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Aufgabe 5

Aufgaben
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Aufgabenstellung:
Biologen wollen die Entwicklung einer Mäusebussardpopulation in einem Untersuchungsgebiet durch eine Matrix beschreiben. Dabei werden (auch in der gesamten folgenden Aufgabe) ausschließlich die weiblichen Tiere der Population betrachtet. Die Bussardpopulation besteht aus Küken ($k$), Jungvögeln ($j$), die noch nicht geschlechtsreif sind, und Altvögeln ($a$), die fortpflanzungsfähig sind. Die Küken entwickeln sich im Jahr nach dem Schlüpfen zu Jungvögeln und nach einem weiteren Jahr zu Altvögeln.
Nach Beobachtungen des Bestandes der Bussarde wurde vor ca. $25$ Jahren zur Modellierung der Populationentwicklung die Matrix
von:$k$$j$$a$
$k$$\begin{pmatrix}0&0&0,6\\[2pt]0,5&0&0\\[2pt]0&0,7&0,79\end{pmatrix}$
nach:$j$$A=$
$a$
erstellt.
a)
(1)
Stelle die Entwicklung der Bussardpopulation nach dem vorgeschlagenen Modell durch einen Übergangsgraphen dar und interpretiere die Bedeutung der Matrixeinträge $0,6$ und $0,79$ im Sachzusammenhang.
(8P)
(2)
Zur Simulation der Entwicklung der Population wurde von einem Bestand von $30$ Küken, $30$ Jungvögeln und $30$ Altvögeln ausgegangen.
Berechne die Verteilung auf die drei Altersstufen in der Population für das nächste und das übernächste Jahr.
(4P)
(3)
Berechne den Anteil der gerade geschlüpften Küken, die bei einer Modellierung mit der Matrix $A$ drei Jahre später noch leben.
(3P)
b)
In einem Jahr wurden $50$ Küken, $55$ Jungvögel und $60$ Altvögel im Beobachtungsgebiet gezählt.
Untersuche, ob es zu diesem Mäusebussardbestand eine Verteilung des Vorjahres auf die drei Entwicklungsstufen gibt, wenn man zur Modellierung der Population die Matrix $A$ benutzt.
(5P)
c)
(1)
Bestimme $x$ und $y$ so, dass $A \cdot \pmatrix{x \\ 9 \\ 30} = y \cdot \pmatrix{x \\ 9 \\ 30}$ gilt.
[Zur Kontrolle: $x=18$ und $y=1$.]
(5P)
(2)
Interpretiere den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext.
(3P)
(3)
Gib $A^n \cdot \pmatrix{36 \\ 18 \\ 60}$ ($n \in \mathbb{N}$) als Vektor an.
(3P)
d)
Veränderte Umweltbedingungen führen heute dazu, dass zur Modellierung jetzt die Matrix $B$ gewählt wird:
$B=\begin{pmatrix}0&0&0,7\\[2pt]0,6&0&0\\[2pt]0&0,75&0,8\end{pmatrix}$.
(1)
Vergleiche die Matrizen $A$ und $B$ im Sachzusammenhang.
Es ist $B^3=\begin{pmatrix}0,315&0,42&0,448\\[2pt]0&0,315&0,336\\[2pt]0,36&0,48&0,827\end{pmatrix}$.
(3P)
(2)
Für eine Population wird vorausgesetzt, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt die Anzahlen von Küken, Jungvögeln und Altvögeln übereinstimmen. Eine Forschungsgruppe behauptet, dass in diesem Fall die Gesamtzahl der Tiere nach der Modellierung in einem Zeitraum von $3$ Jahren um $20$ $\%$ zunimmt.
Beurteile die Aussage.
(6P)
e)
(1)
Zeige:
Wenn die Matrix $B_{u, v}=\begin{pmatrix}0&0&0,7\\[2pt]0,6&0&0\\[2pt]0&u&v\end{pmatrix}$ $(0\lt u \leq 1)$ eine stationäre Verteilung $\vec{s}\neq\vec{0}$ besitzt, dann muss $0,58 \leq v \lt 1$ gelten.
(7P)
(2)
Interpretiere die Aussage aus e) (1) im Sachzusammenhang.
(3P)
Aufgabenstellung:
Biologen wollen die Entwicklung einer Mäusebussardpopulation in einem Untersuchungsgebiet durch eine Matrix beschreiben. Dabei werden (auch in der gesamten folgenden Aufgabe) ausschließlich die weiblichen Tiere der Population betrachtet. Die Bussardpopulation besteht aus Küken ($k$), Jungvögeln ($j$), die noch nicht geschlechtsreif sind, und Altvögeln ($a$), die fortpflanzungsfähig sind. Die Küken entwickeln sich im Jahr nach dem Schlüpfen zu Jungvögeln und nach einem weiteren Jahr zu Altvögeln.
Nach Beobachtungen des Bestandes der Bussarde wurde vor ca. $25$ Jahren zur Modellierung der Populationsentwicklung die Matrix
von:$k$$j$$a$
$k$$\begin{pmatrix}0&0&0,6\\[2pt]0,5&0&0\\[2pt]0&0,7&0,79\end{pmatrix}$
nach:$j$$A=$
$a$
erstellt.
#matrix
a)
(1)
Stelle die Entwicklung der Bussardpopulation nach dem vorgeschlagenen Modell durch einen Übergangsgraphen dar und interpretiere die Bedeutung der Matrixeinträge $0,6$ und $0,79$ im Sachzusammenhang.
(8P)
(2)
Zur Simulation der Entwicklung der Population wurde von einem Bestand von $30$ Küken, $30$ Jungvögeln und $30$ Altvögeln ausgegangen.
Berechne die Verteilung auf die drei Altersstufen in der Population für das nächste und das übernächste Jahr.
(4P)
(3)
Berechne den Anteil der gerade geschlüpften Küken, die bei einer Modellierung mit der Matrix $A$ drei Jahre später noch leben.
(3P)
b)
In einem Jahr wurden $50$ Küken, $55$ Jungvögel und $60$ Altvögel im Beobachtungsgebiet gezählt.
Untersuche, ob es zu diesem Mäusebussardbestand eine Verteilung des Vorjahres auf die drei Entwicklungsstufen gibt, wenn man zur Modellierung der Population die Matrix $A$ benutzt.
(5P)
c)
(1)
Bestimme $x$ und $y$ so, dass $A \cdot \pmatrix{x \\ 9 \\ 30} = y \cdot \pmatrix{x \\ 9 \\ 30}$ gilt.
[Zur Kontrolle: $x=18$ und $y=1$.]
(5P)
(2)
Interpretiere den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext.
(3P)
(3)
Gib $A^n \cdot \pmatrix{36 \\ 18 \\ 60}$ ($n \in \mathbb{N}$) als Vektor an.
