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Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Abbildung 1 zeigt das Eingangsgebäude zu einer U-Bahn-Haltestelle. Auf dem Foto schaut man frontal auf eine ebene Glasfläche, die sich unter dem geschwungenen Dach befindet.
Eine Längeneinheit in dem eingezeichneten Koordinatensystem entspricht $1\,\text{m}$.
Der höchste Punkt der Dachoberkante befindet sich in diesem Koordinatensystem bei $H (0 \mid5,0)$ und der tiefste Punkt bei $Q (7,3 \mid 3,3)$. Auch die Punkte $D ( -4 \mid 4)$ und $E ( -2 \mid 4,75)$ liegen auf der Dachoberkante. Der Punkt $A$ liegt an der Stelle $x=2,7$.
Die Profillinie der Dachoberkante hat eine geschwungene Form, die im Folgenden durch eine ganzrationale Funktion modelliert werden soll.
#ganzrationalefunktion
a)
(1)
Die Profillinie hat im Bereich $ -4 \leq x \leq 4$ näherungsweise die Form einer Parabel $2.$ Grades.
Bestimme eine Gleichung dieser Parabel mit dem Hochpunkt $H$, die durch den Punkt $D$ verläuft.
[Zur Kontrolle: $p(x)= - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 + 5$.]
(2P)
#intervall#extrempunkt#parabel
$\,$
(2)
Begründe anhand der Abbildung 1, warum eine ganzrationale Funktion, die zur Modellierung der gesamten Profillinie der Dachoberkante geeignet sein könnte, mindestens $3.$ Grades sein muss.
(3P)
$\,$
(3)
Gib die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion $3.$ Grades an.
Ermittle aus den Informationen über die Punkte $H$ und $Q$ vier Bedingungen, mit denen alle Koeffizienten des Funktionsterms bestimmt werden können.
Gib die Funktionsgleichung an.
(9P)
b)
Um den Verlauf der gesamten Profillinie der Dachoberkante im Bereich von $ -4,5 \leq x \leq 10,5$ zu modellieren, wird im Folgenden die Parabelgleichung aus a) (1) erweitert auf eine ganzrationale Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot x^4 - \dfrac {1}{16} \cdot x^2 + 5$, $a>0$.
#ganzrationalefunktion
$\,$
(1)
Begründe, warum durch diese Erweiterung die bei der Parabel vorhandene Symmetrie erhalten bleibt.
(2P)
#parabel#symmetrie
$\,$
(2)
Abbildung 2 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a=0,0002$, $a=0,0004$ und $a=0,0006$.
Gib an, welcher Parameterwert zu welchem Graphen gehört.
(3P)
#graph
$\,$
(3)
Bestimme den Tiefpunkt $T_a$ des Graphen von $f_a$ (mit $x\geq 0$) in Abhängigkeit von $a$.
[Kontrollergebnis: $T_a \left(\sqrt{\dfrac{1}{32 \cdot a}} \bigg| 5- \dfrac{1}{32^2 \cdot a} \right)$]
(4P)
#extrempunkt#graph
$\,$
(4)
Ermittle in Abhängigkeit von $a$ die Anzahl der Nullstellen, die der Graph von $f_a$ für $x\geq0$ besitzt.
(3P)
#nullstelle
$\,$
(5)
Damit der Graph von $f_a$ ein Modell für die Dachoberkante darstellt, wird gefordert, dass im Bereich $x \geq 0$ der $y$-Wert des Tiefpunkts $T_a$ mindestens $3,3$ betragen und der $x$-Wert des Wendepunkts mindestens $4$ sein soll.
Bestimme den Bereich für $a$, in welchem beide Bedingungen erfüllt sind.
(5P)
#extrempunkt#wendepunkt
Im Folgenden wird die Profillinie der Dachoberkante im Bereich $ -4,5 \leq x \leq 10,5$ durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 0,0006 \cdot x^4 - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 +5$ modelliert.
Das Eingangsgebäude ist mit Glas verkleidet. Die eingezeichnete Oberkante der Glasfläche wird im Koordinatensystem von Abbildung 1 im Bereich von $ -4 \leq x \leq 7,3$ durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = 0,0006 \cdot x^4 - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 + 4,5$ modelliert.
#intervall
c)
Gehe vereinfachend davon aus, dass es sich bei der in Abbildung 1 umrahmten Glasfläche um eine durchgehende ebene Fläche handelt, die nicht durch Rahmen und Streben unterbrochen wird.
$\,$
(1)
Berechne den Inhalt der Glasfläche von der $y$-Achse bis zur eingezeichneten Kante durch den Punkt $Q$ in der Ansicht aus Abbildung 1.
(4P)
$\,$
(2)
Beschreibe eine mögliche Lösungsidee zur Bestimmung des Inhalts der umrahmten Glasfläche links von der $y$-Achse. Gib dabei alle nötigen Ansätze an, die Berechnung konkreter Werte wird hingegen nicht erwartet.
(5P)
$\,$
(3)
Begründe, dass die Fläche zwischen der Oberkante der Glasfläche und der Dachoberkante im Bereich von $-4 \leq x \leq 7,3$ inhaltsgleich ist zur Fläche eines Rechtecks der Länge $11,3$ und der Höhe $0,5$.
(4P)
#rechteck#intervall
d)
Oberhalb des Daches sind geradlinig verlaufende Stahlseile angebracht. Gehe vereinfachend davon aus, dass das Stahlseil von $A (2,7 \mid f (2,7))$ nach $P(6,7 \mid 7,2)$ verläuft.
Das Stahlseil wird für $2,7 \leq x \leq 6,7$ durch eine Gerade $g$ modelliert.
Bestimme rechnerisch die Größe des Winkels, den die Gerade $g$ mit der Tangente an den Graphen von $f$ in $A$ einschließt.
(6P)
#tangente#winkel
Bildnachweise [nach oben]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Parabelgleichung bestimmen
Du sollst eine Gleichung der Parabel zweiten Grades bestimmen, die durch den Punkt $D(-4\mid 4)$ verläuft und deren Hochpunkt bei $H(0\mid 5)$ liegt. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel $p$ zweiten Grades lautet wie folgt:
$p(x) = ax^2 +bx +c$
$p(x) = ax^2 +bx +c$
Mit Hilfe der beiden angegebenen Punkte $D$ und $H$ kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach den Parametern $a$, $b$ und $c$ lösen kannst. Beachte dabei auch das notwendige Kriterium für einen Hochpunkt an der Stelle $x_E$:
$p'(x_E)=0$
$p'(x_E)=0$
Stelle also ein Gleichungssystem auf und löse dies mit deinem CAS.
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass eine geeignete Funktion zur Modellierung der gesamten Dachoberkante mindestens den Grad drei haben muss. Untersuche den Graphen dafür auf markante Punkte wie Hoch- oder Tiefpunkte und überlege dir, wie viele solcher Punkte eine Funktion mit geringerem Grad höchstens haben kann.
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Allgemeine Funktionsgleichung angeben
Eine ganzrationale Funktion hat immer folgende Form:
$f(x)= a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+ … + a_0x^0$
$f(x)= a_nx^n +… + a_0x^0$
Der Grad der Funktion beschreibt den höchsten Exponenten, der über dem $x$ vorkommt.
$\blacktriangleright$  Bedingungen ermitteln
Um alle vier Koeffizienten bestimmen zu können, werden vier Bedingungen benötigt. Diese sollst du aus den Angaben zu den Punkten $H$ und $Q$ gewinnen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass $H(0\mid 5)$ ein lokaler Hochpunkt des Graphen sein soll, während $Q(7,3\mid 3,3)$ ein lokaler Tiefpunkt ist.
Aus den Koordinaten erhältst du zwei Bedingungen. Die übrigen zwei Bedingungen erhältst du, indem du das notwendige Kriterium für eine Extremstelle $x_E$ beachtest:
$f'(x_E) =0$
$f'(x_E) =0$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Oben hast du bereits die allgemeine Funktionsgleichung aufgestellt und alle notwendigen Bedingungen für die Bestimmung der Koeffizienten bestimmt. Du kannst nun wie in Aufgabe a) (1) vorgehen, um die Koeffizienten mit Hilfe eines Gleichungssystems zu bestimmen.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Symmetrie begründen
Betrachte zunächst den Funktionsterm von $p$. Dir sollte auffallen, dass dort nur gerade Exponenten vorkommen, der Graph dazu also achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Betrachte nun den Term, der ergänzt wird.
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte zuordnen
Um die Parameterwerte $a= 0,0002$, $a= 0,0004$ und $0,0006$ den entsprechenden Graphen zuzuordnen, berechne die Funktionswerte von $f_a$ an einer Stelle für die verschiedenen Werte von $a$. Dazu kannst du beispielsweise $x=6$ verwenden. Überprüfe anschließend, welcher Funktionswert von welchem Graphen an dieser Stelle angenommen wird.
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen
Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ gelten die folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M)> 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a'(x)=0$ setzt und so mögliche Extremstellen bestimmst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in die zweite Ableitungsfunktion.
  4. Berechne die $y$-Koordinate des Tiefpunkts durch Einsetzen in $f_a(x)$.
$\,$
(4)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Nullstellen ermitteln
Um die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen, betrachte die Lage des Tiefpunkts des Graphen genauer. $f_a$ besitzt für $x\geq 0$
  • keine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt $T_a$ oberhalb der $x$-Achse liegt.
  • genau eine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt gerade auf der $x$-Achse liegt.
  • zwei Nullstellen, wenn der Tiefpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt.
Überprüfe also die $y$-Koordinate von $T_a$ daraufhin, für welche Werte von $a$ diese kleiner, größer oder gleich Null ist.
$\,$
(5)
$\blacktriangleright$  Bereich für $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Für den Tiefpunkt $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$ soll $y_{T_a} \geq 3,3$ sein, während für den Wendepunkt $W$ $x_W \geq 4$ gelten soll. Bestimme also zunächst die Wendestelle und forme anschließend diese Ungleichungen jeweils nach $a$ um und bilde zum Schluss die Schnittmenge beider Eingrenzungen für $a$.
Für eine Wendestelle gibt es ebenfalls zwei Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f_a''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f_a'''(x_W)\neq 0$
Gehe also wie bei der Berechnung der Koordinaten des Tiefpunkts vor und nutze dein CAS. Beachte, dass hier nicht die $y$-Koordinate benötigt wird.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Inhalt der Glasfläche berechnen
Die Glasfläche wird nach unten durch die $x$-Achse, nach links durch die $y$-Achse und nach oben durch den Graphen der Funktion $h$ begrenzt. Die rechte Grenze ist die Kante durch den Punkt $Q$, die durch die $x$-Koordinate von $Q$ also $x =7,3$ beschrieben wird. Du kannst den Inhalt $A$ der Fläche damit als Integral über $h$ in den Grenzen $a=0$ und $b= 7,3$ berechnen. Du kannst das Integral entweder handschriftlich oder mit deinem CAS berechnen.
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Lösungsidee angeben
Die Fläche links der $y$-Achse kann man berechnen, indem man sie in einzelne Teilflächen aufteilt. Für diese Aufteilung gibt es viele verschiedene Möglichkeiten.
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt begründen
Du sollst begründen, dass der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen im angegebenen Intervall gerade der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $11,3$ und $0,5$ ist. Hierfür gibt es zwei mögliche Lösungswege. Entweder du berechnest die beschriebene Fläche mit Hilfe eines Integrals, sowie den Flächeninhalt des genannten Rechtecks, oder du argumentierst sinngemäß.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Gesucht ist der Winkel, der von zwei Geraden eingeschlossen wird, also der Schnittwinkel $\alpha$ der beiden. Um diesen zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten:
  • Nutze die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden:
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
  • Berechne den Schnittwinkel über die Neigungswinkel der einzelnen Geraden zur Horizontalen. Die Neigungswinkel kannst du mit folgender Formel berechnen:
    $\tan(\alpha) = m$
    $\tan(\alpha) = m$
Für beide Wege benötigst du die Steigungswerte $m_t$ und $m_g$ der Geraden. Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\left( 2,7\mid f(2,7)\right)$ und $P(6,7\mid 7,2)$. Die Steigung kannst du daher mit folgender Formel berechnen:
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
Die Gerade $t$ soll eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ sein. Diese besitzt die gleiche Steigung wie der Graph in diesem Punkt. Du kannst die Steigung $m_t$ also über die erste Ableitung von $f$ berechnen.
