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Aufgabe 2

Aufgaben
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In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließen zwei Bäche. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen 1 Zuflusssraten aus den beiden Bächen durch Funktionen $f_a$ für den Bach 1 und $g_a$ für den Bach 2 und die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen durch eine Funktion $h_a$ für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Gegeben sind für $a>0$ zunächst die Funktionsgleichungen
$ f_{a}(t)=\frac{1}{4}t^{3}-3a\cdot t^{2} + 9a^{2} \cdot t + 340, t \in \mathbb{R}, \text{und}$
$ h_{a}(t)=\frac{1}{2}t^{3}-7a\cdot t^{2} + 24a^{2} \cdot t + 740, t \in \mathbb{R}. $
Dabei fasst man $t$ als Maßzahl zur Einheit 1 h und $f_{a}(t)$, $g_{a}(t)$ sowie $h_{a}(t)$ als Maßzahlen zur Einheit 1 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt $t=0$ und endet zum Zeitpunkt $t=6a$. Die Graphen von $f_4$, $g_4$ und $h_4$ sind in der Abbildung dargestellt.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
1Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit nur der Begriff Zuflussrate verwendet; darunter ist stets die momentane Zuflussrate zu verstehen
a)
  1. Berechnen Sie die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums.
  2. Zeigen Sie, dass für die Funktion $g_a$, die die Zuflussrate aus Bach 2 beschreibt, gilt:\vspace{.2cm}
    $g_{a}(t)=\frac{1}{4}t^{3}-4a\cdot t^{2} + 15a^{2}\cdot t + 400$.
  3. Begründen Sie, dass unabhängig vom Parameter $a(a>0)$ die Zuflussrate aus Bach 2 für alle $t\in[0;6a]$ größer ist als die Zuflussrate aus Bach 1.
  4. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $a$ den Zeitpunkt $t_{m}\in[0;6a]$, zu dem die Gesamtzuflussrate ihr Maximum annimmt.
(3P + 2P + 8P + 8P)
b)
  1. Bestimmen Sie die Wendestelle der Funktion $h_a$.
  2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt des Beobachtungszeitraums, zu dem sich die Gesamtzulaufrate am stärksten ändert.
  3. Geben Sie nun die Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Sachzusammenhang an.
(6P + 6P + 3P)
c)
Im Folgenden sei $a=4:h_{4}(t)=\frac{1}{2}t^{3}-28t^{2}+384t+740, t\in[0;24].$
Zum Zeitpunkt $t=0$ kann das Staubecken noch 20.000m$^3$ Wasser aufnehmen.
  1. Entscheiden Sie, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus den beiden Bächen während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
  2. Die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{b}\mathrm h_{4}(t) dt = 20.000$ hat die (positive) Lösung $b=10,65.$
    Geben Sie die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang an.
  3. Um ein Überlaufen des Staubeckens zu verhindern, wird zum Zeitpunkt $t=10$ ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet. Durch diesen fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von $2.000\, \frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Staubecken ab. Der Notablauf bleibt bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet. Ohne Nachweis darf verwendet werden, dass die Gesamtzuflussrate für $10\leq t < 14$ größer und für $14 < t\leq 24$ kleiner als $2.000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ ist (vgl. Abbildung auf Seite 4).
    Untersuchen Sie, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft.
(4P + 2P + 8P)
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a) (1)
$\blacktriangleright$ Berechnen der Gesamtzuflussrate zu Beginn und am Ende der Beobachtung
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass in ein Staubecken zwei Bäche hineinfließen. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten aus den beiden Bächen durch die Funktion $f_a$ für Bach 1 und $g_a$ für Bach 2 für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen wird durch die Funktion $h_a$ beschrieben.
Die Funktionen $f_a$ und $h_a$ sind für $a > 0$ und $t \in \mathbb R$ wie folgt angegeben:
  • $f_a(t) = \frac{1}{4} \cdot t^3 - 3 \cdot a \cdot t^2 + 9 \cdot a^2 \cdot t + 340$
  • $h_a(t) = \frac{1}{2} \cdot t^3 - 7 \cdot a \cdot t^2 + 24 \cdot a^2 \cdot t + 740$
$t$ ist dabei in Stunden (h) angegeben. Die Funktionswerte $f_a(t)$, $g_a(t)$ und $h_a(t)$ beschreiben die Zuflussrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Der Beobachtungszeitraum beginnt beim Zeitpunkt $t = 0$ und endet zum Zeitpunkt $t = 6 \cdot a$.
Deine Aufgabe ist es nun, die Gesamtzuflussrate zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums zu bestimmen. Zu betrachten ist hier also Funktion $h_a$, da diese die Gesamtzuflussrate in das Staubecken beschreibt. Von oben weißt du, dass die Beobachtung zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ startet und am Zeitpunkt $t_2 = 6 \cdot a$ endet.
Willst du diese Aufgabe lösen, so berechnest du die Funktionswerte von $h_a$ an diesen Zeitpunkten.
(2)
$\blacktriangleright$Zeigen, dass $g_a$ durch den Funktionsterm $g_a(t)$ dargestellt werden kann
Nun sollst du zeigen, dass der Funktionsterm der Funktion $g_a$, die die Zuflussrate von Bach 2 in das Staubecken repräsentiert, durch den folgenden Funktionsterm beschrieben werden kann:
$g_a(t) = \frac{1}{4} \cdot t^3 - 4 \cdot a \cdot t^2 + 15 \cdot a^2 \cdot t + 400$
Willst du diesen Sachverhalt zeigen, so musst du hier Funktion $h_a$ betrachten. Diese beschreibt die Gesamtzuflussrate in das Staubecken. Da außer Bach 1, beschrieben durch $f_a$ und Bach 2, beschrieben durch $g_a$, kein weiterer Fluss in das Staubecken fließt, ergibt sich die Gesamtzuflussrate aus der Summe der Zuflussraten von Bach 1 und Bach 2.
(3)
$\blacktriangleright$Begründen, dass Zuflussrate aus Bach 2 größer ist als die von Bach 1
Nun ist es deine Aufgabe, zu begründen, dass unabhängig von Parameter $a$, die Zuflussrate aus Bach 2 für alle $t \in \left[0;6a\right]$ größer ist als die Zuflussrate aus Bach 1. Willst du zeigen, dass die Zuflussrate von Bach 2 im gesamten Beobachtungszeitraum größer als die Zuflussrate von Bach 1 ist, so musst du zeigen, dass der Graph von $g_a$ innerhalb des Beobachtungszeitraums oberhalb des Graphen von $f_a$ verläuft.
Willst du dies begründen, so betrachtest du hier die Differenz zwischen dem Graphen von $g_a$ und $f_a$. Diese Differenz kann durch die Differenzfunktion $d$ beschrieben werden, welche sich wie folgt berechnen lässt:
$d_a(t) = g_a(t) - f_a(t)$
Willst du zeigen, dass die Zuflussrate aus Bach 2 immer größer ist als die Zuflussrate aus Bach 1, so zeigst du hier, dass die Differenz zwischen diesen Funktionen unabhängig von $a$ immer größer gleich Null ist. Bezogen auf $d_a$ und den Beobachtungszeitraum gilt also:
$d_a(t) \geq 0\;\text{für}\;t \in \left[0;6a\right]$
Bilde also zunächst die Funktion $d_a$ und zeige das Folgendes für diese gilt:
  • Zeige, dass $d_a$ an den Randstellen des betrachteten Intervalls Werte größer Null annimmt.
  • Zeige, der Graph von $d_a$ zwischen den Randstellen oberhalb der $x$-Achse verläuft.
(4)
$\blacktriangleright$Bestimmen des Zeitpunkts, an dem die Gesamtzuflussrate maximal ist
Zuletzt sollst du hier jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum bestimmen, bei dem die Gesamtzuflussrate ihr Maximum annimmt. Du untersuchst also $h_a$ auf Maximalstellen.
Du weißt, an einer bestimmten Stelle $t_M$ liegt genau dann ein Maximum vor, wenn folgende Bedingungen an dieser erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $h_a'(t_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $h_a''(t_M) < 0$
Bilde also zunächst die ersten beiden Ableitungen von $h_a$ und ermittle über Auswerten der oben gegebenen Bedingungen die gesuchte Maximalstelle im Intervall.
Da hier aber ein abgeschlossenes Intervall angegeben ist, musst du hier die Randstellen von $t_1 = 0$ und $t_2 = 6 \cdot a$ untersuchen, um das globale Maximum im gegebenen Intervall zu ermitteln. Vergleiche dazu die Funktionswerte von $h_a$ an den Randstellen und beim ermittelten Maximum.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  • Bestimme die benötigten Ableitungsfunktionen $h_a'$ und $h_a''$.
  • Bestimme über die notwendige und hinreichende Bedingung die Maximalstellen von $h_a$.
  • Untersuche die Funktionswerte an den Rand- und Maximalstellen.
b) (1)
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wendestelle von $h_a$ Hier ist es deine Aufgabe die Wendestelle der Funktion $h_a$ zu bestimmen. Da eine Wendestelle einem Extremum der ersten Ableitung der betrachteten Funktion entspricht, müssen hier die ersten drei Ableitungen von $h_a$ betrachtet werden.
Beachte dabei, dass du die ersten beiden Ableitungen $h_a'$ und $h_a''$ bereits im vorhergegangenen Aufgabenteil bestimmt hast. Liegt dann an einer bestimmten Stelle $t_W$ von $h_a$ eine Wendestelle vor, so sind an dieser Stelle folgende Bedingungen erfüllt:
  • Notwendige Bedingung: $h_a''(t_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $h_a'''(t_W) \neq 0$
Bestimme hier also zunächst die benötigten Ableitungsfunktionen, um dann mit Hilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingung die Wendestelle von $h_a$ zu bestimmen.
