Teil A: Ohne Hilfsmittel

Gegeben ist die Funktion $f$ durch die Gleichung

$f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^2 \cdot \mathrm e^{-x+2},x \in\mathbb{R}.$

(1)

Bestimme die erste Ableitung.
$\bigg[$ Zur Kontrolle: $\(f$

Ohne Nachweis kann im Folgenden benutzt werden: $\(f$

(2)

Weise nach, dass ein lokaler Hochpunkt existiert und gib die Koordinaten des Hochpunktes an.

(2 + 4 Punkte)

Gegeben ist die Funktion $f$ durch die Gleichung

$f(x)=$ $x^4-2\cdot x^3- x^2+2 \cdot x,$ $x\in\mathbb{R}.$

In der Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Abbildung 1

(1)

Berechne den Inhalt der gefärbten Fläche. Die Nullstellen von $f$ darfst du dabei in der Abbildung ablesen.

(2)

Der Graph der Funktion $f$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche ein. Der Inhalt dieser Fläche soll durch einen Term beschrieben werden.
Entscheide für jeden der folgenden Terme $A,B$ und $C$ , ob er dazu geeignet ist oder nicht.

$A$

$\displaystyle\int_{-1}^{2}\bigg| f(x) \bigg| \;\mathrm dx$

$B$

$\left| \displaystyle\int_{-1}^{2}f(x)\;\mathrm dx \right|$

$C$

$-\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\;\mathrm dx ...$

Term anzeigen

(3 + 3 Punkte)

Die Punkte $O,$ $A,$ $B$ sind Eckpunkte des Dreiecks $OAB$ mit $O(0 \mid 0 \mid 0),$ $A (4 \mid 2 \mid -2)$ und $B(16 \mid 2 \mid -14).$ In der Abbildung 2 wird das Dreieck $OAB$ mithilfe eines Punktes $D$ zu einem Parallelogramm $OADB$ ergänzt. Es ist $\overrightarrow{a}= \overrightarrow {OA}$ und $\overrightarrow{b}= \overrightarrow {OB}.$

nrw abi lk gtr 2019 teil a abbildung 2 dreieck oab

Abbildung 2 (nicht maßstabsgerechte Skizze)

(1)

Gib die Koordinaten des Punktes $D$ an.

Das Dreieck $OAB$ besteht aus den Punkten des Randes und allen Punkten im Inneren.
Das Dreieck $OAB$ ist bestimmt durch die Gleichung

$\overrightarrow{x}=r \cdot \overrightarrow {a}+s \cdot \overrightarrow {b};$ $0 \leq r \leq 1,$ $0 \leq s \leq 1;$ $r+s\leq 1;$ $r, s\in\mathbb{R}.$

(2)

Prüfe, ob der Punkt $P$ mit $P( 14 \mid 2,5 \mid -11,5)$ ein Punkt des Dreiecks ist.

(2 + 4 Punkte)

(1)

Die Abbildung 3 zeigt kumulierte Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit dem Parameter $n=5.$
Zeichne in die Abbildung 3 den zu $k=5$ gehörenden Wert ein und ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ den Wert $2$ annimmt.

Abbildung 3

(2)

Betrachtet wird eine binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n=5$ und $p\gt 0.$ Es gilt: $P(Y=4)=10 \cdot P (Y=5).$
Berechne den Wert von $p.$

(3 + 3 Punkte)

(1)

Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

(2)

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\( \begin{array}[t]{rll} f$

Da stets $\mathrm e^{-x+2} \neq 0$ gilt, folgt mit dem Satz vom Nullprodukt $x_1=0$ und $-\frac{1}{2}x +1 =0.$

$\begin{array}[t]{rll} -\frac{1}{2}x_2 +1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -\frac{1}{2}x_2 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2) \\[5pt] x_2 &=& 2 \end{array}$

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden

$\( \begin{array}[t]{rll} f$

An der Stelle $x_2=2$ besitzt der Graph von $f$ also einen lokalen Hochpunkt.

3. Schritt: $y$ -Koordinate berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=& \frac{1}{2}\cdot 2^2 \cdot \mathrm e^{-2+2} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Die Koordinaten des lokalen Hochpunkts lauten also $H(2\mid 2).$

(1)

Die Nullstellen von $f$ werden aus der Abbildung abgelesen und lauten:

$x_1= 0,$ $x_2=1$

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx=\frac{11}{30}$

Der Inhalt der schraffierten Fläche beträgt $\dfrac{11}{30}\,\text{FE}.$

(2)

Die Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt besteht aus drei Teilflächen. Zwei der Teilflächen liegen unterhalb der $x$ -Achse. Das zugehörige Integral hat einen negativen Wert. Es muss also der Betrag der jeweiligen Integrale zur Berechnung verwendet werden.
Das wird in Term $A$ und $C$ berücksichtigt, aber nicht in Term $B,$ da dort lediglich über das Gesamtergebnis der Betrag gebildet wird.

Term $A$ und $C$ sind zur Beschreibung des Flächeninhalts geeignet, Term $B$ ist nicht geeignet.

(1)

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \pmatrix{4\\2\\-2} + \pmatrix{16\\2\\-14}$ $= \pmatrix{20 \\ 4\\ -16}$

Die Koordinaten von $D$ lauten $D(20\mid 4\mid -16).$

(2)

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x} &=& r\cdot \overrightarrow{a} + s\cdot \overrightarrow{b} \\[5pt] &=& r\cdot\pmatrix{4\\2\\-2} + s\cdot \pmatrix{16\\2\\-14} \end{array}$

Gleichsetzen mit dem Ortsvektor von $P$ liefert:

$\pmatrix{14\\2,5\\-11,5}=$ $r\cdot\pmatrix{4\\2\\-2} + s\cdot \pmatrix{16\\2\\-14}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\( \begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 14 &=& 4r + 16s &\quad \scriptsize\mid\; \text{I} - 2\cdot \text{II} \\[5pt] \text{II}\quad& 2,5 &=& 2r +2s &\\[5pt] \text{III}\quad& -11,5 &=& -2r -14s &\\[5pt] \hline \text{I$

Einsetzen in die zweite Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad & 2,5&=& 2\cdot r + 2\cdot s \\[5pt] & 2,5 &=& 2\cdot r + 2\cdot 0,75 \\[5pt] & 2,5 &=& 2\cdot r + 1,5 &\quad \scriptsize \mid\;-1,5 \\[5pt] & 1 &=& 2r &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] & 0,5 &=& r \end{array}$

Einsetzen in die dritte Gleichung: