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Aufgabe 1

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für $0\leq t \leq 3$ die Funktion $N_1$ mit der Gleichung
$N_{1}(t)=500\cdot\mathrm{e}^{0,6\cdot t}$,   $t\in\mathbb{R}$.
Dabei wird $t$ als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und $N_{1}(t)$ als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ aufgefasst.
Der Graph von $N_1$ ist in der Abbildung 1 dargestellt.
Aufgabe 1 Abbildung 1
Aufgabe 1 Abbildung 1
a) (1)  Berechne den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
(2P)
(2)  Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind.
(3P)
(3)  Berechne die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung.
[Zur Kontrolle: Die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung beträgt ungefähr $583$.]
(3P)
(4)  Der Schüler berechnet einen Näherungswert für die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages, indem er das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(0,5)$ bildet.
Zeige, dass das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(0,5)$ um weniger als $1\,$% von dem in (3) berechneten durchschnittlichen Anzahl abweicht.
(4P)
(5)  Weise nach, dass die prozentuale Abweichung des arithmetischen Mittels der Funktionswerte $N_1(a)$ und $N_1(a+0,5)$ von der durchschnittlichen Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in einem Zeitintervall $[a; a+0,5]$ mit $0\leq a\leq 2,5$ unabhängig von $a$ weniger als $1\,$% beträgt.
(6P)
Während der ersten drei Tage (für $0\leq t\leq 3$) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion $r_1$ mit der Gleichung
$r_{1}(t)=300\cdot\mathrm{e}^{0,6\cdot t}$,   $t\in\mathbb{R}$,
beschrieben.
Dabei wird $r_{1}(t)$ als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst.
b)  Für die Funktion $r_1$ und die zugehörige Ableitungsfunktion $r_{1}'$ gilt für alle $t\in\mathbb{R}$ die Aussage:
$r_{1}(t)>0$ und $r_{1}'(t)>0.$
[Die Gültigkeit dieser Aussage musst du nicht nachweisen.]
Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.
(5P)
c)  Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Um die Entwicklung ab dem Zeitpunkt $t=3$ zu prognostizieren, sucht er eine Funktion, für deren momentane Änderungsrate $r_2$ zu jedem Zeitpunkt $t=3+a$ mit $0\leq a\leq 3$ die Gleichung $r_2(3+a)=r_1(3-a)$ gilt.
(1)  Interpretiere die Bedeutung der Gleichung $r_2(3+a)=r_1(3-a)$, $0\leq a\leq 3$, im Sachzusammenhang.
(3P)
(2) Leite aus der Gleichung $r_1(t)=300\cdot \mathrm{e}^{0,6\cdot t}$ für die momentane Änderungsrate $r_1$ und der Gleichung $r_2(3+a)=r_1(3-a)$, $0\leq a\leq 3$, die Gleichung
$r_2(t)=300\cdot \mathrm{e}^{3,6-0,6\cdot t}, 3\leq t \leq 6, $
zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag her.
(4P)
(3)  Ermittle ausgehend von den Funktionen $N_1$ und $r_2$ eine Gleichung der Funktion $N_2$, durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung (also für $3\leq t\leq 6$) beschrieben werden kann.
[Zur Kontrolle: $N_2(t)=1.000\cdot \mathrm{e}^{1,8}-500\cdot\mathrm{e}^{3,6-0,6\cdot t}$.]
(5P)
(4)  Der Schüler verwendet die Funktion $N_2$ auch zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen für $t\geq6$.
Begründe, dass in diesem Modell die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als $6.050$ wird.
(3P)
d)  Der Mathematiklehrer des Schülers schlägt eine alternative Modellierung vor: Statt die Anzahl der Pantoffeltierchen mit zwei Funktionen $N_1$ (für $0\leq t\leq3)$ und $N_2$ (für $3\leq t\leq6)$ zu beschreiben, rät er dem Schüler, zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung während der gesamten sechs Tage (also für $0\leq t\leq6)$ nur eine Funktion $N_{\text{neu}}$ mit
$N_{\text{neu}}(t)=\dfrac{3.781.000}{625+6.937\cdot\mathrm e^{-0,8023\cdot t}},\;\;\;t\in\mathbb{R}$,
zu verwenden.
(1)  Zeichne den Graphen von $N_{\text{neu}}$ in die Abbildung 2 ein.
[Die Gemeinsamkeiten und Abweichungen zwischen dem Graphen von $N_{\text{neu}}$ und dem Graphen von $N_1$ und $N_2$ müssen in deiner Zeichnung deutlich werden.]
Aufgabe 1 Abbildung 2
Aufgabe 1 Abbildung 2
(4P)
(2)  Die mit der Funktion $N_{\text{neu}}$ berechnete Anzahl der Pantoffeltierchen unterscheidet sich für $3\leq t\leq6$ maximal um ungefähr $215$ Tierchen von der mit $N_2$ berechneten Anzahl.
