Analysis 2

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit

$\begin{array}[t]{rlll} f_k(x) &=& x^4-4 k x^3+4 k^2 x^2 \\[5pt] &=& x^2 \cdot(x-2 k)^2 \end{array}$

und $k \in \mathbb{R}, k\gt0.$

Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

(1)

Begründe, dass $f_k$ für jeden Wert von $k\gt0$ genau zwei Nullstellen hat, und gib diese an.

(2)

Betrachtet wird die Fläche, die $G_k,$ die $x$ -Achse und die beiden Geraden mit den Gleichungen $x=-1$ und $x=1$ einschließen. Sie setzt sich aus mehreren Flächenstücken zusammen.

Beurteile die folgende Aussage, ohne den Wert eines Integrals zu berechnen:

Für jeden Wert von $k$ gibt der Term $\displaystyle\int_{-1}^1 f_k(x) \;\text{d} x$ den Inhalt der betrachteten Fläche an.

(3)

Der Hochpunkt von $G_1\;(k=1)$ hat zu den beiden Tiefpunkten von $G_1$ denselben Abstand.

Ermittle diesen Abstand rechnerisch, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden.

(4)

Gegeben ist eine weitere Schar in $\mathbb{R}$ definierter Funktionen $h_c$ mit $h_c(x)=c$ mit $0\lt c\lt1.$

Im Folgenden sind Rechenschritte bei der Lösung einer Aufgabe angegeben:

Rechenschritt $\mathrm{I}$ anzeigen

$\mathrm{II} \displaystyle\int_{1-\sqrt{1+\sqrt{c}}}^{1+\sqrt{1+\sqrt{c}}}\left(f_1(x)-h_c(x)\right) d x=0 \Leftrightarrow c=\dfrac{4}{9}.$

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_1$ der Funktion $f_1.$

Graph einer Funktion mit X- und Y-Achse, zeigt eine Kurve mit einem Maximum.

Abbildung 1

Interpretiere die geometrische Bedeutung von $\mathrm{II}$ und veranschauliche diese Bedeutung in Abbildung 1.

(3+4+5+2 Punkte)

Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet. Für ein bestimmtes Regenereignis wird die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit

$r(x)=\dfrac{1}{5} \cdot \mathrm{e}^x \cdot f_{2,5}(x)$

für $0 \leq x \leq 5$ modellhaft beschrieben.

Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden, die seit Beginn des Zuflusses in das Auffangbecken vergangen ist, und $r(x)$ die momentane Zuflussrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ (Kubikmeter pro Stunde). Die Funktion $f_{2,5}$ ist die Funktion der Schar aus Teilaufgabe a) mit $k=2,5.$

(1)

(i)

Zeige: $\(r$

(ii)

Berechne die größte und die kleinste momentane Zuflussrate im betrachteten Zeitraum.

(2)

Im Intervall $[0 ; 5]$ besitzt $r$ genau zwei Wendestellen $x_0$ und $x_1.$ Außerdem gilt $\(r$ und $\(r$ sowie $\(r$ und $\(r$

Beschreibe die Bedeutung des Wertes $\(r$ die sich aus diesen Informationen ergibt, im Sachzusammenhang.

(3)

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $r$ mit einigen Eintragungen.

Erläutere, dass mit diesen Eintragungen die folgende Aussage begründet werden kann:

$\displaystyle\int_4^5 r(x) \;\text{d} x\lt120$

Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.

Abbildung 2

(4)

Zu Beginn des Zuflusses ist das Auffangbecken bereits mit $186 \;\text{m}^3$ Regenwasser gefüllt.

Nach dreieinhalb Stunden wird eine Pumpe eingeschaltet. Diese pumpt bis zum Ende des Modellierungszeitraums Wasser aus dem Auffangbecken mit einer konstanten Rate von $250 \frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ ab. Die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken wird dabei weiterhin durch $r$ beschrieben.

Gib einen Term an, der das Wasservolumen im Auffangbecken zu einem beliebigen Zeitpunkt nach dem Einschalten der Pumpe in Kubikmetern beschreibt.

(6+3+4+3 Punkte)

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(1)

Nach dem Satz des Nullprodukts ergeben sich die Nullstellen von $f_k$ durch die Nullstellen der einzelnen Faktoren der Funktionsgleichung.
Der Faktor $x^2$ besitzt die Nullstelle $x=0$ und der Faktor $(x-2k)^2$ wird genau dann Null, wenn die Klammer null ergibt, also für $x=2k.$
Da $k$ nur positive Werte annimmt, besitzt $f_k$ für jeden Wert von $k$ somit genau $2$ Nullstellen.

