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Aufgabe 3

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung
$ f(x)=8x\cdot\mathrm e^{-0,25x^{2}}, x\in \mathbb{R}.$
Der Graph der Funktion $f$ wird in der Abbildung auf Seite 7 dargestellt.
a)
  1. Begründen Sie, dass der Graph der Funktion $f$ symmetrisch zum Ursprung ist.
  2. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion $f$ und $f'$.
    Untersuchen Sie, an welchen Stellen ein lokales Maximum bzw. Minimum der Funktion $f$ vorliegt.
    $[\text{Zur Kontrolle: }f'(x)=(8-4x^{2})\cdot\mathrm e^{-0,25x^{2}}]$
  3. Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ genau drei verschiedene Wendestellen besitzt.
    $[\text{Zur Kontrolle: }f''(x)=x\cdot(2x^2-12)\cdot\mathrm e^{-0,25x^{2}}]$
(2P + 8P + 7P)
b)
Gegeben ist die Ursprungsgerade $g_m$ mit der Gleichung $g_{m}(x)=m\cdot x, x\in \mathbb{R}$, wobei $m$ eine positive reelle Zahl ist.
  1. Beweisen Sie: Genau für $m < 8$ schneidet die Gerade $g_m$ den Graphen der Funktion $f$ im 1. Quadranten im Ursprung 0 und in einem davon verschiedenen Punkt $P$.
  2. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $P$.
    [Zur Kontrolle: P besitzt die x-Koordinate $2\cdot\sqrt{\ln\frac{8}{m}}$]
(6P + 3P)
c)
  1. Zeigen Sie, dass die Funktion F mit der Gleichung $F(x)=-16\cdot\mathrm e^{-0,25x^{2}}, x\in \mathbb{R}$, eine Stammfunktion der Funktion $f$ ist.
  2. Es sei $h$ die Ursprungsgerade mit der Gleichung $h(x)=4\cdot x, x\in \mathbb{R}$.
    Erklären Sie, dass die Gerade $h$ und der Graph der Funktion $f$ im 1. Quadranten eine Fläche einschließen.
    Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.
(3P + 9P)
d)
Man betrachtet den Graphen der Funktion $f$. Die Punkte O und $P$ seien wie in b) (1) definiert. Zusätzlich sei der Punkt $Q$ die senkrechte Projektion des Punktes $P$ auf die x-Achse.
  1. Zeigen Sie: Der Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ ist $A(m)=2m\cdot \ln\frac{8}{m}, 0 < m < 8$.
  2. Untersuchen Sie, für welche $m$ der Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ maximal wird.
Aufgabe 3
Aufgabe 3
(4P + 8P)
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a) (1)
$\blacktriangleright$ Symmetrie zum Ursprung zeigen
Gegeben ist die Funktion $f$. Die Funktion $f$ setzt sich aus einem linearenund einem exponentiellen Teil zusammen und ist gegeben über $f(x)$, mit:
$f(x) = 8 \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}$
Deine Aufgabe ist es nun, zu zeigen, dass der Graph von $f$ symmetrisch zum Ursprung ist. Ist der Graph einer Funktion symmetrisch zum Ursprung, so ergibt sich für den zugehörigen Funktionsterm, nach dem du $-x$ in diesen einsetzt, folgender Zusammenhang:
$f(-x) = -f(x)$
Setze also $-x$ in den Funktionsterm von $f$ ein und zeige durch Umformen, dass der Graph von $f$ symmetrisch zum Ursprung ist.
(2)
$\blacktriangleright$Berechnen der Nullstellen von $f$ und $f'$
Nun sollst du die Nullstellen von $f$ und der ersten Ableitungsfunktion $f'$ bestimmen. Nullstellen sind dabei Stellen, an denen der Funktionswert der betrachteten Funktion den Wert Null annimmt. Also gilt an solch einer Stelle $x_N$ folgendes:
$f(x_N) = 0$
Beachte beim Lösen dieser Aufgabe, dass sich $f$ hier aus einem linearen und einem exponentiellen Teil zusammensetzt. Beim exponentiellen Teil ist dabei zu beachten, dass die Exponentialfunktion für keinen Wert von $x$ einen Wert kleiner gleich Null annehmen kann.
Bestimme die erste Ableitungsfunktion hier über die Produkt- und Kettenregel.
$\blacktriangleright$Untersuchen der Extremstellen
Hier sollst du nun untersuchen, an welchen Stellen ein lokales Maximum bzw. Minimum der Funktion $f$ vorliegt. Beachte dabei, dass sich die Extremstellen von $f$ nur an den Stellen befinden können, an denen die erste Ableitung eine Nullstelle besitzt. Dies ist die notwendige Bedingung für Extremstellen.
Zu betrachten gilt es hier also die im vorherigen Schritt bestimmten Nullstellen von $f'$.
Willst du anschließend feststellen, an welchen dieser Stellen ein Minimum oder ein Maximum vorliegt, betrachtest du die zweite Ableitung der Funktion $f$. Über die hinreichende Bedingung kann dann folgendes für eine beliebige Extremstelle $x_E$ festgestellt werden:
  • $f''(x_M) < 0$: Maximum bei $x_M$
  • $f''(x_M) > 0$: Minimum bei $x_M$
Gehe also bei Lösen dieser Aufgabe so vor:
  • Bestimme $f''$ über Produkt- und Kettenregel.