(2) + (3)
$\blacktriangleright$Zeitpunkt an dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert
Nun sollst du jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraums bestimmen, zu dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert. Der Zeitpunkt, an dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert ist ein Punkt mit extremaler Steigung.
Rein intuitiv würde man sagen, dieser Punkt ist schon gefunden und entspricht dem Wendepunkt der Funktion $h_a$. Da $h_a$ hier jedoch auf einem abgeschlossenen Intervall untersucht wird, müssen hier, wie auch schon zu vor, die Randstellen des Intervalls untersucht werden.
Willst du also die den Zeitpunkt bestimmen, an dem sich die Gesamtzuflussrate im Zeitraum am stärksten ändert, so gehe hier so vor:
  • Bestimme die Steigung im Wendepunkt
  • Bestimme die Steigung an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 6 \cdot a$
  • Vergleiche die Steigungen und bestimme das globale Extremum der Steigung. Diese liegt dann in dem Punkt, mit dem betragsmäßig größten Steigung
c) (1)
$\blacktriangleright$Entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aufnehmen kann
Nun wird $h_4$ für $a = 4$ mit
$h_4(t) = \frac{1}{2} \cdot t^3 - 28 \cdot t^2 + 384 \cdot t + 740;\;t \in \left[0;24\right]$
betrachtet. Weiterhin weißt du, dass das Staubecken zum Zeitpunkt $t = 0$ noch 20.000\,m$^3$ Wasser aufnehmen kann. Deine Aufgabe ist es nun, zu entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus den beiden Bächen während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
Da Funktion $h_a$ die Gesamtzuflussrate beschreibt, repräsentiert das Integral über diese Funktion, das Volumen des Wassers, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt. Willst du hier bestimmen, welches Volumen das Wasser besitzt, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt, so musst du hier über $h_a$ über den gesamten Beobachtungszeitraum ($t \in \left[0;24\right]$) integrieren.
Dabei gibt es zwei Lösungswege. Die Lösung von Hand und die Lösung mit deinem GTR. Beachte beim Lösen von Hand, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ noch kein Wasser in das Staubecken geflossen ist und die berechnete Stammfunktion dementsprechend anpassen musst.
(2)
$\blacktriangleright$Angeben der Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang
In dieser Teilaufgabe hast du die die Gleichung
$\displaystyle\int_{0}^{b}\left(h_4(t)\right)\mathrm dt = 20.000$
mit der positiven Lösung $b = 10,65$ gegeben. Deine Aufgabe ist es dabei, die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang anzugeben.
Mach dir dazu zunächst klar, was die Gleichung ausdrückt:
  • Es wird wieder über die Funktion $h_4$ integriert.
  • Die untere Grenze entspricht dem Anfang des Beobachtungszeitraums.
  • Als obere Grenze des Integrals ergibt sich $b = 10,65$.
  • Die rechte Seite der Gleichung repräsentiert das Volumen, dass das Staubecken noch
  • aufnehmen kann.
(3)
$\blacktriangleright$Untersuchen, ob das Staubecken im Beobachtungszeitraum überläuft
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass zum Zeitpunkt $t = 10$ ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet wird. Durch diesen Notablauf fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Becken ab. Der Notablauf bleibt dabei bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet.
Ohne Nachweis darf dabei verwendet werden, dass die Gesamtzuflussrate für $10 \leq t \leq 14$ größer und für $14 < t \leq 24$ kleiner als 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ ist.
Du sollst nun untersuchen, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft.
Willst du untersuchen, ob das Staubecken überläuft, so benötigst du zunächst eine Funktion, welche dir das Volumen des Wassers im Staubecken nach dem Zeitpunkt $t = 10$ angibt. Verwende dazu wie oben unter anderem die Stammfunktion $H_4$.
Von oben und dem gegebenen Schaubild weißt du, dass die Funktion $h_4$ im Intervall
$10 \leq t \leq 14$ oberhalb von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ und im Intervall $14 < t \leq 24$ unterhalb von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Subtrahierst du nun in diesem Bereich die 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ pro Stunde, so besitzt die veränderte Funktion $h_4^{\ast}$ in diesem Bereich eine Nullstelle, mit einem Vorzeichenwechsel von $+$ zu $-$. Die zu $h_4^{\ast}$ zugehörige Stammfunktion besitzt also in diesem Intervall ein Maximum.
Die für $t \geq 10$ zu betrachtende Funktion $h_4^{\ast}$ ergibt sich nach der Subtraktion von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ zu:
$h_4^{\ast}(t) = \frac{1}{2} \cdot t^3 - 28 \cdot t^2 + 384 \cdot t + 740 - 2.000$ für $10 \leq t \leq 24$
Bestimme mit dieser Funktion die Maximalstelle von $H_4^{\ast}$. Liegt das Wasservolumen an der bestimmten Maximalstelle dann unter 20.000 m$^3$, dann läuft das Staubecken nicht über.
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  • Bestimme die Maximalstelle von $H_4$ über die notwendige und hinreichende Bedingung für Maxima.
  • Berechne das Wasservolumen an der Maximalstelle.
  • Vergleiche berechneten mit gegebenen Wert.
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a) (1)
$\blacktriangleright$ Berechnen der Gesamtzuflussrate zu Beginn und am Ende der Beobachtung
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass in ein Staubecken zwei Bäche hineinfließen. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten aus den beiden Bächen durch die Funktion $f_a$ für Bach 1 und $g_a$ für Bach 2 für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen wird durch die Funktion $h_a$ beschrieben.
Die Funktionen $f_a$ und $h_a$ sind für $a > 0$ und $t \in \mathbb R$ wie folgt angegeben:
  • $f_a(t) = \frac{1}{4} \cdot t^3 - 3 \cdot a \cdot t^2 + 9 \cdot a^2 \cdot t + 340$
  • $h_a(t) = \frac{1}{2} \cdot t^3 - 7 \cdot a \cdot t^2 + 24 \cdot a^2 \cdot t + 740$
$t$ ist dabei in Stunden (h) angegeben. Die Funktionswerte $f_a(t)$, $g_a(t)$ und $h_a(t)$ beschreiben die Zuflussrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Der Beobachtungszeitraum beginnt beim Zeitpunkt $t = 0$ und endet zum Zeitpunkt $t = 6 \cdot a$.
Deine Aufgabe ist es nun, die Gesamtzuflussrate zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums zu bestimmen. Zu betrachten ist hier also Funktion $h_a$, da diese die Gesamtzuflussrate in das Staubecken beschreibt. Von oben weißt du, dass die Beobachtung zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ startet und am Zeitpunkt $t_2 = 6 \cdot a$ endet.
Willst du diese Aufgabe lösen, so berechnest du die Funktionswerte von $h_a$ an diesen Zeitpunkten.
Gesamtzuflussrate am Beobachtungsbeginn $t_1 = 0$:
$h_a(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^3 - 7 \cdot a \cdot 0^2 + 24 \cdot a^2 \cdot 0 + 740 = 740$.
Gesamtzuflussrate am Beobachtungsende $t_2 = 6 \cdot a$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a(6 \cdot a)=&\frac{1}{2} \cdot (6 \cdot a)^3 - 7 \cdot a \cdot (6 \cdot a)^2 + 24 \cdot a^2 \cdot (6 \cdot a) + 740\\ =&\frac{1}{2} \cdot 216 \cdot a^3 - 7 \cdot a \cdot 36 \cdot a^2 + 144 \cdot a^3 + 740\\ =&108 \cdot a^3 - 252 \cdot a^3 + 144 \cdot a^2 + 740\\ =&-144 \cdot a^3 + 144 \cdot a^3 + 740\\ =&740\\ \end{array}$
Die Gesamtzuflussrate ist zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums $740\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.
(2)
$\blacktriangleright$Zeigen, dass $g_a$ durch den Funktionsterm $g_a(t)$ dargestellt werden kann
Nun sollst du zeigen, dass der Funktionsterm der Funktion $g_a$, die die Zuflussrate von Bach 2 in das Staubecken repräsentiert, durch den folgenden Funktionsterm beschrieben werden kann:
$g_a(t) = \frac{1}{4} \cdot t^3 - 4 \cdot a \cdot t^2 + 15 \cdot a^2 \cdot t + 400$
Willst du diesen Sachverhalt zeigen, so musst du hier Funktion $h_a$ betrachten. Diese beschreibt die Gesamtzuflussrate in das Staubecken. Da außer Bach 1, beschrieben durch $f_a$ und Bach 2, beschrieben durch $g_a$, kein weiterer Fluss in das Staubecken fließt, ergibt sich die Gesamtzuflussrate aus der Summe der Zuflussraten von Bach 1 und Bach 2.
Für den Funktionsterm von $h_a$ gilt also:
$h_a(t) = f_a(t) + g_a(t)$
Stelle nach $g_a(t)$ um und setze ein, um den Sachverhalt hier zu zeigen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a(t)=&f_a(t) + g_a(t)&\mid\; - f_a(t)\\ g_a(t)=&h_a(t) - f_a(t)\\ =&\left(\frac{1}{2} \cdot t^3 - 7 \cdot a \cdot t^2 + 24 \cdot a^2 \cdot t + 740\right) - \left(\frac{1}{4} \cdot t^3 - 3 \cdot a \cdot t^2 + 9 \cdot a^2 \cdot t + 340\right)\\ =&\frac{1}{2} \cdot t^3 - 7 \cdot a \cdot t^2 + 24 \cdot a^2 \cdot t + 740 - \frac{1}{4} \cdot t^3 + 3 \cdot a \cdot t^2 - 9 \cdot a^2 \cdot t - 340\\ =&\frac{1}{4} \cdot t^3 - 4 \cdot a \cdot t^2 + 15 \cdot a^2 \cdot t + 400\\ \end{array}$
Da der berechnete und der gegebene Funktionsterm übereinstimmen, hast du die Aufgabe hier richtig gelöst.
