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Teil A: Ohne Hilfsmittel

Aufgaben
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a)
Gegeben ist die Funktion $f$ durch die Gleichung
$f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2 \cdot e^{-x+2},x \in\mathbb{R}$.
(1)
Bestimme die erste Ableitung.
[Zur Kontrolle: $f'(x) =(- \frac{1}{2}x^2+x)\cdot e^{-x+2}$]
Ohne Nachweis kann im Folgenden benutzt werden: $f''(x)=(\frac {1}{2}x^2-2x+1)\cdot e^{-x+2}$
(2)
Weise nach, dass ein lokaler Hochpunkt existiert und gib die Koordinaten des Hochpunktes an.
(2+4 Punkte)
#extrempunkt#ableitung
b)
Gegeben ist die Funktion $ f$ durch die Gleichung
$ f(x)=$ $ x^4-2\cdot x^3- x^2+2 \cdot x,$ $ x\in\mathbb{R}.$
In der Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $ f$ dargestellt.
(1)
Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche. Die Nullstellen von $ f$ darfst du dabei in der Abbildung ablesen.
(2)
Der Graph der Funktion $ f$ schließt mit der $ x$-Achse eine Fläche ein. Der Inhalt dieser Fläche soll durch einen Term beschrieben werden.
Entscheide für jeden der folgenden Terme $ A,B$ und $ C$, ob er dazu geeignet ist oder nicht.
$ A$
$ \displaystyle\int_{-1}^{2}\mid f(x)\;\mathrm \mid dx$
$ B$
$ \left| \displaystyle\int_{-1}^{2}f(x)\;\mathrm dx \right|$
$ C$
$ -\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\;\mathrm dx + \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx - \displaystyle\int_{1}^{2}f(x)\;\mathrm dx$
$ -\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\;\mathrm dx … $
(3+3 Punkte)
#integral
c)
Die Punkte $ O,A,B$ sind Eckpunkte des Dreiecks $ OAB$ mit $ O(0 \mid 0 \mid 0), A (4 \mid 2 \mid -2)$ und $ B(16 \mid 2 \mid -14)$. In der Abbildung 2 wird das Dreieck $ OAB$ mithilfe eines Punktes $ D$ zu einem Parallelogramm $ OADB$ ergänzt. Es ist $ \overrightarrow{a}= \overline {OA}$ und $ \overrightarrow{b}= \overline {OB}$.
Abbildung
Abb. 2 : (nicht maßstabgerechte Skizze)
Abbildung
Abb. 2: (nicht maßstabgerechte Skizze)
(1)
Gib die Koordinaten des Punktes $ D$ an.
Das Dreieck $ OAB$ besteht aus den Punkten des Randes und allen Punkten im Inneren.
Das Dreieck $ OAB$ ist bestimmt durch die Gleichung
$ \overrightarrow{x}=r \cdot \overrightarrow {a}+s \cdot \overrightarrow {b};$ $ 0 \leq r \leq 1,$ $ 0 \leq s \leq 1;$ $ r+s\leq 1;$ $ r, s\in\mathbb{R}.$
(2)
Prüfe, ob der Punkt $ P$ mit $ P( 14 \mid 2,5 \mid -11,5)$ ein Punkt des Dreiecks ist.
(2+4 Punkte)
#parallelogramm
d)
(1)
Die Abbildung 3 zeigt kumulierte Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit dem Parameter $n=5$.
Zeichne in die Abbildung 3 den zu $k=5$ gehörenden Wert ein und ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ den Wert $2$ annimmt.
(2)
Betrachtet wird eine binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n=5$ und $p> 0$. Es gilt: $P(Y=4)=10 \cdot P (Y=5)$.
Berechne den Wert von $p$.
