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Aufgabe 4

Aufgaben
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Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der $x_1-x_2$-Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte
$O(0\mid0\mid0), A(\sqrt{2}\mid0\mid0), B(\sqrt{2}\mid1\mid0) \text{ und } C(0\mid1\mid0)$ sowie der Punkt $D(1\mid1\mid0)$.1
Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke $\overline{OD}$ gefaltet. Das Dreieck $ODC$ bleibt dabei fest, während das Viereck $OABD$ in das Viereck $OA'B'D$ übergeht, das wieder in der $x_{1}-x_{2}-$Ebene liegt. Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt.
Zur Veranschaulichung kann ein DIN-A4-Blatt entsprechend gefaltet werden.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
1Als Längeneinheit (LE) wird die Länge der kürzeren Seite des DIN-A4-Blattes verwendet
a)
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes B von der Geraden OD.
(8P)
b)
Die Ecke des Blattes, die durch das Falten aus der Position A in die Position A' gebracht wird, bewegt sich bei dem Faltvorgang auf einem Halbkreis in einer Ebene E (siehe Abbildung 1 bis 4).
  1. Leiten Sie je eine Gleichung dieser Ebene E in Parameterform und in Normalenform her.
    [Zur Kontrolle eine Koordinatengleichung: $E: x_{1} + x_{2} = \sqrt{2}$]
  2. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Ebene E mit der Geraden OD.
    [Zur Kontrolle: S $\left( \frac{1}{2}\sqrt{2}\mid\frac{1}{2}\sqrt{2}\mid0\right)$]
(7P + 4P)
Während des Faltvorgangs liegt das beim Falten bewegte Papier-Viereck stets in einer Ebene $E_k$ der durch $E_k: x_1-x_2+k\cdot x_3=0, k\in \mathbb{R}$, gegebenen Ebenenschar. Vorher und nachher liegt es jeweils in der $x_1-x_2$-Ebene (siehe Abbildung 1 bis 4.)
c)
  1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Gerade OD in jeder Ebene $E_k$ der Ebenenschar liegt.
  2. Begründen Sie, dass die Ebene E aus b) senkrecht zu jeder Ebene $E_k, k\in \mathbb{R}$, ist.
Während des Faltvorgangs wird das beim Falten bewegte Papier-Viereck auch in die Position des Vierecks $OA^*B^*D$ gebracht, das in einer sowohl zur $x_1-x_2$-Ebene als auch zur Ebene $E$ senkrechten Ebene $E'$ liegt (siehe Abbildung 3).
  1. Berechnen Sie den Wert des Parameters k, für den $E_k=E^*$ ist.
  2. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $A^*$.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
(4P + 5P + 3P + 6P)
d)
Während des Faltvorgangs kommt das beim Falten bewegte Papier-Viereck auch in die Position des Vierecks OA''B''D, dessen Punkt A'' in der Ebene $x_2=1$ liegt.
  1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes A''.
    $[$Zur Kontrolle: $A''\left(\sqrt{2}-1\mid1\mid\sqrt{2\sqrt{2}-2}\right)]$
  2. Zeigen Sie, dass das Dreieck OCA'' gleichschenklig rechtwinklig ist.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
(7P + 6P)
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a)
$\blacktriangleright$ Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$ angeben
Ein DIN-A4-Blatt wird entlang der Strecke $\overline{OD}$ wie in Abbildung 1 und 2 gefaltet. Bestimme den Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden entspricht der kürzesten Strecke, die den Punkt mit der Geraden verbindet.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Diese Strecke muss folglich senkrecht auf der Geraden stehen. Daher entspricht der gesuchte Abstand gerade der Länge der Strecke $\overline{PB}$.
Um die Länge dieser Strecke $\overline{PB}$ zu bestimmen, kannst du eine Hilfsgerade $h$ so konstruieren, dass sie senkrecht zur Geraden $OD$ verläuft und den Punkt $B$ enthält.
Bestimme den Schnittpunkt $P$ der Hilfgeraden $h$ und der Geraden $OD$.
Hast du diesen bestimmt, so kannst du die Länge der Strecke $\overline{PB}$ mit Hilfe des Betrags bestimmen.
Den Betrag einer Strecke $\overline{AB}$ zweier Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ kannst du folgendermaßen bestimmen:
$\mid \overline{AB} \mid \;=\; \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform angeben
Das Blatt in der $x_1-x_2-$Ebene wird wie in Abbildung 1 und 2 gefaltet. Beim Faltvorgang „wandert“ der Punkt $A$ in die Position $A'$. Dabei bewegt sich der Punkt entlang eines Halbkreises. Die Ebene $E$ soll diesen Halbkreis enthalten und senkrecht zur $x_1-x_2-$Ebene stehen.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Deine Aufgabe ist es, die Ebenengleichung zur Ebene $E$ in Parameterform anzugeben.
Eine Ebenengleichung in Parameterform sieht wie folgt aus:
$ E:\overrightarrow{x}\;=\;\overrightarrow{p} +r \cdot \overrightarrow{u} +s \cdot \overrightarrow{v};\;r,s\in\mathbb{R}$
Der Vektor $\overrightarrow{p}$ wird Stützvektor genannt, $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind die linear unabhängigen Spannvektoren der Ebene $E$.
Stelle die gesuchten Stütz- und Spannvektoren auf, um eine Ebenengleichung in Parameterform zu erhalten.
$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform angeben
Die Normalenform einer Ebenengleichung kannst du allgemein wie folgt angeben:
$E: (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}) \circ \overrightarrow{n}$
Dabei ist $\overrightarrow{p}$ der Stützvektor und $\overrightarrow{n}$ der Normalenvektor der Ebene. Beim Stützvektor kannst du wie zuvor vorgehen: Wähle einen Punkt, der garantiert in der Ebene $E$ liegt und verwende dessen Koordinaten für den Stützvektor. Du kannst hier beispielsweise denselben Stützvektor $\overrightarrow{p}$ wählen, den du bereits bei der Parameterform gewählt hast.
Letztlich benötigst du nur noch den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$. Dafür bieten sich zwei Möglichkeiten an:
A: Stelle die Ebenengleichung in Koordinatenform auf, denn an dieser kannst du den Normalenvektor direkt ablesen.
B: Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene $E$ stehen soll, muss dieser auch senkrecht auf den beiden Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ aus der Parameterform stehen. Bilde das Kreuzprodukt der Spannvektoren, denn es gilt: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes $S$ bestimmen
Die Gerade $OD$ schneidet die Ebene $E$ in einem Punkt $S$. Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu ermitteln, kannst du die Geradengleichung komponentenweise in die zuvor bestimme Ebenengleichung in Parameterform einsetzen. Gehe also wie folgt vor:
  • Setze diese Geradengleichung komponentenweise in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach dem Parameter $u$ auf. Dadurch erhältst du einen Wert für den Parameter $u$.
  • Setze diesen Parameterwert für $u$ anschließend in die Geradengleichung von $OD$ ein. Das liefert dir die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes $S$.
c)
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass Gerade $OD$ in jeder Ebene der Ebenenschar liegt
Während des Faltvorgangs liegt das bewegte Papierviereck immer in einer Ebene der Ebenenschar mit der Ebenengleichung
$ E_k:x_1-x_2+k \cdot x_3\;=\;0;\;k \in \mathbb{R}.$
Weise rechnerisch nach, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt.
Willst du zeigen, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt, so kannst du die Gleichung der Gerade in die Gleichung der Ebenenschar einsetzen. Löse nach deren Parametern $u$ und $k$ auf. Ergibt sich hierbei eine wahre Aussage für alle $u$ und $k$, so liegt die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$.
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass die Ebene $E$ senkrecht zu jeder Ebene der Ebenenschar ist
Die Ebene $E$ hat laut Teilaufgabe b) folgende Ebenengleichung:
$ E: \color{red}{1}\cdot x_1+\color{red}{1}\cdot x_2 + \color{red}{0}\cdot x_3\;=\;\sqrt{2}$
Willst du zeigen, dass die Ebene senkrecht zu jeder Ebene $E_k$ ist, so kannst du zeigen, dass die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{n_{Ek}}$ senkrecht zueinander sind. Das heißt, ihr Skalarprodukt ist gleich Null.
Die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{n_{Ek}}$ der Ebene $E$ und $E_k$ kannst du anhand der Koordinatenform direkt ablesen:
$\overrightarrow{n_E}\;=\; \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix};\;\overrightarrow{n_{Ek}}\;=\;\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ k \end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Parameter $k$ für $E_k$ bestimmen, sodass $E_k=E^*$ gilt
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Während des Faltvorgangs nehmen die Punkte $A$ und $B$ die Positionen $A^*$ und $B^*$ ein.
Eine neue Ebene $E^*$ soll nun das daraus entstehende Viereck $OA^*B^*D$ enthalten. Weiterhin ist $E^*$ eine Ebene der Ebenenschar $E_k$ und senkrecht zur $x_1-x_2-$Ebene.
