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Aufgabe 6

Aufgaben
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Das Produkt „Fußball-Bundesliga“ ist ein Erfolgsmodell. Die Zuschauerzahlen erreichten in der Saison 2011/12 einen Rekord von durchschnittlich mehr als 40.000 pro Spiel. Dabei ist das Publikum mittlerweile zu $25 \,\%$ weiblich.
Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden.
a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel zufällig ausgewählten Zuschauern1
  1. genau 48 weibliche Zuschauer befinden,
  2. mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer befinden,
  3. eine Anzahl von weiblichen Zuschauern befindet, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.
(2P + 3P + 4P)
1 Der Begriff „Zuschauer“ soll stets männliche und weibliche Zuschauer umfassen.
b)
Bei einem Bundesliga-Spiel strömen 20.000 Zuschauer ins Stadion. An weibliche Zuschauer soll ein Flyer verteilt werden, der auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist.
  1. Ermitteln Sie auf der Grundlage der 20.000 Zuschauer das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 liegt.
  2. Vor dem Spiel bildet sich an einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern. Nennen Sie eine Voraussetzung, unter der die Wahrscheinlichkeit P, dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, folgendermaßen berechnet werden kann:
    $P=\begin{pmatrix}50\\12\end{pmatrix}\cdot 0,25^{12}\cdot0,75^{38}$.
    Entscheiden Sie, ob diese Berechnung in der vorliegenden Situation zulässig ist.
(6P + 5P)
c)
Im Deutschen Fußballbund (DFB) sind 1.077.215 weibliche Mitglieder gemeldet2, was einem Anteil von (ungefähr) $15,84 \,\%$ entspricht. Von diesen gehören $31,78 \,\%$ zur Alterklasse „Mädchen“, der Rest zur Altersklasse „Frauen“. Bei den männlichen Mitgliedern unterscheidet man die Altersklassen „Junioren“ und „Senioren“. Insgesamt beträgt der Anteil der Jugendlichen („Mädchen“ und „Junioren“) im DFB $33,09 \,\%$.
  1. Berechnen Sie den Anteil der „Mädchen“ im DFB.
  2. Ermitteln Sie den Anteil der „Senioren“ im DFB.
    $[$Kontrollergebnis: $56,10 \,\%]$
    Berechnen Sie näherungsweise die Anzahl der „Senioren“ im DFB.
  3. Zwei Mitglieder des DFB werden zufällig ausgewählt.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei den beiden Personen um einen „Junior“ und einen „Senior“ handelt.
(2P + 7P + 4P)
2 Gehen Sie davon aus, dass es sich um aktuelle Daten handelt.
d)
Um den Stadionbesuch für weibliche Zuschauer attraktiver zu gestalten, werden für diese an Imbissständen des Stadions spezielle Angebote gemacht.
Der Verkaufsleiter vermutet, dass der Anteil weiblicher Zuschauer sogar auf über $25 \,\%$ gestiegen ist, so dass er zusätzliche Vorräte für die speziellen Angebote bereitstellen müsste. Er möchte aber unbedingt vermeiden, auf größeren Mengen verderblicher Ware sitzen zu bleiben.
Um eine Entscheidung treffen zu können, nutzt er Fotos, die im Rahmen eines Anti-Hooligan-Programms von jedem einzelnen Zuschauer beim Einlass gemacht werden. Er lässt 1.000 Fotos zufällig auswählen und in dieser Stichprobe die Anzahl der Fotos bestimmen, die weibliche Zuschauer zeigen.
  1. Ermitteln Sie aus der Sicht des Verkaufsleiters einen passenden Hypothesentest für die genannte Stichprobe und begründen Sie die Wahl der Nullhypothese (Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05).
  2. Beschreiben Sie den Fehler 2.Art im Sachzusammenhang und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich $30 \,\%$ beträgt.
  3. Die acht Helfer, die die Fotos auswerten, haben jeweils 125 Fotos zufällig ausgewählt. Sie haben folgende Regel aufgestellt: Zählen mindestens fünf der acht Helfer unter den 125 Fotos mehr als 33 Fotos weiblicher Zuschauer, so halten sie die Vermutung des Verkaufsleiters für bestätigt.
    Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem sich die maximale Wahrscheinlichkeit ermitteln lässt, mit der diese Regel zu einer falschen Entscheidung führt, und begründen Sie die einzelnen Schritte. (Sie brauchen die Rechnung nicht durchzuführen.)
    Gehen Sie dabei von der Voraussetzung aus, dass höchstens $25 \,\%$ weibliche Zuschauer ins Stadion kommen.
(8P + 3P + 6P)
Tabelle 1: $\boldsymbol{\sigma}$-Regeln für Binomialverteilungen
Eine mit den Parametern $n$ und $p$ binomialverteilte Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$.
Wenn die LAPLACE-Bedingung $\sigma >3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$-Regeln:
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n=10 und n=20
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ gilt: $F(n;p;k)=1-$abgelesener Wert
Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n=50
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ gilt: $F(n;p;k)=1-$abgelesener Wert
Tabelle 4: Kumulierte Binomialverteilung für n=200
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ gilt: $F(n;p;k)=1-$abgelesener Wert
Tabelle 5: Kumulierte Binomialverteilung für n=1.000
$F(n;p;k)=B(n;p;0)+…+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+…+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ gilt: $F(n;p;k)=1-$abgelesener Wert
Tabelle 6: Normalverteilung
$\Phi(z)=0,…$
$\Phi(-z)=1-\phi(z)$
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Beispiele für den Gebrauch:
$\phi(2,32)=0,9898$$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$\phi(z)=0,994\Rightarrow z=2,51$
$\phi(-0,9)=1-\phi(0,9)=0,1841$
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten für die gegebenen Ereignisse
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Zuschauerzahlen in der Fußball-Bundesliga in der Saison 2011/12 einen Rekord erreichten. In dieser Saison waren pro Spiel durchschnittlich mehr als 40.000 Zuschauer, wobei das Publikum mittlerweile zu 25 % weiblich ist. Weiterhin kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass dieser Prozentsatz im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden soll. Das heißt:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % ist der Zuschauer eines Bundesliga-Spiels weiblich.
Die Aufgabe gibt dir weiterhin 3 Ereignisse vor, zu welchen du die Wahrscheinlichkeiten berechnen sollst. Diese Ereignisse lauten:
Unter 200, bei einem Bundesliga-Spiel bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauer, befinden sich
  • (1) genau 48 weibliche Zuschauer.
  • (2) mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer.
  • (3) eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.
Da hier in allen drei Fällen die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 200 befragten Zuschauern behandelt wird, betrachten wir hier die Zufallsvariable $X$, welche die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 200 befragten repräsentiert. Da die Zufallsvariable $X$ mit
  • „Zuschauer ist weiblich“
  • „Zuschauer ist nicht weiblich“
nur zwei Ausprägungen besitzt und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zuschauer weiblich ist, mit 25 % als konstant angegeben ist (Ziehen mit Zurücklegen) kann $X$ hier als binomialverteilt angenommen werden. $X$ ist also mit $p = 0,25$ und $n = 200$ binomialverteilt.
Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (1)
Mit der Zufallsvariable $X$ kannst du nun die Wahrscheinlichkeit für das erste Ereignis berechnen. Dieses lautete:
Unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauer befinden sich genau 48 weibliche Zuschauer.
Das heißt, hier musst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $X$ einen Wert von 48 annimmt. In Formeln ausgedrückt also:
$P(X = 48)$
Beim Lösen dieser Aufgabe gibt es hier 2 Wege, die Berechnung mit deinem GTR und die Lösung mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung. Im Folgenden werden beide Lösungswege ausgeführt.
Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (2)
Ereignis (2) war gegeben mit:
Unter den 200 befragten Zuschauern befinden sich mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer.
Auch hier betrachtest du wieder die Zufallsvariable $X$. Willst du hier die Wahrscheinlichkeit für das gegebene Ereignis berechnen, so muss für $X$ gelten:
$P(35 \leq X \leq 60)$
Du musst also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $X$ nur Werte zwischen 35 und 60 annimmt. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass $X$ einen Wert zwischen 35 und 60 annimmt, musst du von der Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert von kleiner gleich 60 annimmt, die Wahrscheinlichkeit dafür subtrahieren, dass $X$ eine Wahrscheinlichkeit kleiner gleich 34 annimmt.
Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (3)
Ereignis (3) war gegeben mit:
Unter den 200 befragten Zuschauern befindet sich eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.
Da hier mit $X$ eine binomialverteilte Zufallsvariable vorliegt, berechnest sich deren Erwartungswert über die folgende Formel:
$E = n \cdot p$
Hast du den Erwartungswert $E$ von $X$ berechnen, so musst du die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung um 10 von diesem Berechnen. Eine Abweichung um 10 vom Erwartungswert schließt dabei eine Abweichung nach oben und nach unten ein. Die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_3$ ergibt sich also über folgenden Ansatz:
$P_3 = P(X \leq (E - 10)) + P(X \geq (E + 10))$
b) (1)
$\blacktriangleright$Ermitteln des zum Erwartungswert symmetrischen Intervalls
Der Aufgabenstellung kannst du jetzt entnehmen, dass bei einem Bundesliga-Spiel 20.000 Zuschauer ins Stadion strömen. An die weiblichen Zuschauer soll dabei ein Flyer verteilt werden, welcher auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist.
Deine Aufgabe ist es dabei zunächst, auf Grundlage der 20.000 Zuschauer, das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge zu bestimmen, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 bzw. 90 % liegt.
Willst du diese Aufgabe hier lösen, so betrachtest du die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Frauen im Stadion beschreibt. Da sich insgesamt 20.000 Zuschauer im Stadion befinden, gilt für $Y$: $n = 20.000$. Weiterhin gilt für die Zufallsvariable $Y$, dass die Wahrscheinlichkeit, für das Befragen einer Frau bei 0,25 bzw. 25 % liegt (siehe Aufgabe zuvor).
Nun sollst du ein 90 %-Konfidenzintervall um den Erwartungswert von $Y$ bilden.
Zum Lösen dieser, musst du hier die $\sigma$-Regeln anwenden. Gehe dabei so vor:
  • Berechne zunächst die Standardabweichung von $Y$ und stelle mit dieser sicher, ob das Laplace-Kriterium $\sigma > 3$ erfüllt ist.
