Aufgabe 5

Aufgabenstellung:

Die Nutzung von sozialen Netzwerken wird immer beliebter. Dabei nutzen immer mehr Jugendliche verschiedene soziale Netzwerke. Es wird davon ausgegangen, dass $30\,\%$ aller Jugendlichen das (fiktive) soziale Netzwerk „Freundschaftsbuch“ nutzen.
Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit dafür verwendet werden, dass eine zufällig befragte jugendliche Person „Freundschaftsbuch“ nutzt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von $100$ zufällig ausgewählten Jugendlichen

(1)

genau $33$ Jugendliche „Freundschaftsbuch“ nutzen,

(2P)

(2)

höchstens $25$ Jugendliche „Freundschaftsbuch“ nutzen,

(3P)

(3)

die Anzahl der jugendlichen Nutzer, die „Freundschaftsbuch“ nutzen, einem Wert entspricht, der sich um maximal $5$ vom Erwartungswert unterscheidet.

(5P)

Ermittle (ggf. durch Probieren), welche positive Anzahl an Jugendlichen mindestens zufällig ausgewählt werden muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ maximal einen Jugendlichen antrifft, der „Freundschaftsbuch“ nutzt.

(6P)

In einer Schule gibt es zur schulinternen Kommunikation ein eigenes Netzwerk, das sowohl von Jugendlichen genutzt wird, die „Freundschaftsbuch“ nutzen, als auch von Jugendlichen, die „Freundschaftsbuch“ nicht nutzen. Dabei ist in beiden Gruppen der Anteil derjenigen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, identisch. Im Folgenden wird dieser Anteil mit $h$ bezeichnet und auch als Wahrscheinlichkeit für den jeweiligen Fall verwendet.

(1)

Zeige, dass man den Anteil der Jugendlichen, die genau eines dieser Netzwerke nutzen, mit Hilfe des Terms $0,3 \cdot (1-h) + 0,7 h$ beschreiben kann, und erkläre die einzelnen Bestandteile des Terms.

(5P)

(2)

Berechne den Anteil aller Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, wenn der Anteil der Jugendlichen, die genau eines dieser Netzwerke nutzen, bei $0,4$ liegt.

(2P)

(3)

Berechne für $h=0,25$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt.

(3P)

(4)

Eine zufällig ausgewählte jugendliche Person nutzt das schulinterne Netzwerk.
Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass sie „Freundschaftsbuch“ nicht nutzt, und erkläre, wieso dieser Wert auch ohne einen Ansatz über bedingte Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden kann.

(4P)

Die Schülervertretung möchte, dass der Nutzungsgrad des schulinternen Netzwerks verbessert wird. Dazu soll mit Aktionen das schulinterne Netzwerk bekannter gemacht werden. Nach einem Jahr möchte die Schülervertretung die Vermutung überprüfen, dass der Nutzungsgrad von vormals $25\,\%$ gestiegen ist, und möchte dazu $50$ zufällig ausgewählte Jugendliche der Schule befragen.

(1)

Gib eine geeignete Nullhypothese an und ermittle eine passende Entscheidungsregel auf dem Signifikanzniveau von $\alpha=0,05$ .

(6P)

(2)

Bei der Befragung kommt heraus, dass $19$ Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.
Beurteile die Situation aus Sicht der Schülervertretung.

(2P)

Zum Signifikanzniveau von $\alpha = 0,025$ ergibt sich die Entscheidungsregel: „Verwirf die Nullhypothese, falls $20$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.“

(3)

In den Abbildungen 1 - 4 sind die Wahrscheinlichkeiten der jeweils angegebenen Binomialverteilung als Säulen dargestellt. Die Höhe der Säule zum Wert $k$ entspricht dabei $P (X = k)$ .
Stelle den Bereich, in dem die Nullhypothese abgelehnt wird, in Abbildung 1 grafisch dar.

(3P)

(4)

Beschreibe den Fehler $2.$ Art im Sachzusammenhang und berechne die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens für den Fall, dass der Nutzungsgrad in Wirklichkeit bei $40$ $\%$ liegt.

(5P)

(5)

Bei gleich bleibender Entscheidungsregel und steigendem Nutzungsgrad wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler $2.$ Art immer kleiner.
Erkläre, inwieweit dies an den Abbildungen 2 bis 4 abgelesen werden kann.

(4P)

Diagramm einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit X-Achse und Y-Achse, die Wahrscheinlichkeiten zeigt.

Abb. 1 Binomialverteilung für $p=0,25$ und $n=50$

Diagramm mit einer Grafik, die Wahrscheinlichkeiten in einem Koordinatensystem darstellt.

Abb. 2 Binomialverteilung für $p=0,4$ und $n=50$

Histogramm mit Wahrscheinlichkeitsverteilung, zeigt Datenpunkte auf einer X-Achse und Wahrscheinlichkeiten auf der Y-Achse.