Deine Aufgabe ist es, einen Parameterwert für $k$ zu ermitteln, sodass $E_k=E^*$ gilt.
Soll $E^*$ senkrecht zur $x_1-x_2-$Ebene sein, kannst du verwenden, dass das Skalarprodukt des Normalenvektors der $x_1-x_2-$Ebene und des Normalenvektors der Ebene $E^*$ gleich Null sein muss. In mathematischen Formeln ausgedrückt heißt das:
$\overrightarrow{n_{x_1x_2}} \circ \overrightarrow{n_{E^*}} \;=\; 0$
Da dir der Normalenvektor $\overrightarrow{n_{E^*}}$ nicht bekannt ist, aber $E^*$ eine Ebene der Schar $E_k$ ist, kannst du den Normalenvektor der Ebenenschar $E_k$ verwenden und so einen passenden Wert für den Parameter $k$ ermitteln.
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $A^*$ ermitteln
Der Punkt $A^*$ liegt laut Voraussetzung in den Ebenen $E$ und $E^*$. Folglich muss dieser Punkt ebenfalls auf der Schnittgeraden $h$ der Ebenen liegen.
Im Punkt $S$ schneidet die Ebene $E$ die Gerade $OD$, an welcher das Blatt gefaltet wird. Durch das Falten bewegt sich der Punkt $A$ entlang eines Halbkreises um den Punkt $S$ und nimmt entlang dieses Halbkreises die Position $A^*$ ein. Das heißt, der Punkt $A$ hat den selben Abstand zum Punkt $S$ wie der gesuchte Punkt $A^*$, es gilt also $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S}\mid $.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Du kann also wie folgt vorgehen, um die Koordinaten des Punktes $A^*$ zu bestimmen:
  • Bestimme die Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E^*$. (Dadurch erhältst du zunächst die erste und zweite Koordinate von $A^*$).
  • Verwende, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S} \mid$ gilt, um die dritte Koordinate zu bestimmen.
d)
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Koordinaten des Punktes $A''$
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Beim Faltvorgang erreicht das Papierviereck die Position OA''B''D. Die Koordinaten des Punktes $A''$ sind teilweise bekant mit:
$(x_1 \mid 1 \mid x_3)$.
Deine Aufgabe ist es, die vollständigen Koordinaten des Punktes $A''$ anzugeben.
In einem Aufgabenteil zuvor hast du eine Ebene $E$ ermittelt, in der sich der Halbkreis befindet, auf dem sich der Ausgangspunkt $A$ entlang bewegt. Diese Ebene hat die folgende Ebenengleichung:
$E:x_1+x_2=\sqrt{2}$
Daher muss auch der gesuchte Punkt $A''$ in dieser Ebene liegen. Das heißt, der Punkt $A''$ liegt auf der Schnittgeraden der Ebene $E$ und der Ebene $x_2=1$.
Weiterhin kannst du verwenden, dass sich durch das Falten der Punkt $A$ entlang eines Halbkreises um den Punkt $S$ bewegt und entlang dieses Halbkreises die Position $A''$ einnimmt. Das heißt, der Punkt $A$ hat den selben Abstand zum Punkt $S$ wie der gesuchte Punkt $A''$, es gilt also $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A''S}\mid$.
Du kann also wie folgt vorgehen, um die Koordinaten des Punktes $A''$ zu bestimmen:
  • Bestimme die Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $x_2\;=\;1$. (Dadurch erhältst du zunächst die erste Koordinate von $A''$).
  • Verwende, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A''S} \mid$ gilt, um die dritte Koordinate zu bestimmen.
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $OCA''$ gleichschenklig rechtwinklig ist
Zeige, dass das Dreieck $OCA''$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Rechtwinklig: Soll das Dreieck $OCA''$ rechtwinklig sein, so kannst du zeigen, dass das Skalarprodukt zweier Kantenvektoren gleich Null ist.
  • Gleichschenklig: Damit ein Dreieck gleichschenklig ist, müssen zwei Kanten gleich lang sein. Zeige also, dass der Betrag zweier Kantenvektoren übereinstimmt.
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Lösungen TI
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a)
$\blacktriangleright$ Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$ angeben
Ein DIN-A4-Blatt wird entlang der Strecke $\overline{OD}$ wie in Abbildung 1 und 2 gefaltet. Bestimme den Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden entspricht der kürzesten Strecke, die den Punkt mit der Geraden verbindet.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Diese Strecke muss folglich senkrecht auf der Geraden stehen. Daher entspricht der gesuchte Abstand gerade der Länge der Strecke $\overline{PB}$.
Um die Länge dieser Strecke $\overline{PB}$ zu bestimmen, kannst du eine Hilfsgerade $h$ so konstruieren, dass sie senkrecht zur Geraden $OD$ verläuft und den Punkt $B$ enthält.
Bestimme den Schnittpunkt $P$ der Hilfgeraden $h$ und der Geraden $OD$.
Hast du diesen bestimmt, so kannst du die Länge der Strecke $\overline{PB}$ mit Hilfe des Betrags bestimmen.
Den Betrag einer Strecke $\overline{AB}$ zweier Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ kannst du folgendermaßen bestimmen:
$\mid \overline{AB} \mid \;=\; \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$
1. Schritt: Hilfsgerade $h$ konstruieren
Bevor wir die Geradengleichung für $h$ angeben können, ist es hilfreich, zuerst die Geradengleichung zu $OD$ aufzustellen:
$OD:\overrightarrow{x}\;=\; u \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;\;u \in \mathbb{R}$
Um die Gleichung der Hilfsgeraden $h$ zu bestimmen, gehen wir zunächst von einer allgemeinen Geradengleichung aus:
$h: \overrightarrow{x}\;=\;\overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u};\;u\in \mathbb{R}$
Dabei ist $\overrightarrow{p}$ der Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ der Richtungsvektor. Für den Stützvektor $\overrightarrow{p}$ kannst du die Koordinaten eines Punktes verwenden, der garantiert auf der Geraden $h$ liegt. Hier bietet sich beispielweise der Punkt $B(\sqrt{2} \mid 1 \mid 0)$ an. Du erhältst also folgenden Stützvektor:
$\overrightarrow{p}\;=\; \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
Soll die Hilfsgerade $h$ senkrecht zur Geraden $OD$ sein, so muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich Null sein. Das heißt, es muss gelten:
$0\;=\;\begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;1 \cdot u_1 + 1 \cdot u_2 + 0 \cdot u_3 \;=\;u_1+u_2 \Leftrightarrow u_2\;=\;-u_1$
Damit das Skalarprodukt gleich Null ist, muss folglich $u_2\;=\;-u_1$ gelten. Du kannst hier jeden beliebigen Wert für $u_1$ wählen. Da die Gerade $OD$ und der Punkt $B$ in der $x_1-x_2-$Ebene liegen, sollte ebenfalls $u_3\;=\;0$ gelten.
Wir wählen, um die Rechnung möglichst einfach zu halten, $u_1\;=\;1$ und erhalten dann folgende Geradengleichung zur Hilfsgeraden $h$:
$h: \overrightarrow{x}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix};\;t\in \mathbb{R}$
2. Schritt: Schnittpunkt $P$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Geraden $OD$ bestimmen
Die Koordinaten des Schnittpunktes $P$ der Hilfsgeraden $h$ und der Geraden $OD$ kannst du bestimmen, indem du die beiden Geradengleichungen gleichsetzt:
$\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\; u \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem, durch welches du Werte für die Parameter $t$ und $u$ ermitteln kannst:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ &1-t&\;=\;&u&&& \mid\; Ⅱ -Ⅰ \\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \hline Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ a&1-\sqrt{2}-2 \cdot t&\;=\;&0&&& \mid\; +2 \cdot t\\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \hline Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ b&1-\sqrt{2}&\;=\;&2 \cdot t&&& \mid\; :2\\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \hline Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ b&\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})&\;=\;&t&&&\\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \end{array}$
$\Rightarrow u=\sqrt{2} +t=\sqrt{2} +\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})\;=\;\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$
Es muss also $u\;=\;\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$ bzw. $t\;=\;\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})$ gelten. Setze entweder den Parameterwert für $t$ in die Hilfsgeradengleichung oder den Parameterwert für $u$ in die Geradengleichung zu $OD$ ein. Das liefert dir die Koordinaten von $P$.
$ \frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$
Jetzt kannst du die Koordinaten des Schnittpunktes $P$ vollständig angeben mit:
$P(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\mid \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\mid 0)$
3 Schritt: Abstand zwischen $B$ und der Geraden $OD$ berechnen
Zuvor hast du überlegt, dass der Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$ gerade dem Abstand den Punktes $P$ zum Punkt $B$ entspricht. Berechne also:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \mid \overline{PB} \mid=&\sqrt{(b_1-p_1)^2+(b_2-p_2)^2+(b_3-p_3)^2}& \\ =&\sqrt{\left(1-\left(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)\right)^2+\left(1-\left(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)\right)^2+(0-0)^2}& \\ =&\sqrt{\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2})^2+\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)\right)^2}& \\ =&1- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \approx 0,2929& \\ \end{array}$
Damit hat der Punkt $B$ einen Abstand von $1- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\approx 0,2929$ LE zur Geraden OD.
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform angeben
Das Blatt in der $x_1-x_2-$Ebene wird wie in Abbildung 1 und 2 gefaltet. Beim Faltvorgang „wandert“ der Punkt $A$ in die Position $A'$. Dabei bewegt sich der Punkt entlang eines Halbkreises. Die Ebene $E$ soll diesen Halbkreis enthalten und senkrecht zur $x_1-x_2-$Ebene stehen.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Deine Aufgabe ist es, die Ebenengleichung zur Ebene $E$ in Parameterform anzugeben.
Eine Ebenengleichung in Parameterform sieht wie folgt aus:
$ E:\overrightarrow{x}\;=\;\overrightarrow{p} +r \cdot \overrightarrow{u} +s \cdot \overrightarrow{v};\;r,s\in\mathbb{R}$
Der Vektor $\overrightarrow{p}$ wird Stützvektor genannt, $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind die linear unabhängigen Spannvektoren der Ebene $E$.
Stelle die gesuchten Stütz- und Spannvektoren auf, um eine Ebenengleichung in Parameterform zu erhalten.
1. Schritt: Stützvektor der Ebene $E$ aufstellen
Für den Stützvektor kannst du die Koordinaten eines Punktes verwenden, der garantiert in der Ebene liegt. Hier bietet sich beispielweise der Punkt $A(\sqrt{2} \mid 0 \mid 0)$ an. Es ergibt sich also:
$\overrightarrow{p}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$
2. Schritt: Spannvektor $\overrightarrow{u}$ der Ebene $E$ aufstellen
Da in der Aufgabenstellung verlangt wird, dass die Ebene $E$ senkrecht auf der $x_1-x_2-$Ebene steht, kannst du einen der Spannvektoren direkt angeben, der diese Bedingung erfüllt:
$\overrightarrow{u}\;=\; \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$
3. Schritt: Spannvektor $\overrightarrow{v}$ der Ebene $E$ aufstellen
Sollen weiterhin die Punkte $A$ und $A'$ in der Ebene $E$ enthalten sein, so muss auch ihre Verbindungsstrecke in der Ebene $E$ liegen. Das heißt, du kannst den Vektor $\overrightarrow{AA'}$ als zweiten Spannvektor verwenden.
$\overrightarrow{v}\;=\; \overrightarrow{AA'}\;=\;\overrightarrow{A'}-\overrightarrow{A}$
Offensichtlich benötigen wir die Koordinaten des Punktes $A'$, um den zweiten Spannvektor angeben zu können. Anhand Abbildung 3 kannst du die Koordinaten ablesen. Der Punkt $A'$ hat die Koordinaten $A'(0 \mid \sqrt{2} \mid 0)$. Damit kannst du nun den Vektor $\overrightarrow{v}\;=\;\overrightarrow{AA'}$ bestimmen:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{v}=&\overrightarrow{A'}-\overrightarrow{A} \;=\;\begin{pmatrix} 0\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
4. Schritt: Aufgestellte Vektoren in Ebenengleichung einsetzen
Einsetzen des Stützvektors $\overrightarrow{p}$ und der Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ in die allgemeine Form einer Ebenengleichung in Parameterform liefert dir die gesuchte Gleichung:
$E:\overrightarrow{x}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix};\;r,s \in \mathbb{R}$
$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform angeben
Die Normalenform einer Ebenengleichung kannst du allgemein wie folgt angeben:
$E: (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}) \circ \overrightarrow{n}$
Dabei ist $\overrightarrow{p}$ der Stützvektor und $\overrightarrow{n}$ der Normalenvektor der Ebene. Beim Stützvektor kannst du wie zuvor vorgehen: Wähle einen Punkt, der garantiert in der Ebene $E$ liegt und verwende dessen Koordinaten für den Stützvektor. Du kannst hier beispielsweise denselben Stützvektor $\overrightarrow{p}$ wählen, den du bereits bei der Parameterform gewählt hast.
Letztlich benötigst du nur noch den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$. Dafür bieten sich zwei Möglichkeiten an:
A: Stelle die Ebenengleichung in Koordinatenform auf, denn an dieser kannst du den Normalenvektor direkt ablesen.
B: Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene $E$ stehen soll, muss dieser auch senkrecht auf den beiden Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ aus der Parameterform stehen. Bilde das Kreuzprodukt der Spannvektoren, denn es gilt: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Koordinatenform
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist allgemein von der Form:
$E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3\;=\;d$
Hast du bereits eine Ebenengleichung der Ebene in Parameterform, so kannst du die Koordinatenform ermitteln, indem du die Ebenengleichung in Parameterform mit $x_1$, $x_2$ und $x_3$ wie folgt gleichsetzt:
$\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$
Daraus erhältst du ein lineares Gleichungssystem, bei welchem du die Parameter $r$ und $s$ eliminieren musst, um die Koordinatenform zu erhalten.
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &x_1&\;=\;&\sqrt{2}&+&0 \cdot r&-&\sqrt{2} \cdot s&\mid\; Ⅰ +Ⅱ \\ Ⅱ &x_2&\;=\;&0&+&0 \cdot r&+&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &x_3&\;=\;&0&+&1 \cdot r&+&0 \cdot s\\ \hline \color{red}{Ⅰ a}&\color{red}{x_1+x_2}&\color{red}{\;=\;}&\color{red}{\sqrt{2}}\\ Ⅱ &x_2&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s&\\ Ⅲ &x_3&\;=\;&r&\\ \end{array}$
In der Gleichung $\color{red}{Ⅰ a}$ sind nun beide Parameter eliminiert. Das heißt, die Ebenengleichung zur Ebene $E$ in Koordinatenform lautet:
$E: \color{red}{1}\cdot x_1+\color{red}{1}\cdot x_2 + \color{red}{0}\cdot x_3\;=\;\sqrt{2}$
Hier kannst du den Normalenvektor direkt ablesen mit:
$\overrightarrow{n}\;=\; \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Kreuzprodukt
Da der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ senkrecht auf beiden Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ stehen soll, kannst du deren Kreuzprodukt bilden:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 0 \cdot 0&-&1 \cdot \sqrt{2}\\ 1 \cdot (-\sqrt{2})&-&0 \cdot 0\\ 0 \cdot \sqrt{2}&-&0 \cdot (-\sqrt{2}) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Da bei einem Normalenvektor nur dessen Richtung und nicht dessen Länge relevant ist, kannst du diesen wie folgt vereinfachen:
$\overrightarrow{n}\;=\;\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;-\sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\mathrel{\widehat{=}}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ In allgemeine Normalenform einsetzen:
Da du den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ bestimmt hast und den Stützvektor aus der Parameterform wiederverwenden kannst, ergibt sich folgende Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform:
$E: (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}) \circ \overrightarrow{n}\;=\;\left(\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right) \circ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes $S$ bestimmen
Die Gerade $OD$ schneidet die Ebene $E$ in einem Punkt $S$. Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu ermitteln, kannst du die Geradengleichung komponentenweise in die zuvor bestimme Ebenengleichung in Parameterform einsetzen. Gehe also wie folgt vor:
  • Setze diese Geradengleichung komponentenweise in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach dem Parameter $u$ auf. Dadurch erhältst du einen Wert für den Parameter $u$.
  • Setze diesen Parameterwert für $u$ anschließend in die Geradengleichung von $OD$ ein. Das liefert dir die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes $S$.
1. Schritt: Geradengleichung von $OD$ mit Ebenengleichung von $E$ gleichsetzen
Komponentenweise Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Ebenengleichung von $E$ liefert dir folgendes lineares Gleichungssystem, welches du nach $u$ auflösen sollst:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &u \cdot 1&\;=\;&\sqrt{2}&+&0 \cdot r&-&\sqrt{2} \cdot s&\mid\; Ⅰ +Ⅱ \\ Ⅱ &u \cdot 1&\;=\;&0&+&0 \cdot r&+&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &0&\;=\;&0&+&1 \cdot r&+&0 \cdot s&\\ \hline Ⅰ a&2 \cdot u&\;=\;&\sqrt{2}&\mid\; :2\\ Ⅱ &u&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &0&\;=\;&r&\\ \hline Ⅰ b&u&\;=\;&\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}&\\ Ⅱ &u&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &0&\;=\;&r&\\ \end{array}$
Du erhältst $u\;=\; \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$.
