Analysis 1

Für eine gute Entwicklung von Tomatenpflanzen ist insbesondere im Boden gelöster Stickstoff (N) von Bedeutung.

Der Stickstoffbedarf ist abhängig vom Entwicklungsstadium der Pflanzen. Die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: n mit

$Formula: n(t)=3{,}2\cdot\mathrm e^{-0{,}00075t^2+0{,}08t-2}$ $Formula: n(t)=3{,}2\cdot\mathrm e^{-0{,}00075t^2+0{,}08t-2}$

modelliert für $Formula: 0\leq t\leq120$ $Formula: 0\leq t\leq120$ die Rate, mit der Tomatenpflanzen auf einer Anbaufläche von der Größe eines Hektars Stickstoff aufnehmen. Dabei ist Formula: t die Zeit in Tagen ab dem Pflanzzeitpunkt und Formula: n(t) die Stickstoffaufnahmerate in Kilogramm pro Tag $Formula: \left(\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{Tag}}\right).$ $Formula: \left(\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{Tag}}\right).$

Der Lebenszyklus einer Tomatenpflanze im Landbau wird in sechs Phasen eingeteilt (vgl. Abbildung 1).

Lebenszyklus einer Tomatenpflanze von der Keimung bis zur Haupternte in sechs Phasen.

Abbildung 1

(1)

Zeige, dass sich die Stickstoffaufnahmerate innerhalb der zweiten Phase etwa verdoppelt.

(2)

Untersuche rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt die Stickstoffaufnahmerate am größten ist, und gib diese Rate an.

(2 + 4 Punkte)

(1)

Gib $Formula: \displaystyle\int_{30}^{63}n(t)\,\mathrm dt$ $Formula: \displaystyle\int_{30}^{63}n(t)\,\mathrm dt$ an und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.

(2)

Die Funktion Formula: N ordnet der Zeit Formula: t seit Pflanzbeginn in Tagen die bis dahin aufgenommene Menge Stickstoff (in $Formula: \mathrm{kg}$ $Formula: \mathrm{kg}$ ) zu.

Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion Formula: N für $Formula: t\in[0;120].$ $Formula: t\in[0;120].$

Graph einer S-förmigen Wachstumskurve N(t) über der Zeit t.

Abbildung 2

Veranschauliche den in (1) ermittelten Wert in Abbildung 2.

(3)

Im Folgenden siehst du Notizen zur Lösung einer Aufgabe.

$Formula: g(t)=\displaystyle\int_t^{t+30}n(x)\,\mathrm dx.$ $Formula: g(t)=\displaystyle\int_t^{t+30}n(x)\,\mathrm dx.$

$Formula: g'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{115}{3}.$ $Formula: g'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{115}{3}.$

$Formula: g(0)\approx38,73\qquad g\left(\dfrac{115}{3}\right)\approx103,82\qquad g(90)\approx17,25.$ $Formula: g(0)\approx38,73\qquad g\left(\dfrac{115}{3}\right)\approx103,82\qquad g(90)\approx17,25.$

$Formula: \dfrac{115}{3}\approx38.$ $Formula: \dfrac{115}{3}\approx38.$

Formuliere eine passende Aufgabenstellung im Sachzusammenhang und gib das zugehörige Ergebnis an.

(3 + 2 + 3 Punkte)

Betrachtet wird die Schar von Funktionen Formula: g_k mit

$Formula: g_k(t)=(0{,}1t+0{,}4)\cdot\mathrm e^{-0{,}04t+k},\quad t\in\mathbb{R},\ k\in\mathbb{R}.$ $Formula: g_k(t)=(0{,}1t+0{,}4)\cdot\mathrm e^{-0{,}04t+k},\quad t\in\mathbb{R},\ k\in\mathbb{R}.$

(1)

Für jedes $Formula: k\in\mathbb{R}$ $Formula: k\in\mathbb{R}$ gilt: Der Graph von Formula: g_k entsteht durch Streckung in Formula: y -Richtung aus dem Graphen von Formula: g_0.

Ermittle den von Formula: k abhängigen Streckfaktor.

(2)

Zeige, dass jede Funktion der Schar an der Stelle Formula: t=21 eine lokale Maximalstelle besitzt, und begründe, dass das lokale Maximum gleichzeitig das globale Maximum ist.