Bestimme rechnerisch auch den maximalen Unterschied, der für $0\leq t\leq3$ zwischen der mit $N_{\text{neu}}$ berechneten Anzahl von Pantoffeltierchen und der mit $N_1$ berechneten Anzahl auftritt, und vergleiche diesen Unterschied mit dem oben angegebenen maximalen Unterschied im Intervall $[3;6]$.
(8P)
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Tipps
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Funktionswert berechnen
Berechne den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ durch Einsetzen von $t=3$ in die gegebene Funktionsgleichung von $N_1$.
$\blacktriangleright$  Funktionswert im Sachzusammenhang interpretieren
Interpretiere den Funktionswert im Sachzusammenhang, indem du dir die Bedeutung der Funktion $N_1$ aus der Aufgabenstellung klar machst.
(2)
$\blacktriangleright$  Gesuchten Zeitpunkt bestimmen
Setze den Funktionsterm von $N_1$ gleich $2.000$ und löse nacht $t$ auf, um rechnerisch den Zeitpunkt, an dem $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung enthalten sind, zu bestimmen.
(3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Anzahl berechnen
Gesucht ist die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung. Die Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ entspricht dem Funktionswert $N_1(t)$. Berechne also den durchschnittlichen Funktionswert von $N_1$ im Intervall $\left[0;0,5\right]$. Nutze dazu die Formel für den durchschnittlichen Funktionswert unter einem Graphen einer Funktion $f$.
Durchschnittlicher Funktionswert im Intervall $[a,b]$ einer Funktion $f$
$\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \; \mathrm dt$
Einsetzen der Funktion $N_1(t)$ und des Intervalls $\left[0;0,5\right]$ in die Formel führt auf das gesuchte Ergebnis.
(4)
$\blacktriangleright$  Geringe Abweichung des arithmetischen Mittels zeigen
Berechne zunächst das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(0,5)$ und setze dieses dann in Verhältnis zu der bereits in (3) berechneten durchschnittlichen Anzahl von Pantoffeltierchen während des ersten halben Tages.
(5)
$\blacktriangleright$  Behauptung über die prozentuale Abweichung nachweisen
Berechne zunächst den Durchschnitt aus (3) für das allgemeine Intervall $\left[a; a+0,5\right]$. Nutze dazu die Formel für den durchschnittlichen Funktionswert in einem bestimmten Intervall einer Funktion und den Hauptsatz der Integralrechnung.
Berechne anschließend das allgemeine arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(a)$ und $N_1(a+0,5)$.
Setze dann die beiden berechneten Terme in Verhältnis zueinander und forme um, sodass du $a$ kürzen und die konstante prozentuale Abweichung angeben kannst.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Aussagen im Sachzusammenhang interpretieren
Die momentane Änderungsrate entspricht der Wachstumsgeschwindigkeit der Pantoffeltierchen. Die Ableitung der momentanen Änderungsrate gibt dir Auskunft darüber, wie sich die Wachstumsgeschwindigkeit ändert. Nutze diese Interpretation der beiden Funktionen, um die mathematischen Aussagen auf den Sachzusammenhang zu beziehen.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Gleichung im Sachzusammenhang interpretieren
$r_1$ entspricht der momentanen Änderungsrate ab dem Zeitpunkt $t=0$ bis zum Zeitpunkt $t=3$. Der Term $3-a$ nimmt für $0\leq a \leq 3$ Werte zwischen $0$ und $3$ an. $r_2$ entspricht der momentanen Änderungsrate ab dem Zeitpunkt $t=3$. Der Term $3+a$ nimmt für $0\leq a \leq 3$ Werte zwischen $3$ und $6$ an. Nutze diese Eigenschaften, um die Gleichung im Sachzusammenhang zu interpretieren.
(2)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{r_2}$ herleiten
Nutze die Gleichung, die $r_2$ in Beziehung zu $r_1$ setzt. Setze dort den gegebenen Funktionsterm von $r_1$ ein. Durch Substituieren von $3+a$ durch $t$ kannst du die gesuchte Funktionsgleichung herleiten.
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{N_2}$ ermitteln
Da $r_2$ die Änderungsrate von $N_2$ ist, ist $N_2$ eine Stammfunktion von $r_2$. Bestimme zunächst mit dem Hauptsatz der Integralrechnung eine allgemeine Stammfunktion von $r_2$. Zum Bestimmen der Integrationskonstante kannst du nutzen, dass du die Anzahl der Pantoffeltierchen am dritten Tag sowohl durch $N_1$ als auch durch $N_2$ berechnen kannst.
(4)
$\blacktriangleright$  Obere Grenze für Anzahl der Pantoffeltierchen begründen
Um zu begründen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als $6.050$ wird, benötigst du eine Eigenschaft der Exponentialfunktion. Nutze aus, dass für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $\mathrm e^x > 0$. Damit kannst du die Funktionsgleichung von $N_2(t)$ abschätzen.
d)(1)
$\blacktriangleright$  Zeichne den Graphen
Lass dir den Graphen von deinem CAS zeichnen. Achte auf die Lage der Kurven, sowie auf Schnittstellen.
