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Aufgabe 3

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Für jede positive reelle Zahl $a$ sind eine Funktion $f_a$ mit der Gleichung
$f_a(x)=(x^2+ax+1)\cdot \mathrm{e}^x$,    $x\in\mathbb{R}$,    und eine Funktion $p_a$ mit der Gleichung
$p_a(x)=x^2+(a+2)x+a+1$,    $x\in \mathbb{R}$,    gegeben.
Die Graphen von $f_{2,5}$ und $p_{2,5}$ sind in der Abbildung 1 dargestellt.
Aufgabe 3 Abbildung 1
Aufgabe 3 Abbildung 1
Es sei nun $a$ eine beliebige positive reelle Zahl.
a) (1)  Ermittle das Intervall auf der $x$-Achse, für das der Graph der Funktion $p_a$ unterhalb der $x$-Achse verläuft.
[Zur Kontrolle: Das gesuchte Intervall ist $]-1-a;-1[$.]
(5P)
(2)  Zeige: Es gilt $f'_a(x)=p_a(x)\cdot \mathrm{e}^x$ für alle $x\in \mathbb{R}$.
(5P)
(3)  Bestimme die Stellen, an denen die Funktion $f_a$ ein lokales Maximum bzw. Minimum besitzt.
(6P)
b) (1)  Bestimme dasjenige $a>0$ , für das die Funktion $f_a$ genau eine Nullstelle hat.
(5P)
(2)  Berechne die zugehörige Nullstelle.
(3P)
c)  Betrachte nun die Funktion $k$ mit der Gleichung $k(x)=\mathrm{e}^x$,    $x\in \mathbb{R}$,     und die Funktion $h_a$ mit der Gleichung $h_a(x)=f_a(x)-k(x)=(x^2+ax)\cdot \mathrm{e}^x$,    $x\in \mathbb{R}$.
(1)  Ermittle mit Hilfe eines Integrationsverfahrens eine Stammfunktion der Funktion $h_a$.
[Zur Kontrolle: Zum Beispiel ist die Funktion $H_a$ mit der Gleichung
$H_a(x)=\left(x^2+(a-2)x+2-a\right)\cdot \mathrm{e}^x$ eine Stammfunktion von $h_a$.]
(6P)
(2)  Berechne in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt $A(a)$ der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f_a$ und $k$ eingeschlossen wird.
[Zur Kontrolle: $A(a)=\left|2-a-(a+2)\cdot \mathrm{e}^{-a}\right|$]
(6P)
d)  Für $a=2,5$ erhält man die Funktion $f_{2,5}$ mit der Gleichung
$f_{2,5}(x)=(x^2+2,5x+1)\cdot \mathrm{e}^x$,    $x\in\mathbb{R}$.
(1)  Ermittle mit Hilfe von c) (1) eine Stammfunktion der Funktion $f_{2,5}$.
[Zur Kontrolle: Zum Beispiel ist die Funktion $F_{2,5}$ mit der Gleichung
$F_{2,5}(x)=(x^2+0,5x+0,5)\cdot \mathrm{e}^x$ eine Stammfunktion von $f_{2,5}$.]
(4P)
(2)  Berechne den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion $f_{2,5}$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.
[Zur Kontrolle: Der gesuchte Flächeninhalt beträgt ungefähr $0,17$ [FE]]
(6P)
(3)  In der Abbildung 2 ist die Fläche eingefärbt, die von den Graphen der Funktionen $f_{2,5}$ und $k$ eingeschlossen wird.
Die $x$-Achse teilt diese Fläche.
Berechne das Verhältnis der größeren zur kleineren Teilfläche.
(4P)
Aufgabe 3 Abbildung 1
Aufgabe 3 Abbildung 1
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Tipps
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Gesuchtes Intervall ermitteln
Anhand von Abbildung 1 erkennst du, dass der Graph von $p_{2,5}$ eine nach oben geöffnete Parabel ist. Da der Koeffizient von $x^2$ unabhängig von $a$ ist, ist auch $p_a$ eine nach oben geöffnete Parabel. Somit musst du noch die Nullstellen der Funktionsgleichung von $p_a$ bestimmen, welche dir die Grenzen des gesuchten Intervalls liefern.
a)(2)
$\blacktriangleright$  Gleichung für $\boldsymbol{f'_a(x)}$ zeigen
Leite $f_a$ mit Hilfe der Produktregel ab und forme um, damit du die gesuchte Form von $f'_a$ erhältst.
a)(3)
$\blacktriangleright$  Lokale Extremstellen von $\boldsymbol{f_a}$ bestimmen
Gesucht sind die Extremstellen der Funktion $f_a$. Um eine Extremstelle $x_{\text{E}}$ einer Funktion $f_a$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f_a''(x_{\text{E}}) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $f_a$ an der Stelle $x_{\text{E}}$.