2. Schritt: Parameter $u$ in Geradengleichung von $OD$ einsetzen
Einsetzen von $u\;=\; \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$ in die Geradengleichung zu $OD$ liefert dir die Koordinaten des Schnittpunktes $S$:
$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\; \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$
Der Schnittpunkt $S$ besitzt die Koordinaten $S( \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \mid 0 )$.
c)
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass Gerade $OD$ in jeder Ebene der Ebenenschar liegt
Während des Faltvorgangs liegt das bewegte Papierviereck immer in einer Ebene der Ebenenschar mit der Ebenengleichung
$ E_k:x_1-x_2+k \cdot x_3\;=\;0;\;k \in \mathbb{R}.$
Weise rechnerisch nach, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt.
Willst du zeigen, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt, so kannst du die Gleichung der Gerade in die Gleichung der Ebenenschar einsetzen. Löse nach deren Parametern $u$ und $k$ auf. Ergibt sich hierbei eine wahre Aussage für alle $u$ und $k$, so liegt die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$.
Die Gleichung der Gerade $OD$ hast du zuvor bereits aufgestellt mit:
$OD:\overrightarrow{x}\;=\; u \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;\;u \in \mathbb{R}$
Komponentenweise Einsetzen liefert dir:
$0\;=\;1 \cdot u-1 \cdot u+k \cdot 0\;=\;u-u$
In diese Gleichung kannst du jeden beliebigen Wert für den Parameter $u$ bzw. $k$ einsetzen. Das heißt, es liegt immer eine wahre Aussage vor und damit gilt, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt.
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass die Ebene $E$ senkrecht zu jeder Ebene der Ebenenschar ist
Die Ebene $E$ hat laut Teilaufgabe b) folgende Ebenengleichung:
$ E: \color{red}{1}\cdot x_1+\color{red}{1}\cdot x_2 + \color{red}{0}\cdot x_3\;=\;\sqrt{2}$
Willst du zeigen, dass die Ebene senkrecht zu jeder Ebene $E_k$ ist, so kannst du zeigen, dass die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{n_{Ek}}$ senkrecht zueinander sind. Das heißt, ihr Skalarprodukt ist gleich Null.
Die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{n_{Ek}}$ der Ebene $E$ und $E_k$ kannst du anhand der Koordinatenform direkt ablesen:
$\overrightarrow{n_E}\;=\; \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix};\;\overrightarrow{n_{Ek}}\;=\;\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ k \end{pmatrix}$
Bildest du das Skalarprodukt der Normalenvektoren, so erhältst du:
$\overrightarrow{n_E} \circ \overrightarrow{n_{Ek}}\;=\; \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ k \end{pmatrix}\;=\;1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot k\;=\; 1-1\;=\;0$
Damit hast du gezeigt, dass das Skalarprodukt der Normalenvektoren für jedes $k$ gleich Null ist. Folglich steht die Ebene $E$ senkrecht auf allen Ebenen der Schar $E_k$.
$\blacktriangleright$ Parameter $k$ für $E_k$ bestimmen, sodass $E_k=E^*$ gilt
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Während des Faltvorgangs nehmen die Punkte $A$ und $B$ die Positionen $A^*$ und $B^*$ ein.
Eine neue Ebene $E^*$ soll nun das daraus entstehende Viereck $OA^*B^*D$ enthalten. Weiterhin ist $E^*$ eine Ebene der Ebenenschar $E_k$ und senkrecht zur $x_1-x_2-$Ebene.
Deine Aufgabe ist es, einen Parameterwert für $k$ zu ermitteln, sodass $E_k=E^*$ gilt.
Soll $E^*$ senkrecht zur $x_1-x_2-$Ebene sein, kannst du verwenden, dass das Skalarprodukt des Normalenvektors der $x_1-x_2-$Ebene und des Normalenvektors der Ebene $E^*$ gleich Null sein muss. In mathematischen Formeln ausgedrückt heißt das:
$\overrightarrow{n_{x_1x_2}} \circ \overrightarrow{n_{E^*}} \;=\; 0$
Da dir der Normalenvektor $\overrightarrow{n_{E^*}}$ nicht bekannt ist, aber $E^*$ eine Ebene der Schar $E_k$ ist, kannst du den Normalenvektor der Ebenenschar $E_k$ verwenden und so einen passenden Wert für den Parameter $k$ ermitteln.
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} 0&\overrightarrow{n_{x_1x_2}} \circ \overrightarrow{n_{Ek}}& \\ 0&\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ k \end{pmatrix} \;=\; 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot k \;=\; k& \\ \end{array}$
Folglich muss $k\;=\;0$ gelten, damit die Bedingung erfüllt wird. Das heißt, für $k\;=0\;$ gilt $E_k=E^*$. Die Ebene $E^*$ halt also folgende Ebenengleichung in Koordinatenform:
$E^*=E_0:x_1-x_2+0 \cdot x_3\;=\;0$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $A^*$ ermitteln
Der Punkt $A^*$ liegt laut Voraussetzung in den Ebenen $E$ und $E^*$. Folglich muss dieser Punkt ebenfalls auf der Schnittgeraden $h$ der Ebenen liegen.
Im Punkt $S$ schneidet die Ebene $E$ die Gerade $OD$, an welcher das Blatt gefaltet wird. Durch das Falten bewegt sich der Punkt $A$ entlang eines Halbkreises um den Punkt $S$ und nimmt entlang dieses Halbkreises die Position $A^*$ ein. Das heißt, der Punkt $A$ hat den selben Abstand zum Punkt $S$ wie der gesuchte Punkt $A^*$, es gilt also $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S}\mid $.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Du kann also wie folgt vorgehen, um die Koordinaten des Punktes $A^*$ zu bestimmen:
  • Bestimme die Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E^*$. (Dadurch erhältst du zunächst die erste und zweite Koordinate von $A^*$).
  • Verwende, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S} \mid$ gilt, um die dritte Koordinate zu bestimmen.
1. Schritt: Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E^*$ bestimmen
Die Schnittgerade erhältst du, indem du beide Ebenengleichungen in einem linearen Gleichungssystem auflöst.
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &0&\;=\;&x_1&-&x_2&&&\mid\; Ⅰ +Ⅱ \\ Ⅱ &\sqrt{2}&\;=\;&x_1&+&x_2&&\\ \hline Ⅰ a&\sqrt{2}&\;=\;&2 \cdot x_1&&&&&\mid\; :2 \\ Ⅱ &\sqrt{2}&\;=\;&x_1&+&x_2&&\\ \hline Ⅰ b&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&\;=\;&x_1&&&&&\text{In } Ⅱ \text{ einsetzen} \\ Ⅱ &\sqrt{2}&\;=\;&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&+&x_2&&&\mid\; -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\\ \hline Ⅰ b&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&\;=\;&x_1&&&&&\\ Ⅱ &\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&\;=\;&x_2&&&&&\\ \end{array}$
Damit sind die $x_1$- und $x_2$-Koordinaten der Geradengleichung fest. Da über die $x_3$-Koordinate keine Aussage gemacht werden kann, kannst du für diese jeden beliebigen Wert einsetzen. Wir setzen also $x_3\;=\;t$ und erhalten die Gleichung der Schnittgeraden $h$ mit:
$ h:\overrightarrow{x}\;=\;t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
Da der Punkt $A^*$ auf der Schnittgeraden $h$ liegt, kannst du die Koordinaten des Punktes $A^*$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ angeben mit:
$A^*(0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 1 \cdot t+ 0)\;=\;(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid t)$
2. Schritt: Verwenden, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S} \mid$ gelten muss
Offensichtlich ist nur noch die $x_3$-Koordinate vom Parameter $t$ abhängig. Einen passenden Wert für $t$ kannst du mit Hilfe der Bedingung $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S}\mid $ bestimmen.
Den Betrag $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ kannst du bereits berechnen, da dir die Koordinaten beider Punkte bekannt sind:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \mid \overrightarrow{AS}\mid=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}- \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-0\right)^2+(0-0)^2}&\\ =&\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+0^2}& \\ =&\sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}}&\\ =&\sqrt{1}\;=\;1& \\ \end{array}$
Damit gilt $\mid \overrightarrow{AS}\mid=1$ und wir können diese Bedingung im Folgenden weiterverwenden:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} 1 \;\stackrel{!}{=}\;\mid \overrightarrow{A^*S}\mid=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2+(0-t)^2}& \\ =&\sqrt{0^2+0^2+t^2}& \\ =&\sqrt{t^2}& \\ =&t& \\ \end{array}$
Damit muss $t=1$ gelten. Nun kannst du die Koordinaten des Punktes $A^*$ vollständig angeben: $ A^*(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 1)$
d)
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Koordinaten des Punktes $A''$
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Beim Faltvorgang erreicht das Papierviereck die Position OA''B''D. Die Koordinaten des Punktes $A''$ sind teilweise bekant mit:
$(x_1 \mid 1 \mid x_3)$.
Deine Aufgabe ist es, die vollständigen Koordinaten des Punktes $A''$ anzugeben.