(2)
$\blacktriangleright$  Bestimme den maximalen Unterschied
Abschließend sollst du den maximalen Unterschied der Funktion $N_1$ und $N_{\text{neu}}$ im Bereich $[0;3]$ bestimmen. Stelle dazu eine Funktion $d$ als Differenz der beiden anderen Funktionen auf und bestimme das Maximum der Funktion $d$ im gegebenen Intervall.
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Lösungen TI
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Funktionswert berechnen
Berechne den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ durch Einsetzen von $t=3$ in die gegebene Funktionsgleichung von $N_1$.
$\begin{array}[t]{rll} N_1(3)=& 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 3} \\[5pt] =&500 \cdot \mathrm e^{1,8} \\[5pt] \approx& 3.024,82 \end{array}$
Der Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ ist ca. $3.024,82$.
$\blacktriangleright$  Funktionswert im Sachzusammenhang interpretieren
Interpretiere den Funktionswert im Sachzusammenhang, indem du dir die Bedeutung der Funktion $N_1$ aus der Aufgabenstellung klar machst.
Der Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ gibt die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung am $3.$ Tag des Experiments an.
(2)
$\blacktriangleright$  Gesuchten Zeitpunkt bestimmen
Setze den Funktionsterm von $N_1$ gleich $2.000$ und löse nacht $t$ auf, um rechnerisch den Zeitpunkt, an dem $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung enthalten sind, zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} N_1(t)\stackrel{!}=& 2.000 \\[5pt] 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}=&2.000& \scriptsize \mid\; :500 \\[5pt] \mathrm e^{0,6 \cdot t}=&4& \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] 0,6 \cdot t=&\ln(4)& \scriptsize \mid\; 0,6 \\[5pt] t=&\dfrac{\ln(4)}{0,6} \\[5pt] \approx&2,31 \end{array}$
Zum Zeitpunkt $t=2,31$ sind also $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden.
(3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Anzahl berechnen
Gesucht ist die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung. Die Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ entspricht dem Funktionswert $N_1(t)$. Berechne also den durchschnittlichen Funktionswert von $N_1$ im Intervall $\left[0;0,5\right]$. Nutze dazu die Formel für den durchschnittlichen Funktionswert unter einem Graphen einer Funktion $f$.
Durchschnittlicher Funktionswert im Intervall $[a,b]$ einer Funktion $f$
$\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \; \mathrm dt$
Einsetzen der Funktion $N_1(t)$ und des Intervalls $\left[0;0,5\right]$ in die Formel führt auf das gesuchte Ergebnis.
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Damit beträgt die durchschnittliche Anzahl an Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung ca. $583$.
(4)
$\blacktriangleright$  Geringe Abweichung des arithmetischen Mittels zeigen
Berechne zunächst das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(0,5)$ und setze dieses dann in Verhältnis zu der bereits in (3) berechneten durchschnittlichen Anzahl von Pantoffeltierchen während des ersten halben Tages.
Das arithmetische Mittel der zwei Funktionswerte ergibt sich folgendermaßen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}_{\text{arith}}=& \dfrac{N_1(0)+N_1(0,5)}{2} \\[5pt] =& \dfrac{500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 0}+500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 0,5}}{2} \\[5pt] =&250 \cdot \left(\mathrm e^{0}+\mathrm e^{0,3}\right) \\[5pt] \approx&587 \end{array}$
Setze das arithmetische Mittel in Verhältnis zu der in (3) berechneten durchschnittlichen Anzahl an Pantoffeltierchen während des ersten halben Tages:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{587}{583}\approx1,00686\\[5pt] \end{array}$
Also beträgt die Abweichung der beiden berechneten Werte etwa $1,00686-1=0,00686$, was $0,686 \%$ entspricht. Damit ist bewiesen, dass das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(0,5)$ weniger als $1\%$ von dem in (3) berechneten Durchschnitt abweicht.
(5)
$\blacktriangleright$  Behauptung über die prozentuale Abweichung nachweisen
Berechne zunächst den Durchschnitt aus (3) für das allgemeine Intervall $\left[a; a+0,5\right]$. Nutze dazu die Formel für den durchschnittlichen Funktionswert in einem bestimmten Intervall einer Funktion und den Hauptsatz der Integralrechnung.
Berechne anschließend das allgemeine arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(a)$ und $N_1(a+0,5)$.
Setze dann die beiden berechneten Terme in Verhältnis zueinander und forme um, sodass du $a$ kürzen und die konstante prozentuale Abweichung angeben kannst.
1. Schritt: Allgemeinen Durchschnitt aus (3) berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{a+0,5-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{a+0,5} N_1(t) \mathrm dt=& \dfrac{1}{0,5} \cdot \displaystyle\int_{a}^{a+0,5} 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t} \mathrm dt \\[5pt] =&2 \cdot \left[\dfrac{2.500}{3}\cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}\right]_a^{a+0,5} \\[5pt] =&\dfrac{5.000}{3} \cdot \left(\mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}-\mathrm e^{0,6 \cdot a} \right) \end{array}$
2. Schritt: Arithmetisches Mittel von $\boldsymbol{N_1(a)}$ und $\boldsymbol{N_1(a+0,5)}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{N_1(a)+N_1(a+0,5)}{2}=& \dfrac{500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot a}+500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}}{2} \\[5pt] =&250 \cdot \left(\mathrm e^{0,6 \cdot a}+\mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}\right) \end{array}$
3. Schritt: Prozentuale Abweichung berechnen
Setze die beiden berechneten Terme nun in Verhältnis zueinander:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{250 \cdot \left(\mathrm e^{0,6 \cdot a}+\mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}\right)}{\left(\dfrac{5.000}{3}\right) \cdot \left(\mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}-\mathrm e^{0,6 \cdot a} \right)} =& \dfrac{750}{5.000} \cdot \left(\dfrac{\mathrm e^{0,6 \cdot a}+\mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}}{ \mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}-\mathrm e^{0,6 \cdot a}}\right)& \scriptsize \mid\; \mathrm e^{0,6 \cdot a} \text{ ausklammern} \\[5pt] =& \dfrac{3}{20} \cdot \left(\dfrac{\color{red}{\mathrm e^{0,6 \cdot a}} \cdot \left(1+\mathrm e^{0,6 \cdot 0,5}\right)}{ \color{red}{\mathrm e^{0,6 \cdot a}} \cdot \left(\mathrm e^{0,6 \cdot 0,5}-1\right)}\right) \\[5pt] =& \dfrac{3}{20} \cdot \left(\dfrac{\mathrm e^{0,3}+1}{\mathrm e^{0,3}-1}\right) \\[5pt] \approx&1,00746 \end{array}$
Damit erhältst du wie in Aufgabe (4):
Die prozentuale Abweichung des arithmetischen Mittels der Funktionswerte $N_1(a)$ und $N_1(a+0,5)$ von der durchschnittlichen Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in einem Zeitintervall $[a;a+0,5]$ mit $0\leq a \leq 2,5$ beträgt unabhängig von $a$ etwa $1,00746-1=0,00746$ und damit weniger als $1\%$.
b)
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Aussagen im Sachzusammenhang interpretieren
Die momentane Änderungsrate entspricht der Wachstumsgeschwindigkeit der Pantoffeltierchen. Die Ableitung der momentanen Änderungsrate gibt dir Auskunft darüber, wie sich die Wachstumsgeschwindigkeit ändert. Nutze diese Interpretation der beiden Funktionen, um die mathematischen Aussagen auf den Sachzusammenhang zu beziehen.
AussageBedeutung im Sachzusammenhang
$r_1(t)>0:$Die momentane Änderungsrate ist zu jedem Zeitpunkt des Experiments positiv. Das bedeutet, dass die Wachstumsgeschwindigkeit während der ersten drei Tage immer positiv ist. Deshalb vermehren sich die Pantoffeltierchen zu jeder Zeit innerhalb der ersten drei Tage. Es gibt keinen Zeitpunkt, an dem die Anzahl der Pantoffeltierchen gleich bleibt oder weniger wird.
$r_1'(t)>0:$Die Ableitung der momentanen Änderungsrate ist immer positiv. Das bedeutet, dass die Wachstumsgeschwindigkeit im Laufe der Zeit immer größer wird. Also gilt, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen umso schneller steigt, je weiter die Zeit vorangeschritten ist.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Gleichung im Sachzusammenhang interpretieren
$r_1$ entspricht der momentanen Änderungsrate ab dem Zeitpunkt $t=0$ bis zum Zeitpunkt $t=3$. Der Term $3-a$ nimmt für $0\leq a \leq 3$ Werte zwischen $0$ und $3$ an. $r_2$ entspricht der momentanen Änderungsrate ab dem Zeitpunkt $t=3$. Der Term $3+a$ nimmt für $0\leq a \leq 3$ Werte zwischen $3$ und $6$ an. Nutze diese Eigenschaften, um die Gleichung im Sachzusammenhang zu interpretieren.
Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Wachstumsgeschwindigkeit der Anzahl der Pantoffeltierchen im gleichen Abstand vor und nach Tag $3$ ($t=3$) gleich ist. Damit sind die Änderungsraten symmetrisch um den dritten Tag verteilt.
(2)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{r_2}$ herleiten
Nutze die Gleichung, die $r_2$ in Beziehung zu $r_1$ setzt. Setze dort den gegebenen Funktionsterm von $r_1$ ein. Durch Substituieren von $3+a$ durch $t$ kannst du die gesuchte Funktionsgleichung herleiten.
