Pflichtteil

Für $k \in \mathbb{R}, k\gt0,$ sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ und $g_k$ gegeben durch:

$f_k(x)=x \cdot(x-k)$ und $g_k(x)=k \cdot x.$

(1)

Zeige für alle $k\gt0,$ dass die Graphen von $f_k$ und $g_k$ genau zwei Schnittstellen bei $x=0$ und $x=2 k$ haben.

(2)

Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_1$ und $g_1.$

Berechne den Inhalt der Fläche, die im $\text{I}.$ Quadranten von den Graphen von $f_1$ und $g_1$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird.

Graph einer Parabel mit einer Linie, die einen Punkt schneidet. Achsen sind beschriftet.

Abbildung 1

(2+3 Punkte)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ durch $f_a(x)=x \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x^2}$ mit $a \in \mathbb{R}$ und $a\gt0.$ Jeder Graph der Schar verläuft durch den Koordinatenursprung.

(1)

Zeige, dass alle Graphen der Schar im Koordinatenursprung die gleiche Steigung haben.

(2)

Zeige, dass alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind.

(3+2 Punkte)

Abbildung 2 zeigt einen Würfel $A B C D E F G H$ der Kantenlänge $4 \;\text{LE}$ in einem Koordinatensystem.
Drei Seitenflächen dieses Würfels liegen in Koordinatenebenen.

Die Ebene $K$ enthält die Punkte $A(0\mid0\mid 0), B(4\mid0\mid 0)$ und den Mittelpunkt der Kante $\overline{F G}.$

Grafik eines Quaders mit diagonaler Fläche und Achsenbeschriftung x, y, z.

Abbildung 2

(1)

Die Ebene $K$ teilt den Würfel in zwei Teilkörper.

Berechne das Volumen des kleineren Teilkörpers.

(2)

Eine zweite Ebene $L$ enthält die Punkte $E$ und $F$ sowie den Mittelpunkt der Kante $\overline{B C}.$

Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in Abbildung 2 ein und gib eine Gleichung der Schnittgerade der Ebenen $K$ und $L$ an.

(2+3 Punkte)

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $X_1$ mit den Parametern $n_1$ und $p_1$ . Abbildung 3 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X_1.$

Abbildung 3

(1)

Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe deine Entscheidung: $P\left(16 \leq X_1 \leq 20\right)\gt0,5.$

Betrachtet wird zudem die binomialverteilte Zufallsgröße $X_2$ mit den Parametern $n_2$ und $p_2$ . Abbildung 4 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X_2.$

Abbildung 4

(2)

Die Erwartungswerte von $X_1$ und $X_2$ sind ganzzahlig und es gilt $n_1=n_2.$

Weise unter Verwendung der Abbildungen 3 und 4 nach, dass $p_2=4 \cdot p_1$ gilt.

(2+3 Punkte)

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(1)

$\begin{array}[t]{rlll} f_k(x)&=&g_k(x) \\[5pt] x\cdot(x-k)&=&kx &\mid\;-kx \\[5pt] x\cdot(x-2k)&=&0 \end{array}$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgt $x_1=0$ und $x_2=2k.$ Somit schneiden sich die Graphen von $f_k$ und $g_k$ genau zweimal und zwar an den Stellen $x=0$ und $x=2k.$

(2)

Für den Wert des Teils der betrachteten Fläche zwischen $x=0$ und $x=1$ gilt $A_1=0,5\;\text{FE}.$ Für den restlichen Flächeninhalt folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} A_2&=&\displaystyle\int_{1}^{2}(g_1(x)-f_1(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{1}^{2}-x^2+2x\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\left[-\dfrac{1}{3}x^3+x^2\right]_1^2 \\[5pt] &=&\left(-\dfrac{1}{3}\cdot2^3+2^2\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+1\right) \\[5pt] &=&\left(-\dfrac{8}{3}+4\right)-\dfrac{2}{3} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\;[\text{FE}] \end{array}$

Der Flächeninhalt der betrachteten Fläche beträgt somit insgesamt $0,5+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}\;[\text{FE}].$

(1)

Für die Ableitung von $f_a$ folgt mit der Produktregel:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f_a$

Einsetzen von $x=0$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f_a$

Somit haben alle Graphen der Schar im Ursprung die gleiche Steigung.

(2)

$\begin{array}[t]{rlll} f_a(-x)&=&(-x)\cdot\mathrm e^{-a\cdot(-x)^2} \\[5pt] &=&-x\cdot\mathrm e^{-a\cdot x^2} \\[5pt] &=&-f_a(x) \end{array}$

(1)

Da die Ebene $K$ die Kante $\overline{AB}$ und die zu dieser Kante parallelverlaufende Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten der Kanten $\overline{FG}$ und $\overline{EH}$ enthält (siehe Abbildung), halbiert sie eine Hälfte des Würfels $ABCDEFGH.$ Das Volumen des kleineren Teilkörpers macht somit insgesamt ein Viertel des Gesamtvolumens aus.

Aus den Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ lässt sich direkt ablesen, dass die Länge der Kanten des Würfels $4\;\text{LE}$ beträgt. Damit folgt für das gesuchte Volumen des kleineren Teilkörpers:

$\dfrac{1}{4}\cdot4^3=16\;\text{VE}$

(2)

Schnittfigur einzeichnen

Grafik eines Würfels mit diagonalen Linien und beschrifteten Punkten in einem 3D-Koordinatensystem.

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Anhand der Schnittfigur der Ebene $L$ mit dem Würfel lässt sich erkennen, dass die Schnittgerade der beiden Ebenen parallel zur $x$ -Achse verläuft und auf halber Höhe des Würfels liegt, d.h. alle Punkte der Geraden besitzen $z$ -Koordinate $2.$ Anhand der Ähnlichkeit der beiden Ebenen folgt zudem, dass die $y$ -Koordinate der Punkte auf der Geraden konstant $1$ beträgt. Somit folgt als Geradengleichung der Schnittgeraden:

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\1\\2}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$

(1)

Die Abbildung zeigt, dass alle fünf Werte, die aufsummiert werden, jeweils kleiner als $0,1$ sind. Damit kann die Summe nicht größer als $0,5$ sein und die Aussage ist somit falsch.

(2)

Aus den beiden Abbildungen lässt sich erkennen, dass der Erwartungswert von $X_1$ genau $14$ beträgt und $56$ der Erwartungswert von $X_2.$ Damit gilt also $14=n_1\cdot p_1$ und $56=n_2\cdot p_2.$ Es folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} 56&=&n_2\cdot p_2 \\[5pt] 4\cdot14&=&n_2\cdot p_2 \\[5pt] 4\cdot n_1\cdot p_1&=&n_2\cdot p_2 \end{array}$

Nach der Aufgabenstellung gilt $n_1=n_2.$ Dividieren durch diesen Wert auf beiden Seiten liefert somit $4\cdot p_1=p_2.$

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