Aufgabe 3

Bei einem Secret-Sharing-Verfahren wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse auf verschiedene Personen aufgeteilt, um die Verantwortung in mehrere Hände zu legen. Es kann sinnvoll sein, dass ein geheimer Code, z.B. zum Öffnen eines Tresors, nicht einer Person allein bekannt ist, sondern lediglich von mehreren Personen gemeinsam ermittelt werden kann.
Unternehmen können ein solches Verfahren beispielsweise auf geometrischer Basis realisieren. Hierbei kann eine Auswahl von Mitarbeitenden mit Kenntnissen über notwendige Teilgeheimnisse den geheimen Code ermitteln, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eingeben, welches mit den Eingaben geometrische Fragestellungen löst.

Vereinfachend wird im Folgenden angenommen, dass der zu ermittelnde geheime Code immer aus drei Ziffern besteht.

(1)

Das Computersystem kennt die Gerade $g$ mit

$g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{1\\3\\4}+t \cdot \pmatrix{4\\-2\\-1},$ $t \in \mathbb{R}.$

Die Punkte $A(0\mid -3 \mid -1),$ $B(4 \mid 2\mid 1)$ und $C(1\mid -1\mid -1)$ liegen in einer Ebene $H.$ Drei eingeweihte Mitarbeiter kennen als Teilgeheimnisse die Koordinaten von jeweils einem dieser Punkte. Der geheime Code wird durch die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ ermittelt.

(i)

Die Koordinaten der Punkte $A,B$ und $C$ werden ins System eingegeben.
Berechene den geheimen Code.

(ii)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B.$ Ein vierter Mitarbeiter erhält den Punkt $D(12 \mid 12 \mid 5)$ als Teilgeheimnis. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H.$

Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A,B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann.

(2)

Es ist nicht nur möglich, die Koordinaten von Punkten von Ebenen in das System einzugeben, das System kann auch andere Informationen über die Ebene verarbeiten, z.B. die Koordinaten eines Normalenvektors. Eine Geschäftsführerin kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $H.$

(i)

Begründe, warum die Geschäftsführerin bereits zusammen mit einem beliebigen der vier eingeweihten Mitarbeiter den geheimen Code ermitteln kann.

(ii)

Berechne einen Normalenvektor von $H.$

(7 + 4 Punkte)

Ein anderes Unternehmen verwendet als geheimen Code die ersten drei Ziffern der ungerundeten Dezimaldarstellung des Volumens einer quadratischen Pyramide. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt in der dem System bekannten Ebene $Q: -3x_1 +4x_3 =9.$
Eine Geschäftsführerin kennt $(1,5 \mid 3,5 \mid 6,5)$ als Koordinaten der Spitze der Pyramide. Die Mitarbeitenden kennen als Teilgeheimnisse die Koordinaten von jeweils einem Eckpunkt der Grundfläche.

Drei Mitarbeitende und die Geschäftsführerin geben ihre Teilgeheimnisse $(1 \mid 1\mid 3),$ $(1\mid 6\mid 3),$ $(5\mid 1 \mid 6)$ und $(1,5 \mid 3,5\mid 6,5)$ ein.

Berechne den geheimen Code.

(5 Punkte)

Ein weiteres Unternehmen verwendet als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}.$

Zwei Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse mit $I(4\mid 3\mid 2)$ bzw. $J(8\mid 6\mid-1)$ jeweils die Koordinaten eines der beiden Endpunkte der Basis $\overline{IJ},$ ein dritter eingeweihter Mitarbeitender kennt mit $K(6\mid5\mid1)$ die Koordinaten der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks $IJK.$

(1)

Zeige, dass $I,J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline {IJ}$ sind.

(2)

Berechne den geheimen Code.

[Zur Kontrolle: Der geheime Code ist 707.]

(3)

Der Punkt $L(6\mid 4\mid 0)$ ergibt sich durch Spiegelung des Punktes $K$ an der Geraden $IJ$ [Ein Nachweis ist nicht erforderlich]. Mit den Koordinaten von $L$ kann ein anderer Mitarbeitender zusammen mit den Mitarbeitenden, die die Koordinaten von $I$ und $J$ kennen, den geheimen Code ermitteln.

Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines Punktes $P$ erhalten, der wie $K$ bzw. $L$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJP$ mit der Basis $\overline {IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I, J$ und $P$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

(i)

Beschreibe die Lage geeigneter Punkte.

(ii)

Aus Sicherheitsgründen sollen sich die Koordinaten des Punktes $P$ von den Koordinaten der beiden Punkte $K$ und $L$ unterscheiden.
Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $P.$

[Hinweis: Die Koordinaten des Punktes $P$ müssen nicht ganzzahlig sein.]

(2 + 2 + 5 Punkte)

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(1)

(i)

Gesucht ist der Schnittpunkt der Ebene $H$ mit der Geraden $g.$

1. Schritt: Ebenengleichung von $H$ aufstellen

$\overrightarrow{AB}= \pmatrix{4-0\\2-(-3)\\1-(-1)} =\pmatrix{4\\5\\2}$

$\overrightarrow{AC}=\pmatrix{1-0\\-1-(-3)\\-1-(-1)} =\pmatrix{1\\2\\0}$

Daraus ergibt sich die Gleichung der Ebene in Parameterform:

$H: \overrightarrow{x}= \pmatrix{0\\-3\\-1} + k \cdot \pmatrix{4\\5\\2} +l \cdot \pmatrix{1\\2\\0}$

2. Schritt: Schnittpunkt von Gerade und Ebene berechnen

Gleichsetzen der Geraden- und Ebenengleichung ergibt:

$\pmatrix{0\\-3\\-1} + k \cdot \pmatrix{4\\5\\2} +l \cdot \pmatrix{1\\2\\0}$ $= \pmatrix{1\\3\\4} +t \cdot \pmatrix{4\\-2\\-1}$

Daraus folgt dieses LGS:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 4k +l-4t&=& 1 \\ \text{II}\quad& 5k +2l +2t &=& 6 \\ \text{III}\quad& 2k +t &=& 5 \\ \end{array}$

Mit dem TR wird das LGS gelöst.

