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Aufgabe 6

Aufgaben
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Die Nutzung von sozialen Netzwerken wird immer beliebter. Dabei nutzen immer mehr Jugendliche verschiedene soziale Netzwerke. Es wird davon ausgegangen, dass $30\,\%$ aller Jugendlichen das (fiktive) soziale Netzwerk „Freundschaftsbuch“ nutzen.
Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit dafür verwendet werden, dass eine zufällig befragte jugendliche Person „Freundschaftsbuch“ nutzt.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von $100$ zufällig ausgewählten Jugendlichen

(1)
genau $33$ Jugendliche „Freundschaftsbuch“ nutzen,
(2P)
(2)
höchstens $25$ Jugendliche „Freundschaftsbuch“ nutzen,
(3P)
(3)
die Anzahl der jugendlichen Nutzer, die „Freundschaftsbuch“ nutzen, einem Wert entspricht, der sich um maximal $5$ vom Erwartungswert unterscheidet.
(5P)
b)
Ermittle (ggf. durch Probieren), welche positive Anzahl an Jugendlichen mindestens zufällig ausgewählt werden muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ maximal einen Jugendlichen antrifft, der „Freundschaftsbuch“ nutzt.
(6P)
c)
In einer Schule gibt es zur schulinternen Kommunikation ein eigenes Netzwerk, das sowohl von Jugendlichen genutzt wird, die „Freundschaftsbuch“ nutzen, als auch von Jugendlichen, die „Freundschaftsbuch“ nicht nutzen. Dabei ist in beiden Gruppen der Anteil derjenigen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, identisch. Im Folgenden wird dieser Anteil mit $h$ bezeichnet und auch als Wahrscheinlichkeit für den jeweiligen Fall verwendet.

(1)
Zeige, dass man den Anteil der Jugendlichen, die genau eines dieser Netzwerke nutzen, mit Hilfe des Terms $0,3 \cdot (1-h) + 0,7 h$ beschreiben kann, und erkläre die einzelnen Bestandteile des Terms.
(5P)
(2)
Berechne den Anteil aller Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, wenn der Anteil der Jugendlichen, die genau eines dieser Netzwerke nutzen, bei $0,4$ liegt.
(2P)
(3)
Berechne für $h=0,25$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt.
(3P)
(4)
Eine zufällig ausgewählte jugendliche Person nutzt das schulinterne Netzwerk.
Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass sie „Freundschaftsbuch“ nicht nutzt, und erkläre, wieso dieser Wert auch ohne einen Ansatz über bedingte Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden kann.
(4P)
d)
Die Schülervertretung möchte, dass der Nutzungsgrad des schulinternen Netzwerks verbessert wird. Dazu soll mit Aktionen das schulinterne Netzwerk bekannter gemacht werden. Nach einem Jahr möchte die Schülervertretung die Vermutung überprüfen, dass der Nutzungsgrad von vormals $25\,\%$ gestiegen ist, und möchte dazu $50$ zufällig ausgewählte Jugendliche der Schule befragen.

(1)
Gib eine geeignete Nullhypothese an und ermittle eine passende Entscheidungsregel auf dem Signifikanzniveau von $\alpha=0,05$.
(6P)
(2)
Bei der Befragung kommt heraus, dass $19$ Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
Beurteile die Situation aus Sicht der Schülervertretung.
(2P)
Zum Signifikanzniveau von $\alpha = 0,025$ ergibt sich die Entscheidungsregel: „Verwirf die Nullhypothese, falls $20$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.“
(3)
In den Abbildungen 1 – 4 sind die Wahrscheinlichkeiten der jeweils angegebenen Binomialverteilung als Säulen dargestellt. Die Höhe der Säule zum Wert $k$ entspricht dabei $P (X = k)$.
Stelle den Bereich, in dem die Nullhypothese abgelehnt wird, in Abbildung 1 grafisch dar.
(3P)
(4)
Beschreibe den Fehler $2.$ Art im Sachzusammenhang und berechne die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens für den Fall, dass der Nutzungsgrad in Wirklichkeit bei $40\,\%$ liegt.
(5P)
(5)
Bei gleich bleibender Entscheidungsregel und steigendem Nutzungsgrad wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler $2.$ Art immer kleiner.
Erkläre, inwieweit dies an den Abbildungen 2 bis 4 abgelesen werden kann.
(4P)
Abb. 1 Binomialverteilung für $p=0,25$ und $n=50$
Abb. 1 Binomialverteilung für $p=0,25$ und $n=50$
Abb. 2 Binomialverteilung für $p=0,4$ und $n=50$
Abb. 2 Binomialverteilung für $p=0,4$ und $n=50$
Abb. 3 Binomialverteilung für $p=0,5$ und $n=50$
Abb. 3 Binomialverteilung für $p=0,5$ und $n=50$
Abb. 4 Binomialverteilung für $p=0,6$ und $n=50$
Abb. 4 Binomialverteilung für $p=0,6$ und $n=50$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
Tabelle 1: $\sigma$-Regeln für Binomialverteilungen
Eine mit den Parametern $n$ und $p$ binomialverteilte Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standartabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$.
Wenn die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$-Regeln:
$P (\mu -1,64 \sigma \leq X \leq \mu + 1,64 \sigma) \approx 0,90$$P (\mu -1,64 \sigma \leq X) \approx 0,95$
$P (X \leq \mu + 1,64 \sigma) \approx 0,95$
$P (\mu -1,96 \sigma \leq X \leq \mu + 1,96 \sigma) \approx 0,95$$P (\mu -1,96 \sigma \leq X) \approx 0,975$
$P (X \leq \mu + 1,96 \sigma) \approx 0,975$
$P (\mu -2,58 \sigma \leq X \leq \mu + 2,58 \sigma) \approx 0,99$$P (\mu -2,58 \sigma \leq X) \approx 0,995$
$P (X \leq \mu + 2,58 \sigma) \approx 0,995$

$P (\mu -1 \sigma \leq X \leq \mu + 1 \sigma) \approx 0,683$$P (\mu -1 \sigma \leq X) \approx 0,841$
$P (X \leq \mu + 1 \sigma) \approx 0,841$
$P (\mu -2 \sigma \leq X \leq \mu + 2 \sigma) \approx 0,954$$P (\mu -2 \sigma \leq X) \approx 0,977$
$P (X \leq \mu + 2 \sigma) \approx 0,977$
$P (\mu -3 \sigma \leq X \leq \mu + 3 \sigma) \approx 0,997$$P (\mu -3 \sigma \leq X) \approx 0,999$
$P (X \leq \mu + 3 \sigma) \approx 0,999$
Tabelle 1: $\sigma$-Regeln für Binomialverteilungen
Wenn die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$-Regeln:
Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n=10 und n=20
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
$ F(n;p;k)=B(n;p;0)+ …$
nkpkn
0,020,050,080,10,150,20,250,30,5
1000,81710,59870,43440,34870,19690,10740,05630,02820,0010910
10,98380,91390,81210,73610,54430,37580,24400,14930,01078
20,99910,98850,95990,92980,82020,67780,52560,38280,05477
310,99900,99420,98720,95000,87910,77590,64960,17196
410,99990,99940,99840,99010,96720,92190,84970,37705
51110,99990,99860,99360,98030,95270,62304
611110,99990,99910,99650,98940,82813
7111110,99990,99960,99840,94532
811111110,99990,98931
9111111110,99900
2000,66760,35850,18870,12160,03880,01150,00320,00080,00001920
10,94010,73580,51690,39170,17560,06920,02430,00760,000018
20,99290,92450,78790,67690,40490,20610,09130,03550,000217
30,99940,98410,92940,86700,64770,41140,22520,10710,001316
410,99740,98170,95680,82980,62960,41480,23750,005915
510,99970,99620,98870,93270,80420,61720,41640,020714
6110,99940,99760,97810,91330,78580,60800,057713
7110,99990,99960,99410,96790,89820,77230,131612
81110,99990,99870,99000,95910,88670,251711
911110,99980,99740,98610,95200,411910
10111110,99940,99610,98290,58819
11111110,99990,99910,99490,74838
121111110,99980,99870,86847
1311111110,99970,94236
14111111110,97935
15111111110,99414
16111111110,99873
17111111110,99982
nk0,980,950,920,90,850,80,750,70,5kn
p
Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n=50
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
$ F(n;p;k)=B(n;p;0)+… $
1
3
nkpkn
4
0,050,070,10,15 1/6 0,20,250,270,3 1/3 0,4
5
5000,07690,02660,00520,00030,00010000004950
6
10,27940,12650,03380,00290,00120,00020000048
7
20,54050,31080,11170,01420,00660,00130,0001000047
8
30,76040,53270,25030,04600,02380,00570,00050,000200046
9
40,89640,72900,43120,11210,06430,01850,00210,00080,00020045
10
50,96220,86500,61610,21940,13880,04800,00700,00300,00070,0001044
11
60,98820,94170,77020,36130,25060,10340,01940,00890,00250,0005043
12
70,99680,9780,87790,51880,39110,19040,04530,02280,00730,00170,000142
13
80,99920,99270,94210,66810,54210,30730,09160,05030,01830,00500,000241
14
90,99980,99780,97550,79110,68300,44370,16370,09790,04020,01270,000840
15
1010,99940,99060,88010,79860,58360,26220,17010,07890,02840,002239
16
1110,99990,99680,93720,88270,71070,38160,26710,13900,05700,005738
17
12110,99900,96990,93730,81390,51100,38370,22290,10350,013337
18
13110,99970,98680,96930,88940,63700,50990,32790,17150,028036
19
14110,99990,99470,98620,93930,74810,63310,44680,26120,05435
20
151110,99810,99430,96920,83690,74250,56920,36900,095534
21
161110,99930,99780,98560,90170,83110,68390,48680,156133
22
171110,99980,99920,99370,94490,89660,78220,60460,236932
23
181110,99990,99970,99750,97130,94100,85940,71260,335631
24
1911110,99990,99910,98610,96860,91520,80360,446530
25
20111110,99970,99370,98450,95220,87410,561029
26
21111110,99990,99740,99290,97490,92440,670128
27
221111110,99900,99690,98770,95760,766027
28
231111110,99960,99880,99440,97780,843826
29
241111110,99990,99960,99760,98920,902225
30
2511111110,99980,99910,99510,942724
31
26111111110,99970,99790,968623
32
27111111110,99990,99920,984022
33
281111111110,99970,992421
34
291111111110,99990,996620
35
3011111111110,998619
36
3111111111110,999518
37
3211111111110,999817
38
3311111111110,999916
39
nk0,950,930,90,85 5/6 0,80,750,730,7 2/3 0,6kn
40
Tabelle 4: Kumulierte Binomialverteilung für n=100
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
$ F(n;p;k)=B(n;p;0)+… $
1
3
nkpkn
4
0,050,070,10,15 1/6 0,20,250,270,3 1/3 0,4
5
10000,00590,00070,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,000099100
6
10,03710,00600,00030,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,000098
7
20,11830,02580,00190,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,000097
8
30,25780,07440,00780,00010,00000,00000,00000,00000,00000,00000,000096
9
40,43600,16320,02370,00040,00010,00000,00000,00000,00000,00000,000095
10
50,61600,29140,05760,00160,00040,00000,00000,00000,00000,00000,000094
11
60,76600,44430,11720,00470,00130,00010,00000,00000,00000,00000,000093
12
70,87200,59880,20610,01220,00380,00030,00000,00000,00000,00000,000092
13
80,93690,73400,32090,02750,00950,00090,00000,00000,00000,00000,000091
14
90,97180,83800,45130,05510,02130,00230,00000,00000,00000,00000,000090
15
100,98850,90920,58320,09940,04270,00570,00010,00000,00000,00000,000089
16
110,99570,95310,70300,16350,07770,01260,00040,00010,00000,00000,000088
17
120,99850,97760,80180,24730,12970,02530,00100,00020,00000,00000,000087
18
130,99950,99010,87610,34740,20000,04690,00250,00060,00010,00000,000086
19
140,99990,99590,92740,45720,28740,08040,00540,00140,00020,00000,000085
20
1510,99840,96010,56830,38770,12850,01110,00330,00040,00000,000084
21
1610,99940,97940,67250,49420,19230,02110,00680,00100,00010,000083
22
1710,99980,99000,76330,59940,27120,03760,01330,00220,00020,000082
23
1810,99990,99540,83720,69650,36210,06300,02430,00450,00050,000081
24
19110,99800,89350,78030,46020,09950,04200,00890,00110,000080
25
20110,99920,93370,84810,55950,14880,06840,01650,00240,000079
26
21110,99970,96070,89980,65400,21140,10570,02880,00480,000078
27
22110,99990,97790,93690,73890,28640,15520,04790,00910,000177
28