$\begin{array}[t]{rlll} r_2(3+a)=&r_1(3-a)& 0\leq a \leq 3 & \scriptsize \mid\; \text{Einsetzen der Funktionsgleichung von } r_1 \\[5pt] r_2(3+a)=&300 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot (3-a)}& 0\leq a \leq 3 \end{array}$
Substituiere nun $3+a$ durch $t$:
$\begin{array}[t]{rll} 3+a=& t& \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] a=&t-3 \end{array}$
Mit der Substitution folgt:
$\begin{array}[t]{rllllll} 0&\leq& a& \leq& 3& \scriptsize \mid\; a=t-3 \\[5pt] 0&\leq& t-3& \leq &3 & \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] 3&\leq& t& \leq& 6 \end{array}$
Wende die Substitution nun auf deine Gleichung für $r_2$ an:
$\begin{array}[t]{rlll} r_2(3+a)=&300 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot (3-a)}& 0\leq a \leq 3 & \scriptsize \mid\; \text{Substituiere } a+3=t \\[5pt] r_2(t)=& 300 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot (3-(t-3))} &3\leq t \leq 6 \\[5pt] =& 300 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot (6-t)} &3\leq t \leq 6 \\[5pt] =& 300 \cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot t} &3\leq t \leq 6 \end{array}$
Damit hast du die gesuchte Funktionsgleichung für die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag hergeleitet.
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{N_2}$ ermitteln
Da $r_2$ die Änderungsrate von $N_2$ ist, ist $N_2$ eine Stammfunktion von $r_2$. Bestimme zunächst mit dem Hauptsatz der Integralrechnung eine allgemeine Stammfunktion von $r_2$. Zum Bestimmen der Integrationskonstante kannst du nutzen, dass du die Anzahl der Pantoffeltierchen am dritten Tag sowohl durch $N_1$ als auch durch $N_2$ berechnen kannst.
$\blacktriangleright$  Stammfunktion von $\boldsymbol{r_2}$ bestimmen
Nutze den Hauptsatz der Integralrechnung:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)=& \displaystyle\int r_2(t) \;\mathrm dt \\[5pt] =&\displaystyle\int 300 \cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot t} \;\mathrm dt \\[5pt] =& -\dfrac{300}{\left(\frac{6}{10}\right)}\cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot t} +c \\[5pt] =& -500 \cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot t} +c \end{array}$
$\blacktriangleright$  Integrationskonstante $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Da sowohl $N_1$ als auch $N_2$ die Anzahl der Pantoffeltierchen am Tag $3$ beschreiben, gilt:
$N_1(3)=N_2(3)$
Setze nun die Funktionsterme ein und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} N_1(3)=&N_2(3) & \scriptsize \mid\; \text{Funktionsterme einsetzen} \\[5pt] 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 3} =& -500 \cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot 3} +c \\[5pt] 500 \cdot \mathrm e^{1,8} =& -500 \cdot \mathrm e^{1,8} +c & \scriptsize \mid\; +500 \cdot \mathrm e^{1,8} \\[5pt] 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8}=&c \end{array}$
Damit ergibt sich für die Funktionsgleichung von $N_2$:
$N_2(t)= 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} -500 \cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot t}$
(4)
$\blacktriangleright$  Obere Grenze für Anzahl der Pantoffeltierchen begründen
Um zu begründen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als $6.050$ wird, benötigst du eine Eigenschaft der Exponentialfunktion. Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $\mathrm e^x > 0$, somit gilt auch $\mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Damit gilt auch die Gleichung $500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$. Die Funktionsgleichung wird folgendermaßen abgeschätzt:
$N_2(t)=1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} < 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} = 6.049,65 < 6.050$
Damit hast du gezeigt, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen zu keinem Zeitpunkt größer als $6.050$ wird.
d)(1)
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Graphen
Den Graphen der neue Funktion $N_{\text{neu}}$ sollst du zum Graphen der Funktionen $N_1$ und $N_2$ zeichnen. Das sieht so aus:
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Wichtig ist, dass die Schnittstellen bei $t_1=0$, $t_2=3$ und $t_3=6$ zu erkennen sind. Zudem liegt der Graph von $N_{\text{neu}}$ im Bereich $[0;3]$ oberhalb des Graphen von $N_1$ und im Bereich $[3;6]$ unterhalb des Graphen von $N_2$.
(2)
$\blacktriangleright$  Bestimme den maximalen Unterschied
Abschließend sollst du den maximalen Unterschied der Funktion $N_1$ und $N_{\text{neu}}$ im Bereich $[0;3]$ bestimmen. Stelle dazu eine Funktion $d$ als Differenz der beiden anderen Funktionen auf und bestimme das Maximum der Funktion $d$ im Intervall $[0;3]$
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Der maximale Unterschied liegt bei etwa $215$, ebenso wie im Intervall $[3;6]$.