  • Überprüfe die hinreichende Bedingung bei $x_2 = \sqrt{2}$ und $x_3 = -\sqrt{2}$.
(3)
$\blacktriangleright$Zeigen, dass $f$ genau drei verschiedene Wendestellen besitzt
Willst du zeigen, dass $f$ drei verschiedene Wendestellen besitzt, so musst du diese zunächst über die notwendige Bedingung für Wendestellen bestimmen. Diese besagt, dass an einer Stelle $x_W$ genau dann eine Wendestelle vorliegt, wenn an dieser Stelle folgendes gilt:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W) = 0$
Bestimme also zunächst die Nullstellen von $f''$.
Hast du die potentiellen Wendestellen bestimmt, so musst hier argumentieren, warum an diesen Stellen eine Wendestelle vorliegt. Normalerweise würde man dazu die dritte Ableitung von $f$ betrachten, jedoch ist diese hier sehr aufwendig zu bestimmen.
Wendestellen liegen an jenen Nullstellen von $f''$ vor, an denen ein Vorzeichenwechsel vorliegt. Betrachte also das Verhalten der Funktionwerte von $f$ im Bereich der potentiellen Wendestellen.
b) (1)
$\blacktriangleright$Beweisen, dass $g_m$ $f$ im Ursprung und in $P$ schneidet
Gegeben hast du die Ursprungsgerade $g_m$ mit der Gleichung $g_m(x) = m \cdot x,\;x \in \mathbb R$, wobei $m$ eine positive reelle Zahl ist.
Deine Aufgabe ist es hier, zu beweisen, dass $g_m$ für $m < 8$ den Graphen der Funktion $f$ im 1. Quadranten im Ursprung 0 und in einem davon verschiedenen Punkt $P$ schneidet.
Setze also die Funktionsgleichungen von $g_m$ und $f$ gleich und bestimme in Abhängigkeit von $m$ die Schnittstellen. Betrachte dann die Schnittstellen für verschiedene Werte von $m$ und zeige, dass für $m < 8$ eine Schnittstelle existiert, die verschieden von $x = 0$ ist.
Tipp: Verwende auch hier wieder den Satz vom Nullprodukt.
(2)
$\blacktriangleright$Bestimmen der Koordinaten des Punktes $P$
Nun sollst du die vollständigen Koordinaten des Punktes $P$ angeben. Beachte dabei, dass dieser im 1. Quadranten liegt.
Löse den oben für $x_P$ bestimmten Ausdruck $x^2 = -4 \cdot \ln\left(\frac{m}{8}\right)$ also zunächst nach $x$ auf, um die $x$-Koordinate von $P$ zu bestimmen, um dann anschließend mit dieser und $f(x)$ die $y$-Koordinate von $P$ zu bestimmen. Beachte dabei, dass $m < 8$ gilt.
c) (1)
$\blacktriangleright$Zeigen, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist
In diesem Aufgabenteil hast du eine Funktion $F$ gegeben. Diese Funktion $F$ ist dabei definiert über:
$F(x) = -16 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot x^2}$
Deine Aufgabe ist es hier, zu zeigen, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Willst du dies zeigen, so beweist du, dass die erste Ableitung von $F$ der Funktion $f$ entspricht. Es muss also folgender Zusammenhang hier erfüllt sein:
$F'(x) = f(x)$
Verwende beim Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion von $F$ die Kettenregel.
(2)
$\blacktriangleright$Erklären, dass Gerade $h$ und der Graph von $f$ eine Fläche einschließen
Nun hast du die Ursprungsgerade $h$ mit der Gleichung $h(x) = 4 \cdot x,\;x \in R$ gegeben. Hier sollst du nun dazu erklären, dass die Gerade $h$ und der Graph der Funktion $f$ im ersten Quadranten eine Fläche einschließen.
Willst du dies erklären, so musst du hier zunächst erkennen, dass $h$ der Geraden $g_m$ mit $m = 4$ entspricht. Da $m< 8$ heißt das, dass die Gerade $h$ und der Graph von $f$ sich im Ursprung und in einem vom Ursprung verschiedenen Punkt $P$ schneiden.
$\blacktriangleright$Berechnen des Inhalts der eingeschlossenen Fläche
Hier sollst du weiterhin den Inhalt der von $h$ und dem Graphen von $f$ eingeschlossenen Fläche berechnen.
Willst du den Flächeninhalt $I$ dieser Fläche berechnen, so musst du zunächst die Schnittstellen von $f$ und $h$ berechnen. Diese dienen dann als Integrationsgrenzen. Verwende dazu die Ergebnisse aus b.
Hast du die Integrationsgrenzen berechnet, so integrierst du innerhalb dieser Grenzen über die Differenz von $f(x)$ und $h(x)$. Da dir nicht bekannt ist, welcher Graph oberhalb des anderen verläuft, bildest du hier den Betrag des Integrals.
d) (1)
$\blacktriangleright$Zusammenhang für den Flächeninhalt des Dreiecks zeigen
Nun betrachtet man den Graphen der Funktion $f$, sowie die Punkte $O$ und $P$ von oben. Der Punkt $Q$ durch die senkrechte Projektion des Punktes $P$ auf die $x$-Achse.