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Parabelgleichung bestimmen
Du sollst eine Gleichung der Parabel zweiten Grades bestimmen, die durch den Punkt $D(-4\mid 4)$ verläuft und deren Hochpunkt bei $H(0\mid 5)$ liegt. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel $p$ zweiten Grades lautet wie folgt:
$p(x) = ax^2 +bx +c$
$p(x) = ax^2 +bx +c$
Mit Hilfe der beiden angegebenen Punkte $D$ und $H$ kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach den Parametern $a$, $b$ und $c$ lösen kannst. Beachte dabei auch das notwendige Kriterium für einen Hochpunkt an der Stelle $x_E$:
$p'(x_E)=0$
$p'(x_E)=0$
Stelle also ein Gleichungssystem auf und löse dies mit deinem CAS.
Du erhältst folgende Bedingungen:
  1. $p'(0)=0$
  2. $p(0)=5$
  3. $p(-4)=4$
Aufgabe 2
Abb. 1: Parabelgleichung bestimmen
Aufgabe 2
Abb. 1: Parabelgleichung bestimmen
Du erhältst folgendes Ergebnis:
$a= \dfrac{-1}{16}$, $\quad b= 0\quad$ und $\quad c = 5$
Also lautet eine Gleichung der gesuchten Parabel $p(x) = -\dfrac{1}{16}x^2 +5$.
#parabelgleichung
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass eine geeignete Funktion zur Modellierung der gesamten Dachoberkante mindestens den Grad drei haben muss. Untersuche den Graphen dafür auf markante Punkte wie Hoch- oder Tiefpunkte und überlege dir, wie viele solcher Punkte eine Funktion mit geringerem Grad höchstens haben kann.
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die Linie der Dachkante einen lokalen Hochpunkt, aber auch einen lokalen Tiefpunkt besitzt. Der Graph einer Funktion zweiten Grades kann aber nur einen lokalen Extrempunkt besitzen und der einer linearen Funktion (Grad eins) besitzt keinen solchen Punkt. Daher muss die Funktion mindestens den Grad drei haben.
#extrempunkt
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Allgemeine Funktionsgleichung angeben
Eine ganzrationale Funktion hat immer folgende Form:
$f(x)= a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+ … + a_0x^0$
$f(x)= a_nx^n +… + a_0x^0$
Der Grad der Funktion beschreibt den höchsten Exponenten, der über dem $x$ vorkommt. Also lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3+bx^2+cx +d$ .
$\blacktriangleright$  Bedingungen ermitteln
Um alle vier Koeffizienten bestimmen zu können, werden vier Bedingungen benötigt. Diese sollst du aus den Angaben zu den Punkten $H$ und $Q$ gewinnen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass $H(0\mid 5)$ ein lokaler Hochpunkt des Graphen sein soll, während $Q(7,3\mid 3,3)$ ein lokaler Tiefpunkt ist.
Aus den Koordinaten erhältst du zwei Bedingungen. Die übrigen zwei Bedingungen erhältst du, indem du das notwendige Kriterium für eine Extremstelle $x_E$ beachtest:
$f'(x_E) =0$
$f'(x_E) =0$
Es ergeben sich also die folgenden Bedingungen:
  • $f(0)=5$
  • $f(7,3)=3,3$
  • $f'(0)=0$
  • $f'(7,3)=0$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Oben hast du bereits die allgemeine Funktionsgleichung aufgestellt und alle notwendigen Bedingungen für die Bestimmung der Koeffizienten bestimmt. Du kannst nun wie in Aufgabe a) (1) vorgehen, um die Koeffizienten mit Hilfe eines Gleichungssystems zu bestimmen.
Aufgabe 2
Abb. 2: Funktionsgleichung bestimmen
Aufgabe 2
Abb. 2: Funktionsgleichung bestimmen
#ganzrationalefunktion
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Symmetrie begründen
Betrachte zunächst den Funktionsterm von $p$. Dir sollte auffallen, dass dort nur gerade Exponenten vorkommen, der Graph dazu also achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Betrachte nun den Term, der ergänzt wird.
Für $f_a$ gilt $f_a(x) = p(x) + a\cdot x^4$. Hier wurde also ein Term mit ebenfalls geradem Exponenten über dem $x$ addiert. Dadurch enthält $f_a(x)$ ebenfalls nur gerade Exponenten, womit der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
#term#achsensymmetrie
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte zuordnen
Um die Parameterwerte $a= 0,0002$, $a= 0,0004$ und $0,0006$ den entsprechenden Graphen zuzuordnen, berechne die Funktionswerte von $f_a$ an einer Stelle für die verschiedenen Werte von $a$. Dazu kannst du beispielsweise $x=6$ verwenden. Überprüfe anschließend, welcher Funktionswert von welchem Graphen an dieser Stelle angenommen wird.
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,0002}(6)&=& 0,0002\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,0092 \\[10pt] f_{0,0004}(6)&=& 0,0004\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,2684 \\[10pt] f_{0,0006}(6)&=& 0,0006\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,5276 \\[10pt] \end{array}$
$ $\begin{array}[t]{rll} f_{0,0002}(6)&=& 3,0092 \\[10pt] f_{0,0004}(6)&=& 3,2684 \\[10pt] f_{0,0006}(6)&=& 3,5276 \\[10pt] \end{array}$ $
Damit gehört Graph $\text(I)$ zu $a= 0,0006$, $\text{(II)}$ zu $a = 0,0004$ und $\text{(III)}$ zum Wert $a= 0,0002$.
#funktionswert
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen
Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ gelten die folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M)> 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a'(x)=0$ setzt und so mögliche Extremstellen bestimmst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in die zweite Ableitungsfunktion.