In einem Aufgabenteil zuvor hast du eine Ebene $E$ ermittelt, in der sich der Halbkreis befindet, auf dem sich der Ausgangspunkt $A$ entlang bewegt. Diese Ebene hat die folgende Ebenengleichung:
$E:x_1+x_2=\sqrt{2}$
Daher muss auch der gesuchte Punkt $A''$ in dieser Ebene liegen. Das heißt, der Punkt $A''$ liegt auf der Schnittgeraden der Ebene $E$ und der Ebene $x_2=1$.
Weiterhin kannst du verwenden, dass sich durch das Falten der Punkt $A$ entlang eines Halbkreises um den Punkt $S$ bewegt und entlang dieses Halbkreises die Position $A''$ einnimmt. Das heißt, der Punkt $A$ hat den selben Abstand zum Punkt $S$ wie der gesuchte Punkt $A''$, es gilt also $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A''S}\mid$.
Du kann also wie folgt vorgehen, um die Koordinaten des Punktes $A''$ zu bestimmen:
  • Bestimme die Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $x_2\;=\;1$. (Dadurch erhältst du zunächst die erste Koordinate von $A''$).
  • Verwende, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A''S} \mid$ gilt, um die dritte Koordinate zu bestimmen.
1. Schritt: Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E''$ bestimmen
Die Schnittgerade erhältst du, indem du beide Ebenengleichungen in einem linearen Gleichungssystem auflöst.
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &x_2&\;=\;&1&&&&\\ Ⅱ &x_1+x_2&\;=\;&\sqrt{2}&&&&& \mid\; Ⅱ -Ⅰ \\ \hline Ⅰ &x_2&\;=\;&1&&&&\\ Ⅱ a&x_1&\;=\;&\sqrt{2}-1&&&&&\\ \end{array}$
Damit sind die $x_1$- und $x_2$-Koordinaten der Geradengleichung fest. Da über die $x_3$-Koordinate keine Aussage gemacht werden kann, kannst du für diese jeden beliebigen Wert einsetzen. Wir setzen also $x_3\;=\;t$ und erhalten die Gleichung der Schnittgeraden $h$ mit:
$ h:\overrightarrow{x}\;=\;t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$
Da der Punkt $A''$ auf der Schnittgeraden $h$ liegt, kannst du die Koordinaten des Punktes $A''$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ angeben mit:
$A''(0 \cdot t + \sqrt{2}-1 \mid 0 \cdot t + 1 \mid 1 \cdot t+ 0)\;=\;(\sqrt{2}-1 \mid 1 \mid t)$
2. Schritt: Verwenden, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A''S} \mid$ gelten muss
Offensichtlich ist nur noch die $x_3$-Koordinate vom Parameter $t$ abhängig. Einen passenden Wert für $t$ kannst du mit Hilfe der Bedingung $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A''S}\mid $ bestimmen.
Den Betrag $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ hast du bereits zuvor berechnet und es gilt $\mid \overrightarrow{AS}\mid=1$. Wir können diese Bedingung im Folgenden weiterverwenden:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} 1 \;\stackrel{!}{=}\;\mid \overrightarrow{A''S}\mid&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\left(\sqrt{2}-1\right)\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-1\right)^2+(0-t)^2}& \\ 1&\sqrt{\left(1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-1\right)^2+t^2}& \\ 1&\sqrt{t^2-2 \cdot \sqrt{2}+3}& \mid\; (…)^2 \\ 1&t^2-2 \cdot \sqrt{2}+3& \mid\; +2 \cdot \sqrt{2}-3 \\ 2 \cdot \sqrt{2}-2&t^2& \mid\; \sqrt{(…)} \\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2}&t& \\ \end{array}$
Damit muss $t=\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2}$ gelten. Nun kannst du die Koordinaten des Punktes $A''$ vollständig angeben: $A''(\sqrt{2}-1 \mid 1 \mid \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})\approx(0,414 \mid 1 \mid 0,910)$
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $OCA''$ gleichschenklig rechtwinklig ist
Zeige, dass das Dreieck $OCA''$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Rechtwinklig: Soll das Dreieck $OCA''$ rechtwinklig sein, so kannst du zeigen, dass das Skalarprodukt zweier Kantenvektoren gleich Null ist.
  • Gleichschenklig: Damit ein Dreieck gleichschenklig ist, müssen zwei Kanten gleich lang sein. Zeige also, dass der Betrag zweier Kantenvektoren übereinstimmt.
Zeigen, dass das Dreieck $OCA''$ rechtwinklig ist
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn zwei Kantenvektoren senkrecht aufeinander stehen. Ist das der Fall, so ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Gib zunächst die Kantenvektoren $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OA''}$ und $\overrightarrow{CA''}$ des Dreieck $OCA''$ an:
  • $\overrightarrow{OC}\;=\;\overrightarrow{C}-\overrightarrow{O}\;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
  • $\overrightarrow{OA''}\;=\;\overrightarrow{A''}-\overrightarrow{O}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}$
  • $\overrightarrow{CA''}\;=\;\overrightarrow{A''}-\overrightarrow{C}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}$
Berechne nun die Skalarprodukte $\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{OA''}$, $\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{CA''}$ und $\overrightarrow{CA''} \circ \overrightarrow{OA''}$:
  • $\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{OA''}\;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\;=\;0 \cdot (\sqrt{2}-1) + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})\;=\;1$
  • $\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{CA''}\;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix} \;=\; 0 \cdot (\sqrt{2}-1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})\;=\;0$
  • $\overrightarrow{CA''} \circ \overrightarrow{OA''}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\;=\; (\sqrt{2}-1)^2 +0 \cdot 1 + (\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})^2\;=\;1$
Damit ist das Skalarprodukt der Kantenvektoren $\overrightarrow{OC}$ und $\overrightarrow{CA''}$ gleich Null. Folglich ist das Dreieck $OCA''$ rechtwinklig.
Zeigen, dass das Dreieck $OCA''$ gleichschenklig ist
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei Kanten gleich lang sind. Berechne also die Beträge der Vektoren und überprüfe, ob das der Fall ist:
  • $\mid \overrightarrow{OC} \mid \;=\;\left| \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\right| \;=\; \sqrt{0^2 +1^2 +0^2} \;=\; 1$
  • $\overrightarrow{OA''}\;=\; \left| \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\right| \;=\; \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+1^2 +(\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})^2}\;=\;\sqrt{2}$
  • $\overrightarrow{CA''}\;=\;\left| \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\right| \;=\; \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+0^2 +(\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})^2}\;=\;1$
Damit sind die Kantenvektoren $\overrightarrow{OC}$ und $\overrightarrow{CA''}$ gleich lang. Folglich ist das Dreieck $OCA''$ gleichschenklig.
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a)
$\blacktriangleright$ Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$ angeben
Ein DIN-A4-Blatt wird entlang der Strecke $\overline{OD}$ wie in Abbildung 1 und 2 gefaltet. Bestimme den Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden entspricht der kürzesten Strecke, die den Punkt mit der Geraden verbindet.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Diese Strecke muss folglich senkrecht auf der Geraden stehen. Daher entspricht der gesuchte Abstand gerade der Länge der Strecke $\overline{PB}$.
Um die Länge dieser Strecke $\overline{PB}$ zu bestimmen, kannst du eine Hilfsgerade $h$ so konstruieren, dass sie senkrecht zur Geraden $OD$ verläuft und den Punkt $B$ enthält.
Bestimme den Schnittpunkt $P$ der Hilfgeraden $h$ und der Geraden $OD$.
Hast du diesen bestimmt, so kannst du die Länge der Strecke $\overline{PB}$ mit Hilfe des Betrags bestimmen.
Den Betrag einer Strecke $\overline{AB}$ zweier Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ kannst du folgendermaßen bestimmen:
$\mid \overline{AB} \mid \;=\; \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$
1. Schritt: Hilfsgerade $h$ konstruieren
Bevor wir die Geradengleichung für $h$ angeben können, ist es hilfreich, zuerst die Geradengleichung zu $OD$ aufzustellen:
$OD:\overrightarrow{x}\;=\; u \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;\;u \in \mathbb{R}$
Um die Gleichung der Hilfsgeraden $h$ zu bestimmen, gehen wir zunächst von einer allgemeinen Geradengleichung aus:
$h: \overrightarrow{x}\;=\;\overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u};\;u\in \mathbb{R}$
Dabei ist $\overrightarrow{p}$ der Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ der Richtungsvektor. Für den Stützvektor $\overrightarrow{p}$ kannst du die Koordinaten eines Punktes verwenden, der garantiert auf der Geraden $h$ liegt. Hier bietet sich beispielweise der Punkt $B(\sqrt{2} \mid 1 \mid 0)$ an. Du erhältst also folgenden Stützvektor:
$\overrightarrow{p}\;=\; \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
Soll die Hilfsgerade $h$ senkrecht zur Geraden $OD$ sein, so muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich Null sein. Das heißt, es muss gelten:
$0\;=\;\begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;1 \cdot u_1 + 1 \cdot u_2 + 0 \cdot u_3 \;=\;u_1+u_2 \Leftrightarrow u_2\;=\;-u_1$
Damit das Skalarprodukt gleich Null ist, muss folglich $u_2\;=\;-u_1$ gelten. Du kannst hier jeden beliebigen Wert für $u_1$ wählen. Da die Gerade $OD$ und der Punkt $B$ in der $x_1-x_2-$Ebene liegen, sollte ebenfalls $u_3\;=\;0$ gelten.
