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Aufgabe 5

Aufgaben
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Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben:
Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit 0,6 angenommen, in den späteren Lebensjahren mit 0,8. Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit 0,5 Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen.
Die Vögel werden in drei Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen
$x_1:$ Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)
$x_2:$ Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)
$x_3:$ Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3)
durch jährliche Zählungen ermittelt und jeweils zu einer Verteilung 1$\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ zusammengefasst werden. Die Matrix $L=\begin{pmatrix}0&0&0,5\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}$ beschreibt dieses Modell.
1 Verteilungsvektoren werden der Einfachheit halber im Folgenden kurz „Verteilung“ genannt.
a)
Die aktuelle Zählung ergibt $x_1=2.000$, $x_2=4.000$, $x_3=15.000$.
  1. Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach zwei Jahren.
  2. Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe.
  3. Fünf Elemente der Matrix L haben den Wert Null.
    Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert Null hat.
(5P + 5P + 5P)
b)
  1. Sei $\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ die Verteilung in einem beliebigen Jahr und $L^2\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=L\cdot\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\x'_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x''_1\\x''_2\\x''_3\end{pmatrix}$ die Verteilung zwei Jahre danach.
    Zeigen Sie: $x''_1 \geq x''_2$.
    Begründen Sie nun: Schon ab dem 1. Jahr nach der aktuellen Zählung aus a) ist die Anzahl der Vögel der Altersgruppe 1 stets größer oder gleich der Anzahl der Vögel der Altersgruppe 2.
  2. Untersuchen Sie, ob es eine von $\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung gibt.
  3. Wenn sich die Population sehr lange nach dem durch die Matrix L beschriebenen Modell entwickelt, wird sie sich pro Jahr näherungsweise um einen festen Prozentsatz p verkleinern. Nach 20 Jahren wird sie noch aus insgesamt 17.870 Vögeln, nach weiteren 10 Jahren aus 15.422 Vögeln bestehen.
    Berechnen Sie anhand dieser Angaben einen Näherungswert für den Prozentsatz p.
  4. Durch Schutzmaßnahmen könnte – bei sonst gleichbleibenden Entwicklungsbedingungen – der Bruterfolg gegenüber der bisherigen Quote von 0,5 Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr erhöht werden.
    Ermitteln Sie, wie groß die Quote a des Bruterfolgs sein müsste, damit sich langfristig eine stationäre Verteilung $\vec{s}=\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ einstellen würde, und berechnen Sie den Anteil der 3 Altersgruppen an der Gesamtzahl der Vögel einer solchen stationären Verteilung.
    [ Zur Kontrolle: $a=\frac{5}{9}$]
(7P + 5P + 4P + 7P)
c)
Es wird vorgeschlagen, bei der Entwicklung der gegebenen Population von Seevögeln bei sonst identischen Modellannahmen vier Altersgruppen zu unterscheiden, deren Anzahlen ebenfalls bei jährlichen Zählungen ermittelt werden:
$v_1:$ Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)
$v_2:$ Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)
$v_3:$ Anzahl der Vögel im 3. Lebensjahr (Altersgruppe 3)
$v_4:$ Anzahl der Altvögel, die älter als 3 Jahre sind (Altersgruppe 4).
Geben Sie eine $4\times4-Matrix$ $L^*$ an, die diesem Modellierungsansatz entspricht.
(5P)\
d)
Die Entwicklung einer Population einer anderen Vogelart ist durch den folgenden Übergangsgraphen gegeben, wobei sich die Übergangsquoten wieder auf ein Jahr beziehen.
Aufgabe 5
Aufgabe 5
  1. Geben Sie dazu eine Übergangsmatrix M an.
  2. Beschreiben Sie anhand des Übergangsgraphen, nach welchen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrachteten Seevogelart abläuft.
(3P + 4P)
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Verteilung der Vögel nach einem und zwei Jahren berechnen
Deine Aufgabe ist es hier, die Verteilung der Vögel nach einem und nach zwei Jahren zu berechnen, wobei dir die aktuelle Verteilung gegeben ist mit:
$\overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2.000\\4.000\\15.000\end{pmatrix}$
Die Übergangsmatrix ist dir ebenfalls gegeben mit $L = \begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}$
Hierbei bietet sich die folgende Formel an, um die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ zu berechnen:
$\overrightarrow{x}_t = L \cdot \overrightarrow{x}_{t-1}$
Dort kannst du nun $L$, $\overrightarrow{x}$ für $\overrightarrow{x}_0$ und $t = 1$ bzw $t = 2$ einsetzen und erhältst so die Verteilung der Vögel nach ein bzw. zwei Jahren.
Dabei kannst du deinen GTR zu Hilfe nehmen oder auch handschriftlich rechnen.
a) (2)
$\blacktriangleright$ Verteilung für das Vorjahr berechnen
Nun sollst du die Verteilung für das Vorjahr berechnen. Also die Anzahl der verschiedenen Altersgruppen der Vögel zum Zeitpunkt $t = -1$. Hier kannst du wieder die Formel von oben anwenden, und zwar kennst du in diesem Fall den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x_0}$ und die Übergangsmatrix $L$ und du suchst den Verteilungsvektor
$\overrightarrow{x}_{-1} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$,
das heißt die Verteilung, sodass daraus ein Jahr später die Verteilung $\overrightarrow{x}_0$ entsteht.
Insgesamt suchst du also den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x}_{-1}$, der die folgende Gleichung erfüllt:
$ \overrightarrow{x}_0 = L \cdot \overrightarrow{x}_{-1}$
Setzt du dort die Informationen ein, so kannst du aus dieser Gleichung ein lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ gewinnen, welches du anschließend entweder mit dem GTR oder per Hand lösen kannst.
a) (3)
$\blacktriangleright$ Nullwerte der Matrix erklären
In diesem Aufgabenteil, sollst du für jedes Element der Matrix $L$, das den Wert Null hat, erklären, warum es eben diesen Wert hat. Am besten kannst du dabei schrittweise für jedes Element einzeln vorgehen.
Die folgenden Elemente der Matrix $L$ haben den Wert Null:
  • $l_{1,1}$
  • $l_{1,2}$
  • $l_{2,2}$
  • $l_{2,3}$
  • $l_{3,1}$
Das Element $l_{a,b}$ gibt dabei den Anteil der Vögel an, die im nächsten Jahr von Altersgruppe $b$ in Altersgruppe $a$ übergehen. Bei den Altvögeln bedeutet $l_{3,1} = 0,5$ beispielsweise, dass jeder Altvogel im Schnitt pro Jahr $0,5$ Nachkommen hat.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $x_1''\geq x_2''$ gilt
In dieser Aufgabe sind dir drei Verteilungen gegeben. $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ ist dabei die Verteilung in einem beliebigen Jahr. Die Verteilungen der beiden darauffolgenden Jahre sind dann gegeben durch:
$\overrightarrow{x'} = L\cdot \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}x_1'\\x_2'\\x_3'\end{pmatrix} $
$\overrightarrow{x''} = L^2\cdot \overrightarrow{x} = L \cdot \overrightarrow{x'} = \begin{pmatrix}x_1''\\x_2''\\x_3''\end{pmatrix} $
Du sollst nun zeigen, dass $x_1'' \geq x_2''$ gilt.
Dazu kannst du den Vektor $\overrightarrow{x''}$ „ausrechnen“. Stelle also $x_1''$, $x_2''$ und $x_3''$ jeweils in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ dar. Dann kannst du $x_1''$ und $x_2''$ gegenüberstellen.
Dabei kannst du entweder zuerst $x_1'$,$x_2'$ und $x_3'$ „berechnen“ , indem du diese in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ darstellst, und anschließend mit der Formel $ \overrightarrow{x''} = L \cdot \overrightarrow{x'}$ $\overrightarrow{x''}$ berechnen oder du berechnest $\overrightarrow{x''}$ über die Formel $\overrightarrow{x''} = L^2\cdot \overrightarrow{x}$.
b) (2)
$\blacktriangleright$ Auf stationäre Verteilungen untersuchen
Hier ist es deine Aufgabe, zu untersuchen, ob es eine von $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung gibt. Eine stationäre Verteilung ist eine Verteilung $\overrightarrow{x}_s$, sodass $\overrightarrow{x}_s = \overrightarrow{x}_{s+1} = \overrightarrow{x}_{s+2}$ usw. gilt. Das bedeutet, $\overrightarrow{x}_s$ muss die folgende Gleichung erfüllen:
$ \overrightarrow{x}_s= L \cdot \overrightarrow{x}_s$
Aus dieser Gleichung ergibt sich mit $\overrightarrow{x}_s = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ wieder ein lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Dieses kannst du dann wieder mit dem GTR oder auch handschriftlich lösen.
b) (3)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Nun sollst du den Prozentsatz $p$ näherungsweise berechnen, um den sich die Gesamtpopulation der Vögel jährlich verkleinert. Du hast dazu die Gesamtpopulation $g_t$ zu zwei Zeitpunkten $t =20$ und $t =30$ gegeben:
$g_{20} = 17.870\,\,\,\,\,\,$ $g_{30} = 15.422$
Wenn sich die Gesamtpopulation $g_t$ innerhalb eines Jahres um den Prozentsatz $p$ verkleinert, so bleibt ein Anteil von $1-p$ der Population erhalten. Also gilt aufgrund der Regeln der Prozentrechnung:
$g_{t+1} = (1-p)\cdot g_t$
Du kennst nun aber nicht zwei Werte, die nur ein Jahr auseinander liegen, sondern zwei Werte, die 10 Jahre auseinander liegen. Du suchst also eine Formel für $g_{t+10}$ in Abhängigkeit von $g_t$. Aus der obigen Formel kannst du solch eine Formel herleiten und anschließend mit Hilfe der gegebenen Werte eine Gleichung in Abhängigkeit von $p$ aufstellen und so anschließend $p$ berechnen.
1. Schritt: Formel aufstellen
Du weißt, dass $g_{t+1} = p\cdot g_t$ gilt. Das gleiche kannst du auch für $g_{t+2}$ formulieren:
$g_{t+2} = (1-p) \cdot g_{t+1}$
Dort kannst du nun wieder die Formel für $g_{t+1}$ einsetzen und erhältst:
$g_{t+2} = (1-p) \cdot g_{t+1} = (1-p) \cdot (1-p) \cdot g_t = (1-p)^2 \cdot g_t$
Daraus kannst du eine Formel für $g_{t+10}$ ableiten.
2. Schritt: Gleichung aufstellen und lösen
Setzt du nun die beiden Werte in die Formel ein, so erhältst du eine Gleichung, die du entweder handschriftlich oder auch mit Hilfe des GTR lösen kannst.
b) (4)
$\blacktriangleright$ Erforderliche Quote des Bruterfolgs berechnen
Im vorigen Aufgabenteil hast du gezeigt, dass mit der bisherigen Quote des Bruterfolgs, keine stationäre Verteilung existiert, die von $0$ verschieden ist. Hier sollst du nun eine neue Quote $a$ für den Bruterfolg berechnen, sodass es eine stationäre Verteilung
$\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ geben kann.
In der Matrix $L$ wird also $l_{3,1} = 0,5 $ durch $a$ ersetzt. Damit ergibt sich die neue Übergangsmatrix:
$L_a = \begin{pmatrix}0&0&a\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}$
Damit $\overrightarrow{s}$ stationär ist, muss gelten:
$L_a \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Aus dieser Gleichung ergibt sich ein lineares Gleichungssystem aus vier Unbekannten und drei Gleichungen. Weil hier mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden sind, kannst du dieses LGS lösen, indem du eine der Variablen als $t$ festlegst und dann alle Unbekannten in Abhängigkeit von $t$ darstellst. Hierzu kannst du beispielsweise $s_3 = t$ wählen. Da du eine Aussage über $a$ erhalten möchtest, wäre es nicht sehr sinnvoll dieses als $t$ festzulegen.
c)
$\blacktriangleright$ Matrix $L^{*}$ angeben
In diesem Aufgabenteil sollst du eine neue Matrix $L^*$ der Dimension $4 \times 4$ angeben. Diese Matrix soll den Modellierungsansatz beschreiben, bei dem die Population der Seevögel in vier statt drei Altersgruppen eingeteilt wird. Die übrigen Modellannahmen, wie z.B. Überlebensquoten und Bruterfolg sollen erhalten bleiben.
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Altersgruppe der Altvögel sozusagen noch einmal aufgeteilt wird. Es wird also zwischen die Altersgruppen 2 und 3 eine zusätzliche Altersgruppe „eingeschoben\grqq. Die Altersgruppen 1 und 2 bleiben also so erhalten, die Altersgruppe 3 beschreibt nun die Vögel im 3. Lebensjahr und die Altersgruppe 4 beschreibt nun die Altvögel, also alle Vögel, die älter als 3 Jahre sind.
Du musst nun also die Übergangsmatrix $L$ dahingehend modifizieren, dass eine Spalte und eine Zeile für die neue Altersgruppe eingefügt wird. Anschließend musst du noch die übrigen Einträge anpassen.
d)(1)
$\blacktriangleright$ Übergangsmatrix angeben
Hier hast du nun den Übergangsgraphen gegeben, der die Entwicklung einer zweiten Seevogelart beschreibt und sollst ausgehend davon eine zugehörige Übergangsmatrix $M$ angeben.
Überlege dir zunächst, wie viele Zeilen und spalten die Matrix $M$ haben muss. Anschließend kannst du dich um die Einträge von $M$ kümmern.
d) (2)
$\blacktriangleright$ Entwicklung der 2. Seevogelart im Vergleich zur 1. beschreiben
Die Beschreibung der Entwicklung der 1. Seevogelart ist dir bereits in der Einführung zur Aufgabe gegeben. Überlege dir hier nun zunächst mit Hilfe des Übergangsgraphen, wie die Entwicklung der 2. Seevogelart abläuft und ziehe anschließend den Vergleich zur 1. Seevogelart.
1. Schritt: Entwicklung der zweiten Seevogelart beschreiben
Betrachte dazu zunächst den allgemeinen Aufbau des Graphen, also die Anzahl der Knoten, die Beschriftung der Knoten usw. Anschließend kannst du die Details betrachten, indem du dir über die Bedeutung der einzelnen Pfeile nacheinander Gedanken machst.
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Lösungen TI
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Verteilung der Vögel nach einem und zwei Jahren berechnen
Deine Aufgabe ist es hier, die Verteilung der Vögel nach einem und nach zwei Jahren zu berechnen, wobei dir die aktuelle Verteilung gegeben ist mit:
$\overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2.000\\4.000\\15.000\end{pmatrix}$
Die Übergangsmatrix ist dir ebenfalls gegeben mit $L = \begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}$
Hierbei bietet sich die folgende Formel an, um die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ zu berechnen:
$\overrightarrow{x}_t = L \cdot \overrightarrow{x}_{t-1}$
Dort kannst du nun $L$, $\overrightarrow{x}$ für $\overrightarrow{x}_0$ und $t = 1$ bzw $t = 2$ einsetzen und erhältst so die Verteilung der Vögel nach ein bzw. zwei Jahren.
Dabei kannst du deinen GTR zu Hilfe nehmen oder auch handschriftlich rechnen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Hierbei kannst du zunächst die Verteilung nach einem Jahr berechnen und diese zur Berechnung der Verteilung im zweiten Jahr wieder verwenden:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x}_1=&L\cdot \overrightarrow{x}_0&einsetzen \\ =&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2.000\\4.000\\15.000\end{pmatrix}& \color{yellowgreen}{\text{Matrix-Vektor-Multiplikation}} \\ =&\begin{pmatrix}0 \cdot 2.000 + 0 \cdot 4.000 + 0,5 \cdot 15.000 \\ 0,6 \cdot 2.000 + 0 \cdot 4.000 + 0 \cdot 15.000\\ 0 \cdot 2.000 +0,6 \cdot 4.000 +0,8 \cdot 15.000\end{pmatrix}&\\ =&\begin{pmatrix}7.500\\1.200\\14.400\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Nach einem Jahr sind $7.500$ Jungvögel, $1.200$ Vögel im 2. Lebensjahr und $14.400$ Altvögel vorhanden.
Nun kennst du $\overrightarrow{x}_1$ und kannst damit $\overrightarrow{x}_2$ berechnen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x}_2=&L \cdot \overrightarrow{x}_1&einsetzen \\ =&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}7.500\\1.200\\14.400\end{pmatrix}& \color{yellowgreen}{\text{Matrix-Vektor-Multiplikation}}\\ =&\begin{pmatrix}0\cdot 7.500 + 0 \cdot 1.200 + 0,5\cdot14.400\\ 0,6\cdot7.500 +0\cdot 1.200 + 0\cdot 14.400\\ 0 \cdot 7.500 + 0,6 \cdot 1.200 + 0,8 \cdot 14.400\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}7.200\\4.500\\12.240\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Nach zwei Jahren sind $7.200$ Jungvögel, $4.500$ Vögel im zweiten Lebensjahr und $12.240$ Altvögel vorhanden.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Mit dem GTR kannst du hier am besten arbeiten, indem du zunächst die Übergangsmatrix $L$ unter der Bezeichnung $A$ speicherst. Dies kannst du im Rechenmenü tun. Wähle dazu 2ND $\to$ x$^{-1}$(MATRIX) $\to$ EDIT und wähle die Bezeichnung $A$ aus. Anschließend musst du zunächst die Dimension der Matrix (3 x 3) und anschließend die Matrixeinträge eingeben. Verlasse das Matrixmenü anschließend wieder. Das gleiche kannst du mit dem Verteilungsvektor $\overrightarrow{x}_0$ tun und ihn unter $B$ abspeichern. Dieser hat die Dimension 3 x 1.
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Dann kannst du anschließend $\overrightarrow{x}_1$ berechnen, indem du die Matrix bzw. den Vektor wieder aufrufst. Unter
2ND $\to$ x$^{-1}$(MATRIX) $\to$ NAMES
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x_1}=& L \cdot \overrightarrow{x_0}&\text{GTR} \\ &\begin{pmatrix}7.500\\1.200\\14.400\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Nach einem Jahr sind $7.500$ Jungvögel, $1.200$ Vögel im 2. Lebensjahr und $14.400$ Altvögel vorhanden.
Genauso kannst du nun auch die Verteilung nach zwei Jahren berechnen, indem du den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x_1}$ als C speicherst:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x}_2=&L \cdot \overrightarrow{x}_1&\text{GTR} \\ =&\begin{pmatrix}7.200 \\ 4.500 \\ 12.240\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Nach zwei Jahren sind $7.200$ Jungvögel, $4.500$ Vögel im zweiten Lebensjahr und $12.240$ Altvögel vorhanden.
a) (2)
$\blacktriangleright$ Verteilung für das Vorjahr berechnen
Nun sollst du die Verteilung für das Vorjahr berechnen. Also die Anzahl der verschiedenen Altersgruppen der Vögel zum Zeitpunkt $t = -1$. Hier kannst du wieder die Formel von oben anwenden, und zwar kennst du in diesem Fall den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x_0}$ und die Übergangsmatrix $L$ und du suchst den Verteilungsvektor
$\overrightarrow{x}_{-1} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$,
das heißt die Verteilung, sodass daraus ein Jahr später die Verteilung $\overrightarrow{x}_0$ entsteht.
Insgesamt suchst du also den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x}_{-1}$, der die folgende Gleichung erfüllt:
$ \overrightarrow{x}_0 = L \cdot \overrightarrow{x}_{-1}$
Setzt du dort die Informationen ein, so kannst du aus dieser Gleichung ein lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ gewinnen, welches du anschließend entweder mit dem GTR oder per Hand lösen kannst.
1. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen
Setzt du $L$ und $\overrightarrow{x}_0$ in die Gleichung ein, so erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{pmatrix}2.000\\4.000\\15.000\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$
Dort kannst du nun jede „Zeile“ einzeln ablesen. Dann erhältst du das folgende lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&2.000&=&0\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+&0,5 \cdot x_3\\ (2)&4.000&=&0,6 \cdot x_1 &+&0 \cdot x_2&+&0 \cdot x_3&\\ (3)&15.000&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+&0,8\cdot x_3&\\ \end{array}$
2. Schritt: Gleichungssystem lösen
Hier hast du auch wieder zwei Möglichkeiten, entweder du löst das LGS mit Hilfe des GTR oder handschriftlich.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Du kannst schnell erkennen, dass die erste und zweite Gleichung des LGS jeweils von nur einer Variablen abhängen. Außerdem weißt du, dass du aus einer Gleichung mit einer Variablen die Lösung für die Variablen direkt bestimmen kannst.
Du kannst hier also wie folgt vorgehen:
  • Löse (1) nach $x_3$ und bestimme so die Lösung für $x_3$
  • Löse (2) nach $x_1$ und bestimme so die Lösung für $x_1$
  • Setze die Lösungen aus den ersten beiden Schritten in (3) ein und bestimme die Lösung für $x_2$ durch Umformen von (3)
Beginnst du mit der ersten Gleichung, so erhältst du:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2.000=&0,5\cdot x_3&\mid\; : 0,5\\ 4.000=&x_3&\\ \end{array}$
Aus der zweiten Gleichung erhältst du:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 4.000=&0,6\cdot x_1&\mid\; : 0,6 \\ \frac{20.000}{3}=&x_1&runden \\ x_1 \approx&6.667&\\ \end{array}$
Setzt du dies nun in (3) ein, so kannst du nach $x_2$ auflösen:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 15.000=&0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot x_3&einsetzen \\ 15.000=&0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot 4.000& \\ 15.000=&0,6\cdot x_2 + 3.200&\mid\; -3.200 \\ 11.800=&0,6\cdot x_2&\mid\; : 0,6 \\ \frac{59.000}{3}&=x_2&runden \\ x_2\approx&19.667& \\ \end{array}$
Aus dem Modell ergäbe sich die folgende Verteilung für das Vorjahr:
Es waren ca. 6.667 Jungvögel, 19.667 Vögel im 2. Lebensjahr und 4.000 Altvögel vorhanden.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Mit dem GTR kannst du das LGS lösen, indem du die Koeffizienten als Einträge einer Matrix auffasst. Es ergibt sich die folgende Matrix:
$D = \begin{pmatrix}0&0&0,5&2.000\\0,6&0&0&4.000\\0&0,6&0,8&15.000\end{pmatrix}$
Diese kannst du wie zuvor zunächst eingeben und abspeichern. Verlasse das Matrixmenü anschließend wieder.
Dann kannst du die Matrix $D$ mit dem rref-Befehl so umformen, dass sie dir die Lösungen anzeigt. Den Befehl findest du unter
2ND $\to$ x$^{-1}$(MATRIX) $\to$ MATH $\to $ B: rref( .
Rufe dazu die Matrix $D$ in der Klammer hinter dem Befehl wieder so auf wie zuvor.
Bestätigst du anschließend mit ENTER, so erhältst du die folgende Matrix als Ergebnis:
$\begin{pmatrix}1&0&0&6.666,667\\0&1&0&19.666,667\\0&0&1&4.000\end{pmatrix}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Daraus kannst du die Ergebnisse ablesen und erhältst:
$x_1\approx 6.667$, $x_2 \approx 19.667$, $x_3=4.000$
Aus dem Modell ergäbe sich die folgende Verteilung für das Vorjahr:
Es waren ca. 6.667 Jungvögel, 19.667 Vögel im 2. Lebensjahr und 4.000 Altvögel vorhanden.
a) (3)
$\blacktriangleright$ Nullwerte der Matrix erklären
In diesem Aufgabenteil, sollst du für jedes Element der Matrix $L$, das den Wert Null hat, erklären, warum es eben diesen Wert hat. Am besten kannst du dabei schrittweise für jedes Element einzeln vorgehen.
Die folgenden Elemente der Matrix $L$ haben den Wert Null:
  • $l_{1,1}$
  • $l_{1,2}$
  • $l_{2,2}$
  • $l_{2,3}$
  • $l_{3,1}$
Das Element $l_{a,b}$ gibt dabei den Anteil der Vögel an, die im nächsten Jahr von Altersgruppe $b$ in Altersgruppe $a$ übergehen. Bei den Altvögeln bedeutet $l_{3,1} = 0,5$ beispielsweise, dass jeder Altvogel im Schnitt pro Jahr $0,5$ Nachkommen hat.
Erklärung für $l_{1,1}$
Das erste Element $l_{1,1}$ beschreibt den Anteil der Vögel, die nach einem Jahr vom Stadium $1$ immer noch im Stadium $1$ bleiben. Da $1$ aber das Stadium der Vögel im ersten Lebensjahr bezeichnet, ist dieser Wert Null, weil ein Vogel nicht zwei Jahre hintereinander im 1. Lebensjahr sein kann.
Erklärung für $l_{1,2}$
$l_{1,2}$ beschreibt den Anteil der Vögel, die von der Altersgruppe $2$ in die Altersgruppe $1$ übergehen. Für einen solchen Übergang müsste folgendes passieren:
  • Ein Vogel, der im zweiten Lebensjahr ist, ist ein Jahr später wieder im ersten Lebensjahr oder
  • Ein Vogel im zweiten Lebensjahr zeugt Nachkommen
Ersteres ist unmöglich und letzteres auch, da du der Aufgabenstellung entnehmen kannst, dass die Seevögel zum ersten mal im dritten Lebensjahr brüten.
Erklärung für $l_{2,2}$
$l_{2,2}$ hat aus ähnlichen Gründen den Wert Null, wie $l_{1,1}$. Nach einem Jahr ist jeder Vogel entweder ein Jahr älter oder gestorben. Ist er vorher in Altersgruppe $2$, also im zweiten Lebensjahr, so kann er im nächsten Jahr nicht noch einmal in Altergruppe $2$ sein. Daher hat $l_{2,2}$ den Wert Null.
Erklärung für $l_{2,3}$
Hierbei verläuft die Erklärung analog zu $l_{1,2}$. $l_{2,3}$ beschreibt den Anteil der Vögel, die von Altersgruppe $3$ nach einem Jahr zurück in Altersgruppe $2$ übergeht. Dies würde aber bedeuten, dass ein Vogel vom dritten Lebensjahr, ein Jahr später im 2. Lebensjahr wäre. Dies ist unmöglich. Nachkommen, die nach einem Jahr bereits das zweite Lebensjahr erreicht haben, kann ein Altvogel auch nicht produzieren. Daher hat $l_{2,3}$ den Wert Null.
Erklärung für $l_{3,1}$
$l_{3,1}$ beschreibt den Anteil der Vögel aus Altersgruppe $1$, die nach einem Jahr Altersgruppe $2$ angehören. Da dies aber bedeuten würde, dass ein Vogel das zweite Lebensjahr überspringen würde, ist dies unmöglich. Daher ist $l_{3,1} = 0$.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $x_1''\geq x_2''$ gilt
In dieser Aufgabe sind dir drei Verteilungen gegeben. $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ ist dabei die Verteilung in einem beliebigen Jahr. Die Verteilungen der beiden darauffolgenden Jahre sind dann gegeben durch:
$\overrightarrow{x'} = L\cdot \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}x_1'\\x_2'\\x_3'\end{pmatrix} $
$\overrightarrow{x''} = L^2\cdot \overrightarrow{x} = L \cdot \overrightarrow{x'} = \begin{pmatrix}x_1''\\x_2''\\x_3''\end{pmatrix} $
Du sollst nun zeigen, dass $x_1'' \geq x_2''$ gilt.
Dazu kannst du den Vektor $\overrightarrow{x''}$ „ausrechnen“. Stelle also $x_1''$, $x_2''$ und $x_3''$ jeweils in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ dar. Dann kannst du $x_1''$ und $x_2''$ gegenüberstellen.
Dabei kannst du entweder zuerst $x_1'$,$x_2'$ und $x_3'$ „berechnen“ , indem du diese in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ darstellst, und anschließend mit der Formel $ \overrightarrow{x''} = L \cdot \overrightarrow{x'}$ $\overrightarrow{x''}$ berechnen oder du berechnest $\overrightarrow{x''}$ über die Formel $\overrightarrow{x''} = L^2\cdot \overrightarrow{x}$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Berechnung von $\overrightarrow{x''}$ über $\overrightarrow{x'}$
Berechnest du zu erst $\overrightarrow{x'}$, so ergibt sich:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x'}=&L\cdot \overrightarrow{x}&einsetzen \\ =&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}0,5\cdot x_3\\0,6\cdot x_1\\0,6\cdot x_2+0,8\cdot x_3\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Damit ist: $x_1' = 0,5\cdot x_3$, $x_2' = 0,6\cdot x_1$, $x_3' = 0,6\cdot x_2 + 0,8\cdot x_3$
Dies kannst du nun in die Berechnung von $\overrightarrow{x''}$ einsetzen und erhältst:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x''}=&L\cdot\overrightarrow{x'}& \\ =&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0,5\cdot x_3\\0,6\cdot x_1\\0,6\cdot x_2+0,8\cdot x_3\end{pmatrix} & \\ =&\begin{pmatrix}0,5\cdot(0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot x_3)\\0,6\cdot(0,5\cdot x_3)\\0,6\cdot(0,6\cdot x_1)+0,8\cdot(0,6\cdot x_2+0,8\cdot x_3)\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}0,3\cdot x_2 + 0,4\cdot x_3\\ 0,3\cdot x_3\\ 0,36\cdot x_1 + 0,48\cdot x_2 + 0,64\cdot x_3\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Demnach ist also $x_1'' = 0,3\cdot x_2 + 0,4\cdot x_3$, $x_2'' = 0,3\cdot x_3$ und $x_3'' = 0,36\cdot x_1 + 0,48\cdot x_2 + 0,64\cdot x_3$. Da $x_1$, $x_2$ und $x_3$ immer größer oder gleich Null sind (es kann keine negativen Anzahlen an Vögeln geben), ist in jedem Fall:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 0,3\cdot x_2 + 0,4\cdot x_3 \geq &0,3\cdot x_3&\\ x_1'' \geq& x_2''&\\ \end{array}$
Damit ist die Behauptung bewiesen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Berechnung von $\overrightarrow{x''}$ mit $L^2$
Berechnest du $\overrightarrow{x''}$ mit Hilfe folgender Formel,
$\overrightarrow{x''} = L^2\cdot \overrightarrow{x}$
so kannst du sehen, dass du hierfür zuerst die Matrix $L$ quadrieren musst.
Für diese Nebenrechnung gibt es wieder zwei Möglichkeiten: Du kannst $L^2$ handschriftlich oder auch mit dem GTR berechnen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Berechnest du $L^2$ handschriftlich, so musst du eine Matrix-Matrix-Multiplikation ausführen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} L^2=&L\cdot L& \\ =&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0&0&0,5\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}0\cdot 0 +0\cdot 0,6 + 0,5\cdot 0&0\cdot + 0\cdot 0 +0,5\cdot 0,6 & 0\cdot 0,5 +0\cdot 0 +0,5\cdot 0,8\\0,6\cdot 0 + 0\cdot 0,6 + 0\cdot 0&0,6\cdot 0 + 0\cdot 0 +0 \cdot 0,6 & 0,6\cdot 0,5 + 0\cdot 0 +0 \cdot 0,8 \\ 0\cdot 0 +0,6\cdot 0,6 +0,8 \cdot 0 & 0\cdot0 + 0,6\cdot 0 +0,8\cdot 0,6 & 0\cdot 0,5 + 0,6\cdot 0 + 0,8\cdot 0,8\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}0&0,3&0,4 \\ 0&0&0,3\\0,36&0,48&0,64\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
$L^2$ kannst du wie in Aufgabenteil a) mit dem GTR berechnen. Dann erhältst du das Ergebnis:
$L^2 = \begin{pmatrix}0&0,3&0,4 \\ 0&0&0,3\\0,36&0,48&0,64\end{pmatrix}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Nun kannst du $\overrightarrow{x''} = L^2\cdot \overrightarrow{x}$ berechnen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x''}&L^2\cdot \overrightarrow{x}& \\ =&\begin{pmatrix}0&0,3&0,4 \\ 0&0&0,3\\0,36&0,48&0,64\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}0,3\cdot x_2 +0,4\cdot x_3\\ 0,3\cdot x_3\\ 0,36\cdot x_1 +0,48\cdot x_2 + 0,64\cdot x_3\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Damit ist also $x_1'' = 0,3\cdot x_2 + 0,4\cdot x_3$, $x_2'' = 0,3\cdot x_3$ und $x_3'' = 0,36\cdot x_1 + 0,48\cdot x_2 + 0,64\cdot x_3$. Da $x_1$, $x_2$ und $x_3$ immer größer oder gleich Null sind (es kann keine negativen Anzahlen an Vögeln geben), ist in jedem Fall:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 0,3\cdot x_2 + 0,4\cdot x_3 \geq &0,3\cdot x_3&\\ x_1'' \geq& x_2''&\\ \end{array}$
Damit ist die Behauptung bewiesen.
$\blacktriangleright$ Begründen, warum die Behauptung schon ab dem ersten Jahr gilt
Oben hast du gezeigt, dass, unabhängig von der Startverteilung, nach zwei Jahren immer $x_1''\geq x_2''$ gilt. Das bedeutet, du hast gezeigt, dass nach zwei Jahren, unabhängig von der Anfangspopulation, mindestens so viele Vögel der Altersgruppe 1 vorhanden sind wie in der Altersgruppe 2.
Daher gilt dies auch für die Verteilung im Vorjahr, die du in Aufgabenteil a) (2) berechnet hast. Betrachtest du diese Verteilung als Startverteilung $\overrightarrow{x}$, so entspricht die Verteilung der aktuellen Zählung $\overrightarrow{x'}$ und die Verteilung ein Jahr nach der aktuellen Zählung $\overrightarrow{x''}$ aus dem obigen Beweis. Daher sind im ersten Jahr nach der aktuellen Zählung mindestens so viele Vögel in Altersgruppe 1 wie in Altersgruppe 2 vorhanden.
Setzt man dann die aktuelle Verteilung als $\overrightarrow{x}$, so erhält man de Behauptung für die Verteilung zwei Jahre nach der aktuellen Zählung usw. Aus diesem Grund sind ab dem ersten Jahr nach der aktuellen Verteilung immer mindestens so viele Vögel in Altersgruppe 1 wie in Altersgruppe 2 vorhanden.
b) (2)
$\blacktriangleright$ Auf stationäre Verteilungen untersuchen
Hier ist es deine Aufgabe, zu untersuchen, ob es eine von $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung gibt. Eine stationäre Verteilung ist eine Verteilung $\overrightarrow{x}_s$, sodass $\overrightarrow{x}_s = \overrightarrow{x}_{s+1} = \overrightarrow{x}_{s+2}$ usw. gilt. Das bedeutet, $\overrightarrow{x}_s$ muss die folgende Gleichung erfüllen:
$ \overrightarrow{x}_s= L \cdot \overrightarrow{x}_s$
Aus dieser Gleichung ergibt sich mit $\overrightarrow{x}_s = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ wieder ein lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Dieses kannst du dann wieder mit dem GTR oder auch handschriftlich lösen.
1. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen
Das lineare Gleichungssystem kannst du wieder wie in Aufgabenteil a) (2) aufstellen, indem du die Matrix und den Vektor miteinander multiplizierst und anschließend jede „Zeile“ einzeln abliest:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x_s}=&L \cdot \overrightarrow{x_s}&einsetzen\\ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=& \begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=& \color{yellowgreen}{\text{Matrix-Vektor-Multiplikation}} \\ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}0\cdot x_1 +0\cdot x_2 + 0,5 \cdot x_3\\ 0,6\cdot x_1+ 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3\\0\cdot x_1 +0,6 \cdot x_2 +0,8\cdot x_3\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Daraus ergibt sich dann das folgende LGS:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&x_1&=&0\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+& 0,5\cdot x_3\\ (2)&x_2&=&0,6\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+&0\cdot x_3\\ (3)&x_3&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+& 0,8\cdot x_3\\ \end{array}$
2. Schritt: Gleichungssystem lösen
Das LGS kannst du nun handschriftlich oder mit dem GTR lösen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Hier kannst du mit dem Einsetzungsverfahren arbeiten. Wie du siehst, hast du $x_1$ in Abhängigkeit von $x_3$ dargestellt und $x_2$ in Abhängigkeit von $x_1$. Setzt du nun $x_1 = 0,5\cdot x_3$ in (2) ein, so erhältst du $x_2$ ebenfalls in Abhängigkeit von $x_3$. Dann kannst du diese Darstellungsweisen von $x_1$ und $x_2$ in (3) einsetzen, die dann nur noch von $x_3$ abhängt. So kannst du eine Lösung für $x_3$ bestimmen und anschließend die Lösungen für $x_2$ und $x_1$.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (2) x_2=&0,6\cdot x_1&x_1 = 0,5\cdot x_3 \\ x_2=&0,6\cdot 0,5\cdot x_3& \\ (2a) x_2=&0,3\cdot x_3&\\ \end{array}$
Setzt du nun $x_1 = 0,5\cdot x_3$ und $x_2 = 0,3\cdot x_3$ in (3) ein, so erhältst du:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x_3=&0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot x_3& \\ x_3=&0,6\cdot 0,3\cdot x_3 + 0,8 \cdot x_3&\\ x_3=&0,98\cdot x_3& \\ x_3=&0&\\ \end{array}$
Mit $x_3 = 0$ ergibt sich für $x_1$ und $x_2$:
$x_1 = 0,5\cdot x_3 = 0,5\cdot 0 = 0\,\,\,$ $x_2 = 0,3\cdot x_3 = 0,3\cdot 0 = 0$
Damit wäre also $\overrightarrow{x}_s = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, was der Voraussetzung widerspricht.