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Funtionswert berechnen
Berechne den Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ durch Einsetzen von $t=3$ in die gegebene Funktionsgleichung von $N_1$.
$\begin{array}[t]{rll} N_1(3)=& 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 3} \\[5pt] =&500 \cdot \mathrm e^{1,8} \\[5pt] \approx& 3.024,82 \end{array}$
Der Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ ist ca. $3.024,82$.
$\blacktriangleright$  Funktionswert im Sachzusammenhang interpretieren
Interpretiere den Funktionswert im Sachzusammenhang, indem du dir die Bedeutung der Funktion $N_1$ aus der Aufgabenstellung klar machst.
Der Funktionswert von $N_1$ an der Stelle $t=3$ gibt die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung am $3.$ Tag des Experiments an.
(2)
$\blacktriangleright$  Gesuchten Zeitpunkt bestimmen
Setze den Funktionsterm von $N_1$ gleich $2.000$ und löse nacht $t$ auf, um rechnerisch den Zeitpunkt, an dem $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung enthalten sind, zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} N_1(t)\stackrel{!}=& 2.000 \\[5pt] 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}=&2.000& \scriptsize \mid\; :500 \\[5pt] \mathrm e^{0,6 \cdot t}=&4& \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] 0,6 \cdot t=&\ln(4)& \scriptsize \mid\; 0,6 \\[5pt] t=&\dfrac{\ln(4)}{0,6} \\[5pt] \approx&2,31 \end{array}$
Zum Zeitpunkt $t=2,31$ sind also $2.000$ Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden.
(3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Anzahl berechnen
Gesucht ist die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung. Die Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt $t$ entspricht dem Funktionswert $N_1(t)$. Berechne also den durchschnittlichen Funktionswert von $N_1$ im Intervall $\left[0;0,5\right]$. Nutze dazu die Formel für den durchschnittlichen Funktionswert unter einem Graphen einer Funktion $f$.
Durchschnittlicher Funktionswert im Intervall $[a,b]$ einer Funktion $f$
$\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \; \mathrm dt$
Einsetzen der Funktion $N_1(t)$ und des Intervalls $\left[0;0,5\right]$ in die Formel führt auf das gesuchte Ergebnis.
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Damit beträgt die durchschnittliche Anzahl an Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung ca. $583$.
(4)
$\blacktriangleright$  Geringe Abweichung des arithmetischen Mittels zeigen
Berechne zunächst das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(0,5)$ und setze dieses dann in Verhältnis zu der bereits in (3) berechneten durchschnittlichen Anzahl von Pantoffeltierchen während des ersten halben Tages.
Das arithmetische Mittel der zwei Funktionswerte ergibt sich folgendermaßen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}_{\text{arith}}=& \dfrac{N_1(0)+N_1(0,5)}{2} \\[5pt] =& \dfrac{500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 0}+500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 0,5}}{2} \\[5pt] =&250 \cdot \left(\mathrm e^{0}+\mathrm e^{0,3}\right) \\[5pt] \approx&587 \end{array}$
Setze das arithmetische Mittel in Verhältnis zu der in (3) berechneten durchschnittlichen Anzahl an Pantoffeltierchen während des ersten halben Tages:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{587}{583}\approx1,00686\\[5pt] \end{array}$
Also beträgt die Abweichung der beiden berechneten Werte etwa $1,00686-1=0,00686$, was $0,686 \%$ entspricht. Damit ist bewiesen, dass das arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(0)$ und $N_1(0,5)$ weniger als $1\%$ von dem in (3) berechneten Durchschnitt abweicht.
(5)
$\blacktriangleright$  Behauptung über die prozentuale Abweichung nachweisen
Berechne zunächst den Durchschnitt aus (3) für das allgemeine Intervall $\left[a; a+0,5\right]$. Nutze dazu die Formel für den durchschnittlichen Funktionswert in einem bestimmten Intervall einer Funktion und den Hauptsatz der Integralrechnung.
Berechne anschließend das allgemeine arithmetische Mittel der Funktionswerte $N_1(a)$ und $N_1(a+0,5)$.
Setze dann die beiden berechneten Terme in Verhältnis zueinander und forme um, sodass du $a$ kürzen und die konstante prozentuale Abweichung angeben kannst.