  4. Berechne die $y$-Koordinate des Tiefpunkts durch Einsetzen in $f_a(x)$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
Du kannst die Funktion $f_a$ und deren Ableitungen in deinem CAS wie oben definieren:
Aufgabe 2
Abb. 3: Funktionen definieren
Aufgabe 2
Abb. 3: Funktionen definieren
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Aufgabe 2
Abb. 4: Notwendiges Kriterium
Aufgabe 2
Abb. 4: Notwendiges Kriterium
Wegen $x\geq 0$ fällt $x_3$ aus dem betrachteten Bereich. Es befinden sich mögliche Extremstellen bei $x_1=0$ und $x_2 =\sqrt{\dfrac{1}{32a}} $.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Aufgabe 2
Abb. 5: Hinreichendes Kriterium
Aufgabe 2
Abb. 5: Hinreichendes Kriterium
An der Stelle $x_1=0$ besitzt der Graph von $f_a$ einen Hochpunkt, während sich bei $x_2= \sqrt{\dfrac{1}{32a}}$ ein Tiefpunkt befindet.
4. Schritt: Fehlende Koordinate berechnen
Du kennst nun die $x$-Koordinate des Tiefpunkts. Um die $y$-Koordinate zu berechnen, setze in $f_a(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x_2)&=& f_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \right) & \quad \scriptsize \mid \; \text{CAS} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{32^2a} +5 \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $f_a$ (für $x \geq 0$) lauten $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$.
#ableitung
$\,$
(4)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Nullstellen ermitteln
Um die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen, betrachte die Lage des Tiefpunkts des Graphen genauer. $f_a$ besitzt für $x\geq 0$
  • keine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt $T_a$ oberhalb der $x$-Achse liegt.
  • genau eine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt gerade auf der $x$-Achse liegt.
  • zwei Nullstellen, wenn der Tiefpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt.
Überprüfe also die $y$-Koordinate von $T_a$ daraufhin, für welche Werte von $a$ diese kleiner, größer oder gleich Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} y &\geq& 0 \\[5pt] 5-\dfrac{1}{32^2a}&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{32^2a} \\[5pt] 5&\geq& \dfrac{1}{32^2a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a > 0\\[5pt] 5a&\geq& \dfrac{1}{32^2}&\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{32^2\cdot 5} \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{5.120} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y &\geq& 0 \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{5.120} \\[5pt] \end{array} $
Für $a =\frac{1}{5.120} $ besitzt $f_a$ genau eine Nullstelle für $x \geq 0$, für $a >\frac{1}{5.120}$ keine und für $a < \frac{1}{5.120}$ zwei Nullstellen.
$\,$
(5)
$\blacktriangleright$  Bereich für $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Für den Tiefpunkt $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$ soll $y_{T_a} \geq 3,3$ sein, während für den Wendepunkt $W$ $x_W \geq 4$ gelten soll. Bestimme also zunächst die Wendestelle und forme anschließend diese Ungleichungen jeweils nach $a$ um und bilde zum Schluss die Schnittmenge beider Eingrenzungen für $a$.
Für eine Wendestelle gibt es ebenfalls zwei Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f_a''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f_a'''(x_W)\neq 0$
Gehe also wie bei der Berechnung der Koordinaten des Tiefpunkts vor und nutze dein CAS. Beachte, dass hier nicht die $y$-Koordinate benötigt wird.
1. Schritt: Wendestelle bestimmen
Mit dem CAS erhältst du folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=&0 \\[5pt] x_{1}&=& \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] \end{array}$
Da der Wendepunkt im Bereich $x \geq 0 $ liegen soll, kommt nur $x_1 = \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ in Frage. Überprüfe nun das hinreichende Kriterium mit deinem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''(x_1)&=&f_a'''\left(\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \right) \\[5pt] &=& 24a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
Bei $x_1= \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ handelt es sich also um eine Wendestelle.
2. Schritt: Bereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} y_{T_a} &\geq& 3,3 \\[5pt] 5-\dfrac{1}{32^2a}&\geq& 3,3& \quad\scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] -\dfrac{1}{32^2a}&\geq&-1,7 & \quad\scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] -\dfrac{1}{32^2}&\geq& -1,7a& \quad\scriptsize \mid\; : (-1,7) < 0\\[5pt] \dfrac{5}{8.704}&\leq& a \\[20pt] x_W&\geq& 4 \\[5pt] \sqrt{\dfrac{1}{96a}}&\geq& 4&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{a}\\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{96}}&\geq& 4\sqrt{a}&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \dfrac{1}{4\sqrt{96}}&\geq&\sqrt{a} \\[5pt] \dfrac{1}{1.536}&\geq&a \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y_{T_a} &\geq& 3,3 \\[5pt] \dfrac{5}{8.704}&\leq& a \\[20pt] x_W&\geq& 4 \\[5pt] \dfrac{1}{1.536}&\geq&a \\[5pt] \end{array} $
Es muss also insgesamt $\dfrac{5}{8.704}\leq a \leq \dfrac{1}{1.536}$ gelten.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Inhalt der Glasfläche berechnen
Die Glasfläche wird nach unten durch die $x$-Achse, nach links durch die $y$-Achse und nach oben durch den Graphen der Funktion $h$ begrenzt. Die rechte Grenze ist die Kante durch den Punkt $Q$, die durch die $x$-Koordinate von $Q$ also $x =7,3$ beschrieben wird. Du kannst den Inhalt $A$ der Fläche damit als Integral über $h$ in den Grenzen $a=0$ und $b= 7,3$ berechnen. Du kannst das Integral entweder handschriftlich oder mit deinem CAS berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS
Aufgabe 2
Abb. 6: Integralberechnung
Aufgabe 2
Abb. 6: Integralberechnung
Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{0}^{7,3}h(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{7,3}\left( 0,0006x^4-\dfrac{1}{16}x^2+4,5\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\dfrac{1}{5}\cdot 0,0006\cdot x^5 - \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{16}\cdot x^3+4,5x \right]_0^{7,3} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{25.000}\cdot 7,3^5 - \dfrac{1}{48}\cdot 7,3^3+4,5\cdot 7,3- \left( \dfrac{3}{25.000}\cdot 0^5 - \dfrac{1}{48}\cdot 0^3+4,5\cdot 0 \right) \\[5pt] &\approx& 27,23 \\[5pt] \end{array}$
$ A\approx 27,23 $
Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$.