231110,98810,96210,81090,37110,21720,07550,01640,000376
29
241110,99390,97830,86860,46170,29090,11360,02810,000675
30
251110,99700,98810,91250,55350,37370,16310,04580,001274
31
261110,99860,99380,94420,64170,46200,22440,07150,002473
32
271110,99940,99690,96580,72240,55160,29640,10660,004672
33
281110,99970,99850,98000,79250,63790,37680,15240,008471
34
291110,99990,99930,98880,85050,71720,46230,20930,014870
35
3011110,99970,99390,89620,78660,54910,27660,024869
36
3111110,99990,99690,93070,84460,63310,35250,039868
37
32111110,99840,95540,89090,71070,43440,061567
38
33111110,99930,97240,92610,77930,51880,091366
39
34111110,99970,98360,95180,83710,60190,130365
40
35111110,99990,99060,96970,88390,68030,179564
41
36111110,99990,99480,98170,92010,75110,238663
42
37111111,00000,99730,98930,94700,81230,306862
43
381111110,99860,99400,96600,86300,382261
44
391111110,99930,99680,97900,90340,462160
45
401111110,99970,99830,98750,93410,543359
46
411111110,99990,99920,99280,95660,622558
47
421111110,99990,99960,99600,97240,696757
48
4311111110,99980,99790,98310,763556
49
4411111110,99990,99890,99000,821155
50
45111111110,99950,99430,868954
51
46111111110,99970,99690,907053
52
47111111110,99990,99830,936252
53
48111111110,99990,99910,957751
54
491111111110,99960,972950
55
501111111110,99980,983249
56
511111111110,99990,990048
57
5211111111110,994247
58
5311111111110,996846
59
nk0,950,930,90,85 5/6 0,80,750,730,7 2/3 0,6kn
60
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$, gilt: $F(n;p;k)=1-$abgelesener Wert
Tabelle 5: Normalverteilung
$\phi(z)=0,…$
$\phi(-z)=1-\phi(z)$
2
3
z0123456789
4
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
5
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
6
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
7
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
8
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
9
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
10
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
11
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
12
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
13
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
14
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
15
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
16
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
17
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
18
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
19
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
20
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
21
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
22
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
23
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
24
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
25
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
26
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
27
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
28
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
29
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
30
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
31
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
32
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
33
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
34
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
35
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
36
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
37
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
38
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998
39
3,50,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998
40
3,60,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
41
3,70,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
42
3,80,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
Beispiele für den Gebrauch:
$\phi(2,32)=0,9898$
$\phi(z)=0,994\Rightarrow z=2,51$
$\phi(-0,9)=1-\phi(0,9)=0,1841$
Die Nutzung von sozialen Netzwerken wird immer beliebter. Dabei nutzen immer mehr Jugendliche verschiedene soziale Netzwerke. Es wird davon ausgegangen, dass $30\,\%$ aller Jugendlichen das (fiktive) soziale Netzwerk „Freundschaftsbuch“ nutzen.
Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit dafür verwendet werden, dass eine zufällig befragte jugendliche Person „Freundschaftsbuch“ nutzt.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von $100$ zufällig ausgewählten Jugendlichen

(1)
genau $33$ Jugendliche „Freundschaftsbuch“ nutzen,
(2P)
(2)
höchstens $25$ Jugendliche „Freundschaftsbuch“ nutzen,
(3P)
(3)
die Anzahl der jugendlichen Nutzer, die „Freundschaftsbuch“ nutzen, einem Wert entspricht, der sich um maximal $5$ vom Erwartungswert unterscheidet.
(5P)
#wahrscheinlichkeit
b)
Ermittle (ggf. durch Probieren), welche positive Anzahl an Jugendlichen mindestens zufällig ausgewählt werden muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ maximal einen Jugendlichen antrifft, der „Freundschaftsbuch“ nutzt.
(6P)
c)
In einer Schule gibt es zur schulinternen Kommunikation ein eigenes Netzwerk, das sowohl von Jugendlichen genutzt wird, die „Freundschaftsbuch“ nutzen, als auch von Jugendlichen, die „Freundschaftsbuch“ nicht nutzen. Dabei ist in beiden Gruppen der Anteil derjenigen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, identisch. Im Folgenden wird dieser Anteil mit $h$ bezeichnet und auch als Wahrscheinlichkeit für den jeweiligen Fall verwendet.

(1)
Zeige, dass man den Anteil der Jugendlichen, die genau eines dieser Netzwerke nutzen, mit Hilfe des Terms $0,3 \cdot (1-h) + 0,7 h$ beschreiben kann, und erkläre die einzelnen Bestandteile des Terms.
(5P)
(2)
Berechne den Anteil aller Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, wenn der Anteil der Jugendlichen, die genau eines dieser Netzwerke nutzen, bei $0,4$ liegt.
(2P)
(3)
Berechne für $h=0,25$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt.
(3P)
(4)
Eine zufällig ausgewählte jugendliche Person nutzt das schulinterne Netzwerk.
Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass sie „Freundschaftsbuch“ nicht nutzt, und erkläre, wieso dieser Wert auch ohne einen Ansatz über bedingte Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden kann.
(4P)
#wahrscheinlichkeit
d)
Die Schülervertretung möchte, dass der Nutzungsgrad des schulinternen Netzwerks verbessert wird. Dazu soll mit Aktionen das schulinterne Netzwerk bekannter gemacht werden. Nach einem Jahr möchte die Schülervertretung die Vermutung überprüfen, dass der Nutzungsgrad von vormals $25\,\%$ gestiegen ist, und möchte dazu $50$ zufällig ausgewählte Jugendliche der Schule befragen.

(1)
Gib eine geeignete Nullhypothese an und ermittle eine passende Entscheidungsregel auf dem Signifikanzniveau von $\alpha=0,05$.
(6P)
(2)
Bei der Befragung kommt heraus, dass $19$ Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
Beurteile die Situation aus Sicht der Schülervertretung.
(2P)
Zum Signifikanzniveau von $\alpha = 0,025$ ergibt sich die Entscheidungsregel: „Verwirf die Nullhypothese, falls $20$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.“
(3)
In den Abbildungen 1 – 4 sind die Wahrscheinlichkeiten der jeweils angegebenen Binomialverteilung als Säulen dargestellt. Die Höhe der Säule zum Wert $k$ entspricht dabei $P (X = k)$.
Stelle den Bereich, in dem die Nullhypothese abgelehnt wird, in Abbildung 1 grafisch dar.
(3P)
(4)
Beschreibe den Fehler $2.$ Art im Sachzusammenhang und berechne die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens für den Fall, dass der Nutzungsgrad in Wirklichkeit bei $40\,\%$ liegt.
(5P)
(5)
Bei gleich bleibender Entscheidungsregel und steigendem Nutzungsgrad wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler $2.$ Art immer kleiner.
Erkläre, inwieweit dies an den Abbildungen 2 bis 4 abgelesen werden kann.
(4P)
Abb. 1 Binomialverteilung für $p=0,25$ und $n=50$
Abb. 1 Binomialverteilung für $p=0,25$ und $n=50$
Abb. 2 Binomialverteilung für $p=0,4$ und $n=50$
Abb. 2 Binomialverteilung für $p=0,4$ und $n=50$
Abb. 3 Binomialverteilung für $p=0,5$ und $n=50$
Abb. 3 Binomialverteilung für $p=0,5$ und $n=50$
Abb. 4 Binomialverteilung für $p=0,6$ und $n=50$
Abb. 4 Binomialverteilung für $p=0,6$ und $n=50$
#hypothesentest
Tabelle 5: Normalverteilung
$\phi(z)=0,…$
$\phi(-z)=1-\phi(z)$
2
3
z0123456789
4
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
5
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
6
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
7
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
8
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
9
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
10
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
11
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
12
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
13
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
14
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
15
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
16
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
17
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
18
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
19
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
20
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
21
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
22
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
23
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
24
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
25
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
26
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
27
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
28
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
29
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
30
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
31
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
32
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
33
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
34
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
35
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
36
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
37
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
38
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998
39
3,50,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998
40
3,60,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
41
3,70,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
42
3,80,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
Beispiele für den Gebrauch:
$\phi(2,32)=0,9898$
$\phi(z)=0,994\Rightarrow z=2,51$
$\phi(-0,9)=1-\phi(0,9)=0,1841$
Tabelle 1: $\sigma$-Regeln für Binomialverteilungen
Eine mit den Parametern $n$ und $p$ binomialverteilte Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standartabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$.