      $f_a''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f_a$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
    • Oder: Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung:
      Wert der ersten Ableitung von $f_a$ vor der Stelle $x_{\text{E}}$ positiv und nach $x_{\text{E}}$ negativ $\Rightarrow$ $x_{\text{E}}$ Hochpunkt des Graphen.
      Wert der ersten Ableitung von $f_a$ vor der Stelle $x_{\text{E}}$ negativ und nach $x_{\text{E}}$ positiv $\Rightarrow$ $x_{\text{E}}$ Tiefpunkt des Graphen.
Nutze zudem dein Wissen über die 1. Ableitung $f'_a$ aus den beiden vorangegangenen Aufgabenteilen.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Gesuchtes $\boldsymbol{a}$ ermitteln
Du sollst das $a > 0$ ermitteln, für das $f_a$ genau eine Nullstelle hat. Bestimme dazu mit dem Satz vom Nullprodukt die Form einer Nullstelle von $f_a$. Nutze auch die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel. Damit die Nullstelle eindeutig ist, muss die Diskriminante der Nullstelle gleich Null sein.
b)(2)
$\blacktriangleright$  Berechnen der zugehörigen Nullstelle
Du kennst aus dem vorigen Aufgabenteil bereits die Form einer Nullstelle von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$. Setze nun das ermittelte $a=2$ ein, um die gesuchte Nullstelle zu berechnen.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Stammfunktion von $\boldsymbol{h_a}$ ermitteln
Der Funktionsterm von $h_a$ ist ein Produkt. Wähle also die partielle Integration als Integrationsverfahren. Dabei gilt:
$\displaystyle\int u' \cdot v = u \cdot v - \displaystyle\int u \cdot v'$
Fasse als $u'$ diejenige Funktion auf, die leicht zu integrieren ist und als $v$ die Funktion, die beim Ableiten vereinfacht wird.
c)(2)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{A(a)}$ berechnen
Du sollst den Flächeninhalt $A(a)$ der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f_a$ und $k$ eingeschlossen wird, berechnen.
  • Nutze dazu die Funktion $h_a$, die in der Aufgabenstellung als Differenz von $f_a$ und $k$ definiert wird.
  • Eine Stammfunktion $H_a$ hast du bereits im ersten Aufgabenteil berechnet.
  • Die Grenzen der eingeschlossenen Fläche erhältst du, indem du die beiden Stellen $x_1$ und $x_2$, an denen sich die Funktionen schneiden, berechnest.
Integrieren der Funktion $h_a$ mit den Schnittstellen der beiden Funktionen als Grenzen liefert dir $A(a)$:
$A(a)=\left| \, \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} h_a(x) \;\mathrm dx \, \right|$
d)(1)
$\blacktriangleright$ Stammfunktion von $\boldsymbol{f_{2,5}}$ ermitteln
Du sollst eine Stammfunktion von $f_{2,5}$ mit Hilfe der Aufgabe c)(1) ermitteln. Du kennst bereits eine Stammfunktion von $h_a$ und kannst eine Stammfunktion von $k$ berechnen. In der Aufgabenstellung von c) hast du Folgendes gegeben:
$h_{a}(x)= f_a(x) - k(x)$
Forme dies nach $f_a$ um und setze $a=2,5$ ein.
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung und der Linearität des Integrals kannst du $\displaystyle\int f_{2,5}(x) \;\mathrm dx$ berechnen.
d)(2)
$\blacktriangleright$  Gesuchten Flächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt, der vom Graphen von $f_{2,5}$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird, ist gesucht.
  • Das Integral einer Funktion gibt dir die Fläche zwischen $x$-Achse und dem Graphen der Funktion an. Integriere also über $f_{2,5}$.
  • Im ersten Aufgabenteil hast du bereits eine Stammfunktion $F_{2,5}$ von $f_{2,5}$ berechnet.
  • Da die Schnittpunkte von $f_{2,5}$ und der $x$-Achse gerade die Nullstellen der Funktion $f_{2,5}$ sind, liefern diese die Integrationsgrenzen.
  • Die Nullstellen von $f_a$ hast du bereits in der Aufgabe b)(1) berechnet, somit musst du noch $a=2,5$ einsetzen.
Das Integral von $f_{2,5}$ mit den Nullstellen von $f_{2,5}$ als Integrationsgrenzen liefert dir also den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche.
d)(3)
$\blacktriangleright$  Verhältnis von größeren zur kleineren Teilfläche berechnen
Um das Verhältnis der beiden Flächen zueinander zu berechnen, benötigst du den Inhalt der beiden Flächen:
  • Den Inhalt der kleineren Fläche, also von der $x$-Achse und dem Graphen von $f_{2,5}$ eingeschlossenen Fläche hast du im zweiten Aufgabenteil berechnet, dieser beträgt $0,17$ Flächeneinheiten.
  • Den Inhalt der gesamten schraffierten Fläche erhältst du durch einsetzen von $a=2,5$ in $A(a)$ aus der Aufgabe c)(2).
  • Der Inhalt der größeren Fläche ergibt sich damit aus der Subtraktion der kleineren Fläche von der gesamten Fläche.
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Lösungen
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Gesuchtes Intervall ermitteln
Anhand von Abbildung 1 erkennst du, dass der Graph von $p_{2,5}$ eine nach oben geöffnete Parabel ist. Da der Koeffizient von $x^2$ unabhängig von $a$ ist, ist auch $p_a$ eine nach oben geöffnete Parabel. Somit musst du noch die Nullstellen der Funktionsgleichung von $p_a$ bestimmen, welche dir die Grenzen des gesuchten Intervalls liefern.
Setze den Funktionsterm von $p_a$ gleich Null, um mögliche Nullstellen zu ermitteln:
$\begin{array}[t]{rll} p_a(x)\stackrel{!}=& 0 \\[5pt] x^2 + (a+2) \cdot x +a +1=&0 \end{array}$
Hier kannst du entweder die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden, um die Nullstellen zu bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: PQ-Formel
Du kannst $p=a+2$ und $q=a +1$ direkt ablesen. Damit erhältst du die Nullstellen:
$\begin{array}{rll} x_{1,2} =& - \dfrac{a+2}{2} \pm \sqrt{\left( {\frac{a+2}{2}} \right)^2 - \left(a +1\right)} &\mid\; 1. \text{ Binomische Formel} \\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{a}{2}-1 \pm \sqrt {\frac{a^2 + 4 \cdot a +4}{4} - \left(\frac{4 \cdot a+4}{4}\right)}\\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{a}{2}-1 \pm \sqrt {\frac{a^2 + 4 \cdot a +4 -4 \cdot a -4}{4}}\\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{a}{2}-1 \pm \sqrt {\frac{a^2}{4}} \\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{a}{2}-1 \pm \dfrac{a}{2} \end{array}$
Die Nullstellen der Funktion $p_a$ sind also $x_1=-a-1$ und $x_2=-1$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=1$, $b=a+2$ und $c=a+1$:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} =& \dfrac{{ - (a+2) \pm \sqrt {(a+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a+1)} }}{{2\cdot 1}}\\[5pt] x_{1,2} =&\dfrac{{ -a-2 \pm \sqrt {a^2 + 4 \cdot a +4 - 4 \cdot a -4} }}{{2}}\\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{a}{2}-1 \pm \dfrac{\sqrt{a^2}}{2} \\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{a}{2}-1 \pm \dfrac{a}{2} \end{array}$
Die Nullstellen der Funktion $p_a$ sind also $x_1=-a-1$ und $x_2=-1$.
Da die Nullstellen nicht mehr im gesuchten Intervall $I$ liegen (der Graph soll unterhalb der $x$-Achse liegen), folgt für $I$:
$I=\left] -1-a; -1 \right[$.
a)(2)
$\blacktriangleright$  Gleichung für $\boldsymbol{f'_a(x)}$ zeigen
Leite $f_a$ mit Hilfe der Produktregel ab und forme um, damit du die gesuchte Form von $f'_a$ erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} f'_a(x)=&\left( 2 \cdot x +a \right) \cdot \mathrm e^x + \left( x^2 + a \cdot x +1 \right) \cdot \mathrm e^x &\mid\; \mathrm e^x \text{ ausklammern} \\[5pt] =&\left( 2 \cdot x +a + x^2 + a \cdot x +1\right) \cdot \mathrm e^x \\[5pt] =&\left( x^2 + (a+2) \cdot x +a+1\right) \cdot \mathrm e^x \\[5pt] =& p_a(x) \cdot \mathrm e^x \end{array}$
Damit hast du die Behauptung gezeigt.
a)(3)
$\blacktriangleright$  Lokale Extremstellen von $\boldsymbol{f_a}$ bestimmen
Gesucht sind die Extremstellen der Funktion $f_a$. Um eine Extremstelle $x_{\text{E}}$ einer Funktion $f_a$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $f_a''(x_{\text{E}}) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $f_a$ an der Stelle $x_{\text{E}}$.
      $f_a''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f_a$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
    • Oder: Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung:
      Wert der ersten Ableitung von $f_a$ vor der Stelle $x_{\text{E}}$ positiv und nach $x_{\text{E}}$ negativ $\Rightarrow$ $x_{\text{E}}$ Hochpunkt des Graphen.
      Wert der ersten Ableitung von $f_a$ vor der Stelle $x_{\text{E}}$ negativ und nach $x_{\text{E}}$ positiv $\Rightarrow$ $x_{\text{E}}$ Tiefpunkt des Graphen.
Nutze zudem dein Wissen über die 1. Ableitung $f'_a$ aus den beiden vorangegangenen Aufgabenteilen.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Setze den Funktionsterm der $1.$ Ableitung $f_a'$ gleich Null, um mögliche Nullstellen zu bestimmen. $f_a'(x)$ hast du dabei schon im Aufgabenteil (2) bestimmt.
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x) \stackrel{!}=&0 &\mid\; f_a' \text{ aus Aufgabenteil (2) einsetzen} \\[5pt] p_a(x) \cdot \mathrm e^x=&0 \end{array}$
Der Satz vom Nullprodukt liefert dir nun, dass das Produkt genau dann gleich Null ist, wenn einer der beiden Faktoren gleich Null ist. Da $\mathrm e^x > 0$ ist, betrachte nur noch $p_a(x)$:
Aus dem Aufgabenteil (1) kennst du die Nullstellen von $p_a(x)$ bereits:
$x_1=-a-1$ und $x_2=-1$.
2. Schritt: 2. Ableitung von $\boldsymbol{f_a}$ ermitteln
Die Funktionsgleichung von $f_a'$ ist $f_a'(x)=\left( x^2 + (a+2) \cdot x +a+1\right) \cdot \mathrm e^x$. Mit der Produktregel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x) =& \left( 2 \cdot x +a +2 \right) \cdot \mathrm e^x + \left( x^2 + (a+2) \cdot x +a+1 \right) \cdot \mathrm e^x &\mid\; \mathrm e^x \text{ ausklammern} \\[5pt] =&\left( 2 \cdot x +a +2 + x^2 + (a+2) \cdot x +a+1 \right) \cdot \mathrm e^x \\[5pt] =&\left(x^2 + (a+4) \cdot x +2 \cdot a+3 \right) \cdot \mathrm e^x \end{array}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Überprüfe nun das Vorzeichen von $f_a''$ an den gefundenen Nullstellen $x_1$ und $x_2$. Daraus kannst du die Art der Extremstelle folgern.
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x_1)=&f_a''(-a-1)=\left((-a-1)^2 + (a+4) \cdot (-a-1) +2 \cdot a+3 \right) \cdot \mathrm e^{(-a-1)} \\[5pt] =&\left(a^2 + 2 \cdot a +1 - a^2 -a -4 \cdot a-4+2 \cdot a+3 \right) \cdot \mathrm e^{(-a-1)} \\[5pt] =&\left(-a \right) \cdot \mathrm e^{(-a-1)} < 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x_2)=&f_a''(-1)=\left((-1)^2 + (a+4) \cdot (-1) +2a+3 \right) \cdot \mathrm e^{(-1)} \\[5pt] =&\left(1 + -a -4 +2 \cdot a+3 \right) \cdot \mathrm e^{(-1)} \\[5pt] =&a \cdot \mathrm e^{(-1)} > 0 \end{array}$
Damit hat die Funktion an der Stelle $x_1=-a-1$ ein lokales Maximum und an der Stelle $x_2=-1$ ein lokales Minimum.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Gesuchtes $\boldsymbol{a}$ ermitteln
Du sollst das $a > 0$ ermitteln, für das $f_a$ genau eine Nullstelle hat. Bestimme dazu mit dem Satz vom Nullprodukt die Form einer Nullstelle von $f_a$. Nutze auch die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel. Damit die Nullstelle eindeutig ist, muss die Diskriminante der Nullstelle gleich Null sein.
1. Schritt: Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$ bestimmen
Die Funktionsgleichung von $f_a$ lautet: $f_a(x)=\left(x^2 + a \cdot x +1\right) \cdot \mathrm e^x$.
Da $\mathrm e^x > 0$ ist, liefert dir der Satz vom Nullprodukt, dass du noch $\left(x^2 + a \cdot x +1\right)$ betrachten musst:
$\left(x^2 + a \cdot x +1\right)\stackrel{!}{=}0$
Hier kannst du entweder die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden, um die Nullstellen zu bestimmen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: PQ-Formel
Du kannst $p=a$ und $q=1$ direkt ablesen. Damit erhältst du die Nullstellen:
$\begin{array}{rll} x_{1,2} =& - \dfrac{a}{2} \pm \sqrt{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2 - 1 } \\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{a}{2} \pm \sqrt {\frac{a^2}{4} - 1} \\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{a}{2} \pm \dfrac{\sqrt {a^2 -4}}{2} \end{array}$
Die Nullstellen der Funktion $f_a$ sind also $x_1=-\dfrac{a}{2} - \dfrac{\sqrt {a^2 -4} }{2}$ und $x_2=-\dfrac{a}{2} + \dfrac{\sqrt {a^2 -4} }{2}$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=1$, $b=a$ und $c=1$:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} =& \dfrac{{ - a \pm \sqrt {(a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1)} }}{{2\cdot 1}}\\[5pt] x_{1,2} =&- \dfrac{ a}{2}\pm \dfrac{\sqrt {a^2 -4} }{2} \end{array}$
Die Nullstellen der Funktion $f_a$ sind also $x_1=-\dfrac{a}{2} - \dfrac{\sqrt {a^2 -4} }{2}$ und $x_2=-\dfrac{a}{2} + \dfrac{\sqrt {a^2 -4} }{2}$.
2. Schritt: $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Damit die Nullstelle nun eindeutig ist, musst du das $a$ bestimmen, für das der Wurzelterm der Nullstelle gleich Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sqrt {a^2 -4} }{2}\stackrel{!}{=}& 0&\scriptsize \mid\; (\;)^2 \\[5pt] \dfrac{a^2 -4 }{4}=& 0&\scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] a^2 -4 =& 0&\scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] a^2 =& 4&\scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] |\, a\,| =& 2 \end{array}$
Da in der Aufgabenstellung $a > 0$ gefordert ist, erhältst du:
Für $a=2$ besitzt $f_a$ genau eine Nullstelle.
b)(2)
$\blacktriangleright$  Berechnen der zugehörigen Nullstelle
Du kennst aus dem vorigen Aufgabenteil bereits die Form einer Nullstelle von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$. Setze nun das ermittelte $a=2$ ein, um die gesuchte Nullstelle zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} =&- \dfrac{ a}{2}\pm \dfrac{\sqrt {a^2 -4} }{2}&\scriptsize \mid\; a=2 \text{ einsetzen} \\[5pt] x_{1,2} =&- \dfrac{ 2}{2}\pm \dfrac{\sqrt {2^2 -4} }{2} &\scriptsize \mid\; \dfrac{\sqrt {2^2 -4} }{2}=0 \\[5pt] x_1 =&- 1 \end{array}$
Die zugehörige Nullstelle lautet $x_1=-1$.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Stammfunktion von $\boldsymbol{h_a}$ ermitteln
Der Funktionsterm von $h_a$ ist ein Produkt. Wähle also die partielle Integration als Integrationsverfahren. Dabei gilt:
$\displaystyle\int u' \cdot v = u \cdot v - \displaystyle\int u \cdot v'$
Fasse als $u'$ diejenige Funktion auf, die leicht zu integrieren ist und als $v$ die Funktion, die beim Ableiten vereinfacht wird:
$\begin{array}[t]{rllrl} u'(x)=& \mathrm e^x &\qquad& v'(x)=&2 \cdot x +a \\[5pt] u(x)=&\mathrm e^x & \qquad&v(x)=&x^2 +a \cdot x \end{array}$
Einsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int h_a \;\mathrm dx=&\mathrm e^x \cdot \left( x^2 +a \cdot x\right) - \displaystyle\int \mathrm e^x \cdot \left(2 \cdot x +a\right) \;\mathrm dx \end{array}$