Abb. 3 Binomialverteilung für $p=0,5$ und $n=50$

Histogramm mit Wahrscheinlichkeitsverteilung, zeigt die Häufigkeit von Werten in einem bestimmten Bereich.

Abb. 4 Binomialverteilung für $p=0,6$ und $n=50$

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

[4]

Tabelle 1: $\sigma$ -Regeln für Binomialverteilungen
Wenn die Laplace-Bedingung $\sigma \gt 3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$ -Regeln:

Vollständige Tabelle anzeigen

Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n=10 und n=20

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+ ...$

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n	k		p								k	n
n	k	0,02	0,05	0,08	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,5	k	n
10	0	0,8171	0,5987	0,4344	0,3487	0,1969	0,1074	0,0563	0,0282	0,0010	9	10
	1	0,9838	0,9139	0,8121	0,7361	0,5443	0,3758	0,2440	0,1493	0,0107	8
	2	0,9991	0,9885	0,9599	0,9298	0,8202	0,6778	0,5256	0,3828	0,0547	7
	3	1	0,9990	0,9942	0,9872	0,9500	0,8791	0,7759	0,6496	0,1719	6
	4	1	0,9999	0,9994	0,9984	0,9901	0,9672	0,9219	0,8497	0,3770	5
	5	1	1	1	0,9999	0,9986	0,9936	0,9803	0,9527	0,6230	4
	6	1	1	1	1	0,9999	0,9991	0,9965	0,9894	0,8281	3
	7	1	1	1	1	1	0,9999	0,9996	0,9984	0,9453	2
	8	1	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9893	1
	9	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9990	0
20	0	0,6676	0,3585	0,1887	0,1216	0,0388	0,0115	0,0032	0,0008	0,0000	19	20
	1	0,9401	0,7358	0,5169	0,3917	0,1756	0,0692	0,0243	0,0076	0,0000	18
	2	0,9929	0,9245	0,7879	0,6769	0,4049	0,2061	0,0913	0,0355	0,0002	17
	3	0,9994	0,9841	0,9294	0,8670	0,6477	0,4114	0,2252	0,1071	0,0013	16
	4	1	0,9974	0,9817	0,9568	0,8298	0,6296	0,4148	0,2375	0,0059	15
	5	1	0,9997	0,9962	0,9887	0,9327	0,8042	0,6172	0,4164	0,0207	14
	6	1	1	0,9994	0,9976	0,9781	0,9133	0,7858	0,6080	0,0577	13
	7	1	1	0,9999	0,9996	0,9941	0,9679	0,8982	0,7723	0,1316	12
	8	1	1	1	0,9999	0,9987	0,9900	0,9591	0,8867	0,2517	11
	9	1	1	1	1	0,9998	0,9974	0,9861	0,9520	0,4119	10
	10	1	1	1	1	1	0,9994	0,9961	0,9829	0,5881	9
	11	1	1	1	1	1	0,9999	0,9991	0,9949	0,7483	8
	12	1	1	1	1	1	1	0,9998	0,9987	0,8684	7
	13	1	1	1	1	1	1	1	0,9997	0,9423	6
	14	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9793	5
	15	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9941	4
	16	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9987	3
	17	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9998	2
n	k	0,98	0,95	0,92	0,9	0,85	0,8	0,75	0,7	0,5	k	n
n	k	p									k	n

Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n=50

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...$

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1
3	n	k	p											k	n
4	n	k	0,05	0,07	0,1	0,15	1/6	0,2	0,25	0,27	0,3	1/3	0,4	k	n
5	50	0	0,0769	0,0266	0,0052	0,0003	0,0001	0	0	0	0	0	0	49	50
6		1	0,2794	0,1265	0,0338	0,0029	0,0012	0,0002	0	0	0	0	0	48
7		2	0,5405	0,3108	0,1117	0,0142	0,0066	0,0013	0,0001	0	0	0	0	47
8		3	0,7604	0,5327	0,2503	0,0460	0,0238	0,0057	0,0005	0,0002	0	0	0	46
9		4	0,8964	0,7290	0,4312	0,1121	0,0643	0,0185	0,0021	0,0008	0,0002	0	0	45
10		5	0,9622	0,8650	0,6161	0,2194	0,1388	0,0480	0,0070	0,0030	0,0007	0,0001	0	44
11		6	0,9882	0,9417	0,7702	0,3613	0,2506	0,1034	0,0194	0,0089	0,0025	0,0005	0	43
12		7	0,9968	0,978	0,8779	0,5188	0,3911	0,1904	0,0453	0,0228	0,0073	0,0017	0,0001	42
13		8	0,9992	0,9927	0,9421	0,6681	0,5421	0,3073	0,0916	0,0503	0,0183	0,0050	0,0002	41
14		9	0,9998	0,9978	0,9755	0,7911	0,6830	0,4437	0,1637	0,0979	0,0402	0,0127	0,0008	40
15		10	1	0,9994	0,9906	0,8801	0,7986	0,5836	0,2622	0,1701	0,0789	0,0284	0,0022	39
16		11	1	0,9999	0,9968	0,9372	0,8827	0,7107	0,3816	0,2671	0,1390	0,0570	0,0057	38
17		12	1	1	0,9990	0,9699	0,9373	0,8139	0,5110	0,3837	0,2229	0,1035	0,0133	37
18		13	1	1	0,9997	0,9868	0,9693	0,8894	0,6370	0,5099	0,3279	0,1715	0,0280	36
19		14	1	1	0,9999	0,9947	0,9862	0,9393	0,7481	0,6331	0,4468	0,2612	0,054	35
20		15	1	1	1	0,9981	0,9943	0,9692	0,8369	0,7425	0,5692	0,3690	0,0955	34
21		16	1	1	1	0,9993	0,9978	0,9856	0,9017	0,8311	0,6839	0,4868	0,1561	33
22		17	1	1	1	0,9998	0,9992	0,9937	0,9449	0,8966	0,7822	0,6046	0,2369	32
23		18	1	1	1	0,9999	0,9997	0,9975	0,9713	0,9410	0,8594	0,7126	0,3356	31
24		19	1	1	1	1	0,9999	0,9991	0,9861	0,9686	0,9152	0,8036	0,4465	30
25		20	1	1	1	1	1	0,9997	0,9937	0,9845	0,9522	0,8741	0,5610	29
26		21	1	1	1	1	1	0,9999	0,9974	0,9929	0,9749	0,9244	0,6701	28
27		22	1	1	1	1	1	1	0,9990	0,9969	0,9877	0,9576	0,7660	27
28		23	1	1	1	1	1	1	0,9996	0,9988	0,9944	0,9778	0,8438	26
29		24	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9996	0,9976	0,9892	0,9022	25
30		25	1	1	1	1	1	1	1	0,9998	0,9991	0,9951	0,9427	24
31		26	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9997	0,9979	0,9686	23
32		27	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9992	0,9840	22
33		28	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9997	0,9924	21
34		29	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9966	20
35		30	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9986	19
36		31	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9995	18
37		32	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9998	17
38		33	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9999	16
39	n	k	0,95	0,93	0,9	0,85	5/6	0,8	0,75	0,73	0,7	2/3	0,6	k	n
40	n	k												k	n