  • Du findest die Regel $P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90$
  • Setze $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
  • Forme so weit wie möglich um und ermittle so das gesuchte Intervall.
b) (2)
$\blacktriangleright$Voraussetzung, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass sich vor einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern gebildet hat. Deine Aufgabe ist es nun, die Voraussetzung zu nennen, unter der die Wahrscheinlichkeit $P$, dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, so berechnet werden kann:
$P= \dbinom{50}{12} \cdot 0,25^{12} \cdot 0,75^{38}$
Betrachtest du den gegebenen Term genauer, so kannst du erkennen, dass es sich hier um den Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen handelt. Mit diesem Term können Wahrscheinlichkeiten der Form $P(X = k)$ für ein bestimmtes $k$ berechnet werden. Das heißt, die hier gesuchten Voraussetzungen ergeben sich aus den Voraussetzungen für eine binomialverteilte Zufallsvariable.
$\blacktriangleright$Entscheiden, ob Berechnung hier zulässig ist
Nun sollst du zusätzlich entscheiden, ob die Berechnung der Wahrscheinlichkeit in der vorliegenden Situation zulässig ist. Stelle dir dazu die Frage, ob die Anzahl der Frauen unter den 50 Personen vor dem Kassenhäuschen als binomialverteilt angenommen werden kann. Dazu musst du dir die Frage stellen, ob es sich hier wirklich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt.
Würde es sich hier nicht um ein Ziehen mit Zurücklegen handeln, so würde sich die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Frau unter den 50 Personen vor dem Kassenhäuschen ändern, nachdem eine von ihnen vor dem Kassenhäuschen stand.
c) (1)
$\blacktriangleright$Berechnen des Anteils der „Mädchen“ im DFB
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass insgesamt 1.077.215 weibliche Mitglieder im DFB gemeldet sind. Diese Anzahl entspricht einem Prozentsatz von 15,84 %. Von den gemeldeten weiblichen Mitgliedern gehören insgesamt 31,78 % zur Altersklasse „Mädchen“, der Rest gehört zur Altersklasse „Frauen“.
Deine Aufgabe ist es nun, den Anteil der „Mädchen“ im DFB zu berechnen. Führe dir dazu vor Augen, dass der Anteil aller weiblichen Mitglieder beim DFB insgesamt bei 15,84 % liegt. Von diesen 15,84 % gehören wiederum 31,78 % zur Altersklasse „Mädchen“. Berechne also 31,78 % von 15,84 %, um den hier gesuchten Anteil der „Mädchen“ zu berechnen. Beachte dabei, dass der Anteil der weiblichen Mitglieder in der Rechnung als 100 % angesehen werden muss.
c) (2)
$\blacktriangleright$Ermitteln des Anteils der „Senioren“ im DFB
Nun sollst du den Anteil der „Senioren“ im DFB berechnen. Der Aufgabenstellung kannst du dazu entnehmen, dass man bei den männlichen Mitgliedern zwischen den Altersklassen „Senioren“ und „Junioren“ unterscheidet. Willst du hier den Anteil der Senioren berechnen, so musst du dir klar machen, was du bereits über die Anteile der einzelnen Gruppen im DFB weißt:
  • Der Anteil der Jugendlichen beträgt 33,09 %;
  • der Anteil der „Mädchen“ beträgt 5 % und
  • der Anteil der „Frauen“ 15,84 %
Da die Senioren eine eigene Gruppe im DFB bilden, gehören diese zu keiner der oben genannten Gruppen. Diese bilden also neben diesen Gruppen den Rest der Mitglieder im DFB. Subtrahiere also von 100 % die Anteile der bestimmten Gruppen und ermittle so den Anteil der „Senioren“ im DFB.
$\blacktriangleright$Berechnen Anzahl der „Senioren“ im DFB
Nun sollst du die Anzahl der Senioren im DFB berechnen. Führe dir dazu folgende zwei Größen vor Augen:
  • Der Anteil der „Senioren“ im DFB beträgt 56,10 %.
  • Im DFB sind 1.077.215 weibliche Mitglieder gemeldet.
  • Der Anteil der weiblichen Mitglieder beträgt 15,84 %.
Du weißt also, dass 1.077.215 Mitglieder insgesamt 15,84 % aller Mitglieder im DFB ausmachen. Berechne ausgehend von dieser Erkenntnis und dem Prozentsatz der „Senioren“ im DFB (56,10 %) die Anzahl der Senioren im DFB. Berechne dazu zunächst die Gesamtzahl der Mitglieder und anschließend die Anzahl der „Senioren“.
c) (3)
$\blacktriangleright$Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten
Nun werden zwei Mitglieder des DFB zufällig ausgewählt und du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass es sich
  • bei den beiden Personen um einen „Junior“
  • und einen „Senior“ handelt.
Willst du diese Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du die relativen Häufigkeiten für diese Personengruppen als Wahrscheinlichkeiten auffassen:
  • Wahrscheinlichkeit für einen „Junior“: $p_J = 0,2809$
  • Wahrscheinlichkeit für einen „Senior“: $p_S = 0,561$
Anschließend berechnest du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Pfadregeln.
d) (1)
$\blacktriangleright$ Ermitteln eines Hypothesentests und Begründen der Wahl der Nullhypothese
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass man durch attraktive Angebote für Frauen an den Imbissständen eines Stadions versucht, einen Stadionbesuch für diese attraktiver zu gestalten. Der zuständige Verkaufsleiter vermutet sogar, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer sogar auf über 25 % gestiegen ist. Wäre dies der Fall, so würde er zusätzliche Vorräte für die speziellen Angebote für Frauen bereitstellen.
Er muss also eine Entscheidung treffen. Als Hilfestellung nutzen ihm hier Fotos, die im Rahmen eines Anti-Hooligan-Programms von jedem einzelnen Zuschauer beim Einlass gemacht werden. Er lässt 1.000 Fotos zufällig auswählen und in dieser Stichprobe die Anzahl der Fotos bestimmen, die weibliche Zuschauer zeigen.
Deine Aufgabe ist es hierbei einen passenden Hypothesentest für die genannte Stichprobe zu ermitteln und dabei die Wahl der Nullhypothese zu begründen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 0,05.
Bevor du hier einen passenden Hypothesentest entwickeln kannst, musst du zunächst festlegen, welches die Hypothesen sind, die getestet werden sollen. Da getestet werden soll, ob der Anteil der weiblichen Zuschauer gestiegen ist oder nicht, müssen sich die Hypothesen auf diese Tatsache beziehen:
  • Erste Hypothese: Anteil weiblicher Zuschauer ist nicht gestiegen;
  • Zweite Hypothese: Anteil weiblicher Zuschauer ist gestiegen.
Denke beim Auswählen der Hypothesen immer daran, dass als Nullhypothese diejenige Hypothese gewählt werden muss, die aus Sicht des Betroffen verworfen werden soll. Hast du Null- und Gegenhypothese festgelegt, so geht es weiterhin darum, den Hypothesentest zu entwickeln. Führe dazu eine Zufallsvariable für die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 1.000 betrachteten Fotos ein und bestimme mit Hilfe der Irrtumswahrscheinlichkeit Annahme- und Ablehnungsbereich für den vorliegenden Test.
Gehe also so vor:
  • Bestimme Null- und Gegenhypothese;
  • Führe eine Zufallsvariable für die Anzahl der weiblichen Zuschauer ein;
  • Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich.
d) (2)
$\blacktriangleright$Beschreiben des Fehlers 2. Art und Berechnen der Wahrscheinlichkeit
Hier sollst du nun zum obigen Hypothesentest den Fehler 2. Art beschreiben und die Wahrscheinlichkeit für diesen berechnen, für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich 30 % beträgt.
Der Fehler 2. Art beschreibt immer ein Ablehnen der Gegenhypothese, obwohl diese wahr ist. Hier bedeutet das ein Ablehnen der Gegenhypothese $H_1: p > 0,25$ obwohl offensichtliche $p = 0,25 > 0,3$ gilt. Im Sachzusammenhang interpretiert bedeutet das, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer in Wirklichkeit über 25 % gestiegen ist, obwohl dies mit dem Hypothesentest widerlegt wurde.
Betrachtest du dazu Zufallsvariable $Z_{\text{neu}}$ die mit $p = 0,3$ und $n = 1.000$ die Anzahl der weiblichen Stadionbesucher nach gestiegenem Anteil beschreibt, dann nimmt diese einen Wert aus dem Annahmebereich für die Nullhypothese an, wenn der Fehler 2. Art eintritt.
d) (3)
$\blacktriangleright$Beschreiben eines Verfahrens
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass die acht Helfer, die die Fotos auswerten jeweils 125 zufällig ausgewählte erhalten. Dabei haben sie folgende Regel aufgestellt: Zählen mindestens 5 der 8 Helfer mehr als 33 Fotos weiblicher Zuschauer, so gilt die Vermutung des Verkaufsleiters als bestätigt.
Deine Aufgabe ist es hierbei, ein Verfahren zu beschreiben, mit dem sich die maximale Wahrscheinlichkeit dafür berechnen lässt, dass die hier aufgestellte Regel zu einer falschen Entscheidung führt. Dabei sollst du davon ausgehen, dass höchstens 25 % weibliche Zuschauer ins Stadion kommen.
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du zunächst erkennen, dass es sich auch hier wieder um einen Hypothesentest handelt. Mit diesem Test soll auch hier untersucht werden, ob die Vermutung des Verkaufsleiters korrekt ist. Der Annahme- und Ablehnungsbereich dieses Tests ergibt sich aus der oben beschriebenen Entscheidungsregel. Betrachtest du dazu die Zufallsvariable $T_1$, welche die Anzahl der positiv ausgefallenen Tests der 8 Mitarbeiter beschreibt, so gilt hier für den Annahme- und Ablehnungsbereich:
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{5,…,8\right\}$
  • Annahmebereich: $A = \left\{0,…,4\right\}$
Betrachtest du nun wieder die Aufgabenstellung, so wird klar, dass die hier vorliegende Entscheidungsregel genau dann zu einer falschen Entscheidung führt, wenn mindestens 5 der 8 Mitarbeiter ein positives Ergebnis liefern, obwohl der Anteil der weiblichen Zuschauer unter 25 % liegt. Hier wird also wieder der Fehler 1. Art betrachtet.
Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art zu berechnen, benötigst du hier zunächst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass einer der Mitarbeiter mehr als 33 Bilder findet, obwohl der Anteil der weiblichen Zuschauer höchstens 25 % beträgt.