1. Schritt: Allgemeinen Durchschnitt aus (3) berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{a+0,5-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{a+0,5} N_1(t) \mathrm dt=& \dfrac{1}{0,5} \cdot \displaystyle\int_{a}^{a+0,5} 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t} \mathrm dt \\[5pt] =&2 \cdot \left[\dfrac{2.500}{3}\cdot \mathrm e^{0,6 \cdot t}\right]_a^{a+0,5} \\[5pt] =&\dfrac{5.000}{3} \cdot \left(\mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}-\mathrm e^{0,6 \cdot a} \right) \end{array}$
2. Schritt: Arithmetisches Mittel von $\boldsymbol{N_1(a)}$ und $\boldsymbol{N_1(a+0,5)}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{N_1(a)+N_1(a+0,5)}{2}=& \dfrac{500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot a}+500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}}{2} \\[5pt] =&250 \cdot \left(\mathrm e^{0,6 \cdot a}+\mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}\right) \end{array}$
3. Schritt: Prozentuale Abweichung berechnen
Setze die beiden berechneten Terme nun in Verhältnis zueinander:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{250 \cdot \left(\mathrm e^{0,6 \cdot a}+\mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}\right)}{\left(\dfrac{5.000}{3}\right) \cdot \left(\mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}-\mathrm e^{0,6 \cdot a} \right)} =& \dfrac{750}{5.000} \cdot \left(\dfrac{\mathrm e^{0,6 \cdot a}+\mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}}{ \mathrm e^{0,6 \cdot (a+0,5)}-\mathrm e^{0,6 \cdot a}}\right)& \scriptsize \mid\; \mathrm e^{0,6 \cdot a} \text{ ausklammern} \\[5pt] =& \dfrac{3}{20} \cdot \left(\dfrac{\color{red}{\mathrm e^{0,6 \cdot a}} \cdot \left(1+\mathrm e^{0,6 \cdot 0,5}\right)}{ \color{red}{\mathrm e^{0,6 \cdot a}} \cdot \left(\mathrm e^{0,6 \cdot 0,5}-1\right)}\right) \\[5pt] =& \dfrac{3}{20} \cdot \left(\dfrac{\mathrm e^{0,3}+1}{\mathrm e^{0,3}-1}\right) \\[5pt] \approx&1,00746 \end{array}$
Damit erhältst du wie in Aufgabe (4):
Die prozentuale Abweichung des arithmetischen Mittels der Funktionswerte $N_1(a)$ und $N_1(a+0,5)$ von der durchschnittlichen Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in einem Zeitintervall $[a;a+0,5]$ mit $0\leq a \leq 2,5$ beträgt unabhängig von $a$ etwa $1,00746-1=0,00746$ und damit weniger als $1\%$.
b)
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Aussagen im Sachzusammenhang interpretieren
Die momentane Änderungsrate entspricht der Wachstumsgeschwindigkeit der Pantoffeltierchen. Die Ableitung der momentanen Änderungsrate gibt dir Auskunft darüber, wie sich die Wachstumsgeschwindigkeit ändert. Nutze diese Interpretation der beiden Funktionen, um die mathematischen Aussagen auf den Sachzusammenhang zu beziehen.
AussageBedeutung im Sachzusammenhang
$r_1(t)>0:$Die momentane Änderungsrate ist zu jedem Zeitpunkt des Experiments positiv. Das bedeutet, dass die Wachstumsgeschwindigkeit während der ersten drei Tage immer positiv ist. Deshalb vermehren sich die Pantoffeltierchen zu jeder Zeit innerhalb der ersten drei Tage. Es gibt keinen Zeitpunkt, an dem die Anzahl der Pantoffeltierchen gleich bleibt oder weniger wird.
$r_1'(t)>0:$Die Ableitung der momentanen Änderungsrate ist immer positiv. Das bedeutet, dass die Wachstumsgeschwindigkeit im Laufe der Zeit immer größer wird. Also gilt, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen umso schneller steigt, je weiter die Zeit vorangeschritten ist.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Gleichung im Sachzusammenhang interpretieren
$r_1$ entspricht der momentanen Änderungsrate ab dem Zeitpunkt $t=0$ bis zum Zeitpunkt $t=3$. Der Term $3-a$ nimmt für $0\leq a \leq 3$ Werte zwischen $0$ und $3$ an. $r_2$ entspricht der momentanen Änderungsrate ab dem Zeitpunkt $t=3$. Der Term $3+a$ nimmt für $0\leq a \leq 3$ Werte zwischen $3$ und $6$ an. Nutze diese Eigenschaften, um die Gleichung im Sachzusammenhang zu interpretieren.
Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Wachstumsgeschwindigkeit der Anzahl der Pantoffeltierchen im gleichen Abstand vor und nach Tag $3$ ($t=3$) gleich ist. Damit sind die Änderungsraten symmetrisch um den dritten Tag verteilt.
(2)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{r_2}$ herleiten
Nutze die Gleichung, die $r_2$ in Beziehung zu $r_1$ setzt. Setze dort den gegebenen Funktionsterm von $r_1$ ein. Durch Substituieren von $3+a$ durch $t$ kannst du die gesuchte Funktionsgleichung herleiten.