Berechne nun das neu erhaltene Integral ebenfalls mit der partiellen Integration:
$\begin{array}[t]{rllrl} u'(x)=& \mathrm e^x &\qquad& v'(x)=&2 \\[5pt] u(x)=&\mathrm e^x & \qquad&v(x)=&2 \cdot x +a \end{array}$
Einsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int \mathrm e^x \cdot \left(2 \cdot x +a\right) \;\mathrm dx=&\mathrm e^x \cdot \left( 2 \cdot x +a \right) - \displaystyle\int \mathrm e^x \cdot 2 \;\mathrm dx \\[5pt] =& \left( 2 \cdot x +a \right) \cdot \mathrm e^x - 2 \cdot \displaystyle\int \mathrm e^x \;\mathrm dx & \scriptsize \mid\; \displaystyle\int \mathrm e^x \;\mathrm dx = \mathrm e^x + c \\[5pt] =& \left( 2 \cdot x +a \right) \cdot \mathrm e^x - 2 \cdot \mathrm e^x - c \end{array}$
Für $c=0$ ist $\left( 2 \cdot x +a \right) \cdot \mathrm e^x - 2 \cdot \mathrm e^x$ eine Stammfunktion von $\mathrm e^x \cdot \left(2 \cdot x +a\right)$. Damit kannst du eine Stammfunktion von $h_a$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int h_a \;\mathrm dx=&\mathrm e^x \cdot \left( x^2 +a \cdot x\right) - \displaystyle\int \mathrm e^x \cdot \left(2 \cdot x +a\right) \;\mathrm dx & \scriptsize \mid\; \text{Berechnete Stammfunktion einsetzen} \\[5pt] =& \mathrm e^x \cdot \left( x^2 +a \cdot x\right) - \left(\left( 2 \cdot x +a \right) \cdot \mathrm e^x - 2 \cdot \mathrm e^x \right) \\[5pt] =&\mathrm e^x \cdot \left( x^2 +a \cdot x\right) - \left( 2 \cdot x +a \right) \cdot \mathrm e^x + 2 \cdot \mathrm e^x & \scriptsize \mid\; \mathrm e^x \text{ ausklammern} \\[5pt] =& \left(\left( x^2 +a \cdot x\right) - \left( 2 \cdot x +a \right) + 2 \right) \cdot \mathrm e^x \\[5pt] =& \left( x^2 +(a-2) \cdot x + 2 -a \right) \cdot \mathrm e^x \end{array}$
Somit ist $H_a(x)=\left( x^2 +(a-2) \cdot x + 2 -a \right) \cdot \mathrm e^x$ eine Stammfunktion von $h_a$.
c)(2)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{A(a)}$ berechnen
Du sollst den Flächeninhalt $A(a)$ der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f_a$ und $k$ eingeschlossen wird, berechnen.
  • Nutze dazu die Funktion $h_a$, die in der Aufgabenstellung als Differenz von $f_a$ und $k$ definiert wird.
  • Eine Stammfunktion $H_a$ hast du bereits im ersten Aufgabenteil berechnet.
  • Die Grenzen der eingeschlossenen Fläche erhältst du, indem du die beiden Stellen $x_1$ und $x_2$, an denen sich die Funktionen schneiden, berechnest.
Integrieren der Funktion $h_a$ mit den Schnittstellen der beiden Funktionen als Grenzen liefert dir $A(a)$:
$A(a)=\left| \, \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} h_a(x) \;\mathrm dx \, \right|$
1. Schritt: Integrationsgrenzen bestimmen
Setze die Funktionsterme von $f_a$ und $k$ gleich, um die Schnittstellen der beiden Funktionen zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} f_a\stackrel{!}{=}&k & \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \left(x^2 + a \cdot x +1\right) \cdot \mathrm e^x=& \mathrm e^x \end{array}$
Da $\mathrm e^x > 0$, kannst du hier durch $\mathrm e^x$ teilen:
$\begin{array}[t]{rll} \left(x^2 + a \cdot x +1\right) \cdot \mathrm e^x=& \mathrm e^x & \scriptsize \mid\; : \, \mathrm e^x \\[5pt] \left(x^2 + a \cdot x +1\right) =& 1 & \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x^2 + a \cdot x =& 0 & \scriptsize \mid\; x \text{ ausklammern} \\[5pt] \left( x + a\right) \cdot x =& 0 \end{array}$
Der Satz vom Nullprodukt liefert die beiden Nullstellen $x_1=-a$ und $x_2=0$.
Somit lautet die untere Integrationsgrenze $x_1=-a$ und die obere $x_2=0$.