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a)
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten für die gegebenen Ereignisse
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Zuschauerzahlen in der Fußball-Bundesliga in der Saison 2011/12 einen Rekord erreichten. In dieser Saison waren pro Spiel durchschnittlich mehr als 40.000 Zuschauer, wobei das Publikum mittlerweile zu 25 % weiblich ist. Weiterhin kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass dieser Prozentsatz im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden soll. Das heißt:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % ist der Zuschauer eines Bundesliga-Spiels weiblich.
Die Aufgabe gibt dir weiterhin 3 Ereignisse vor, zu welchen du die Wahrscheinlichkeiten berechnen sollst. Diese Ereignisse lauten:
Unter 200, bei einem Bundesliga-Spiel bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauer, befinden sich
  • (1) genau 48 weibliche Zuschauer.
  • (2) mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer.
  • (3) eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.
Da hier in allen drei Fällen die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 200 befragten Zuschauern behandelt wird, betrachten wir hier die Zufallsvariable $X$, welche die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 200 befragten repräsentiert. Da die Zufallsvariable $X$ mit
  • „Zuschauer ist weiblich“
  • „Zuschauer ist nicht weiblich“
nur zwei Ausprägungen besitzt und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zuschauer weiblich ist, mit 25 % als konstant angegeben ist (Ziehen mit Zurücklegen) kann $X$ hier als binomialverteilt angenommen werden. $X$ ist also mit $p = 0,25$ und $n = 200$ binomialverteilt.
Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (1)
Mit der Zufallsvariable $X$ kannst du nun die Wahrscheinlichkeit für das erste Ereignis berechnen. Dieses lautete:
Unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauer befinden sich genau 48 weibliche Zuschauer.
Das heißt, hier musst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $X$ einen Wert von 48 annimmt. In Formeln ausgedrückt also:
$P(X = 48)$
Beim Lösen dieser Aufgabe gibt es hier 2 Wege, die Berechnung mit deinem GTR und die Lösung mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung. Im Folgenden werden beide Lösungswege ausgeführt.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR
Willst du diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier den binompdf-Befehl, welchen du unter
2nd $\to$ VARS (DISTR) $\to$ A:binompdf(
findest. Um $P(X = 48)$ hier zu berechnen, wendest du diesen Befehl wie in den Schaubildern unten an.
Aufgabe 6
Aufgabe 6
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung
Willst du die Wahrscheinlichkeit $P(X = 48)$ mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung berechnen, so betrachtest du hier die Tabelle mit $n = 200$ und $p = 0,25$. Da dir die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung nur die Wahrscheinlichkeiten $P(X \leq k)$ angibt, musst du hier den gesuchten Wert $P(X = 48)$ über folgende Differenz berechnen:
$P(X = 48) = P(X \leq 48) - P(X \leq 47)$
Es ergibt sich hier also folgende Berechnung:
$P(X = 48) = 0,4083 - 0,3458 = 0,0625$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 48 der befragten Personen weiblich sind, liegt also bei 0,0625 bzw. 6,25 %.
Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (2)
Ereignis (2) war gegeben mit:
Unter den 200 befragten Zuschauern befinden sich mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer.
Auch hier betrachtest du wieder die Zufallsvariable $X$. Willst du hier die Wahrscheinlichkeit für das gegebene Ereignis berechnen, so muss für $X$ gelten:
$P(35 \leq X \leq 60)$
Du musst also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $X$ nur Werte zwischen 35 und 60 annimmt. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass $X$ einen Wert zwischen 35 und 60 annimmt, musst du von der Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert von kleiner gleich 60 annimmt, die Wahrscheinlichkeit dafür subtrahieren, dass $X$ eine Wahrscheinlichkeit kleiner gleich 34 annimmt.
Hast du die Wahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt, so kannst du zur Berechnung dein GTR bzw. die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung verwenden.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} P(35 \leq X \leq 60)=&P(X \geq 35) + P(X \leq 60) = P(X \leq 60) - P(X < 35)\\ =&P(X \leq 60) - P(X \leq 34) \end{array}$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR
Willst du diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier den binomcdf-Befehl, welchen du unter
2nd $\to$ VARS (DISTR) $\to$ B:binomcdf(
findest. Um $P(X \leq 60)$, $P(X \leq 34)$ und schließlich $P(35 \leq X \leq 60)$ hier zu berechnen, wendest du diesen Befehl wie in den Schaubildern unten an. Dabei ist im linken Schaubild exemplarisch das Berechnen von $P(X \leq 60)$ dargestellt.
Aufgabe 6
Aufgabe 6
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung
Auch hier betrachtest du wieder die Tabelle mit $n = 200$ und $p = 0,25$. Suche die Werte zu $k = 34$ und $k = 60$ in der Tabelle und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die folgende Differenz:
$P(35 \leq X \leq 60) = P(X \leq 60) - P(X \leq 34) = 0,9546 - 0,0044 = 0,9502$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer unter den 200 befragten Zuschauern befinden, beträgt also 0,9502 bzw. 95,02 %.
Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (3)
Ereignis (3) war gegeben mit:
Unter den 200 befragten Zuschauern befindet sich eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.
Da hier mit $X$ eine binomialverteilte Zufallsvariable vorliegt, berechnest sich deren Erwartungswert über die folgende Formel:
$E = n \cdot p$
Hast du den Erwartungswert $E$ von $X$ berechnen, so musst du die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung um 10 von diesem Berechnen. Eine Abweichung um 10 vom Erwartungswert schließt dabei eine Abweichung nach oben und nach unten ein. Die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_3$ ergibt sich also über folgenden Ansatz:
$P_3 = P(X \leq (E - 10)) + P(X \geq (E + 10))$
Der Erwartungswert von $X$ ist hier:
$ E = 200 \cdot 0,25 = 50$.
Willst du die hier vorliegende Wahrscheinlichkeit wie oben berechnen, so musst du diese auch hier zunächst wie folgt mit dem Gegenereignis umformen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} P_3=&P(X \leq (E - 10)) + P(X \geq (E + 10)) = P(X \leq (50 - 10)) + P(X \geq (50 + 10))\\ P_3=&P(X \leq 40) + P(X \geq 60) =P(X \leq 40) + 1 - P(X < 60)\\ P_3=&P(X \leq 40) + 1 - P(X \leq 59)\\ \end{array}$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR
Willst du auch diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier wieder den binomcdf-Befehl. Die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit wird im Schaubild unten berechnet, wobei wie in den vorherigen Aufgabenteilen vorgegangen wird.
Aufgabe 6
Aufgabe 6
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung
Auch hier betrachtest du wieder die Tabelle mit $n = 200$ und $p = 0,25$. Suche die Werte zu $k = 40$ und $k = 59$ in der Tabelle und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die folgende Summe:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} P_3=&P(X \leq 40) + 1 - P(X \leq 59) = 0,0578 + 1 - 0,9375 = 0,1203\\ \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der weiblichen Zuschauer um mindestens 10 vom Erwartungswert abweicht, beträgt also 0,1203 bzw. 12,03 %.
b) (1)
$\blacktriangleright$Ermitteln des zum Erwartungswert symmetrischen Intervalls
Der Aufgabenstellung kannst du jetzt entnehmen, dass bei einem Bundesliga-Spiel 20.000 Zuschauer ins Stadion strömen. An die weiblichen Zuschauer soll dabei ein Flyer verteilt werden, welcher auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist.
Deine Aufgabe ist es dabei zunächst, auf Grundlage der 20.000 Zuschauer, das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge zu bestimmen, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 bzw. 90 % liegt.
Willst du diese Aufgabe hier lösen, so betrachtest du die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Frauen im Stadion beschreibt. Da sich insgesamt 20.000 Zuschauer im Stadion befinden, gilt für $Y$: $n = 20.000$. Weiterhin gilt für die Zufallsvariable $Y$, dass die Wahrscheinlichkeit, für das Befragen einer Frau bei 0,25 bzw. 25 % liegt (siehe Aufgabe zuvor).
Nun sollst du ein 90 %-Konfidenzintervall um den Erwartungswert von $Y$ bilden.
Zum Lösen dieser, musst du hier die $\sigma$-Regeln anwenden. Gehe dabei so vor:
  • Berechne zunächst die Standardabweichung von $Y$ und stelle mit dieser sicher, ob das Laplace-Kriterium $\sigma > 3$ erfüllt ist.
  • Du findest die Regel $P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90$
  • Setze $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
  • Forme so weit wie möglich um und ermittle so das gesuchte Intervall.
1. Schritt: Laplace-Kriterium prüfen
Mit $ n = 20.000$ und $p = 0,25$ ergibt sich
$\sigma = \sqrt{20.000 \cdot 0,25 \cdot (1 - 0,25)} = \sqrt{3.750} \approx 61,24 > 3$.
Damit ist das Laplace-Kriterium für die Zufallsvariable $Y$ erfüllt und die Sigma-Regeln dürfen angewandt werden.
2. Schritt: $\sigma$-Regeln umformen
Setze nun wie oben beschrieben in den Ausdruck $P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90$ ein und berechne wie folgt das gesuchte Intervall
$\begin{array}{rlr@{\hspace{1cm}}l} P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma)&\approx&0,90\\ P(n \cdot p - 1,64 \cdot 61,24 < Y < n \cdot p + 1,64 \cdot 61,24)&\approx&0,90\\ P(20.000 \cdot 0,25 - 100,434 < Y < 20.000 \cdot 0,25 + 100,434)&\approx&0,90\\ P(5.000 - 100,434 < Y < 5.000 + 100,434)&\approx&0,90\\ P(4.899,566 < Y < 5.100,434)&\approx&0,90\\ P(4.899 < Y < 5.101)&\approx&0,90\\ \end{array}$
Das hier gesuchte Intervall ist: $\left[4.899;5.101\right]$.
b) (2)
$\blacktriangleright$Voraussetzung, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass sich vor einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern gebildet hat. Deine Aufgabe ist es nun, die Voraussetzung zu nennen, unter der die Wahrscheinlichkeit $P$, dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, so berechnet werden kann:
$P= \dbinom{50}{12} \cdot 0,25^{12} \cdot 0,75^{38}$
Betrachtest du den gegebenen Term genauer, so kannst du erkennen, dass es sich hier um den Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen handelt. Mit diesem Term können Wahrscheinlichkeiten der Form $P(X = k)$ für ein bestimmtes $k$ berechnet werden. Das heißt, die hier gesuchten Voraussetzungen ergeben sich aus den Voraussetzungen für eine binomialverteilte Zufallsvariable.