Wenn die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$-Regeln:
$P (\mu -1,64 \sigma \leq X \leq \mu + 1,64 \sigma) \approx 0,90$$P (\mu -1,64 \sigma \leq X) \approx 0,95$
$P (X \leq \mu + 1,64 \sigma) \approx 0,95$
$P (\mu -1,96 \sigma \leq X \leq \mu + 1,96 \sigma) \approx 0,95$$P (\mu -1,96 \sigma \leq X) \approx 0,975$
$P (X \leq \mu + 1,96 \sigma) \approx 0,975$
$P (\mu -2,58 \sigma \leq X \leq \mu + 2,58 \sigma) \approx 0,99$$P (\mu -2,58 \sigma \leq X) \approx 0,995$
$P (X \leq \mu + 2,58 \sigma) \approx 0,995$

$P (\mu -1 \sigma \leq X \leq \mu + 1 \sigma) \approx 0,683$$P (\mu -1 \sigma \leq X) \approx 0,841$
$P (X \leq \mu + 1 \sigma) \approx 0,841$
$P (\mu -2 \sigma \leq X \leq \mu + 2 \sigma) \approx 0,954$$P (\mu -2 \sigma \leq X) \approx 0,977$
$P (X \leq \mu + 2 \sigma) \approx 0,977$
$P (\mu -3 \sigma \leq X \leq \mu + 3 \sigma) \approx 0,997$$P (\mu -3 \sigma \leq X) \approx 0,999$
$P (X \leq \mu + 3 \sigma) \approx 0,999$
Tabelle 1: $\sigma$-Regeln für Binomialverteilungen
Wenn die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$-Regeln:
Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n=10 und n=20
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
$ F(n;p;k)=B(n;p;0)+ …$
nkpkn
0,020,050,080,10,150,20,250,30,5
1000,81710,59870,43440,34870,19690,10740,05630,02820,0010910
10,98380,91390,81210,73610,54430,37580,24400,14930,01078
20,99910,98850,95990,92980,82020,67780,52560,38280,05477
310,99900,99420,98720,95000,87910,77590,64960,17196
410,99990,99940,99840,99010,96720,92190,84970,37705
51110,99990,99860,99360,98030,95270,62304
611110,99990,99910,99650,98940,82813
7111110,99990,99960,99840,94532
811111110,99990,98931
9111111110,99900
2000,66760,35850,18870,12160,03880,01150,00320,00080,00001920
10,94010,73580,51690,39170,17560,06920,02430,00760,000018
20,99290,92450,78790,67690,40490,20610,09130,03550,000217
30,99940,98410,92940,86700,64770,41140,22520,10710,001316
410,99740,98170,95680,82980,62960,41480,23750,005915
510,99970,99620,98870,93270,80420,61720,41640,020714
6110,99940,99760,97810,91330,78580,60800,057713
7110,99990,99960,99410,96790,89820,77230,131612
81110,99990,99870,99000,95910,88670,251711
911110,99980,99740,98610,95200,411910
10111110,99940,99610,98290,58819
11111110,99990,99910,99490,74838
121111110,99980,99870,86847
1311111110,99970,94236
14111111110,97935
15111111110,99414
16111111110,99873
17111111110,99982
nk0,980,950,920,90,850,80,750,70,5kn
p
Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n=50
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
$ F(n;p;k)=B(n;p;0)+… $
1
3
nkpkn
4
0,050,070,10,15 1/6 0,20,250,270,3 1/3 0,4
5
5000,07690,02660,00520,00030,00010000004950
6
10,27940,12650,03380,00290,00120,00020000048
7
20,54050,31080,11170,01420,00660,00130,0001000047
8
30,76040,53270,25030,04600,02380,00570,00050,000200046
9
40,89640,72900,43120,11210,06430,01850,00210,00080,00020045
10
50,96220,86500,61610,21940,13880,04800,00700,00300,00070,0001044
11
60,98820,94170,77020,36130,25060,10340,01940,00890,00250,0005043
12
70,99680,9780,87790,51880,39110,19040,04530,02280,00730,00170,000142
13
80,99920,99270,94210,66810,54210,30730,09160,05030,01830,00500,000241
14
90,99980,99780,97550,79110,68300,44370,16370,09790,04020,01270,000840
15
1010,99940,99060,88010,79860,58360,26220,17010,07890,02840,002239
16
1110,99990,99680,93720,88270,71070,38160,26710,13900,05700,005738
17
12110,99900,96990,93730,81390,51100,38370,22290,10350,013337
18
13110,99970,98680,96930,88940,63700,50990,32790,17150,028036
19
14110,99990,99470,98620,93930,74810,63310,44680,26120,05435
20
151110,99810,99430,96920,83690,74250,56920,36900,095534
21
161110,99930,99780,98560,90170,83110,68390,48680,156133
22
171110,99980,99920,99370,94490,89660,78220,60460,236932
23
181110,99990,99970,99750,97130,94100,85940,71260,335631
24
1911110,99990,99910,98610,96860,91520,80360,446530
25
20111110,99970,99370,98450,95220,87410,561029
26
21111110,99990,99740,99290,97490,92440,670128
27
221111110,99900,99690,98770,95760,766027
28
231111110,99960,99880,99440,97780,843826
29
241111110,99990,99960,99760,98920,902225
30
2511111110,99980,99910,99510,942724
31
26111111110,99970,99790,968623
32
27111111110,99990,99920,984022
33
281111111110,99970,992421
34
291111111110,99990,996620
35
3011111111110,998619
36
3111111111110,999518
37
3211111111110,999817
38
3311111111110,999916
39
nk0,950,930,90,85 5/6 0,80,750,730,7 2/3 0,6kn
40
Tabelle 4: Kumulierte Binomialverteilung für n=100
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
$ F(n;p;k)=B(n;p;0)+… $
1
3
nkpkn
4
0,050,070,10,15 1/6 0,20,250,270,3 1/3 0,4
5
10000,00590,00070,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,000099100
6
10,03710,00600,00030,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,000098
7
20,11830,02580,00190,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,000097
8
30,25780,07440,00780,00010,00000,00000,00000,00000,00000,00000,000096
9
40,43600,16320,02370,00040,00010,00000,00000,00000,00000,00000,000095
10
50,61600,29140,05760,00160,00040,00000,00000,00000,00000,00000,000094
11
60,76600,44430,11720,00470,00130,00010,00000,00000,00000,00000,000093
12
70,87200,59880,20610,01220,00380,00030,00000,00000,00000,00000,000092
13
80,93690,73400,32090,02750,00950,00090,00000,00000,00000,00000,000091
14
90,97180,83800,45130,05510,02130,00230,00000,00000,00000,00000,000090
15
100,98850,90920,58320,09940,04270,00570,00010,00000,00000,00000,000089
16
110,99570,95310,70300,16350,07770,01260,00040,00010,00000,00000,000088
17
120,99850,97760,80180,24730,12970,02530,00100,00020,00000,00000,000087
18
130,99950,99010,87610,34740,20000,04690,00250,00060,00010,00000,000086
19
140,99990,99590,92740,45720,28740,08040,00540,00140,00020,00000,000085
20
1510,99840,96010,56830,38770,12850,01110,00330,00040,00000,000084
21
1610,99940,97940,67250,49420,19230,02110,00680,00100,00010,000083
22
1710,99980,99000,76330,59940,27120,03760,01330,00220,00020,000082
23
1810,99990,99540,83720,69650,36210,06300,02430,00450,00050,000081
24
19110,99800,89350,78030,46020,09950,04200,00890,00110,000080
25
20110,99920,93370,84810,55950,14880,06840,01650,00240,000079
26
21110,99970,96070,89980,65400,21140,10570,02880,00480,000078
27
22110,99990,97790,93690,73890,28640,15520,04790,00910,000177
28
231110,98810,96210,81090,37110,21720,07550,01640,000376
29
241110,99390,97830,86860,46170,29090,11360,02810,000675
30
251110,99700,98810,91250,55350,37370,16310,04580,001274
31
261110,99860,99380,94420,64170,46200,22440,07150,002473
32
271110,99940,99690,96580,72240,55160,29640,10660,004672
33
281110,99970,99850,98000,79250,63790,37680,15240,008471
34
291110,99990,99930,98880,85050,71720,46230,20930,014870
35
3011110,99970,99390,89620,78660,54910,27660,024869
36
3111110,99990,99690,93070,84460,63310,35250,039868
37
32111110,99840,95540,89090,71070,43440,061567
38
33111110,99930,97240,92610,77930,51880,091366
39
34111110,99970,98360,95180,83710,60190,130365
40
35111110,99990,99060,96970,88390,68030,179564
41
36111110,99990,99480,98170,92010,75110,238663
42
37111111,00000,99730,98930,94700,81230,306862
43
381111110,99860,99400,96600,86300,382261
44
391111110,99930,99680,97900,90340,462160
45
401111110,99970,99830,98750,93410,543359
46
411111110,99990,99920,99280,95660,622558
47
421111110,99990,99960,99600,97240,696757
48
4311111110,99980,99790,98310,763556
49
4411111110,99990,99890,99000,821155
50
45111111110,99950,99430,868954
51
46111111110,99970,99690,907053
52
47111111110,99990,99830,936252
53
48111111110,99990,99910,957751
54
491111111110,99960,972950
55
501111111110,99980,983249
56
511111111110,99990,990048
57
5211111111110,994247
58
5311111111110,996846
59
nk0,950,930,90,85 5/6 0,80,750,730,7 2/3 0,6kn
60
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$, gilt: $F(n;p;k)=1-$abgelesener Wert
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für genau 33 Nutzer berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind hierbei unabhängig voneinander. Zudem gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, also dass ein Jugendlicher Nutzer von Freundschaftsbuch oder kein Nutzer von Freundschaftsbuch ist. Außerdem gilt, dass die Wahrscheinlichkeit immer konstant bleibt. Deshalb kann man die Anzahl der Nutzer als binomiaverteilt ansehen und kann die Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
Dabei beschreibt in diesem Fall $n$ die Anzahl der Ziehungen ($n=100$), $X$ die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen und $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch benutzt ($p = 0,3 $).
Da genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen sollen, setzt du $k=33$.
(2)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 25 Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen
Gesucht ist $P(X \leq 25)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus $100$ befragten Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
$P(X \leq 25)$ kannst du nun aus der Tabelle 4 für die kumulierte Binomialverteilung in den Anlagen ablesen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Die Wahrscheinlichkeit für $P(X \leq 25)$ kannst du mithilfe des binomcdf-Befehls deines GTR bestimmen.
(3)
Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung zum Erwartungswert
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen, um maximal den Wert $5$ vom Erwartungswert unterscheidet. Bestimme also zunächst den Erwartungswert. Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt, konstant bleibt, berechnet sich der Erwartungswert wie folgt:
$E(X) = p \cdot n $
$E(X) = p \cdot n $
In dieser Aufgabe liegt die Wahrscheinlichkeit bei $p=0,3$ liegt und es werden insgesamt $100$ Jugendliche befragt.
Berechne somit die Wahrscheinlichkeit $P(E(X)-5 \leq E(X) \leq E(X)+5)$.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Jugendlichen berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, die befragt werden müssen, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich wie folgt zusammen
$P(X\leq1)=P(X=1)+P(X=0)$.
Nun musst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, sodass $P(X\leq1) \leq 0,05$ gilt. Außerdem gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt $p=\dfrac{3}{10}$.
Hierfür benötigst du also die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ und $P(X=0)$. Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich hierbei wie folgt:
$P(X=1)= \binom{n}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=&\binom{n}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{n-0} \\[5pt] &=& (1-p)^{n} \end{array}$
Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(\leq1)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(\leq1)&=& P(X =1) + P(X =0) \\[5pt] &=& n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \end{array}$
$ P(\leq1) = \dotsc$
Nun kannst du durch systematisches Probieren den entsprechenden Wert für $n$ finden, sodass die Ungleichung
$P(X\leq1) \leq 0,05$ erfüllt ist.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer beschreiben, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen
In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass für den Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen der Term $0,3\cdot (1-h) + 0,7h$ gilt. Überlege dir zuerst wie der Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen zusammengesetzt ist. Bezeichne hierbei beispielsweise den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen mit $a$ und den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen mit $b$.
Der Anteil der Schüler, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen setzt sich aus dem Anteil der Schüler zusammen,
  • die das schulinterne Netzwerk aber nicht das Freundschaftsbuch nutzen und denen,
  • die das Netzwerk Freundschaftsbuch aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen.
  • (2)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer des schulinternen Netzwerks bestimmen
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen $0,4$ beträgt. Da du in der ersten Teilaufgabe bereits den Term für den Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen berechnet hast, kannst du nun mit Hilfe des Terms den unbekannten Anteil $h$ berechnen. $h$ beschreibt hierbei den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, also $a$. Bestimme mit folgender Gleichung den unbekannten Anteil $h$.
    $0,4=0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$
    (3)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Jugendlichen, der mind. eines der beiden Netzwerke nutzt
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $0,25$ beträgt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt.
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke benutzt setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten,
  • dass ein Jugendlicher genau eines der beiden Netzwerke benutzt und
  • dass ein Schüler beide Netzwerke benutzt zusammen.
  • (4)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
    In dieser Teilaufgabe hast du nun gegeben, dass eine zufällig ausgewählte Person das schulinterne Nezwerk benutzt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass dieser Jugendliche Freundschaftsbuch nicht nutzt. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit mit der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen. Bezeichne beispielsweise die Nutzung des schulinternen Netzwerks mit $A$ und die Ablehnung des Freundschaftsbuches mit $\overline{B}$. Somit lautet die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    Die Formel gibt nun an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis $B$ nicht eintritt, wenn das Ereignis $A$ bereits gilt. Also, mit welcher Wahrscheinlichkeit er Freundschaftsbuch benutzt, wenn er bereits das schulinterne Netzwerk benutzt.
    Da das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten oder Nichteintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig.
    Deshalb gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    d)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Entscheidungsregel formulieren
    Du sollst hier die Nullhypothese angeben und eine Entscheidungsregel formulieren, das heißt eine Regel dafür formulieren, ob die Vermutung, dass der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist, wahr ist. Stelle hierfür zunächst eine geeignete Nullhypothese auf. Für die Nullhypothese gilt:
    $H_0:p \leq 0,25$
    Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ durchgeführt.
    Wir betrachten hier die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Nutzer des schulinternen Netzwerkes beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n =50$. Da ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für kleine Werte abgelehnt.
    Der Ablehnungsbereich hat daher die Form
    $\overline{K} = [k,n]$.
