm e^{b\cdot 4} &\quad \scriptsize \mid\;:296 \\[5pt] \frac{295}{148} &=& \mathrm e^{b\cdot 4} &\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] \ln \frac{295}{148} &=& b\cdot 4 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 0,172 &\approx& b \end{array}$
$ b\approx 0,172 $
(2)
$\blacktriangleright$  Anzahl aus der Modellierung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(6) &=& 296\cdot \mathrm e^{0,17\cdot 6} \\[5pt] &\approx& 820,866 \end{array}$
$ f(6)\approx 820,866 $
Für den 01.01.2017 ergibt sich mithilfe der Modellierung mit der Funktion $f$ eine Anzahl von ca. $820\,000$ Glasfaserhaushalten.
$\blacktriangleright$  Prozentuale Abweichung zur Erhebung ermitteln
Mit der Abbildung ergeben sich für den 01.01.2017 ca. $880\,000$ Glasfaserhaushalte aus der Erhebung.
$\dfrac{820\,000}{880\,000} \approx 0,932 $
Der Wert, der sich aus der Modellierung mit der Funktion $f$ ergibt, weicht um ca. $6,8\,\%$ von dem Wert aus der Erhebung ab.
(3)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem schnellsten Wachstum bestimmen
Gesucht ist das Maximum von $f'(t)$ für $0\leq t \leq 15.$
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 296\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[10pt] f'(t) &=& 296\cdot 0,17\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[5pt] &=& 50,32\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} \\[10pt] \end{array}$
$ f'(t) = 50,32\cdot \mathrm e^{0,17\cdot t} $
2. Schritt: Maximum bestimmen
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Mit dem GTR erhältst du, dass der Graph von $f'$ keinen Extrempunkt besitzt. Überprüfe also die Intervallränder:
$f'(0) = 50,32 $ und $f'(15) \approx 644,45$
Die Anzahl der Glasfaserhaushalte wächst nach $15$ Jahren am schnellsten. Zu diesem Zeitpunkt wächst sie mit einer Geschwindigkeit von ca. $640\,000$ Haushalten pro Jahr.
#gtr#extrempunkt
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren
$z$ beschreibt die Wachstumgsgeschwindigkeit der Anzahl der Glasfaserhaushalte, $z'$ beschreibt die Zu-/Abnahme der Wachstumsgeschwindigkeit.
Da $z(t)>0$ ist, wächst die Anzahl der Glasfaserhaushalte im Modell ab $t=15$ weiterhin. Wegen $z'(t) <0$ wächst die Anzahl der Glasfaserhaushalte in diesem Zeitraum aber immer langsamer.
(2)
$\blacktriangleright$  Anzahl zusätzlicher Glasfaserhaushalte bestimmen
Integrale kannst du mithilfe deines GTRs berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
$\displaystyle\int_{15}^{25}z(t)\;\mathrm dt\approx 2\,064,39$
Vom 01.01.2016 bis zum 01.01.2036 kommen gemäß der Modellierung mit $z$ ca. $2\,060\,000$ Glasfaserhaushalte hinzu.
(3)
$\blacktriangleright$  Ansatz angeben
Mit $f(15)$ wird die Anzahl der Glasfaserhaushalte für $t=15$ beschrieben. Mit $\displaystyle\int_{15}^{t}z(x)\;\mathrm dx$ lässt sich in Abhängigkeit von $t\geq 15$ die Anzahl der hinzugekommenen Haushalte seit $t=15$ beschreiben.
$h(t) = f(15) + \displaystyle\int_{15}^{t}z(x)\;\mathrm dx$
$ h(t) =… $
#gtr#integral
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Übereinstimmung der Änderungsrate nachweisen
Mit der Produktregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} k_a(t) &=& 296\cdot \mathrm e^{2,55} + 50,32(t-15)\cdot \mathrm e^{2,55-a\cdot (t-15)} \\[5pt] k_a'(t) &=& 50,32\left( 1\cdot \mathrm e^{2,55-a\cdot (t-15)} +(t-15)\cdot (-a)\cdot \mathrm e^{2,55-a\cdot (t-15)} \right) \\[5pt] &=& 50,32\cdot \mathrm e^{2,55-a\cdot (t-15)}\cdot \left( 1 +(t-15)\cdot (-a) \right) \\[10pt] k_a'(15)&=& 50,32\cdot \mathrm e^{2,55-a\cdot (15-15)}\cdot \left( 1 +(15-15)\cdot (-a) \right) \\[5pt] &=& 50,32\cdot \mathrm e^{2,55} \\[10pt] f'(15) &=& 50,32\cdot \mathrm e^{0,17\cdot 15} \\[5pt] &=& 50,32\cdot \mathrm e^{2,55} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} k_a'(15)&=& 50,32\cdot \mathrm e^{2,55} \\[10pt] f'(15) &=& 50,32\cdot \mathrm e^{2,55} \end{array}$
Es ist also $k_a'(15)= f'(15)$ unabhängig von $a.$
(2)
$\blacktriangleright$  Lokales Maximum bestimmen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} k_a'(t) &=& 0 \\[5pt] 50,32\cdot \mathrm e^{2,55-a\cdot (t-15)}\cdot \left( 1 +(t-15)\cdot (-a) \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:50,32 \\[5pt] \mathrm e^{2,55-a\cdot (t-15)}\cdot \left( 1 +(t-15)\cdot (-a) \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{2,55-a\cdot (t-15)} \\[5pt] 1 +(t-15)\cdot (-a) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] (t-15)\cdot (-a) &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-a) \\[5pt] t-15 &=& \frac{1}{a} &\quad \scriptsize \mid\; +15 \\[5pt] t &=& \frac{1}{a} +15 \end{array}$
$ t=\frac{1}{a} +15 $
Da dies die einzige mögliche Extremstelle ist und in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass es ein Maximum gibt, ist $t = \frac{1}{a} +15 $ die Stelle, an der $k_a$ ihr Maximum annimmt.