Damit die Wahrscheinlichkeit hier mit Hilfe der Binomialverteilung berechnet werden kann, muss es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen handeln. Das heißt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person, die vor dem Kassenhäuschen als nächstes steht, eine Frau ist, muss immer die gleiche sein und darf sich nicht im Laufe des Experiments verändern. Weiterhin darf die hier betrachtete Zufallsvariable nur zwei mögliche Ausprägungen besitzen, es darf also nur zwischen Mann und Frau und nicht z.B. Mann, Frau und Kind unterschieden werden.
$\blacktriangleright$Entscheiden, ob Berechnung hier zulässig ist
Nun sollst du zusätzlich entscheiden, ob die Berechnung der Wahrscheinlichkeit in der vorliegenden Situation zulässig ist. Stelle dir dazu die Frage, ob die Anzahl der Frauen unter den 50 Personen vor dem Kassenhäuschen als binomialverteilt angenommen werden kann. Dazu musst du dir die Frage stellen, ob es sich hier wirklich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt.
Würde es sich hier nicht um ein Ziehen mit Zurücklegen handeln, so würde sich die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Frau unter den 50 Personen vor dem Kassenhäuschen ändern, nachdem eine von ihnen vor dem Kassenhäuschen stand.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Frau ein deutsches Stadium besucht liegt laut einer Untersuchung bei 25 %. Diese Wahrscheinlichkeit gilt also für alle Stadien in Deutschland. Die Größe ist also „von außen“ bzw. „exogen“ gegeben. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Frau vor dem Kassenhäuschen steht, ist immer die gleiche, weshalb hier ein Ziehen mit Zurücklegen vorliegt und die Berechnung über den gegeben Ansatz zulässig ist.
c) (1)
$\blacktriangleright$Berechnen des Anteils der „Mädchen“ im DFB
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass insgesamt 1.077.215 weibliche Mitglieder im DFB gemeldet sind. Diese Anzahl entspricht einem Prozentsatz von 15,84 %. Von den gemeldeten weiblichen Mitgliedern gehören insgesamt 31,78 % zur Altersklasse „Mädchen“, der Rest gehört zur Altersklasse „Frauen“.
Deine Aufgabe ist es nun, den Anteil der „Mädchen“ im DFB zu berechnen. Führe dir dazu vor Augen, dass der Anteil aller weiblichen Mitglieder beim DFB insgesamt bei 15,84 % liegt. Von diesen 15,84 % gehören wiederum 31,78 % zur Altersklasse „Mädchen“. Berechne also 31,78 % von 15,84 %, um den hier gesuchten Anteil der „Mädchen“ zu berechnen. Beachte dabei, dass der Anteil der weiblichen Mitglieder in der Rechnung als 100 % angesehen werden muss.
Für den Anteil der „Mädchen“ gilt also:
Anteil der „Mädchen“ = $ 15,84\,\% \cdot 31,78\,\% = 0,1584 \cdot 0,3178 \approx 0,050$.
Der Anteil der Mädchen liegt ungefähr bei 5 %.
c) (2)
$\blacktriangleright$Ermitteln des Anteils der „Senioren“ im DFB
Nun sollst du den Anteil der „Senioren“ im DFB berechnen. Der Aufgabenstellung kannst du dazu entnehmen, dass man bei den männlichen Mitgliedern zwischen den Altersklassen „Senioren“ und „Junioren“ unterscheidet. Willst du hier den Anteil der Senioren berechnen, so musst du dir klar machen, was du bereits über die Anteile der einzelnen Gruppen im DFB weißt:
  • Der Anteil der Jugendlichen beträgt 33,09 %;
  • der Anteil der „Mädchen“ beträgt 5 % und
  • der Anteil der „Frauen“ 15,84 %
Da die Senioren eine eigene Gruppe im DFB bilden, gehören diese zu keiner der oben genannten Gruppen. Diese bilden also neben diesen Gruppen den Rest der Mitglieder im DFB. Subtrahiere also von 100 % die Anteile der bestimmten Gruppen und ermittle so den Anteil der „Senioren“ im DFB.
Der Anteil der Jugendlichen im DFB setzt sich zusammen aus dem Anteil der „Mädchen“ und der „Junioren“. Da der Anteil der „Mädchen“ sich bereits im Anteil der weiblichen Mitgliedern befindet, musst du diesen hier vom Anteil der Jugendlichen subtrahieren. Es gilt:
Anteil der „Junioren“ $= 33,09 \,\% - 5 \,\% = 28,09 \,\%$.
Der Anteil der Senioren ergibt sich nun über folgende Differenz:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \text{Anteil „Senioren“}=&100 \,\% - \text{Anteil weibl. Mitglieder} - \text{Anteil „Junioren“}\\ =&100 \,\% - 15,84 \,\% - 28,09 \,\%\;\approx\;56,10 \,\% \end{array}$
Der Anteil der „Senioren“ beträgt 56,10 %.
$\blacktriangleright$Berechnen Anzahl der „Senioren“ im DFB
Nun sollst du die Anzahl der Senioren im DFB berechnen. Führe dir dazu folgende zwei Größen vor Augen:
  • Der Anteil der „Senioren“ im DFB beträgt 56,10 %.
  • Im DFB sind 1.077.215 weibliche Mitglieder gemeldet.
  • Der Anteil der weiblichen Mitglieder beträgt 15,84 %.
Du weißt also, dass 1.077.215 Mitglieder insgesamt 15,84 % aller Mitglieder im DFB ausmachen. Berechne ausgehend von dieser Erkenntnis und dem Prozentsatz der „Senioren“ im DFB (56,10 %) die Anzahl der Senioren im DFB. Berechne dazu zunächst die Gesamtzahl der Mitglieder und anschließend die Anzahl der „Senioren“.
Die Anzahl aller Mitglieder im DFB ergibt sich wie folgt über die Prozentwertformel:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} p \,\%=&\dfrac{p}{G} \cdot 100 \,\%\\ 15,84 \,\%=&\dfrac{1.077.215}{G} \cdot 100 \,\%&\mid \cdot G \quad\mid : 15,84 \,\%\\ G=&\dfrac{1.077.215}{0,1584} \\ G=&6.800.600\\ \end{array}$
Da du nun die Anzahl aller Mitglieder kennst, ergibt sich die Anzahl der „Senioren“ über folgendes Produkt:
$\text{Anzahl „Senioren“} = 6.800.600 \cdot 56,10 \,\% = 6.800.600 \cdot 0,561 \,\% = 3.815.137$
Es befinden sich also insgesamt 3.815.137 „Senioren“ im DFB.
c) (3)
$\blacktriangleright$Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten
Nun werden zwei Mitglieder des DFB zufällig ausgewählt und du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass es sich
  • bei den beiden Personen um einen „Junior“
  • und einen „Senior“ handelt.
Willst du diese Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du die relativen Häufigkeiten für diese Personengruppen als Wahrscheinlichkeiten auffassen:
  • Wahrscheinlichkeit für einen „Junior“: $p_J = 0,2809$
  • Wahrscheinlichkeit für einen „Senior“: $p_S = 0,561$
Anschließend berechnest du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Pfadregeln.
Da zuerst ein „Junior“ und dann ein „Senior“ (und andersherum) aus der Gesamtheit ausgewählt werden könnte, musst du hier die „Reihenfolge“ beachten. Mit Hilfe der Pfadmultiplikation und der Pfadaddition ergibt sich also:
$P = 2 \cdot p_{\text{J}} \cdot p_{\text{S}} = 2 \cdot 0,2809 \cdot 0,561 = 0,3152$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen „Junior“ und einen „Senior“ auszuwählen liegt also bei 0,3152 bzw. 31,52 %.
Hinweis:
Streng genommen würde es sich hier um ein „Ziehen ohne Zurücklegen“ handeln, das heißt, nach dem Auswählen der ersten Person, würde sich die Anzahl aller Personen im DFB um 1 verringern. Berechnest du wie oben, so erhälst du wie folgt die Anzahl aller Junioren im DFB:
$\text{Anzahl Junioren} = 0,2809 \cdot 6.800.600 \approx 1.910.289$
Berechnest du nun die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen, so solltest du zu folgendem Ergebnis gekommen sein:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} P=&P_{\text{Junior}} \cdot P_{\text{Senior}} + P_{\text{Senior}} \cdot P_{\text{Junior}}\\ &=\dfrac{1.910.289}{6.800.600} \cdot \dfrac{3.815.137}{6.800.599} + \dfrac{3.815.137}{6.800.600} \cdot \dfrac{1.910.289}{6.800.599}\\ &=0,2809\cdot 0,5610 + 0,5610 \cdot 0,2809 = 0,3152 \end{array}$
Wie du sehen kannst, gibt es bei einer so großen Grundgesamtheit kaum Unterschiede zwischen dem „Ziehen ohne Zurücklegen“ und dem „Ziehen mit Zurücklegen“, weshalb hier beide Ansätze korrekt sind.
d) (1)
$\blacktriangleright$ Ermitteln eines Hypothesentests und Begründen der Wahl der Nullhypothese
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass man durch attraktive Angebote für Frauen an den Imbissständen eines Stadions versucht, einen Stadionbesuch für diese attraktiver zu gestalten. Der zuständige Verkaufsleiter vermutet sogar, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer sogar auf über 25 % gestiegen ist. Wäre dies der Fall, so würde er zusätzliche Vorräte für die speziellen Angebote für Frauen bereitstellen.
Er muss also eine Entscheidung treffen. Als Hilfestellung nutzen ihm hier Fotos, die im Rahmen eines Anti-Hooligan-Programms von jedem einzelnen Zuschauer beim Einlass gemacht werden. Er lässt 1.000 Fotos zufällig auswählen und in dieser Stichprobe die Anzahl der Fotos bestimmen, die weibliche Zuschauer zeigen.
Deine Aufgabe ist es hierbei einen passenden Hypothesentest für die genannte Stichprobe zu ermitteln und dabei die Wahl der Nullhypothese zu begründen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 0,05.
Bevor du hier einen passenden Hypothesentest entwickeln kannst, musst du zunächst festlegen, welches die Hypothesen sind, die getestet werden sollen. Da getestet werden soll, ob der Anteil der weiblichen Zuschauer gestiegen ist oder nicht, müssen sich die Hypothesen auf diese Tatsache beziehen:
  • Erste Hypothese: Anteil weiblicher Zuschauer ist nicht gestiegen;
  • Zweite Hypothese: Anteil weiblicher Zuschauer ist gestiegen.