(3P)
#vektoren
d)
Veränderte Umweltbedingungen führen heute dazu, dass zur Modellierung jetzt die Matrix $B$ gewählt wird:
$B=\begin{pmatrix}0&0&0,7\\[2pt]0,6&0&0\\[2pt]0&0,75&0,8\end{pmatrix}$.
(1)
Vergleiche die Matrizen $A$ und $B$ im Sachzusammenhang.
Es ist $B^3=\begin{pmatrix}0,315&0,42&0,448\\[2pt]0&0,315&0,336\\[2pt]0,36&0,48&0,827\end{pmatrix}$.
(3P)
(2)
Für eine Population wird vorausgesetzt, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt die Anzahlen von Küken, Jungvögeln und Altvögeln übereinstimmen. Eine Forschungsgruppe behauptet, dass in diesem Fall die Gesamtzahl der Tiere nach der Modellierung in einem Zeitraum von $3$ Jahren um $20$ $\%$ zunimmt.
Beurteile die Aussage.
(6P)
#matrix
e)
(1)
Zeige:
Wenn die Matrix $B_{u, v}=\begin{pmatrix}0&0&0,7\\[2pt]0,6&0&0\\[2pt]0&u&v\end{pmatrix}$ $(0\lt u \leq 1)$ eine stationäre Verteilung $\vec{s}\neq\vec{0}$ besitzt, dann muss $0,58 \leq v \lt 1$ gelten.
(7P)
(2)
Interpretiere die Aussage aus e) (1) im Sachzusammenhang.
(3P)
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Tipps
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Übergangsgraph zeichnen
Du sollst die vorgestellte Entwicklung der Bussardpopulation in einem Übergangsgraph darstellen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass es drei Entwicklungsstadien gibt: $k$, $j$ und $a$. Die entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten kannst du der Matrix $A$ entnehmen.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Matrixeinträge interpretieren
Du sollst die Einträge $0,6$ und $0,79$ der Matrix $A$ im Sachzusammenhang interpretieren. Beachte dabei, dass der Eintrag $a_{ij}$ einer Übergangsmatrix die Übergangsrate vom Zustand $j$ in den Zustand $i$ beschreibt.
(2)
$\blacktriangleright$  Verteilungen für die Folgejahre berechnen
Du sollst die Verteilungen der Bussardpopulation der nächsten beiden Jahre berechnen. Den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_t$, der die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ beschreibt, kannst du mit Hilfe der zugehörigen Übergangsmatrix $A$ wie folgt berechnen:
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^{t}\cdot \overrightarrow{v}_0$
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^t \overrightarrow{v}_0$
Gesucht sind hier $\overrightarrow{v}_1$ und $\overrightarrow{v}_2$. $\overrightarrow{v}_0$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen:
$\overrightarrow{v}_0 = \begin{pmatrix}30\\30\\30 \end{pmatrix} $
Du kannst nun die gesuchten Vektoren entweder handschriftlich oder mit deinem GTR berechnen.
(3)
$\blacktriangleright$  Überlebensrate der Küken berechnen
Gesucht ist der Anteil der Küken, die drei Jahre nach dem Schlüpfen noch leben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein geschlüpftes Küken im nächsten Jahr noch lebt ist gerade die Übergangsrate der Küken zu den Jungvögeln, also $0,5$. Da die Küken dann zu den Jungvögeln gehören, muss für das zweite Jahr die Überlebensrate dieser betrachtet werden, $0,7$. Für das dritte Jahr zählt die Überlebensrate der Altvögel, also $0,79$. Mit der Pfadmultiplikationsregel kannst du nun den gesuchten Anteil $p_3$ berechnen.
b)
$\blacktriangleright$  Mögliche Verteilung untersuchen
Du sollst untersuchen, ob bei der vorgegebenen Entwicklung, die durch die Matrix $A$ beschrieben wird, die angegebene Verteilung erreichbar wäre. Gegeben sind dir also $\overrightarrow{v}_t$ und $A$, während du überprüfen sollst, ob es einen Vektor $\overrightarrow{v}_{t-1}$ gibt, sodass die Formel erfüllt ist:
$\overrightarrow{v}_t = A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}$
$\overrightarrow{v}_t = A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}$
$\overrightarrow{v}_t$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen. Du erhältst so ein lineares Gleichungssystem, welches du lösen kannst.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ bestimmen
Du sollst $x$ und $y$ so bestimmen, dass folgende Gleichung erfüllt ist:
$A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} = y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix}$
Setzt du dort $A$ ein, kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach $x$ und $y$ lösen kannst.
(2)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt interpretieren
Um den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext zu interpretieren, betrachte die Gleichung genauer und überlege, was die Einträge der Vektoren im Sachzusammenhang bedeuten. Wichtig ist, dass beide Vektoren in der Gleichung identisch sind.
(3)
$\blacktriangleright$  Vektor angeben
Betrachtest du Aufgabenteil c) (1), kannst du erkennen, dass der hier gegebene Vektor ein Vielfaches des dort angegebenen Vektors ist. Mit Hilfe der Gleichung aus diesem Aufgabenteil kannst du den gesuchten Vektor bestimmen.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Matrizen im Sachzusammenhang vergleichen
Du sollst die Matrizen $A$ und $B$ im Sachzusammenhang vergleichen:
$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\quad$
$\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0& 0,7 \\ 0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0,75 & 0,8 \end{pmatrix}$
Die Elemente, die schon in $A$ Null waren, sind auch in $B$ Null. Vergleiche also die von Null verschiedenen Einträge.
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Es soll einen Zeitpunkt geben, bei dem die Anzahlen der Küken, Jungvögel und Altvögel übereinstimmen. Für diesen Bestand sollst du dann die Entwicklung des Bestands drei Jahre später betrachten. Für den Bestand mit identischen Anzahlen, kannst du folgenden Verteilungsvektor verwenden:
$\overrightarrow{w}_0 = \begin{pmatrix}w\\w\\w\end{pmatrix}$
Berechne nun die Gesamtanzahl der Tiere nach drei Jahren und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. Dadurch kannst du eine Aussage über die prozentuale Zunahme treffen.
e)
(1)
$\blacktriangleright$ Grenzen für $\boldsymbol{v} $ nachweisen
Damit $B_{u,v}$ eine stationäre Verteilung $\overrightarrow{s}=\begin{pmatrix} s_1 \\s_2\\s_3\end{pmatrix}$ besitzt, muss folgende Gleichung erfüllt sein:
$B_{u,v}\cdot\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
$B_{u,v}\cdot\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle aus dieser Gleichung ein lineares Gleichungssystem auf, dessen Gleichungen du so umformen kannst, dass du eine Abschätzung für $v$ erhältst. Beachte dabei, dass sowohl $\overrightarrow{s} \neq \overrightarrow{0}$ als auch $0 < u \leq 1$ gelten soll.
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren
Um die Aussage aus dem vorherigen Aufgabenteil zu interpretieren, überlege dir zunächst welche Bedeutung $u$ und $v$ im Sachzusammenhang haben.