Wir wählen, um die Rechnung möglichst einfach zu halten, $u_1\;=\;1$ und erhalten dann folgende Geradengleichung zur Hilfsgeraden $h$:
$h: \overrightarrow{x}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix};\;t\in \mathbb{R}$
2. Schritt: Schnittpunkt $P$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Geraden $OD$ bestimmen
Die Koordinaten des Schnittpunktes $P$ der Hilfsgeraden $h$ und der Geraden $OD$ kannst du bestimmen, indem du die beiden Geradengleichungen gleichsetzt:
$\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\; u \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem, durch welches du Werte für die Parameter $t$ und $u$ ermitteln kannst:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ &1-t&\;=\;&u&&& \mid\; Ⅱ -Ⅰ \\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \hline Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ a&1-\sqrt{2}-2 \cdot t&\;=\;&0&&& \mid\; +2 \cdot t\\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \hline Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ b&1-\sqrt{2}&\;=\;&2 \cdot t&&& \mid\; :2\\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \hline Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ b&\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})&\;=\;&t&&&\\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \end{array}$
$\Rightarrow u=\sqrt{2} +t=\sqrt{2} +\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})\;=\;\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$
Es muss also $u\;=\;\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$ bzw. $t\;=\;\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})$ gelten. Setze entweder den Parameterwert für $t$ in die Hilfsgeradengleichung oder den Parameterwert für $u$ in die Geradengleichung zu $OD$ ein. Das liefert dir die Koordinaten von $P$.
$ \frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$
Jetzt kannst du die Koordinaten des Schnittpunktes $P$ vollständig angeben mit:
$P(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\mid \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\mid 0)$
3 Schritt: Abstand zwischen $B$ und der Geraden $OD$ berechnen
Zuvor hast du überlegt, dass der Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$ gerade dem Abstand den Punktes $P$ zum Punkt $B$ entspricht. Berechne also:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \mid \overline{PB} \mid=&\sqrt{(b_1-p_1)^2+(b_2-p_2)^2+(b_3-p_3)^2}& \\ =&\sqrt{\left(1-\left(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)\right)^2+\left(1-\left(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)\right)^2+(0-0)^2}& \\ =&\sqrt{\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2})^2+\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)\right)^2}& \\ =&1- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \approx 0,2929& \\ \end{array}$
Damit hat der Punkt $B$ einen Abstand von $1- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\approx 0,2929$ LE zur Geraden OD.
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform angeben
Das Blatt in der $x_1-x_2-$Ebene wird wie in Abbildung 1 und 2 gefaltet. Beim Faltvorgang „wandert“ der Punkt $A$ in die Position $A'$. Dabei bewegt sich der Punkt entlang eines Halbkreises. Die Ebene $E$ soll diesen Halbkreis enthalten und senkrecht zur $x_1-x_2-$Ebene stehen.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Deine Aufgabe ist es, die Ebenengleichung zur Ebene $E$ in Parameterform anzugeben.
Eine Ebenengleichung in Parameterform sieht wie folgt aus:
$ E:\overrightarrow{x}\;=\;\overrightarrow{p} +r \cdot \overrightarrow{u} +s \cdot \overrightarrow{v};\;r,s\in\mathbb{R}$
Der Vektor $\overrightarrow{p}$ wird Stützvektor genannt, $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind die linear unabhängigen Spannvektoren der Ebene $E$.
Stelle die gesuchten Stütz- und Spannvektoren auf, um eine Ebenengleichung in Parameterform zu erhalten.
1. Schritt: Stützvektor der Ebene $E$ aufstellen
Für den Stützvektor kannst du die Koordinaten eines Punktes verwenden, der garantiert in der Ebene liegt. Hier bietet sich beispielweise der Punkt $A(\sqrt{2} \mid 0 \mid 0)$ an. Es ergibt sich also:
$\overrightarrow{p}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$
2. Schritt: Spannvektor $\overrightarrow{u}$ der Ebene $E$ aufstellen
Da in der Aufgabenstellung verlangt wird, dass die Ebene $E$ senkrecht auf der $x_1-x_2-$Ebene steht, kannst du einen der Spannvektoren direkt angeben, der diese Bedingung erfüllt:
$\overrightarrow{u}\;=\; \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$
3. Schritt: Spannvektor $\overrightarrow{v}$ der Ebene $E$ aufstellen
Sollen weiterhin die Punkte $A$ und $A'$ in der Ebene $E$ enthalten sein, so muss auch ihre Verbindungsstrecke in der Ebene $E$ liegen. Das heißt, du kannst den Vektor $\overrightarrow{AA'}$ als zweiten Spannvektor verwenden.
$\overrightarrow{v}\;=\; \overrightarrow{AA'}\;=\;\overrightarrow{A'}-\overrightarrow{A}$
Offensichtlich benötigen wir die Koordinaten des Punktes $A'$, um den zweiten Spannvektor angeben zu können. Anhand Abbildung 3 kannst du die Koordinaten ablesen. Der Punkt $A'$ hat die Koordinaten $A'(0 \mid \sqrt{2} \mid 0)$. Damit kannst du nun den Vektor $\overrightarrow{v}\;=\;\overrightarrow{AA'}$ bestimmen:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{v}=&\overrightarrow{A'}-\overrightarrow{A} \;=\;\begin{pmatrix} 0\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
4. Schritt: Aufgestellte Vektoren in Ebenengleichung einsetzen
Einsetzen des Stützvektors $\overrightarrow{p}$ und der Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ in die allgemeine Form einer Ebenengleichung in Parameterform liefert dir die gesuchte Gleichung:
$E:\overrightarrow{x}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix};\;r,s \in \mathbb{R}$
$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform angeben
Die Normalenform einer Ebenengleichung kannst du allgemein wie folgt angeben:
$E: (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}) \circ \overrightarrow{n}$
Dabei ist $\overrightarrow{p}$ der Stützvektor und $\overrightarrow{n}$ der Normalenvektor der Ebene. Beim Stützvektor kannst du wie zuvor vorgehen: Wähle einen Punkt, der garantiert in der Ebene $E$ liegt und verwende dessen Koordinaten für den Stützvektor. Du kannst hier beispielsweise denselben Stützvektor $\overrightarrow{p}$ wählen, den du bereits bei der Parameterform gewählt hast.
Letztlich benötigst du nur noch den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$. Dafür bieten sich zwei Möglichkeiten an:
A: Stelle die Ebenengleichung in Koordinatenform auf, denn an dieser kannst du den Normalenvektor direkt ablesen.
B: Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene $E$ stehen soll, muss dieser auch senkrecht auf den beiden Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ aus der Parameterform stehen. Bilde das Kreuzprodukt der Spannvektoren, denn es gilt: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Koordinatenform
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist allgemein von der Form:
$E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3\;=\;d$
Hast du bereits eine Ebenengleichung der Ebene in Parameterform, so kannst du die Koordinatenform ermitteln, indem du die Ebenengleichung in Parameterform mit $x_1$, $x_2$ und $x_3$ wie folgt gleichsetzt:
$\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$
Daraus erhältst du ein lineares Gleichungssystem, bei welchem du die Parameter $r$ und $s$ eliminieren musst, um die Koordinatenform zu erhalten.
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &x_1&\;=\;&\sqrt{2}&+&0 \cdot r&-&\sqrt{2} \cdot s&\mid\; Ⅰ +Ⅱ \\ Ⅱ &x_2&\;=\;&0&+&0 \cdot r&+&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &x_3&\;=\;&0&+&1 \cdot r&+&0 \cdot s\\ \hline \color{red}{Ⅰ a}&\color{red}{x_1+x_2}&\color{red}{\;=\;}&\color{red}{\sqrt{2}}\\ Ⅱ &x_2&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s&\\ Ⅲ &x_3&\;=\;&r&\\ \end{array}$
In der Gleichung $\color{red}{Ⅰ a}$ sind nun beide Parameter eliminiert. Das heißt, die Ebenengleichung zur Ebene $E$ in Koordinatenform lautet:
$E: \color{red}{1}\cdot x_1+\color{red}{1}\cdot x_2 + \color{red}{0}\cdot x_3\;=\;\sqrt{2}$
Hier kannst du den Normalenvektor direkt ablesen mit:
$\overrightarrow{n}\;=\; \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Kreuzprodukt
Da der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ senkrecht auf beiden Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ stehen soll, kannst du deren Kreuzprodukt bilden:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 0 \cdot 0&-&1 \cdot \sqrt{2}\\ 1 \cdot (-\sqrt{2})&-&0 \cdot 0\\ 0 \cdot \sqrt{2}&-&0 \cdot (-\sqrt{2}) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Da bei einem Normalenvektor nur dessen Richtung und nicht dessen Länge relevant ist, kannst du diesen wie folgt vereinfachen:
$\overrightarrow{n}\;=\;\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;-\sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\mathrel{\widehat{=}}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ In allgemeine Normalenform einsetzen:
Da du den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ bestimmt hast und den Stützvektor aus der Parameterform wiederverwenden kannst, ergibt sich folgende Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform:
$E: (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}) \circ \overrightarrow{n}\;=\;\left(\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right) \circ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes $S$ bestimmen
Die Gerade $OD$ schneidet die Ebene $E$ in einem Punkt $S$. Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu ermitteln, kannst du die Geradengleichung komponentenweise in die zuvor bestimme Ebenengleichung in Parameterform einsetzen. Gehe also wie folgt vor:
  • Setze diese Geradengleichung komponentenweise in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach dem Parameter $u$ auf. Dadurch erhältst du einen Wert für den Parameter $u$.