Denke beim Auswählen der Hypothesen immer daran, dass als Nullhypothese diejenige Hypothese gewählt werden muss, die aus Sicht des Betroffen verworfen werden soll. Hast du Null- und Gegenhypothese festgelegt, so geht es weiterhin darum, den Hypothesentest zu entwickeln. Führe dazu eine Zufallsvariable für die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 1.000 betrachteten Fotos ein und bestimme mit Hilfe der Irrtumswahrscheinlichkeit Annahme- und Ablehnungsbereich für den vorliegenden Test.
Gehe also so vor:
  • Bestimme Null- und Gegenhypothese;
  • Führe eine Zufallsvariable für die Anzahl der weiblichen Zuschauer ein;
  • Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich.
1. Schritt: Bestimmen von Null- und Gegenhypothese
Da es aus der Sicht des Verkaufsleiters vorteilhaft wäre, wenn der Anteil der weiblichen Zuschauer über 25 % gestiegen ist, handelt es sich hierbei um die Gegenhypothese. Folglich formuliert die Nullhypothese das Ereignis, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer entweder gleichgeblieben oder gefallen ist. Mit $p$ als Anteil der weiblichen Zuschauer gilt also:
  • Nullhypothese: $H_0:\quad p \leq 0,25$
  • Gegenhypothese: $H_1:\quad p > 0,25$
Da der Verkaufsleiter Hypothese $H_1$ annehmen möchte und diese auf $p > 0,25$ testet, handelt es sich hier um einen rechtsseitigen Hypothesentest.
2. Schritt: Einführen einer passenden Zufallsvariablen
Um Annahme- und Ablehnungsbereich hier bestimmen zu können, benötigst du eine Zufallsvariable $Z$ welche die Anzahl der weiblichen Zuschauer in der gegebenen Stichprobe vom Umfang 1.000 beschreibt. Da mit der gegeben Irrtumswahrscheinlichkeit von $\alpha = 0,05$ die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art gegeben ist, muss Zufallsvariable $Z$ mit $n = 1.000$ und $p = 0,25$ mit der gleichen Begründung wie in den Aufgabenteilen zuvor binomialverteilt sein.
3. Schritt: Bestimmen von Annahme- und Ablehnungsbereich
Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmst du hier über die Irrtumswahrscheinlichkeit. Betrachtest du $k$ als Grenze für den Annahmebereich, so ergeben sich Annahme- und Ablehnungsbereich wie folgt:
  • Annahmebereich: $A = \left\{0,1,…,k-1\right\}$
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{k,k+1,…,1.000\right\}$
Da die Irrtumswahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art angibt, beschreibt diese die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Gegenhypothese angenommen wird, obwohl der Anteil der weiblichen Zuschauer nicht gestiegen ist.
Im Bezug zur Zufallsvariablen $Z$ lässt sich dies wie folgt in Formel ausdrücken:
$P(Z \geq k) \leq 0,05$
Da Terme der Form $P(Z \geq k)$ weder mit deinem GTR noch mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung ausgewertet werden können, musst du diese Ungleichung zunächst wie folgt umformen, verwende dazu das Gegenereignis.
$\begin{array}{rrl@{\hspace{1cm}}l} P(Z \geq k)&\leq&0,05\\ 1 - P(Z < k)&\leq&0,05\\ 1 - P(Z \leq k-1)&\leq&0,05&\mid -1\\ - P(Z \leq k-1)&\leq&-0,95&\mid: (-1)\\ P(Z \leq k-1)&\geq&0,95\\ \end{array}$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle zur kumulieren Biniminialverteilung
Willst du die Ungleichung von oben hier mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung lösen, so betrachtest du die Tabelle mit $n = 1.000$ und $p = 0,25$. Suche dann die Stelle, bei welcher der Wert 0,95 das erste Mal überstiegen wird.
Für $k-1$ ergibt sich also: $k-1=273$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösung mit dem GTR
Gib die rechte Seite der obigen Ungleichung als Funktion in den Y=-Editor deines GTR ein. Verwende dazu auch hier wieder den binomcdf-Befehl, wobei du für k ? 1 X wählst (siehe unten links). Wechsle anschließend über 2nd $\to$ GRAPH zur zugehörigen Wertetabelle und suche die erste Stelle, an welcher 0,95 überschritten wird.
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Für $k- 1$ ergibt sich also 273, das heißt, für den Annahme- und Ablehnungsbereich gilt hier:
  • Annahmebereich: $A = \left\{0,1,…,273\right\}$
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{274,…,1.000\right\}$
Es wurde hier also ein rechtsseitiger Hypothesentest entwickelt, mit den Hypothesen
  • Nullhypothese: $H_0:\quad p \leq 0,25$
  • Gegenhypothese: $H_1:\quad p > 0,25$
und den obigen Annahme- und Ablehnungsbereichen.
d) (2)
$\blacktriangleright$Beschreiben des Fehlers 2. Art und Berechnen der Wahrscheinlichkeit
Hier sollst du nun zum obigen Hypothesentest den Fehler 2. Art beschreiben und die Wahrscheinlichkeit für diesen berechnen, für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich 30 % beträgt.
Der Fehler 2. Art beschreibt immer ein Ablehnen der Gegenhypothese, obwohl diese wahr ist. Hier bedeutet das ein Ablehnen der Gegenhypothese $H_1: p > 0,25$ obwohl offensichtliche $p = 0,25 > 0,3$ gilt. Im Sachzusammenhang interpretiert bedeutet das, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer in Wirklichkeit über 25 % gestiegen ist, obwohl dies mit dem Hypothesentest widerlegt wurde.
Betrachtest du dazu Zufallsvariable $Z_{\text{neu}}$ die mit $p = 0,3$ und $n = 1.000$ die Anzahl der weiblichen Stadionbesucher nach gestiegenem Anteil beschreibt, dann nimmt diese einen Wert aus dem Annahmebereich für die Nullhypothese an, wenn der Fehler 2. Art eintritt.
Willst du die Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du also folgenden Term betrachten:
$P(Z_{\text{neu}} \leq 273)$
Verwende dazu auch hier wieder die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung ($n = 1.000;
p = 0,3$) oder deinen GTR.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung
Betrachte hier die Tabelle für $n = 1.000$ und $p = 0,3$ und suche den Wert an der Stelle $k = 273$.
Für die Wahrscheinlichkeit ergibt sich also: $P(Z_{\text{neu}} \leq 273) = 0,0329$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Lösung über GTR
Verwende hier wieder wie in den Aufgabenteilen zuvor deinen GTR. Mit dem binomcdf-Befehl ergibt sich hier:
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist hier also 0,0329 bzw. 3,29 %.
d) (3)
$\blacktriangleright$Beschreiben eines Verfahrens
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass die acht Helfer, die die Fotos auswerten jeweils 125 zufällig ausgewählte erhalten. Dabei haben sie folgende Regel aufgestellt: Zählen mindestens 5 der 8 Helfer mehr als 33 Fotos weiblicher Zuschauer, so gilt die Vermutung des Verkaufsleiters als bestätigt.
Deine Aufgabe ist es hierbei, ein Verfahren zu beschreiben, mit dem sich die maximale Wahrscheinlichkeit dafür berechnen lässt, dass die hier aufgestellte Regel zu einer falschen Entscheidung führt. Dabei sollst du davon ausgehen, dass höchstens 25 % weibliche Zuschauer ins Stadion kommen.
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du zunächst erkennen, dass es sich auch hier wieder um einen Hypothesentest handelt. Mit diesem Test soll auch hier untersucht werden, ob die Vermutung des Verkaufsleiters korrekt ist. Der Annahme- und Ablehnungsbereich dieses Tests ergibt sich aus der oben beschriebenen Entscheidungsregel. Betrachtest du dazu die Zufallsvariable $T_1$, welche die Anzahl der positiv ausgefallenen Tests der 8 Mitarbeiter beschreibt, so gilt hier für den Annahme- und Ablehnungsbereich:
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{5,…,8\right\}$
  • Annahmebereich: $A = \left\{0,…,4\right\}$
Betrachtest du nun wieder die Aufgabenstellung, so wird klar, dass die hier vorliegende Entscheidungsregel genau dann zu einer falschen Entscheidung führt, wenn mindestens 5 der 8 Mitarbeiter ein positives Ergebnis liefern, obwohl der Anteil der weiblichen Zuschauer unter 25 % liegt. Hier wird also wieder der Fehler 1. Art betrachtet.
Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art zu berechnen, benötigst du hier zunächst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass einer der Mitarbeiter mehr als 33 Bilder findet, obwohl der Anteil der weiblichen Zuschauer höchstens 25 % beträgt.
Im folgenden wird nun das Verfahren Schritt für Schritt erklärt:
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit für positives Auszählungsergebnis
Jeder Mitarbeiter betrachtet insgesamt 125 Bilder, wobei mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % ein betrachtetes Bild eine Frau zeigt. Mit der gleichen Begründung wie zuvor kann hier die binomialverteilte Zufallsvariable $T_2$ betrachtet werden, die die Anzahl der Bilder von weiblichen Zuschauern beschreibt.
Die Mitarbeiter liefern ein positives Ergebnis, wenn $T_2$ einen Wert größer 33 annimmt:
$p_p = P(T_2 > 33)$
Die resultierende Wahrscheinlichkeit $p_p$ für ein positives Ergebnis wird im nächsten Schritt wieder aufgegriffen.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Entscheidung
Von oben weißt du, dass die Wahrscheinlichkeit $p_p$ die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass ein Mitarbeiter ein positives Ergebnis liefert. Betrachtest du nun wieder die Zufallsvariable $T_1$, so kannst du erkennen, dass diese mit $n = 8$ und $p = p_p = P(T_2 > 33)$ binomialverteilt ist.
Die maximale Wahrscheinlichkeit, mit welcher diese Regel zu einer falschen Entscheidung führt, berechnet man nun, indem man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass die Zufallsvariable $T_1$, die die Anzahl der positiven Ergebnisse beschreibt, einen Wert aus dem Annahmebereich annimmt, obwohl der Anteil der weiblichen Zuschauer höchstens 25 % beträgt und man die Hypothese eigentlich verwerfen müsste.