    Du musst nun also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen, um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
    $P(Y\geq k) \leq 0,05 = 1- P(Y\leq k-1)$
    (2)
    $\blacktriangleright$  Beurteile die Situation für genau 19 Nutzer
    Um die Situation zu bewerten, dass $19$ Jugendliche bei der Befragung angeben, dass sie das schulinterne Netzwerk nutzen, musst du die Entscheidungsregel von der oberen Aufgabe genauer bestrachten.
    (3)
    $\blacktriangleright$  Ablehnungsbereich der Nullhypothese in Abbildung 1 darstellen
    Die Nullhypothese wird verworfen, fallls $20$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen. Deshalb musst du die Wahrscheinlichkeiten für $X\geq 20$ markieren.
    (4)
    $\blacktriangleright$  Fehler 2. Art beschreiben
    Ein Fehler 2. Art bedeutet, die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise nicht zu verwerfen.
    (5)
    $\blacktriangleright$  Veränderung durch steigenden Nutzungsgrad
    In dieser Teilaufgabe sollst du erkären inwiefern man durch die Abbildungen $2$ - $4$ ablesen kann, dass sich durch den steigenden Nutzungsgrad und bei gleichbleibender Entscheidungsregel die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art verringert. Die Entscheidungsregel verändert sich hierbei nicht.Da sich aber der Nutzungsgrad erhöht verschieben sich die Diagramme nach rechts.
    a)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für genau 33 Nutzer berechnen
    In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind hierbei unabhängig voneinander. Zudem gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, also dass ein Jugendlicher Nutzer von Freundschaftsbuch oder kein Nutzer von Freundschaftsbuch ist. Außerdem gilt, dass die Wahrscheinlichkeit immer konstant bleibt. Deshalb kann man die Anzahl der Nutzer als binomiaverteilt ansehen und kann die Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
    $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
    $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
    Dabei beschreibt in diesem Fall $n$ die Anzahl der Ziehungen ($n=100$), $X$ die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen und $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch benutzt ($p = 0,3 $).
    Da genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen sollen, setzt du $k=33$.
    (2)
    $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 25 Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen
    Gesucht ist $P(X \leq 25)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus $100$ befragten Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    $P(X \leq 25)$ kannst du nun aus der Tabelle 4 für die kumulierte Binomialverteilung in den Anlagen ablesen.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Die Wahrscheinlichkeit für $P(X \leq 25)$ kannst du mithilfe des binomcdf-Befehls deines GTR bestimmen.
    (3)
    Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung zum Erwartungswert
    In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen, um maximal den Wert $5$ vom Erwartungswert unterscheidet. Bestimme also zunächst den Erwartungswert. Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt, konstant bleibt, berechnet sich der Erwartungswert wie folgt:
    $E(X) = p \cdot n $
    $E(X) = p \cdot n $
    In dieser Aufgabe liegt die Wahrscheinlichkeit bei $p=0,3$ liegt und es werden insgesamt $100$ Jugendliche befragt.
    Berechne somit die Wahrscheinlichkeit $P(E(X)-5 \leq E(X) \leq E(X)+5)$.
    b)
    $\blacktriangleright$  Anzahl der Jugendlichen berechnen
    In dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, die befragt werden müssen, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich wie folgt zusammen
    $P(X\leq1)=P(X=1)+P(X=0)$.
    Nun musst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, sodass $P(X\leq1) \leq 0,05$ gilt. Außerdem gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt $p=\dfrac{3}{10}$.
    Hierfür benötigst du also die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ und $P(X=0)$. Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich hierbei wie folgt:
    $P(X=1)= \binom{n}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=&\binom{n}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{n-0} \\[5pt] &=& (1-p)^{n} \end{array}$
    Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(\leq1)$:
    $\begin{array}[t]{rll} P(\leq1)&=& P(X =1) + P(X =0) \\[5pt] &=& n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \end{array}$
    $ P(\leq1) = \dotsc$
    Nun kannst du durch systematisches Probieren den entsprechenden Wert für $n$ finden, sodass die Ungleichung
    $P(X\leq1) \leq 0,05$ erfüllt ist.
    c)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer beschreiben, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen
    In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass für den Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen der Term $0,3\cdot (1-h) + 0,7h$ gilt. Überlege dir zuerst wie der Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen zusammengesetzt ist. Bezeichne hierbei beispielsweise den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen mit $a$ und den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen mit $b$.
    Der Anteil der Schüler, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen setzt sich aus dem Anteil der Schüler zusammen,
  • die das schulinterne Netzwerk aber nicht das Freundschaftsbuch nutzen und denen,
  • die das Netzwerk Freundschaftsbuch aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen.
  • (2)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer des schulinternen Netzwerks bestimmen
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen $0,4$ beträgt. Da du in der ersten Teilaufgabe bereits den Term für den Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen berechnet hast, kannst du nun mit Hilfe des Terms den unbekannten Anteil $h$ berechnen. $h$ beschreibt hierbei den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, also $a$. Bestimme mit folgender Gleichung den unbekannten Anteil $h$.
    $0,4=0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$
    (3)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Jugendlichen, der mind. eines der beiden Netzwerke nutzt
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $0,25$ beträgt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt.
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke benutzt setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten,
  • dass ein Jugendlicher genau eines der beiden Netzwerke benutzt und
  • dass ein Schüler beide Netzwerke benutzt zusammen.
  • (4)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
    In dieser Teilaufgabe hast du nun gegeben, dass eine zufällig ausgewählte Person das schulinterne Nezwerk benutzt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass dieser Jugendliche Freundschaftsbuch nicht nutzt. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit mit der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen. Bezeichne beispielsweise die Nutzung des schulinternen Netzwerks mit $A$ und die Ablehnung des Freundschaftsbuches mit $\overline{B}$. Somit lautet die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    Die Formel gibt nun an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis $B$ nicht eintritt, wenn das Ereignis $A$ bereits gilt. Also, mit welcher Wahrscheinlichkeit er Freundschaftsbuch benutzt, wenn er bereits das schulinterne Netzwerk benutzt.
    Da das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten oder Nichteintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig.
    Deshalb gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    d)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Entscheidungsregel formulieren
    Du sollst hier die Nullhypothese angeben und eine Entscheidungsregel formulieren, das heißt eine Regel dafür formulieren, ob die Vermutung, dass der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist, wahr ist. Stelle hierfür zunächst eine geeignete Nullhypothese auf. Für die Nullhypothese gilt:
    $H_0:p \leq 0,25$
    Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ durchgeführt.
    Wir betrachten hier die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Nutzer des schulinternen Netzwerkes beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n =50$. Da ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für kleine Werte abgelehnt.
    Der Ablehnungsbereich hat daher die Form
    $\overline{K} = [k,n]$.
    Du musst nun also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen, um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
    $P(Y\geq k) \leq 0,05 = 1- P(Y\leq k-1)$
    (2)
    $\blacktriangleright$  Beurteile die Situation für genau 19 Nutzer
    Um die Situation zu bewerten, dass $19$ Jugendliche bei der Befragung angeben, dass sie das schulinterne Netzwerk nutzen, musst du die Entscheidungsregel von der oberen Aufgabe genauer bestrachten.
    (3)
    $\blacktriangleright$  Ablehnungsbereich der Nullhypothese in Abbildung 1 darstellen
    Die Nullhypothese wird verworfen, fallls $20$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen. Deshalb musst du die Wahrscheinlichkeiten für $X\geq 20$ markieren.
    (4)
    $\blacktriangleright$  Fehler 2. Art beschreiben
    Ein Fehler 2. Art bedeutet, die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise nicht zu verwerfen.
    (5)
    $\blacktriangleright$  Veränderung durch steigenden Nutzungsgrad
    In dieser Teilaufgabe sollst du erkären inwiefern man durch die Abbildungen $2$ - $4$ ablesen kann, dass sich durch den steigenden Nutzungsgrad und bei gleichbleibender Entscheidungsregel die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art verringert. Die Entscheidungsregel verändert sich hierbei nicht.Da sich aber der Nutzungsgrad erhöht verschieben sich die Diagramme nach rechts.
    Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
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    a)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für genau 33 Nutzer berechnen
    In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind hierbei unabhängig voneinander. Zudem gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, also dass ein Jugendlicher Nutzer von Freundschaftsbuch oder kein Nutzer von Freundschaftsbuch ist. Außerdem gilt, dass die Wahrscheinlichkeit immer konstant bleibt. Deshalb kann man die Anzahl der Nutzer als binomiaverteilt ansehen und kann die Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
    $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
    $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
    Dabei beschreibt in diesem Fall $n$ die Anzahl der Ziehungen ($n=100$), $X$ die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen und $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch benutzt ($p = 0,3 $).
    Da genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen sollen, setzt du $k=33$.
    $\begin{array}[t]{rll} P(X=33) &=& \binom{100}{33} \cdot 0,3^{33} \cdot (1-0,3)^{100-33} \\[5pt] &=& \binom{100}{33} \cdot 0,3^{33} \cdot (0,7)^{67} \\[5pt] &\approx& 0,0685. \end{array}$
    $P(X=33) = … $
    D.h. wenn du zufällig $100$ Jugendliche befragst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen $6,85\, \%.$
    (2)
    $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 25 Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen
    Gesucht ist $P(X \leq 25)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus $100$ befragten Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    $P(X \leq 25)$ kannst du nun aus der Tabelle 4 für die kumulierte Binomialverteilung in den Anlagen ablesen.
    $P(X \leq 25) = 0,1631$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,1631$.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Die Wahrscheinlichkeit für $P(X \leq 25)$ kannst du mithilfe des binomcdf-Befehls deines GTR bestimmen. Den binomcdf-Befehl findest du unter
    2nd $\to$ DISTR $\to$ B:binomcdf.
    2nd $\to$ DISTR $\to$ B:binomcdf.
    Abb. 2: Ergebnis
    Abb. 2: Ergebnis
    Somit gilt:
    $P(X \leq 25) = 0,1631$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $0,1631$.
    (3)
    Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung zum Erwartungswert
    In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen, um maximal den Wert $5$ vom Erwartungswert unterscheidet. Bestimme also zunächst den Erwartungswert. Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt, konstant bleibt, berechnet sich der Erwartungswert wie folgt:
    $E(X) = p \cdot n $
    $E(X) = p \cdot n $
    Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit bei $p=0,3$ liegt und insgesamt $100$ Jugendliche befragt werden, liegt der Erwartungswert bei
    $\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& p \cdot n \\[5pt] &=& 0,3 \cdot 100 \\[5pt] &=&30 \end{array}$
    Deshalb ist zu erwarten, dass von $100$ befragten Jugendlichen $30$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Somit lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(25 \leq X \leq 35)$, dies gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen mindestens $25$ und höchstens $35$ beträgt.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    Die Wahrscheinlichkeiten kannst du der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung entnehmen.
    $\begin{array}[t]{rll} P(25 \leq X \leq 35)&=& P(X \leq 35) - P(X < 25) \\[5pt] &=& P(X \leq 35) - P(X \leq 24) \\[5pt] &\approx& 0,8839 - 0,1136\\[5pt] &=&0,7703 \end{array}$
    $P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt $77,03\, \%$.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Die Wahrscheinlichkeiten kannst du nun wie oben mittels dem binomcdf-Befehl deines GTR bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} P(25 \leq X \leq 35)&=& P(X \leq 35) - P(X < 25) \\[5pt] &=& P(X \leq 35) - P(X \leq 24) \\[5pt] &\approx& 0,8839 - 0,1136\\[5pt] &=&0,7703 \end{array}$
    $$P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $77,03\, \%$.
    #binomialverteilung#erwartungswert
    b)
    $\blacktriangleright$  Anzahl der Jugendlichen berechnen
    In dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, die befragt werden müssen, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich wie folgt zusammen
    $P(X\leq1)=P(X=1)+P(X=0)$.
    Nun musst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, sodass $P(X\leq1) \leq 0,05$ gilt. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt $p=\dfrac{3}{10}$.