(3)
$\blacktriangleright$Begründen, dass Zuflussrate aus Bach 2 größer ist als die von Bach 1
Nun ist es deine Aufgabe, zu begründen, dass unabhängig von Parameter $a$, die Zuflussrate aus Bach 2 für alle $t \in \left[0;6a\right]$ größer ist als die Zuflussrate aus Bach 1. Willst du zeigen, dass die Zuflussrate von Bach 2 im gesamten Beobachtungszeitraum größer als die Zuflussrate von Bach 1 ist, so musst du zeigen, dass der Graph von $g_a$ innerhalb des Beobachtungszeitraums oberhalb des Graphen von $f_a$ verläuft.
Willst du dies begründen, so betrachtest du hier die Differenz zwischen dem Graphen von $g_a$ und $f_a$. Diese Differenz kann durch die Differenzfunktion $d$ beschrieben werden, welche sich wie folgt berechnen lässt:
$d_a(t) = g_a(t) - f_a(t)$
Willst du zeigen, dass die Zuflussrate aus Bach 2 immer größer ist als die Zuflussrate aus Bach 1, so zeigst du hier, dass die Differenz zwischen diesen Funktionen unabhängig von $a$ immer größer gleich Null ist. Bezogen auf $d_a$ und den Beobachtungszeitraum gilt also:
$d_a(t) \geq 0\;\text{für}\;t \in \left[0;6a\right]$
Bilde also zunächst die Funktion $d_a$ und zeige das Folgendes für diese gilt:
  • Zeige, dass $d_a$ an den Randstellen des betrachteten Intervalls Werte größer Null annimmt.
  • Zeige, der Graph von $d_a$ zwischen den Randstellen oberhalb der $x$-Achse verläuft.
1. Schritt: Bilden von $d_a(t)$
Berechne die oben angegebene Differenz, um $d_a(t)$ zu erhalten:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} d_a(t)=&g_a(t) - f_a(t)\\ =&\frac{1}{4} \cdot t^3 - 4 \cdot a \cdot t^2 + 15 \cdot a^2 \cdot t + 400 - \left(\frac{1}{4} \cdot t^3 - 3 \cdot a \cdot t^2 + 9 \cdot a^2 \cdot t + 340\right)\\ =&\frac{1}{4} \cdot t^3 - 4 \cdot a \cdot t^2 + 15 \cdot a^2 \cdot t + 400 - \frac{1}{4} \cdot t^3 + 3 \cdot a \cdot t^2 - 9 \cdot a^2 \cdot t - 340\\ =& - a \cdot t^2 + 6 \cdot a^2 \cdot t +60\\ \end{array}$
2. Schritt: Untersuchen der Randstellen des Intervalls
Zeige nun, durch Berechnen der Funktionswerte von $d_a$ an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 6 \cdot a$ des Intervalls, dass $d_a$ unabhängig von $a$ an diesen Stellen einen Wert größer Null annimmt:
$d_a(t_1 = 0) = - a \cdot 0^2 + 6 \cdot a^2 \cdot 0 +60 = 60$
$d_a(t_2 = 6 \cdot a) = - a \cdot (6 \cdot a)^2 + 6 \cdot a^2 \cdot 6 \cdot a +60 = -36 \cdot a^3 + 36\cdot a^3 + 60 = 60$
So hast du also gezeigt, dass Funktion $g_a$ an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 6 \cdot a$ des Intervalls unabhängig von $a$, oberhalb der Funktion $f_a$ verläuft.
3. Schritt: Untersuchen des Verhaltens des Graphen von $d_a$ im Intervall
Untersuche nun das Verhalten des Graphen von $d_a$ innerhalb der Intervallsgrenzen. Um zu zeigen, dass $g_a$ im gesamten Intervall oberhalb von $f_a$ verläuft, musst du hier zeigen, dass $d_a$ innerhalb des Intervalls nur Werte größer Null annimmt.
Betrachte dazu den Funktionsterm von $d_a$:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} d_a(t)=& - a \cdot t^2 + 6 \cdot a^2 \cdot t +60\\ \end{array}$
Da $a > 0$ gilt, handelt es sich hier um eine nach unten geöffnete Parabel. Da diese an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 6\cdot a$ unabhängig von $a$ Werte größer Null annimmt, muss diese im Intervall $\left[0;6 \cdot a\right]$ oberhalb der $x$-Achse verlaufen. Da die Differenz zwischen $g_a$ und $f_a$ im betrachteten Intervall unabhängig von $a$ größer Null ist, hast du gezeigt, dass die Zuflussrate von Bach 2 im gesamt betrachteten Zeitraum größer als die Zuflussrate von Bach 1 ist.
(4)
$\blacktriangleright$Bestimmen des Zeitpunkts, an dem die Gesamtzuflussrate maximal ist
Zuletzt sollst du hier jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum bestimmen, bei dem die Gesamtzuflussrate ihr Maximum annimmt. Du untersuchst also $h_a$ auf Maximalstellen.
Du weißt, an einer bestimmten Stelle $t_M$ liegt genau dann ein Maximum vor, wenn folgende Bedingungen an dieser erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $h_a'(t_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $h_a''(t_M) < 0$
Bilde also zunächst die ersten beiden Ableitungen von $h_a$ und ermittle über Auswerten der oben gegebenen Bedingungen die gesuchte Maximalstelle im Intervall.
Da hier aber ein abgeschlossenes Intervall angegeben ist, musst du hier die Randstellen von $t_1 = 0$ und $t_2 = 6 \cdot a$ untersuchen, um das globale Maximum im gegebenen Intervall zu ermitteln. Vergleiche dazu die Funktionswerte von $h_a$ an den Randstellen und beim ermittelten Maximum.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  • Bestimme die benötigten Ableitungsfunktionen $h_a'$ und $h_a''$.
  • Bestimme über die notwendige und hinreichende Bedingung die Maximalstellen von $h_a$.
  • Untersuche die Funktionswerte an den Rand- und Maximalstellen.
1. Schritt: Bestimmen der Ableitungsfunktionen
Für $h_a'$ und $h_a''$ ergibt sich hier:
$h_a'(t) = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot t^2 - 2 \cdot 7 \cdot a \cdot t + 24 \cdot a^2 = \frac{3}{2} \cdot t^2 - 14 \cdot a \cdot t +24 \cdot a^2 $
$h_a''(t) =2 \cdot \frac{3}{2} \cdot t - 14 \cdot a = 3 \cdot t - 14 \cdot a$
2. Schritt: Maximalstellen von $h_a$ bestimmen
Bestimme zunächst die Nullstellen von $h_a'$, um die potentiellen Extremstellen von $h_a$ in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a'(t)=&0\\ 0=&\frac{3}{2} \cdot t^2 - 14 \cdot a \cdot t +24 \cdot a^2\\ \end{array}$
Hier liegt eine quadratische Gleichung löse diese mit Hilfe der $p$-$q$- oder der Mitternachtsformel.
$p$-$q$-Formel:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0=&\frac{3}{2} \cdot t^2 - 14 \cdot a \cdot t +24 \cdot a^2&\mid\; \cdot \frac{2}{3}\\ 0=&t^2 - \frac{28}{3} \cdot a \cdot t +16 \cdot a^2\\ t_{1,2}=&-\left(-\frac{28}{6} \cdot a\right) \pm \sqrt{\left(\frac{28}{6} \cdot a\right)^2 - 16 \cdot a^2}\\ =&\frac{14}{3} \cdot a \pm \sqrt{\frac{784}{36} \cdot a^2 - \frac{576}{36} \cdot a^2}\\ =&\frac{14}{3}\cdot a \pm \sqrt{\frac{208}{36} \cdot a^2}&208 = 13 \cdot 16\\ =&\frac{14}{3}\cdot a \pm \frac{a}{6} \cdot 4 \sqrt{13}\\ =&\frac{14}{3}\cdot a \pm \frac{2 \cdot a}{3} \sqrt{13}\\ t_1=&\frac{14}{3}\cdot a + \frac{2 \cdot a}{3} \sqrt{13} = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 + \sqrt{13}\right)\\ t_2=&\frac{14}{3}\cdot a - \frac{2 \cdot a}{3} \sqrt{13} = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\\ \end{array}$
Mitternachtsformel:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0=&\frac{3}{2} \cdot t^2 - 14 \cdot a \cdot t +24 \cdot a^2\\ t_{1,2}=&\dfrac{-\left(-14 \cdot a\right) \pm \sqrt{\left(14\cdot a\right)^2 - 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot 24 \cdot a^2}}{2 \cdot \frac{3}{2}}\\ =&\dfrac{14 \cdot a \pm \sqrt{196 \cdot a^2 - 144 \cdot a^2}}{\frac{6}{2}}\\ =&\dfrac{14 \cdot a \pm \sqrt{52 \cdot a^2}}{3}&13 \cdot 4 = 52\\ =&\dfrac{14 \cdot a \pm 2 \cdot a \cdot \sqrt{13}}{3}\\ =&\dfrac{14 \cdot a \pm a \cdot \sqrt{13}}{3}\\ t_1=&\dfrac{14 \cdot a + 2 \cdot a \cdot \sqrt{13}}{3}=\frac{14}{3}\cdot a + \frac{2 \cdot a}{3} \sqrt{13} = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 + \sqrt{13}\right)\\ t_2=&\dfrac{14 \cdot a - 2 \cdot a \cdot \sqrt{13}}{3}=\frac{14}{3}\cdot a - \frac{2 \cdot a}{3} \sqrt{13} = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\\ \end{array}$
Als potentielle Extremstellen ergeben sich also $t_1 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 + \sqrt{13}\right)$ und $t_2 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)$. Da für $t_1$
$t_1 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 + \sqrt{13}\right) \approx 7,0704 \cdot a < 6 \cdot a$
gilt und diese Extremstelle damit nicht mehr im betrachteten Intervall liegt, wird hier im Folgenden nur noch $t_2$ betrachtet.
