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Aufgabe 2

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit
$f:\quad x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9.375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140$
$ f:\quad x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+… $
mit Definitionsbereich $\mathbb{R}.$
a)
(1)
Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $f$ und bestimme die Art der Extrempunkte.
[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $20,$ $100$ und $200.$]
(7 BE)
#extrempunkt
$\,$
(2)
Begründe ohne weitere Rechnung, dass die Funktion $f$ genau zwei Wendestellen besitzt.
(3 BE)
#wendepunkt
$\,$
(3)
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse an.
Begründe ohne weitere Rechnung, dass $f$ genau zwei Nullstellen hat.
(4 BE)
#nullstelle
b)
Für $50< x < 130$ gibt es ein Paar von $x$-Werten, die sich um $60$ unterscheiden und für die die zugehörigen Funktionswerte übereinstimmen.
Bestimme dieses Paar von $x$-Werten und gib den zugehörigen Funktionswert an.
(5 BE)
c)
Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen und der zur $y$-Achse parallelen Geraden mit der Gleichung $x=240$ ein Flächenstück ein.
Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.
(5 BE)
d)
Für $u\approx 217$ gilt die nachfolgende Aussage:
$\frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u) + \displaystyle\int_{u}^{240}f(x)\;\mathrm dx = \frac{2}{3}\cdot \displaystyle\int_{0}^{240}f(x)\;\mathrm dx$
$ \frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u) +… $
Erläutere diese Aussage unter Verwendung einer Skizze.
Hinweis: Nutze für die Skizze die nachfolgende Abbildung.
(5 BE)
Aufgabe 2
Abb. 1: Graph von $f$
Aufgabe 2
Abb. 1: Graph von $f$
Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d. h. den Anteil der Glukose im Blut, ständig zu messen. Die gegebene Funktion $f$ beschreibt für $0 \leq x \leq 240$ modellhaft die Entwicklung des Glukosewerts eines Patienten. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter $\left(\frac{\text{mg}}{\text{dl}}\right).$
#integral
e)
Hohe Glukosewerte über längere Zeit gelten als Risikofaktor.
Ermittle für den betrachteten Zeitraum, wie lange Glukosewerte über $170\,\dfrac{\text{mg}}{\text{dl}}$ gemessen wurden.
(5 BE)
f)
Bestimme für den betrachteten Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt.
(6 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art der Extrempunkte berechnenAufgabe 2
1. Schritt: Ableitungen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9.375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140 \\[5pt] f'(x) &=& -\frac{4}{10^6}x^3+\frac{4}{3.125}x^2-\frac{13}{125}x+\frac{8}{5} \\[5pt] f''(x) &=& -\frac{12}{10^6}x^2+\frac{8}{3.125}x-\frac{13}{125} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& … \\[5pt] f'(x) &=& … \\[5pt] f''(x) &=& … \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Die Gleichung $f'(x)=0$ kannst du nun mit deinem GTR lösen, indem du dir den Graphen von $f'$ anzeigen lässt und die Nullstellen bestimmst:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT
F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] -\frac{4}{10^6}x^3+\frac{4}{3.125}x^2-\frac{13}{125}x+\frac{8}{5} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] x_1 &=& 20\\[5pt] x_2 &=& 100 \\[5pt] x_3 &=& 200\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& 20\\[5pt] x_2 &=& 100 \\[5pt] x_3 &=& 200\\[5pt] \end{array}$
Mögliche Extremstellen besitzt $f$ also bei $x_1=20,$ $x_2=100$ und $x_3=200.$ Weitere kann es nicht geben, da es sich bei $f'$ um eine ganzrationale Funktion dritten Grades handelt und eine solche Funktion maximal drei Nullstellen besitzen kann.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(20)&=& -\frac{12}{10^6}\cdot 20^2+\frac{8}{3.125}\cdot 20 - \frac{13}{125} \\[5pt] &=& -0,0576 < 0 \\[10pt] f''(100)&=& -\frac{12}{10^6}\cdot 100^2+\frac{8}{3.125}\cdot 100 - \frac{13}{125} \\[5pt] &=& 0,032 > 0 \\[10pt] f''(200)&=& -\frac{12}{10^6}\cdot 200^2+\frac{8}{3.125}\cdot 200 - \frac{13}{125} \\[5pt] &=& -0,072 < 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(20)&=& -0,0576 < 0 \\[10pt] f''(100)&=& 0,032 > 0 \\[10pt] f''(200)&=& -0,072 < 0 \\[10pt] \end{array}$
An den Stellen $x_1=20$ und $x_2=200$ besitzt der Graph von $f$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x_2=100$ einen Tiefpunkt.