  • Setze diesen Parameterwert für $u$ anschließend in die Geradengleichung von $OD$ ein. Das liefert dir die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes $S$.
1. Schritt: Geradengleichung von $OD$ mit Ebenengleichung von $E$ gleichsetzen
Komponentenweise Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Ebenengleichung von $E$ liefert dir folgendes lineares Gleichungssystem, welches du nach $u$ auflösen sollst:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &u \cdot 1&\;=\;&\sqrt{2}&+&0 \cdot r&-&\sqrt{2} \cdot s&\mid\; Ⅰ +Ⅱ \\ Ⅱ &u \cdot 1&\;=\;&0&+&0 \cdot r&+&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &0&\;=\;&0&+&1 \cdot r&+&0 \cdot s&\\ \hline Ⅰ a&2 \cdot u&\;=\;&\sqrt{2}&\mid\; :2\\ Ⅱ &u&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &0&\;=\;&r&\\ \hline Ⅰ b&u&\;=\;&\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}&\\ Ⅱ &u&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &0&\;=\;&r&\\ \end{array}$
Du erhältst $u\;=\; \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$.
2. Schritt: Parameter $u$ in Geradengleichung von $OD$ einsetzen
Einsetzen von $u\;=\; \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$ in die Geradengleichung zu $OD$ liefert dir die Koordinaten des Schnittpunktes $S$:
$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\; \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$
Der Schnittpunkt $S$ besitzt die Koordinaten $S( \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \mid 0 )$.
c)
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass Gerade $OD$ in jeder Ebene der Ebenenschar liegt
Während des Faltvorgangs liegt das bewegte Papierviereck immer in einer Ebene der Ebenenschar mit der Ebenengleichung
$ E_k:x_1-x_2+k \cdot x_3\;=\;0;\;k \in \mathbb{R}.$
Weise rechnerisch nach, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt.
Willst du zeigen, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt, so kannst du die Gleichung der Gerade in die Gleichung der Ebenenschar einsetzen. Löse nach deren Parametern $u$ und $k$ auf. Ergibt sich hierbei eine wahre Aussage für alle $u$ und $k$, so liegt die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$.
Die Gleichung der Gerade $OD$ hast du zuvor bereits aufgestellt mit:
$OD:\overrightarrow{x}\;=\; u \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;\;u \in \mathbb{R}$
Komponentenweise Einsetzen liefert dir:
$0\;=\;1 \cdot u-1 \cdot u+k \cdot 0\;=\;u-u$
In diese Gleichung kannst du jeden beliebigen Wert für den Parameter $u$ bzw. $k$ einsetzen. Das heißt, es liegt immer eine wahre Aussage vor und damit gilt, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt.
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass die Ebene $E$ senkrecht zu jeder Ebene der Ebenenschar ist
Die Ebene $E$ hat laut Teilaufgabe b) folgende Ebenengleichung:
$ E: \color{red}{1}\cdot x_1+\color{red}{1}\cdot x_2 + \color{red}{0}\cdot x_3\;=\;\sqrt{2}$
Willst du zeigen, dass die Ebene senkrecht zu jeder Ebene $E_k$ ist, so kannst du zeigen, dass die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{n_{Ek}}$ senkrecht zueinander sind. Das heißt, ihr Skalarprodukt ist gleich Null.
Die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{n_{Ek}}$ der Ebene $E$ und $E_k$ kannst du anhand der Koordinatenform direkt ablesen:
$\overrightarrow{n_E}\;=\; \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix};\;\overrightarrow{n_{Ek}}\;=\;\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ k \end{pmatrix}$
Bildest du das Skalarprodukt der Normalenvektoren, so erhältst du:
$\overrightarrow{n_E} \circ \overrightarrow{n_{Ek}}\;=\; \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ k \end{pmatrix}\;=\;1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot k\;=\; 1-1\;=\;0$
Damit hast du gezeigt, dass das Skalarprodukt der Normalenvektoren für jedes $k$ gleich Null ist. Folglich steht die Ebene $E$ senkrecht auf allen Ebenen der Schar $E_k$.
$\blacktriangleright$ Parameter $k$ für $E_k$ bestimmen, sodass $E_k=E^*$ gilt
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Während des Faltvorgangs nehmen die Punkte $A$ und $B$ die Positionen $A^*$ und $B^*$ ein.
Eine neue Ebene $E^*$ soll nun das daraus entstehende Viereck $OA^*B^*D$ enthalten. Weiterhin ist $E^*$ eine Ebene der Ebenenschar $E_k$ und senkrecht zur $x_1-x_2-$Ebene.
Deine Aufgabe ist es, einen Parameterwert für $k$ zu ermitteln, sodass $E_k=E^*$ gilt.
Soll $E^*$ senkrecht zur $x_1-x_2-$Ebene sein, kannst du verwenden, dass das Skalarprodukt des Normalenvektors der $x_1-x_2-$Ebene und des Normalenvektors der Ebene $E^*$ gleich Null sein muss. In mathematischen Formeln ausgedrückt heißt das:
$\overrightarrow{n_{x_1x_2}} \circ \overrightarrow{n_{E^*}} \;=\; 0$
Da dir der Normalenvektor $\overrightarrow{n_{E^*}}$ nicht bekannt ist, aber $E^*$ eine Ebene der Schar $E_k$ ist, kannst du den Normalenvektor der Ebenenschar $E_k$ verwenden und so einen passenden Wert für den Parameter $k$ ermitteln.
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} 0&\overrightarrow{n_{x_1x_2}} \circ \overrightarrow{n_{Ek}}& \\ 0&\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ k \end{pmatrix} \;=\; 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot k \;=\; k& \\ \end{array}$
Folglich muss $k\;=\;0$ gelten, damit die Bedingung erfüllt wird. Das heißt, für $k\;=0\;$ gilt $E_k=E^*$. Die Ebene $E^*$ halt also folgende Ebenengleichung in Koordinatenform:
$E^*=E_0:x_1-x_2+0 \cdot x_3\;=\;0$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $A^*$ ermitteln
Der Punkt $A^*$ liegt laut Voraussetzung in den Ebenen $E$ und $E^*$. Folglich muss dieser Punkt ebenfalls auf der Schnittgeraden $h$ der Ebenen liegen.
Im Punkt $S$ schneidet die Ebene $E$ die Gerade $OD$, an welcher das Blatt gefaltet wird. Durch das Falten bewegt sich der Punkt $A$ entlang eines Halbkreises um den Punkt $S$ und nimmt entlang dieses Halbkreises die Position $A^*$ ein. Das heißt, der Punkt $A$ hat den selben Abstand zum Punkt $S$ wie der gesuchte Punkt $A^*$, es gilt also $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S}\mid $.
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Du kann also wie folgt vorgehen, um die Koordinaten des Punktes $A^*$ zu bestimmen:
  • Bestimme die Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E^*$. (Dadurch erhältst du zunächst die erste und zweite Koordinate von $A^*$).
  • Verwende, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S} \mid$ gilt, um die dritte Koordinate zu bestimmen.
1. Schritt: Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E^*$ bestimmen
Die Schnittgerade erhältst du, indem du beide Ebenengleichungen in einem linearen Gleichungssystem auflöst.