Deine Aufgabe ist es nun, zu zeigen, dass für den Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ gilt:
$A(m) = 2 \cdot m \cdot \ln(\frac{8}{m})$.
Skizziere zunächst das Dreieck \(OQP\) für einen beispielhaften Wert für \(m\) in das gegebene Koordinatensystem.
Nimm dazu beispielsweise $m = 4$ an. Die Koordinaten von $P$ und $Q$ ergeben sich dann zu:
$P\left(2 \cdot\sqrt{\ln\left(2\right)} \mid 8 \cdot \sqrt{\ln\left(2\right)}\right)\;\text{und}\;Q\left(2 \cdot\sqrt{\ln\left(2\right)} \mid 0\right)$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Der Flächeninhalt $A$ eines allgemeinen Dreiecks berechnet sich über folgende Formel:
$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ mit:
  • $g$: Grundseite des Dreiecks
  • $h$: Höhe des Dreiecks
Bevor du also den Zusammenhang zeigen kannst, musst du Höhe und Grundseite des Dreiecks $OQP$ festlegen.
(2)
$\blacktriangleright$Bestimmen des $m$, für das der Flächeninhalt maximal wird
Zuletzt sollst du untersuchen, für welche $m$ der Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ maximal wird.
Willst du diese $m$ bestimmen, so musst du $A$ als Funktion der Steigung $m$ ansehen. Dann geht es nämlich darum, dass Maximum der Funktion $A$ zu bestimmen.
Nimmt die Funktion $A$ an einer bestimmten Stelle $m_{max}$ einen maximalen Flächeninhalt an, so sind folgende Bedingungen an einer solchen Stelle erfüllt:
  • Notwendige Bedingung: $A'(m_{max}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $A''(m_{max}) < 0$
Willst du also die $m$ bestimmen, für welche der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ$ maximal wird, so musst du zunächst die erste und zweite Ableitung von $A$ bestimmen. Hast du diese bestimmt, so ermittelst du die potentiellen Extremstellen von $A$ über das Berechnen der Nullstellen von $A$. Überprüfe dann an den ermittelten Stellen die hinreichende Bedingung. Beachte dabei, dass $0 < m < 8$ auch hier gilt.
Beachte hier weiterhin, dass $m$ auf einem beschränkten Intervall betrachtet wird. Es muss also für jegliches bestimmtes Maximum überprüft werden, ob dieses ein globales Maximum darstellt.
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a) (1)
$\blacktriangleright$ Symmetrie zum Ursprung zeigen
Gegeben ist die Funktion $f$. Die Funktion $f$ setzt sich aus einem linearenund einem exponentiellen Teil zusammen und ist gegeben über $f(x)$, mit:
$f(x) = 8 \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}$
Deine Aufgabe ist es nun, zu zeigen, dass der Graph von $f$ symmetrisch zum Ursprung ist. Ist der Graph einer Funktion symmetrisch zum Ursprung, so ergibt sich für den zugehörigen Funktionsterm, nach dem du $-x$ in diesen einsetzt, folgender Zusammenhang:
$f(-x) = -f(x)$
Setze also $-x$ in den Funktionsterm von $f$ ein und zeige durch Umformen, dass der Graph von $f$ symmetrisch zum Ursprung ist.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(-x)=&8 \cdot (-x) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot (-x)^2} = - 8\cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2} = - f(x)\\ \end{array}$
Da du gezeigt hast, dass dieser Zusammenhang für den Funktionsterm von $f$ gilt, hast du gezeigt, dass der Graph von $f$ symmetrisch zum Ursprung ist.
(2)
$\blacktriangleright$Berechnen der Nullstellen von $f$ und $f'$
Nun sollst du die Nullstellen von $f$ und der ersten Ableitungsfunktion $f'$ bestimmen. Nullstellen sind dabei Stellen, an denen der Funktionswert der betrachteten Funktion den Wert Null annimmt. Also gilt an solch einer Stelle $x_N$ folgendes:
$f(x_N) = 0$
Beachte beim Lösen dieser Aufgabe, dass sich $f$ hier aus einem linearen und einem exponentiellen Teil zusammensetzt. Beim exponentiellen Teil ist dabei zu beachten, dass die Exponentialfunktion für keinen Wert von $x$ einen Wert kleiner gleich Null annehmen kann.
Bestimme die erste Ableitungsfunktion hier über die Produkt- und Kettenregel.
1. Schritt: Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion
Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel ergibt sich hier:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&8 \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ f'(x)=&8 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2} + 8 \cdot x \cdot (- 0,25 \cdot 2 \cdot x) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ =&8 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2} - 4 \cdot x^2 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}&\text{Ausklammern von }\mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ =&\left(8 - 4 \cdot x^2\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Nullstellen von $f$
Setze nun den Funktionsterm von $f$ gleich Null, um die Nullstellen der Funktion $f$ zu bestimmen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&0\\ 0=&8 \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ \end{array}$
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann Null wird, wenn seiner der Faktoren Null wird. Da der exponentielle Teil hier immer echt größer Null ist, kannst du diesen beim Lösen der obigen Gleichung außer Acht lassen.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0=&8 \cdot x\;\Leftrightarrow\; x_1 = 0\\ \end{array}$
$f$ besitzt bei $x_1 = 0$ eine Nullstelle.