    Hierfür benötigst du also die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ und $P(X=0)$. Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich hierbei wie folgt:
    $P(X=1)= \binom{n}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=&\binom{n}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{n-0} \\[5pt] &=& (1-p)^{n} \end{array}$
    Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(\leq1)$:
    $\begin{array}[t]{rll} P(\leq1)&=& P(X =1) + P(X =0) \\[5pt] &=& n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \end{array}$
    $ P(\leq1) = \dotsc$
    Nun kannst du durch systematisches Probieren den entsprechenden Wert für $n$ finden, sodass die Ungleichung
    $P(X\leq1) \leq 0,05$ erfüllt ist.
    In die Ungleichung kannst du anschließend deine obere Gleichung einsetzen.
    $n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \leq 0,05$
    Für $n=10$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,15$
    Für $n=13$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,064$
    Für $n=14$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,047$
    Somit müssen mndestens $14$ Jugendliche befragt werden, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt.
    #binomialverteilung
    c)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer beschreiben, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen
    In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass für den Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen der Term $0,3\cdot (1-h) + 0,7h$ gilt. Überlege dir zuerst wie der Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen zusammengesetzt ist. Bezeichne hierbei beispielsweise den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen mit $a$ und den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen mit $b$.
    Der Anteil der Schüler, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen setzt sich aus dem Anteil der Schüler zusammen,
  • die das schulinterne Netzwerk aber nicht das Freundschaftsbuch nutzen und denen,
  • die das Netzwerk Freundschaftsbuch aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen.
  • Der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,3$. Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nicht nutzen $1-0,3=0,7$.
    Der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen beträgt $h$. Somit ergibt sich für den Anteil, die das schulinterne Netzwerk nicht nutzen $1-h$.
    Für den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch, aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen, gilt somit:
    $0,3\cdot(1-h)$
    Für den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk, aber nicht das Freundschaftsbuch benutzen, gilt somit:
    $0,7\cdot h$
    Somit gilt für den gesamten Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen:
    $0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$
    (2)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer des schulinternen Netzwerks bestimmen
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen $0,4$ beträgt. Da du in der ersten Teilaufgabe bereits den Term für den Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen berechnet hast, kannst du nun mit Hilfe des Terms den unbekannten Anteil $h$ berechnen. $h$ beschreibt hierbei den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, also $a$. Bestimme mit folgender Gleichung den unbekannten Anteil $h$.
    $0,4=0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$
    Nun kannst du die Gleichung nach $h$ auflösen und erhältst
    $\begin{array}[t]{rll} 0,4 &=& 0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h\\[5pt] 0,4&=& 0,3 - 0,3h + 0,7h\\[5pt] 0,4&=& 0,3 +0,4h& \quad \mid -0,3 & \quad \mid :0,4\\[5pt] h &=& 0,25\end{array}$
    $ h = 0,25$
    Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $a=0,25$.
    (3)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Jugendlichen, der mind. eines der beiden Netzwerke nutzt
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $0,25$ beträgt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt.
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke benutzt setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten,
  • dass ein Jugendlicher genau eines der beiden Netzwerke benutzt und
  • dass ein Schüler beide Netzwerke benutzt zusammen.
  • Somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    $\begin{array}[t]{rll} P(\text{mind } 1) &=& 0,4 + 0,3 \cdot h\\[5pt] &=& 0,4 + 0,3 \cdot 0,25\\[5pt] &=& 0,475 \end{array}$
    Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt $0,475$.
    (4)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
    In dieser Teilaufgabe hast du nun gegeben, dass eine zufällig ausgewählte Person das schulinterne Nezwerk benutzt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass dieser Jugendliche Freundschaftsbuch nicht nutzt. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit mit der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen. Bezeichne beispielsweise die Nutzung des schulinternen Netzwerks mit $A$ und die Ablehnung des Freundschaftsbuches mit $\overline{B}$. Somit lautet die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    Die Formel gibt nun an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis $B$ nicht eintritt, wenn das Ereignis $A$ bereits gilt. Also, mit welcher Wahrscheinlichkeit er Freundschaftsbuch benutzt, wenn er bereits das schulinterne Netzwerk benutzt.
    Da das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten oder Nichteintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig.
    Deshalb gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    Somit gilt:
    $P(\overline{B})=(1-0,3) = 0,7$
    Die Wahrscheinlichkeit beträgt deshalb$0,7$.
    #bedingtewahrscheinlichkeit
    d)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Entscheidungsregel formulieren
    Du sollst hier die Nullhypothese angeben und eine Entscheidungsregel formulieren, das heißt eine Regel dafür formulieren, ob die Vermutung, dass der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist, wahr ist. Stelle hierfür zunächst eine geeignete Nullhypothese auf. Für die Nullhypothese gilt:
    $H_0:p \leq 0,25$
    Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ durchgeführt.
    Wir betrachten hier die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Nutzer des schulinternen Netzwerkes beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n =50$. Da ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für kleine Werte abgelehnt.
    Der Ablehnungsbereich hat daher die Form
    $\overline{K} = [k,n]$.
    Du musst nun also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen, um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
    $P(Y\geq k) \leq 0,05 = 1- P(Y\leq k-1)$
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    Nun kannst du aus der Tabelle $3$ für die kumulierte Binomialverteilung bei $p=0,25$ das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.
    Aus der Tabelle erhältst du folgende Werte:
    $P(Y\leq 17)=0,9449 $ und $P(Y\leq 18)=0,9713 $
    Somit erhälst du:
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 1-0,9449\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 1-0,9713\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$
    Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist, ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.
    Somit lautet die Entscheidungsregel:
    Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also wenn $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Mit Hilfe deines GTRs kannst du für verschiedene Werte für $k$ die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Durch systematisches Probieren kannst du somit das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.
    Durch den binomcdf-Befehl deines GTR erhältst du folgende Werte:
    Somit erhältst du:
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$
    Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.
    Somit lautet die Entscheidungsregel:
    Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also dass $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
    (2)
    $\blacktriangleright$  Beurteile die Situation für genau 19 Nutzer
    Im Fall, dass $19$ Jugendliche bei der Befragung angeben, dass sie das schulinterne Netzwerk nutzen, ist die Nullhypothese zu verwerfen. Das bedeutet, dass die Schülervertretung Erfolg hatte und somit der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist.
    (3)
    $\blacktriangleright$  Ablehnungsbereich der Nullhypothese in Abbildung 1 darstellen
    Die Nullhypothese wird verworfen, fallls $20$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen. Deshalb musst du die Wahrscheinlichkeiten für $X\geq 20$ markieren. Das Schaubild sieht somit wie folgt aus:
    Abb. 3: Abbildung $1$ mit Ablehnungsbereich
    Abb. 3: Abbildung $1$ mit Ablehnungsbereich
    (4)
    $\blacktriangleright$  Fehler 2. Art beschreiben
    Ein Fehler 2. Art bedeutet, die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise nicht zu verwerfen. Das heißt in diesem Fall, dass die Schülervertretung aufgrund der Ergebnisse der Umfrage die Hypothese nicht verwirft und ihre Aktion somit als nicht erforlgreich betrachtet, obwohl sich die Anzahl der Schüler, welches das schulinterne Netzwerk nutzen erhöht hat.
    Liegt der Wirkungsgrad in Wirklichkeit bei $40\, \%$ so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art $p=0,4$ und $n=50$. Die Grenze ist gegeben mit $Y < 20$, also mit $Y\leq 19$. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit aus der gegebenen Tabelle $3$ ablesen. Deshalb gilt für $P(Y \leq 19)=0,4465$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art liegt somit bei $0,4465$.
    (5)
    $\blacktriangleright$  Veränderung durch steigenden Nutzungsgrad
    In dieser Teilaufgabe sollst du erkären inwiefern man durch die Abbildungen $2$ - $4$ ablesen kann, dass sich durch steigenden Nutzungsgrad und bei gleichbleibender Entscheidungsregel die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art verringert. Da sich die Entscheidungsregel nicht verändert liegt ein Fehler 2. Art bei allen Abbildungen bei $Y < 20$ vor. Da sich aber der Nutzungsgrad erhöht verschieben sich die Diagramme nach rechts. Die Einzelwahrscheinlichkeiten für $Y < 20$ sind durch die Säulen dargestellt. Die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten gibt somit die gesamte Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art an. Nun kannst du in den verschiedenen Abbildungen die Wahrscheinlichkeiten für $Y < 20$ wie folgt markieren.
    Abb. 4: Fehler 2. Art in Abbildung $2$
    Abb. 4: Fehler 2. Art in Abbildung $2$
    Abb. 5: Fehler 2. Art in Abbildung $3$
    Abb. 5: Fehler 2. Art in Abbildung $3$
    Abb. 6: Fehler 2. Art in Abbildung $4$
    Abb. 6: Fehler 2. Art in Abbildung $4$
    Nun kannst du feststellen, dass sich die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art für einen größeren Nutzungsgrad verkleinert.
    #hypothesentest
    Bildnachweise [nach oben]
    [1]
    © 2016 – SchulLV.
    [2]
    © 2016 – SchulLV.
    [3]
    © 2016 – SchulLV.
    [4]
    © 2016 – SchulLV.
    [5]
    © 2016 – SchulLV.
    [6]
    © 2016 – SchulLV.
    a)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für genau 33 Nutzer berechnen
    In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind hierbei unabhängig voneinander. Zudem gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, also dass ein Jugendlicher Nutzer von Freundschaftsbuch oder kein Nutzer von Freundschaftsbuch ist. Außerdem gilt, dass die Wahrscheinlichkeit immer konstant bleibt. Deshalb kann man die Anzahl der Nutzer als binomiaverteilt ansehen und kann die Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
    $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
    $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
    Dabei beschreibt in diesem Fall $n$ die Anzahl der Ziehungen ($n=100$), $X$ die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen und $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch benutzt ($p = 0,3 $).
    Da genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen sollen, setzt du $k=33$.
    $\begin{array}[t]{rll} P(X=33) &=& \binom{100}{33} \cdot 0,3^{33} \cdot (1-0,3)^{100-33} \\[5pt] &=& \binom{100}{33} \cdot 0,3^{33} \cdot (0,7)^{67} \\[5pt] &\approx& 0,0685. \end{array}$
    $P(X=33) = … $
    D.h. wenn du zufällig $100$ Jugendliche befragst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen $6,85\, \%.$
    (2)
    $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 25 Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen
    Gesucht ist $P(X \leq 25)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus $100$ befragten Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    $P(X \leq 25)$ kannst du nun aus der Tabelle 4 für die kumulierte Binomialverteilung in den Anlagen ablesen.
    $P(X \leq 25) = 0,1631$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,1631$.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Die Wahrscheinlichkeit für $P(X \leq 25)$ kannst du mithilfe des binomcdf-Befehls deines GTR bestimmen. Den binomcdf-Befehl findest du unter
    2nd $\to$ DISTR $\to$ B:binomcdf.
    2nd $\to$ DISTR $\to$ B:binomcdf.
    Abb. 2: Ergebnis
    Abb. 2: Ergebnis
    Somit gilt:
    $P(X \leq 25) = 0,1631$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $0,1631$.
    (3)
    Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung zum Erwartungswert
    In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen, um maximal den Wert $5$ vom Erwartungswert unterscheidet. Bestimme also zunächst den Erwartungswert. Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt, konstant bleibt, berechnet sich der Erwartungswert wie folgt:
    $E(X) = p \cdot n $
    $E(X) = p \cdot n $
    Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit bei $p=0,3$ liegt und insgesamt $100$ Jugendliche befragt werden, liegt der Erwartungswert bei
    $\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& p \cdot n \\[5pt] &=& 0,3 \cdot 100 \\[5pt] &=&30 \end{array}$
    Deshalb ist zu erwarten, dass von $100$ befragten Jugendlichen $30$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Somit lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(25 \leq X \leq 35)$, dies gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen mindestens $25$ und höchstens $35$ beträgt.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    Die Wahrscheinlichkeiten kannst du der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung entnehmen.