Tabelle 4: Kumulierte Binomialverteilung für n=100

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...$

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1
3	n	k	p											k	n
4	n	k	0,05	0,07	0,1	0,15	1/6	0,2	0,25	0,27	0,3	1/3	0,4	k	n
5	100	0	0,0059	0,0007	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	99	100
6		1	0,0371	0,0060	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	98
7		2	0,1183	0,0258	0,0019	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	97
8		3	0,2578	0,0744	0,0078	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	96
9		4	0,4360	0,1632	0,0237	0,0004	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	95
10		5	0,6160	0,2914	0,0576	0,0016	0,0004	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	94
11		6	0,7660	0,4443	0,1172	0,0047	0,0013	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	93
12		7	0,8720	0,5988	0,2061	0,0122	0,0038	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	92
13		8	0,9369	0,7340	0,3209	0,0275	0,0095	0,0009	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	91
14		9	0,9718	0,8380	0,4513	0,0551	0,0213	0,0023	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	90
15		10	0,9885	0,9092	0,5832	0,0994	0,0427	0,0057	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	89
16		11	0,9957	0,9531	0,7030	0,1635	0,0777	0,0126	0,0004	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	88
17		12	0,9985	0,9776	0,8018	0,2473	0,1297	0,0253	0,0010	0,0002	0,0000	0,0000	0,0000	87
18		13	0,9995	0,9901	0,8761	0,3474	0,2000	0,0469	0,0025	0,0006	0,0001	0,0000	0,0000	86
19		14	0,9999	0,9959	0,9274	0,4572	0,2874	0,0804	0,0054	0,0014	0,0002	0,0000	0,0000	85
20		15	1	0,9984	0,9601	0,5683	0,3877	0,1285	0,0111	0,0033	0,0004	0,0000	0,0000	84
21		16	1	0,9994	0,9794	0,6725	0,4942	0,1923	0,0211	0,0068	0,0010	0,0001	0,0000	83
22		17	1	0,9998	0,9900	0,7633	0,5994	0,2712	0,0376	0,0133	0,0022	0,0002	0,0000	82
23		18	1	0,9999	0,9954	0,8372	0,6965	0,3621	0,0630	0,0243	0,0045	0,0005	0,0000	81
24		19	1	1	0,9980	0,8935	0,7803	0,4602	0,0995	0,0420	0,0089	0,0011	0,0000	80
25		20	1	1	0,9992	0,9337	0,8481	0,5595	0,1488	0,0684	0,0165	0,0024	0,0000	79
26		21	1	1	0,9997	0,9607	0,8998	0,6540	0,2114	0,1057	0,0288	0,0048	0,0000	78
27		22	1	1	0,9999	0,9779	0,9369	0,7389	0,2864	0,1552	0,0479	0,0091	0,0001	77
28		23	1	1	1	0,9881	0,9621	0,8109	0,3711	0,2172	0,0755	0,0164	0,0003	76
29		24	1	1	1	0,9939	0,9783	0,8686	0,4617	0,2909	0,1136	0,0281	0,0006	75
30		25	1	1	1	0,9970	0,9881	0,9125	0,5535	0,3737	0,1631	0,0458	0,0012	74
31		26	1	1	1	0,9986	0,9938	0,9442	0,6417	0,4620	0,2244	0,0715	0,0024	73
32		27	1	1	1	0,9994	0,9969	0,9658	0,7224	0,5516	0,2964	0,1066	0,0046	72
33		28	1	1	1	0,9997	0,9985	0,9800	0,7925	0,6379	0,3768	0,1524	0,0084	71
34		29	1	1	1	0,9999	0,9993	0,9888	0,8505	0,7172	0,4623	0,2093	0,0148	70
35		30	1	1	1	1	0,9997	0,9939	0,8962	0,7866	0,5491	0,2766	0,0248	69
36		31	1	1	1	1	0,9999	0,9969	0,9307	0,8446	0,6331	0,3525	0,0398	68
37		32	1	1	1	1	1	0,9984	0,9554	0,8909	0,7107	0,4344	0,0615	67
38		33	1	1	1	1	1	0,9993	0,9724	0,9261	0,7793	0,5188	0,0913	66
39		34	1	1	1	1	1	0,9997	0,9836	0,9518	0,8371	0,6019	0,1303	65
40		35	1	1	1	1	1	0,9999	0,9906	0,9697	0,8839	0,6803	0,1795	64
41		36	1	1	1	1	1	0,9999	0,9948	0,9817	0,9201	0,7511	0,2386	63
42		37	1	1	1	1	1	1,0000	0,9973	0,9893	0,9470	0,8123	0,3068	62
43		38	1	1	1	1	1	1	0,9986	0,9940	0,9660	0,8630	0,3822	61
44		39	1	1	1	1	1	1	0,9993	0,9968	0,9790	0,9034	0,4621	60
45		40	1	1	1	1	1	1	0,9997	0,9983	0,9875	0,9341	0,5433	59
46		41	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9992	0,9928	0,9566	0,6225	58
47		42	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9996	0,9960	0,9724	0,6967	57
48		43	1	1	1	1	1	1	1	0,9998	0,9979	0,9831	0,7635	56
49		44	1	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9989	0,9900	0,8211	55
50		45	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9995	0,9943	0,8689	54
51		46	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9997	0,9969	0,9070	53
52		47	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9983	0,9362	52
53		48	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9991	0,9577	51
54		49	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9996	0,9729	50
55		50	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9998	0,9832	49
56		51	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9900	48
57		52	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9942	47
58		53	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,9968	46
59	n	k	0,95	0,93	0,9	0,85	5/6	0,8	0,75	0,73	0,7	2/3	0,6	k	n
60	n	k												k	n

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ , gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 5: Normalverteilung

$\phi(z)=0,...$
$\phi(-z)=1-\phi(z)$

2
3	z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4	0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
5	0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
6	0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
7	0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
8	0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
9	0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
10	0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
11	0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
12	0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
13	0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
14	1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
15	1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
16	1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
17	1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
18	1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
19	1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
20	1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
21	1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
22	1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
23	1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
24	2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
25	2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
26	2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
27	2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
28	2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
29	2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
30	2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
31	2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
32	2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
33	2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
34	3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
35	3,1	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
36	3,2	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
37	3,3	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
38	3,4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998
39	3,5	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998
40	3,6	0,9998	0,9998	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
41	3,7	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
42	3,8	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999

Beispiele für den Gebrauch:

$\phi(2,32)=0,9898$

$\phi(z)=0,994\Rightarrow z=2,51$

$\phi(-0,9)=1-\phi(0,9)=0,1841$

(1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für genau 33 Nutzer berechnen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind hierbei unabhängig voneinander. Zudem gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, also dass ein Jugendlicher Nutzer von Freundschaftsbuch oder kein Nutzer von Freundschaftsbuch ist. Außerdem gilt, dass die Wahrscheinlichkeit immer konstant bleibt. Deshalb kann man die Anzahl der Nutzer als binomiaverteilt ansehen und kann die Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hierbei

$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$

Dabei beschreibt in diesem Fall $n$ die Anzahl der Ziehungen ( $n=100$ ), $X$ die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen und $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch benutzt ( $p = 0,3$ ).

Da genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen sollen, setzt du $k=33$ .

$P(X=33) = ...$

Vollständige Lösung anzeigen

D.h. wenn du zufällig $100$ Jugendliche befragst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen $6,85\, \%.$

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 25 Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen

Gesucht ist $P(X \leq 25)$ , d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus $100$ befragten Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle

$P(X \leq 25)$ kannst du nun aus der Tabelle 4 für die kumulierte Binomialverteilung in den Anlagen ablesen.

