Stochastik
Für ein Land wird die Bevölkerungsgruppe der Erwachsenen betrachtet. In dieser Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil der Internetnutzer 88 %; der Anteil derjenigen, die mindestens 65 Jahre alt sind und das Internet nutzen, beträgt 17 %. Die betrachtete Bevölkerungsgruppe besteht aus 60,7 Millionen Personen, von denen 16,4 Millionen mindestens 65 Jahre alt sind.
Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden folgende Ereignisse:
„Die Person nutzt das Internet.“
„Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“
Kugeln, von denen 
weiß sind.
Jedem Behälter wird eine Kugel zufällig entnommen.
Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden folgende Ereignisse:
„Die Person nutzt das Internet.“
„Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“
a)
Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
(3 Punkte)
b)
Untersuche, ob die Ereignisse 
und 
stochastisch unabhängig sind.
und stochastisch unabhängig sind.
(3 Punkte)
c)
Beschreibe das Ereignis „
und “ im Sachzusammenhang.
und “ im Sachzusammenhang.
(2 Punkte)
d)
Bestimme für den Fall, dass die ausgewählte Person jünger als 65 Jahre ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie das Internet nutzt.
In der betrachteten Bevölkerungsgruppe nutzen etwa 72 % das Internet mit einem Smartphone.
(2 Punkte)
e)
Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe werden 150 Personen zufällig ausgewählt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als 10 % vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als 10 % vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
(4 Punkte)
f)
Ermittle, wie viele Personen aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98 % mehr als zwei dieser Personen das Internet mit einem Smartphone nutzen.
In zwei Behältern befinden sich insgesamt 300 Kugeln, von denen 105 weiß und die übrigen schwarz sind. Im ersten Behälter befinden sich
(4 Punkte)
Kugeln, von denen weiß sind.
Jedem Behälter wird eine Kugel zufällig entnommen.
g)
Interpretiere den Term 
im Sachzusammenhang.
im Sachzusammenhang.
(3 Punkte)
h)
Es gilt:
I. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % ist die aus dem ersten Behälter entnommene Kugel weiß.
II. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 37,5 % ist die aus dem ersten Behälter entnommene Kugel schwarz und die aus dem zweiten Behälter entnommene Kugel weiß.
Ermittle die Anzahl der weißen Kugeln im ersten Behälter.
(4 Punkte)
(25 Punkte)
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a)
Damit folgt die Vierfeldertafel:
 |
 |
Gesamt | |
|---|---|---|---|
 |
17 % | 10% | 27% |
 |
71% | 2% | 73% |
| Gesamt | 88 % | 12% | 100% |
b)
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn 
gilt.
Es gilt
und 
Da 
gilt, sind die Ereignisse und stochastisch abhängig.
gilt.
Es gilt
und
Da gilt, sind die Ereignisse und stochastisch abhängig.
c)
Das Ereignis " und " beschreibt die Personen, die mindestens 
Jahre alt sind und das Internet nicht nutzen.
und " beschreibt die Personen, die mindestens Jahre alt sind und das Internet nicht nutzen.
d)
e)
Die Zufallsvariable 
beschreibt die Anzahl der Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen.
ist 
-verteilt.
Der Erwartungswert ist gegeben durch 
vom Erwartungswert sind also 
Die obere Grenze, für die die gesuchte Anzahl weniger als vom Erwartungswert abweicht, ist gegeben durch die größte natürliche Zahl, die kleiner als 
ist, also 
Die untere Grenze ist gegeben durch die kleinste natürliche Zahl, die größer als
ist, also 
Damit lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem Taschenrechner zu 
berechnen.
beschreibt die Anzahl der Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen.
ist -verteilt.
Der Erwartungswert ist gegeben durch
vom Erwartungswert sind also
Die obere Grenze, für die die gesuchte Anzahl weniger als vom Erwartungswert abweicht, ist gegeben durch die größte natürliche Zahl, die kleiner als ist, also
Die untere Grenze ist gegeben durch die kleinste natürliche Zahl, die größer als
ist, also
Damit lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem Taschenrechner zu berechnen.
f)
Gesucht ist ein Wert für 
sodass 
gilt. Durch systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner folgt:
Für 
gilt 
Für
gilt 
Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu erreichen, müssen mindestens 
Personen ausgewählt werden.
sodass gilt. Durch systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner folgt:
Für gilt
Für
gilt
Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu erreichen, müssen mindestens Personen ausgewählt werden.
g)
Insgesamt sind 
Kugeln schwarz.
Der Term
gibt die Anzahl der schwarzen Kugeln im ersten Behälter an. Der Zähler beschreibt damit insgesamt die Anzahl der schwazen Kugeln im zweiten Behälter.
Der Nenner gibt die Anzahl der Kugeln im zweiten Behälter an. Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass aus dem zweiten Behälter eine schwarze Kugel gezogen wird.
Kugeln schwarz.
Der Term
gibt die Anzahl der schwarzen Kugeln im ersten Behälter an. Der Zähler beschreibt damit insgesamt die Anzahl der schwazen Kugeln im zweiten Behälter.
Der Nenner gibt die Anzahl der Kugeln im zweiten Behälter an. Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass aus dem zweiten Behälter eine schwarze Kugel gezogen wird.
h)
Aus I. folgt: 
und daraus 
Daraus folgt ebenfalls, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 
eine schwarze Kugel us dem Behälter gezogen wird.
Aus II. folgt:
in II einsetzen ergibt:
Mit dem solve-Befehl folgt 
und somit müssen sich im ersten Behälter 45 weiße Kugeln befinden.
und daraus
Daraus folgt ebenfalls, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von eine schwarze Kugel us dem Behälter gezogen wird.
Aus II. folgt:
in II einsetzen ergibt:
Mit dem solve-Befehl folgt und somit müssen sich im ersten Behälter 45 weiße Kugeln befinden.