(3 + 3 Punkte)
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
(1)
$ \blacktriangleright$  Erste Ableitung bestimmen
Mit der Produktregel folgt:
$ \begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \frac{1}{2}\cdot x^2 \cdot \mathrm e^{-x+2}\\[10pt] f'(x) &=& \frac{1}{2}\cdot \left( x^2 \cdot (-1)\cdot \mathrm e^{-x+2} + 2x \cdot \mathrm e^{-x+2}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left( -x^2 \cdot \mathrm e^{-x+2} + 2x \cdot \mathrm e^{-x+2}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{-x+2} \cdot \left( -x^2 + 2x\right) \\[5pt] &=& \mathrm e^{-x+2} \cdot \left( -\frac{1}{2}x^2 + x\right) \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)=… $
(2)
$ \blacktriangleright$  Lokalen Hochpunkt nachweisen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$ \begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] \mathrm e^{-x+2} \cdot \left( -\frac{1}{2}x^2 + x\right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-x+2} \neq 0 \\[5pt] -\frac{1}{2}x^2 + x &=& 0 \\[5pt] x\cdot \left( -\frac{1}{2}x +1 \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x_1 = 0 \\[5pt] -\frac{1}{2}x_2 +1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -\frac{1}{2}x_2 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; :\left( -\frac{1}{2}\right) \\[5pt] x_2 &=& 2 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& 0 \\[5pt] x_2 &=& 2 \end{array}$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen
$ \begin{array}[t]{rll} f''(0)&=& \left(\frac{1}{2}\cdot 0^2 -2\cdot 0 +1 \right) \cdot \mathrm e^{-0+2} \\[5pt] &=& 1\cdot \mathrm e^{2} > 0\\[5pt] f''(2)&=& \left(\frac{1}{2}\cdot 2^2 -2\cdot 2 +1 \right) \cdot \mathrm e^{-2+2} \\[5pt] &=& -1\cdot \mathrm e^{0} \\[5pt] &=& -1 < 0\\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f''(0)&=& 1\cdot \mathrm e^{2} > 0\\[5pt] f''(2)&=& -1 < 0\\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $ x_1=0$ befindet sich also eine Minimalstelle, an der Stelle $ x_2=2$ eine Maximalstelle von $ f.$ An der Stelle $ x_2=2$ besitzt der Graph von $ f$ also einen lokalen Hochpunkt.
3. Schritt: $ y$-Koordinate berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} f(2)&=& \frac{1}{2}\cdot 2^2 \cdot \mathrm e^{-2+2} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ f(2) =2 $
Die Koordinaten des lokalen Hochpunkts lauten also $ H(2\mid 2).$
#produktregel
b)
(1)
$ \blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Lies die Nullstellen von $ f$ aus der Abbildung ab und verwende diese als Integrationsgrenzen:
$ x_1= 0,$ $ x_2=1$
$ \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx&=& \displaystyle\int_{0}^{1}\left( x^4-2\cdot x^3-x^2+2\cdot x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{4}\cdot x^4-\frac{1}{3}x^3+x^2 \right]_0^1 \\[5pt] &=& \frac{1}{5}\cdot 1^5-\frac{2}{4}\cdot 1^4-\frac{1}{3}\cdot 1^3+^2 - \left(\frac{1}{5}\cdot 0^5-\frac{2}{4}\cdot \cdot 0^4-\frac{1}{3}\cdot 0^3+0^2 \right)\\[5pt] &=& \frac{1}{5}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+ 1^2 \\[5pt] &=& \frac{11}{30} \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx = \frac{11}{30} $
Der Inhalt der schraffierten Fläche beträgt $ \frac{11}{30}\,\text{FE}.$
(2)
$ \blacktriangleright$  Eignung der Terme bestimmen
Die Fläche, die der Graph von $ f$ mit der $ x$-Achse einschließt besteht aus drei Teilflächen. Zwei der Teilflächen liegen unterhalb der $ x$-Achse. Das zugehörige Integral hat einen negativen Wert. Es muss also der Betrag der jeweiligen Integrale zur Berechnung verwendet werden.
Das wird in Term $ A$ und $ C$ berücksichtigt, aber nicht in Term $ B,$ da dort lediglich über das Gesamtergebnis der Betrag gebildet wird.
Term $ A$ und $ C$ sind zur Beschreibung des Flächeninhalts geeignet, Term $ B$ ist nicht geeignet.
c)
(1)
$ \blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes angeben
$ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \pmatrix{4\\2\\-2} + \pmatrix{16\\2\\-14} = \pmatrix{20 \\ 4\\ -16}$
$ \overrightarrow{OD} = \pmatrix{20 \\ 4\\ -16}$
Die Koordinaten von $ D$ lauten $ D(20\mid 4\mid -16).$
(2)
$ \blacktriangleright$  Lage des Punkts überprüfen
$ \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x} &=& r\cdot \overrightarrow{a} + s\cdot \overrightarrow{b} \\[5pt] &=& r\cdot\pmatrix{4\\2\\-2} + s\cdot \pmatrix{16\\2\\-14} \end{array}$
$ \overrightarrow{x} = … $
Gleichsetzen mit dem Ortsvektor von $ P$ liefert:
$ \pmatrix{14\\2,5\\-11,5}=$ $ r\cdot\pmatrix{4\\2\\-2} + s\cdot \pmatrix{16\\2\\-14} $
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$ \begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 14 &=& 4r + 16s &\quad \scriptsize\mid\; \text{I} - 2\cdot \text{II} \\[5pt] \text{II}\quad& 2,5 &=& 2r +2s &\\[5pt] \text{III}\quad& -11,5 &=& -2r -14s &\\[5pt] \hline \text{I'}\quad& 9 &=& 0 + 12s &\quad \scriptsize\mid\; :12 \\[5pt] &\frac{3}{4} &=& s \end{array}$
$ s=\frac{3}{4} $
Einsetzen in die zweite Gleichung:
$ \begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad & 2,5&=& 2\cdot r + 2\cdot s &\quad \scriptsize \mid\;s=\frac{3}{4}\\[5pt] & 2,5 &=& 2\cdot r + 2\cdot \frac{3}{4} \\[5pt] & 2,5 &=& 2\cdot r + \frac{3}{2} &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{3}{2} \\[5pt] & 1 &=& 2r &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] & 0,5 &=& r \end{array}$
$ r = 0,5 $
Einsetzen in die dritte Gleichung:
$ \begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad & -11,5 &=& -2r -14s &\quad \scriptsize \mid\;s=\frac{3}{4} ;r =0,5\\[5pt] & -11,5 &=& -2\cdot 0,5 -14\cdot \frac{3}{4} \\[5pt] & -11,5 &=& -11,5 \end{array}$
$ -11,5= -11,5 $
Das Gleichungssystem wird also für $ r= 0,5$ und $ s= \frac{3}{4} = 0,75$ erfüllt. Es ist aber $ r +s = 0,5 +0,75 = 1,25 > 1.$
Der Punkt $ P$ ist daher kein Punkt des Dreiecks $ OAB.$
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Fehlenden Wert einzeichnen
$\blacktriangleright$  Wert näherungsweise ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2) &=& P(X\leq 2) - P(X\leq 1) \\[5pt] &\approx& 0,5 - 0,2 \\[5pt] &=& 0,3 \end{array}$
$ P(X=2) \approx 0,3 $
(2)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} P(X=4)&=& 10\cdot P(X=5) \\[5pt] \binom{5}{4}\cdot p^4 \cdot (1-p)^1 &=& 10\cdot \binom{5}{5}\cdot p^5\cdot (1-p)^0 \\[5pt] 5\cdot p^4\cdot (1-p) &=& 10\cdot p^5 &\quad \scriptsize \mid\;:p^4 \neq 0 \\[5pt] 5\cdot (1-p)&=& 10p \\[5pt] 5-5p &=& 10p &\quad \scriptsize \mid\; +5p \\[5pt] 5 &=& 15p &\quad \scriptsize \mid\; :15 \\[5pt] \frac{1}{3} &=& p \end{array}$
$ p= \frac{1}{3} $
Bildnachweise [nach oben]
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