3. Schritt: Bestimmen der Nullstellen von $f'$
Gehe wie oben vor, um die Nullstellen von $f'$ zu bestimmen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f'(x)=&0\\ f'(x)=&\left(8 - 4 \cdot x^2\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ \end{array}$
Wende auch hier wieder den Satz vom Nullprodukt an, um die obige Gleichung zu lösen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0=&8 - 4 \cdot x^2& \mid\; + 4 \cdot x^2\\ 4 \cdot x^2=&8& \mid\; : 4\\ x^2=&2& \mid\; \sqrt{\;}\\ x_2=&\sqrt{2}\\ x_3=&-\sqrt{2}\\ \end{array}$
$f$ besitzt also bei $x_1 = 0$ eine Nullstelle. $f'$ hingegen besitzt bei $x_2 = \sqrt{2}$ und $x_3 = -\sqrt{2}$ Nullstellen.
$\blacktriangleright$Untersuchen der Extremstellen
Hier sollst du nun untersuchen, an welchen Stellen ein lokales Maximum bzw. Minimum der Funktion $f$ vorliegt. Beachte dabei, dass sich die Extremstellen von $f$ nur an den Stellen befinden können, an denen die erste Ableitung eine Nullstelle besitzt. Dies ist die notwendige Bedingung für Extremstellen.
Zu betrachten gilt es hier also die im vorherigen Schritt bestimmten Nullstellen von $f'$.
Willst du anschließend feststellen, an welchen dieser Stellen ein Minimum oder ein Maximum vorliegt, betrachtest du die zweite Ableitung der Funktion $f$. Über die hinreichende Bedingung kann dann folgendes für eine beliebige Extremstelle $x_E$ festgestellt werden:
  • $f''(x_M) < 0$: Maximum bei $x_M$
  • $f''(x_M) > 0$: Minimum bei $x_M$
Gehe also bei Lösen dieser Aufgabe so vor:
  • Bestimme $f''$ über Produkt- und Kettenregel.
  • Überprüfe die hinreichende Bedingung bei $x_2 = \sqrt{2}$ und $x_3 = -\sqrt{2}$.
1. Schritt: Bestimmen der zweiten Ableitungsfunktion
Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel ergibt sich:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f'(x)=&\left(8 - 4 \cdot x^2\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ f''(x)=&\left(- 4 \cdot 2 \cdot x\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2} + \left(8 - 4 \cdot x^2\right) \cdot (-0,25) \cdot 2 \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ =&- 8 \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2} + \left(8 - 4 \cdot x^2\right) \cdot (-0,5) \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ =&- 8 \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2} + \left(-4 \cdot x + 2 \cdot x^3\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}& \text{Ausklammern von }\mathrm e^{-0,25\cdot x^2} \\ =&\left(- 8 \cdot x + (-4 \cdot x + 2 \cdot x^3)\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ =&\left(- 12 \cdot x + 2 \cdot x^3\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}& \text{Ausklammern von }x\\ =&x \cdot \left(2 \cdot x^2 - 12\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ \end{array}$
2. Schritt: Untersuchen der bestimmten Extremstellen
Setze nun $x_2 = \sqrt{2}$ und $x_3 = -\sqrt{2}$ in $f''(x)$ ein, um zu untersuchen, welche Art von Extrema an den betrachteten Stellen vorliegen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f''(x_2)=&\sqrt{2} \cdot \left(2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 12\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot (\sqrt{2})^2}\\ =&\sqrt{2} \cdot \left(4 - 12\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 2}\\ =&-\sqrt{2} \cdot 6 \cdot \mathrm e^{-0,5}\\ \end{array}$
Da $\mathrm e^{-0,5}$ hier echt größer Null ist, gilt für $f(x_2) < 0$. Bei $x_2$ befindet sich also ein Maximum von $f$.
Ein Einsetzen von $x_3 = -\sqrt{2}$ ergibt hingegen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f''(x_2)=&-\sqrt{2} \cdot \left(2 \cdot (-\sqrt{2})^2 - 12\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot (-\sqrt{2})^2}\\ =&-\sqrt{2} \cdot \left(4 - 12\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 2}\\ =&-\sqrt{2} \cdot (-6) \cdot \mathrm e^{-0,5}\\ =&\sqrt{2} \cdot 6 \cdot \mathrm e^{-0,5}\\ \end{array}$
Da $\mathrm e^{-0,5}$ auch hier echt größer Null ist, gilt für $f(x_3) > 0$. Bei $x_3$ befindet sich also ein Minimum von $f$.