$\begin{array}[t]{rlll} r_2(3+a)=&r_1(3-a)& 0\leq a \leq 3 & \scriptsize \mid\; \text{Einsetzen der Funktionsgleichung von } r_1 \\[5pt] r_2(3+a)=&300 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot (3-a)}& 0\leq a \leq 3 \end{array}$
Substituiere nun $3+a$ durch $t$:
$\begin{array}[t]{rll} 3+a=& t& \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] a=&t-3 \end{array}$
Mit der Substitution folgt:
$\begin{array}[t]{rllllll} 0&\leq& a& \leq& 3& \scriptsize \mid\; a=t-3 \\[5pt] 0&\leq& t-3& \leq &3 & \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] 3&\leq& t& \leq& 6 \end{array}$
Wende die Substitution nun auf deine Gleichung für $r_2$ an:
$\begin{array}[t]{rlll} r_2(3+a)=&300 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot (3-a)}& 0\leq a \leq 3 & \scriptsize \mid\; \text{Substituiere } a+3=t \\[5pt] r_2(t)=& 300 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot (3-(t-3))} &3\leq t \leq 6 \\[5pt] =& 300 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot (6-t)} &3\leq t \leq 6 \\[5pt] =& 300 \cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot t} &3\leq t \leq 6 \end{array}$
Damit hast du die gesuchte Funktionsgleichung für die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag hergeleitet.
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{N_2}$ ermitteln
Da $r_2$ die Änderungsrate von $N_2$ ist, ist $N_2$ eine Stammfunktion von $r_2$. Bestimme zunächst mit dem Hauptsatz der Integralrechnung eine allgemeine Stammfunktion von $r_2$. Zum Bestimmen der Integrationskonstante kannst du nutzen, dass du die Anzahl der Pantoffeltierchen am dritten Tag sowohl durch $N_1$ als auch durch $N_2$ berechnen kannst.
$\blacktriangleright$  Stammfunktion von $\boldsymbol{r_2}$ bestimmen
Nutze den Hauptsatz der Integralrechnung:
$\begin{array}[t]{rll} N_2(t)=& \displaystyle\int r_2(t) \;\mathrm dt \\[5pt] =&\displaystyle\int 300 \cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot t} \;\mathrm dt \\[5pt] =& -\dfrac{300}{\left(\frac{6}{10}\right)}\cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot t} +c \\[5pt] =& -500 \cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot t} +c \end{array}$
$\blacktriangleright$  Integrationskonstante $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Da sowohl $N_1$ als auch $N_2$ die Anzahl der Pantoffeltierchen am Tag $3$ beschreiben, gilt:
$N_1(3)=N_2(3)$
Setze nun die Funktionsterme ein und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} N_1(3)=&N_2(3) & \scriptsize \mid\; \text{Funktionsterme einsetzen} \\[5pt] 500 \cdot \mathrm e^{0,6 \cdot 3} =& -500 \cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot 3} +c \\[5pt] 500 \cdot \mathrm e^{1,8} =& -500 \cdot \mathrm e^{1,8} +c & \scriptsize \mid\; +500 \cdot \mathrm e^{1,8} \\[5pt] 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8}=&c \end{array}$
Damit ergibt sich für die Funktionsgleichung von $N_2$:
$N_2(t)= 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} -500 \cdot \mathrm e^{3,6 -0,6 \cdot t}$
(4)
$\blacktriangleright$  Obere Grenze für Anzahl der Pantoffeltierchen begründen
Um zu begründen, dass die Anzahl der Tierchen nicht größer als $6.050$ wird, benötigst du eine Eigenschaft der Exponentialfunktion. Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $\mathrm e^x > 0$, somit gilt auch $\mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Damit gilt auch die Gleichung $500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} > 0$. Die Funktionsgleichung wird folgendermaßen abgeschätzt:
$N_2(t)=1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} - 500 \cdot \mathrm e^{3,6 - 0,6 \cdot t} < 1.000 \cdot \mathrm e^{1,8} = 6.049,65 < 6.050$
Damit hast du gezeigt, dass die Anzahl der Pantoffeltierchen zu keinem Zeitpunkt größer als $6.050$ wird.
d)(1)
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Graphen
Den Graphen der neue Funktion $N_{\text{neu}}$ sollst du zum Graphen der Funktionen $N_1$ und $N_2$ zeichnen. Das sieht so aus:
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Wichtig ist, dass die Schnittstellen bei $t_1=0$, $t_2=3$ und $t_3=6$ zu erkennen sind. Zudem liegt der Graph von $N_{\text{neu}}$ im Bereich $[0;3]$ oberhalb des Graphen von $N_1$ und im Bereich $[3;6]$ unterhalb des Graphen von $N_2$.
(2)
$\blacktriangleright$  Bestimme den maximalen Unterschied
Abschließend sollst du den maximalen Unterschied der Funktion $N_1$ und $N_{\text{neu}}$ im Bereich $[0;3]$ bestimmen. Stelle dazu eine Funktion $d$ als Differenz der beiden anderen Funktionen auf und bestimme das Maximum der Funktion $d$ im Intervall $[0;3]$
Aufgabe 1
Aufgabe 1
Der maximale Unterschied liegt bei etwa $215$, ebenso wie im Intervall $[3;6]$.
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