(2 + 4 Punkte)

In Deutschland wurde im Jahr 2023 etwa ein Fünftel der Anbaufläche für Tomaten ökologisch bewirtschaftet. Im Unterschied zum konventionellen Anbau beziehen die Tomatenpflanzen hier sämtliche Nährstoffe aus dem Boden. Um den Stickstoffgehalt im Boden zu erhöhen und damit die Entwicklung der Tomatenpflanzen positiv zu beeinflussen, fügt man der Erde geeignetes Pflanzenmaterial, Kompost oder Stalldung zu (im Folgenden: Gründüngung).

In einem Versuch wurde getestet, welchen Einfluss eine solche Gründüngung auf die Stickstoffkonzentration im Boden hat.

Die Funktion Formula: g_5 mit $Formula: g_5(t)=(0{,}1t+0{,}4)\cdot\mathrm e^{-0{,}04t+5}$ $Formula: g_5(t)=(0{,}1t+0{,}4)\cdot\mathrm e^{-0{,}04t+5}$ gehört zu obiger Funktionenschar. Sie modelliert für das Testfeld für $Formula: 0\leq t\leq120$ $Formula: 0\leq t\leq120$ die Stickstoffkonzentration im Boden in Milligramm pro Gramm trockener Erde $Formula: \left[\tfrac{\mathrm{mg}}{\mathrm g}\right]$ $Formula: \left[\tfrac{\mathrm{mg}}{\mathrm g}\right]$ in Abhängigkeit von der Zeit Formula: t in Tagen nach der Gründüngung.

Ermittle, in welchem Zeitraum die Stickstoffkonzentration im Boden nach der Gründüngung mindestens $Formula: 130\;\tfrac{\mathrm{mg}}{\mathrm g}$ $Formula: 130\;\tfrac{\mathrm{mg}}{\mathrm g}$ beträgt.

(3 Punkte)

Es gibt einen Zeitraum, in dem die Tomatenpflanzen einen besonders hohen Stickstoffbedarf haben. Jedoch erfolgt die Freisetzung des Stickstoffs durch den Gründünger nicht passend zu diesem Zeitraum. Um dieses Problem zu lösen, wird der Gründünger vorbehandelt. Die Freisetzung des Stickstoffs erfolgt dadurch langsamer.

Die Stickstoffkonzentration im Boden kann dann durch Funktionen $Formula: g_{5,a,b}$ $Formula: g_{5,a,b}$ der Form $Formula: g_{5,a,b}(t)=a\cdot g_5(b\cdot t),\;$ $Formula: g_{5,a,b}(t)=a\cdot g_5(b\cdot t),\;$ $Formula: a\neq0,\ b\neq0,$ $Formula: a\neq0,\ b\neq0,$ modelliert werden.

(1)

Ermittle, für welchen Wert Formula: b die maximale Stickstoffkonzentration nach Formula: 50 Tagen erreicht wird.

Es ist Formula: G_5 mit $Formula: G_5(t)=-2{,}5\cdot(t+29)\cdot\mathrm e^{-0{,}04t+5}$ $Formula: G_5(t)=-2{,}5\cdot(t+29)\cdot\mathrm e^{-0{,}04t+5}$ eine Stammfunktion der Funktion und $Formula: G_{5,a,b}$ $Formula: G_{5,a,b}$ mit $Formula: G_{5,a,b}(t)=-2{,}5\cdot a\cdot\left(t+\tfrac{1}{b}\cdot29\right)\cdot\mathrm e^{-0{,}04bt+5}$ $Formula: G_{5,a,b}(t)=-2{,}5\cdot a\cdot\left(t+\tfrac{1}{b}\cdot29\right)\cdot\mathrm e^{-0{,}04bt+5}$ eine Stammfunktion der Funktion $Formula: g_{5,a,b}.$ $Formula: g_{5,a,b}.$

Zur Berechnung der Stickstoffverfügbarkeit im Boden benötigt man u. a. das Integral $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt.$ $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt.$

(2)

(i)

Es gilt

$Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\lim_{z\to\infty}\int_0^z g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt&=&\lim\limits_{z\to\infty}\left(G_{5,a,b}(z)-G_{5,a,b}(0)\right) \\[5pt] &=&\lim\limits_{z\to\infty}\left(-2{,}5\cdot a\cdot\left(z+\dfrac{1}{b}\cdot29\right)\cdot\mathrm e^{-0{,}04bz+5}-G_{5,a,b}(0)\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\lim_{z\to\infty}\int_0^z g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt&=&\lim\limits_{z\to\infty}\left(G_{5,a,b}(z)-G_{5,a,b}(0)\right) \\[5pt] &=&\lim\limits_{z\to\infty}\left(-2{,}5\cdot a\cdot\left(z+\dfrac{1}{b}\cdot29\right)\cdot\mathrm e^{-0{,}04bz+5}-G_{5,a,b}(0)\right) \end{array}$