(3)
$\blacktriangleright$Zeigen, dass $f$ genau drei verschiedene Wendestellen besitzt
Willst du zeigen, dass $f$ drei verschiedene Wendestellen besitzt, so musst du diese zunächst über die notwendige Bedingung für Wendestellen bestimmen. Diese besagt, dass an einer Stelle $x_W$ genau dann eine Wendestelle vorliegt, wenn an dieser Stelle folgendes gilt:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W) = 0$
Bestimme also zunächst die Nullstellen von $f''$.
Hast du die potentiellen Wendestellen bestimmt, so musst hier argumentieren, warum an diesen Stellen eine Wendestelle vorliegt. Normalerweise würde man dazu die dritte Ableitung von $f$ betrachten, jedoch ist diese hier sehr aufwendig zu bestimmen.
Wendestellen liegen an jenen Nullstellen von $f''$ vor, an denen ein Vorzeichenwechsel vorliegt. Betrachte also das Verhalten der Funktionwerte von $f$ im Bereich der potentiellen Wendestellen.
1. Schritt: Bestimmen der potentiellen Wendestellen
Gehe beim Bestimmen der Wendestellen bzw. der Nullstellen von $f''$ wie oben vor:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f''(x)=&0\\ 0=&x \cdot \left(2 \cdot x^2 - 12\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}\\ \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt auch hier wieder, dass $\mathrm e^{-0,25\cdot x^2}$ für das Lösen der Gleichung außer Acht gelassen werden kann.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0=&x \cdot \left(2 \cdot x^2 - 12\right)\\ \end{array}$
Weiterhin gilt nach dem Satz vom Nullprodukt, dass für die erste potentielle Wendestelle $x_{W_1}= 0$ gilt.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0=&2 \cdot x^2 - 12& \mid\;+ 12\\ 12=&2 \cdot x^2& \mid\;: 6\\ 6=&x^2& \mid\;\sqrt{\;}\\ x_{W_2}=&\sqrt{6}&\\ x_{W_3}=&-\sqrt{6}&\\ \end{array}$
Die möglichen Wendestellen von $f$ liegen also bei $x_{W_1}= 0$, $x_{W_2}= \sqrt{6}$ und $x_{W_3}= -\sqrt{6}$.
2. Schritt: Zeigen, dass an den bestimmten Stellen Wendestellen vorliegen
Betrachte die potentielle Wendestelle bei $x_{W_1}= 0$. Damit an dieser Stelle eine Wendestelle existiert muss $f''$ einen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle besitzen. Betrachte dazu zum Beispiel die Funktionswerte $f''(-1)$ und $f''(1)$, die symmetrisch um die potentielle Wendestelle bei $x_{W_1}= 0$ liegen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f''(-1)=&(-1) \cdot \left(2 \cdot (-1)^2 - 12\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot (-1)^2} = 10 \cdot \mathrm e^{-0,25} > 0\\ f''(1)=&1 \cdot \left(2 \cdot 1^2 - 12\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 1^2} = -10 \cdot \mathrm e^{-0,25} < 0\\ \end{array}$
Da $f(1)$ und $f(-1)$ sich im Vorzeichen unterscheiden, liegt ein Vorzeichenwechsel bei $x_{W_1}= 0$ vor. Damit du nun zeigen kannst, dass bei $x_{W_2}= \sqrt{6}$ ebenfalls eine Wendestelle vorliegt, musst du zeigen, dass $f''$ nach dieser Stelle wieder positive Funktionswerte annimmt.
Untersuche dazu beispielsweise $f(3)$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&3 \cdot \left(2 \cdot 3^2 - 12\right) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 3^2} = 18 \cdot \mathrm e^{-2,25}> 0\\ \end{array}$
Da bei $f(3) > 0$ wiederum größer Null ist, muss bei $x_{W_2}= \sqrt{6}$ ebenfalls eine Wendestelle vorliegen. Weiterhin liegt dann bei $x_{W_3}= -\sqrt{6}$ ebenfalls eine Wendestelle vor, da der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Somit hast du also gezeigt, dass $f$ genau drei Nullstellen besitzt und zwar bei $x_{W_1}= 0$, $x_{W_2}= \sqrt{6}$ und $x_{W_3}= -\sqrt{6}$.
b) (1)
$\blacktriangleright$Beweisen, dass $g_m$ $f$ im Ursprung und in $P$ schneidet
Gegeben hast du die Ursprungsgerade $g_m$ mit der Gleichung $g_m(x) = m \cdot x,\;x \in \mathbb R$, wobei $m$ eine positive reelle Zahl ist.
Deine Aufgabe ist es hier, zu beweisen, dass $g_m$ für $m < 8$ den Graphen der Funktion $f$ im 1. Quadranten im Ursprung 0 und in einem davon verschiedenen Punkt $P$ schneidet.
Setze also die Funktionsgleichungen von $g_m$ und $f$ gleich und bestimme in Abhängigkeit von $m$ die Schnittstellen. Betrachte dann die Schnittstellen für verschiedene Werte von $m$ und zeige, dass für $m < 8$ eine Schnittstelle existiert, die verschieden von $x = 0$ ist.
Tipp: Verwende auch hier wieder den Satz vom Nullprodukt.