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Übergangsgraph zeichnen
Du sollst die vorgestellte Entwicklung der Bussardpopulation in einem Übergangsgraph darstellen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass es drei Entwicklungsstadien gibt: $k$, $j$ und $a$. Die entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten kannst du der Matrix $A$ entnehmen.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Matrixeinträge interpretieren
Du sollst die Einträge $0,6$ und $0,79$ der Matrix $A$ im Sachzusammenhang interpretieren. Beachte dabei, dass der Eintrag $a_{ij}$ einer Übergangsmatrix die Übergangsrate vom Zustand $j$ in den Zustand $i$ beschreibt.
(2)
$\blacktriangleright$  Verteilungen für die Folgejahre berechnen
Du sollst die Verteilungen der Bussardpopulation der nächsten beiden Jahre berechnen. Den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_t$, der die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ beschreibt, kannst du mit Hilfe der zugehörigen Übergangsmatrix $A$ wie folgt berechnen:
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^{t}\cdot \overrightarrow{v}_0$
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^t \overrightarrow{v}_0$
Gesucht sind hier $\overrightarrow{v}_1$ und $\overrightarrow{v}_2$. $\overrightarrow{v}_0$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen:
$\overrightarrow{v}_0 = \begin{pmatrix}30\\30\\30 \end{pmatrix} $
Du kannst nun die gesuchten Vektoren entweder handschriftlich oder mit deinem GTR berechnen.
(3)
$\blacktriangleright$  Überlebensrate der Küken berechnen
Gesucht ist der Anteil der Küken, die drei Jahre nach dem Schlüpfen noch leben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein geschlüpftes Küken im nächsten Jahr noch lebt ist gerade die Übergangsrate der Küken zu den Jungvögeln, also $0,5$. Da die Küken dann zu den Jungvögeln gehören, muss für das zweite Jahr die Überlebensrate dieser betrachtet werden, $0,7$. Für das dritte Jahr zählt die Überlebensrate der Altvögel, also $0,79$. Mit der Pfadmultiplikationsregel kannst du nun den gesuchten Anteil $p_3$ berechnen.
b)
$\blacktriangleright$  Mögliche Verteilung untersuchen
Du sollst untersuchen, ob bei der vorgegebenen Entwicklung, die durch die Matrix $A$ beschrieben wird, die angegebene Verteilung erreichbar wäre. Gegeben sind dir also $\overrightarrow{v}_t$ und $A$, während du überprüfen sollst, ob es einen Vektor $\overrightarrow{v}_{t-1}$ gibt, sodass die Formel erfüllt ist:
$\overrightarrow{v}_t = A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}$
$\overrightarrow{v}_t = A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}$
$\overrightarrow{v}_t$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen. Du erhältst so ein lineares Gleichungssystem, welches du lösen kannst.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ bestimmen
Du sollst $x$ und $y$ so bestimmen, dass folgende Gleichung erfüllt ist:
$A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} = y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix}$
Setzt du dort $A$ ein, kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach $x$ und $y$ lösen kannst.
(2)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt interpretieren
Um den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext zu interpretieren, betrachte die Gleichung genauer und überlege, was die Einträge der Vektoren im Sachzusammenhang bedeuten. Wichtig ist, dass beide Vektoren in der Gleichung identisch sind.
(3)
$\blacktriangleright$  Vektor angeben
Betrachtest du Aufgabenteil c) (1), kannst du erkennen, dass der hier gegebene Vektor ein Vielfaches des dort angegebenen Vektors ist. Mit Hilfe der Gleichung aus diesem Aufgabenteil kannst du den gesuchten Vektor bestimmen.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Matrizen im Sachzusammenhang vergleichen
Du sollst die Matrizen $A$ und $B$ im Sachzusammenhang vergleichen:
$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\quad$
$\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0& 0,7 \\ 0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0,75 & 0,8 \end{pmatrix}$
Die Elemente, die schon in $A$ Null waren, sind auch in $B$ Null. Vergleiche also die von Null verschiedenen Einträge.
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Es soll einen Zeitpunkt geben, bei dem die Anzahlen der Küken, Jungvögel und Altvögel übereinstimmen. Für diesen Bestand sollst du dann die Entwicklung des Bestands drei Jahre später betrachten. Für den Bestand mit identischen Anzahlen, kannst du folgenden Verteilungsvektor verwenden:
$\overrightarrow{w}_0 = \begin{pmatrix}w\\w\\w\end{pmatrix}$
Berechne nun die Gesamtanzahl der Tiere nach drei Jahren und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. Dadurch kannst du eine Aussage über die prozentuale Zunahme treffen.
e)
(1)
$\blacktriangleright$ Grenzen für $\boldsymbol{v} $ nachweisen
Damit $B_{u,v}$ eine stationäre Verteilung $\overrightarrow{s}=\begin{pmatrix} s_1 \\s_2\\s_3\end{pmatrix}$ besitzt, muss folgende Gleichung erfüllt sein:
$B_{u,v}\cdot\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
$B_{u,v}\cdot\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle aus dieser Gleichung ein lineares Gleichungssystem auf, dessen Gleichungen du so umformen kannst, dass du eine Abschätzung für $v$ erhältst. Beachte dabei, dass sowohl $\overrightarrow{s} \neq \overrightarrow{0}$ als auch $0 < u \leq 1$ gelten soll.
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren
Um die Aussage aus dem vorherigen Aufgabenteil zu interpretieren, überlege dir zunächst welche Bedeutung $u$ und $v$ im Sachzusammenhang haben.
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Übergangsgraph zeichnen
Du sollst die vorgestellte Entwicklung der Bussardpopulation in einem Übergangsgraph darstellen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass es drei Entwicklungsstadien gibt: $k$, $j$ und $a$. Die entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten kannst du der Matrix $A$ entnehmen. Dann erhältst du ein ähnliches Schaubild wie das folgende:
Aufgabe 5
Abb. 1: Übergangsgraph
Aufgabe 5
Abb. 1: Übergangsgraph
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Matrixeinträge interpretieren
Du sollst die Einträge $0,6$ und $0,79$ der Matrix $A$ im Sachzusammenhang interpretieren. Beachte dabei, dass der Eintrag $a_{ij}$ einer Übergangsmatrix die Übergangsrate vom Zustand $j$ in den Zustand $i$ beschreibt.
In diesem Fall befindet sich der Eintrag $0,6$ in der ersten Zeile der dritten Spalte und beschreibt daher die durchschnittliche Anzahl an Küken, die jährlich von einem ausgewachsenen weiblichen Tier ausgebrütet werden.
Der Eintrag $0,79$ befindet sich in der dritten Zeile der dritten Spalte. Er beschreibt demnach die Übergangsrate von den ausgewachsenen Tieren zu den ausgewachsenen Tieren, also die Überlebensrate der fortpflanzungsfähigen ausgewachsenen weiblichen Tiere.