Es existiert keine stationäre Verteilung außer $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Um das LGS wie zuvor mit dem GTR zu lösen, musst du zunächst alle $x$ auf eine Seite bringen. Dann wird aus
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&x_1&=&0\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+& 0,5\cdot x_3&\mid\; \text{Rechne: }- x_1 \\ (2)&x_2&=&0,6\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+&0\cdot x_3&\mid\; \text{Rechne: }- x_2\\ (3)&x_3&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+& 0,8\cdot x_3&\mid\; \text{Rechne:}- x_3\\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1a)&0&=&(-1)\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+& 0,5\cdot x_3\\ (2a)&0&=&0,6\cdot x_1&+&(-1)\cdot x_2&+&0\cdot x_3\\ (3a)&0&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+& (-0,2)\cdot x_3\\ \end{array}$
Fasst du nun die Koeffizienten wieder als Einträge einer Matrix auf und wendest auf diese Matrix den rref-Befehl (diesen kennst du bereits aus Aufgabenteil a) ) des GTR an, so erhältst du:
$\overrightarrow{x}_s = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Damit existiert keine stationäre Verteilung außer $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.
b) (3)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Nun sollst du den Prozentsatz $p$ näherungsweise berechnen, um den sich die Gesamtpopulation der Vögel jährlich verkleinert. Du hast dazu die Gesamtpopulation $g_t$ zu zwei Zeitpunkten $t =20$ und $t =30$ gegeben:
$g_{20} = 17.870\,\,\,\,\,\,$ $g_{30} = 15.422$
Wenn sich die Gesamtpopulation $g_t$ innerhalb eines Jahres um den Prozentsatz $p$ verkleinert, so bleibt ein Anteil von $1-p$ der Population erhalten. Also gilt aufgrund der Regeln der Prozentrechnung:
$g_{t+1} = (1-p)\cdot g_t$
Du kennst nun aber nicht zwei Werte, die nur ein Jahr auseinander liegen, sondern zwei Werte, die 10 Jahre auseinander liegen. Du suchst also eine Formel für $g_{t+10}$ in Abhängigkeit von $g_t$. Aus der obigen Formel kannst du solch eine Formel herleiten und anschließend mit Hilfe der gegebenen Werte eine Gleichung in Abhängigkeit von $p$ aufstellen und so anschließend $p$ berechnen.
1. Schritt: Formel aufstellen
Du weißt, dass $g_{t+1} = p\cdot g_t$ gilt. Das gleiche kannst du auch für $g_{t+2}$ formulieren:
$g_{t+2} = (1-p) \cdot g_{t+1}$
Dort kannst du nun wieder die Formel für $g_{t+1}$ einsetzen und erhältst:
$g_{t+2} = (1-p) \cdot g_{t+1} = (1-p) \cdot (1-p) \cdot g_t = (1-p)^2 \cdot g_t$
Du kannst folgendes erkennen: Setzt du dies immer weiter fort, bis du $g_{t+10}$ erhältst so kommt jedes mal einmal der Faktor $1-p$ hinzu:
$g_{t+10} = (1-p)^{10} \cdot g_t$
2. Schritt: Gleichung aufstellen und lösen
Setzt du nun die beiden Werte in die Formel ein, so erhältst du die folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} g_{t+10}=&(1-p)^{10} \cdot g_t& \\ g_{30}=&(1-p)^{10}\cdot g_{20}&\\ 15.422=&(1-p)^{10} \cdot 17.870& \\ \end{array}$
Diese Gleichung kannst du nun entweder handschriftlich oder auch mit Hilfe des GTR lösen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 15.422 =&(1-p)^{10} \cdot 17.870&\mid\; : 17.870 \\ 0,86301\approx&(1-p)^{10}&\mid\; \sqrt[10]{\quad}\\ 0,98538\approx&1-p&\mid\; -1\\ -0,01462\approx&-p&\mid\; \cdot (-1)\\ 0,01462\approx&p&\\ 1,462\,\%\approx&p&\\ \end{array}$
Die Gesamtpopulation der Seevögel reduziert sich jährlich um einen Prozentsatz von $1,462\,\%$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Mit dem GTR kannst du die Gleichung lösen, indem du diese in ein Nullstellenproblem umformst:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 15.422&(1-p)^{10} \cdot 17.870&\mid\; - 15.422 \\ 0&(1-p)^{10} \cdot 17.870- 15.422 & \\ \end{array}$
Den rechten Teil der Gleichung kannst du nun als Funktionsterm einer Funktion $g$ in Abhängigkeit von $p$ auffassen. Bestimmst du mit Hilfe des Graph-Menüs des GTR nun wie zuvor die Nullstellen der Funktion $g$, so erhältst du die Lösung: $p \approx 0,01462$.
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Die Gesamtpopulation der Seevögel reduziert sich jährlich um einen Prozentsatz von $1,462\,\%$.
b) (4)
$\blacktriangleright$ Erforderliche Quote des Bruterfolgs berechnen
Im vorigen Aufgabenteil hast du gezeigt, dass mit der bisherigen Quote des Bruterfolgs, keine stationäre Verteilung existiert, die von $0$ verschieden ist. Hier sollst du nun eine neue Quote $a$ für den Bruterfolg berechnen, sodass es eine stationäre Verteilung
$\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ geben kann.
In der Matrix $L$ wird also $l_{3,1} = 0,5 $ durch $a$ ersetzt. Damit ergibt sich die neue Übergangsmatrix:
$L_a = \begin{pmatrix}0&0&a\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}$
Damit $\overrightarrow{s}$ stationär ist, muss gelten:
$L_a \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Aus dieser Gleichung ergibt sich ein lineares Gleichungssystem aus vier Unbekannten und drei Gleichungen. Weil hier mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden sind, kannst du dieses LGS lösen, indem du eine der Variablen als $t$ festlegst und dann alle Unbekannten in Abhängigkeit von $t$ darstellst. Hierzu kannst du beispielsweise $s_3 = t$ wählen. Da du eine Aussage über $a$ erhalten möchtest, wäre es nicht sehr sinnvoll dieses als $t$ festzulegen.
1. Schritt: Gleichungssystem aufstellen
Wenn du die obige Gleichung ausmultiplizierst, erhältst du:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} L_a \cdot \overrightarrow{s}& \overrightarrow{s}& \\ \begin{pmatrix}0&0&a\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}& \\ \begin{pmatrix}a\cdot s_3\\0,6\cdot s_1\\0,6\cdot s_2 + 0,8\cdot s_3\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Liest du daraus nun wieder jede „Zeile “ einzeln ab, so erhältst du folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&s_1&=&0&+&0&+&a\cdot s_3\\ (2)&s_2&=&0,6\cdot s_1&+&0&+&0\\ (3)&s_3&=&0&+&0,6\cdot s_2&+&0,8\cdot s_3\\ \end{array}$
2. Schritt: Gleichungssystem lösen
Wie oben beschrieben, kannst du nun beispielsweise $s_3 = t$ setzen und die anderen Variablen durch Einsetzen in Abhängigkeit von t darstellen. Anschließend musst du noch überprüfen, ob die dritte Gleichung (3) so ebenfalls erfüllt ist, indem du dort die neue Darstellung von $s_1$ und $s_2$ einsetzt. Setzt du also nun $s_3 = t$ und ersetzt dies überall im LGS, so erhältst du:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1a)&s_1&=&a\cdot t\\ (2)&s_2&=&0,6\cdot s_1\\ (3a)&s_3&=&t\\ \end{array}$
Nun kannst du $s_1$ in (2) einsetzen, so erhältst du eine Darstellung von $s_2$ in Abhängigkeit von $t$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (2)\, s_2 =&0,6\cdot s_1&s_1 = a\cdot t \\ (2a)\, s_2=&0,6\cdot a\cdot t& \\ \end{array}$
Da $s_3$ = $t$ aber auch gleichzeitig noch die Originalgleichung (3) $s_3$ = $0,6\cdot s_2 + 0,8 \cdot s_3$ erfüllt sein müssen, muss auch $t$ =$0,6\cdot s_2 + 0,8 \cdot s_3$ gelten. Hiermit kannst du nun prüfen, ob es überhaupt eine stationäre Verteilung geben kann und gegebenenfalls $a$ berechnen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} t=&0,6\cdot s_2 + 0,8 \cdot s_3&s_3 =t; s_2 =0,6\cdot a\cdot t \\ t=&0,6\cdot 0,6\cdot a\cdot t +0,8 \cdot t&\mid\; : t \text{(weil}\, t\neq 0\, \text{gelten muss, sonst wäre} \, s_1 = s_2 = s_3 = 0)\\ 1=&0,6\cdot 0,6\cdot a + 0,8&\mid\; -0,8\\ 0,2=&0,36\cdot a&\mid\; : 0,36 \\ \frac{5}{9}=&a&\\ \end{array}$
Mit $a = \frac{5}{9}$ kann es eine stationäre Verteilung $\overrightarrow{s}$ geben.
$\blacktriangleright$ Anteile der Altersgruppen an der Gesamtzahl berechnen
Oben hast du die stationäre Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}$ in Abhängigkeit von $t$ und $a$ dargestellt. $a$ hast du berechnet. Nun kannst du $\overrightarrow{s}$ in Abhängigkeit von $t$ darstellen und anschließend zuerst die Gesamtzahl $g_t$ der Vögel berechnen. Dann kannst du mit der Formel
$p_i = \dfrac{s_i}{g_t}$
den Anteil $p_i$ der Altersgruppe $i$ an der Gesamtzahl der Vögel berechnen.
Mit $a = \frac{5}{9}$ ergibt sich $\overrightarrow{s}$ mit den vorigen Ergebnissen als:
$\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a\cdot t \\ 0,6\cdot a\cdot t \\ t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{5}{9}\cdot t \\ \frac{1}{3}\cdot t\\ t\end{pmatrix}$
Die Gesamtpopulation ergibt sich dann als die Summe der Anzahl der Vögel jeder Altersgruppe:
$g_t = s_1 +s_2 +s_3 = \frac{5}{9}\cdot t + \frac{1}{3}\cdot t + t = \frac{17}{9}\cdot t $
Damit kannst du nun die Anteile der einzelnen Altersgruppen berechnen:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} p_1 =&\dfrac{s_1}{g_t}&\text{einsetzen} \\ =&\dfrac{t\cdot \frac{5}{9}}{t\cdot\frac{17}{9}}&\text{kürzen} \\ =&\dfrac{5}{17}&\\ \approx&29,4\,\%& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} p_2 =&\dfrac{s_2}{g_t}&\text{einsetzen} \\ =&\dfrac{t\cdot \frac{1}{3}}{t\cdot\frac{17}{9}}&\text{kürzen} \\ =&\dfrac{3}{17}&\\ \approx&17,6\,\%\,\%& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} p_3 =&\dfrac{s_3}{g_t}&\text{einsetzen} \\ =&\dfrac{t\cdot 1}{t\cdot\frac{17}{9}}&\text{kürzen} \\ =&\dfrac{9}{17}&\\ \approx&52,9\,\%\,\%& \\ \end{array}$
Die prozentualen Anteile der einzelnen Altersgruppen ergeben sich für die stationären Verteilungen $\overrightarrow{s}_t = \begin{pmatrix}\frac{5}{9}\cdot t \\ \frac{1}{3}\cdot t\\ t\end{pmatrix}$ mit:
  • Altersgruppe 1: $p_1 \approx 29,4\,\%$
  • Altersgruppe 2: $p_2 \approx 17,6\,\%$
  • Altersgruppe 3: $p_3 \approx 52,9 \,\%$
c)
$\blacktriangleright$ Matrix $L^{*}$ angeben
In diesem Aufgabenteil sollst du eine neue Matrix $L^*$ der Dimension $4 \times 4$ angeben. Diese Matrix soll den Modellierungsansatz beschreiben, bei dem die Population der Seevögel in vier statt drei Altersgruppen eingeteilt wird. Die übrigen Modellannahmen, wie z.B. Überlebensquoten und Bruterfolg sollen erhalten bleiben.
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Altersgruppe der Altvögel sozusagen noch einmal aufgeteilt wird. Es wird also zwischen die Altersgruppen 2 und 3 eine zusätzliche Altersgruppe „eingeschoben\grqq. Die Altersgruppen 1 und 2 bleiben also so erhalten, die Altersgruppe 3 beschreibt nun die Vögel im 3. Lebensjahr und die Altersgruppe 4 beschreibt nun die Altvögel, also alle Vögel, die älter als 3 Jahre sind.
Du musst nun also die Übergangsmatrix $L$ dahingehend modifizieren, dass eine Spalte und eine Zeile für die neue Altersgruppe eingefügt wird. Anschließend musst du noch die übrigen Einträge anpassen.