$Formula: \displaystyle\lim_{z\to\infty}\int_0^z g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt=\lim_{z\to\infty}\left(G_{5,a,b}(z)-G_{5,a,b}(0)\right)$

Bestimme alle Werte für Formula: b, für die gilt: $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt=-G_{5,a,b}(0).$ $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt=-G_{5,a,b}(0).$

(ii)

Betrachtet werden alle Funktionen $Formula: g_{5,a,b}$ $Formula: g_{5,a,b}$ mit $Formula: 0\lt a\leq 1$ $Formula: 0\lt a\leq 1$ und $Formula: 0\lt b\leq 1.$ $Formula: 0\lt b\leq 1.$

Bestimme Formula: b in Abhängigkeit von Formula: a so, dass gilt: $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_5(t)\,\mathrm dt=\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt.$ $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_5(t)\,\mathrm dt=\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt.$

(2 + 5 Punkte)

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(1)

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} n(15)&=&3,2 \cdot \mathrm e^{-0,00075\cdot15^2+0,08 \cdot 15-2} \\[5pt] &\approx&1,22 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n(15)&=&3,2 \cdot \mathrm e^{-0,00075\cdot15^2+0,08 \cdot 15-2} \\[5pt] &\approx&1,22 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} n(30)&=&3,2 \cdot \mathrm e^{-0,00075\cdot30^2+0,08 \cdot 30-2} \\[5pt] &\approx&2,43 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n(30)&=&3,2 \cdot \mathrm e^{-0,00075\cdot30^2+0,08 \cdot 30-2} \\[5pt] &\approx&2,43 \end{array}$

Da $Formula: 2\cdot1,22=2,44\approx2,43$ $Formula: 2\cdot1,22=2,44\approx2,43$ gilt, verdoppelt sich die Stickstoffaufnahmerate innerhalb der zweiten Phase ungefähr.

(2)

Für die ersten beiden Ableitungen von Formula: n folgt mit dem CAS:

$Formula: n^{\prime}(t)=3,2 \cdot(-0,0015 t+0,08) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 t^2+0,08 t-2}$ $Formula: n^{\prime}(t)=3,2 \cdot(-0,0015 t+0,08) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 t^2+0,08 t-2}$

$Formula: n''(t)=3,2\cdot\left((-0,0015)+(-0,0015 t+0,08)^2\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 t^2+0,08 t-2}$ $Formula: n''(t)=3,2\cdot\left((-0,0015)+(-0,0015 t+0,08)^2\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 t^2+0,08 t-2}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: n'(t)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} n'(t)&=&0 \\[5pt] 3,2 \cdot(-0,0015 t+0,08) \cdot \mathrm e^{-0,00075 t^2+0,08 t-2}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n'(t)&=&0 \\[5pt] 3,2 \cdot(-0,0015 t+0,08) \cdot \mathrm e^{-0,00075 t^2+0,08 t-2}&=&0 \end{array}$

Auflösen nach Formula: t mit dem solve-Befehl des CAS liefert:

$Formula: t\approx53,33$ $Formula: t\approx53,33$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} n''(53,33)&=&3,2\cdot\left((-0,0015)+(-0,0015 \cdot53,33+0,08)^2\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot53,33^2+0,08 \cdot53,33-2} \\[5pt] &\approx&-0,00548\lt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n''(53,33)&=&3,2\cdot\left((-0,0015)+(-0,0015 \cdot53,33+0,08)^2\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot53,33^2+0,08 \cdot53,33-2} \\[5pt] &\approx&-0,00548\lt0 \end{array}$

Somit handelt es sich um eine Maximalstelle. Für die momentane Stickstoffaufnahmerate an der Maximalstelle und an den Randwerten gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} n(53,33)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot53,33^2+0,08 \cdot53,33-2} \\[5pt] &\approx&3,66 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n(53,33)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot53,33^2+0,08 \cdot53,33-2} \\[5pt] &\approx&3,66 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} n(0)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot0^2+0,08 \cdot0-2} \\[5pt] &\approx&0,43 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n(0)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot0^2+0,08 \cdot0-2} \\[5pt] &\approx&0,43 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} n(120)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot120^2+0,08 \cdot120-2} \\[5pt] &\approx&0,13 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n(120)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot120^2+0,08 \cdot120-2} \\[5pt] &\approx&0,13 \end{array}$

Die Stickstoffaufnahmerate ist somit ca. Formula: 53,33 Tage nach dem Pflanzzeitpunkt mit $Formula: 3,66\;\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{Tag}}$ $Formula: 3,66\;\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{Tag}}$ am größten.