(2)
$\blacktriangleright$  Verteilungen für die Folgejahre berechnen
Du sollst die Verteilungen der Bussardpopulation der nächsten beiden Jahre berechnen. Den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_t$, der die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ beschreibt, kannst du mit Hilfe der zugehörigen Übergangsmatrix $A$ wie folgt berechnen:
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^{t}\cdot \overrightarrow{v}_0$
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^t \overrightarrow{v}_0$
Gesucht sind hier $\overrightarrow{v}_1$ und $\overrightarrow{v}_2$. $\overrightarrow{v}_0$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen:
$\overrightarrow{v}_0 = \begin{pmatrix}30\\30\\30 \end{pmatrix} $
Du kannst nun die gesuchten Vektoren entweder handschriftlich oder mit deinem GTR berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Einsetzen in die Formel liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_1&=&A\cdot \overrightarrow{v}_0 \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}30\\30\\30\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\cdot 30 + 0\cdot 30 + 0,6\cdot 30 \\ 0,5\cdot 30 +0 \cdot 30 + 0\cdot 30\\ 0\cdot 30 +0,7\cdot 30 + 0,79 \cdot 30 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{v}_1 = \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} $
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_2&=& A\cdot \overrightarrow{v}_1 \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\cdot 18 + 0\cdot 15 + 0,6\cdot 44,7 \\ 0,5\cdot 18 +0 \cdot 15 + 0\cdot 44,7\\ 0\cdot 18 +0,7\cdot 15 + 0,79 \cdot 44,7 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 26,82 \\ 9\\ 45,813\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{v}_2 =\begin{pmatrix} 26,82 \\ 9\\ 45,813\end{pmatrix} $
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Eine Matrix kannst du über folgende Befehlsfolge eingeben:
2nd $\to$ $ x^{-1}$(MATRIX) $\to $ EDIT
2nd $\to$ $ x^{-1}$(MATRIX) $\to $ EDIT
Die eingegebenen Matrizen und Vektoren kannst du dann über folgenden Befehl wieder abrufen, um mit ihnen zu rechnen:
2nd $\to$ $ x^{-1}$(MATRIX) $\to $ NAMES
2nd $\to$ $ x^{-1}$(MATRIX) $\to $ NAMES
Aufgabe 5
Abb. 2: Verteilungsvektoren
Aufgabe 5
Abb. 2: Verteilungsvektoren
Im nächsten Jahr besteht die Population nach dem Modell aus $18$ Küken, $15$ Jungvögeln und ca. $45$ fortpflanzungsfähigen Altvögeln. Im darauffolgenden Jahr gibt es ca. $27$ Küken, $9$ Jungvögel und ca. $46$ Altvögel.
(3)
$\blacktriangleright$  Überlebensrate der Küken berechnen
Gesucht ist der Anteil der Küken, die drei Jahre nach dem Schlüpfen noch leben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein geschlüpftes Küken im nächsten Jahr noch lebt ist gerade die Übergangsrate der Küken zu den Jungvögeln, also $0,5$. Da die Küken dann zu den Jungvögeln gehören, muss für das zweite Jahr die Überlebensrate dieser betrachtet werden, $0,7$. Für das dritte Jahr zählt die Überlebensrate der Altvögel, also $0,79$. Mit der Pfadmultiplikationsregel kannst du nun den gesuchten Anteil $p_3$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} p_3&=& 0,5\cdot 0,7\cdot 0,79 \\[5pt] &=&\dfrac{553}{2.000} \\[5pt] &=& 0,2765 \\[5pt] &=& 27,65\,\% \end{array}$
Drei Jahre nach dem Schlüpfen leben ca. $27,65\,\%$ der Küken noch.
#pfadregeln#übergangsgraph
b)
$\blacktriangleright$  Mögliche Verteilung untersuchen
Du sollst untersuchen, ob bei der vorgegebenen Entwicklung, die durch die Matrix $A$ beschrieben wird, die angegebene Verteilung erreichbar wäre. Gegeben sind dir also $\overrightarrow{v}_t$ und $A$, während du überprüfen sollst, ob es einen Vektor $\overrightarrow{v}_{t-1}$ gibt, sodass die Formel erfüllt ist:
$\overrightarrow{v}_t = A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}$
$\overrightarrow{v}_t = A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}$
$\overrightarrow{v}_t$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen. Durch Einsetzen erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_t&=& A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}\\[5pt] \begin{pmatrix}50\\55\\60 \end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \\v_3\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}50\\55\\60 \end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 0\cdot v_1 + 0\cdot v_2 + 0,6\cdot v_3 \\ 0,5\cdot v_1 +0\cdot v_2 +0\cdot v_3 \\ 0\dot v_1 +0,7\cdot v_2 +0,79\cdot v_3 \end{pmatrix} \end{array}$
$ \begin{pmatrix}50\\55\\60 \end{pmatrix} = …$
Daraus erhältst du folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
$\begin{array}{} \text{I}\quad&50&=&\quad 0,6\cdot v_3\\ \text{II}\quad&55&=&\quad 0,5\cdot v_1\\ \text{III}\quad&60&=& 0,7\cdot v_2 +0,79\cdot v_3\\ \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad&50&=&\quad …\\ \text{II}\quad&55&=&\quad …\\ \text{III}\quad&60&=& …\\ \end{array} $
Aus der ersten Gleichung kannst du bereits eine Lösung für $v_3$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 50&=&0,6v_3 &\quad \scriptsize \mid\; :0,6\\[5pt] \dfrac{250}{3}&=& v_3 \end{array}$
Genauso bei der zweiten Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 55 &=& 0,5v_1 &\quad \scriptsize \mid\; :0,5 \\[5pt] 110 &=& v_1 \end{array}$
Setze nun in $\text{III}$ ein und berechne so $v_2$:
$\begin{array}[t]{rll} 60&=&0,7v_2+0,79v_3 \\[5pt] 60&=& 0,7v_2 +0,79\cdot \dfrac{250}{3} \\[5pt] 60&=& 0,7v_2 +\dfrac{395}{6}&\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{395}{6} \\[5pt] -\dfrac{35}{6}&=&0,7v_2 &\quad \scriptsize \mid\;:0,7 \\[5pt] -\dfrac{25}{3}&=&v_2 \\[5pt] \end{array}$
$ - \dfrac{25}{3}=v_2 $
Der zur Modellierung mit der Matrix $A$ gehörige Verteilungsvektor für das Vorjahr würde sich zu $\overrightarrow{v}_{t-1} = \begin{pmatrix} 110\\ -\frac{25}{3} \\ \frac{250}{3} \end{pmatrix}$ ergeben. Ein negativer Eintrag ist im Sachzusammenhang allerdings nicht möglich. Also gibt es keine zum Modell passende Verteilung des Vorjahres.