Da die neue Altersgruppe zwischen der ehemals 2. und 3. Altersgruppe „eingeschoben“ wird, muss diese neue Zeile also zwischen der 2. und dritten Zeile von $L$ und die neue Spalte zwischen die 2. und 3. Spalte von $L$ eingefügt werden.
Damit ergibt sich eine vorläufige Version für $L^*$:
$L^* = \begin{pmatrix}0&0&\color{yellowgreen}{l^*_{1,3}}&0,5 \\ 0,6&0&\color{yellowgreen}{l^*_{2,3}}&0 \\ \color{yellowgreen}{l^*_{3,1}}&\color{yellowgreen}{l^*_{3,2}}&\color{yellowgreen}{l^*_{3,3}}&\color{yellowgreen}{l^*_{3,4}} \\ 0&0,6&\color{yellowgreen}{l^*_{4,3}}& 0,8\end{pmatrix}$
Nun kannst du aus den vorigen Aufgaben ableiten, dass ein Vogel nicht plötzlich jünger werden kann und auch nicht ein Jahr später immer noch genauso alt sein kann wie im Jahr zuvor. Ein Vogel in Altersgruppe 3 muss also in Altersgruppe 4 übergehen oder sterben. Er kann sich aber bereits fortpflanzen und hat dabei den gleichen Bruterfolg wie die Altvögel. Daher sind alle Elemente der dritten Spalte von $L^*$ bis auf $l^*_{4,3}$ Null und $l^*_{1,3} = 0,5$.
Das letzte Element der dritten Spalte $l^*_{4,3}$ entspricht der Überlebensrate eines Vogels in Altersgruppe 3. Da die Modellannahmen, bis auf die Einteilung der Altersgruppen gleich bleiben sollen, haben Vögel in Altersgruppe 3 die gleiche Überlebensrate wie die Altersgruppe 3 im vorherigen Modell. Damit gilt: $l^*_{4,3} = 0,8$.
Nun fehlen noch drei Elemente der vierten Zeile von $L^*$. Dies sind die Übergangsquoten der anderen Altersgruppen in die Altersgruppe $3$. Hier gilt das gleiche wie zuvor: Ein Vogel der ersten Altersgruppe kann nicht direkt in die Altersgruppe 3 übergehen und ein Vogel aus Altersgruppe 4 kann auch nicht zurück in Altersgruppe 3 gehen. Daher muss $l^*_{3,1} = l^*_{3,4} = 0$ gelten. Der nun noch fehlende Eintrag ergibt sich aus der Überlebensrate der Vögel im zweiten Lebensjahr, also gilt: $l^*_{3,2} = 0,6$.
Damit ergibt sich $L^*$ bis hierher mit:
$L^* = \begin{pmatrix}0&0&0,5&0,5 \\ 0,6&0&0&0 \\ 0&0,6&0&0\\ 0&0,6&0,8&0,8\end{pmatrix}$
Da eine Spalte hinter der zweiten Spalte eingefügt wurde, muss auch die zweite Spalte angepasst werden. Denn hier steht momentan noch, dass die Übergangsquote von Altersgruppe 2 in Altersgruppe 4 $0,6$ beträgt. Aus den gleichen Gründen wie zuvor, muss diese aber Null sein. Insgesamt ergibt sich dann:
$L^* = \begin{pmatrix}0&0&0,5&0,5 \\ 0,6&0&0&0 \\ 0&0,6&0&0\\ 0&0&0,8&0,8\end{pmatrix}$
d)(1)
$\blacktriangleright$ Übergangsmatrix angeben
Hier hast du nun den Übergangsgraphen gegeben, der die Entwicklung einer zweiten Seevogelart beschreibt und sollst ausgehend davon eine zugehörige Übergangsmatrix $M$ angeben.
Überlege dir zunächst, wie viele Zeilen und spalten die Matrix $M$ haben muss. Anschließend kannst du dich um die Einträge von $M$ kümmern.
Im Übergangsgraphen gibt es nur zwei Knoten, also kannst du davon ausgehen, dass es bei dieser Seevogelart nur zwei Altersgruppen gibt. Demnach muss die Übergangsmatrix jeweils zwei Zeilen und Spalten besitzen.
In Aufgabenteil a) (3) hast du gesehen, dass das Element $m_{i,j}$ die Übergangsquote von Altersgruppe $j$ in Altersgruppe $i$ beschreibt. In dem Übergangsgraphen findest du diese Quote als Bezeichnung an dem Pfeil vom Knoten $j$ zum Knoten $i$.
Damit ergibt sich dann die folgende Übergangsmatrix:
$M = \begin{pmatrix}0&0,8\\0,5&0,6\end{pmatrix}$
d) (2)
$\blacktriangleright$ Entwicklung der 2. Seevogelart im Vergleich zur 1. beschreiben
Die Beschreibung der Entwicklung der 1. Seevogelart ist dir bereits in der Einführung zur Aufgabe gegeben. Überlege dir hier nun zunächst mit Hilfe des Übergangsgraphen, wie die Entwicklung der 2. Seevogelart abläuft und ziehe anschließend den Vergleich zur 1. Seevogelart.
1. Schritt: Entwicklung der zweiten Seevogelart beschreiben
Betrachte dazu zunächst den allgemeinen Aufbau des Graphen, also die Anzahl der Knoten, die Beschriftung der Knoten usw. Anschließend kannst du die Details betrachten, indem du dir über die Bedeutung der einzelnen Pfeile nacheinander Gedanken machst.
Am Graphen kannst du sehen, dass es bei der zweiten Seevogelart nur zwei Altersgruppen gibt. Da die Übergangsquoten sich wieder auf ein Jahr beziehen, bedeutet dies also, dass diese Seevogelart bereits nach einem Jahr ausgewachsen ist und die erste Brut bereits im zweiten Lebensjahr stattfinden kann.
Daran, dass der Pfeil von (1) nach (2) mit $0,5$ beschriftet ist, kannst du erkennen, dass die Übergangsquote, also sozusagen die Überlebensrate im 1. Lebensjahr, $0,5$ beträgt.
Analog dazu bedeutet der Pfeil von (2) zur (1) mit der Beschriftung $0,8$ , dass ein Vogel im Durchschnitt jedes Jahr $0,8$ Nachkommen bekommt.
Der Pfeil von (2) zu (2) mit der Beschriftung $0,6$ ist die Übergangsquote von Altersgruppe 2 nach Altersgruppe 2, also die Überlebensquote eines ausgewachsenen Vogels.
2. Schritt: Vergleich zwischen den beiden Arten
Vergleiche nun schrittweise die Entwicklungen der beiden Arten:
Dabei fällt dir folgendes auf:
  • Die 1. Seevogelart wird in drei Altersgruppen eingeteilt und ist erst nach zwei Jahren ausgewachsen und brutfähig, die 2. Seevogelart ist dagegen in nur zwei Altersgruppen eingeteilt worden und bereits nach dem ersten Lebensjahr ausgewachsen und brutfähig.
  • Bei den Jungvögeln der 1. Seevogelart beträgt die Überlebensquote $0,6$, bei der 2. Art überleben weniger Jungtiere, hier beträgt die Überlebensquote $0,5$.
  • Bei den Altvögeln, ist die Überlebensquote der 2. Seevogelart ebenfalls niedriger, diese beträgt $0,6$ und die der 1. Art $0,8$.
  • Der Bruterfolg ist allerdings bei der 2. Art höher: Hier bekommt jeder Altvogel durchschnittlich $0,8$ Nachkommen pro Jahr, bei der 2. Art sind es $0,5$ bzw. nach der Einführung der Schutzmaßnahmen $\frac{5}{9}$ Nachkommen pro Vogel und pro Jahr.
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Verteilung der Vögel nach einem und zwei Jahren berechnen
Deine Aufgabe ist es hier, die Verteilung der Vögel nach einem und nach zwei Jahren zu berechnen, wobei dir die aktuelle Verteilung gegeben ist mit:
$\overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2.000\\4.000\\15.000\end{pmatrix}$
Die Übergangsmatrix ist dir ebenfalls gegeben mit $L = \begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}$
Hierbei bietet sich die folgende Formel an, um die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ zu berechnen:
$\overrightarrow{x}_t = L \cdot \overrightarrow{x}_{t-1}$
Dort kannst du nun $L$, $\overrightarrow{x}$ für $\overrightarrow{x}_0$ und $t = 1$ bzw $t = 2$ einsetzen und erhältst so die Verteilung der Vögel nach ein bzw. zwei Jahren.
Dabei kannst du deinen GTR zu Hilfe nehmen oder auch handschriftlich rechnen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Hierbei kannst du zunächst die Verteilung nach einem Jahr berechnen und diese zur Berechnung der Verteilung im zweiten Jahr wieder verwenden:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x}_1=&L\cdot \overrightarrow{x}_0&einsetzen \\ =&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2.000\\4.000\\15.000\end{pmatrix}& \color{yellowgreen}{\text{Matrix-Vektor-Multiplikation}} \\ =&\begin{pmatrix}0 \cdot 2.000 + 0 \cdot 4.000 + 0,5 \cdot 15.000 \\ 0,6 \cdot 2.000 + 0 \cdot 4.000 + 0 \cdot 15.000\\ 0 \cdot 2.000 +0,6 \cdot 4.000 +0,8 \cdot 15.000\end{pmatrix}&\\ =&\begin{pmatrix}7.500\\1.200\\14.400\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Nach einem Jahr sind $7.500$ Jungvögel, $1.200$ Vögel im 2. Lebensjahr und $14.400$ Altvögel vorhanden.
Nun kennst du $\overrightarrow{x}_1$ und kannst damit $\overrightarrow{x}_2$ berechnen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x}_2=&L \cdot \overrightarrow{x}_1&einsetzen \\ =&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}7.500\\1.200\\14.400\end{pmatrix}& \color{yellowgreen}{\text{Matrix-Vektor-Multiplikation}}\\ =&\begin{pmatrix}0\cdot 7.500 + 0 \cdot 1.200 + 0,5\cdot14.400\\ 0,6\cdot7.500 +0\cdot 1.200 + 0\cdot 14.400\\ 0 \cdot 7.500 + 0,6 \cdot 1.200 + 0,8 \cdot 14.400\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}7.200\\4.500\\12.240\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Nach zwei Jahren sind $7.200$ Jungvögel, $4.500$ Vögel im zweiten Lebensjahr und $12.240$ Altvögel vorhanden.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Mit dem GTR kannst du hier am besten arbeiten, indem du zunächst die Übergangsmatrix $L$ unter der Bezeichnung $A$ speicherst. Dies kannst du im CALC-menü tun. Wähle dazu unter F3: MAT die Bezeichnung $A$ aus. Anschließend musst du zunächst die Dimension der Matrix (3 x 3) und anschließend die Matrixeinträge eingeben. Verlasse das Matrixmenü anschließend wieder. Das gleiche kannst du mit dem Verteilungsvektor $\overrightarrow{x}_0$ tun und ihn unter $B$ abspeichern. Dieser hat die Dimension 3 x 1.
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Dann kannst du anschließend $\overrightarrow{x}_1$ berechnen, indem du die Matrix bzw. den Vektor wieder aufrufst. Unter OPTN $\to$ F2: MAT $\to$ F1: MAT findest du den Befehl um eine Matrix abzurufen. Setze dahinter die Bezeichnung der gewünschten Matrix.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x_1}=& L \cdot \overrightarrow{x_0}&\text{GTR} \\ &\begin{pmatrix}7.500\\1.200\\14.400\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Nach einem Jahr sind $7.500$ Jungvögel, $1.200$ Vögel im 2. Lebensjahr und $14.400$ Altvögel vorhanden.
Genauso kannst du nun auch die Verteilung nach zwei Jahren berechnen, indem du den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x_1}$ als C speicherst:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x}_2=&L \cdot \overrightarrow{x}_1&\text{GTR} \\ =&\begin{pmatrix}7.200 \\ 4.500 \\ 12.240\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Nach zwei Jahren sind $7.200$ Jungvögel, $4.500$ Vögel im zweiten Lebensjahr und $12.240$ Altvögel vorhanden.
a) (2)
$\blacktriangleright$ Verteilung für das Vorjahr berechnen
Nun sollst du die Verteilung für das Vorjahr berechnen. Also die Anzahl der verschiedenen Altersgruppen der Vögel zum Zeitpunkt $t = -1$. Hier kannst du wieder die Formel von oben anwenden, und zwar kennst du in diesem Fall den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x_0}$ und die Übergangsmatrix $L$ und du suchst den Verteilungsvektor
$\overrightarrow{x}_{-1} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$,
das heißt die Verteilung, sodass daraus ein Jahr später die Verteilung $\overrightarrow{x}_0$ entsteht.