(2)

Der Funktionsterm von $f_k$ besteht aus zwei Faktoren, die beide nicht negativ sind, da sie geradzahlige Exponenten besitzen. Somit verläuft $G_k$ nie unterhalb der $x$ -Achse, d.h. die Aussage aus der Aufgabenstellung stimmt.

(3)

Für die erste Ableitung von $f_k$ folgt mit dem GTR:

$\(f_k$

Somit gilt:

$\(f_1$

Mit dem solve-Befehl des GTR liefert die notwendige Bedingung von Extremstellen $\(f_1$

$\begin{array}[t]{rlll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&1 \\[5pt] x_3&=&2 \end{array}$

Da zwischen zwei Tiefpunkten immer ein Hochpunkt liegen muss und insgesamt drei Extrempunkte vorliegen, folgt, dass $x_2=1$ zum Hochpunkt von $G_k$ gehört. Damit folgt für de gesuchten Abstand $d$ mit dem GTR:

$\begin{array}[t]{rlll} d&=&\sqrt{(1-0)^2+(f_1(1)-f_1(0))^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1+(1^2\cdot(1-2)^2-0)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{2} \end{array}$

(4)

Geometrische Bedeutung interpretieren

Das Integral in Gleichung $\text{II}$ gibt die Flächenbilanz zwischen den beiden Graphen von $f_1$ und $h_c,$ von dem ersten Schnittpunkt bis zum letzten Schnittpunkt betrachtet, an. Die Gleichung besagt somit, dass die Flächeninhalte der so eingeschlossenen Flächenteile überhalb bzw. unterhalb von $h_c$ für $\frac{4}{9}$ genau gleich groß sind.

Bedeutung veranschaulichen

Diagramm einer Funktion mit grünem Bereich und Achsenbeschriftungen.

(1)

(i)

Für die Ableitung von $r$ folgt mit der Produktregel:

Rechenweg anzeigen

$\( r$

(ii)

Die Notwendige Bedingung für Extremstellen $\(r$ liefert mit dem solve-Befehl des GTR für $0\leq x\leq5:$

$\begin{array}[t]{rlll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{1+\sqrt{41}}{2} \\[5pt] x_3&=&5 \end{array}$

Nach Teilaufgabe (1) aus Aufgabe a) gilt $r(0)=0$ und $r(5)=0.$ Einsetzen von $x_2$ in $r(x)$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$r\left(\dfrac{1+\sqrt{41}}{2}\right) \approx 187$

Da die Funktionswerte für sowohl $x_1$ als auch $x_3$ kleiner als $187$ sind, folgt, dass es sich bei $x_2$ um eine Hochstelle von $r$ handelt und zudem, dass $r$ an den Stellen $x=0$ und $x=5$ seinen im betrachteten Bereich minimalen Wert annimmt.

Die kleinste momentane Zuflussrate beträgt somit $0\;\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ und die größte ca. $187\;\frac{\text{m}^3}{\text{h}}.$

(2)

Der stärkste Anstieg der momentanen Zuflussrate im betrachteten Zeitraum ist durch $\(r$ pro Stunde gegeben.

(3)

Begründung der Aussage erläutern

Die in der Abbildung grün markierte Fläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $120$ und besitzt somit den Flächeninhalt $120.$ Zudem wird aus der Abbildung deutlich, dass die schraffierte Fläche, deren Inhalt dem Wert des in der Aufgabenstellung gegebenen Integrals entspricht, kleiner ist, als die grün markierte Fläche. Damit kann die Aussage aus der Aufgabenstellung begründet werden.

Aussage im Sachzusammenhang interpretieren

Innerhalb der letzten Stunde des betrachteten Zeitraums sind insgesamt weniger als $120\;\text{m}^3$ Regenwasser in das Auffangbecken geflossen.

(4)

Die Pumpe pumpt Wasser mit einer konstanten Rate ab. Wenn diese Rate mit $a$ bezeichnet wird, folgt für den gesuchten Term:

$186+\displaystyle\int_{0}^{x}r(t)\;\mathrm dt-a\cdot(x-3,5)$

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