#vektoren#lgs
c)
(1)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ bestimmen
Du sollst $x$ und $y$ so bestimmen, dass folgende Gleichung erfüllt ist:
$A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} = y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix}$
Setzt du dort $A$ ein, kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach $x$ und $y$ lösen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix}&=& y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} &=& y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 0,6\cdot 30 \\ 0,5x\\ 0,7\cdot 9 + 0,79\cdot 30\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}xy\\9y\\30y\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{pmatrix} 0,6\cdot 30 \\ 0,5x\\ 0,7\cdot 9 + 0,79\cdot 30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xy\\9y\\30y\end{pmatrix} $
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&18&=& xy\quad \\ \text{II}\quad&0,5x&=&9y\quad\\ \text{III}\quad&30&=&30y\quad\\ \end{array}$
Aus der dritten Gleichung erhältst du direkt:
$\begin{array}[t]{rll} 30&=& 30y&\quad \scriptsize \mid\;:30 \\[5pt] 1&=& y \end{array}$
Dies kannst du nun in $\text{I}$ einsetzen und erhältst:
$18 = x\cdot y =x\cdot 1 = x$
Zur Kontrolle kannst du nun deine Ergebnisse noch in $\text{II}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,5x&=& 9y \\[5pt] 0,5 \cdot 18&=&9\cdot 1 \\[5pt] 9&=&9\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 5
Für $x = 18$ und $y= 1$ ist die gegebene Gleichung erfüllt.
(2)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt interpretieren
Um den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext zu interpretieren, betrachte die Gleichung genauer und überlege, was die Einträge der Vektoren im Sachzusammenhang bedeuten. Wichtig ist, dass beide Vektoren in der Gleichung identisch sind.
Die Gleichung bedeutet, dass sich die Population mit $x$ Küken, $9$ Jungvögeln und $30$ Altvögeln im nächsten Jahr um den Faktor $y$ vervielfacht, wobei sich die Anzahl der einzelnen Entwicklungsstufen mit $y$ multipliziert und nicht nur die Gesamtanzahl.
Da diese Gleichung nur ein Lösungspaar besitzt, gibt es nur eine Anzahl von Küken, für die dies möglich ist. Insbesondere ist hier $y =1$, die Anzahl der Vögel in den einzelnen Entwicklungsstadien bleibt bei dieser Verteilung also über die Jahre gleich.
(3)
$\blacktriangleright$  Vektor angeben
Betrachtest du Aufgabenteil c) (1), kannst du erkennen, dass der hier gegebene Vektor ein Vielfaches des dort angegebenen Vektors ist. Mit Hilfe der Gleichung aus diesem Aufgabenteil kannst du den gesuchten Vektor bestimmen.
Nach Aufgabenteil c) (1) gilt folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} A\cdot \begin{pmatrix}18\\9\\30 \end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}18\\9\\30 \end{pmatrix}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2\cdot A\cdot \begin{pmatrix}18\\9\\30 \end{pmatrix} &=& 2\cdot \begin{pmatrix}18\\9\\30 \end{pmatrix}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] A\cdot \begin{pmatrix}36\\18\\60 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}36\\18\\60 \end{pmatrix} \end{array}$
Der Vektor $\begin{pmatrix}36\\18\\60 \end{pmatrix}$ ist also ein Fixvektor von $A$ und verändert sich daher nicht durch die Multiplikation mit $A$. Aus diesem Grund gilt auch:
$A^n\cdot \begin{pmatrix}36\\18\\60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}36\\18\\60 \end{pmatrix}$
#vektoren
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Matrizen im Sachzusammenhang vergleichen
Du sollst die Matrizen $A$ und $B$ im Sachzusammenhang vergleichen:
$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\quad$
$\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0& 0,7 \\ 0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0,75 & 0,8 \end{pmatrix}$
Die Elemente, die schon in $A$ Null waren, sind auch in $B$ Null. Vergleiche also die von Null verschiedenen Einträge.
Alle von Null verschiedenen Einträge sind in der Matrix $B$ größer als in $A$. Diese Einträge beschreiben die Überlebensraten in den einzelnen Entwicklungsstadien, bzw. die Anzahl an Nachkommen pro fortpflanzungsfähigem Weibchen. Die Population im neuen Model wächst also stärker als im alten Modell.
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Es soll einen Zeitpunkt geben, bei dem die Anzahlen der Küken, Jungvögel und Altvögel übereinstimmen. Für diesen Bestand sollst du dann die Entwicklung des Bestands drei Jahre später betrachten. Für den Bestand mit identischen Anzahlen, kannst du folgenden Verteilungsvektor verwenden:
$\overrightarrow{w}_0 = \begin{pmatrix}w\\w\\w\end{pmatrix}$
Berechne nun die Gesamtanzahl der Tiere nach drei Jahren und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. Dadurch kannst du eine Aussage über die prozentuale Zunahme treffen. Die Matrix $B^3$ ist dir in der Aufgabenstellung gegeben. Du kannst hier also einfach die zweite Variante der Formel aus a) anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{w}_3&=& B^3 \cdot \overrightarrow{w}_0 \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0,315 & 0,42& 0,448 \\ 0 & 0,315 & 0,336 \\ 0,36 & 0,48 & 0,827 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}w\\w\\w\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix} 0,315w+0,42w+0,448w\\ 0,315w+0,336w\\ 0,36w+0,48w+0,827w\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}1,183w\\ 0,651w\\ 1,667w \end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{w}_3 = B^3 \cdot \overrightarrow{w}_0 =\begin{pmatrix}1,183w\\ 0,651w\\ 1,667w \end{pmatrix} $
Die Gesamtanzahl der Vögel der Population $w_t$ ergibt sich dann wie folgt:
$w_0 = 3\cdot w $
$w_3 = 1,183w+0,651w+1,667w = 3,501w$
$ w_0 = 3w $
$w_3 = 3,501w$
Es ergibt sich also:
$\dfrac{w_3}{w_0}= \dfrac{3,501w}{3w}= 1,167 $
Die Gesamtanzahl der Tiere nimmt nur um $16,7\,\%$ zu, also ist die Aussage der Forschungsgruppe falsch.
#matrix#vektoren
e)
(1)
$\blacktriangleright$ Grenzen für $\boldsymbol{v} $ nachweisen
Damit $B_{u,v}$ eine stationäre Verteilung $\overrightarrow{s}=\begin{pmatrix} s_1 \\s_2\\s_3\end{pmatrix}$ besitzt, muss folgende Gleichung erfüllt sein:
$B_{u,v}\cdot\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
$B_{u,v}\cdot\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle aus dieser Gleichung ein lineares Gleichungssystem auf, dessen Gleichungen du so umformen kannst, dass du eine Abschätzung für $v$ erhältst. Beachte dabei, dass sowohl $\overrightarrow{s} \neq \overrightarrow{0}$ als auch $0 < u \leq 1$ gelten soll.