Überprüfe nun die hinreichende Bedingung bei $t_2$, um festzustellen, ob an dieser Stelle eine Maximalstelle vorliegt. Beachte dabei, dass auch hier $a > 0$ gilt.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a''(t_2)=&3 \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\right) - 14 \cdot a=2 \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)- 14 \cdot a\\ =&14 \cdot a - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot a - 14 \cdot a = - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot a < 0\\ \end{array}$
Bei $t_2 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)$ liegt also eine Maximalstelle der Funktion $h_a$ vor.
3. Schritt: Überprüfen der Randstellen des Intervalls
Im ersten Aufgabenteil dieser Teilaufgabe hast du bestimmt, dass für die Funktionswerte von $h_a$ an den Randstellen, unabhängig von $a$, folgendes gilt:
$h_a(0) = h_a(6 \cdot a) = 740$.
Überprüfe nun den Funktionswert bei $t_2 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)$, um zu überprüfen, ob an dieser Stelle auch ein globales Maximum vorliegt:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a(t_2)=&\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\right)^3 - 7 \cdot a \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\right)^2 \\ &+ 24 \cdot a^2 \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\right) +740\\ =&5,794 a^3 - 35,847 \cdot a^3 + 54,311 \cdot a^3 +740\\ =&24,258 \cdot a^3+740\\ \end{array}$
Da $a > 0$ gilt, gilt $h_a(t_2) < h_a(0)$ und $h_a(t_2) < h_a(6 \cdot a)$ weshalb bei $t_2$ ein globales Maximum vorliegt.
Die hier gesuchte Maximalstelle liegt also bei $t_2 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)$. Weiterhin wurde gezeigt, dass dieses Maximum ein globales ist.
b) (1)
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wendestelle von $h_a$ Hier ist es deine Aufgabe die Wendestelle der Funktion $h_a$ zu bestimmen. Da eine Wendestelle einem Extremum der ersten Ableitung der betrachteten Funktion entspricht, müssen hier die ersten drei Ableitungen von $h_a$ betrachtet werden.
Beachte dabei, dass du die ersten beiden Ableitungen $h_a'$ und $h_a''$ bereits im vorhergegangenen Aufgabenteil bestimmt hast. Liegt dann an einer bestimmten Stelle $t_W$ von $h_a$ eine Wendestelle vor, so sind an dieser Stelle folgende Bedingungen erfüllt:
  • Notwendige Bedingung: $h_a''(t_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $h_a'''(t_W) \neq 0$
Bestimme hier also zunächst die benötigten Ableitungsfunktionen, um dann mit Hilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingung die Wendestelle von $h_a$ zu bestimmen.
1. Schritt: Bestimmen der dritten Ableitungsfunktion von $h_a$1cm
Mit Hilfe der zweiten Ableitungsfunktion von $h_a$, welche du im vorherigen Aufgabenteil bestimmt hast, ergibt sich $h_a'''$ zu:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a''(t)=&3 \cdot t - 14 \cdot a \\ h_a'''(t)=&3\\ \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Wendestelle von $h_a$
Bestimme nun die Wendestelle von $h_a$, indem du zunächst die Nullstellen (notwendige Bedingung) von $h_a''$ bestimmst:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a''(t)=&0&\\ 0=&3 \cdot t - 14 \cdot a&\mid - 3 \cdot t\\ - 3 \cdot t=& - 14 \cdot a&\mid : (-3)\\ t_W=& \frac{14}{3} \cdot a\\ \end{array}$
Da für $h_a'''$:
$h_a'''(t) = 3 \neq 0$
für alle $t \in \mathbb R$ gilt, liegt eine Wendestelle der Funktion $h_a$ bei $t_W = \frac{14}{3} \cdot a$ vor.
(2) + (3)
$\blacktriangleright$Zeitpunkt an dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert
Nun sollst du jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraums bestimmen, zu dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert. Der Zeitpunkt, an dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert ist ein Punkt mit extremaler Steigung.
Rein intuitiv würde man sagen, dieser Punkt ist schon gefunden und entspricht dem Wendepunkt der Funktion $h_a$. Da $h_a$ hier jedoch auf einem abgeschlossenen Intervall untersucht wird, müssen hier, wie auch schon zu vor, die Randstellen des Intervalls untersucht werden.
Willst du also die den Zeitpunkt bestimmen, an dem sich die Gesamtzuflussrate im Zeitraum am stärksten ändert, so gehe hier so vor:
  • Bestimme die Steigung im Wendepunkt
  • Bestimme die Steigung an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 6 \cdot a$
  • Vergleiche die Steigungen und bestimme das globale Extremum der Steigung. Diese liegt dann in dem Punkt, mit dem betragsmäßig größten Steigung
1. Schritt: Bestimmen der Steigung an der Wende- und den Randstellen
Setze nun $t_1 = 0$, $t_2 = 6 \cdot a$ und $t_W = \frac{14}{3} \cdot a$ in $h_a'$ ein, um die Steigung der Gesamtzuflussraten an diesen Zeitpunkten zu bestimmen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_4'(0)=&\frac{3}{2} \cdot 0^2 - 14 \cdot a \cdot 0 + 24 \cdot a^2 = 24\cdot a^2\\ h_4'(6 \cdot a)=&\frac{3}{2} \cdot (6 \cdot a)^2 - 14 \cdot a \cdot (6 \cdot a) + 24 \cdot a^2 = -6 \cdot a\\ h_4'(\frac{14}{3} \cdot a)=&\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{14}{3} \cdot a\right)^2 - 14 \cdot a \cdot \left(\frac{14}{3} \cdot a\right) + 24 \cdot a^2 = - \frac{26}{3} \cdot a^2\\ \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Stelle mit betragsmäßig größter Steigung
Um nun die Stelle mit der betragsmäßig größten Steigung zu berechnen, musst du dir die oben berechneten Steigungen noch einmal etwas genauer ansehen. Du siehst, dass die Steigung an der Wendestelle $t_W$ für jedes $a > 0$ betragsmäßig kleiner ist wie die Steigungen bei $t_1$. Die Steigung bei $t_2 = 6 \cdot a$ ist sogar betragsmäßig kleiner als bei $t_1$ und $t_W$.
Es folgt also, dass für $a > 0$ der Zeitpunkt an dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert bei $t = 0$ liegt.
$\blacktriangleright$Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Zusammenhang angeben
Der Zeitpunkt an dem sich die Gesamtzuflussrate lokal am stärksten ändert ist der Wendepunkt. Das heißt dieser Zeitpunkt liegt bei $t = \frac{14}{3} \cdot a$ vor, mit $a > 0$. Die Wendestelle entspricht also jener Stelle, an dem sich die Gesamtzuflussrate lokal am stärksten innerhalb des Betrachtungszeitraums $0 < t < 24$ ändert.
c) (1)
$\blacktriangleright$Entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aufnehmen kann
Nun wird $h_4$ für $a = 4$ mit
$h_4(t) = \frac{1}{2} \cdot t^3 - 28 \cdot t^2 + 384 \cdot t + 740;\;t \in \left[0;24\right]$
betrachtet. Weiterhin weißt du, dass das Staubecken zum Zeitpunkt $t = 0$ noch 20.000\,m$^3$ Wasser aufnehmen kann. Deine Aufgabe ist es nun, zu entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus den beiden Bächen während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
Da Funktion $h_a$ die Gesamtzuflussrate beschreibt, repräsentiert das Integral über diese Funktion, das Volumen des Wassers, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt. Willst du hier bestimmen, welches Volumen das Wasser besitzt, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt, so musst du hier über $h_a$ über den gesamten Beobachtungszeitraum ($t \in \left[0;24\right]$) integrieren.
Dabei gibt es zwei Lösungswege. Die Lösung von Hand und die Lösung mit deinem GTR. Beachte beim Lösen von Hand, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ noch kein Wasser in das Staubecken geflossen ist und die berechnete Stammfunktion dementsprechend anpassen musst.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Lösen von Hand
Bestimme das unbestimmte Integral über $h_4$, um eine Stammfunktion $H_4$ zu ermitteln:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} H_4(t)=&\displaystyle\int\left(h_4(t)\right)\mathrm dt = \displaystyle\int\left(\frac{1}{2} \cdot t^3 - 28 \cdot t^2 + 384 \cdot t + 740\right)\mathrm dt\\ =&\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot t^4 - \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot t^3 + \frac{1}{2} \cdot 384 \cdot t^2 + 740 \cdot t + C\\ =&\frac{1}{8} \cdot t^4 - \frac{28}{3} \cdot t^3 + 192 \cdot t^2 + 740 \cdot t + C\\ \end{array}$
Bestimme nun die Integrationskonstante $C$ so, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ noch kein Wasser ins Staubecken geflossen ist. Setze also $H_4(0) = 0$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} H_4(0)=&0\\ 0=&\frac{1}{8} \cdot 0^4 - \frac{28}{3} \cdot 0^3 + 192 \cdot 0^2 + 740 \cdot 0 + C\\ 0=&C\\ \end{array}$
Die hier zu betrachtende Stammfunktion von $h_4$ ist also:
$H_4(t) = \frac{1}{8} \cdot t^4 - \frac{28}{3} \cdot t^3 + 192 \cdot t^2 + 740 \cdot t$.