    $\begin{array}[t]{rll} P(25 \leq X \leq 35)&=& P(X \leq 35) - P(X < 25) \\[5pt] &=& P(X \leq 35) - P(X \leq 24) \\[5pt] &\approx& 0,8839 - 0,1136\\[5pt] &=&0,7703 \end{array}$
    $P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt $77,03\, \%$.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Die Wahrscheinlichkeiten kannst du nun wie oben mittels dem binomcdf-Befehl deines GTR bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} P(25 \leq X \leq 35)&=& P(X \leq 35) - P(X < 25) \\[5pt] &=& P(X \leq 35) - P(X \leq 24) \\[5pt] &\approx& 0,8839 - 0,1136\\[5pt] &=&0,7703 \end{array}$
    $$P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $77,03\, \%$.
    b)
    $\blacktriangleright$  Anzahl der Jugendlichen berechnen
    In dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, die befragt werden müssen, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich wie folgt zusammen
    $P(X\leq1)=P(X=1)+P(X=0)$.
    Nun musst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, sodass $P(X\leq1) \leq 0,05$ gilt. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt $p=\dfrac{3}{10}$.
    Hierfür benötigst du also die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ und $P(X=0)$. Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich hierbei wie folgt:
    $P(X=1)= \binom{n}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=&\binom{n}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{n-0} \\[5pt] &=& (1-p)^{n} \end{array}$
    Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(\leq1)$:
    $\begin{array}[t]{rll} P(\leq1)&=& P(X =1) + P(X =0) \\[5pt] &=& n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \end{array}$
    $ P(\leq1) = \dotsc$
    Nun kannst du durch systematisches Probieren den entsprechenden Wert für $n$ finden, sodass die Ungleichung
    $P(X\leq1) \leq 0,05$ erfüllt ist.
    In die Ungleichung kannst du anschließend deine obere Gleichung einsetzen.
    $n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \leq 0,05$
    Für $n=10$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,15$
    Für $n=13$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,064$
    Für $n=14$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,047$
    Somit müssen mndestens $14$ Jugendliche befragt werden, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt.
    c)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer beschreiben, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen
    In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass für den Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen der Term $0,3\cdot (1-h) + 0,7h$ gilt. Überlege dir zuerst wie der Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen zusammengesetzt ist. Bezeichne hierbei beispielsweise den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen mit $a$ und den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen mit $b$.
    Der Anteil der Schüler, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen setzt sich aus dem Anteil der Schüler zusammen,
  • die das schulinterne Netzwerk aber nicht das Freundschaftsbuch nutzen und denen,
  • die das Netzwerk Freundschaftsbuch aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen.
  • Der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,3$. Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nicht nutzen $1-0,3=0,7$.
    Der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen beträgt $h$. Somit ergibt sich für den Anteil, die das schulinterne Netzwerk nicht nutzen $1-h$.
    Für den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch, aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen, gilt somit:
    $0,3\cdot(1-h)$
    Für den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk, aber nicht das Freundschaftsbuch benutzen, gilt somit:
    $0,7\cdot h$
    Somit gilt für den gesamten Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen:
    $0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$
    (2)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer des schulinternen Netzwerks bestimmen
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen $0,4$ beträgt. Da du in der ersten Teilaufgabe bereits den Term für den Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen berechnet hast, kannst du nun mit Hilfe des Terms den unbekannten Anteil $h$ berechnen. $h$ beschreibt hierbei den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, also $a$. Bestimme mit folgender Gleichung den unbekannten Anteil $h$.
    $0,4=0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$
    Nun kannst du die Gleichung nach $h$ auflösen und erhältst
    $\begin{array}[t]{rll} 0,4 &=& 0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h\\[5pt] 0,4&=& 0,3 - 0,3h + 0,7h\\[5pt] 0,4&=& 0,3 +0,4h& \quad \mid -0,3 & \quad \mid :0,4\\[5pt] h &=& 0,25\end{array}$
    $ h = 0,25$
    Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $a=0,25$.
    (3)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Jugendlichen, der mind. eines der beiden Netzwerke nutzt
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $0,25$ beträgt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt.
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke benutzt setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten,
  • dass ein Jugendlicher genau eines der beiden Netzwerke benutzt und
  • dass ein Schüler beide Netzwerke benutzt zusammen.
  • Somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    $\begin{array}[t]{rll} P(\text{mind } 1) &=& 0,4 + 0,3 \cdot h\\[5pt] &=& 0,4 + 0,3 \cdot 0,25\\[5pt] &=& 0,475 \end{array}$
    Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt $0,475$.
    (4)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
    In dieser Teilaufgabe hast du nun gegeben, dass eine zufällig ausgewählte Person das schulinterne Nezwerk benutzt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass dieser Jugendliche Freundschaftsbuch nicht nutzt. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit mit der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen. Bezeichne beispielsweise die Nutzung des schulinternen Netzwerks mit $A$ und die Ablehnung des Freundschaftsbuches mit $\overline{B}$. Somit lautet die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    Die Formel gibt nun an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis $B$ nicht eintritt, wenn das Ereignis $A$ bereits gilt. Also, mit welcher Wahrscheinlichkeit er Freundschaftsbuch benutzt, wenn er bereits das schulinterne Netzwerk benutzt.
    Da das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten oder Nichteintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig.
    Deshalb gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    Somit gilt:
    $P(\overline{B})=(1-0,3) = 0,7$
    Die Wahrscheinlichkeit beträgt deshalb$0,7$.
    d)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Entscheidungsregel formulieren
    Du sollst hier die Nullhypothese angeben und eine Entscheidungsregel formulieren, das heißt eine Regel dafür formulieren, ob die Vermutung, dass der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist, wahr ist. Stelle hierfür zunächst eine geeignete Nullhypothese auf. Für die Nullhypothese gilt:
    $H_0:p \leq 0,25$
    Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ durchgeführt.
    Wir betrachten hier die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Nutzer des schulinternen Netzwerkes beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n =50$. Da ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für kleine Werte abgelehnt.
    Der Ablehnungsbereich hat daher die Form
    $\overline{K} = [k,n]$.
    Du musst nun also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen, um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
    $P(Y\geq k) \leq 0,05 = 1- P(Y\leq k-1)$
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    Nun kannst du aus der Tabelle $3$ für die kumulierte Binomialverteilung bei $p=0,25$ das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.
    Aus der Tabelle erhältst du folgende Werte:
    $P(Y\leq 17)=0,9449 $ und $P(Y\leq 18)=0,9713 $
    Somit erhälst du:
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 1-0,9449\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 1-0,9713\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$
    Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist, ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.
    Somit lautet die Entscheidungsregel:
    Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also wenn $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Mit Hilfe deines GTRs kannst du für verschiedene Werte für $k$ die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Durch systematisches Probieren kannst du somit das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.
    Durch den binomcdf-Befehl deines GTR erhältst du folgende Werte:
    Somit erhältst du:
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$
    Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.
    Somit lautet die Entscheidungsregel:
    Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also dass $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
    (2)
    $\blacktriangleright$  Beurteile die Situation für genau 19 Nutzer
    Im Fall, dass $19$ Jugendliche bei der Befragung angeben, dass sie das schulinterne Netzwerk nutzen, ist die Nullhypothese zu verwerfen. Das bedeutet, dass die Schülervertretung Erfolg hatte und somit der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist.
    (3)
    $\blacktriangleright$  Ablehnungsbereich der Nullhypothese in Abbildung 1 darstellen
    Die Nullhypothese wird verworfen, fallls $20$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen. Deshalb musst du die Wahrscheinlichkeiten für $X\geq 20$ markieren. Das Schaubild sieht somit wie folgt aus:
    Abb. 3: Abbildung $1$ mit Ablehnungsbereich
    Abb. 3: Abbildung $1$ mit Ablehnungsbereich
    (4)
    $\blacktriangleright$  Fehler 2. Art beschreiben
    Ein Fehler 2. Art bedeutet, die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise nicht zu verwerfen. Das heißt in diesem Fall, dass die Schülervertretung aufgrund der Ergebnisse der Umfrage die Hypothese nicht verwirft und ihre Aktion somit als nicht erforlgreich betrachtet, obwohl sich die Anzahl der Schüler, welches das schulinterne Netzwerk nutzen erhöht hat.
    Liegt der Wirkungsgrad in Wirklichkeit bei $40\, \%$ so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art $p=0,4$ und $n=50$. Die Grenze ist gegeben mit $Y < 20$, also mit $Y\leq 19$. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit aus der gegebenen Tabelle $3$ ablesen. Deshalb gilt für $P(Y \leq 19)=0,4465$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art liegt somit bei $0,4465$.
    (5)
    $\blacktriangleright$  Veränderung durch steigenden Nutzungsgrad
    In dieser Teilaufgabe sollst du erkären inwiefern man durch die Abbildungen $2$ - $4$ ablesen kann, dass sich durch steigenden Nutzungsgrad und bei gleichbleibender Entscheidungsregel die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art verringert. Da sich die Entscheidungsregel nicht verändert liegt ein Fehler 2. Art bei allen Abbildungen bei $Y < 20$ vor. Da sich aber der Nutzungsgrad erhöht verschieben sich die Diagramme nach rechts. Die Einzelwahrscheinlichkeiten für $Y < 20$ sind durch die Säulen dargestellt. Die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten gibt somit die gesamte Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art an. Nun kannst du in den verschiedenen Abbildungen die Wahrscheinlichkeiten für $Y < 20$ wie folgt markieren.
    Abb. 4: Fehler 2. Art in Abbildung $2$
    Abb. 4: Fehler 2. Art in Abbildung $2$
    Abb. 5: Fehler 2. Art in Abbildung $3$
    Abb. 5: Fehler 2. Art in Abbildung $3$
    Abb. 6: Fehler 2. Art in Abbildung $4$
    Abb. 6: Fehler 2. Art in Abbildung $4$
    Nun kannst du feststellen, dass sich die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art für einen größeren Nutzungsgrad verkleinert.
    Bildnachweise [nach oben]
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    a)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für genau 33 Nutzer berechnen
    In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind hierbei unabhängig voneinander. Zudem gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, also dass ein Jugendlicher Nutzer von Freundschaftsbuch oder kein Nutzer von Freundschaftsbuch ist. Außerdem gilt, dass die Wahrscheinlichkeit immer konstant bleibt. Deshalb kann man die Anzahl der Nutzer als binomiaverteilt ansehen und kann die Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
    $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
    $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
    Dabei beschreibt in diesem Fall $n$ die Anzahl der Ziehungen ($n=100$), $X$ die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen und $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch benutzt ($p = 0,3 $).
    Da genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen sollen, setzt du $k=33$.
    $\begin{array}[t]{rll} P(X=33) &=& \binom{100}{33} \cdot 0,3^{33} \cdot (1-0,3)^{100-33} \\[5pt] &=& \binom{100}{33} \cdot 0,3^{33} \cdot (0,7)^{67} \\[5pt] &\approx& 0,0685. \end{array}$
    $P(X=33) = … $
    D.h. wenn du zufällig $100$ Jugendliche befragst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen $6,85\, \%.$
    (2)
    $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 25 Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen
    Gesucht ist $P(X \leq 25)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus $100$ befragten Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    $P(X \leq 25)$ kannst du nun aus der Tabelle 4 für die kumulierte Binomialverteilung in den Anlagen ablesen.
    $P(X \leq 25) = 0,1631$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,1631$.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Die Wahrscheinlichkeit für $P(X \leq 25)$ kannst du mithilfe des binomcdf-Befehls deines GTR bestimmen. Den binomcdf-Befehl findest du unter
    OPTN $\to$ F5:STAT $\to$ F3:DIST $\to$ F5:BINOMIAL $\to$ F2:Bcd.
    OPTN $\to$ F5:STAT $\to$ F3:DIST $\to$ F5:BINOMIAL $\to$ F2:Bcd.
    Abb. 2: Ergebnis Teil 2
    Abb. 2: Ergebnis Teil 2
    Somit gilt:
    $P(X \leq 25) = 0,1631$
    Die Wahrscheinlichkeit, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $0,1631$.