2. Schritt: Maximum berechnen
$\begin{array}[t]{rll} k_a\left( \frac{1}{a} +15 \right)&=& 296\cdot \mathrm e^{2,55} + 50,32\cdot(\frac{1}{a} +15 -15)\cdot \mathrm e^{2,55-a\cdot (\frac{1}{a} +15 -15)} \\[5pt] &=& 296\cdot \mathrm e^{2,55} + 50,32\cdot(\frac{1}{a})\cdot \mathrm e^{2,55-a\cdot (\frac{1}{a})} \\[5pt] &=& 296\cdot \mathrm e^{2,55} +\frac{50,32}{a}\cdot \mathrm e^{1,55} \\[5pt] \end{array}$
$ k_a\left( \frac{1}{a} +15 \right) = … $
Das lokale Maximum der Funktion $k_a$ liegt bei
$H_a\left( \frac{1}{a} +15 \mid 296\cdot \mathrm e^{2,55} +\frac{50,32}{a}\cdot \mathrm e^{1,55} \right).$
$H_a\left( \frac{1}{a} +15 \mid 296\cdot \mathrm e^{2,55} +\frac{50,32}{a}\cdot \mathrm e^{1,55} \right).$
(3)
$\blacktriangleright$  Wertebereich bestimmen
Alle Hochpunkte $H_a$ liegen auf dem Graphen der Funktion $g.$ Dabei handelt es sich um eine streng monoton steigende Gerade.
Die Grenzen $a_1$ und $a_2$ des Wertebereichs müssen daher folgende Gleichungen erfüllen:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I}\quad & g\left(\frac{1}{a_1}+15 \right)&=& 5\,000 \\[5pt] &237,08\cdot \left(\frac{1}{a_1} +15 \right) + 234,69 &=& 5\,000 \\[5pt] &\frac{237,08}{a_1} +3\,556,2 + 234,69 &=& 5\,000 \\[5pt] &\frac{237,08}{a_1} +3\,790,89 &=& 5\,000 &\quad \scriptsize \mid\;-3\,790,89 \\[5pt] &\frac{237,08}{a_1} &=& 1\,209,11 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a_1 \\[5pt] &237,08 &=& 1\,209,11\cdot a_1 &\quad \scriptsize \mid\; :1\,209,11 \\[5pt] &0,196 &\approx& a_1 \\[10pt] \text{II}\quad & g\left(\frac{1}{a_2}+15 \right)&=& 6\,000 \\[5pt] &237,08\cdot \left(\frac{1}{a_2} +15 \right) + 234,69 &=& 6\,000 \\[5pt] &\frac{237,08}{a_2} +3\,556,2 + 234,69 &=& 6\,000 \\[5pt] &\frac{237,08}{a_2} +3\,790,89 &=& 6\,000 &\quad \scriptsize \mid\;-3\,790,89 \\[5pt] &\frac{237,08}{a_2} &=& 2\,209,11 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a_1 \\[5pt] &237,08 &=& 2\,209,11\cdot a_2 &\quad \scriptsize \mid\; :1\,209,11 \\[5pt] & 0,107 &\approx& a_2 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} \text{I}\quad & g\left(\frac{1}{a_1}+15 \right)=& 5\,000 \\[5pt] &0,196 \approx& a_1 \\[10pt] \text{II}\quad & g\left(\frac{1}{a_2}+15 \right)=& 6\,000 \\[5pt] & 0,107 \approx& a_2 \\[10pt] \end{array}$
Der Wertebereich für den Parameter $a$ lautet $\text{W}=[0,107;0,196].$
#produktregel#ableitung#extrempunkt
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV-PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Folge uns auf
SchulLV als App