#integral
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Lösungsidee angeben
Die Fläche links der $y$-Achse kann man berechnen, indem man sie in einzelne Teilflächen aufteilt. Für diese Aufteilung gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Auf dem folgenden Bild ist eine dieser Möglichkeiten dargestellt.
Aufgabe 2
Abb. 7: Aufteilung der Fläche
Aufgabe 2
Abb. 7: Aufteilung der Fläche
In diesem Fall setzt sich die gesuchte Fläche aus drei Flächen zusammen. Es kann zuerst der Inhalt $A_1$ der Fläche unter dem Graphen von $h$ im Berecih $a=-4$ bis $b = 0$ mit Hilfe eines Integrals berechnet werden. Von diesem Ergebnis müssen allerdings die Inhalte von zwei Flächen abgezogen werden:
  • $A_2$: Der Inhalt der blauen dreieckigen Fläche
  • $A_3$: Der Inhalt der roten trapezförmigen Fläche
Für die einzelnen Flächen können dabei folgende Ansätze gemäß der entsprechenden Formeln verwendet werden:
  • $A_1= \displaystyle\int_{-4}^{0}h(x)\;\mathrm dx $
  • $A_2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$
  • $A_3 = \frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h$
#trapez#dreieck#integral
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt begründen
Du sollst begründen, dass der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen im angegebenen Intervall gerade der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $11,3$ und $0,5$ ist. Hierfür gibt es zwei mögliche Lösungswege. Entweder du berechnest die beschriebene Fläche mit Hilfe eines Integrals, sowie den Flächeninhalt des genannten Rechtecks, oder du argumentierst sinngemäß.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerisch
Der gesuchte Flächeninhalt $A_D$ zwischen den beiden Graphen lässt sich als Integral über die Differenz der Funktionen in den Grenzen $a=-4$ und $b =7,3$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}(f(x) -h(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}(0,0006x^4-\dfrac{1}{16}x^2+5- 0,0006x^4+\dfrac{1}{16}x^2-4,5)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}0,5\;\mathrm dx \\[5pt] &=& [0,5x]_{-4}^{7,3} \\[5pt] &=& 0,5\cdot 7,3+0,5\cdot 4 \\[5pt] &=& 5,65 \\[5pt] \end{array}$
$ A_D = 5,56 $
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $A_R = 11,3 \cdot 0,5 = 5,65$, damit sind die beiden Flächeninhalte identisch.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Argumentativ
Der Graph von $h$ liegt an jedem Punkt genau $0,5$ LE unterhalb des Graphen von $f$. Damit beträgt die Höhe der betrachteten Fläche an jedem Punkt im Intervall $-4\leq x \leq 7,3$ $0,5$ LE. Es macht keinen Unterschied, ob diese Höhen versetzt nebeneinander gelegt werden oder wie in einem Rechteck auf exakter Höhe. Daher entspricht der Flächeninhalt gerade dem des Rechtecks.
#integral
d)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Gesucht ist der Winkel, der von zwei Geraden eingeschlossen wird, also der Schnittwinkel $\alpha$ der beiden. Um diesen zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten:
  • Nutze die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden:
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
  • Berechne den Schnittwinkel über die Neigungswinkel der einzelnen Geraden zur Horizontalen. Die Neigungswinkel kannst du mit folgender Formel berechnen:
    $\tan(\alpha) = m$
    $\tan(\alpha) = m$
Für beide Wege benötigst du die Steigungswerte $m_t$ und $m_g$ der Geraden. Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\left( 2,7\mid f(2,7)\right)$ und $P(6,7\mid 7,2)$. Die Steigung kannst du daher mit folgender Formel berechnen:
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
Die Gerade $t$ soll eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ sein. Diese besitzt die gleiche Steigung wie der Graph in diesem Punkt. Du kannst die Steigung $m_t$ also über die erste Ableitung von $f$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} m_g&=& \dfrac{y_P-y_A}{x_P-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{7,2-f(2,7)}{6,7-2,7} \\[5pt] &=& \dfrac{7,2-0,0006\cdot 2,7^4+\frac{1}{16}\cdot 2,7^2-5}{4} \\[5pt] &\approx& 0,655 \\[10pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} m_g &\approx& 0,655 \\[10pt] \end{array} $
Für die Steigung der Tangente $t$, kannst du wie zuvor zuerst die erste Ableitung $f'$ im CAS definieren und dann den Funktionswert berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=& f'(2,7) \\[5pt] &\approx& -0,2903 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für den Schnittwinkel
Du kannst die berechneten Steigunswerte direkt in die oben angegebene Formel für den Schnittwinkel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{m_g-m_t}{1+m_g\cdot m_t} \right| \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{0,655+0,2903}{1-0,655\cdot 0,2903} \right| \\[5pt] \tan(\alpha)&\approx& 1,167 \\[5pt] \alpha&\approx&\tan^{-1}(1,167) \\[5pt] &\approx & 49,4\,^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Die beiden Geraden $g$ und $t$ schließen einen Winkel $\alpha$ mit einer Größe von ca. $49,4^{\circ}$ ein.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Neigungswinkel der jeweiligen Gerade
Zeichne dir eine Skizze. Hier schneiden sich zwei Geraden, von denen eine eine negative Steigung besitzt, also fällt, und die andere steigt. Im Schaubild sind die Steigungswinkel der beiden Geraden eingezeichnet.
Aufgabe 2
Abb. 8: Schnittwinkel
Aufgabe 2
Abb. 8: Schnittwinkel
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_t)&=& m_t \\[5pt] \tan(\alpha_t)&=& -0,2903 \\[5pt] \alpha_t&=& \tan^{-1}(-0,2903) \\[5pt] &\approx& -16,2^{\circ} \\[10pt] \tan(\alpha_g)&=& m_g \\[5pt] \tan(\alpha_g)&=& 0,655 \\[5pt] \alpha_g&=&\tan^{-1}(0,655) \\[5pt] &\approx& 33,2^{\circ} \end{array}$
Die beiden Geraden schließen also einen Winkel mit einer Größe von ca. $16,2^{\circ}+33,2^{\circ} = 49,4^{\circ}$ ein.
