Begründe, dass jeder Graph von drei verschiedene Nullstellen hat. Zeige, dass jeder Graph von den Wendepunkt hat.

Weise nach, dass für jeden Wert von die Graphen zu und im Koordinatenursprung dieselbe Steigung haben.

Berechne die Werte von , für die an der Stelle der Funktionswert beträgt.

Die Graphen zu und haben im Intervall genau zwei gemeinsame Punkte. Begründe mit Hilfe des Krümmungsverhaltens, dass die beiden Graphen im betrachteten Intervall keine weiteren gemeinsamen Punkte haben.

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von im Wendepunkt.
Berechne die Werte von , für die diese Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt.

Gegeben sind die Punkte und
Untersuche, ob es Werte von gibt, sodass die Gerade durch die Punkte und eine Tangente an den Graphen von im Punkt ist.

Begründe, dass der Punkt auf keiner der Geraden durch die Punkte und liegt. zur Kontrolle:

Bestimme die Werte von , für die der zugehörige Graph von im Intervall dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von

Die Tangente an den Graphen von im Tiefpunkt schließt mit dem Graphen von eine Fläche ein. Außerdem schließt der Graph von mit der -Achse im Intervall eine Fläche ein.
Berechne beide Flächeninhalte und bestimme das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen

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Da die Funktionenschar in der Linearfaktorzerlegung angegeben ist, lassen sich die Nullstellen und ablesen. Da vorausgesetzt ist, sind die drei Nullstellen alle verschieden. Es gilt: und Notwendige Bedingung für Wendestellen überprüfen Die Stelle erfüllt die notwendige Bedingung für Wendestellen und zudem hat den Grad 3. ist daher eine lineare Funktion, weshalb in der Nullstelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Somit handelt es sich um eine Wendestelle. Die -Koordinate des Wendepunktes entspricht Damit lauten die Koordinaten des Wendepunktes

Es gilt: Also haben und an der Stelle für jeden Wert von die gleiche Steigung.

Die Lösungen dieser Gleichung ergeben sich mit dem solve-Befehl des Taschenrechners zu und Für diese Werte von gilt

Für gilt: Daraus folgt, dass im betrachteten Intervall der Graph von rechtsgekrümmt und der Graph von linksgekrümmt ist. Damit sich die beiden Graphen nochmals schneiden, müsste sich das Krümmungsverhalten eines Graphen erneut ändern. Somit können sich die beiden Graphen in höchstens zwei Punkten schneiden. Folglich haben die Graphen und keine weiteren gemeinsamen Schnittpunkte im Intervall

Die Steigung der Wendetangente an der Stelle ist gegeben durch Der Wendepunkt hat die Koordinaten Damit das gesuchte Dreieck gleichschenklig ist, muss die Wendetangente die Steigung oder haben. In diesem Fall haben die Schnittpunkte der Tangente mit den beiden Koordinatenachsen jeweils den gleichen Abstand zum Ursprung. Für die Steigung ist nicht lösbar. Für die Steigung muss also gelten Die Gleichung hat die Lösungen und Für diese Werte von schließt die Tangente an den Graphen von mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck ein.

Die Steigung der Geraden durch und lässt sich berechnen durch: Die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt ist gegeben durch die Ableitung von in diesem Punkt, also an der Stelle Die gesuchten Werte von sind durch die Schnittstellen von und gegeben. Die Lösungen dieser Gleichung ergeben sich mit dem solve-Befehl des Taschenrechners und sind gegeben durch und Für diese Werte von ist die Gerade durch und eine Tangente an den Graphen von im Punkt

Die Gleichung der Geraden durch die Punkte und ist Einsetzen der Koordinaten von liefert Umformen nach liefert den -Achsenabschnitt in Abhängigkeit von Der Graph von ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Hochpunkt der Parabel ergibt sich aus der graphischen Analyse mit dem Taschenrechner und hat die Koordinaten Damit lässt sich folgern, dass der -Achsenabschnitt aller Geraden durch und nach oben durch beschränkt ist. Damit kann der Punkt auf keiner dieser Geraden liegen.

Da alle Graphen durch den Ursprung verlaufen, sind die betrachteten Steigungen identisch, wenn gilt. Daraus folgt: Die Lösungen dieser Gleichung sind mit dem solve-Befehl des Taschenrechners zu und gegeben.

Die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von ergeben sich mit der graphischen Analyse des Taschenrechners näherungsweise zu Die Tangentengleichung im Tiefpunkt verläuft parallel zur -Achse und ergibt sich zu Der zweite gemeinsame Punkt der Tangente mit dem Graphen von ergibt sich aus woraus folgt:
Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergibt sich Der Inhalt der Fläche, die von der Tangente und dem Graphen von eingeschlossen wird, ergibt sich zu: Mit der graphischen Analyse des Taschenrechners folgt Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von und der -Achse im Intervall eingeschlossen wird, kann folgendermaßen berechnet werden: Das Verhältnis ist schließlich gegeben durch 3:1.