Integriere nun über den Beobachtungszeitraum, um entscheiden zu können, ob das Staubecken das Wasser aufnehmen kann. Setze dazu die Grenzen der Integration auf $t_1 = 0$ und $t_2 = 24$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} I=&\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \left(h_4(t)\right)\mathrm dt = \left[H_4(t)\right]_0^{24} = H_4(24) - H_4(0)\\ =&\frac{1}{8} \cdot 24^4 - \frac{28}{3} \cdot 24^3 + 192 \cdot 24^2 + 740 \cdot 24 - \left(\frac{1}{8} \cdot 0^4 - \frac{28}{3} \cdot 0^3 + 192 \cdot 0^2 + 740 \cdot 0\right)\\ =&41.472 - 129.024 + 110.592 + 17.760\\ =&40.800\\ \end{array}$
Innerhalb des Beobachtungszeitraums fließen 40.800 m$^3$ Wasser in das Staubecken. Das Staubecken kann als das nach fließende Wasser nicht aufnehmen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in den Y=-Editor und speichere dort den Funktionsterm von $h_4$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über GRAPH anzeigen.
Bestimme dann über
2nd $\to$ CALC (TRACE) $\to$ 7:$\displaystyle\int$f(x)dx
das Integral über $h_4$ in den Grenzen des Beobachtungsintervalls.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Innerhalb des Beobachtungszeitraums fließen 40.800 m$^3$ Wasser in das Staubecken. Das Staubecken kann als das nach fließende Wasser nicht aufnehmen.
(2)
$\blacktriangleright$Angeben der Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang
In dieser Teilaufgabe hast du die die Gleichung
$\displaystyle\int_{0}^{b}\left(h_4(t)\right)\mathrm dt = 20.000$
mit der positiven Lösung $b = 10,65$ gegeben. Deine Aufgabe ist es dabei, die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang anzugeben.
Mach dir dazu zunächst klar, was die Gleichung ausdrückt:
  • Es wird wieder über die Funktion $h_4$ integriert.
  • Die untere Grenze entspricht dem Anfang des Beobachtungszeitraums.
  • Als obere Grenze des Integrals ergibt sich $b = 10,65$.
  • Die rechte Seite der Gleichung repräsentiert das Volumen, dass das Staubecken noch
  • aufnehmen kann.
Mit dieser Gleichung wird jener Zeitpunkt bestimmt, an welchem das Wasser, welches in das Staubecken geflossen ist, ein Volumen von 20.000 m$^3$ erreicht. Das heißt, ab dem Zeitpunkt $t \approx 10,65$ ist das Staubecken am überlaufen.
(3)
$\blacktriangleright$Untersuchen, ob das Staubecken im Beobachtungszeitraum überläuft
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass zum Zeitpunkt $t = 10$ ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet wird. Durch diesen Notablauf fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Becken ab. Der Notablauf bleibt dabei bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet.
Ohne Nachweis darf dabei verwendet werden, dass die Gesamtzuflussrate für $10 \leq t \leq 14$ größer und für $14 < t \leq 24$ kleiner als 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ ist.
Du sollst nun untersuchen, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft.
Willst du untersuchen, ob das Staubecken überläuft, so benötigst du zunächst eine Funktion, welche dir das Volumen des Wassers im Staubecken nach dem Zeitpunkt $t = 10$ angibt. Verwende dazu wie oben unter anderem die Stammfunktion $H_4$.
Von oben und dem gegebenen Schaubild weißt du, dass die Funktion $h_4$ im Intervall
$10 \leq t \leq 14$ oberhalb von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ und im Intervall $14 < t \leq 24$ unterhalb von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Subtrahierst du nun in diesem Bereich die 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ pro Stunde, so besitzt die veränderte Funktion $h_4^{\ast}$ in diesem Bereich eine Nullstelle, mit einem Vorzeichenwechsel von $+$ zu $-$. Die zu $h_4^{\ast}$ zugehörige Stammfunktion besitzt also in diesem Intervall ein Maximum.
Die für $t \geq 10$ zu betrachtende Funktion $h_4^{\ast}$ ergibt sich nach der Subtraktion von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ zu:
$h_4^{\ast}(t) = \frac{1}{2} \cdot t^3 - 28 \cdot t^2 + 384 \cdot t + 740 - 2.000$ für $10 \leq t \leq 24$
Bestimme mit dieser Funktion die Maximalstelle von $H_4^{\ast}$. Liegt das Wasservolumen an der bestimmten Maximalstelle dann unter 20.000 m$^3$, dann läuft das Staubecken nicht über.
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  • Bestimme die Maximalstelle von $H_4$ über die notwendige und hinreichende Bedingung für Maxima.
  • Berechne das Wasservolumen an der Maximalstelle.
  • Vergleiche berechneten mit gegebenen Wert.
1. Schritt: Bestimmen der gesuchten Maximalstelle
Da $h_4^{\ast}$ der ersten Ableitung von $H_4^{\ast}$ bestimmst du zunächst die Nullstellen dieser Funktion. Nutze dazu deinen GTR und übertrage zunächst den Funktionsterm von $h_4^{\ast}$ in den Y=-Editor deines GTR. Lasse dir anschließend mit GRAPH den Graphen der Funktion $h_4^{\ast}$ anzeigen und bestimme über
2nd $\to$ TRACE (CALC) $\to$ 2: zero
die Nullstellen.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Die Nullstellen von $h_4^{\ast}$ liegen also bei $t_1 = 4,84$ und $t_2 = 14$. Da $t_1$ außerhalb des betrachteten Bereichs liegt und bei $t_2$ offensichtlich ein Vorzeichenwechsel von $+$ zu $-$ vorliegt, handelt es sich bei $t_2$ um die hier gesuchte Maximalstelle.
2. Schritt: Berechnen des Wasservolumen an der Maximalstelle
Das Wasservolumen an der Maximalstelle $t_2 = 14$ berechnest du nun, indem du diesen Wert in den Funktionsterm einer Stammfunktion von $h_4^{\ast}$ einsetzt. Die Stammfunktion $H_4$ von $h_4$ hast du bereits im vorhergegangenen Aufgabenteil berechnet. Subtrahiere von dieser Funktion die Abflussrate um eine Stammfunktion von $h_4^{\ast}$ bestimmt zu haben. Beachte dabei, dass erst ab dem Zeitpunkt $t = 10$ die Abflussrate von $2.000$ m$^3$ pro Stunde vorliegt.
$H_4^{\ast}(t)= \frac{1}{8} \cdot t^4 - \frac{28}{3} \cdot t^3 + 192 \cdot t^2 + 740 \cdot t - 2000 \cdot (t - 10)$
Setze nun $t_2 = 14$ ein, um das Wasservolumen zum Zeitpunkt des Maximums zu bestimmen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} H_4^{\ast}(t_2)=&\frac{1}{8} \cdot 14^4 - \frac{28}{3} \cdot 14^3 + 192 \cdot 14^2 + 740 \cdot 14 - 2000 \cdot (14 - 10)\\ =&4.802 - 25.610,7 + 37.632 + 10.360 - 8.000\\ =&19.183,3\\ \end{array}$
Es befinden sich also maximal 19.183,3 m$^3$ Wasser im Staubecken. Da dieser Wert unter der Grenze von 20.000 m$^3$ liegt, ist das Staubecken nicht am überlaufen.
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a) (1)
$\blacktriangleright$ Berechnen der Gesamtzuflussrate zu Beginn und am Ende der Beobachtung
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass in ein Staubecken zwei Bäche hineinfließen. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten aus den beiden Bächen durch die Funktion $f_a$ für Bach 1 und $g_a$ für Bach 2 für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen wird durch die Funktion $h_a$ beschrieben.
Die Funktionen $f_a$ und $h_a$ sind für $a > 0$ und $t \in \mathbb R$ wie folgt angegeben:
  • $f_a(t) = \frac{1}{4} \cdot t^3 - 3 \cdot a \cdot t^2 + 9 \cdot a^2 \cdot t + 340$
  • $h_a(t) = \frac{1}{2} \cdot t^3 - 7 \cdot a \cdot t^2 + 24 \cdot a^2 \cdot t + 740$
$t$ ist dabei in Stunden (h) angegeben. Die Funktionswerte $f_a(t)$, $g_a(t)$ und $h_a(t)$ beschreiben die Zuflussrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Der Beobachtungszeitraum beginnt beim Zeitpunkt $t = 0$ und endet zum Zeitpunkt $t = 6 \cdot a$.
Deine Aufgabe ist es nun, die Gesamtzuflussrate zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums zu bestimmen. Zu betrachten ist hier also Funktion $h_a$, da diese die Gesamtzuflussrate in das Staubecken beschreibt. Von oben weißt du, dass die Beobachtung zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ startet und am Zeitpunkt $t_2 = 6 \cdot a$ endet.
Willst du diese Aufgabe lösen, so berechnest du die Funktionswerte von $h_a$ an diesen Zeitpunkten.
Gesamtzuflussrate am Beobachtungsbeginn $t_1 = 0$:
$h_a(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^3 - 7 \cdot a \cdot 0^2 + 24 \cdot a^2 \cdot 0 + 740 = 740$.
Gesamtzuflussrate am Beobachtungsende $t_2 = 6 \cdot a$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a(6 \cdot a)=&\frac{1}{2} \cdot (6 \cdot a)^3 - 7 \cdot a \cdot (6 \cdot a)^2 + 24 \cdot a^2 \cdot (6 \cdot a) + 740\\ =&\frac{1}{2} \cdot 216 \cdot a^3 - 7 \cdot a \cdot 36 \cdot a^2 + 144 \cdot a^3 + 740\\ =&108 \cdot a^3 - 252 \cdot a^3 + 144 \cdot a^2 + 740\\ =&-144 \cdot a^3 + 144 \cdot a^3 + 740\\ =&740\\ \end{array}$
Die Gesamtzuflussrate ist zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums $740\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$.