2. Schritt: $\boldsymbol{A(a)}$ berechnen
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A(a)=& \left| \, \displaystyle\int_{-a}^{0} h_a(x) \;\mathrm dx \, \right| \\[5pt] =& \left| \, H_a(0) - H_a(-a) \, \right| \\[5pt] =& \left|\,\left( 0^2 +(a-2) \cdot 0 + 2 -a \right) \cdot \mathrm e^0 - \left( (-a)^2 +(a-2) \cdot (-a) + 2 -a \right) \cdot \mathrm e^{-a}\,\right| \\[5pt] =&\left|\, 2-a - \left( a^2 +(a-2) \cdot (-a) + 2 -a \right) \cdot \mathrm e^{-a}\,\right| \\[5pt] =&\left|\, 2-a - \left( a^2 - a^2 + 2 \cdot a + 2 -a \right) \cdot \mathrm e^{-a}\,\right| \\[5pt] =&\left| \,2-a - \left( a+2 \right) \cdot \mathrm e^{-a}\,\right| \end{array}$
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $A(a)=\left|\, 2-a - \left( a+2 \right) \cdot \mathrm e^{-a}\,\right|$.
d)(1)
$\blacktriangleright$ Stammfunktion von $\boldsymbol{f_{2,5}}$ ermitteln
Du sollst eine Stammfunktion von $f_{2,5}$ mit Hilfe der Aufgabe c)(1) ermitteln. Du kennst bereits eine Stammfunktion von $h_a$ und kannst eine Stammfunktion von $k$ berechnen. In der Aufgabenstellung von c) hast du Folgendes gegeben:
$h_{a}(x)= f_a(x) - k(x)$
Forme dies nach $f_a$ um und setze $a=2,5$ ein:
$f_{2,5}(x)=h_{2,5}(x) + k(x)$
Für eine Stammfunktion von $k$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int k(x)\;\mathrm dx=& \displaystyle\int \mathrm e^x \;\mathrm dx \\[5pt] =&\mathrm e^x +c \end{array}$
Für $c=0$ ist $K(x)=\mathrm e^x$ eine Stammfunktion von $k$.
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung und der Linearität des Integrals ergibt sich: $\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int f_{2,5}(x) \;\mathrm dx=& \displaystyle\int\left( h_{2,5}(x)+ k(x)\right) \;\mathrm dx \\[5pt] =& \displaystyle\int h_{2,5}(x) \;\mathrm dx + \displaystyle\int k(x)\;\mathrm dx \\[5pt] =&H_{2,5}(x) + K(x) \\[5pt] =& \left( x^2 +(2,5-2) \cdot x + 2 -2,5 \right) \cdot \mathrm e^x + \mathrm e^x \\[5pt] =& \left( x^2 + 0,5 \cdot x -0,5 \right) \cdot \mathrm e^x + \mathrm e^x & \scriptsize \mid\; \mathrm e^x \text{ ausklammern} \\[5pt] =& \left( x^2 + 0,5 \cdot x -0,5 + 1\right) \cdot \mathrm e^x \\[5pt] =& \left( x^2 + 0,5 \cdot x + 0,5 \right) \cdot \mathrm e^x \end{array}$
Also ist $F_{2,5}=\left( x^2 + 0,5 \cdot x + 0,5 \right) \cdot \mathrm e^x$ eine Stammfunktion von $f_{2,5}$.
d)(2)
$\blacktriangleright$  Gesuchten Flächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt, der vom Graphen von $f_{2,5}$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird, ist gesucht.
  • Das Integral einer Funktion gibt dir die Fläche zwischen $x$-Achse und dem Graphen der Funktion an. Integriere also über $f_{2,5}$.
  • Im ersten Aufgabenteil hast du bereits eine Stammfunktion $F_{2,5}$ von $f_{2,5}$ berechnet.
  • Da die Schnittpunkte von $f_{2,5}$ und der $x$-Achse gerade die Nullstellen der Funktion $f_{2,5}$ sind, liefern diese die Integrationsgrenzen.
  • Die Nullstellen von $f_a$ hast du bereits in der Aufgabe b)(1) berechnet, somit musst du noch $a=2,5$ einsetzen.
Das Integral von $f_{2,5}$ mit den Nullstellen von $f_{2,5}$ als Integrationsgrenzen liefert dir also den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche.