Ein Gleichsetzen von $g_m(x)$ und $f(x)$ ergibt zunächst:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} g_m(x)=&f(x)\\ m \cdot x =& 8 \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2} & \mid - m \cdot x\\ 0 =& 8 \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2} - m \cdot x & \text{Ausklammern von $x$}\\ 0 =&x \cdot \left(8 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2} - m\right) \\ \end{array}$
Wendest du hier den Satz vom Nullprodukt wie oben an, so ergibt sich die erste Schnittstelle bei $x_{S_1} = 0$. Betrachte nun den verbliebenen Teil der Gleichung, um die von $x_{S_1} = 0$ verschiedene Schnittstelle zu bestimmen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0 =&8 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2} - m & \mid + m\\ m =&8 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x^2}& \mid : 8\\ \frac{m}{8} =&\mathrm e^{-0,25\cdot x^2}& \mid \ln(\;)\\ \ln\left(\frac{m}{8}\right) =&-0,25\cdot x^2& \mid \cdot (-4)\\ -4 \cdot \ln\left(\frac{m}{8}\right) =&x^2&\\ \end{array}$
Betrachtest du diesen Ausdruck nun genauer, so kannst du erkennen, dass diese Gleichung nur genau dann eine Lösung liefert, wenn der Ausdruck auf der linken Seite einen Wert größer Null liefert. Dies geschieht genau dann, wenn $m$ einen Wert kleiner 8 annimmt bzw. $\frac{m}{8} < 1$ gilt, da so der Ausdruck mit $\ln$ negativ wird (der natürliche Logarithmus nimmt für Werte kleiner 1 und größer Null negative Werte an).
Der Graph von $f$ und die Gerade $g_m$ schneiden sich also nur dann im Ursprung und einem vom Ursprung verschiedenen Punkt $P$ im 1. Quadranten, wenn $m$ einen Wert kleiner 8 annimmt.
(2)
$\blacktriangleright$Bestimmen der Koordinaten des Punktes $P$
Nun sollst du die vollständigen Koordinaten des Punktes $P$ angeben. Beachte dabei, dass dieser im 1. Quadranten liegt.
Löse den oben für $x_P$ bestimmten Ausdruck $x^2 = -4 \cdot \ln\left(\frac{m}{8}\right)$ also zunächst nach $x$ auf, um die $x$-Koordinate von $P$ zu bestimmen, um dann anschließend mit dieser und $f(x)$ die $y$-Koordinate von $P$ zu bestimmen. Beachte dabei, dass $m < 8$ gilt.
$x$-Koordinate von $P$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x^2=& -4 \cdot \ln\left(\frac{m}{8}\right)& \mid\; \sqrt{\,}\\ x_{1,2}=& \pm\sqrt{-4 \cdot \ln\left(\frac{m}{8}\right)}\\ =& \pm\sqrt{4 \cdot \ln\left(\frac{m}{8}\right)^{-1}}\\ =& \pm 2 \cdot\sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)}\\ x_1=& 2 \cdot\sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)}\\ x_2=& -2 \cdot\sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)}\\ \end{array}$
Da $x_2$ nicht im ersten Quadranten liegt, ist die gesuchte Koordinate von $P$: $x_P= 2 \cdot\sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)}$.
Setze nun $x_P$ in $g_m(x)$ ein, um die zugehörige $y$-Koordinate von $P$ zu bestimmen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} g(x_P)=&m \cdot \left( 2 \cdot\sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)}\right)\\ =&2 \cdot m \cdot \sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)}\\ \end{array}$
Die vollständigen Koordinaten von $P$ sind also: $P\left(2 \cdot\sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)} \mid 2 \cdot m \cdot \sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)}\right)$.
c) (1)
$\blacktriangleright$Zeigen, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist
In diesem Aufgabenteil hast du eine Funktion $F$ gegeben. Diese Funktion $F$ ist dabei definiert über:
$F(x) = -16 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot x^2}$
Deine Aufgabe ist es hier, zu zeigen, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Willst du dies zeigen, so beweist du, dass die erste Ableitung von $F$ der Funktion $f$ entspricht. Es muss also folgender Zusammenhang hier erfüllt sein:
$F'(x) = f(x)$
Verwende beim Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion von $F$ die Kettenregel.
Hier gilt also:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} F(x)=&-16 \cdot e^{-0,25 \cdot x^2}\\ F'(x)=&-16 \cdot (-0,25 \cdot x) \cdot e^{-0,25 \cdot x^2} = 8 \cdot x \cdot e^{-0,25 \cdot x^2} = f(x)\\ \end{array}$
Da der oben aufgestellte Zusammenhang für $F'$ und $f$ gilt, hast du hier gezeigt, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
(2)
$\blacktriangleright$Erklären, dass Gerade $h$ und der Graph von $f$ eine Fläche einschließen
Nun hast du die Ursprungsgerade $h$ mit der Gleichung $h(x) = 4 \cdot x,\;x \in R$ gegeben. Hier sollst du nun dazu erklären, dass die Gerade $h$ und der Graph der Funktion $f$ im ersten Quadranten eine Fläche einschließen.