Insgesamt suchst du also den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x}_{-1}$, der die folgende Gleichung erfüllt:
$ \overrightarrow{x}_0 = L \cdot \overrightarrow{x}_{-1}$
Setzt du dort die Informationen ein, so kannst du aus dieser Gleichung ein lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ gewinnen, welches du anschließend entweder mit dem GTR oder per Hand lösen kannst.
1. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen
Setzt du $L$ und $\overrightarrow{x}_0$ in die Gleichung ein, so erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{pmatrix}2.000\\4.000\\15.000\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$
Dort kannst du nun jede „Zeile“ einzeln ablesen. Dann erhältst du das folgende lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&2.000&=&0\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+&0,5 \cdot x_3\\ (2)&4.000&=&0,6 \cdot x_1 &+&0 \cdot x_2&+&0 \cdot x_3&\\ (3)&15.000&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+&0,8\cdot x_3&\\ \end{array}$
2. Schritt: Gleichungssystem lösen
Hier hast du auch wieder zwei Möglichkeiten, entweder du löst das LGS mit Hilfe des GTR oder handschriftlich.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Du kannst schnell erkennen, dass die erste und zweite Gleichung des LGS jeweils von nur einer Variablen abhängen. Außerdem weißt du, dass du aus einer Gleichung mit einer Variablen die Lösung für die Variablen direkt bestimmen kannst.
Du kannst hier also wie folgt vorgehen:
  • Löse (1) nach $x_3$ und bestimme so die Lösung für $x_3$
  • Löse (2) nach $x_1$ und bestimme so die Lösung für $x_1$
  • Setze die Lösungen aus den ersten beiden Schritten in (3) ein und bestimme die Lösung für $x_2$ durch Umformen von (3)
Beginnst du mit der ersten Gleichung, so erhältst du:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2.000=&0,5\cdot x_3&\mid\; : 0,5\\ 4.000=&x_3&\\ \end{array}$
Aus der zweiten Gleichung erhältst du:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 4.000=&0,6\cdot x_1&\mid\; : 0,6 \\ \frac{20.000}{3}=&x_1&runden \\ x_1 \approx&6.667&\\ \end{array}$
Setzt du dies nun in (3) ein, so kannst du nach $x_2$ auflösen:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 15.000=&0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot x_3&einsetzen \\ 15.000=&0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot 4.000& \\ 15.000=&0,6\cdot x_2 + 3.200&\mid\; -3.200 \\ 11.800=&0,6\cdot x_2&\mid\; : 0,6 \\ \frac{59.000}{3}&=x_2&runden \\ x_2\approx&19.667& \\ \end{array}$
Aus dem Modell ergäbe sich die folgende Verteilung für das Vorjahr:
Es waren ca. 6.667 Jungvögel, 19.667 Vögel im 2. Lebensjahr und 4.000 Altvögel vorhanden.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Mit dem GTR kannst du das LGS im EQUA-Menü lösen. Wähle dort mit F1 den Menüpunkt Lin Gleichungssyst und gib die Anzahl der Unbekannten (3) an.
Anschließend kannst du die Koeffizienten des LGS eingeben und mit EXE bestätigen.
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Dann erhältst du das Ergebnis:
$x_1\approx 6.667$, $x_2 \approx 19.667$, $x_3=4.000$
Aus dem Modell ergäbe sich die folgende Verteilung für das Vorjahr:
Es waren ca. 6.667 Jungvögel, 19.667 Vögel im 2. Lebensjahr und 4.000 Altvögel vorhanden.
a) (3)
$\blacktriangleright$ Nullwerte der Matrix erklären
In diesem Aufgabenteil, sollst du für jedes Element der Matrix $L$, das den Wert Null hat, erklären, warum es eben diesen Wert hat. Am besten kannst du dabei schrittweise für jedes Element einzeln vorgehen.
Die folgenden Elemente der Matrix $L$ haben den Wert Null:
  • $l_{1,1}$
  • $l_{1,2}$
  • $l_{2,2}$
  • $l_{2,3}$
  • $l_{3,1}$
Das Element $l_{a,b}$ gibt dabei den Anteil der Vögel an, die im nächsten Jahr von Altersgruppe $b$ in Altersgruppe $a$ übergehen. Bei den Altvögeln bedeutet $l_{3,1} = 0,5$ beispielsweise, dass jeder Altvogel im Schnitt pro Jahr $0,5$ Nachkommen hat.
Erklärung für $l_{1,1}$
Das erste Element $l_{1,1}$ beschreibt den Anteil der Vögel, die nach einem Jahr vom Stadium $1$ immer noch im Stadium $1$ bleiben. Da $1$ aber das Stadium der Vögel im ersten Lebensjahr bezeichnet, ist dieser Wert Null, weil ein Vogel nicht zwei Jahre hintereinander im 1. Lebensjahr sein kann.
Erklärung für $l_{1,2}$
$l_{1,2}$ beschreibt den Anteil der Vögel, die von der Altersgruppe $2$ in die Altersgruppe $1$ übergehen. Für einen solchen Übergang müsste folgendes passieren:
  • Ein Vogel, der im zweiten Lebensjahr ist, ist ein Jahr später wieder im ersten Lebensjahr oder
  • Ein Vogel im zweiten Lebensjahr zeugt Nachkommen
Ersteres ist unmöglich und letzteres auch, da du der Aufgabenstellung entnehmen kannst, dass die Seevögel zum ersten mal im dritten Lebensjahr brüten.
Erklärung für $l_{2,2}$
$l_{2,2}$ hat aus ähnlichen Gründen den Wert Null, wie $l_{1,1}$. Nach einem Jahr ist jeder Vogel entweder ein Jahr älter oder gestorben. Ist er vorher in Altersgruppe $2$, also im zweiten Lebensjahr, so kann er im nächsten Jahr nicht noch einmal in Altergruppe $2$ sein. Daher hat $l_{2,2}$ den Wert Null.
Erklärung für $l_{2,3}$
Hierbei verläuft die Erklärung analog zu $l_{1,2}$. $l_{2,3}$ beschreibt den Anteil der Vögel, die von Altersgruppe $3$ nach einem Jahr zurück in Altersgruppe $2$ übergeht. Dies würde aber bedeuten, dass ein Vogel vom dritten Lebensjahr, ein Jahr später im 2. Lebensjahr wäre. Dies ist unmöglich. Nachkommen, die nach einem Jahr bereits das zweite Lebensjahr erreicht haben, kann ein Altvogel auch nicht produzieren. Daher hat $l_{2,3}$ den Wert Null.
Erklärung für $l_{3,1}$
$l_{3,1}$ beschreibt den Anteil der Vögel aus Altersgruppe $1$, die nach einem Jahr Altersgruppe $2$ angehören. Da dies aber bedeuten würde, dass ein Vogel das zweite Lebensjahr überspringen würde, ist dies unmöglich. Daher ist $l_{3,1} = 0$.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $x_1''\geq x_2''$ gilt
In dieser Aufgabe sind dir drei Verteilungen gegeben. $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ ist dabei die Verteilung in einem beliebigen Jahr. Die Verteilungen der beiden darauffolgenden Jahre sind dann gegeben durch:
$\overrightarrow{x'} = L\cdot \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}x_1'\\x_2'\\x_3'\end{pmatrix} $
$\overrightarrow{x''} = L^2\cdot \overrightarrow{x} = L \cdot \overrightarrow{x'} = \begin{pmatrix}x_1''\\x_2''\\x_3''\end{pmatrix} $
Du sollst nun zeigen, dass $x_1'' \geq x_2''$ gilt.
Dazu kannst du den Vektor $\overrightarrow{x''}$ „ausrechnen“. Stelle also $x_1''$, $x_2''$ und $x_3''$ jeweils in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ dar. Dann kannst du $x_1''$ und $x_2''$ gegenüberstellen.
Dabei kannst du entweder zuerst $x_1'$,$x_2'$ und $x_3'$ „berechnen“ , indem du diese in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ darstellst, und anschließend mit der Formel $ \overrightarrow{x''} = L \cdot \overrightarrow{x'}$ $\overrightarrow{x''}$ berechnen oder du berechnest $\overrightarrow{x''}$ über die Formel $\overrightarrow{x''} = L^2\cdot \overrightarrow{x}$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Berechnung von $\overrightarrow{x''}$ über $\overrightarrow{x'}$
Berechnest du zu erst $\overrightarrow{x'}$, so ergibt sich:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x'}=&L\cdot \overrightarrow{x}&einsetzen \\ =&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}0,5\cdot x_3\\0,6\cdot x_1\\0,6\cdot x_2+0,8\cdot x_3\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Damit ist: $x_1' = 0,5\cdot x_3$, $x_2' = 0,6\cdot x_1$, $x_3' = 0,6\cdot x_2 + 0,8\cdot x_3$
Dies kannst du nun in die Berechnung von $\overrightarrow{x''}$ einsetzen und erhältst:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x''}=&L\cdot\overrightarrow{x'}& \\ =&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0,5\cdot x_3\\0,6\cdot x_1\\0,6\cdot x_2+0,8\cdot x_3\end{pmatrix} & \\ =&\begin{pmatrix}0,5\cdot(0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot x_3)\\0,6\cdot(0,5\cdot x_3)\\0,6\cdot(0,6\cdot x_1)+0,8\cdot(0,6\cdot x_2+0,8\cdot x_3)\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}0,3\cdot x_2 + 0,4\cdot x_3\\ 0,3\cdot x_3\\ 0,36\cdot x_1 + 0,48\cdot x_2 + 0,64\cdot x_3\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Demnach ist also $x_1'' = 0,3\cdot x_2 + 0,4\cdot x_3$, $x_2'' = 0,3\cdot x_3$ und $x_3'' = 0,36\cdot x_1 + 0,48\cdot x_2 + 0,64\cdot x_3$. Da $x_1$, $x_2$ und $x_3$ immer größer oder gleich Null sind (es kann keine negativen Anzahlen an Vögeln geben), ist in jedem Fall:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 0,3\cdot x_2 + 0,4\cdot x_3 \geq &0,3\cdot x_3&\\ x_1'' \geq& x_2''&\\ \end{array}$
Damit ist die Behauptung bewiesen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Berechnung von $\overrightarrow{x''}$ mit $L^2$
Berechnest du $\overrightarrow{x''}$ mit Hilfe folgender Formel,
$\overrightarrow{x''} = L^2\cdot \overrightarrow{x}$
so kannst du sehen, dass du hierfür zuerst die Matrix $L$ quadrieren musst.
Für diese Nebenrechnung gibt es wieder zwei Möglichkeiten: Du kannst $L^2$ handschriftlich oder auch mit dem GTR berechnen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Berechnest du $L^2$ handschriftlich, so musst du eine Matrix-Matrix-Multiplikation ausführen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} L^2=&L\cdot L& \\ =&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0&0&0,5\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}0\cdot 0 +0\cdot 0,6 + 0,5\cdot 0&0\cdot + 0\cdot 0 +0,5\cdot 0,6 & 0\cdot 0,5 +0\cdot 0 +0,5\cdot 0,8\\0,6\cdot 0 + 0\cdot 0,6 + 0\cdot 0&0,6\cdot 0 + 0\cdot 0 +0 \cdot 0,6 & 0,6\cdot 0,5 + 0\cdot 0 +0 \cdot 0,8 \\ 0\cdot 0 +0,6\cdot 0,6 +0,8 \cdot 0 & 0\cdot0 + 0,6\cdot 0 +0,8\cdot 0,6 & 0\cdot 0,5 + 0,6\cdot 0 + 0,8\cdot 0,8\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}0&0,3&0,4 \\ 0&0&0,3\\0,36&0,48&0,64\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
$L^2$ kannst du wie in Aufgabenteil a) mit dem GTR berechnen. Dann erhältst du das Ergebnis:
$L^2 = \begin{pmatrix}0&0,3&0,4 \\ 0&0&0,3\\0,36&0,48&0,64\end{pmatrix}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Nun kannst du $\overrightarrow{x''} = L^2\cdot \overrightarrow{x}$ berechnen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x''}&L^2\cdot \overrightarrow{x}& \\ =&\begin{pmatrix}0&0,3&0,4 \\ 0&0&0,3\\0,36&0,48&0,64\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}& \\ =&\begin{pmatrix}0,3\cdot x_2 +0,4\cdot x_3\\ 0,3\cdot x_3\\ 0,36\cdot x_1 +0,48\cdot x_2 + 0,64\cdot x_3\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Damit ist also $x_1'' = 0,3\cdot x_2 + 0,4\cdot x_3$, $x_2'' = 0,3\cdot x_3$ und $x_3'' = 0,36\cdot x_1 + 0,48\cdot x_2 + 0,64\cdot x_3$. Da $x_1$, $x_2$ und $x_3$ immer größer oder gleich Null sind (es kann keine negativen Anzahlen an Vögeln geben), ist in jedem Fall:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 0,3\cdot x_2 + 0,4\cdot x_3 \geq &0,3\cdot x_3&\\ x_1'' \geq& x_2''&\\ \end{array}$
Damit ist die Behauptung bewiesen.