4. Schritt: Fehlende Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(20)&=& -\frac{1}{10^6}\cdot 20^4+\frac{4}{9.375}\cdot 20^3-\frac{13}{250}\cdot 20^2+\frac{8}{5}\cdot 20+140 \\[5pt] &=& \frac{11.584}{75} \\[5pt] &\approx& 154,45 \\[10pt] f(100)&=& -\frac{1}{10^6}\cdot 100^4+\frac{4}{9.375}\cdot 100^3-\frac{13}{250}\cdot 100^2+\frac{8}{5}\cdot 100+140 \\[5pt] &=& \frac{320}{3} \\[5pt] &\approx& 106,67 \\[10pt] f(200)&=& -\frac{1}{10^6}\cdot 200^4+\frac{4}{9.375}\cdot 200^3-\frac{13}{250}\cdot 200^2+\frac{8}{5}\cdot 200+140 \\[5pt] &=& \frac{580}{3} \\[5pt] &\approx& 193,33 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(20)&\approx& 154,45 \\[10pt] f(100)&\approx& 106,67 \\[10pt] f(200)&\approx& 193,33 \\[10pt] \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt zwei Hochpunkte $H_1(20\mid \frac{11.584}{75})$ und $H_2(200\mid \frac{580}{3})$ sowie einen Tiefpunkt $T(100\mid \frac{320}{3}).$
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Zwei Wendestellen begründen
Das notwendige Kriterium für eine Wendestelle $x_W$ von $f$ lautet $f''(x_W)=0.$ Bei $f''$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Diese kann also maximal zwei Nullstellen besitzen. $f$ kann daher maximal zwei Wendestellen besitzen.
Der Graph von $f$ besitzt nach a) (1) genau drei Extrempunkte. Im Hochpunkt ist der Graph immer rechtsgekrümmt, in einem Tiefpunkt immer linksgekrümmt. Zwischen zwei Extrempunkten muss der Graph seine Krümmung daher in einem Punkt ändern. Dies ist die Definition eines Wendepunkts. Der Graph von $f$ muss also mindestens zwei Wendepunkte besitzen - einen zwischen $H_1$ und $T$ und einen zwischen $T$ und $H_2.$
Da er gleichzeitig höchstens zwei Wendepunkte besitzen kann, besitzt der Graph von $f$ also genau zwei Wendepunkte.
#krümmung
$\,$
3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts angeben
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&-\frac{1}{10^6}\cdot 0^4+\frac{4}{9.375}\cdot 0^3-\frac{13}{250}\cdot 0^2+\frac{8}{5}\cdot 0+140 \\[5pt] &=& 140 \\[5pt] \end{array}$
$ f(0)=140 $
Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_y(0\mid 140).$
$\blacktriangleright$  Anzahl der Nullstellen begründen
Die drei Extrempunkte des Graphen von $f$ liegen oberhalb der $x$-Achse. Im Intervall $[20;200]$ kann $f$ daher keine Nullstellen besitzen, da sonst der Tiefpunkt eine negative $y$-Koordinate haben müsste.
Da $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = -\infty$ und $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty$ gilt, muss der Graph von $f$ aber für $x < 20$ genau einmal die $x$-Achse schneiden. Würde er sie zweimal schneiden, gäbe es für $x< 20$ noch einen weiteren Tiefpunkt. Gleiches gilt für $x> 200.$ Insgesamt besitzt $f$ daher genau zwei Nullstellen.
b)
$\blacktriangleright$  Wertepaar bestimmen
Es ist $x$ gesucht mit $f(x)=f(x+60)$ und $50< x< 130.$
Löse die Gleichung, indem du beide Seiten der Gleichung als Funktionsterm auffasst und dir in deinem GTR den zugehörigen Graphen anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F5: INTSECT
F5 (G-Solv) $\to$ F5: INTSECT
Du erhältst als einzige Lösung im angegebenen Bereich $x \approx 69,1528.$
Das gesuchte Paar von $x$-Werten ist also $x_1\approx 69,1528$ und $x_2\approx 129,1528.$ Diese haben einen Abstand von $60$ und den gemeinsamen Funktionswert $f(69,1528)\approx 120,203.$
c)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Gesucht ist eine Gerade $x=b$ mit:
$\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{240}f(x)\;\mathrm dx$ $= \displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx$
Berechne zunächst den Wert der linken Seite, indem du den Wert des Integrals mit deinem GTR bestimmst:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{240}f(x)\;\mathrm dx&\approx& \frac{1}{2}\cdot 34.705,92 \\[5pt] &=& 17.352,96\\[5pt] \end{array}$
$ \approx 17.352,96 $
Forme nun das zweite Integral in Abhängigkeit von $b$ soweit um bis du den GTR zum Lösen der Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx =17.352,96 $ verwenden kannst.