$\begin{array}[t]{rll} B_{u,v}\cdot\overrightarrow{s}&=& \overrightarrow{s} \\[5pt] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,7 \\ 0,6 & 0& 0 \\ 0 & u& v\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} s_1 \\s_2\\s_3\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} s_1 \\s_2\\s_3\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}0,7s_3 \\ 0,6s_1\\us_2 + vs_3 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} s_1 \\s_2\\s_3\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&s_1&=& 0,7s_3\quad \\ \text{II}\quad&s_2&=& 0,6s_1\quad \\ \text{III}\quad&s_3&=& us_2+ vs_3 \quad\\ \end{array}$
Du kannst nun $\text{I}$ in $\text{II}$ einsetzen:
$s_2 = 0,6s_1 = 0,6\cdot 0,7 s_3 = 0,42 s_3$
Dies kannst du wiederum in $\text{III}$ einsetzen und diese Gleichung dann zu einer Aussage über $v$ umformen:
$\begin{array}[t]{rll} us_2 + vs_3&=& s_3&\quad \scriptsize \mid\; s_2 = 0,42 s_3 \\[5pt] 0,42us_3+ vs_3 &=& s_3 &\quad \scriptsize \mid\; -s_3 \\[5pt] (0,42u+v-1)s_3 &=& 0 \end{array}$
$ 0 =(0,42u+v-1)s_3 $
Nach dem Satz vom Nullprodukt, muss nun entweder $s_3=0$ oder $0,42u+v-1 =0$ gelten. wäre aber $s_3 =0$, dann wären auch $s_1 =s_2 = 0$. Dies ist aber in der Aufgabenstellung ausgeschlossen. Also muss $0,42u+v-1 =0 $ sein. Diese Gleichung kannst du nun nach $v$ umformen und dann mit Hilfe der Eingrenzung von $u$ abschätzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,42u+v-1&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1-0,41u\\[5pt] v&=& 1-0,42u \\[5pt] \end{array}$
$ v= 1-0,42u $
Wegen $u > 0$ wird von $1$ in jedem Fall etwas positives abgezogen. Daher gilt
$v = 1-0,42u < 1-0,42\cdot 0 = 1 $.
Gleichzeitig gilt auch $u \leq 1$. Also wird in jedem Fall höchstens $0,42$ von $1$ abgezogen, wodurch folgendes gilt:
$v = 1-0,42u \geq 1-0,42\cdot 1 = 0,58$
Insgesamt muss also $0,58\leq v < 1$ gelten.
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren
Um die Aussage aus dem vorherigen Aufgabenteil zu interpretieren, überlege dir zunächst welche Bedeutung $u$ und $v$ im Sachzusammenhang haben.
$u$ gibt die Überlebensrate der Jungvögel an, während $v$ die Überlebensrate der Altvögel beschreibt. Oben hast du gezeigt, dass eine stationäre Verteilung der Population nur existieren kann, wenn mindestens $58\,\%$ der Altvögel das nächste Lebensjahr erreichen. Dies ist unabhängig davon, wie viele der Jungvögel überleben (so lange die Überlebensrate hier positiv bleibt).
#lgs
Bildnachweise [nach oben]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Übergangsgraph zeichnen
Du sollst die vorgestellte Entwicklung der Bussardpopulation in einem Übergangsgraph darstellen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass es drei Entwicklungsstadien gibt: $k$, $j$ und $a$. Die entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten kannst du der Matrix $A$ entnehmen. Dann erhältst du ein ähnliches Schaubild wie das folgende:
Aufgabe 5
Abb. 1: Übergangsgraph
Aufgabe 5
Abb. 1: Übergangsgraph
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Matrixeinträge interpretieren
Du sollst die Einträge $0,6$ und $0,79$ der Matrix $A$ im Sachzusammenhang interpretieren. Beachte dabei, dass der Eintrag $a_{ij}$ einer Übergangsmatrix die Übergangsrate vom Zustand $j$ in den Zustand $i$ beschreibt.
In diesem Fall befindet sich der Eintrag $0,6$ in der ersten Zeile der dritten Spalte und beschreibt daher die durchschnittliche Anzahl an Küken, die jährlich von einem ausgewachsenen weiblichen Tier ausgebrütet werden.
Der Eintrag $0,79$ befindet sich in der dritten Zeile der dritten Spalte. Er beschreibt demnach die Übergangsrate von den ausgewachsenen Tieren zu den ausgewachsenen Tieren, also die Überlebensrate der fortpflanzungsfähigen ausgewachsenen weiblichen Tiere.
(2)
$\blacktriangleright$  Verteilungen für die Folgejahre berechnen
Du sollst die Verteilungen der Bussardpopulation der nächsten beiden Jahre berechnen. Den Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_t$, der die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ beschreibt, kannst du mit Hilfe der zugehörigen Übergangsmatrix $A$ wie folgt berechnen:
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^{t}\cdot \overrightarrow{v}_0$
$\overrightarrow{v}_t = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1} = M^t \overrightarrow{v}_0$
Gesucht sind hier $\overrightarrow{v}_1$ und $\overrightarrow{v}_2$. $\overrightarrow{v}_0$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen:
$\overrightarrow{v}_0 = \begin{pmatrix}30\\30\\30 \end{pmatrix} $
Du kannst nun die gesuchten Vektoren entweder handschriftlich oder mit deinem GTR berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Einsetzen in die Formel liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_1&=&A\cdot \overrightarrow{v}_0 \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}30\\30\\30\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\cdot 30 + 0\cdot 30 + 0,6\cdot 30 \\ 0,5\cdot 30 +0 \cdot 30 + 0\cdot 30\\ 0\cdot 30 +0,7\cdot 30 + 0,79 \cdot 30 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{v}_1 = \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} $
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_2&=& A\cdot \overrightarrow{v}_1 \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 18 \\ 15\\ 44,7\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\cdot 18 + 0\cdot 15 + 0,6\cdot 44,7 \\ 0,5\cdot 18 +0 \cdot 15 + 0\cdot 44,7\\ 0\cdot 18 +0,7\cdot 15 + 0,79 \cdot 44,7 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 26,82 \\ 9\\ 45,813\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{v}_2 =\begin{pmatrix} 26,82 \\ 9\\ 45,813\end{pmatrix} $
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Aufgabe 5
Abb. 2: Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_1$
Aufgabe 5
Abb. 2: Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_1$
Aufgabe 5
Abb. 3: Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_2$
Aufgabe 5
Abb. 3: Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_2$
Im nächsten Jahr besteht die Population nach dem Modell aus $18$ Küken, $15$ Jungvögeln und ca. $45$ fortpflanzungsfähigen Altvögeln. Im darauffolgenden Jahr gibt es ca. $27$ Küken, $9$ Jungvögel und ca. $46$ Altvögel.