#tangente#steigung#schnittwinkel
Bildnachweise [nach oben]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Parabelgleichung bestimmen
Du sollst eine Gleichung der Parabel zweiten Grades bestimmen, die durch den Punkt $D(-4\mid 4)$ verläuft und deren Hochpunkt bei $H(0\mid 5)$ liegt. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel $p$ zweiten Grades lautet wie folgt:
$p(x) = ax^2 +bx +c$
$p(x) = ax^2 +bx +c$
Mit Hilfe der beiden angegebenen Punkte $D$ und $H$ kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach den Parametern $a$, $b$ und $c$ lösen kannst. Beachte dabei auch das notwendige Kriterium für einen Hochpunkt an der Stelle $x_E$:
$p'(x_E)=0$
$p'(x_E)=0$
Stelle also ein Gleichungssystem auf und löse dies mit deinem CAS.
Du erhältst folgende Bedingungen:
  1. $p'(0)=0$
  2. $p(0)=5$
  3. $p(-4)=4$
Aufgabe 2
Abb. 1: Parabelgleichung bestimmen
Aufgabe 2
Abb. 1: Parabelgleichung bestimmen
Du erhältst folgendes Ergebnis:
$a= \dfrac{-1}{16}$, $\quad b= 0\quad$ und $\quad c = 5$
Also lautet eine Gleichung der gesuchten Parabel $p(x) = -\dfrac{1}{16}x^2 +5$.
#parabelgleichung
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass eine geeignete Funktion zur Modellierung der gesamten Dachoberkante mindestens den Grad drei haben muss. Untersuche den Graphen dafür auf markante Punkte wie Hoch- oder Tiefpunkte und überlege dir, wie viele solcher Punkte eine Funktion mit geringerem Grad höchstens haben kann.
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die Linie der Dachkante einen lokalen Hochpunkt, aber auch einen lokalen Tiefpunkt besitzt. Der Graph einer Funktion zweiten Grades kann aber nur einen lokalen Extrempunkt besitzen und der einer linearen Funktion (Grad eins) besitzt keinen solchen Punkt. Daher muss die Funktion mindestens den Grad drei haben.
#extrempunkt
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Allgemeine Funktionsgleichung angeben
Eine ganzrationale Funktion hat immer folgende Form:
$f(x)= a_nx^n + a_{n-1} x^{n-1} +… + a_0x^0$
$f(x)= a_nx^n +… + a_0x^0$
Der Grad der Funktion beschreibt den höchsten Exponenten, der über dem $x$ vorkommt. Also lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3+bx^2+cx +d$ .
$\blacktriangleright$  Bedingungen ermitteln
Um alle vier Koeffizienten bestimmen zu können, werden vier Bedingungen benötigt. Diese sollst du aus den Angaben zu den Punkten $H$ und $Q$ gewinnen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass $H(0\mid 5)$ ein lokaler Hochpunkt des Graphen sein soll, während $Q(7,3\mid 3,3)$ ein lokaler Tiefpunkt ist.
Aus den Koordinaten erhältst du zwei Bedingungen. Die übrigen zwei Bedingungen erhältst du, indem du das notwendige Kriterium für eine Extremstelle $x_E$ beachtest:
$f'(x_E) =0$
$f'(x_E) =0$
Es ergeben sich also die folgenden Bedingungen:
  • $f(0)=5$
  • $f(7,3)=3,3$
  • $f'(0)=0$
  • $f'(7,3)=0$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Oben hast du bereits die allgemeine Funktionsgleichung aufgestellt und alle notwendigen Bedingungen für die Bestimmung der Koeffizienten bestimmt. Du kannst nun wie in Aufgabe a) (1) vorgehen, um die Koeffizienten mit Hilfe eines Gleichungssystems zu bestimmen.
Aufgabe 2
Abb. 2: Funktionsgleichung bestimmen
Aufgabe 2
Abb. 2: Funktionsgleichung bestimmen
#ganzrationalefunktion
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Symmetrie begründen
Betrachte zunächst den Funktionsterm von $p$. Dir sollte auffallen, dass dort nur gerade Exponenten vorkommen, der Graph dazu also achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Betrachte nun den Term, der ergänzt wird.
Für $f_a$ gilt $f_a(x) = p(x) + a\cdot x^4$. Hier wurde also ein Term mit ebenfalls geradem Exponenten über dem $x$ addiert. Dadurch enthält $f_a(x)$ ebenfalls nur gerade Exponenten, womit der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
#achsensymmetrie#term
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte zuordnen
Um die Parameterwerte $a= 0,0002$, $a= 0,0004$ und $0,0006$ den entsprechenden Graphen zuzuordnen, berechne die Funktionswerte von $f_a$ an einer Stelle für die verschiedenen Werte von $a$. Dazu kannst du beispielsweise $x=6$ verwenden. Überprüfe anschließend, welcher Funktionswert von welchem Graphen an dieser Stelle angenommen wird.
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,0002}(6)&=& 0,0002\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,0092 \\[10pt] f_{0,0004}(6)&=& 0,0004\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,2684 \\[10pt] f_{0,0006}(6)&=& 0,0006\cdot 6^4-\dfrac{1}{16}\cdot 6^2+5\\[5pt] &=& 3,5276 \\[10pt] \end{array}$
$ $\begin{array}[t]{rll} f_{0,0002}(6)&=& 3,0092 \\[10pt] f_{0,0004}(6)&=& 3,2684 \\[10pt] f_{0,0006}(6)&=& 3,5276 \\[10pt] \end{array}$ $
Damit gehört Graph $\text(I)$ zu $a= 0,0006$, $\text{(II)}$ zu $a = 0,0004$ und $\text{(III)}$ zum Wert $a= 0,0002$.
#funktionswert
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen
Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ gelten die folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f''(x_M)> 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a'(x)=0$ setzt und so mögliche Extremstellen bestimmst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in die zweite Ableitungsfunktion.