Willst du dies erklären, so musst du hier zunächst erkennen, dass $h$ der Geraden $g_m$ mit $m = 4$ entspricht. Da $m< 8$ heißt das, dass die Gerade $h$ und der Graph von $f$ sich im Ursprung und in einem vom Ursprung verschiedenen Punkt $P$ schneiden.
Gerade $h$ und der Graph von $f$ schneiden sich also in den zwei verschiedenen Punkten $P$ und $O$ im 1. Quadranten und schließen so zwangsläufig eine Fläche in diesem Quadranten ein.
$\blacktriangleright$Berechnen des Inhalts der eingeschlossenen Fläche
Hier sollst du weiterhin den Inhalt der von $h$ und dem Graphen von $f$ eingeschlossenen Fläche berechnen.
Willst du den Flächeninhalt $I$ dieser Fläche berechnen, so musst du zunächst die Schnittstellen von $f$ und $h$ berechnen. Diese dienen dann als Integrationsgrenzen. Verwende dazu die Ergebnisse aus b.
Hast du die Integrationsgrenzen berechnet, so integrierst du innerhalb dieser Grenzen über die Differenz von $f(x)$ und $h(x)$. Da dir nicht bekannt ist, welcher Graph oberhalb des anderen verläuft, bildest du hier den Betrag des Integrals.
1. Schritt: Bestimmen der Integrationsgrenzen
Du weißt, die Gerade $h$ und der Graph von $f$ schneiden sich im Ursprung und im Punkt $P$.
Oben hast du folgende, von $m$ abhängige, Koordinaten für $P_m$ bestimmt:
$P_m\left(2 \cdot\sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)} \mid 2 \cdot m \cdot \sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)}\right)$.
Setze in diese nun $m = 4$ ein, um die Integrationsgrenzen zu bestimmen:
$P_4\left(2 \cdot\sqrt{\ln\left(\frac{8}{4}\right)} \mid 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{\ln\left(\frac{8}{4}\right)}\right) \Leftrightarrow P_4\left(2 \cdot\sqrt{\ln\left(2\right)} \mid 8 \cdot \sqrt{\ln\left(2\right)}\right)$
Die Integrationsgrenzen sind also: $x_u = 0$ und $x_o = 2 \cdot\sqrt{\ln\left(2\right)}$.
2. Schritt: Berechnen des Flächeninhalts
Von oben weißt du, dass $F$ einer Stammfunktion von $f$ entspricht. Verwende dies beim Berechnen des Integrals.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} I=&\left|\displaystyle\int_{x_u}^{x_o} \left(f(x) - h(x) \right) \mathrm dx \right| = \left|\left[F(x) - 2 \cdot x^2\right]_0^{2\cdot \sqrt{\ln(2)}}\right| = \left|\left[-16 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot x^2} - 2 \cdot x^2\right]_0^{2 \cdot \sqrt{\ln(2)}}\right|\\ =&\left|\left(-16 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot (2 \cdot \sqrt{\ln(2)})^2} - 2 \cdot (2 \cdot \sqrt{\ln(2)})^2\right) - \left(-16 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot 0} - 2 \cdot 0^2\right)\right|\\ =&\left|\left(-16 \cdot \mathrm e^{-1 \cdot \ln(2)} - 8 \cdot \ln(2)\right) - \left(-16 \cdot 1 \right)\right| = \left|\left(-16 \cdot \mathrm e^{\ln(\frac{1}{2})} - 8 \cdot \ln(2)\right) - \left(-16\right)\right|\\ =&\left|-16 \cdot \frac{1}{2} - 8 \cdot \ln(2) + 16\right|\\ =&\left|8 - 8 \cdot \ln(2)\right| \approx 2,455\\ \end{array}$
Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt also $I = 8 - 8 \cdot \ln(2)\,\text{FE} \approx 2,455\,\text{FE}$.
d) (1)
$\blacktriangleright$Zusammenhang für den Flächeninhalt des Dreiecks zeigen
Nun betrachtet man den Graphen der Funktion $f$, sowie die Punkte $O$ und $P$ von oben. Der Punkt $Q$ durch die senkrechte Projektion des Punktes $P$ auf die $x$-Achse.
Deine Aufgabe ist es nun, zu zeigen, dass für den Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ gilt:
$A(m) = 2 \cdot m \cdot \ln(\frac{8}{m})$.
Skizziere zunächst das Dreieck \(OQP\) für einen beispielhaften Wert für \(m\) in das gegebene Koordinatensystem.
Nimm dazu beispielsweise $m = 4$ an. Die Koordinaten von $P$ und $Q$ ergeben sich dann zu:
$P\left(2 \cdot\sqrt{\ln\left(2\right)} \mid 8 \cdot \sqrt{\ln\left(2\right)}\right)\;\text{und}\;Q\left(2 \cdot\sqrt{\ln\left(2\right)} \mid 0\right)$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Der Flächeninhalt $A$ eines allgemeinen Dreiecks berechnet sich über folgende Formel:
$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ mit:
  • $g$: Grundseite des Dreiecks
  • $h$: Höhe des Dreiecks
Bevor du also den Zusammenhang zeigen kannst, musst du Höhe und Grundseite des Dreiecks $OQP$ festlegen.