Es gilt also für die gesuchte maximale Wahrscheinlichkeit $p_{max.}$:
$p_{max.} = P(T_1 \geq 5)$
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a)
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten für die gegebenen Ereignisse
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Zuschauerzahlen in der Fußball-Bundesliga in der Saison 2011/12 einen Rekord erreichten. In dieser Saison waren pro Spiel durchschnittlich mehr als 40.000 Zuschauer, wobei das Publikum mittlerweile zu 25 % weiblich ist. Weiterhin kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass dieser Prozentsatz im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden soll. Das heißt:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % ist der Zuschauer eines Bundesliga-Spiels weiblich.
Die Aufgabe gibt dir weiterhin 3 Ereignisse vor, zu welchen du die Wahrscheinlichkeiten berechnen sollst. Diese Ereignisse lauten:
Unter 200, bei einem Bundesliga-Spiel bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauer, befinden sich
  • (1) genau 48 weibliche Zuschauer.
  • (2) mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer.
  • (3) eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.
Da hier in allen drei Fällen die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 200 befragten Zuschauern behandelt wird, betrachten wir hier die Zufallsvariable $X$, welche die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 200 befragten repräsentiert. Da die Zufallsvariable $X$ mit
  • „Zuschauer ist weiblich“
  • „Zuschauer ist nicht weiblich“
nur zwei Ausprägungen besitzt und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zuschauer weiblich ist, mit 25 % als konstant angegeben ist (Ziehen mit Zurücklegen) kann $X$ hier als binomialverteilt angenommen werden. $X$ ist also mit $p = 0,25$ und $n = 200$ binomialverteilt.
Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (1)
Mit der Zufallsvariable $X$ kannst du nun die Wahrscheinlichkeit für das erste Ereignis berechnen. Dieses lautete:
Unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauer befinden sich genau 48 weibliche Zuschauer.
Das heißt, hier musst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $X$ einen Wert von 48 annimmt. In Formeln ausgedrückt also:
$P(X = 48)$
Beim Lösen dieser Aufgabe gibt es hier 2 Wege, die Berechnung mit deinem GTR und die Lösung mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung. Im Folgenden werden beide Lösungswege ausgeführt.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR
Willst du diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier den Bpd-Befehl, welchen du im STAT-Menü unter
DIST $\to$ BINM $\to$ Bpd
findest. Um $P(X = 48)$ hier zu berechnen, wendest du diesen Befehl wie in den Schaubildern unten an.
Aufgabe 6
Aufgabe 6
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung
Willst du die Wahrscheinlichkeit $P(X = 48)$ mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung berechnen, so betrachtest du hier die Tabelle mit $n = 200$ und $p = 0,25$. Da dir die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung nur die Wahrscheinlichkeiten $P(X \leq k)$ angibt, musst du hier den gesuchten Wert $P(X = 48)$ über folgende Differenz berechnen:
$P(X = 48) = P(X \leq 48) - P(X \leq 47)$
Es ergibt sich hier also folgende Berechnung:
$P(X = 48) = 0,4083 - 0,3458 = 0,0625$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 48 der befragten Personen weiblich sind, liegt also bei 0,0625 bzw. 6,25 %.
Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (2)
Ereignis (2) war gegeben mit:
Unter den 200 befragten Zuschauern befinden sich mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer.
Auch hier betrachtest du wieder die Zufallsvariable $X$. Willst du hier die Wahrscheinlichkeit für das gegebene Ereignis berechnen, so muss für $X$ gelten:
$P(35 \leq X \leq 60)$
Du musst also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $X$ nur Werte zwischen 35 und 60 annimmt. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass $X$ einen Wert zwischen 35 und 60 annimmt, musst du von der Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert von kleiner gleich 60 annimmt, die Wahrscheinlichkeit dafür subtrahieren, dass $X$ eine Wahrscheinlichkeit kleiner gleich 34 annimmt.
Hast du die Wahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt, so kannst du zur Berechnung dein GTR bzw. die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung verwenden.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} P(35 \leq X \leq 60)=&P(X \geq 35) + P(X \leq 60) = P(X \leq 60) - P(X < 35)\\ =&P(X \leq 60) - P(X \leq 34) \end{array}$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR
Willst du diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier den Bcd-Befehl, welchen du im STAT-Menü unter
DIST $\to$ BINM $\to$ Bpd
findest. Um $P(X \leq 60)$, $P(X \leq 34)$ und schließlich $P(35 \leq X \leq 60)$ hier zu berechnen, wendest du diesen Befehl wie in den Schaubildern unten an. Dabei ist im linken Schaubild exemplarisch das Berechnen von $P(X \leq 60)$ dargestellt.
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Es folgt also:
$P(35 \leq X \leq 60)= P(X \leq 60) - P(X \leq 34) = 0,9546 - 0,0044 = 0,9502$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung
Auch hier betrachtest du wieder die Tabelle mit $n = 200$ und $p = 0,25$. Suche die Werte zu $k = 34$ und $k = 60$ in der Tabelle und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die folgende Differenz:
$P(35 \leq X \leq 60) = P(X \leq 60) - P(X \leq 34) = 0,9546 - 0,0044 = 0,9502$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer unter den 200 befragten Zuschauern befinden, beträgt also 0,9502 bzw. 95,02 %.
Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (3)
Ereignis (3) war gegeben mit:
Unter den 200 befragten Zuschauern befindet sich eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.
Da hier mit $X$ eine binomialverteilte Zufallsvariable vorliegt, berechnest sich deren Erwartungswert über die folgende Formel:
$E = n \cdot p$
Hast du den Erwartungswert $E$ von $X$ berechnen, so musst du die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung um 10 von diesem Berechnen. Eine Abweichung um 10 vom Erwartungswert schließt dabei eine Abweichung nach oben und nach unten ein. Die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_3$ ergibt sich also über folgenden Ansatz:
$P_3 = P(X \leq (E - 10)) + P(X \geq (E + 10))$
Der Erwartungswert von $X$ ist hier:
$ E = 200 \cdot 0,25 = 50$.
Willst du die hier vorliegende Wahrscheinlichkeit wie oben berechnen, so musst du diese auch hier zunächst wie folgt mit dem Gegenereignis umformen:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} P_3=&P(X \leq (E - 10)) + P(X \geq (E + 10)) = P(X \leq (50 - 10)) + P(X \geq (50 + 10))\\ P_3=&P(X \leq 40) + P(X \geq 60) =P(X \leq 40) + 1 - P(X < 60)\\ P_3=&P(X \leq 40) + 1 - P(X \leq 59)\\ \end{array}$
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR
Willst du auch diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier wieder den binomcdf-Befehl. Die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit wird im Schaubild unten berechnet, wobei wie in den vorherigen Aufgabenteilen vorgegangen wird.
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Es folgt:
$P_3 = P(X \leq 40) + 1 - P(X \leq 59) = 0,0578 + 1 - 0,9375 = 0,1203$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung
Auch hier betrachtest du wieder die Tabelle mit $n = 200$ und $p = 0,25$. Suche die Werte zu $k = 40$ und $k = 59$ in der Tabelle und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die folgende Summe:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} P_3=&P(X \leq 40) + 1 - P(X \leq 59) = 0,0578 + 1 - 0,9375 = 0,1203\\ \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der weiblichen Zuschauer um mindestens 10 vom Erwartungswert abweicht, beträgt also 0,1203 bzw. 12,03 %.
b) (1)
$\blacktriangleright$Ermitteln des zum Erwartungswert symmetrischen Intervalls
Der Aufgabenstellung kannst du jetzt entnehmen, dass bei einem Bundesliga-Spiel 20.000 Zuschauer ins Stadion strömen. An die weiblichen Zuschauer soll dabei ein Flyer verteilt werden, welcher auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist.
Deine Aufgabe ist es dabei zunächst, auf Grundlage der 20.000 Zuschauer, das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge zu bestimmen, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 bzw. 90 % liegt.
Willst du diese Aufgabe hier lösen, so betrachtest du die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Frauen im Stadion beschreibt. Da sich insgesamt 20.000 Zuschauer im Stadion befinden, gilt für $Y$: $n = 20.000$. Weiterhin gilt für die Zufallsvariable $Y$, dass die Wahrscheinlichkeit, für das Befragen einer Frau bei 0,25 bzw. 25 % liegt (siehe Aufgabe zuvor).
Nun sollst du ein 90 %-Konfidenzintervall um den Erwartungswert von $Y$ bilden.
Zum Lösen dieser, musst du hier die $\sigma$-Regeln anwenden. Gehe dabei so vor:
  • Berechne zunächst die Standardabweichung von $Y$ und stelle mit dieser sicher, ob das Laplace-Kriterium $\sigma > 3$ erfüllt ist.
  • Du findest die Regel $P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90$
  • Setze $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
  • Forme so weit wie möglich um und ermittle so das gesuchte Intervall.
1. Schritt: Laplace-Kriterium prüfen
Mit $ n = 20.000$ und $p = 0,25$ ergibt sich
$\sigma = \sqrt{20.000 \cdot 0,25 \cdot (1 - 0,25)} = \sqrt{3.750} \approx 61,24 > 3$.
Damit ist das Laplace-Kriterium für die Zufallsvariable $Y$ erfüllt und die Sigma-Regeln dürfen angewandt werden.
2. Schritt: $\sigma$-Regeln umformen
Setze nun wie oben beschrieben in den Ausdruck $P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90$ ein und berechne wie folgt das gesuchte Intervall
$\begin{array}{rlr@{\hspace{1cm}}l} P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma)&\approx&0,90\\ P(n \cdot p - 1,64 \cdot 61,24 < Y < n \cdot p + 1,64 \cdot 61,24)&\approx&0,90\\ P(20.000 \cdot 0,25 - 100,434 < Y <20.000 \cdot 0,25 + 100,434)&\approx&0,90\\ P(5.000 - 100,434 < Y <5.000 + 100,434)&\approx&0,90\\ P(4.899,566 < Y <5.100,434)&\approx&0,90\\ P(4.899 < Y <5.101)&\approx&0,90\\ \end{array}$
Das hier gesuchte Intervall ist: $\left[4.899;5.101\right]$.
b) (2)
$\blacktriangleright$Voraussetzung, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass sich vor einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern gebildet hat. Deine Aufgabe ist es nun, die Voraussetzung zu nennen, unter der die Wahrscheinlichkeit $P$, dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, so berechnet werden kann:
$P= \dbinom{50}{12} \cdot 0,25^{12} \cdot 0,75^{38}$
Betrachtest du den gegebenen Term genauer, so kannst du erkennen, dass es sich hier um den Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen handelt. Mit diesem Term können Wahrscheinlichkeiten der Form $P(X = k)$ für ein bestimmtes $k$ berechnet werden. Das heißt, die hier gesuchten Voraussetzungen ergeben sich aus den Voraussetzungen für eine binomialverteilte Zufallsvariable.