    (3)
    Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung zum Erwartungswert
    In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen, um maximal den Wert $5$ vom Erwartungswert unterscheidet. Bestimme also zunächst den Erwartungswert. Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt, konstant bleibt, berechnet sich der Erwartungswert wie folgt:
    $E(X) = p \cdot n $
    $E(X) = p \cdot n $
    Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit bei $p=0,3$ liegt und insgesamt $100$ Jugendliche befragt werden, liegt der Erwartungswert bei
    $\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& p \cdot n \\[5pt] &=& 0,3 \cdot 100 \\[5pt] &=&30 \end{array}$
    Deshalb ist zu erwarten, dass von $100$ befragten Jugendlichen $30$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Somit lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(25 \leq X \leq 35)$, dies gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen mindestens $25$ und höchstens $35$ beträgt.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    Die Wahrscheinlichkeiten kannst du der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung entnehmen.
    $\begin{array}[t]{rll} P(25 \leq X \leq 35)&=& P(X \leq 35) - P(X < 25) \\[5pt] &=& P(X \leq 35) - P(X \leq 24) \\[5pt] &\approx& 0,8839 - 0,1136\\[5pt] &=&0,7703 \end{array}$
    $P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt $77,03\, \%$.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Die Wahrscheinlichkeiten kannst du nun wie oben mittels dem binomcdf-Befehl deines GTR bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} P(25 \leq X \leq 35)&=& P(X \leq 35) - P(X < 25) \\[5pt] &=& P(X \leq 35) - P(X \leq 24) \\[5pt] &\approx& 0,8839 - 0,1136\\[5pt] &=&0,7703 \end{array}$
    $$P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $77,03\, \%$.
    b)
    $\blacktriangleright$  Anzahl der Jugendlichen berechnen
    In dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, die befragt werden müssen, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich wie folgt zusammen
    $P(X\leq1)=P(X=1)+P(X=0)$.
    Nun musst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, sodass $P(X\leq1) \leq 0,05$ gilt. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt $p=\dfrac{3}{10}$.
    Hierfür benötigst du also die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ und $P(X=0)$. Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich hierbei wie folgt:
    $P(X=1)= \binom{n}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=&\binom{n}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{n-0} \\[5pt] &=& (1-p)^{n} \end{array}$
    Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(\leq1)$:
    $\begin{array}[t]{rll} P(\leq1)&=& P(X =1) + P(X =0) \\[5pt] &=& n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \end{array}$
    $ P(\leq1) = \dotsc$
    Nun kannst du durch systematisches Probieren den entsprechenden Wert für $n$ finden, sodass die Ungleichung
    $P(X\leq1) \leq 0,05$ erfüllt ist.
    In die Ungleichung kannst du anschließend deine obere Gleichung einsetzen.
    $n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \leq 0,05$
    Für $n=10$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,15$
    Für $n=13$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,064$
    Für $n=14$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,047$
    Somit müssen mndestens $14$ Jugendliche befragt werden, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt.
    c)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer beschreiben, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen
    In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass für den Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen der Term $0,3\cdot (1-h) + 0,7h$ gilt. Überlege dir zuerst wie der Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen zusammengesetzt ist. Bezeichne hierbei beispielsweise den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen mit $a$ und den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen mit $b$.
    Der Anteil der Schüler, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen setzt sich aus dem Anteil der Schüler zusammen,
  • die das schulinterne Netzwerk aber nicht das Freundschaftsbuch nutzen und denen,
  • die das Netzwerk Freundschaftsbuch aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen.
  • Der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,3$. Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nicht nutzen $1-0,3=0,7$.
    Der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen beträgt $h$. Somit ergibt sich für den Anteil, die das schulinterne Netzwerk nicht nutzen $1-h$.
    Für den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch, aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen, gilt somit:
    $0,3\cdot(1-h)$
    Für den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk, aber nicht das Freundschaftsbuch benutzen, gilt somit:
    $0,7\cdot h$
    Somit gilt für den gesamten Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen:
    $0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$
    (2)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer des schulinternen Netzwerks bestimmen
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen $0,4$ beträgt. Da du in der ersten Teilaufgabe bereits den Term für den Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen berechnet hast, kannst du nun mit Hilfe des Terms den unbekannten Anteil $h$ berechnen. $h$ beschreibt hierbei den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, also $a$. Bestimme mit folgender Gleichung den unbekannten Anteil $h$.
    $0,4=0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$
    Nun kannst du die Gleichung nach $h$ auflösen und erhältst
    $\begin{array}[t]{rll} 0,4 &=& 0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h\\[5pt] 0,4&=& 0,3 - 0,3h + 0,7h\\[5pt] 0,4&=& 0,3 +0,4h& \quad \mid -0,3 & \quad \mid :0,4\\[5pt] h &=& 0,25\end{array}$
    $ h = 0,25$
    Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $a=0,25$.
    (3)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Jugendlichen, der mind. eines der beiden Netzwerke nutzt
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $0,25$ beträgt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt.
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke benutzt setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten,
  • dass ein Jugendlicher genau eines der beiden Netzwerke benutzt und
  • dass ein Schüler beide Netzwerke benutzt zusammen.
  • Somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    $\begin{array}[t]{rll} P(\text{mind } 1) &=& 0,4 + 0,3 \cdot h\\[5pt] &=& 0,4 + 0,3 \cdot 0,25\\[5pt] &=& 0,475 \end{array}$
    Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt $0,475$.
    (4)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
    In dieser Teilaufgabe hast du nun gegeben, dass eine zufällig ausgewählte Person das schulinterne Nezwerk benutzt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass dieser Jugendliche Freundschaftsbuch nicht nutzt. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit mit der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen. Bezeichne beispielsweise die Nutzung des schulinternen Netzwerks mit $A$ und die Ablehnung des Freundschaftsbuches mit $\overline{B}$. Somit lautet die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    Die Formel gibt nun an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis $B$ nicht eintritt, wenn das Ereignis $A$ bereits gilt. Also, mit welcher Wahrscheinlichkeit er Freundschaftsbuch benutzt, wenn er bereits das schulinterne Netzwerk benutzt.
    Da das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten oder Nichteintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig.
    Deshalb gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    Somit gilt:
    $P(\overline{B})=(1-0,3) = 0,7$
    Die Wahrscheinlichkeit beträgt deshalb$0,7$.
    d)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Entscheidungsregel formulieren
    Du sollst hier die Nullhypothese angeben und eine Entscheidungsregel formulieren, das heißt eine Regel dafür formulieren, ob die Vermutung, dass der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist, wahr ist. Stelle hierfür zunächst eine geeignete Nullhypothese auf. Für die Nullhypothese gilt:
    $H_0:p \leq 0,25$
    Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ durchgeführt.
    Wir betrachten hier die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Nutzer des schulinternen Netzwerkes beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n =50$. Da ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für kleine Werte abgelehnt.
    Der Ablehnungsbereich hat daher die Form
    $\overline{K} = [k,n]$.
    Du musst nun also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen, um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
    $P(Y\geq k) \leq 0,05 = 1- P(Y\leq k-1)$
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    Nun kannst du aus der Tabelle $3$ für die kumulierte Binomialverteilung bei $p=0,25$ das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.
    Aus der Tabelle erhältst du folgende Werte:
    $P(Y\leq 17)=0,9449 $ und $P(Y\leq 18)=0,9713 $
    Somit erhälst du:
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 1-0,9449\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 1-0,9713\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$
    Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist, ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.
    Somit lautet die Entscheidungsregel:
    Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also wenn $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Mit Hilfe deines GTRs kannst du für verschiedene Werte für $k$ die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Durch systematisches Probieren kannst du somit das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.
    Durch den binomcdf-Befehl deines GTR erhältst du folgende Werte:
    Somit erhältst du:
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$
    Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.
    Somit lautet die Entscheidungsregel:
    Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also dass $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
    (2)
    $\blacktriangleright$  Beurteile die Situation für genau 19 Nutzer
    Im Fall, dass $19$ Jugendliche bei der Befragung angeben, dass sie das schulinterne Netzwerk nutzen, ist die Nullhypothese zu verwerfen. Das bedeutet, dass die Schülervertretung Erfolg hatte und somit der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist.
    (3)
    $\blacktriangleright$  Ablehnungsbereich der Nullhypothese in Abbildung 1 darstellen
    Die Nullhypothese wird verworfen, fallls $20$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen. Deshalb musst du die Wahrscheinlichkeiten für $X\geq 20$ markieren. Das Schaubild sieht somit wie folgt aus:
    Abb. 3: Abbildung $1$ mit Ablehnungsbereich
    Abb. 3: Abbildung $1$ mit Ablehnungsbereich
    (4)
    $\blacktriangleright$  Fehler 2. Art beschreiben
    Ein Fehler 2. Art bedeutet, die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise nicht zu verwerfen. Das heißt in diesem Fall, dass die Schülervertretung aufgrund der Ergebnisse der Umfrage die Hypothese nicht verwirft und ihre Aktion somit als nicht erforlgreich betrachtet, obwohl sich die Anzahl der Schüler, welches das schulinterne Netzwerk nutzen erhöht hat.
    Liegt der Wirkungsgrad in Wirklichkeit bei $40\, \%$ so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art $p=0,4$ und $n=50$. Die Grenze ist gegeben mit $Y < 20$, also mit $Y\leq 19$. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit aus der gegebenen Tabelle $3$ ablesen. Deshalb gilt für $P(Y \leq 19)=0,4465$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art liegt somit bei $0,4465$.
    (5)
    $\blacktriangleright$  Veränderung durch steigenden Nutzungsgrad
    In dieser Teilaufgabe sollst du erkären inwiefern man durch die Abbildungen $2$ - $4$ ablesen kann, dass sich durch steigenden Nutzungsgrad und bei gleichbleibender Entscheidungsregel die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art verringert. Da sich die Entscheidungsregel nicht verändert liegt ein Fehler 2. Art bei allen Abbildungen bei $Y < 20$ vor. Da sich aber der Nutzungsgrad erhöht verschieben sich die Diagramme nach rechts. Die Einzelwahrscheinlichkeiten für $Y < 20$ sind durch die Säulen dargestellt. Die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten gibt somit die gesamte Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art an. Nun kannst du in den verschiedenen Abbildungen die Wahrscheinlichkeiten für $Y < 20$ wie folgt markieren.
    Abb. 4: Fehler 2. Art in Abbildung $2$
    Abb. 4: Fehler 2. Art in Abbildung $2$
    Abb. 5: Fehler 2. Art in Abbildung $3$
    Abb. 5: Fehler 2. Art in Abbildung $3$
    Abb. 6: Fehler 2. Art in Abbildung $4$
    Abb. 6: Fehler 2. Art in Abbildung $4$
    Nun kannst du feststellen, dass sich die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art für einen größeren Nutzungsgrad verkleinert.
    Bildnachweise [nach oben]
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    a)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für genau 33 Nutzer berechnen
    In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind hierbei unabhängig voneinander. Zudem gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, also dass ein Jugendlicher Nutzer von Freundschaftsbuch oder kein Nutzer von Freundschaftsbuch ist. Außerdem gilt, dass die Wahrscheinlichkeit immer konstant bleibt. Deshalb kann man die Anzahl der Nutzer als binomiaverteilt ansehen und kann die Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei
    $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
    $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
    Dabei beschreibt in diesem Fall $n$ die Anzahl der Ziehungen ($n=100$), $X$ die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen und $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch benutzt ($p = 0,3 $).
    Da genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen sollen, setzt du $k=33$.
    $\begin{array}[t]{rll} P(X=33) &=& \binom{100}{33} \cdot 0,3^{33} \cdot (1-0,3)^{100-33} \\[5pt] &=& \binom{100}{33} \cdot 0,3^{33} \cdot (0,7)^{67} \\[5pt] &\approx& 0,0685. \end{array}$
    $P(X=33) = … $
    D.h. wenn du zufällig $100$ Jugendliche befragst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen $6,85\, \%.$
    (2)
    $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 25 Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen
    Gesucht ist $P(X \leq 25)$, d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus $100$ befragten Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    $P(X \leq 25)$ kannst du nun aus der Tabelle 4 für die kumulierte Binomialverteilung in den Anlagen ablesen.