Die Strecke $\overline{OQ}$ ist die Grundseite und die Höhe ist durch die $y$-Koordinate von $P$ gegeben.
Es gilt:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A(m)=&\frac{1}{2} \cdot \overline{QP} \cdot y_p\\ =&\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot\sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)} \cdot 2 \cdot m \cdot \sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)}\\ =&\sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)} \cdot 2 \cdot m \cdot \sqrt{\ln\left(\frac{8}{m}\right)}\\ =&2 \cdot m \cdot \ln\left(\frac{8}{m}\right)\\ \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass sich der Flächeninhalt für $0 < m < 8$ über $A(m) = 2 \cdot m \cdot \ln\left(\frac{8}{m}\right)$ ergibt.
(2)
$\blacktriangleright$Bestimmen des $m$, für das der Flächeninhalt maximal wird
Zuletzt sollst du untersuchen, für welche $m$ der Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ maximal wird.
Willst du diese $m$ bestimmen, so musst du $A$ als Funktion der Steigung $m$ ansehen. Dann geht es nämlich darum, dass Maximum der Funktion $A$ zu bestimmen.
Nimmt die Funktion $A$ an einer bestimmten Stelle $m_{max}$ einen maximalen Flächeninhalt an, so sind folgende Bedingungen an einer solchen Stelle erfüllt:
  • Notwendige Bedingung: $A'(m_{max}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $A''(m_{max}) < 0$
Willst du also die $m$ bestimmen, für welche der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ$ maximal wird, so musst du zunächst die erste und zweite Ableitung von $A$ bestimmen. Hast du diese bestimmt, so ermittelst du die potentiellen Extremstellen von $A$ über das Berechnen der Nullstellen von $A$. Überprüfe dann an den ermittelten Stellen die hinreichende Bedingung. Beachte dabei, dass $0 < m < 8$ auch hier gilt.
Beachte hier weiterhin, dass $m$ auf einem beschränkten Intervall betrachtet wird. Es muss also für jegliches bestimmtes Maximum überprüft werden, ob dieses ein globales Maximum darstellt.
1. Schritt: Bestimmen der benötigten Ableitungsfunktionen
Bestimme die gesuchten Ableitungsfunktionen mit Hilfe der Ketten- und Produktregel:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A(m)=&2 \cdot m \cdot \ln\left(\frac{8}{m}\right) = 2 \cdot m \cdot \left(\ln\left(8\right) - \ln\left(m\right)\right)\\ A'(m)=&2 \cdot \ln\left(\frac{8}{m}\right) + 2 \cdot m \cdot \left(-\frac{1}{m}\right) = 2 \cdot \ln\left(\frac{8}{m}\right) - 2 \\ A''(m)=&-2 \cdot \frac{1}{m} = -\frac{2}{m}\\ \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der potentiellen Extremstellen
Die potentiellen Extremstellen bestimmst du nun über ein Bestimmen der Nullstellen von $A'$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A'(m)=&0\\ 0=&2 \cdot \ln\left(\frac{8}{m}\right) - 2&\mid + 2\\ 2=&2 \cdot \ln\left(\frac{8}{m}\right) - 2&\mid : 2\\ 1=&\ln\left(\frac{8}{m}\right)& \mid \mathrm e^{x}\\ \mathrm e^1=&\frac{8}{m}& \mid \cdot m\\ m \cdot \mathrm e^1=&8& \mid :\mathrm e^1 \\ m=&\frac{8}{\mathrm e^{1}} \\ \end{array}$
3. Schritt: Überprüfen der hinreichenden Bedingung
Setze nun $m_{max} = \frac{8}{\mathrm e^{1}}$ in $A''$ ein, um die hinreichende Bedingung an der Extremstelle zu überprüfen:
$A''(\frac{8}{\mathrm e}) = - 2 \cdot \frac{1}{\frac{8}{\mathrm e}} = -2 \cdot \frac{\mathrm e}{8} < 0$
Bei $m_{max} = \frac{8}{\mathrm e}$ liegt also offensichtlich ein Maximum vor. Da $A$ nur für $0 < m < 8$ betrachtet wird, muss noch überprüft werden, ob es sich hier um ein globales Maximum handelt. Betrachte dazu die Steigung von $A$ vor und nach der Extremstelle:
Für $m < \frac{8}{\mathrm e}$:
$A'(m) = 2 \cdot \left(\ln\left(\frac{8}{m}\right) -1\right)$: Nimmt $m$ einen Wert kleiner $\frac{8}{\mathrm e}$ an, so wird der Ausdruck in der Klammer positiv, weshalb $A$ in diesem Bereich streng monoton steigend ist.
Für $m > \frac{8}{\mathrm e}$:
$A'(m) = 2 \cdot \left(\ln\left(\frac{8}{m}\right) -1\right)$: Nimmt $m$ einen Wert größer $\frac{8}{\mathrm e}$ an, so wird der Ausdruck in der negativ, weshalb $A$ in diesem Bereich streng monoton fallend ist.
Das bei $m = \frac{8}{\mathrm e}$ vorliegende Maximum ist also global. Das Dreieck nimmt für $m = \frac{8}{\mathrm e}$ seinen maximalen Flächeninhalt an.
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