(1)

Mit dem CAS ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{30}^{63} n(t)\;\mathrm{d}t &=&\displaystyle\int_{30}^{63} \left(3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot t^2+0,08 \cdot t-2}\right) \;\mathrm{d}t \\[5pt] &\approx&110 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{30}^{63} n(t)\;\mathrm{d}t &=&\displaystyle\int_{30}^{63} \left(3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot t^2+0,08 \cdot t-2}\right) \;\mathrm{d}t \\[5pt] &\approx&110 \end{array}$

Die Menge an Stickstoff, die vom Beginn der dritten bis zum Ende der vierten Phase des Lebenszyklus durch die Pflanzen aufgenommen wird, ist somit durch $Formula: 110\;\text{kg}$ $Formula: 110\;\text{kg}$ gegeben.

(2)

Diagramm einer Wachstumskurve mit markierten Werten N(30) ≈ 39 und N(63) ≈ 149. ΔN ≈ 110.

(3)

Der Term in der ersten Zeile beschreibt die Menge an Stickstoff, die in einem betrachteten Zeitraum von Formula: 30 Tagen aufgenommen wird. Eine passende Aufgabenstellung ergibt sich somit wie folgt:

„Bestimme den Zeitpunkt, bei dem die Menge an Stickstoff, die die Pflanze in den nächsten Tagen aufnimmt, maximal ist.“

Die weitere Rechnung in der Aufgabenstellung zeigt, dass die Lösung dieser Aufgabe durch $Formula: t\approx38$ $Formula: t\approx38$ gegeben ist. Somit ergibt sich der gesuchte Zeitpunkt als ca. Formula: 38 Tage nach dem Pflanzzeitpunkt.

(1)

Es gilt $Formula: g_0(t)=(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t}.$ $Formula: g_0(t)=(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t}.$ Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} g_k(t)&=&(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k} \\[5pt] &=&(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t}\cdot\mathrm e^k \\[5pt] &=&g_0(t)\cdot\mathrm e^k \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g_k(t)&=&(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k} \\[5pt] &=&(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t}\cdot\mathrm e^k \\[5pt] &=&g_0(t)\cdot\mathrm e^k \end{array}$

Der gesuchte Faktor beträgt somit $Formula: \mathrm e^k.$ $Formula: \mathrm e^k.$

(2)

Für die ersten beiden Ableitungen von Formula: g_k ergibt sich mit dem CAS:

$Formula: g_k'(t)=(0,084-0,004 t) \cdot \mathrm{e}^{-0,04 t+k}$ $Formula: g_k'(t)=(0,084-0,004 t) \cdot \mathrm{e}^{-0,04 t+k}$

$Formula: g_k''(t)=(0,00016t-0,00736)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}$ $Formula: g_k''(t)=(0,00016t-0,00736)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: g_k'(t)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} g_k'(t)&=&0 \\[5pt] (0,084-0,004t)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g_k'(t)&=&0 \\[5pt] (0,084-0,004t)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}&=&0 \end{array}$

Auflösen nach Formula: t mit dem solve-Befehl des CAS liefert:

Formula: t=21

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} g_k''(21)&=&(-0,004)\cdot\mathrm e^{-0,04\cdot21+k}+(0,084-0,004\cdot21)\cdot(-0,04)\cdot\mathrm e^{-0,04\cdot21+k} \\[5pt] &=&(-0,004)\cdot\mathrm e^{-0,84+k} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g_k''(21)&=&(-0,004)\cdot\mathrm e^{-0,04\cdot21+k}+(0,084-0,004\cdot21)\cdot(-0,04)\cdot\mathrm e^{-0,04\cdot21+k} \\[5pt] &=&(-0,004)\cdot\mathrm e^{-0,84+k} \end{array}$

Da die $Formula: \mathrm e$ $Formula: \mathrm e$ -Funktion stets größer als Null ist, ist dieser Wert für alle Werte von Formula: k negativ. Somit liegt hier ein lokales Maximum vor. Außerdem gilt $Formula: \lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm e^{-0,04t+k}=0$ $Formula: \lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm e^{-0,04t+k}=0$ und $Formula: \lim\limits_{t\to-\infty}\mathrm e^{-0,04t+k}=\infty.$ $Formula: \lim\limits_{t\to-\infty}\mathrm e^{-0,04t+k}=\infty.$ Da der Vorfaktor im Funktionsterm von Formula: g_k für negative Werte von Formula: t ebenfalls negativ ist und nur linear wächst bzw. fällt, folgt insgesamt:

$Formula: \lim\limits_{t\to+\infty} g_k(t)=0$ $Formula: \lim\limits_{t\to+\infty} g_k(t)=0$

$Formula: \lim\limits_{t\to-\infty} g_k(t)=-\infty$ $Formula: \lim\limits_{t\to-\infty} g_k(t)=-\infty$

Da Formula: t=21 die einzige Extremstelle ist, ist das lokale Maximum an dieser Stelle somit auch das globale Maximum.

Mit der graphischen Darstellung des CAS folgt, dass der gesuchte Zeitraum von ca. Formula: 8 Tagen nach der Grunddüngung bis Formula: 40 Tage nach der Grunddüngung gegeben ist.

(1)

Mit der Kettenregel folgt:

$Formula: g_{5, a,b}'(t)=a\cdot b\cdot g_5'(b\cdot t)$ $Formula: g_{5, a,b}'(t)=a\cdot b\cdot g_5'(b\cdot t)$

Da das lokale Maximum von Formula: g_5 bei Formula: t=21 liegt, wird die maximale Stickstoffkonzentration genau dann nach Formula: 50 Tagen maximal, wenn $Formula: b\cdot 50=21$ $Formula: b\cdot 50=21$ gilt. Damit ergibt sich $Formula: b=\tfrac{21}{50}.$ $Formula: b=\tfrac{21}{50}.$

(2)

(i)

Die Gleichung aus der Aufgabenstellung gilt, wenn $Formula: \lim\limits_{z\to\infty}G_{5,a,b}(z)=0$ $Formula: \lim\limits_{z\to\infty}G_{5,a,b}(z)=0$ gilt. Da der Vorfaktor des Funktionsterms von $Formula: G_{5,a,b}(z)$ $Formula: G_{5,a,b}(z)$ unabhängig von Formula: b linear wächst bzw. fällt, muss somit $Formula: \lim\limits_{z\to\infty}\mathrm e^{-0,04bz+5}=0$ $Formula: \lim\limits_{z\to\infty}\mathrm e^{-0,04bz+5}=0$ gelten. Das ist genau dann der Fall, wenn größer als Null ist, sodass sich ergibt:

$Formula: 0\lt b\lt \infty$ $Formula: 0\lt b\lt \infty$

(ii)

Die gleiche Folgerung wie in der Aufgabenstellung von Aufgabenteil (2)(i) liefert:

$Formula: \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5}(t)\;\mathrm{d} t=-G_{5}(0)$ $Formula: \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5}(t)\;\mathrm{d} t=-G_{5}(0)$

Damit folgt für Formula: b in Abhängigkeit von Formula: a:

$Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5}(t)\;\mathrm{d} t&=&\displaystyle\int_0^{\infty} g_{5,a,b}(t)\;\mathrm{d} t \\[5pt] -G_{5}(0)&=&-G_{5, a, b}(0) \\[5pt] -2,5 \cdot(0+29) \cdot \mathrm{e}^{-0,04 \cdot0+5}&=&-2,5 \cdot a \cdot\left(0+\dfrac{1}{b} \cdot 29\right) \cdot \mathrm e^{-0,04 b \cdot0+5} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot b \\[5pt] -72,5b \cdot \mathrm{e}^{5}&=&-72,5a \cdot \mathrm e^{5} &\quad\scriptsize\mid\;:(-72,5\mathrm e^5) \\[5pt] b&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5}(t)\;\mathrm{d} t&=&\displaystyle\int_0^{\infty} g_{5,a,b}(t)\;\mathrm{d} t \\[5pt] -G_{5}(0)&=&-G_{5, a, b}(0) \\[5pt] -2,5 \cdot(0+29) \cdot \mathrm{e}^{-0,04 \cdot0+5}&=&-2,5 \cdot a \cdot\left(0+\dfrac{1}{b} \cdot 29\right) \cdot \mathrm e^{-0,04 b \cdot0+5} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot b \\[5pt] -72,5b \cdot \mathrm{e}^{5}&=&-72,5a \cdot \mathrm e^{5} &\quad\scriptsize\mid\;:(-72,5\mathrm e^5) \\[5pt] b&=&a \end{array}$

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