(2)
$\blacktriangleright$Zeigen, dass $g_a$ durch den Funktionsterm $g_a(t)$ dargestellt werden kann
Nun sollst du zeigen, dass der Funktionsterm der Funktion $g_a$, die die Zuflussrate von Bach 2 in das Staubecken repräsentiert, durch den folgenden Funktionsterm beschrieben werden kann:
$g_a(t) = \frac{1}{4} \cdot t^3 - 4 \cdot a \cdot t^2 + 15 \cdot a^2 \cdot t + 400$
Willst du diesen Sachverhalt zeigen, so musst du hier Funktion $h_a$ betrachten. Diese beschreibt die Gesamtzuflussrate in das Staubecken. Da außer Bach 1, beschrieben durch $f_a$ und Bach 2, beschrieben durch $g_a$, kein weiterer Fluss in das Staubecken fließt, ergibt sich die Gesamtzuflussrate aus der Summe der Zuflussraten von Bach 1 und Bach 2.
Für den Funktionsterm von $h_a$ gilt also:
$h_a(t) = f_a(t) + g_a(t)$
Stelle nach $g_a(t)$ um und setze ein, um den Sachverhalt hier zu zeigen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a(t)=&f_a(t) + g_a(t)&\mid\; - f_a(t)\\ g_a(t)=&h_a(t) - f_a(t)\\ =&\left(\frac{1}{2} \cdot t^3 - 7 \cdot a \cdot t^2 + 24 \cdot a^2 \cdot t + 740\right) - \left(\frac{1}{4} \cdot t^3 - 3 \cdot a \cdot t^2 + 9 \cdot a^2 \cdot t + 340\right)\\ =&\frac{1}{2} \cdot t^3 - 7 \cdot a \cdot t^2 + 24 \cdot a^2 \cdot t + 740 - \frac{1}{4} \cdot t^3 + 3 \cdot a \cdot t^2 - 9 \cdot a^2 \cdot t - 340\\ =&\frac{1}{4} \cdot t^3 - 4 \cdot a \cdot t^2 + 15 \cdot a^2 \cdot t + 400\\ \end{array}$
Da der berechnete und der gegebene Funktionsterm übereinstimmen, hast du die Aufgabe hier richtig gelöst.
(3)
$\blacktriangleright$Begründen, dass Zuflussrate aus Bach 2 größer ist als die von Bach 1
Nun ist es deine Aufgabe, zu begründen, dass unabhängig von Parameter $a$, die Zuflussrate aus Bach 2 für alle $t \in \left[0;6a\right]$ größer ist als die Zuflussrate aus Bach 1. Willst du zeigen, dass die Zuflussrate von Bach 2 im gesamten Beobachtungszeitraum größer als die Zuflussrate von Bach 1 ist, so musst du zeigen, dass der Graph von $g_a$ innerhalb des Beobachtungszeitraums oberhalb des Graphen von $f_a$ verläuft.
Willst du dies begründen, so betrachtest du hier die Differenz zwischen dem Graphen von $g_a$ und $f_a$. Diese Differenz kann durch die Differenzfunktion $d$ beschrieben werden, welche sich wie folgt berechnen lässt:
$d_a(t) = g_a(t) - f_a(t)$
Willst du zeigen, dass die Zuflussrate aus Bach 2 immer größer ist als die Zuflussrate aus Bach 1, so zeigst du hier, dass die Differenz zwischen diesen Funktionen unabhängig von $a$ immer größer gleich Null ist. Bezogen auf $d_a$ und den Beobachtungszeitraum gilt also:
$d_a(t) \geq 0\;\text{für}\;t \in \left[0;6a\right]$
Bilde also zunächst die Funktion $d_a$ und zeige das Folgendes für diese gilt:
  • Zeige, dass $d_a$ an den Randstellen des betrachteten Intervalls Werte größer Null annimmt.
  • Zeige, der Graph von $d_a$ zwischen den Randstellen oberhalb der $x$-Achse verläuft.
1. Schritt: Bilden von $d_a(t)$
Berechne die oben angegebene Differenz, um $d_a(t)$ zu erhalten:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} d_a(t)=&g_a(t) - f_a(t)\\ =&\frac{1}{4} \cdot t^3 - 4 \cdot a \cdot t^2 + 15 \cdot a^2 \cdot t + 400 - \left(\frac{1}{4} \cdot t^3 - 3 \cdot a \cdot t^2 + 9 \cdot a^2 \cdot t + 340\right)\\ =&\frac{1}{4} \cdot t^3 - 4 \cdot a \cdot t^2 + 15 \cdot a^2 \cdot t + 400 - \frac{1}{4} \cdot t^3 + 3 \cdot a \cdot t^2 - 9 \cdot a^2 \cdot t - 340\\ =& - a \cdot t^2 + 6 \cdot a^2 \cdot t +60\\ \end{array}$
2. Schritt: Untersuchen der Randstellen des Intervalls
Zeige nun, durch Berechnen der Funktionswerte von $d_a$ an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 6 \cdot a$ des Intervalls, dass $d_a$ unabhängig von $a$ an diesen Stellen einen Wert größer Null annimmt:
$d_a(t_1 = 0) = - a \cdot 0^2 + 6 \cdot a^2 \cdot 0 +60 = 60$
$d_a(t_2 = 6 \cdot a) = - a \cdot (6 \cdot a)^2 + 6 \cdot a^2 \cdot 6 \cdot a +60 = -36 \cdot a^3 + 36\cdot a^3 + 60 = 60$
So hast du also gezeigt, dass Funktion $g_a$ an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 6 \cdot a$ des Intervalls unabhängig von $a$, oberhalb der Funktion $f_a$ verläuft.
3. Schritt: Untersuchen des Verhaltens des Graphen von $d_a$ im Intervall
Untersuche nun das Verhalten des Graphen von $d_a$ innerhalb der Intervallsgrenzen. Um zu zeigen, dass $g_a$ im gesamten Intervall oberhalb von $f_a$ verläuft, musst du hier zeigen, dass $d_a$ innerhalb des Intervalls nur Werte größer Null annimmt.
Betrachte dazu den Funktionsterm von $d_a$:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} d_a(t)=& - a \cdot t^2 + 6 \cdot a^2 \cdot t +60\\ \end{array}$
Da $a > 0$ gilt, handelt es sich hier um eine nach unten geöffnete Parabel. Da diese an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 6\cdot a$ unabhängig von $a$ Werte größer Null annimmt, muss diese im Intervall $\left[0;6 \cdot a\right]$ oberhalb der $x$-Achse verlaufen. Da die Differenz zwischen $g_a$ und $f_a$ im betrachteten Intervall unabhängig von $a$ größer Null ist, hast du gezeigt, dass die Zuflussrate von Bach 2 im gesamt betrachteten Zeitraum größer als die Zuflussrate von Bach 1 ist.
(4)
$\blacktriangleright$Bestimmen des Zeitpunkts, an dem die Gesamtzuflussrate maximal ist
Zuletzt sollst du hier jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum bestimmen, bei dem die Gesamtzuflussrate ihr Maximum annimmt. Du untersuchst also $h_a$ auf Maximalstellen.
Du weißt, an einer bestimmten Stelle $t_M$ liegt genau dann ein Maximum vor, wenn folgende Bedingungen an dieser erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $h_a'(t_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $h_a''(t_M) < 0$
Bilde also zunächst die ersten beiden Ableitungen von $h_a$ und ermittle über Auswerten der oben gegebenen Bedingungen die gesuchte Maximalstelle im Intervall.
Da hier aber ein abgeschlossenes Intervall angegeben ist, musst du hier die Randstellen von $t_1 = 0$ und $t_2 = 6 \cdot a$ untersuchen, um das globale Maximum im gegebenen Intervall zu ermitteln. Vergleiche dazu die Funktionswerte von $h_a$ an den Randstellen und beim ermittelten Maximum.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  • Bestimme die benötigten Ableitungsfunktionen $h_a'$ und $h_a''$.
  • Bestimme über die notwendige und hinreichende Bedingung die Maximalstellen von $h_a$.
  • Untersuche die Funktionswerte an den Rand- und Maximalstellen.
1. Schritt: Bestimmen der Ableitungsfunktionen
Für $h_a'$ und $h_a''$ ergibt sich hier:
$h_a'(t) = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot t^2 - 2 \cdot 7 \cdot a \cdot t + 24 \cdot a^2 = \frac{3}{2} \cdot t^2 - 14 \cdot a \cdot t +24 \cdot a^2 $
$h_a''(t) =2 \cdot \frac{3}{2} \cdot t - 14 \cdot a = 3 \cdot t - 14 \cdot a$
2. Schritt: Maximalstellen von $h_a$ bestimmen
Bestimme zunächst die Nullstellen von $h_a'$, um die potentiellen Extremstellen von $h_a$ in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a'(t)=&0\\ 0=&\frac{3}{2} \cdot t^2 - 14 \cdot a \cdot t +24 \cdot a^2\\ \end{array}$
Hier liegt eine quadratische Gleichung löse diese mit Hilfe der $p$-$q$- oder der Mitternachtsformel.