Damit die Wahrscheinlichkeit hier mit Hilfe der Binomialverteilung berechnet werden kann, muss es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen handeln. Das heißt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person, die vor dem Kassenhäuschen als nächstes steht, eine Frau ist, muss immer die gleiche sein und darf sich nicht im Laufe des Experiments verändern. Weiterhin darf die hier betrachtete Zufallsvariable nur zwei mögliche Ausprägungen besitzen, es darf also nur zwischen Mann und Frau und nicht z.B. Mann, Frau und Kind unterschieden werden.
$\blacktriangleright$Entscheiden, ob Berechnung hier zulässig ist
Nun sollst du zusätzlich entscheiden, ob die Berechnung der Wahrscheinlichkeit in der vorliegenden Situation zulässig ist. Stelle dir dazu die Frage, ob die Anzahl der Frauen unter den 50 Personen vor dem Kassenhäuschen als binomialverteilt angenommen werden kann. Dazu musst du dir die Frage stellen, ob es sich hier wirklich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt.
Würde es sich hier nicht um ein Ziehen mit Zurücklegen handeln, so würde sich die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Frau unter den 50 Personen vor dem Kassenhäuschen ändern, nachdem eine von ihnen vor dem Kassenhäuschen stand.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Frau ein deutsches Stadium besucht liegt laut einer Untersuchung bei 25 %. Diese Wahrscheinlichkeit gilt also für alle Stadien in Deutschland. Die Größe ist also „von außen“ bzw. „exogen“ gegeben. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Frau vor dem Kassenhäuschen steht, ist immer die gleiche, weshalb hier ein Ziehen mit Zurücklegen vorliegt und die Berechnung über den gegeben Ansatz zulässig ist.
c) (1)
$\blacktriangleright$Berechnen des Anteils der „Mädchen“ im DFB
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass insgesamt 1.077.215 weibliche Mitglieder im DFB gemeldet sind. Diese Anzahl entspricht einem Prozentsatz von 15,84 %. Von den gemeldeten weiblichen Mitgliedern gehören insgesamt 31,78 % zur Altersklasse „Mädchen“, der Rest gehört zur Altersklasse „Frauen“.
Deine Aufgabe ist es nun, den Anteil der „Mädchen“ im DFB zu berechnen. Führe dir dazu vor Augen, dass der Anteil aller weiblichen Mitglieder beim DFB insgesamt bei 15,84 % liegt. Von diesen 15,84 % gehören wiederum 31,78 % zur Altersklasse „Mädchen“. Berechne also 31,78 % von 15,84 %, um den hier gesuchten Anteil der „Mädchen“ zu berechnen. Beachte dabei, dass der Anteil der weiblichen Mitglieder in der Rechnung als 100 % angesehen werden muss.
Für den Anteil der „Mädchen“ gilt also:
Anteil der „Mädchen“ = $ 15,84\,\% \cdot 31,78\,\% = 0,1584 \cdot 0,3178 \approx 0,050$.
Der Anteil der Mädchen liegt ungefähr bei 5 %.
c) (2)
$\blacktriangleright$Ermitteln des Anteils der „Senioren“ im DFB
Nun sollst du den Anteil der „Senioren“ im DFB berechnen. Der Aufgabenstellung kannst du dazu entnehmen, dass man bei den männlichen Mitgliedern zwischen den Altersklassen „Senioren“ und „Junioren“ unterscheidet. Willst du hier den Anteil der Senioren berechnen, so musst du dir klar machen, was du bereits über die Anteile der einzelnen Gruppen im DFB weißt:
  • Der Anteil der Jugendlichen beträgt 33,09 %;
  • der Anteil der „Mädchen“ beträgt 5 % und
  • der Anteil der „Frauen“ 15,84 %
Da die Senioren eine eigene Gruppe im DFB bilden, gehören diese zu keiner der oben genannten Gruppen. Diese bilden also neben diesen Gruppen den Rest der Mitglieder im DFB. Subtrahiere also von 100 % die Anteile der bestimmten Gruppen und ermittle so den Anteil der „Senioren“ im DFB.
Der Anteil der Jugendlichen im DFB setzt sich zusammen aus dem Anteil der „Mädchen“ und der „Junioren“. Da der Anteil der „Mädchen“ sich bereits im Anteil der weiblichen Mitgliedern befindet, musst du diesen hier vom Anteil der Jugendlichen subtrahieren. Es gilt:
Anteil der „Junioren“ $= 33,09 \,\% - 5 \,\% = 28,09 \,\%$.
Der Anteil der Senioren ergibt sich nun über folgende Differenz:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \text{Anteil „Senioren“}=&100 \,\% - \text{Anteil weibl. Mitglieder} - \text{Anteil „Junioren“}\\ =&100 \,\% - 15,84 \,\% - 28,09 \,\%\;\approx\;56,10 \,\% \end{array}$
Der Anteil der „Senioren“ beträgt 56,10 %.
$\blacktriangleright$Berechnen Anzahl der „Senioren“ im DFB
Nun sollst du die Anzahl der Senioren im DFB berechnen. Führe dir dazu folgende zwei Größen vor Augen:
  • Der Anteil der „Senioren“ im DFB beträgt 56,10 %.
  • Im DFB sind 1.077.215 weibliche Mitglieder gemeldet.
  • Der Anteil der weiblichen Mitglieder beträgt 15,84 %.
Du weißt also, dass 1.077.215 Mitglieder insgesamt 15,84 % aller Mitglieder im DFB ausmachen. Berechne ausgehend von dieser Erkenntnis und dem Prozentsatz der „Senioren“ im DFB (56,10 %) die Anzahl der Senioren im DFB. Berechne dazu zunächst die Gesamtzahl der Mitglieder und anschließend die Anzahl der „Senioren“.
Die Anzahl aller Mitglieder im DFB ergibt sich wie folgt über die Prozentwertformel:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} p \,\%=&\dfrac{p}{G} \cdot 100 \,\%\\ 15,84 \,\%=&\dfrac{1.077.215}{G} \cdot 100 \,\%&\mid \cdot G \quad\mid : 15,84 \,\%\\ G=&\dfrac{1.077.215}{0,1584} \\ G=&6.800.600\\ \end{array}$
Da du nun die Anzahl aller Mitglieder kennst, ergibt sich die Anzahl der „Senioren“ über folgendes Produkt:
$\text{Anzahl „Senioren“} = 6.800.600 \cdot 56,10 \,\% = 6.800.600 \cdot 0,561 \,\% = 3.815.137$
Es befinden sich also insgesamt 3.815.137 „Senioren“ im DFB.
c) (3)
$\blacktriangleright$Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten
Nun werden zwei Mitglieder des DFB zufällig ausgewählt und du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass es sich
  • bei den beiden Personen um einen „Junior“
  • und einen „Senior“ handelt.
Willst du diese Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du die relativen Häufigkeiten für diese Personengruppen als Wahrscheinlichkeiten auffassen:
  • Wahrscheinlichkeit für einen „Junior“: $p_J = 0,2809$
  • Wahrscheinlichkeit für einen „Senior“: $p_S = 0,561$
Anschließend berechnest du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Pfadregeln.
Da zuerst ein „Junior“ und dann ein „Senior“ (und andersherum) aus der Gesamtheit ausgewählt werden könnte, musst du hier die „Reihenfolge“ beachten. Mit Hilfe der Pfadmultiplikation und der Pfadaddition ergibt sich also:
$P = 2 \cdot p_{\text{J}} \cdot p_{\text{S}} = 2 \cdot 0,2809 \cdot 0,561 = 0,3152$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen „Junior“ und einen „Senior“ auszuwählen liegt also bei 0,3152 bzw. 31,52 %.
Hinweis:
Streng genommen würde es sich hier um ein „Ziehen ohne Zurücklegen“ handeln, das heißt, nach dem Auswählen der ersten Person, würde sich die Anzahl aller Personen im DFB um 1 verringern. Berechnest du wie oben, so erhälst du wie folgt die Anzahl aller Junioren im DFB:
$\text{Anzahl Junioren} = 0,2809 \cdot 6.800.600 \approx 1.910.289$
Berechnest du nun die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen, so solltest du zu folgendem Ergebnis gekommen sein:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} P=&P_{\text{Junior}} \cdot P_{\text{Senior}} + P_{\text{Senior}} \cdot P_{\text{Junior}}\\ &=\dfrac{1.910.289}{6.800.600} \cdot \dfrac{3.815.137}{6.800.599} + \dfrac{3.815.137}{6.800.600} \cdot \dfrac{1.910.289}{6.800.599}\\ &=0,2809\cdot 0,5610 + 0,5610 \cdot 0,2809 = 0,3152 \end{array}$
Wie du sehen kannst, gibt es bei einer so großen Grundgesamtheit kaum Unterschiede zwischen dem „Ziehen ohne Zurücklegen“ und dem „Ziehen mit Zurücklegen“, weshalb hier beide Ansätze korrekt sind.
d) (1)
$\blacktriangleright$ Ermitteln eines Hypothesentests und Begründen der Wahl der Nullhypothese
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass man durch attraktive Angebote für Frauen an den Imbissständen eines Stadions versucht, einen Stadionbesuch für diese attraktiver zu gestalten. Der zuständige Verkaufsleiter vermutet sogar, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer sogar auf über 25 % gestiegen ist. Wäre dies der Fall, so würde er zusätzliche Vorräte für die speziellen Angebote für Frauen bereitstellen.
Er muss also eine Entscheidung treffen. Als Hilfestellung nutzen ihm hier Fotos, die im Rahmen eines Anti-Hooligan-Programms von jedem einzelnen Zuschauer beim Einlass gemacht werden. Er lässt 1.000 Fotos zufällig auswählen und in dieser Stichprobe die Anzahl der Fotos bestimmen, die weibliche Zuschauer zeigen.
Deine Aufgabe ist es hierbei einen passenden Hypothesentest für die genannte Stichprobe zu ermitteln und dabei die Wahl der Nullhypothese zu begründen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 0,05.