$P(X \leq 25) = 0,1631$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,1631$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: CAS

Die Wahrscheinlichkeit für $P(X \leq 25)$ kannst du mithilfe des binomcdf-Befehls deines CAS bestimmen. Den binomcdf-Befehl findest du unter

5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilung $\to$ E: Binomial Cdf.

Eingabemaske für die Berechnung der Binomialverteilung mit verschiedenen Parametern.

Abb. 1: Eingetragene Daten

Screenshot einer Softwareanwendung mit einer Berechnung zur binomialen kumulativen Verteilung.

Abb. 2: Ergebnis

Somit gilt:

$P(X \leq 25) = 0,1631$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $0,1631$ .

(3)

Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung zum Erwartungswert

In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen, um maximal den Wert $5$ vom Erwartungswert unterscheidet. Bestimme also zunächst den Erwartungswert. Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt, konstant bleibt, berechnet sich der Erwartungswert wie folgt:

$E(X) = p \cdot n$

Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit bei $p=0,3$ liegt und insgesamt $100$ Jugendliche befragt werden, liegt der Erwartungswert bei

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& p \cdot n \\[5pt] &=& 0,3 \cdot 100 \\[5pt] &=&30 \end{array}$

Deshalb ist zu erwarten, dass von $100$ befragten Jugendlichen $30$ Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen. Somit lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(25 \leq X \leq 35)$ , dies gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Anzahl der Jugendlichen, die Freundschaftsbuch nutzen mindestens $25$ und höchstens $35$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle

Die Wahrscheinlichkeiten kannst du der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung entnehmen.

$P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt $77,03\, \%$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: CAS

Die Wahrscheinlichkeiten kannst du nun wie oben mittels dem binomcdf-Befehl deines CAS bestimmen.

$ $P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$ $

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $77,03\, \%$ .

$\blacktriangleright$ Anzahl der Jugendlichen berechnen

In dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, die befragt werden müssen, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich wie folgt zusammen

$P(X\leq1)=P(X=1)+P(X=0)$ .

Nun musst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, sodass $P(X\leq1) \leq 0,05$ gilt. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt $p=\dfrac{3}{10}$ .

Hierfür benötigst du also die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ und $P(X=0)$ . Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich hierbei wie folgt:

$P(X=1)= \binom{n}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1}$

$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=&\binom{n}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{n-0} \\[5pt] &=& (1-p)^{n} \end{array}$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(\leq1)$ :

$P(\leq1) = \dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Nun kannst du durch systematisches Probieren den entsprechenden Wert für $n$ finden, sodass die Ungleichung

$P(X\leq1) \leq 0,05$ erfüllt ist.

In die Ungleichung kannst du anschließend deine obere Gleichung einsetzen.

$n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \leq 0,05$

Für $n=10$ gilt:

$P(X\leq1) \approx 0,15$

Für $n=13$ gilt:

$P(X\leq1) \approx 0,064$

Für $n=14$ gilt:

$P(X\leq1) \approx 0,047$

Somit müssen mndestens $14$ Jugendliche befragt werden, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt.

(1)

$\blacktriangleright$ Anteil der Nutzer beschreiben, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen

In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass für den Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen der Term $0,3\cdot (1-h) + 0,7h$ gilt. Überlege dir zuerst wie der Anteil der Jugendlichen, die eines der Netzwerke nutzen zusammengesetzt ist. Bezeichne hierbei beispielsweise den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen mit $a$ und den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen mit $b$ .

Der Anteil der Schüler, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen setzt sich aus dem Anteil der Schüler zusammen,

die das schulinterne Netzwerk aber nicht das Freundschaftsbuch nutzen und denen,

die das Netzwerk Freundschaftsbuch aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen.

Der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,3$ . Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nicht nutzen $1-0,3=0,7$ .

Der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen beträgt $h$ . Somit ergibt sich für den Anteil, die das schulinterne Netzwerk nicht nutzen $1-h$ .

Für den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch, aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen, gilt somit:

$0,3\cdot(1-h)$

Für den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk, aber nicht das Freundschaftsbuch benutzen, gilt somit:

$0,7\cdot h$

Somit gilt für den gesamten Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen:

$0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$

(2)

$\blacktriangleright$ Anteil der Nutzer des schulinternen Netzwerks bestimmen

In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen $0,4$ beträgt. Da du in der ersten Teilaufgabe bereits den Term für den Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen berechnet hast, kannst du nun mit Hilfe des Terms den unbekannten Anteil $h$ berechnen. $h$ beschreibt hierbei den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, also $a$ . Bestimme mit folgender Gleichung den unbekannten Anteil $h$ .

$0,4=0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$

Nun kannst du die Gleichung nach $h$ auflösen und erhältst

$h = 0,25$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $a=0,25$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für einen Jugendlichen, der mind. eines der beiden Netzwerke nutzt

In dieser Aufgabe hast du nun gegeben, dass der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $0,25$ beträgt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke benutzt setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten,

dass ein Jugendlicher genau eines der beiden Netzwerke benutzt und

dass ein Schüler beide Netzwerke benutzt zusammen.

Somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{mind } 1) &=& 0,4 + 0,3 \cdot h\\[5pt] &=& 0,4 + 0,3 \cdot 0,25\\[5pt] &=& 0,475 \end{array}$

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt $0,475$ .

(4)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

In dieser Teilaufgabe hast du nun gegeben, dass eine zufällig ausgewählte Person das schulinterne Nezwerk benutzt. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass dieser Jugendliche Freundschaftsbuch nicht nutzt. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit mit der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen. Bezeichne beispielsweise die Nutzung des schulinternen Netzwerks mit $A$ und die Ablehnung des Freundschaftsbuches mit $\overline{B}$ . Somit lautet die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

$P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$

Die Formel gibt nun an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis $B$ nicht eintritt, wenn das Ereignis $A$ bereits gilt. Also, mit welcher Wahrscheinlichkeit er Freundschaftsbuch benutzt, wenn er bereits das schulinterne Netzwerk benutzt.

Da das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten oder Nichteintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig.

Deshalb gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$

Somit gilt:

$P(\overline{B})=(1-0,3) = 0,7$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt deshalb $0,7$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren

Du sollst hier die Nullhypothese angeben und eine Entscheidungsregel formulieren, das heißt eine Regel dafür formulieren, ob die Vermutung, dass der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist, wahr ist. Stelle hierfür zunächst eine geeignete Nullhypothese auf. Für die Nullhypothese gilt:

$H_0:p \leq 0,25$

Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ durchgeführt.

Wir betrachten hier die Zufallsvariable $Y$ , die die Anzahl der Nutzer des schulinternen Netzwerkes beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n =50$ . Da ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für kleine Werte abgelehnt.
Der Ablehnungsbereich hat daher die Form

$\overline{K} = [k,n]$ .

Du musst nun also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen, um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:

$P(Y\geq k) \leq 0,05 = 1- P(Y\leq k-1)$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle

Nun kannst du aus der Tabelle $3$ für die kumulierte Binomialverteilung bei $p=0,25$ das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.

Aus der Tabelle erhältst du folgende Werte:

$P(Y\leq 17)=0,9449$ und $P(Y\leq 18)=0,9713$

Somit erhälst du:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 1-0,9449\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 1-0,9713\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$

Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist, ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.

Somit lautet die Entscheidungsregel:

Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also wenn $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: CAS

Mit Hilfe deines CAS kannst du für verschiedene Werte für $k$ die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Durch systematisches Probieren kannst du somit das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.

Durch den binomcdf-Befehl deines CAS erhältst du folgende Werte:

Somit erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$

Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.

Somit lautet die Entscheidungsregel:

Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also dass $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.

(2)

$\blacktriangleright$ Beurteile die Situation für genau 19 Nutzer

Im Fall, dass $19$ Jugendliche bei der Befragung angeben, dass sie das schulinterne Netzwerk nutzen, ist die Nullhypothese zu verwerfen. Das bedeutet, dass die Schülervertretung Erfolg hatte und somit der Nutzungsgrad um $25 \%$ gestiegen ist.

(3)

$\blacktriangleright$ Ablehnungsbereich der Nullhypothese in Abbildung 1 darstellen

Die Nullhypothese wird verworfen, fallls $20$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen. Deshalb musst du die Wahrscheinlichkeiten für $X\geq 20$ markieren. Das Schaubild sieht somit wie folgt aus:

Diagramm mit einer Wahrscheinlichkeitsskala und einem Balken-Chart zur Darstellung von Daten.

Abb. 3: Abbildung $1$ mit Ablehnungsbereich

(4)

$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art beschreiben

Ein Fehler 2. Art bedeutet, die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise nicht zu verwerfen. Das heißt in diesem Fall, dass die Schülervertretung aufgrund der Ergebnisse der Umfrage die Hypothese nicht verwirft und ihre Aktion somit als nicht erforlgreich betrachtet, obwohl sich die Anzahl der Schüler, welches das schulinterne Netzwerk nutzen erhöht hat.

Liegt der Wirkungsgrad in Wirklichkeit bei $40\, \%$ so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art $p=0,4$ und $n=50$ . Die Grenze ist gegeben mit $Y \lt 20$ , also mit $Y\leq 19$ . Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit aus der gegebenen Tabelle $3$ ablesen. Deshalb gilt für $P(Y \leq 19)=0,4465$ . Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art liegt somit bei $0,4465$ .

(5)

$\blacktriangleright$ Veränderung durch steigenden Nutzungsgrad

In dieser Teilaufgabe sollst du erkären inwiefern man durch die Abbildungen $2$ - $4$ ablesen kann, dass sich durch steigenden Nutzungsgrad und bei gleichbleibender Entscheidungsregel die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art verringert. Da sich die Entscheidungsregel nicht verändert liegt ein Fehler 2. Art bei allen Abbildungen bei $Y \lt 20$ vor. Da sich aber der Nutzungsgrad erhöht verschieben sich die Diagramme nach rechts. Die Einzelwahrscheinlichkeiten für $Y \lt 20$ sind durch die Säulen dargestellt. Die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten gibt somit die gesamte Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art an. Nun kannst du in den verschiedenen Abbildungen die Wahrscheinlichkeiten für $Y \lt 20$ wie folgt markieren.