(3)
$\blacktriangleright$  Überlebensrate der Küken berechnen
Gesucht ist der Anteil der Küken, die drei Jahre nach dem Schlüpfen noch leben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein geschlüpftes Küken im nächsten Jahr noch lebt ist gerade die Übergangsrate der Küken zu den Jungvögeln, also $0,5$. Da die Küken dann zu den Jungvögeln gehören, muss für das zweite Jahr die Überlebensrate dieser betrachtet werden, $0,7$. Für das dritte Jahr zählt die Überlebensrate der Altvögel, also $0,79$. Mit der Pfadmultiplikationsregel kannst du nun den gesuchten Anteil $p_3$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} p_3&=& 0,5\cdot 0,7\cdot 0,79 \\[5pt] &=&\dfrac{553}{2.000} \\[5pt] &=& 0,2765 \\[5pt] &=& 27,65\,\% \end{array}$
Drei Jahre nach dem Schlüpfen leben ca. $27,65\,\%$ der Küken noch.
#pfadregeln#übergangsgraph
b)
$\blacktriangleright$  Mögliche Verteilung untersuchen
Du sollst untersuchen, ob bei der vorgegebenen Entwicklung, die durch die Matrix $A$ beschrieben wird, die angegebene Verteilung erreichbar wäre. Gegeben sind dir also $\overrightarrow{v}_t$ und $A$, während du überprüfen sollst, ob es einen Vektor $\overrightarrow{v}_{t-1}$ gibt, sodass die Formel erfüllt ist:
$\overrightarrow{v}_t = A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}$
$\overrightarrow{v}_t = A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}$
$\overrightarrow{v}_t$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen. Durch Einsetzen erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_t&=& A \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}\\[5pt] \begin{pmatrix}50\\55\\60 \end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \\v_3\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}50\\55\\60 \end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 0\cdot v_1 + 0\cdot v_2 + 0,6\cdot v_3 \\ 0,5\cdot v_1 +0\cdot v_2 +0\cdot v_3 \\ 0\dot v_1 +0,7\cdot v_2 +0,79\cdot v_3 \end{pmatrix} \end{array}$
$ \begin{pmatrix}50\\55\\60 \end{pmatrix} = …$
Daraus erhältst du folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
$\begin{array}{} \text{I}\quad&50&=&\quad 0,6\cdot v_3\\ \text{II}\quad&55&=&\quad 0,5\cdot v_1\\ \text{III}\quad&60&=& 0,7\cdot v_2 +0,79\cdot v_3\\ \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad&50&=&\quad …\\ \text{II}\quad&55&=&\quad …\\ \text{III}\quad&60&=& …\\ \end{array} $
Aus der ersten Gleichung kannst du bereits eine Lösung für $v_3$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 50&=&0,6v_3 &\quad \scriptsize \mid\; :0,6\\[5pt] \dfrac{250}{3}&=& v_3 \end{array}$
Genauso bei der zweiten Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 55 &=& 0,5v_1 &\quad \scriptsize \mid\; :0,5 \\[5pt] 110 &=& v_1 \end{array}$
Setze nun in $\text{III}$ ein und berechne so $v_2$:
$\begin{array}[t]{rll} 60&=&0,7v_2+0,79v_3 \\[5pt] 60&=& 0,7v_2 +0,79\cdot \dfrac{250}{3} \\[5pt] 60&=& 0,7v_2 +\dfrac{395}{6}&\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{395}{6} \\[5pt] -\dfrac{35}{6}&=&0,7v_2 &\quad \scriptsize \mid\;:0,7 \\[5pt] -\dfrac{25}{3}&=&v_2 \\[5pt] \end{array}$
$ - \dfrac{25}{3}=v_2 $
Der zur Modellierung mit der Matrix $A$ gehörige Verteilungsvektor für das Vorjahr würde sich zu $\overrightarrow{v}_{t-1} = \begin{pmatrix} 110\\ -\frac{25}{3} \\ \frac{250}{3} \end{pmatrix}$ ergeben. Ein negativer Eintrag ist im Sachzusammenhang allerdings nicht möglich. Also gibt es keine zum Modell passende Verteilung des Vorjahres.
#lgs#vektoren
c)
(1)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ bestimmen
Du sollst $x$ und $y$ so bestimmen, dass folgende Gleichung erfüllt ist:
$A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} = y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix}$
Setzt du dort $A$ ein, kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach $x$ und $y$ lösen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} A \cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix}&=& y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\ 9 \\ 30 \end{pmatrix} &=& y \cdot \begin{pmatrix}x\\9\\30\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 0,6\cdot 30 \\ 0,5x\\ 0,7\cdot 9 + 0,79\cdot 30\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}xy\\9y\\30y\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{pmatrix} 0,6\cdot 30 \\ 0,5x\\ 0,7\cdot 9 + 0,79\cdot 30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xy\\9y\\30y\end{pmatrix} $
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&18&=& xy\quad \\ \text{II}\quad&0,5x&=&9y\quad\\ \text{III}\quad&30&=&30y\quad\\ \end{array}$
Aus der dritten Gleichung erhältst du direkt:
$\begin{array}[t]{rll} 30&=& 30y&\quad \scriptsize \mid\;:30 \\[5pt] 1&=& y \end{array}$
Dies kannst du nun in $\text{I}$ einsetzen und erhältst:
$18 = x\cdot y =x\cdot 1 = x$
Zur Kontrolle kannst du nun deine Ergebnisse noch in $\text{II}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,5x&=& 9y \\[5pt] 0,5 \cdot 18&=&9\cdot 1 \\[5pt] 9&=&9\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 5
Für $x = 18$ und $y= 1$ ist die gegebene Gleichung erfüllt.
(2)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt interpretieren
Um den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext zu interpretieren, betrachte die Gleichung genauer und überlege, was die Einträge der Vektoren im Sachzusammenhang bedeuten. Wichtig ist, dass beide Vektoren in der Gleichung identisch sind.
Die Gleichung bedeutet, dass sich die Population mit $x$ Küken, $9$ Jungvögeln und $30$ Altvögeln im nächsten Jahr um den Faktor $y$ vervielfacht, wobei sich die Anzahl der einzelnen Entwicklungsstufen mit $y$ multipliziert und nicht nur die Gesamtanzahl.
Da diese Gleichung nur ein Lösungspaar besitzt, gibt es nur eine Anzahl von Küken, für die dies möglich ist. Insbesondere ist hier $y =1$, die Anzahl der Vögel in den einzelnen Entwicklungsstadien bleibt bei dieser Verteilung also über die Jahre gleich.
(3)
$\blacktriangleright$  Vektor angeben
Betrachtest du Aufgabenteil c) (1), kannst du erkennen, dass der hier gegebene Vektor ein Vielfaches des dort angegebenen Vektors ist. Mit Hilfe der Gleichung aus diesem Aufgabenteil kannst du den gesuchten Vektor bestimmen.