$\begin{array}[t]{rll} 17.352,96&=&\displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] 17.352,96&=& \displaystyle\int_{0}^{b}\left(-\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9.375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] 17.352,96&=&\left[-\frac{1}{10^6\cdot 5}x^5+\frac{1}{9.375}x^4-\frac{13}{750}x^3+\frac{4}{5}x^2+140x \right]_0^b \\[5pt] &=& -\frac{1}{10^6\cdot 5}b^5+\frac{1}{9.375}b^4-\frac{13}{750}b^3+\frac{4}{5}b^2+140\cdot b \\[5pt] && - \left(-\frac{1}{10^6\cdot 5}\cdot 0^5+\frac{1}{9.375}\cdot 0^4-\frac{13}{750}\cdot 0^3+\frac{4}{5}\cdot 0^2+140\cdot 0 \right) \\[5pt] 17.352,96&=& -\frac{1}{10^6\cdot 5}b^5+\frac{1}{9.375}b^4-\frac{13}{750}b^3+\frac{4}{5}b^2+140\cdot b \\[5pt] \end{array}$
$ 17.352,96= …$
Löse die Gleichung, indem du die rechte Seite als Funktion auffasst und dir den zugehörigen Graphen anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Bestimme den $x$-Wert zum $y$-Wert $17.352,96$ mit dem X-CAL-Befehl.
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
Du erhältst dann $b \approx 135,46.$ Eine Gleichung der Geraden, die das Flächenstück halbiert lautet $x =135,46. $
#integral
d)
$\blacktriangleright$  Aussage erläutern
Die Gleichung lässt sich in drei Bestandteile teilen, die jeweils den Flächeninhalt einer Fläche beschreiben:
$\underbrace{\frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u)}_{A_1} + \underbrace{\displaystyle\int_{u}^{240}f(x)\;\mathrm dx}_{A_2} = \underbrace{\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\int_{0}^{240}f(x)\;\mathrm dx}_{A_3}$
$ \underbrace{\frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u)}_{A_1}+… $
  • $A_1$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten $(0\mid 0),$ $(u\mid 0)$ und $(u\mid f(u)).$
  • $A_2$ ist der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse im Bereich $x_1=u$ bis $x_2=240$ begrenzt.
  • $A_3$ entspricht $\frac{2}{3}$ des Inhalts der Fläche, die der Graph von $f$ mit den beiden Koordinatenachsen im Bereich $x_1=0$ bis $x_2=240$ begrenzt.
Aufgabe 2
Abb. 1: Skizze
Aufgabe 2
Abb. 1: Skizze
Die Summe aus $A_1$ und $A_2$ entspricht $\frac{2}{3}$ des Flächeninhalts, den der Graph von $f$ im Bereich $0\leq x \leq 240$ mit den Koordinatenachsen einschließt.
e)
$\blacktriangleright$  Länge des Zeitraums ermitteln
Lass dir den Graphen von $f$ in deinem GTR anzeigen und bestimme die $x$-Werte mit $f(x)=170.$ Du erhältst:
$x_1 \approx 169,84$ und $x_2\approx 222,77 $
Dazwischen liegt der Hochpunkt $H_2$ mit der $y$-Koordinate $193,33.$ Dazwischen liegt der Wert also über $170.$ Es werden also ca. $53$ Minuten lang Glukosewerte über $170\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ gemessen.
f)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg bestimmen
Der Anstieg des Glukosewerts wird durch die erste Ableitung $f'$ von $f$ beschrieben. Gesucht ist also das absolute Maximum von $f'$ im Bereich $0\leq x\leq 240.$
Die lokalen Maxima von $f'$ kannst du mit deinem GTR bestimmen, indem du dir den Graphen von
$f'(x)= -\frac{4}{10^6}x^3+\frac{4}{3.125}x^2-\frac{13}{125}x+\frac{8}{5} $
$ f'(x)=… $
anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Du erhältst folgenden Hochpunkt des Graphen von $f':\,$ $H(158,74 \mid 1,35).$
Für die Intervallränder gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(0)&=& 1,6 \\[5pt] f'(240)&\approx& -4,928 \end{array}$
An der Stelle $x=240$ fällt der Glukosewert, da $f'(240)$ negativ ist.
Der Glukosewert steigt also zu Beginn des betrachteten Zeitraums, $x=0,$ am stärksten an.
#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
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