Bevor du hier einen passenden Hypothesentest entwickeln kannst, musst du zunächst festlegen, welches die Hypothesen sind, die getestet werden sollen. Da getestet werden soll, ob der Anteil der weiblichen Zuschauer gestiegen ist oder nicht, müssen sich die Hypothesen auf diese Tatsache beziehen:
  • Erste Hypothese: Anteil weiblicher Zuschauer ist nicht gestiegen;
  • Zweite Hypothese: Anteil weiblicher Zuschauer ist gestiegen.
Denke beim Auswählen der Hypothesen immer daran, dass als Nullhypothese diejenige Hypothese gewählt werden muss, die aus Sicht des Betroffen verworfen werden soll. Hast du Null- und Gegenhypothese festgelegt, so geht es weiterhin darum, den Hypothesentest zu entwickeln. Führe dazu eine Zufallsvariable für die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 1.000 betrachteten Fotos ein und bestimme mit Hilfe der Irrtumswahrscheinlichkeit Annahme- und Ablehnungsbereich für den vorliegenden Test.
Gehe also so vor:
  • Bestimme Null- und Gegenhypothese;
  • Führe eine Zufallsvariable für die Anzahl der weiblichen Zuschauer ein;
  • Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich.
1. Schritt: Bestimmen von Null- und Gegenhypothese
Da es aus der Sicht des Verkaufsleiters vorteilhaft wäre, wenn der Anteil der weiblichen Zuschauer über 25 % gestiegen ist, handelt es sich hierbei um die Gegenhypothese. Folglich formuliert die Nullhypothese das Ereignis, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer entweder gleichgeblieben oder gefallen ist. Mit $p$ als Anteil der weiblichen Zuschauer gilt also:
  • Nullhypothese: $H_0:\quad p \leq 0,25$
  • Gegenhypothese: $H_1:\quad p > 0,25$
Da der Verkaufsleiter Hypothese $H_1$ annehmen möchte und diese auf $p > 0,25$ testet, handelt es sich hier um einen rechtsseitigen Hypothesentest.
2. Schritt: Einführen einer passenden Zufallsvariablen
Um Annahme- und Ablehnungsbereich hier bestimmen zu können, benötigst du eine Zufallsvariable $Z$ welche die Anzahl der weiblichen Zuschauer in der gegebenen Stichprobe vom Umfang 1.000 beschreibt. Da mit der gegeben Irrtumswahrscheinlichkeit von $\alpha = 0,05$ die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art gegeben ist, muss Zufallsvariable $Z$ mit $n = 1.000$ und $p = 0,25$ mit der gleichen Begründung wie in den Aufgabenteilen zuvor binomialverteilt sein.
3. Schritt: Bestimmen von Annahme- und Ablehnungsbereich
Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmst du hier über die Irrtumswahrscheinlichkeit. Betrachtest du $k$ als Grenze für den Annahmebereich, so ergeben sich Annahme- und Ablehnungsbereich wie folgt:
  • Annahmebereich: $A = \left\{0,1,…,k-1\right\}$
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{k,k+1,…,1.000\right\}$
Da die Irrtumswahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art angibt, beschreibt diese die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Gegenhypothese angenommen wird, obwohl der Anteil der weiblichen Zuschauer nicht gestiegen ist.
Im Bezug zur Zufallsvariablen $Z$ lässt sich dies wie folgt in Formel ausdrücken:
$P(Z \geq k) \leq 0,05$
Da Terme der Form $P(Z \geq k)$ weder mit deinem GTR noch mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung ausgewertet werden können, musst du diese Ungleichung zunächst wie folgt umformen, verwende dazu das Gegenereignis.
$\begin{array}{rrl@{\hspace{1cm}}l} P(Z \geq k)&\leq&0,05\\ 1 - P(Z < k)&\leq&0,05\\ 1 - P(Z \leq k-1)&\leq&0,05&\mid -1\\ - P(Z \leq k-1)&\leq&-0,95&\mid: (-1)\\ P(Z \leq k-1)&\geq&0,95\\ \end{array}$
Da es bei solch großen Zahlen ($n = 1.000$) es hier sehr aufwendig wäre, diese Aufgabe mit dem GTR zu lösen, verwendest du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung.
Willst du die Ungleichung von oben hier mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung lösen, so betrachtest du die Tabelle mit $n = 1.000$ und $p = 0,25$. Suche dann die Stelle, bei welcher der Wert 0,95 das erste Mal überstiegen wird.
Für $k - 1$ ergibt sich also 273, das heißt, für den Annahme- und Ablehnungsbereich gilt hier:
  • Annahmebereich: $A = \left\{0,1,…,273\right\}$
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{274,…,1.000\right\}$
Es wurde hier also ein rechtsseitiger Hypothesentest entwickelt, mit den Hypothesen
  • Nullhypothese: $H_0:\quad p \leq 0,25$
  • Gegenhypothese: $H_1:\quad p > 0,25$
und den obigen Annahme- und Ablehnungsbereichen.
d) (2)
$\blacktriangleright$Beschreiben des Fehlers 2. Art und Berechnen der Wahrscheinlichkeit
Hier sollst du nun zum obigen Hypothesentest den Fehler 2. Art beschreiben und die Wahrscheinlichkeit für diesen berechnen, für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich 30 % beträgt.
Der Fehler 2. Art beschreibt immer ein Ablehnen der Gegenhypothese, obwohl diese wahr ist. Hier bedeutet das ein Ablehnen der Gegenhypothese $H_1: p > 0,25$ obwohl offensichtliche $p = 0,25 > 0,3$ gilt. Im Sachzusammenhang interpretiert bedeutet das, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer in Wirklichkeit über 25 % gestiegen ist, obwohl dies mit dem Hypothesentest widerlegt wurde.
Betrachtest du dazu Zufallsvariable $Z_{\text{neu}}$ die mit $p = 0,3$ und $n = 1.000$ die Anzahl der weiblichen Stadionbesucher nach gestiegenem Anteil beschreibt, dann nimmt diese einen Wert aus dem Annahmebereich für die Nullhypothese an, wenn der Fehler 2. Art eintritt.
Willst du die Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du also folgenden Term betrachten:
$P(Z_{\text{neu}} \leq 273)$
Verwende dazu auch hier wieder die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung ($n = 1.000;
p = 0,3$) oder deinen GTR.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung
Betrachte hier die Tabelle für $n = 1.000$ und $p = 0,3$ und suche den Wert an der Stelle $k = 273$.
Für die Wahrscheinlichkeit ergibt sich also: $P(Z_{\text{neu}} \leq 273) = 0,0329$.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Lösung über GTR
Verwende hier wieder wie in den Aufgabenteilen zuvor deinen GTR. Mit dem Bcd-Befehl ergibt sich hier:
Aufgabe 6
Aufgabe 6
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist hier also 0,0329 bzw. 3,29 %.
d) (3)
$\blacktriangleright$Beschreiben eines Verfahrens
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass die acht Helfer, die die Fotos auswerten jeweils 125 zufällig ausgewählte erhalten. Dabei haben sie folgende Regel aufgestellt: Zählen mindestens 5 der 8 Helfer mehr als 33 Fotos weiblicher Zuschauer, so gilt die Vermutung des Verkaufsleiters als bestätigt.
Deine Aufgabe ist es hierbei, ein Verfahren zu beschreiben, mit dem sich die maximale Wahrscheinlichkeit dafür berechnen lässt, dass die hier aufgestellte Regel zu einer falschen Entscheidung führt. Dabei sollst du davon ausgehen, dass höchstens 25 % weibliche Zuschauer ins Stadion kommen.
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du zunächst erkennen, dass es sich auch hier wieder um einen Hypothesentest handelt. Mit diesem Test soll auch hier untersucht werden, ob die Vermutung des Verkaufsleiters korrekt ist. Der Annahme- und Ablehnungsbereich dieses Tests ergibt sich aus der oben beschriebenen Entscheidungsregel. Betrachtest du dazu die Zufallsvariable $T_1$, welche die Anzahl der positiv ausgefallenen Tests der 8 Mitarbeiter beschreibt, so gilt hier für den Annahme- und Ablehnungsbereich:
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{5,…,8\right\}$
  • Annahmebereich: $A = \left\{0,…,4\right\}$
Betrachtest du nun wieder die Aufgabenstellung, so wird klar, dass die hier vorliegende Entscheidungsregel genau dann zu einer falschen Entscheidung führt, wenn mindestens 5 der 8 Mitarbeiter ein positives Ergebnis liefern, obwohl der Anteil der weiblichen Zuschauer unter 25 % liegt. Hier wird also wieder der Fehler 1. Art betrachtet.
Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art zu berechnen, benötigst du hier zunächst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass einer der Mitarbeiter mehr als 33 Bilder findet, obwohl der Anteil der weiblichen Zuschauer höchstens 25 % beträgt.
Im folgenden wird nun das Verfahren Schritt für Schritt erklärt:
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit für positives Auszählungsergebnis
Jeder Mitarbeiter betrachtet insgesamt 125 Bilder, wobei mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % ein betrachtetes Bild eine Frau zeigt. Mit der gleichen Begründung wie zuvor kann hier die binomialverteilte Zufallsvariable $T_2$ betrachtet werden, die die Anzahl der Bilder von weiblichen Zuschauern beschreibt.
Die Mitarbeiter liefern ein positives Ergebnis, wenn $T_2$ einen Wert größer 33 annimmt:
$p_p = P(T_2 > 33)$
Die resultierende Wahrscheinlichkeit $p_p$ für ein positives Ergebnis wird im nächsten Schritt wieder aufgegriffen.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Entscheidung
Von oben weißt du, dass die Wahrscheinlichkeit $p_p$ die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass ein Mitarbeiter ein positives Ergebnis liefert. Betrachtest du nun wieder die Zufallsvariable $T_1$, so kannst du erkennen, dass diese mit $n = 8$ und $p = p_p = P(T_2 > 33)$ binomialverteilt ist.
Die maximale Wahrscheinlichkeit, mit welcher diese Regel zu einer falschen Entscheidung führt, berechnet man nun, indem man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass die Zufallsvariable $T_1$, die die Anzahl der positiven Ergebnisse beschreibt, einen Wert aus dem Annahmebereich annimmt, obwohl der Anteil der weiblichen Zuschauer höchstens 25 % beträgt und man die Hypothese eigentlich verwerfen müsste.
Es gilt also für die gesuchte maximale Wahrscheinlichkeit $p_{max.}$:
$p_{max.} = P(T_1 \geq 5)$
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