$p$-$q$-Formel:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0=&\frac{3}{2} \cdot t^2 - 14 \cdot a \cdot t +24 \cdot a^2&\mid\; \cdot \frac{2}{3}\\ 0=&t^2 - \frac{28}{3} \cdot a \cdot t +16 \cdot a^2\\ t_{1,2}=&-\left(-\frac{28}{6} \cdot a\right) \pm \sqrt{\left(\frac{28}{6} \cdot a\right)^2 - 16 \cdot a^2}\\ =&\frac{14}{3} \cdot a \pm \sqrt{\frac{784}{36} \cdot a^2 - \frac{576}{36} \cdot a^2}\\ =&\frac{14}{3}\cdot a \pm \sqrt{\frac{208}{36} \cdot a^2}&208 = 13 \cdot 16\\ =&\frac{14}{3}\cdot a \pm \frac{a}{6} \cdot 4 \sqrt{13}\\ =&\frac{14}{3}\cdot a \pm \frac{2 \cdot a}{3} \sqrt{13}\\ t_1=&\frac{14}{3}\cdot a + \frac{2 \cdot a}{3} \sqrt{13} = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 + \sqrt{13}\right)\\ t_2=&\frac{14}{3}\cdot a - \frac{2 \cdot a}{3} \sqrt{13} = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\\ \end{array}$
Mitternachtsformel:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0=&\frac{3}{2} \cdot t^2 - 14 \cdot a \cdot t +24 \cdot a^2\\ t_{1,2}=&\dfrac{-\left(-14 \cdot a\right) \pm \sqrt{\left(14\cdot a\right)^2 - 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot 24 \cdot a^2}}{2 \cdot \frac{3}{2}}\\ =&\dfrac{14 \cdot a \pm \sqrt{196 \cdot a^2 - 144 \cdot a^2}}{\frac{6}{2}}\\ =&\dfrac{14 \cdot a \pm \sqrt{52 \cdot a^2}}{3}&13 \cdot 4 = 52\\ =&\dfrac{14 \cdot a \pm 2 \cdot a \cdot \sqrt{13}}{3}\\ =&\dfrac{14 \cdot a \pm a \cdot \sqrt{13}}{3}\\ t_1=&\dfrac{14 \cdot a + 2 \cdot a \cdot \sqrt{13}}{3}=\frac{14}{3}\cdot a + \frac{2 \cdot a}{3} \sqrt{13} = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 + \sqrt{13}\right)\\ t_2=&\dfrac{14 \cdot a - 2 \cdot a \cdot \sqrt{13}}{3}=\frac{14}{3}\cdot a - \frac{2 \cdot a}{3} \sqrt{13} = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\\ \end{array}$
Als potentielle Extremstellen ergeben sich also $t_1 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 + \sqrt{13}\right)$ und $t_2 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)$. Da für $t_1$
$t_1 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 + \sqrt{13}\right) \approx 7,0704 \cdot a < 6 \cdot a$
gilt und diese Extremstelle damit nicht mehr im betrachteten Intervall liegt, wird hier im Folgenden nur noch $t_2$ betrachtet.
Überprüfe nun die hinreichende Bedingung bei $t_2$, um festzustellen, ob an dieser Stelle eine Maximalstelle vorliegt. Beachte dabei, dass auch hier $a < 0$ gilt.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a''(t_2)=&3 \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\right) - 14 \cdot a=2 \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)- 14 \cdot a\\ =&14 \cdot a - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot a - 14 \cdot a = - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot a < 0\\ \end{array}$
Bei $t_2 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)$ liegt also eine Maximalstelle der Funktion $h_a$ vor.
3. Schritt: Überprüfen der Randstellen des Intervalls
Im ersten Aufgabenteil dieser Teilaufgabe hast du bestimmt, dass für die Funktionswerte von $h_a$ an den Randstellen, unabhängig von $a$, folgendes gilt:
$h_a(0) = h_a(6 \cdot a) = 740$.
Überprüfe nun den Funktionswert bei $t_2 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)$, um zu überprüfen, ob an dieser Stelle auch ein globales Maximum vorliegt:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a(t_2)=&\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\right)^3 - 7 \cdot a \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\right)^2 \\ &+ 24 \cdot a^2 \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)\right) +740\\ =&5,794 a^3 - 35,847 \cdot a^3 + 54,311 \cdot a^3 +740\\ =&24,258 \cdot a^3+740\\ \end{array}$
Da $a < 0$ gilt, gilt $h_a(t_2) < h_a(0)$ und $h_a(t_2) < h_a(6 \cdot a)$ weshalb bei $t_2$ ein globales Maximum vorliegt.
Die hier gesuchte Maximalstelle liegt also bei $t_2 = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \left(7 - \sqrt{13}\right)$. Weiterhin wurde gezeigt, dass dieses Maximum ein globales ist.
b) (1)
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wendestelle von $h_a$ Hier ist es deine Aufgabe die Wendestelle der Funktion $h_a$ zu bestimmen. Da eine Wendestelle einem Extremum der ersten Ableitung der betrachteten Funktion entspricht, müssen hier die ersten drei Ableitungen von $h_a$ betrachtet werden.
Beachte dabei, dass du die ersten beiden Ableitungen $h_a'$ und $h_a''$ bereits im vorhergegangenen Aufgabenteil bestimmt hast. Liegt dann an einer bestimmten Stelle $t_W$ von $h_a$ eine Wendestelle vor, so sind an dieser Stelle folgende Bedingungen erfüllt:
  • Notwendige Bedingung: $h_a''(t_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $h_a'''(t_W) \neq 0$
Bestimme hier also zunächst die benötigten Ableitungsfunktionen, um dann mit Hilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingung die Wendestelle von $h_a$ zu bestimmen.
1. Schritt: Bestimmen der dritten Ableitungsfunktion von $h_a$1cm
Mit Hilfe der zweiten Ableitungsfunktion von $h_a$, welche du im vorherigen Aufgabenteil bestimmt hast, ergibt sich $h_a'''$ zu:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a''(t)=&3 \cdot t - 14 \cdot a \\ h_a'''(t)=&3\\ \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Wendestelle von $h_a$
Bestimme nun die Wendestelle von $h_a$, indem du zunächst die Nullstellen (notwendige Bedingung) von $h_a''$ bestimmst:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_a''(t)=&0&\\ 0=&3 \cdot t - 14 \cdot a&\mid - 3 \cdot t\\ - 3 \cdot t=& - 14 \cdot a&\mid : (-3)\\ t_W=& \frac{14}{3} \cdot a\\ \end{array}$
Da für $h_a'''$:
$h_a'''(t) = 3 \neq 0$
für alle $t \in \mathbb R$ gilt, liegt eine Wendestelle der Funktion $h_a$ bei $t_W = \frac{14}{3} \cdot a$ vor.
(2) + (3)
$\blacktriangleright$Zeitpunkt an dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert
Nun sollst du jenen Zeitpunkt im Beobachtungszeitraums bestimmen, zu dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert. Der Zeitpunkt, an dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert ist ein Punkt mit extremaler Steigung.
Rein intuitiv würde man sagen, dieser Punkt ist schon gefunden und entspricht dem Wendepunkt der Funktion $h_a$. Da $h_a$ hier jedoch auf einem abgeschlossenen Intervall untersucht wird, müssen hier, wie auch schon zu vor, die Randstellen des Intervalls untersucht werden.
Willst du also die den Zeitpunkt bestimmen, an dem sich die Gesamtzuflussrate im Zeitraum am stärksten ändert, so gehe hier so vor:
  • Bestimme die Steigung im Wendepunkt
  • Bestimme die Steigung an den Randstellen $t_1 = 0$ und $t_2 = 6 \cdot a$
  • Vergleiche die Steigungen und bestimme das globale Extremum der Steigung. Diese liegt dann in dem Punkt, mit dem betragsmäßig größten Steigung
1. Schritt: Bestimmen der Steigung an der Wende- und den Randstellen
Setze nun $t_1 = 0$, $t_2 = 6 \cdot a$ und $t_W = \frac{14}{3} \cdot a$ in $h_a'$ ein, um die Steigung der Gesamtzuflussraten an diesen Zeitpunkten zu bestimmen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h_4'(0)=&\frac{3}{2} \cdot 0^2 - 14 \cdot a \cdot 0 + 24 \cdot a^2 = 24\cdot a^2\\ h_4'(6 \cdot a)=&\frac{3}{2} \cdot (6 \cdot a)^2 - 14 \cdot a \cdot (6 \cdot a) + 24 \cdot a^2 = -6 \cdot a\\ h_4'(\frac{14}{3} \cdot a)=&\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{14}{3} \cdot a\right)^2 - 14 \cdot a \cdot \left(\frac{14}{3} \cdot a\right) + 24 \cdot a^2 = - \frac{26}{3} \cdot a^2\\ \end{array}$
2. Schritt: Bestimmen der Stelle mit betragsmäßig größter Steigung
Um nun die Stelle mit der betragsmäßig größten Steigung zu berechnen, musst du dir die oben berechneten Steigungen noch einmal etwas genauer ansehen. Du siehst, dass die Steigung an der Wendestelle $t_W$ für jedes $a > 0$ betragsmäßig kleiner ist wie die Steigungen bei $t_1$. Die Steigung bei $t_2 = 6 \cdot a$ ist sogar betragsmäßig kleiner als bei $t_1$ und $t_W$.
Es folgt also, dass für $a > 0$ der Zeitpunkt an dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert bei $t = 0$ liegt.