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &0&\;=\;&x_1&-&x_2&&&\mid\; Ⅰ +Ⅱ \\ Ⅱ &\sqrt{2}&\;=\;&x_1&+&x_2&&\\ \hline Ⅰ a&\sqrt{2}&\;=\;&2 \cdot x_1&&&&&\mid\; :2 \\ Ⅱ &\sqrt{2}&\;=\;&x_1&+&x_2&&\\ \hline Ⅰ b&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&\;=\;&x_1&&&&&\text{In } Ⅱ \text{ einsetzen} \\ Ⅱ &\sqrt{2}&\;=\;&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&+&x_2&&&\mid\; -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\\ \hline Ⅰ b&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&\;=\;&x_1&&&&&\\ Ⅱ &\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&\;=\;&x_2&&&&&\\ \end{array}$
Damit sind die $x_1$- und $x_2$-Koordinaten der Geradengleichung fest. Da über die $x_3$-Koordinate keine Aussage gemacht werden kann, kannst du für diese jeden beliebigen Wert einsetzen. Wir setzen also $x_3\;=\;t$ und erhalten die Gleichung der Schnittgeraden $h$ mit:
$ h:\overrightarrow{x}\;=\;t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
Da der Punkt $A^*$ auf der Schnittgeraden $h$ liegt, kannst du die Koordinaten des Punktes $A^*$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ angeben mit:
$A^*(0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 1 \cdot t+ 0)\;=\;(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid t)$
2. Schritt: Verwenden, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S} \mid$ gelten muss
Offensichtlich ist nur noch die $x_3$-Koordinate vom Parameter $t$ abhängig. Einen passenden Wert für $t$ kannst du mit Hilfe der Bedingung $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S}\mid $ bestimmen.
Den Betrag $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ kannst du bereits berechnen, da dir die Koordinaten beider Punkte bekannt sind:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \mid \overrightarrow{AS}\mid=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}- \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-0\right)^2+(0-0)^2}&\\ =&\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+0^2}& \\ =&\sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}}&\\ =&\sqrt{1}\;=\;1& \\ \end{array}$
Damit gilt $\mid \overrightarrow{AS}\mid=1$ und wir können diese Bedingung im Folgenden weiterverwenden:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} 1 \;\stackrel{!}{=}\;\mid \overrightarrow{A^*S}\mid=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2+(0-t)^2}& \\ =&\sqrt{0^2+0^2+t^2}& \\ =&\sqrt{t^2}& \\ =&t& \\ \end{array}$
Damit muss $t=1$ gelten. Nun kannst du die Koordinaten des Punktes $A^*$ vollständig angeben: $ A^*(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 1)$
d)
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Koordinaten des Punktes $A''$
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Beim Faltvorgang erreicht das Papierviereck die Position OA''B''D. Die Koordinaten des Punktes $A''$ sind teilweise bekant mit:
$(x_1 \mid 1 \mid x_3)$.
Deine Aufgabe ist es, die vollständigen Koordinaten des Punktes $A''$ anzugeben.
In einem Aufgabenteil zuvor hast du eine Ebene $E$ ermittelt, in der sich der Halbkreis befindet, auf dem sich der Ausgangspunkt $A$ entlang bewegt. Diese Ebene hat die folgende Ebenengleichung:
$E:x_1+x_2=\sqrt{2}$
Daher muss auch der gesuchte Punkt $A''$ in dieser Ebene liegen. Das heißt, der Punkt $A''$ liegt auf der Schnittgeraden der Ebene $E$ und der Ebene $x_2=1$.
Weiterhin kannst du verwenden, dass sich durch das Falten der Punkt $A$ entlang eines Halbkreises um den Punkt $S$ bewegt und entlang dieses Halbkreises die Position $A''$ einnimmt. Das heißt, der Punkt $A$ hat den selben Abstand zum Punkt $S$ wie der gesuchte Punkt $A''$, es gilt also $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A''S}\mid$.
Du kann also wie folgt vorgehen, um die Koordinaten des Punktes $A''$ zu bestimmen:
  • Bestimme die Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $x_2\;=\;1$. (Dadurch erhältst du zunächst die erste Koordinate von $A''$).
  • Verwende, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A''S} \mid$ gilt, um die dritte Koordinate zu bestimmen.
1. Schritt: Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E''$ bestimmen
Die Schnittgerade erhältst du, indem du beide Ebenengleichungen in einem linearen Gleichungssystem auflöst.
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &x_2&\;=\;&1&&&&\\ Ⅱ &x_1+x_2&\;=\;&\sqrt{2}&&&&& \mid\; Ⅱ -Ⅰ \\ \hline Ⅰ &x_2&\;=\;&1&&&&\\ Ⅱ a&x_1&\;=\;&\sqrt{2}-1&&&&&\\ \end{array}$
Damit sind die $x_1$- und $x_2$-Koordinaten der Geradengleichung fest. Da über die $x_3$-Koordinate keine Aussage gemacht werden kann, kannst du für diese jeden beliebigen Wert einsetzen. Wir setzen also $x_3\;=\;t$ und erhalten die Gleichung der Schnittgeraden $h$ mit:
$ h:\overrightarrow{x}\;=\;t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$
Da der Punkt $A''$ auf der Schnittgeraden $h$ liegt, kannst du die Koordinaten des Punktes $A''$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ angeben mit:
$A''(0 \cdot t + \sqrt{2}-1 \mid 0 \cdot t + 1 \mid 1 \cdot t+ 0)\;=\;(\sqrt{2}-1 \mid 1 \mid t)$
2. Schritt: Verwenden, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A''S} \mid$ gelten muss
Offensichtlich ist nur noch die $x_3$-Koordinate vom Parameter $t$ abhängig. Einen passenden Wert für $t$ kannst du mit Hilfe der Bedingung $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A''S}\mid $ bestimmen.
Den Betrag $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ hast du bereits zuvor berechnet und es gilt $\mid \overrightarrow{AS}\mid=1$. Wir können diese Bedingung im Folgenden weiterverwenden:
$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} 1 \;\stackrel{!}{=}\;\mid \overrightarrow{A''S}\mid&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\left(\sqrt{2}-1\right)\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-1\right)^2+(0-t)^2}& \\ 1&\sqrt{\left(1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-1\right)^2+t^2}& \\ 1&\sqrt{t^2-2 \cdot \sqrt{2}+3}& \mid\; (…)^2 \\ 1&t^2-2 \cdot \sqrt{2}+3& \mid\; +2 \cdot \sqrt{2}-3 \\ 2 \cdot \sqrt{2}-2&t^2& \mid\; \sqrt{(…)} \\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2}&t& \\ \end{array}$
Damit muss $t=\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2}$ gelten. Nun kannst du die Koordinaten des Punktes $A''$ vollständig angeben: $A''(\sqrt{2}-1 \mid 1 \mid \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})\approx(0,414 \mid 1 \mid 0,910)$
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $OCA''$ gleichschenklig rechtwinklig ist
Zeige, dass das Dreieck $OCA''$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Rechtwinklig: Soll das Dreieck $OCA''$ rechtwinklig sein, so kannst du zeigen, dass das Skalarprodukt zweier Kantenvektoren gleich Null ist.
  • Gleichschenklig: Damit ein Dreieck gleichschenklig ist, müssen zwei Kanten gleich lang sein. Zeige also, dass der Betrag zweier Kantenvektoren übereinstimmt.
Zeigen, dass das Dreieck $OCA''$ rechtwinklig ist
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn zwei Kantenvektoren senkrecht aufeinander stehen. Ist das der Fall, so ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Gib zunächst die Kantenvektoren $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OA''}$ und $\overrightarrow{CA''}$ des Dreieck $OCA''$ an:
  • $\overrightarrow{OC}\;=\;\overrightarrow{C}-\overrightarrow{O}\;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
  • $\overrightarrow{OA''}\;=\;\overrightarrow{A''}-\overrightarrow{O}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}$
  • $\overrightarrow{CA''}\;=\;\overrightarrow{A''}-\overrightarrow{C}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}$
Berechne nun die Skalarprodukte $\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{OA''}$, $\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{CA''}$ und $\overrightarrow{CA''} \circ \overrightarrow{OA''}$:
  • $\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{OA''}\;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\;=\;0 \cdot (\sqrt{2}-1) + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})\;=\;1$
  • $\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{CA''}\;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix} \;=\; 0 \cdot (\sqrt{2}-1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})\;=\;0$
  • $\overrightarrow{CA''} \circ \overrightarrow{OA''}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\;=\; (\sqrt{2}-1)^2 +0 \cdot 1 + (\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})^2\;=\;1$
Damit ist das Skalarprodukt der Kantenvektoren $\overrightarrow{OC}$ und $\overrightarrow{CA''}$ gleich Null. Folglich ist das Dreieck $OCA''$ rechtwinklig.
Zeigen, dass das Dreieck $OCA''$ gleichschenklig ist
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei Kanten gleich lang sind. Berechne also die Beträge der Vektoren und überprüfe, ob das der Fall ist:
  • $\mid \overrightarrow{OC} \mid \;=\;\left| \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\right| \;=\; \sqrt{0^2 +1^2 +0^2} \;=\; 1$
  • $\overrightarrow{OA''}\;=\; \left| \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\right| \;=\; \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+1^2 +(\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})^2}\;=\;\sqrt{2}$
  • $\overrightarrow{CA''}\;=\;\left| \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\right| \;=\; \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+0^2 +(\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})^2}\;=\;1$
Damit sind die Kantenvektoren $\overrightarrow{OC}$ und $\overrightarrow{CA''}$ gleich lang. Folglich ist das Dreieck $OCA''$ gleichschenklig.
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