  4. Berechne die $y$-Koordinate des Tiefpunkts durch Einsetzen in $f_a(x)$.
1. Schritt: Ableitungen bilden
Du kannst die Funktion $f_a$ und deren Ableitungen in deinem CAS wie oben definieren:
Aufgabe 2
Abb. 3: Funktionen definieren
Aufgabe 2
Abb. 3: Funktionen definieren
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Aufgabe 2
Abb. 4: Notwendiges Kriterium
Aufgabe 2
Abb. 4: Notwendiges Kriterium
Wegen $x\geq 0$ fällt $x_3$ aus dem betrachteten Bereich. Es befinden sich mögliche Extremstellen bei $x_1=0$ und $x_2 =\sqrt{\dfrac{1}{32a}} $.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Aufgabe 2
Abb. 5: Hinreichendes Kriterium
Aufgabe 2
Abb. 5: Hinreichendes Kriterium
An der Stelle $x_1=0$ besitzt der Graph von $f_a$ einen Hochpunkt, während sich bei $x_2= \sqrt{\dfrac{1}{32a}}$ ein Tiefpunkt befindet.
4. Schritt: Fehlende Koordinate berechnen
Du kennst nun die $x$-Koordinate des Tiefpunkts. Um die $y$-Koordinate zu berechnen, setze in $f_a(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x_2)&=& f_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \right) & \quad \scriptsize \mid \; \text{CAS} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{32^2a} +5 \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $f_a$ (für $x \geq 0$) lauten $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$.
#ableitung
$\,$
(4)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Nullstellen ermitteln
Um die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen, betrachte die Lage des Tiefpunkts des Graphen genauer. $f_a$ besitzt für $x\geq 0$
  • keine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt $T_a$ oberhalb der $x$-Achse liegt.
  • genau eine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt gerade auf der $x$-Achse liegt.
  • zwei Nullstellen, wenn der Tiefpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt.
Überprüfe also die $y$-Koordinate von $T_a$ daraufhin, für welche Werte von $a$ diese kleiner, größer oder gleich Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} y &\geq& 0 \\[5pt] 5-\dfrac{1}{32^2a}&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{32^2a} \\[5pt] 5&\geq& \dfrac{1}{32^2a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a > 0\\[5pt] 5a&\geq& \dfrac{1}{32^2}&\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{32^2\cdot 5} \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{5.120} \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y &\geq& 0 \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{5.120} \\[5pt] \end{array} $
Für $a =\frac{1}{5.120} $ besitzt $f_a$ genau eine Nullstelle für $x \geq 0$, für $a >\frac{1}{5.120}$ keine und für $a < \frac{1}{5.120}$ zwei Nullstellen.
$\,$
(5)
$\blacktriangleright$  Bereich für $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Für den Tiefpunkt $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$ soll $y_{T_a} \geq 3,3$ sein, während für den Wendepunkt $W$ $x_W \geq 4$ gelten soll. Bestimme also zunächst die Wendestelle und forme anschließend diese Ungleichungen jeweils nach $a$ um und bilde zum Schluss die Schnittmenge beider Eingrenzungen für $a$.
Für eine Wendestelle gibt es ebenfalls zwei Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $f_a''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f_a'''(x_W)\neq 0$
Gehe also wie bei der Berechnung der Koordinaten des Tiefpunkts vor und nutze dein CAS. Beachte, dass hier nicht die $y$-Koordinate benötigt wird.
1. Schritt: Wendestelle bestimmen
Mit dem CAS erhältst du folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=&0 \\[5pt] x_{1}&=& \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] \end{array}$
Da der Wendepunkt im Bereich $x \geq 0 $ liegen soll, kommt nur $x_1 = \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ in Frage. Überprüfe nun das hinreichende Kriterium mit deinem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''(x_1)&=&f_a'''\left(\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \right) \\[5pt] &=& 24a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
Bei $x_1= \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ handelt es sich also um eine Wendestelle.
2. Schritt: Bereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} y_{T_a} &\geq& 3,3 \\[5pt] 5-\dfrac{1}{32^2a}&\geq& 3,3& \quad\scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] -\dfrac{1}{32^2a}&\geq&-1,7 & \quad\scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] -\dfrac{1}{32^2}&\geq& -1,7a& \quad\scriptsize \mid\; : (-1,7) < 0\\[5pt] \dfrac{5}{8.704}&\leq& a \\[20pt] x_W&\geq& 4 \\[5pt] \sqrt{\dfrac{1}{96a}}&\geq& 4&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{a}\\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{96}}&\geq& 4\sqrt{a}&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \dfrac{1}{4\sqrt{96}}&\geq&\sqrt{a} \\[5pt] \dfrac{1}{1.536}&\geq&a \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y_{T_a} &\geq& 3,3 \\[5pt] \dfrac{5}{8.704}&\leq& a \\[20pt] x_W&\geq& 4 \\[5pt] \dfrac{1}{1.536}&\geq&a \\[5pt] \end{array} $
Es muss also insgesamt $\dfrac{5}{8.704}\leq a \leq \dfrac{1}{1.536}$ gelten.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Inhalt der Glasfläche berechnen
Die Glasfläche wird nach unten durch die $x$-Achse, nach links durch die $y$-Achse und nach oben durch den Graphen der Funktion $h$ begrenzt. Die rechte Grenze ist die Kante durch den Punkt $Q$, die durch die $x$-Koordinate von $Q$ also $x =7,3$ beschrieben wird. Du kannst den Inhalt $A$ der Fläche damit als Integral über $h$ in den Grenzen $a=0$ und $b= 7,3$ berechnen. Du kannst das Integral entweder handschriftlich oder mit deinem CAS berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS
Aufgabe 2
Abb. 6: Integralberechnung
Aufgabe 2
Abb. 6: Integralberechnung
Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{0}^{7,3}h(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{7,3}\left( 0,0006x^4-\dfrac{1}{16}x^2+4,5\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\dfrac{1}{5}\cdot 0,0006\cdot x^5 - \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{16}\cdot x^3+4,5x \right]_0^{7,3} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{25.000}\cdot 7,3^5 - \dfrac{1}{48}\cdot 7,3^3+4,5\cdot 7,3- \left( \dfrac{3}{25.000}\cdot 0^5 - \dfrac{1}{48}\cdot 0^3+4,5\cdot 0 \right) \\[5pt] &\approx& 27,23 \\[5pt] \end{array}$
$ A\approx 27,23 $
Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$.