$\blacktriangleright$ Begründen, warum die Behauptung schon ab dem ersten Jahr gilt
Oben hast du gezeigt, dass, unabhängig von der Startverteilung, nach zwei Jahren immer $x_1''\geq x_2''$ gilt. Das bedeutet, du hast gezeigt, dass nach zwei Jahren, unabhängig von der Anfangspopulation, mindestens so viele Vögel der Altersgruppe 1 vorhanden sind wie in der Altersgruppe 2.
Daher gilt dies auch für die Verteilung im Vorjahr, die du in Aufgabenteil a) (2) berechnet hast. Betrachtest du diese Verteilung als Startverteilung $\overrightarrow{x}$, so entspricht die Verteilung der aktuellen Zählung $\overrightarrow{x'}$ und die Verteilung ein Jahr nach der aktuellen Zählung $\overrightarrow{x''}$ aus dem obigen Beweis. Daher sind im ersten Jahr nach der aktuellen Zählung mindestens so viele Vögel in Altersgruppe 1 wie in Altersgruppe 2 vorhanden.
Setzt man dann die aktuelle Verteilung als $\overrightarrow{x}$, so erhält man de Behauptung für die Verteilung zwei Jahre nach der aktuellen Zählung usw. Aus diesem Grund sind ab dem ersten Jahr nach der aktuellen Verteilung immer mindestens so viele Vögel in Altersgruppe 1 wie in Altersgruppe 2 vorhanden.
b) (2)
$\blacktriangleright$ Auf stationäre Verteilungen untersuchen
Hier ist es deine Aufgabe, zu untersuchen, ob es eine von $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung gibt. Eine stationäre Verteilung ist eine Verteilung $\overrightarrow{x}_s$, sodass $\overrightarrow{x}_s = \overrightarrow{x}_{s+1} = \overrightarrow{x}_{s+2}$ usw. gilt. Das bedeutet, $\overrightarrow{x}_s$ muss die folgende Gleichung erfüllen:
$ \overrightarrow{x}_s= L \cdot \overrightarrow{x}_s$
Aus dieser Gleichung ergibt sich mit $\overrightarrow{x}_s = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ wieder ein lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Dieses kannst du dann wieder mit dem GTR oder auch handschriftlich lösen.
1. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen
Das lineare Gleichungssystem kannst du wieder wie in Aufgabenteil a) (2) aufstellen, indem du die Matrix und den Vektor miteinander multiplizierst und anschließend jede „Zeile“ einzeln abliest:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{x_s}=&L \cdot \overrightarrow{x_s}&einsetzen\\ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=& \begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=& \color{yellowgreen}{\text{Matrix-Vektor-Multiplikation}} \\ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}0\cdot x_1 +0\cdot x_2 + 0,5 \cdot x_3\\ 0,6\cdot x_1+ 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3\\0\cdot x_1 +0,6 \cdot x_2 +0,8\cdot x_3\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Daraus ergibt sich dann das folgende LGS:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&x_1&=&0\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+& 0,5\cdot x_3\\ (2)&x_2&=&0,6\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+&0\cdot x_3\\ (3)&x_3&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+& 0,8\cdot x_3\\ \end{array}$
2. Schritt: Gleichungssystem lösen
Das LGS kannst du nun handschriftlich oder mit dem GTR lösen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
Hier kannst du mit dem Einsetzungsverfahren arbeiten. Wie du siehst, hast du $x_1$ in Abhängigkeit von $x_3$ dargestellt und $x_2$ in Abhängigkeit von $x_1$. Setzt du nun $x_1 = 0,5\cdot x_3$ in (2) ein, so erhältst du $x_2$ ebenfalls in Abhängigkeit von $x_3$. Dann kannst du diese Darstellungsweisen von $x_1$ und $x_2$ in (3) einsetzen, die dann nur noch von $x_3$ abhängt. So kannst du eine Lösung für $x_3$ bestimmen und anschließend die Lösungen für $x_2$ und $x_1$.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (2) x_2=&0,6\cdot x_1&x_1 = 0,5\cdot x_3 \\ x_2=&0,6\cdot 0,5\cdot x_3& \\ (2a) x_2=&0,3\cdot x_3&\\ \end{array}$
Setzt du nun $x_1 = 0,5\cdot x_3$ und $x_2 = 0,3\cdot x_3$ in (3) ein, so erhältst du:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x_3=&0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot x_3& \\ x_3=&0,6\cdot 0,3\cdot x_3 + 0,8 \cdot x_3&\\ x_3=&0,98\cdot x_3& \\ x_3=&0&\\ \end{array}$
Mit $x_3 = 0$ ergibt sich für $x_1$ und $x_2$:
$x_1 = 0,5\cdot x_3 = 0,5\cdot 0 = 0\,\,\,$ $x_2 = 0,3\cdot x_3 = 0,3\cdot 0 = 0$
Damit wäre also $\overrightarrow{x}_s = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, was der Voraussetzung widerspricht.
Es existiert keine stationäre Verteilung außer $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Um das LGS wie zuvor mit dem GTR zu lösen, musst du zunächst alle $x$ auf eine Seite bringen. Dann wird aus
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&x_1&=&0\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+& 0,5\cdot x_3&\mid\; \text{Rechne: }- x_1 \\ (2)&x_2&=&0,6\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+&0\cdot x_3&\mid\; \text{Rechne: }- x_2\\ (3)&x_3&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+& 0,8\cdot x_3&\mid\; \text{Rechne:}- x_3\\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1a)&0&=&(-1)\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+& 0,5\cdot x_3\\ (2a)&0&=&0,6\cdot x_1&+&(-1)\cdot x_2&+&0\cdot x_3\\ (3a)&0&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+& (-0,2)\cdot x_3\\ \end{array}$
Nun kannst du das LGS wie in Aufgabenteil a) mit dem Menüpunkt Lineares Gleichungssystem im EQUA-Menü deines GTR lösen und erhältst:
$\overrightarrow{x}_s = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Damit existiert keine stationäre Verteilung außer $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.
b) (3)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Nun sollst du den Prozentsatz $p$ näherungsweise berechnen, um den sich die Gesamtpopulation der Vögel jährlich verkleinert. Du hast dazu die Gesamtpopulation $g_t$ zu zwei Zeitpunkten $t =20$ und $t =30$ gegeben:
$g_{20} = 17.870\,\,\,\,\,\,$ $g_{30} = 15.422$
Wenn sich die Gesamtpopulation $g_t$ innerhalb eines Jahres um den Prozentsatz $p$ verkleinert, so bleibt ein Anteil von $1-p$ der Population erhalten. Also gilt aufgrund der Regeln der Prozentrechnung:
$g_{t+1} = (1-p)\cdot g_t$
Du kennst nun aber nicht zwei Werte, die nur ein Jahr auseinander liegen, sondern zwei Werte, die 10 Jahre auseinander liegen. Du suchst also eine Formel für $g_{t+10}$ in Abhängigkeit von $g_t$. Aus der obigen Formel kannst du solch eine Formel herleiten und anschließend mit Hilfe der gegebenen Werte eine Gleichung in Abhängigkeit von $p$ aufstellen und so anschließend $p$ berechnen.
1. Schritt: Formel aufstellen
Du weißt, dass $g_{t+1} = p\cdot g_t$ gilt. Das gleiche kannst du auch für $g_{t+2}$ formulieren:
$g_{t+2} = (1-p) \cdot g_{t+1}$
Dort kannst du nun wieder die Formel für $g_{t+1}$ einsetzen und erhältst:
$g_{t+2} = (1-p) \cdot g_{t+1} = (1-p) \cdot (1-p) \cdot g_t = (1-p)^2 \cdot g_t$
Du kannst folgendes erkennen: Setzt du dies immer weiter fort, bis du $g_{t+10}$ erhältst so kommt jedes mal einmal der Faktor $1-p$ hinzu:
$g_{t+10} = (1-p)^{10} \cdot g_t$
2. Schritt: Gleichung aufstellen und lösen
Setzt du nun die beiden Werte in die Formel ein, so erhältst du die folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} g_{t+10}=&(1-p)^{10} \cdot g_t& \\ g_{30}=&(1-p)^{10}\cdot g_{20}&\\ 15.422=&(1-p)^{10} \cdot 17.870& \\ \end{array}$
Diese Gleichung kannst du nun entweder handschriftlich oder auch mit Hilfe des GTR lösen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 15.422 =&(1-p)^{10} \cdot 17.870&\mid\; : 17.870 \\ 0,86301\approx&(1-p)^{10}&\mid\; \sqrt[10]{\quad}\\ 0,98538\approx&1-p&\mid\; -1\\ -0,01462\approx&-p&\mid\; \cdot (-1)\\ 0,01462\approx&p&\\ 1,462\,\%\approx&p&\\ \end{array}$
Die Gesamtpopulation der Seevögel reduziert sich jährlich um einen Prozentsatz von $1,462\,\%$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR
Mit dem GTR kannst du die Gleichung im Graph-Menü lösen, indem du den rechten Teil als Funktionsterm einer Funktion $g$ in Abhängigkeit von $p$ auffasst. Nun suchst du den Wert für $p$, sodass $g(p) = 15.422$. Lässt du dir den Graphen von $g$ anzeigen, so kannst du den gesuchten Wert von $p$ unter
F5: G-Solv $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
bestimmen, indem du $y = 15.422$ eingibst. Bestätigst du anschließend mit EXE, so erhältst du die Lösung: $p \approx 0,01462$.
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Die Gesamtpopulation der Seevögel reduziert sich jährlich um einen Prozentsatz von $1,462\,\%$.
b) (4)
$\blacktriangleright$ Erforderliche Quote des Bruterfolgs berechnen
Im vorigen Aufgabenteil hast du gezeigt, dass mit der bisherigen Quote des Bruterfolgs, keine stationäre Verteilung existiert, die von $0$ verschieden ist. Hier sollst du nun eine neue Quote $a$ für den Bruterfolg berechnen, sodass es eine stationäre Verteilung
$\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ geben kann.
In der Matrix $L$ wird also $l_{3,1} = 0,5 $ durch $a$ ersetzt. Damit ergibt sich die neue Übergangsmatrix:
$L_a = \begin{pmatrix}0&0&a\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}$
Damit $\overrightarrow{s}$ stationär ist, muss gelten:
$L_a \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Aus dieser Gleichung ergibt sich ein lineares Gleichungssystem aus vier Unbekannten und drei Gleichungen. Weil hier mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden sind, kannst du dieses LGS lösen, indem du eine der Variablen als $t$ festlegst und dann alle Unbekannten in Abhängigkeit von $t$ darstellst. Hierzu kannst du beispielsweise $s_3 = t$ wählen. Da du eine Aussage über $a$ erhalten möchtest, wäre es nicht sehr sinnvoll dieses als $t$ festzulegen.
1. Schritt: Gleichungssystem aufstellen
Wenn du die obige Gleichung ausmultiplizierst, erhältst du:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} L_a \cdot \overrightarrow{s}& \overrightarrow{s}& \\ \begin{pmatrix}0&0&a\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}& \\ \begin{pmatrix}a\cdot s_3\\0,6\cdot s_1\\0,6\cdot s_2 + 0,8\cdot s_3\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Liest du daraus nun wieder jede „Zeile “ einzeln ab, so erhältst du folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&s_1&=&0&+&0&+&a\cdot s_3\\ (2)&s_2&=&0,6\cdot s_1&+&0&+&0\\ (3)&s_3&=&0&+&0,6\cdot s_2&+&0,8\cdot s_3\\ \end{array}$
2. Schritt: Gleichungssystem lösen
Wie oben beschrieben, kannst du nun beispielsweise $s_3 = t$ setzen und die anderen Variablen durch Einsetzen in Abhängigkeit von t darstellen. Anschließend musst du noch überprüfen, ob die dritte Gleichung (3) so ebenfalls erfüllt ist, indem du dort die neue Darstellung von $s_1$ und $s_2$ einsetzt. Setzt du also nun $s_3 = t$ und ersetzt dies überall im LGS, so erhältst du:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1a)&s_1&=&a\cdot t\\ (2)&s_2&=&0,6\cdot s_1\\ (3a)&s_3&=&t\\ \end{array}$
Nun kannst du $s_1$ in (2) einsetzen, so erhältst du eine Darstellung von $s_2$ in Abhängigkeit von $t$:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (2)\, s_2 =&0,6\cdot s_1&s_1 = a\cdot t \\ (2a)\, s_2=&0,6\cdot a\cdot t& \\ \end{array}$
Da $s_3$ = $t$ aber auch gleichzeitig noch die Originalgleichung (3) $s_3$ = $0,6\cdot s_2 + 0,8 \cdot s_3$ erfüllt sein müssen, muss auch $t$ =$0,6\cdot s_2 + 0,8 \cdot s_3$ gelten. Hiermit kannst du nun prüfen, ob es überhaupt eine stationäre Verteilung geben kann und gegebenenfalls $a$ berechnen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} t=&0,6\cdot s_2 + 0,8 \cdot s_3&s_3 =t; s_2 =0,6\cdot a\cdot t \\ t=&0,6\cdot 0,6\cdot a\cdot t +0,8 \cdot t&\mid\; : t \text{(weil}\, t\neq 0\, \text{gelten muss, sonst wäre} \, s_1 = s_2 = s_3 = 0)\\ 1=&0,6\cdot 0,6\cdot a + 0,8&\mid\; -0,8\\ 0,2=&0,36\cdot a&\mid\; : 0,36 \\ \frac{5}{9}=&a&\\ \end{array}$
Mit $a = \frac{5}{9}$ kann es eine stationäre Verteilung $\overrightarrow{s}$ geben.