Abb. 4: Fehler 2. Art in Abbildung $2$

Abb. 5: Fehler 2. Art in Abbildung $3$

Abb. 6: Fehler 2. Art in Abbildung $4$

Nun kannst du feststellen, dass sich die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art für einen größeren Nutzungsgrad verkleinert.

Bildnachweise [nach oben]

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(1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für genau 33 Nutzer berechnen

$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$

Da genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen sollen, setzt du $k=33$ .

$P(X=33) = ...$

Vollständige Lösung anzeigen

D.h. wenn du zufällig $100$ Jugendliche befragst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass genau $33$ Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen $6,85\, \%.$

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 25 Jugendliche Freundschaftsbuch benutzen

Gesucht ist $P(X \leq 25)$ , d.h. du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus $100$ befragten Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle

$P(X \leq 25)$ kannst du nun aus der Tabelle 4 für die kumulierte Binomialverteilung in den Anlagen ablesen.

$P(X \leq 25) = 0,1631$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,1631$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: CAS

Die Wahrscheinlichkeit für $P(X \leq 25)$ kannst du mithilfe des binomcdf-Befehls deines CAS bestimmen. Den binomcdf-Befehl findest du im Statistik-Menü unter

Calc $\to$ Verteilungen $\to$ Binom. Vert.-fkt.

Eingabemaske für Binomialverteilung mit Feldern für untere und obere Werte, Umfang und Position.

Abb. 1: Eingetragene Daten

Screenshot einer Softwareanwendung mit Eingabefeldern für Wahrscheinlichkeit und Parameter.

Abb. 2: Ergebnis

Somit gilt:

$P(X \leq 25) = 0,1631$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Jugendlichen höchstens $25$ Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $0,1631$ .

(3)

Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung zum Erwartungswert

$E(X) = p \cdot n$

Da in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit bei $p=0,3$ liegt und insgesamt $100$ Jugendliche befragt werden, liegt der Erwartungswert bei

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& p \cdot n \\[5pt] &=& 0,3 \cdot 100 \\[5pt] &=&30 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle

Die Wahrscheinlichkeiten kannst du der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung entnehmen.

$P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt $77,03\, \%$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: CAS

Die Wahrscheinlichkeiten kannst du nun wie oben mittels dem binomcdf-Befehl deines CAS bestimmen.

$ $P(25 \leq X \leq 35)=0,7703$ $

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 und höchstens 35 Jugendliche Freundschaftsbuch nutzen, beträgt somit $77,03\, \%$ .

$\blacktriangleright$ Anzahl der Jugendlichen berechnen

$P(X\leq1)=P(X=1)+P(X=0)$ .

Nun musst du die Anzahl der Jugendlichen bestimmen, sodass $P(X\leq1) \leq 0,05$ gilt. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher Freundschaftsbuch nutzt $p=\dfrac{3}{10}$ .

Hierfür benötigst du also die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ und $P(X=0)$ . Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich hierbei wie folgt:

$P(X=1)= \binom{n}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1}$

$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=&\binom{n}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{n-0} \\[5pt] &=& (1-p)^{n} \end{array}$

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(\leq1)$ :

$P(\leq1) = \dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Nun kannst du durch systematisches Probieren den entsprechenden Wert für $n$ finden, sodass die Ungleichung

$P(X\leq1) \leq 0,05$ erfüllt ist.

In die Ungleichung kannst du anschließend deine obere Gleichung einsetzen.

$n \cdot p^1 \cdot (1-p)^{n-1} + (1-p)^{n} \leq 0,05$

Für $n=10$ gilt:

$P(X\leq1) \approx 0,15$

Für $n=13$ gilt:

$P(X\leq1) \approx 0,064$

Für $n=14$ gilt:

$P(X\leq1) \approx 0,047$

Somit müssen mndestens $14$ Jugendliche befragt werden, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 \%$ maximal einen Jugendlichen antriffst, der Freundschaftsbuch nutzt.

(1)

$\blacktriangleright$ Anteil der Nutzer beschreiben, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen

Der Anteil der Schüler, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen setzt sich aus dem Anteil der Schüler zusammen,

die das schulinterne Netzwerk aber nicht das Freundschaftsbuch nutzen und denen,

die das Netzwerk Freundschaftsbuch aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen.

Der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nutzen beträgt $0,3$ . Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch nicht nutzen $1-0,3=0,7$ .

Der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen beträgt $h$ . Somit ergibt sich für den Anteil, die das schulinterne Netzwerk nicht nutzen $1-h$ .