1. Schritt: Integrationsgrenzen bestimmen
Aus der Lösung von Aufgabe b)(1) erhältst du die Nullstellen von $f_a$:
Die Nullstellen der Funktion $f_a$ sind $x_1=-\dfrac{a}{2} - \dfrac{\sqrt {a^2 -4} }{2}$ und $x_2=-\dfrac{a}{2} + \dfrac{\sqrt {a^2 -4} }{2}$.
Einsetzen von $a=2,5=\dfrac{5}{2}$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} x_1=&-\dfrac{\left(\frac{5}{2}\right)}{2} - \dfrac{\sqrt {\left(\frac{5}{2}\right)^2 -4} }{2} \\[5pt] =&-\dfrac{5}{4} - \dfrac{\sqrt {\frac{25}{4} -\frac{16}{4}} }{2} \\[5pt] =&-\dfrac{5}{4} - \dfrac{\sqrt {\frac{9}{4}} }{2} \\[5pt] =&-\dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{4} \\[5pt] =&-2 \end{array}$
und
$\begin{array}[t]{rll} x_2=&-\dfrac{\left(\frac{5}{2}\right)}{2} + \dfrac{\sqrt {\left(\frac{5}{2}\right)^2 -4} }{2} \\[5pt] =&-\dfrac{5}{4} + \dfrac{\sqrt {\frac{25}{4} -\frac{16}{4}} }{2} \\[5pt] =&-\dfrac{5}{4} + \dfrac{\sqrt {\frac{9}{4}} }{2} \\[5pt] =&-\dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{4} \\[5pt] =& -\dfrac{1}{2} \end{array}$
Damit sind $x_1=-2$ und $x_2=-\dfrac{1}{2}=-0,5$ die Integrationsgrenzen.
2. Schritt: Eingeschlossene Fläche berechnen
Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\,\displaystyle\int_{-2}^{-0,5} f_{2,5}\;\mathrm dx\,\right|=& \left|\,F_{2,5}(-0,5) - F_{2,5}(-2)\,\right| \\[5pt] =& \left|\,\left( (-0,5)^2 + 0,5 \cdot (-0,5) + 0,5 \right) \cdot \mathrm e^{-0,5} - \left( (-2)^2 + 0,5 \cdot (-2) + 0,5 \right) \cdot \mathrm e^{-2}\,\right| \\[5pt] =& \left|\,\left( 0,25 -0,25 + 0,5 \right) \cdot \mathrm e^{-0,5} - \left( 4 -1 + 0,5 \right) \cdot \mathrm e^{-2}\,\right| \\[5pt] =& \left|\,0,5 \cdot \mathrm e^{-0,5} - 3,5 \cdot \mathrm e^{-2} \,\right| \\[5pt] \approx& \left|\, -0,17 \,\right| \\[5pt] =& 0,17 \end{array}$
Also beträgt der Inhalt der zwischen $x$-Achse und dem Graphen der Funktion $f_{2,5}$ eingeschlossenen Fläche ca. $0,17$ Flächeneinheiten.
d)(3)
$\blacktriangleright$  Verhältnis von größeren zur kleineren Teilfläche berechnen
Um das Verhältnis der beiden Flächen zueinander zu berechnen, benötigst du den Inhalt der beiden Flächen:
  • Den Inhalt der kleineren Fläche, also von der $x$-Achse und dem Graphen von $f_{2,5}$ eingeschlossenen Fläche hast du im zweiten Aufgabenteil berechnet, dieser beträgt $0,17$ Flächeneinheiten.
  • Den Inhalt der gesamten schraffierten Fläche erhältst du durch einsetzen von $a=2,5$ in $A(a)$ aus der Aufgabe c)(2).
  • Der Inhalt der größeren Fläche ergibt sich damit aus der Subtraktion der kleineren Fläche von der gesamten Fläche.
Setze nun also $a=2,5$ in $A(a)$ ein, um die gesamte schraffierte Fläche zu berechnen:
$A(2,5)=\left|\, 2-2,5 - \left( 2,5+2 \right) \cdot \mathrm e^{-2,5}\,\right|=\left|\, -0,5 - \left( 4,5 \right) \cdot \mathrm e^{-2,5}\,\right|=0,5 + \left( 4,5 \right) \cdot \mathrm e^{-2,5}\approx 0,87$
Damit ergibt sich für den Flächeninhalt der größeren Fläche:
$0,87-0,17=0,7$
Das Verhältnis von größeren zur kleineren Teilfläche beträgt also:
$\dfrac{0,7}{0,17} \approx 4,12$
Die größere Fläche ist demnach etwa viermal so groß wie die kleinere Teilfläche.
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