$\mathbb{L}= \{ k=2, l=-3, t=1\}$

Einsetzen von $t=1$ in die Gleichung der Geraden $g$ ergibt :

$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{1\\3\\4} +1 \cdot \pmatrix{4\\-2\\-1}$ $=\pmatrix{5\\1\\3}$

Die Koordinaten des Schnittpunktes folgen mit $S(5 \mid 1 \mid 3)$ und der geheime Code mit $513$ .

(ii)

1. Schritt: Geradengleichung durch $A$ und $B$ aufstellen

$h: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OA} + i \cdot \overrightarrow{AB}$ $= \pmatrix{0\\-3\\-1} + i \cdot \pmatrix{4\\5\\2}$

2. Schritt: Koordinaten von $D$ in $h$ einsetzen

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{12\\15\\6}= i \cdot \pmatrix{4\\5\\2}$

Daraus folgt $i=3$ als einzige Lösung und somit liegt $D$ auf der Geraden durch $A$ und $B.$ Deshalb kann keine Ebene mit diesen drei Punkten aufgespannt werden.

Deshalb können die Koordinaten von $S$ nicht ermittelt werden und das System kann auch nicht den geheimen Code ermitteln.

(2)

(i)

Mit einem Normalenvektor der Ebene und einem weiteren Punkt kann die Normalenform der Ebene aufgestellt werden. Damit können die Koordinaten von $S$ bestimmt werden.

(ii)

Ein Normalenvektor der Ebene $H$ wird aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren gebildet. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n_H}&=&\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\\5\\2} \times \pmatrix{1\\2\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{5\cdot 0 - 2 \cdot 2\\2 \cdot 1 - 4 \cdot 2 \\ 4 \cdot 2 - 1 \cdot 5} \\[5pt] &=&\pmatrix{ -4\\2\\3} \end{array}$

Die Koordinaten der Punkte der Mitarbeitenden liegen alle in der Ebene $Q.$

Für das Volumen der Pyramide gilt $V= \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h.$

1. Schritt: Längen der Strecken bestimmen

$a = \left| \pmatrix{1-1\\1-6 \\3-3} \right|$ $= \sqrt{(-5)^2} =5$

Die Höhe der Pyramide ergibt sich als Abstand des Punktes $(1,5 \mid 3,5 \mid 6,5)$ von der Ebene $Q.$

$\left| \pmatrix{-3\\0\\4} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{9+16}} \cdot \pmatrix{1,5-1\\3,5-1\\6,5-3}\right|$ $= 2,5 \;\text{LE}$

2. Schritt: Volumen der quadratischen Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rlll} V&=& \frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h & \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 5^2\cdot 2,5 & \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx & 20,83 \; \text{VE}& \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der geheime Code ist damit $208$ .

(1)

Länge der Strecke $\overline{IJ}$

$\mid \overline{IJ}\mid$ $= \sqrt{\left( 8-4\right)^2+\left(6-3 \right)^2+\left( -1-2\right)^2}$ $\approx 5,835$

Länge der Strecke $\overline{JK}$

$\mid \overline{JK}\mid$ $= \sqrt{\left( 6-8\right)^2+\left( 5-6\right)^2+\left( 1-(-1)\right)^2}$ $\approx 3$

Länge der Strecke $\overline{KI}$

$\mid \overline{KI}\mid = \sqrt{\left( 6-4\right)^2+\left( 5-3\right)^2+\left( 1-2\right)^2}$ $=3$

$\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ sind gleich lang und somit ist das Dreieck gleichschenklig.

(2)

Um die Höhe des Dreiecks zu berechnen, müssen zuerst die Koordinaten des Mittelpunktes der Basis bestimmt werden.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_{IJ} }&=& \pmatrix{4\\3\\2}+\dfrac{1}{2}\cdot \pmatrix{8-4\\6-3\\-1-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{6\\4,5\\0,5} \end{array}$

Die Höhe $h$ folgt mit $h= \pmatrix{6-6\\5-4,5\\1-0,5}$ $= \sqrt{ 0,5^2+0,5^2}$ $\approx 0,70711.$

Der geheime Code ist damit $707$ .

(3)

(i)

Geeignet sind alle Punkte in der Ebene, die $M_{IJ}$ enthält und senkrecht zur Strecke $\overline{IJ}$ verläuft, und die auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M_{IJ}$ und dem Radius $0,707$ liegen.

(ii)

Ein Vektor, der nicht linear abhängig von $\overrightarrow{M_{IJ}K}$ ist und der senkrecht zu $\overrightarrow{IJ}$ verläuft ist $\overrightarrow{v}= \pmatrix{3\\0\\4}.$

Somit ergeben sich die Koordinaten eines geeigneten Punktes mit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \overrightarrow{OM_{IJ}} + 0,707 \cdot \dfrac{1}{\mid \overrightarrow{v} \mid } \cdot \overrightarrow{v} \\[5pt] &=&\pmatrix{6\\4,5\\0,5} + 0,707\cdot \dfrac{1}{5} \cdot \pmatrix{3\\0\\4} \\[5pt] &\approx&\pmatrix{6,4242\\4,5\\1,0656} \end{array}$

$P(6,4242 \mid 4,5\mid 1,0656)$

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