Für den Anteil der Jugendlichen, die das Freundschaftsbuch, aber nicht das schulinterne Netzwerk nutzen, gilt somit:

$0,3\cdot(1-h)$

Für den Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk, aber nicht das Freundschaftsbuch benutzen, gilt somit:

$0,7\cdot h$

Somit gilt für den gesamten Anteil der Jugendlichen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen:

$0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$

(2)

$\blacktriangleright$ Anteil der Nutzer des schulinternen Netzwerks bestimmen

$0,4=0,3\cdot(1-h) + 0,7\cdot h$

Nun kannst du die Gleichung nach $h$ auflösen und erhältst

$h = 0,25$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt der Anteil der Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen $a=0,25$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für einen Jugendlichen, der mind. eines der beiden Netzwerke nutzt

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke benutzt setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten,

dass ein Jugendlicher genau eines der beiden Netzwerke benutzt und

dass ein Schüler beide Netzwerke benutzt zusammen.

Somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{mind } 1) &=& 0,4 + 0,3 \cdot h\\[5pt] &=& 0,4 + 0,3 \cdot 0,25\\[5pt] &=& 0,475 \end{array}$

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt $0,475$ .

(4)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$P_A(\overline{B})=\dfrac{A \cap \overline{B}}{P(A)}$

Da das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten oder Nichteintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst sind die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig.

Deshalb gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$P_A(\overline{B})=P(\overline{B})$

Somit gilt:

$P(\overline{B})=(1-0,3) = 0,7$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt deshalb $0,7$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren

$H_0:p \leq 0,25$

Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ durchgeführt.

$\overline{K} = [k,n]$ .

$P(Y\geq k) \leq 0,05 = 1- P(Y\leq k-1)$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle

Nun kannst du aus der Tabelle $3$ für die kumulierte Binomialverteilung bei $p=0,25$ das entsprechende $k$ auswählen damit die Ungleichung gilt.

Aus der Tabelle erhältst du folgende Werte:

$P(Y\leq 17)=0,9449$ und $P(Y\leq 18)=0,9713$

Somit erhälst du:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 1-0,9449\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 1-0,9713\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$

Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist, ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.

Somit lautet die Entscheidungsregel:

Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also wenn $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: CAS

Durch den binomcdf-Befehl deines CAS erhältst du folgende Werte:

Somit erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 18) &=& 1- P(Y\leq 17)\\[5pt] &=& 0,551\end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 19) &=& 1- P(Y\leq 18)\\[5pt] &=& 0,0287\end{array}$

Da $P(Y\geq 19) \leq 0,05$ ist für $Y \geq 19$ die Ungleichung erfüllt.

Somit lautet die Entscheidungsregel:

Verwirf die Nullhypothese, falls $Y \geq 19$ ist, also dass $19$ oder mehr Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen.

(2)

$\blacktriangleright$ Beurteile die Situation für genau 19 Nutzer

(3)

$\blacktriangleright$ Ablehnungsbereich der Nullhypothese in Abbildung 1 darstellen

Abb. 3: Abbildung $1$ mit Ablehnungsbereich

(4)

$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art beschreiben

(5)

$\blacktriangleright$ Veränderung durch steigenden Nutzungsgrad

Abb. 4: Fehler 2. Art in Abbildung $2$

Abb. 5: Fehler 2. Art in Abbildung $3$

Abb. 6: Fehler 2. Art in Abbildung $4$

Nun kannst du feststellen, dass sich die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art für einen größeren Nutzungsgrad verkleinert.

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$P (\mu -1,64 \sigma \leq X \leq \mu + 1,64 \sigma) \approx 0,90$	$P (\mu -1,64 \sigma \leq X) \approx 0,95$
	$P (X \leq \mu + 1,64 \sigma) \approx 0,95$
$P (\mu -1,96 \sigma \leq X \leq \mu + 1,96 \sigma) \approx 0,95$	$P (\mu -1,96 \sigma \leq X) \approx 0,975$
	$P (X \leq \mu + 1,96 \sigma) \approx 0,975$
$P (\mu -2,58 \sigma \leq X \leq \mu + 2,58 \sigma) \approx 0,99$	$P (\mu -2,58 \sigma \leq X) \approx 0,995$
	$P (X \leq \mu + 2,58 \sigma) \approx 0,995$

$P (\mu -1 \sigma \leq X \leq \mu + 1 \sigma) \approx 0,683$	$P (\mu -1 \sigma \leq X) \approx 0,841$
	$P (X \leq \mu + 1 \sigma) \approx 0,841$
$P (\mu -2 \sigma \leq X \leq \mu + 2 \sigma) \approx 0,954$	$P (\mu -2 \sigma \leq X) \approx 0,977$
	$P (X \leq \mu + 2 \sigma) \approx 0,977$
$P (\mu -3 \sigma \leq X \leq \mu + 3 \sigma) \approx 0,997$	$P (\mu -3 \sigma \leq X) \approx 0,999$
	$P (X \leq \mu + 3 \sigma) \approx 0,999$