#integral
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Lösungsidee angeben
Die Fläche links der $y$-Achse kann man berechnen, indem man sie in einzelne Teilflächen aufteilt. Für diese Aufteilung gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Auf dem folgenden Bild ist eine dieser Möglichkeiten dargestellt.
Aufgabe 2
Abb. 7: Aufteilung der Fläche
Aufgabe 2
Abb. 7: Aufteilung der Fläche
In diesem Fall setzt sich die gesuchte Fläche aus drei Flächen zusammen. Es kann zuerst der Inhalt $A_1$ der Fläche unter dem Graphen von $h$ im Berecih $a=-4$ bis $b = 0$ mit Hilfe eines Integrals berechnet werden. Von diesem Ergebnis müssen allerdings die Inhalte von zwei Flächen abgezogen werden:
  • $A_2$: Der Inhalt der blauen dreieckigen Fläche
  • $A_3$: Der Inhalt der roten trapezförmigen Fläche
Für die einzelnen Flächen können dabei folgende Ansätze gemäß der entsprechenden Formeln verwendet werden:
  • $A_1= \displaystyle\int_{-4}^{0}h(x)\;\mathrm dx $
  • $A_2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$
  • $A_3 = \frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h$
#dreieck#trapez#integral
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt begründen
Du sollst begründen, dass der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen im angegebenen Intervall gerade der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $11,3$ und $0,5$ ist. Hierfür gibt es zwei mögliche Lösungswege. Entweder du berechnest die beschriebene Fläche mit Hilfe eines Integrals, sowie den Flächeninhalt des genannten Rechtecks, oder du argumentierst sinngemäß.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerisch
Der gesuchte Flächeninhalt $A_D$ zwischen den beiden Graphen lässt sich als Integral über die Differenz der Funktionen in den Grenzen $a=-4$ und $b =7,3$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}(f(x) -h(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}(0,0006x^4-\dfrac{1}{16}x^2+5- 0,0006x^4+\dfrac{1}{16}x^2-4,5)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-4}^{7,3}0,5\;\mathrm dx \\[5pt] &=& [0,5x]_{-4}^{7,3} \\[5pt] &=& 0,5\cdot 7,3+0,5\cdot 4 \\[5pt] &=& 5,65 \\[5pt] \end{array}$
$ A_D = 5,56 $
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $A_R = 11,3 \cdot 0,5 = 5,65$, damit sind die beiden Flächeninhalte identisch.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Argumentativ
Der Graph von $h$ liegt an jedem Punkt genau $0,5$ LE unterhalb des Graphen von $f$. Damit beträgt die Höhe der betrachteten Fläche an jedem Punkt im Intervall $-4\leq x \leq 7,3$ $0,5$ LE. Es macht keinen Unterschied, ob diese Höhen versetzt nebeneinander gelegt werden oder wie in einem Rechteck auf exakter Höhe. Daher entspricht der Flächeninhalt gerade dem des Rechtecks.
#integral
d)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Gesucht ist der Winkel, der von zwei Geraden eingeschlossen wird, also der Schnittwinkel $\alpha$ der beiden. Um diesen zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten:
  • Nutze die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden:
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
    $\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
  • Berechne den Schnittwinkel über die Neigungswinkel der einzelnen Geraden zur Horizontalen. Die Neigungswinkel kannst du mit folgender Formel berechnen:
    $\tan(\alpha) = m$
    $\tan(\alpha) = m$
Für beide Wege benötigst du die Steigungswerte $m_t$ und $m_g$ der Geraden. Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\left( 2,7\mid f(2,7)\right)$ und $P(6,7\mid 7,2)$. Die Steigung kannst du daher mit folgender Formel berechnen:
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $
Die Gerade $t$ soll eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ sein. Diese besitzt die gleiche Steigung wie der Graph in diesem Punkt. Du kannst die Steigung $m_t$ also über die erste Ableitung von $f$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} m_g&=& \dfrac{y_P-y_A}{x_P-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{7,2-f(2,7)}{6,7-2,7} \\[5pt] &=& \dfrac{7,2-0,0006\cdot 2,7^4+\frac{1}{16}\cdot 2,7^2-5}{4} \\[5pt] &\approx& 0,655 \\[10pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} m_g &\approx& 0,655 \\[10pt] \end{array} $
Für die Steigung der Tangente $t$, kannst du wie zuvor zuerst die erste Ableitung $f'$ im CAS definieren und dann den Funktionswert berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=& f'(2,7) \\[5pt] &\approx& -0,2903 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für den Schnittwinkel
Du kannst die berechneten Steigunswerte direkt in die oben angegebene Formel für den Schnittwinkel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{m_g-m_t}{1+m_g\cdot m_t} \right| \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{0,655+0,2903}{1-0,655\cdot 0,2903} \right| \\[5pt] \tan(\alpha)&\approx& 1,167 \\[5pt] \alpha&\approx&\tan^{-1}(1,167) \\[5pt] &\approx & 49,4\,^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Die beiden Geraden $g$ und $t$ schließen einen Winkel $\alpha$ mit einer Größe von ca. $49,4^{\circ}$ ein.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Neigungswinkel der jeweiligen Gerade
Zeichne dir eine Skizze. Hier schneiden sich zwei Geraden, von denen eine eine negative Steigung besitzt, also fällt, und die andere steigt. Im Schaubild sind die Steigungswinkel der beiden Geraden eingezeichnet.
Aufgabe 2
Abb. 8: Schnittwinkel
Aufgabe 2
Abb. 8: Schnittwinkel
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_t)&=& m_t \\[5pt] \tan(\alpha_t)&=& -0,2903 \\[5pt] \alpha_t&=& \tan^{-1}(-0,2903) \\[5pt] &\approx& -16,2^{\circ} \\[10pt] \tan(\alpha_g)&=& m_g \\[5pt] \tan(\alpha_g)&=& 0,655 \\[5pt] \alpha_g&=&\tan^{-1}(0,655) \\[5pt] &\approx& 33,2^{\circ} \end{array}$
Die beiden Geraden schließen also einen Winkel mit einer Größe von ca. $16,2^{\circ}+33,2^{\circ} = 49,4^{\circ}$ ein.
#schnittwinkel#tangente#steigung
Bildnachweise [nach oben]
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