Nach Aufgabenteil c) (1) gilt folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} A\cdot \begin{pmatrix}18\\9\\30 \end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}18\\9\\30 \end{pmatrix}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2\cdot A\cdot \begin{pmatrix}18\\9\\30 \end{pmatrix} &=& 2\cdot \begin{pmatrix}18\\9\\30 \end{pmatrix}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] A\cdot \begin{pmatrix}36\\18\\60 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}36\\18\\60 \end{pmatrix} \end{array}$
Der Vektor $\begin{pmatrix}36\\18\\60 \end{pmatrix}$ ist also ein Fixvektor von $A$ und verändert sich daher nicht durch die Multiplikation mit $A$. Aus diesem Grund gilt auch:
$A^n\cdot \begin{pmatrix}36\\18\\60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}36\\18\\60 \end{pmatrix}$
#vektoren
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Matrizen im Sachzusammenhang vergleichen
Du sollst die Matrizen $A$ und $B$ im Sachzusammenhang vergleichen:
$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0,6 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,7 & 0,79 \end{pmatrix}\quad$
$\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0& 0,7 \\ 0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0,75 & 0,8 \end{pmatrix}$
Die Elemente, die schon in $A$ Null waren, sind auch in $B$ Null. Vergleiche also die von Null verschiedenen Einträge.
Alle von Null verschiedenen Einträge sind in der Matrix $B$ größer als in $A$. Diese Einträge beschreiben die Überlebensraten in den einzelnen Entwicklungsstadien, bzw. die Anzahl an Nachkommen pro fortpflanzungsfähigem Weibchen. Die Population im neuen Model wächst also stärker als im alten Modell.
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Es soll einen Zeitpunkt geben, bei dem die Anzahlen der Küken, Jungvögel und Altvögel übereinstimmen. Für diesen Bestand sollst du dann die Entwicklung des Bestands drei Jahre später betrachten. Für den Bestand mit identischen Anzahlen, kannst du folgenden Verteilungsvektor verwenden:
$\overrightarrow{w}_0 = \begin{pmatrix}w\\w\\w\end{pmatrix}$
Berechne nun die Gesamtanzahl der Tiere nach drei Jahren und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. Dadurch kannst du eine Aussage über die prozentuale Zunahme treffen. Die Matrix $B^3$ ist dir in der Aufgabenstellung gegeben. Du kannst hier also einfach die zweite Variante der Formel aus a) anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{w}_3&=& B^3 \cdot \overrightarrow{w}_0 \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0,315 & 0,42& 0,448 \\ 0 & 0,315 & 0,336 \\ 0,36 & 0,48 & 0,827 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}w\\w\\w\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix} 0,315w+0,42w+0,448w\\ 0,315w+0,336w\\ 0,36w+0,48w+0,827w\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}1,183w\\ 0,651w\\ 1,667w \end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{w}_3 = B^3 \cdot \overrightarrow{w}_0 =\begin{pmatrix}1,183w\\ 0,651w\\ 1,667w \end{pmatrix} $
Die Gesamtanzahl der Vögel der Population $w_t$ ergibt sich dann wie folgt:
$w_0 = 3\cdot w $
$w_3 = 1,183w+0,651w+1,667w = 3,501w$
$ w_0 = 3w $
$w_3 = 3,501w$
Es ergibt sich also:
$\dfrac{w_3}{w_0}= \dfrac{3,501w}{3w}= 1,167 $
Die Gesamtanzahl der Tiere nimmt nur um $16,7\,\%$ zu, also ist die Aussage der Forschungsgruppe falsch.
#matrix
e)
(1)
$\blacktriangleright$ Grenzen für $\boldsymbol{v} $ nachweisen
Damit $B_{u,v}$ eine stationäre Verteilung $\overrightarrow{s}=\begin{pmatrix} s_1 \\s_2\\s_3\end{pmatrix}$ besitzt, muss folgende Gleichung erfüllt sein:
$B_{u,v}\cdot\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
$B_{u,v}\cdot\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle aus dieser Gleichung ein lineares Gleichungssystem auf, dessen Gleichungen du so umformen kannst, dass du eine Abschätzung für $v$ erhältst. Beachte dabei, dass sowohl $\overrightarrow{s} \neq \overrightarrow{0}$ als auch $0 < u \leq 1$ gelten soll.
$\begin{array}[t]{rll} B_{u,v}\cdot\overrightarrow{s}&=& \overrightarrow{s} \\[5pt] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0,7 \\ 0,6 & 0& 0 \\ 0 & u& v\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} s_1 \\s_2\\s_3\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} s_1 \\s_2\\s_3\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}0,7s_3 \\ 0,6s_1\\us_2 + vs_3 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} s_1 \\s_2\\s_3\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&s_1&=& 0,7s_3\quad \\ \text{II}\quad&s_2&=& 0,6s_1\quad \\ \text{III}\quad&s_3&=& us_2+ vs_3 \quad\\ \end{array}$
Du kannst nun $\text{I}$ in $\text{II}$ einsetzen:
$s_2 = 0,6s_1 = 0,6\cdot 0,7 s_3 = 0,42 s_3$
Dies kannst du wiederum in $\text{III}$ einsetzen und diese Gleichung dann zu einer Aussage über $v$ umformen:
$\begin{array}[t]{rll} us_2 + vs_3&=& s_3&\quad \scriptsize \mid\; s_2 = 0,42 s_3 \\[5pt] 0,42us_3+ vs_3 &=& s_3 &\quad \scriptsize \mid\; -s_3 \\[5pt] (0,42u+v-1)s_3 &=& 0 \end{array}$
$ 0 =(0,42u+v-1)s_3 $
Nach dem Satz vom Nullprodukt, muss nun entweder $s_3=0$ oder $0,42u+v-1 =0$ gelten. wäre aber $s_3 =0$, dann wären auch $s_1 =s_2 = 0$. Dies ist aber in der Aufgabenstellung ausgeschlossen. Also muss $0,42u+v-1 =0 $ sein. Diese Gleichung kannst du nun nach $v$ umformen und dann mit Hilfe der Eingrenzung von $u$ abschätzen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,42u+v-1&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1-0,41u\\[5pt] v&=& 1-0,42u \\[5pt] \end{array}$
$ v= 1-0,42u $
Wegen $u > 0$ wird von $1$ in jedem Fall etwas positives abgezogen. Daher gilt
$v = 1-0,42u < 1-0,42\cdot 0 = 1 $.
Gleichzeitig gilt auch $u \leq 1$. Also wird in jedem Fall höchstens $0,42$ von $1$ abgezogen, wodurch folgendes gilt:
$v = 1-0,42u \geq 1-0,42\cdot 1 = 0,58$
Insgesamt muss also $0,58\leq v < 1$ gelten.
(2)
$\blacktriangleright$  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren
Um die Aussage aus dem vorherigen Aufgabenteil zu interpretieren, überlege dir zunächst welche Bedeutung $u$ und $v$ im Sachzusammenhang haben.
$u$ gibt die Überlebensrate der Jungvögel an, während $v$ die Überlebensrate der Altvögel beschreibt. Oben hast du gezeigt, dass eine stationäre Verteilung der Population nur existieren kann, wenn mindestens $58\,\%$ der Altvögel das nächste Lebensjahr erreichen. Dies ist unabhängig davon, wie viele der Jungvögel überleben (so lange die Überlebensrate hier positiv bleibt).
#lgs
Bildnachweise [nach oben]
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