$\blacktriangleright$ Anteile der Altersgruppen an der Gesamtzahl berechnen
Oben hast du die stationäre Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}$ in Abhängigkeit von $t$ und $a$ dargestellt. $a$ hast du berechnet. Nun kannst du $\overrightarrow{s}$ in Abhängigkeit von $t$ darstellen und anschließend zuerst die Gesamtzahl $g_t$ der Vögel berechnen. Dann kannst du mit der Formel
$p_i = \dfrac{s_i}{g_t}$
den Anteil $p_i$ der Altersgruppe $i$ an der Gesamtzahl der Vögel berechnen.
Mit $a = \frac{5}{9}$ ergibt sich $\overrightarrow{s}$ mit den vorigen Ergebnissen als:
$\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a\cdot t \\ 0,6\cdot a\cdot t \\ t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{5}{9}\cdot t \\ \frac{1}{3}\cdot t\\ t\end{pmatrix}$
Die Gesamtpopulation ergibt sich dann als die Summe der Anzahl der Vögel jeder Altersgruppe:
$g_t = s_1 +s_2 +s_3 = \frac{5}{9}\cdot t + \frac{1}{3}\cdot t + t = \frac{17}{9}\cdot t $
Damit kannst du nun die Anteile der einzelnen Altersgruppen berechnen:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} p_1 =&\dfrac{s_1}{g_t}&\text{einsetzen} \\ =&\dfrac{t\cdot \frac{5}{9}}{t\cdot\frac{17}{9}}&\text{kürzen} \\ =&\dfrac{5}{17}&\\ \approx&29,4\,\%& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} p_2 =&\dfrac{s_2}{g_t}&\text{einsetzen} \\ =&\dfrac{t\cdot \frac{1}{3}}{t\cdot\frac{17}{9}}&\text{kürzen} \\ =&\dfrac{3}{17}&\\ \approx&17,6\,\%\,\%& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} p_3 =&\dfrac{s_3}{g_t}&\text{einsetzen} \\ =&\dfrac{t\cdot 1}{t\cdot\frac{17}{9}}&\text{kürzen} \\ =&\dfrac{9}{17}&\\ \approx&52,9\,\%\,\%& \\ \end{array}$
Die prozentualen Anteile der einzelnen Altersgruppen ergeben sich für die stationären Verteilungen $\overrightarrow{s}_t = \begin{pmatrix}\frac{5}{9}\cdot t \\ \frac{1}{3}\cdot t\\ t\end{pmatrix}$ mit:
  • Altersgruppe 1: $p_1 \approx 29,4\,\%$
  • Altersgruppe 2: $p_2 \approx 17,6\,\%$
  • Altersgruppe 3: $p_3 \approx 52,9 \,\%$
c)
$\blacktriangleright$ Matrix $L^{*}$ angeben
In diesem Aufgabenteil sollst du eine neue Matrix $L^*$ der Dimension $4 \times 4$ angeben. Diese Matrix soll den Modellierungsansatz beschreiben, bei dem die Population der Seevögel in vier statt drei Altersgruppen eingeteilt wird. Die übrigen Modellannahmen, wie z.B. Überlebensquoten und Bruterfolg sollen erhalten bleiben.
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Altersgruppe der Altvögel sozusagen noch einmal aufgeteilt wird. Es wird also zwischen die Altersgruppen 2 und 3 eine zusätzliche Altersgruppe „eingeschoben\grqq. Die Altersgruppen 1 und 2 bleiben also so erhalten, die Altersgruppe 3 beschreibt nun die Vögel im 3. Lebensjahr und die Altersgruppe 4 beschreibt nun die Altvögel, also alle Vögel, die älter als 3 Jahre sind.
Du musst nun also die Übergangsmatrix $L$ dahingehend modifizieren, dass eine Spalte und eine Zeile für die neue Altersgruppe eingefügt wird. Anschließend musst du noch die übrigen Einträge anpassen.
Da die neue Altersgruppe zwischen der ehemals 2. und 3. Altersgruppe „eingeschoben“ wird, muss diese neue Zeile also zwischen der 2. und dritten Zeile von $L$ und die neue Spalte zwischen die 2. und 3. Spalte von $L$ eingefügt werden.
Damit ergibt sich eine vorläufige Version für $L^*$:
$L^* = \begin{pmatrix}0&0&\color{yellowgreen}{l^*_{1,3}}&0,5 \\ 0,6&0&\color{yellowgreen}{l^*_{2,3}}&0 \\ \color{yellowgreen}{l^*_{3,1}}&\color{yellowgreen}{l^*_{3,2}}&\color{yellowgreen}{l^*_{3,3}}&\color{yellowgreen}{l^*_{3,4}} \\ 0&0,6&\color{yellowgreen}{l^*_{4,3}}& 0,8\end{pmatrix}$
Nun kannst du aus den vorigen Aufgaben ableiten, dass ein Vogel nicht plötzlich jünger werden kann und auch nicht ein Jahr später immer noch genauso alt sein kann wie im Jahr zuvor. Ein Vogel in Altersgruppe 3 muss also in Altersgruppe 4 übergehen oder sterben. Er kann sich aber bereits fortpflanzen und hat dabei den gleichen Bruterfolg wie die Altvögel. Daher sind alle Elemente der dritten Spalte von $L^*$ bis auf $l^*_{4,3}$ Null und $l^*_{1,3} = 0,5$.
Das letzte Element der dritten Spalte $l^*_{4,3}$ entspricht der Überlebensrate eines Vogels in Altersgruppe 3. Da die Modellannahmen, bis auf die Einteilung der Altersgruppen gleich bleiben sollen, haben Vögel in Altersgruppe 3 die gleiche Überlebensrate wie die Altersgruppe 3 im vorherigen Modell. Damit gilt: $l^*_{4,3} = 0,8$.
Nun fehlen noch drei Elemente der vierten Zeile von $L^*$. Dies sind die Übergangsquoten der anderen Altersgruppen in die Altersgruppe $3$. Hier gilt das gleiche wie zuvor: Ein Vogel der ersten Altersgruppe kann nicht direkt in die Altersgruppe 3 übergehen und ein Vogel aus Altersgruppe 4 kann auch nicht zurück in Altersgruppe 3 gehen. Daher muss $l^*_{3,1} = l^*_{3,4} = 0$ gelten. Der nun noch fehlende Eintrag ergibt sich aus der Überlebensrate der Vögel im zweiten Lebensjahr, also gilt: $l^*_{3,2} = 0,6$.
Damit ergibt sich $L^*$ bis hierher mit:
$L^* = \begin{pmatrix}0&0&0,5&0,5 \\ 0,6&0&0&0 \\ 0&0,6&0&0\\ 0&0,6&0,8&0,8\end{pmatrix}$
Da eine Spalte hinter der zweiten Spalte eingefügt wurde, muss auch die zweite Spalte angepasst werden. Denn hier steht momentan noch, dass die Übergangsquote von Altersgruppe 2 in Altersgruppe 4 $0,6$ beträgt. Aus den gleichen Gründen wie zuvor, muss diese aber Null sein. Insgesamt ergibt sich dann:
$L^* = \begin{pmatrix}0&0&0,5&0,5 \\ 0,6&0&0&0 \\ 0&0,6&0&0\\ 0&0&0,8&0,8\end{pmatrix}$
d)(1)
$\blacktriangleright$ Übergangsmatrix angeben
Hier hast du nun den Übergangsgraphen gegeben, der die Entwicklung einer zweiten Seevogelart beschreibt und sollst ausgehend davon eine zugehörige Übergangsmatrix $M$ angeben.
Überlege dir zunächst, wie viele Zeilen und spalten die Matrix $M$ haben muss. Anschließend kannst du dich um die Einträge von $M$ kümmern.
Im Übergangsgraphen gibt es nur zwei Knoten, also kannst du davon ausgehen, dass es bei dieser Seevogelart nur zwei Altersgruppen gibt. Demnach muss die Übergangsmatrix jeweils zwei Zeilen und Spalten besitzen.
In Aufgabenteil a) (3) hast du gesehen, dass das Element $m_{i,j}$ die Übergangsquote von Altersgruppe $j$ in Altersgruppe $i$ beschreibt. In dem Übergangsgraphen findest du diese Quote als Bezeichnung an dem Pfeil vom Knoten $j$ zum Knoten $i$.
Damit ergibt sich dann die folgende Übergangsmatrix:
$M = \begin{pmatrix}0&0,8\\0,5&0,6\end{pmatrix}$
d) (2)
$\blacktriangleright$ Entwicklung der 2. Seevogelart im Vergleich zur 1. beschreiben
Die Beschreibung der Entwicklung der 1. Seevogelart ist dir bereits in der Einführung zur Aufgabe gegeben. Überlege dir hier nun zunächst mit Hilfe des Übergangsgraphen, wie die Entwicklung der 2. Seevogelart abläuft und ziehe anschließend den Vergleich zur 1. Seevogelart.
1. Schritt: Entwicklung der zweiten Seevogelart beschreiben
Betrachte dazu zunächst den allgemeinen Aufbau des Graphen, also die Anzahl der Knoten, die Beschriftung der Knoten usw. Anschließend kannst du die Details betrachten, indem du dir über die Bedeutung der einzelnen Pfeile nacheinander Gedanken machst.
Am Graphen kannst du sehen, dass es bei der zweiten Seevogelart nur zwei Altersgruppen gibt. Da die Übergangsquoten sich wieder auf ein Jahr beziehen, bedeutet dies also, dass diese Seevogelart bereits nach einem Jahr ausgewachsen ist und die erste Brut bereits im zweiten Lebensjahr stattfinden kann.
Daran, dass der Pfeil von (1) nach (2) mit $0,5$ beschriftet ist, kannst du erkennen, dass die Übergangsquote, also sozusagen die Überlebensrate im 1. Lebensjahr, $0,5$ beträgt.
Analog dazu bedeutet der Pfeil von (2) zur (1) mit der Beschriftung $0,8$ , dass ein Vogel im Durchschnitt jedes Jahr $0,8$ Nachkommen bekommt.
Der Pfeil von (2) zu (2) mit der Beschriftung $0,6$ ist die Übergangsquote von Altersgruppe 2 nach Altersgruppe 2, also die Überlebensquote eines ausgewachsenen Vogels.
2. Schritt: Vergleich zwischen den beiden Arten
Vergleiche nun schrittweise die Entwicklungen der beiden Arten:
Dabei fällt dir folgendes auf:
  • Die 1. Seevogelart wird in drei Altersgruppen eingeteilt und ist erst nach zwei Jahren ausgewachsen und brutfähig, die 2. Seevogelart ist dagegen in nur zwei Altersgruppen eingeteilt worden und bereits nach dem ersten Lebensjahr ausgewachsen und brutfähig.
  • Bei den Jungvögeln der 1. Seevogelart beträgt die Überlebensquote $0,6$, bei der 2. Art überleben weniger Jungtiere, hier beträgt die Überlebensquote $0,5$.
  • Bei den Altvögeln, ist die Überlebensquote der 2. Seevogelart ebenfalls niedriger, diese beträgt $0,6$ und die der 1. Art $0,8$.
  • Der Bruterfolg ist allerdings bei der 2. Art höher: Hier bekommt jeder Altvogel durchschnittlich $0,8$ Nachkommen pro Jahr, bei der 2. Art sind es $0,5$ bzw. nach der Einführung der Schutzmaßnahmen $\frac{5}{9}$ Nachkommen pro Vogel und pro Jahr.
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