    $P(X \leq 25) = 0,1631$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,1631$.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Die Wahrscheinlichkeit für $P(X \leq 25)$ kannst du mithilfe des binomcdf-Befehls deines GTR bestimmen. Den binomcdf-Befehl findest du unter
    OPTN $\to$ F5:STAT $\to$ F3:DIST $\to$ F5:BINOMIAL $\to$ F2:Bcd.
    OPTN $\to$ F5:STAT $\to$ F3:DIST $\to$ F5:BINOMIAL $\to$ F2:Bcd.
    Abb. 2: Ergebnis Teil 2
    Abb. 2: Ergebnis Teil 2
    Somit gilt:
    $P(X \leq 25) = 0,1631$
    Die Wahrscheinlichkeit, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $0,1631$.
    (3)
    Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung zum Erwartungswert
    In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen, um maximal den Wert $5$ vom Erwartungswert unterscheidet. Bestimme also zunächst den Erwartungswert. Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt, konstant bleibt, berechnet sich der Erwartungswert wie folgt:
    $E(X) = p \cdot n $
    $E(X) = p \cdot n $
    Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit bei $p=0,3$ liegt und insgesamt $100$ Jugendliche befragt werden, liegt der Erwartungswert bei
    $\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& p \cdot n \\[5pt] &=& 0,3 \cdot 100 \\[5pt] &=&30 \end{array}$
    Deshalb ist zu erwarten, dass von $100$ befragten Jugendlichen $30$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Somit lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(25 \leq X \leq 35)$, dies gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen mindestens $25$ und höchstens $35$ beträgt.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    Die Wahrscheinlichkeiten kannst du der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung entnehmen.
    $\begin{array}[t]{rll} P(25 \leq X \leq 35)&=& P(X \leq 35) - P(X < 25) \\[5pt] &=& P(X \leq 35) - P(X \leq 24) \\[5pt] &\approx& 0,8839 - 0,1136\\[5pt] &=&0,7703 \end{array}$
    $P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt $77,03\, \%$.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Die Wahrscheinlichkeiten kannst du nun wie oben mittels dem binomcdf-Befehl deines GTR bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} P(25 \leq X \leq 35)&=& P(X \leq 35) - P(X < 25) \\[5pt] &=& P(X \leq 35) - P(X \leq 24) \\[5pt] &\approx& 0,8839 - 0,1136\\[5pt] &=&0,7703 \end{array}$
    $$P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $77,03\, \%$.
    #binomialverteilung#erwartungswert
    b)
    $\blacktriangleright$  Anzahl der Jugendlichen berechnen
    In dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, die befragt werden müssen, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich wie folgt zusammen
    $P(X\leq1)=P(X=1)+P(X=0)$.
    Nun musst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, sodass $P(X\leq1) \leq 0,05$ gilt. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt $p=\dfrac{3}{10}$.
    Hierfür benötigst du also die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ und $P(X=0)$. Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich hierbei wie folgt:
    $P(X=1)= \binom{n}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=&\binom{n}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{n-0} \\[5pt] &=& (1-p)^{n} \end{array}$
    Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(\leq1)$:
    $\begin{array}[t]{rll} P(\leq1)&=& P(X =1) + P(X =0) \\[5pt] &=& n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \end{array}$
    $ P(\leq1) = \dotsc$
    Nun kannst du durch systematisches Probieren den entsprechenden Wert für $n$ finden, sodass die Ungleichung
    $P(X\leq1) \leq 0,05$ erfüllt ist.
    In die Ungleichung kannst du anschließend deine obere Gleichung einsetzen.
    $n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \leq 0,05$
    Für $n=10$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,15$
    Für $n=13$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,064$
    Für $n=14$ gilt:
    $P(X\leq1) \approx 0,047$
    Somit müssen mndestens $14$ Jugendliche befragt werden, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt.
    #binomialverteilung
    c)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer beschreiben, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen
    In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass für den Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen der Term $0,3\cdot (1-h) + 0,7h$ gilt. Überlege dir zuerst wie der Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen zusammengesetzt ist. Bezeichne hierbei beispielsweise den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen mit $a$ und den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen mit $b$.
    Der Anteil der Schüler, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen setzt sich aus dem Anteil der Schüler zusammen,
  • die das schulinterne Netzwerk aber nicht das Freundschaftsbuch nutzen und denen,
  • die das Netzwerk Freundschaftsbuch aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen.
  • Der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,3$. Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nicht nutzen $1-0,3=0,7$.
    Der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen beträgt $h$. Somit ergibt sich für den Anteil, die das schulinterne Netzwerk nicht nutzen $1-h$.
    Für den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch, aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen, gilt somit:
    $0,3\cdot(1-h)$
    Für den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk, aber nicht das Freundschaftsbuch benutzen, gilt somit:
    $0,7\cdot h$
    Somit gilt für den gesamten Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen:
    $0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$
    (2)
    $\blacktriangleright$  Anteil der Nutzer des schulinternen Netzwerks bestimmen
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen $0,4$ beträgt. Da du in der ersten Teilaufgabe bereits den Term für den Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen berechnet hast, kannst du nun mit Hilfe des Terms den unbekannten Anteil $h$ berechnen. $h$ beschreibt hierbei den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, also $a$. Bestimme mit folgender Gleichung den unbekannten Anteil $h$.
    $0,4=0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$
    Nun kannst du die Gleichung nach $h$ auflösen und erhältst
    $\begin{array}[t]{rll} 0,4 &=& 0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h\\[5pt] 0,4&=& 0,3 - 0,3h + 0,7h\\[5pt] 0,4&=& 0,3 +0,4h& \quad \mid -0,3 & \quad \mid :0,4\\[5pt] h &=& 0,25\end{array}$
    $ h = 0,25$
    Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $a=0,25$.
    (3)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Jugendlichen, der mind. eines der beiden Netzwerke nutzt
    In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $0,25$ beträgt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt.
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke benutzt setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten,
  • dass ein Jugendlicher genau eines der beiden Netzwerke benutzt und
  • dass ein Schüler beide Netzwerke benutzt zusammen.
  • Somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    $\begin{array}[t]{rll} P(\text{mind } 1) &=& 0,4 + 0,3 \cdot h\\[5pt] &=& 0,4 + 0,3 \cdot 0,25\\[5pt] &=& 0,475 \end{array}$
    Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt $0,475$.
    (4)
    $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
    In dieser Teilaufgabe hast du nun gegeben, dass eine zufällig ausgewählte Person das schulinterne Nezwerk benutzt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass dieser Jugendliche Freundschaftsbuch nicht nutzt. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit mit der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen. Bezeichne beispielsweise die Nutzung des schulinternen Netzwerks mit $A$ und die Ablehnung des Freundschaftsbuches mit $\overline{B}$. Somit lautet die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    $P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$
    Die Formel gibt nun an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis $B$ nicht eintritt, wenn das Ereignis $A$ bereits gilt. Also, mit welcher Wahrscheinlichkeit er Freundschaftsbuch benutzt, wenn er bereits das schulinterne Netzwerk benutzt.
    Da das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten oder Nichteintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig.
    Deshalb gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    $P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$
    Somit gilt:
    $P(\overline{B})=(1-0,3) = 0,7$
    Die Wahrscheinlichkeit beträgt deshalb$0,7$.
    #bedingtewahrscheinlichkeit
    d)
    (1)
    $\blacktriangleright$  Entscheidungsregel formulieren
    Du sollst hier die Nullhypothese angeben und eine Entscheidungsregel formulieren, das heißt eine Regel dafür formulieren, ob die Vermutung, dass der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist, wahr ist. Stelle hierfür zunächst eine geeignete Nullhypothese auf. Für die Nullhypothese gilt:
    $H_0:p \leq 0,25$
    Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ durchgeführt.
    Wir betrachten hier die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Nutzer des schulinternen Netzwerkes beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n =50$. Da ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für kleine Werte abgelehnt.
    Der Ablehnungsbereich hat daher die Form
    $\overline{K} = [k,n]$.
    Du musst nun also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen, um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
    $P(Y\geq k) \leq 0,05 = 1- P(Y\leq k-1)$
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle
    Nun kannst du aus der Tabelle $3$ für die kumulierte Binomialverteilung bei $p=0,25$ das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.
    Aus der Tabelle erhältst du folgende Werte:
    $P(Y\leq 17)=0,9449 $ und $P(Y\leq 18)=0,9713 $
    Somit erhälst du:
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 1-0,9449\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 1-0,9713\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$
    Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist, ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.
    Somit lautet die Entscheidungsregel:
    Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also wenn $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
    $\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
    Mit Hilfe deines GTRs kannst du für verschiedene Werte für $k$ die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Durch systematisches Probieren kannst du somit das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.
    Durch den binomcdf-Befehl deines GTR erhältst du folgende Werte:
    Somit erhältst du:
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$
    Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.
    Somit lautet die Entscheidungsregel:
    Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also dass $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
    (2)
    $\blacktriangleright$  Beurteile die Situation für genau 19 Nutzer
    Im Fall, dass $19$ Jugendliche bei der Befragung angeben, dass sie das schulinterne Netzwerk nutzen, ist die Nullhypothese zu verwerfen. Das bedeutet, dass die Schülervertretung Erfolg hatte und somit der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist.
    (3)
    $\blacktriangleright$  Ablehnungsbereich der Nullhypothese in Abbildung 1 darstellen
    Die Nullhypothese wird verworfen, fallls $20$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen. Deshalb musst du die Wahrscheinlichkeiten für $X\geq 20$ markieren. Das Schaubild sieht somit wie folgt aus:
    Abb. 3: Abbildung $1$ mit Ablehnungsbereich
    Abb. 3: Abbildung $1$ mit Ablehnungsbereich
    (4)
    $\blacktriangleright$  Fehler 2. Art beschreiben
    Ein Fehler 2. Art bedeutet, die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise nicht zu verwerfen. Das heißt in diesem Fall, dass die Schülervertretung aufgrund der Ergebnisse der Umfrage die Hypothese nicht verwirft und ihre Aktion somit als nicht erforlgreich betrachtet, obwohl sich die Anzahl der Schüler, welches das schulinterne Netzwerk nutzen erhöht hat.
    Liegt der Wirkungsgrad in Wirklichkeit bei $40\, \%$ so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art $p=0,4$ und $n=50$. Die Grenze ist gegeben mit $Y < 20$, also mit $Y\leq 19$. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit aus der gegebenen Tabelle $3$ ablesen. Deshalb gilt für $P(Y \leq 19)=0,4465$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art liegt somit bei $0,4465$.
    (5)
    $\blacktriangleright$  Veränderung durch steigenden Nutzungsgrad
    In dieser Teilaufgabe sollst du erkären inwiefern man durch die Abbildungen $2$ - $4$ ablesen kann, dass sich durch steigenden Nutzungsgrad und bei gleichbleibender Entscheidungsregel die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art verringert. Da sich die Entscheidungsregel nicht verändert liegt ein Fehler 2. Art bei allen Abbildungen bei $Y < 20$ vor. Da sich aber der Nutzungsgrad erhöht verschieben sich die Diagramme nach rechts. Die Einzelwahrscheinlichkeiten für $Y < 20$ sind durch die Säulen dargestellt. Die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten gibt somit die gesamte Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art an. Nun kannst du in den verschiedenen Abbildungen die Wahrscheinlichkeiten für $Y < 20$ wie folgt markieren.
    Abb. 4: Fehler 2. Art in Abbildung $2$
    Abb. 4: Fehler 2. Art in Abbildung $2$
    Abb. 5: Fehler 2. Art in Abbildung $3$
    Abb. 5: Fehler 2. Art in Abbildung $3$
    Abb. 6: Fehler 2. Art in Abbildung $4$
    Abb. 6: Fehler 2. Art in Abbildung $4$
    Nun kannst du feststellen, dass sich die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art für einen größeren Nutzungsgrad verkleinert.
    #hypothesentest
    Bildnachweise [nach oben]
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