$\blacktriangleright$Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Zusammenhang angeben
Der Zeitpunkt an dem sich die Gesamtzuflussrate lokal am stärksten ändert ist der Wendepunkt. Das heißt dieser Zeitpunkt liegt bei $t = \frac{14}{3} \cdot a$ vor, mit $a > 0$. Die Wendestelle entspricht also jener Stelle, an dem sich die Gesamtzuflussrate lokal am stärksten innerhalb des Betrachtungszeitraums $0 < t < 24$ ändert.
c) (1)
$\blacktriangleright$Entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aufnehmen kann
Nun wird $h_4$ für $a = 4$ mit
$h_4(t) = \frac{1}{2} \cdot t^3 - 28 \cdot t^2 + 384 \cdot t + 740;\;t \in \left[0;24\right]$
betrachtet. Weiterhin weißt du, dass das Staubecken zum Zeitpunkt $t = 0$ noch 20.000\,m$^3$ Wasser aufnehmen kann. Deine Aufgabe ist es nun, zu entscheiden, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus den beiden Bächen während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
Da Funktion $h_a$ die Gesamtzuflussrate beschreibt, repräsentiert das Integral über diese Funktion, das Volumen des Wassers, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt. Willst du hier bestimmen, welches Volumen das Wasser besitzt, welches nach $t = 0$ in das Staubecken fließt, so musst du hier über $h_a$ über den gesamten Beobachtungszeitraum ($t \in \left[0;24\right]$) integrieren.
Dabei gibt es zwei Lösungswege. Die Lösung von Hand und die Lösung mit deinem GTR. Beachte beim Lösen von Hand, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ noch kein Wasser in das Staubecken geflossen ist und die berechnete Stammfunktion dementsprechend anpassen musst.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Lösen von Hand
Bestimme das unbestimmte Integral über $h_4$, um eine Stammfunktion $H_4$ zu ermitteln:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} H_4(t)=&\displaystyle\int\left(h_4(t)\right)\mathrm dt = \displaystyle\int\left(\frac{1}{2} \cdot t^3 - 28 \cdot t^2 + 384 \cdot t + 740\right)\mathrm dt\\ =&\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot t^4 - \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot t^3 + \frac{1}{2} \cdot 384 \cdot t^2 + 740 \cdot t + C\\ =&\frac{1}{8} \cdot t^4 - \frac{28}{3} \cdot t^3 + 192 \cdot t^2 + 740 \cdot t + C\\ \end{array}$
Bestimme nun die Integrationskonstante $C$ so, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ noch kein Wasser ins Staubecken geflossen ist. Setze also $H_4(0) = 0$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} H_4(0)=&0\\ 0=&\frac{1}{8} \cdot 0^4 - \frac{28}{3} \cdot 0^3 + 192 \cdot 0^2 + 740 \cdot 0 + C\\ 0=&C\\ \end{array}$
Die hier zu betrachtende Stammfunktion von $h_4$ ist also:
$H_4(t) = \frac{1}{8} \cdot t^4 - \frac{28}{3} \cdot t^3 + 192 \cdot t^2 + 740 \cdot t$.
Integriere nun über den Beobachtungszeitraum, um entscheiden zu können, ob das Staubecken das Wasser aufnehmen kann. Setze dazu die Grenzen der Integration auf $t_1 = 0$ und $t_2 = 24$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} I=&\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \left(h_4(t)\right)\mathrm dt = \left[H_4(t)\right]_0^{24} = H_4(24) - H_4(0)\\ =&\frac{1}{8} \cdot 24^4 - \frac{28}{3} \cdot 24^3 + 192 \cdot 24^2 + 740 \cdot 24 - \left(\frac{1}{8} \cdot 0^4 - \frac{28}{3} \cdot 0^3 + 192 \cdot 0^2 + 740 \cdot 0\right)\\ =&41.472 - 129.024 + 110.592 + 17.760\\ =&40.800\\ \end{array}$
Innerhalb des Beobachtungszeitraums fließen 40.800 m$^3$ Wasser in das Staubecken. Das Staubecken kann als das nach fließende Wasser nicht aufnehmen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Lösen mit dem GTR
Wechsle mit deinem GTR in das Graphs-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $h_4$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über EXE anzeigen.
Bestimme dann über
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ 7:$\displaystyle\int$dx
das Integral über $h_4$ in den Grenzen des Beobachtungsintervalls.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Innerhalb des Beobachtungszeitraums fließen 40.800 m$^3$ Wasser in das Staubecken. Das Staubecken kann als das nach fließende Wasser nicht aufnehmen.
(2)
$\blacktriangleright$Angeben der Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang
In dieser Teilaufgabe hast du die die Gleichung
$\displaystyle\int_{0}^{b}\left(h_4(t)\right)\mathrm dt = 20.000$
mit der positiven Lösung $b = 10,65$ gegeben. Deine Aufgabe ist es dabei, die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang anzugeben.
Mach dir dazu zunächst klar, was die Gleichung ausdrückt:
  • Es wird wieder über die Funktion $h_4$ integriert.
  • Die untere Grenze entspricht dem Anfang des Beobachtungszeitraums.
  • Als obere Grenze des Integrals ergibt sich $b = 10,65$.
  • Die rechte Seite der Gleichung repräsentiert das Volumen, dass das Staubecken noch
  • aufnehmen kann.
Mit dieser Gleichung wird jener Zeitpunkt bestimmt, an welchem das Wasser, welches in das Staubecken geflossen ist, ein Volumen von 20.000 m$^3$ erreicht. Das heißt, ab dem Zeitpunkt $t \approx 10,65$ ist das Staubecken am überlaufen.
(3)
$\blacktriangleright$Untersuchen, ob das Staubecken im Beobachtungszeitraum überläuft
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass zum Zeitpunkt $t = 10$ ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet wird. Durch diesen Notablauf fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Becken ab. Der Notablauf bleibt dabei bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet.
Ohne Nachweis darf dabei verwendet werden, dass die Gesamtzuflussrate für $10 \leq t \leq 14$ größer und für $14 < t \leq 24$ kleiner als 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ ist.
Du sollst nun untersuchen, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft.
Willst du untersuchen, ob das Staubecken überläuft, so benötigst du zunächst eine Funktion, welche dir das Volumen des Wassers im Staubecken nach dem Zeitpunkt $t = 10$ angibt. Verwende dazu wie oben unter anderem die Stammfunktion $H_4$.
Von oben und dem gegebenen Schaubild weißt du, dass die Funktion $h_4$ im Intervall
$10 \leq t \leq 14$ oberhalb von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ und im Intervall $14 < t \leq 24$ unterhalb von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Subtrahierst du nun in diesem Bereich die 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ pro Stunde, so besitzt die veränderte Funktion $h_4^{\ast}$ in diesem Bereich eine Nullstelle, mit einem Vorzeichenwechsel von $+$ zu $-$. Die zu $h_4^{\ast}$ zugehörige Stammfunktion besitzt also in diesem Intervall ein Maximum.
Die für $t \geq 10$ zu betrachtende Funktion $h_4^{\ast}$ ergibt sich nach der Subtraktion von 2.000 $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ zu:
$h_4^{\ast}(t) = \frac{1}{2} \cdot t^3 - 28 \cdot t^2 + 384 \cdot t + 740 - 2.000$ für $10 \leq t \leq 24$
Bestimme mit dieser Funktion die Maximalstelle von $H_4^{\ast}$. Liegt das Wasservolumen an der bestimmten Maximalstelle dann unter 20.000 m$^3$, dann läuft das Staubecken nicht über.
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  • Bestimme die Maximalstelle von $H_4$ über die notwendige und hinreichende Bedingung für Maxima.
  • Berechne das Wasservolumen an der Maximalstelle.
  • Vergleiche berechneten mit gegebenen Wert.
1. Schritt: Bestimmen der gesuchten Maximalstelle
Da $h_4^{\ast}$ der ersten Ableitung von $H_4^{\ast}$ bestimmst du zunächst die Nullstellen dieser Funktion. Nutze dazu deinen GTR und übertrage zunächst den Funktionsterm von $h_4^{\ast}$ in das Graphs-Menü deines GTR. Lasse dir anschließend mit EXE den Graphen der Funktion $h_4^{\ast}$ anzeigen und bestimme über
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ ROOT
die Nullstellen.
Aufgabe 2
Aufgabe 2
Die Nullstellen von $h_4^{\ast}$ liegen also bei $t_1 = 4,84$ und $t_2 = 14$. Da $t_1$ außerhalb des betrachteten Bereichs liegt und bei $t_2$ offensichtlich ein Vorzeichenwechsel von $+$ zu $-$ vorliegt, handelt es sich bei $t_2$ um die hier gesuchte Maximalstelle.
2. Schritt: Berechnen des Wasservolumen an der Maximalstelle
Das Wasservolumen an der Maximalstelle $t_2 = 14$ berechnest du nun, indem du diesen Wert in den Funktionsterm einer Stammfunktion von $h_4^{\ast}$ einsetzt. Die Stammfunktion $H_4$ von $h_4$ hast du bereits im vorhergegangenen Aufgabenteil berechnet. Subtrahiere von dieser Funktion die Abflussrate um eine Stammfunktion von $h_4^{\ast}$ bestimmt zu haben. Beachte dabei, dass erst ab dem Zeitpunkt $t = 10$ die Abflussrate von $2.000$ m$^3$ pro Stunde vorliegt.
$H_4^{\ast}(t)= \frac{1}{8} \cdot t^4 - \frac{28}{3} \cdot t^3 + 192 \cdot t^2 + 740 \cdot t - 2000 \cdot (t - 10)$
Setze nun $t_2 = 14$ ein, um das Wasservolumen zum Zeitpunkt des Maximums zu bestimmen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} H_4^{\ast}(t_2)=&\frac{1}{8} \cdot 14^4 - \frac{28}{3} \cdot 14^3 + 192 \cdot 14^2 + 740 \cdot 14 - 2000 \cdot (14 - 10)\\ =&4.802 - 25.610,7 + 37.632 + 10.360 - 8.000\\ =&19.183,3\\ \end{array}$
Es befinden sich also maximal 19.183,3 m$^3$ Wasser im Staubecken. Da dieser Wert unter der Grenze von 20.000 m$^3$ liegt, ist das Staubecken nicht am überlaufen.
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