Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
NRW, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
Zentrale Klausur zum Ende...
Zentrale Klausur zum Ende...
Zentrale Prüfung 10 E-Kur...
Zentrale Prüfung 10 G-Kur...
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Abitur LK (WTR) bis 2016
Abitur GK (WTR) bis 2016
ZK zum Ende der EF (WTR) ...
Abitur LK (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
Zentrale Klausur zum Ende der EF (GTR)
Zentrale Klausur zum Ende der EF (CAS)
Zentrale Prüfung 10 E-Kurs
Zentrale Prüfung 10 G-Kurs
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs
Abitur LK (WTR) bis 2016
Abitur GK (WTR) bis 2016
ZK zum Ende der EF (WTR) bis 2014
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabe 5

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
In Deutschland liegt bei $1\,\%$ der Bevölkerung eine Glutenunverträglichkeit vor. Die betroffenen Personen reagieren auf den Verzehr von bestimmten Getreidesorten mit körperlichen Beschwerden. Ob eine Glutenunverträglichkeit vorliegt oder nicht, kann mithilfe eines Schnelltests diagnostiziert werden. Zeigt das Ergebnis dieses Tests die Glutenunverträglichkeit an, so bezeichnet man es als positiv.
a)
Liegt bei einer Person eine Glutenunverträglichkeit vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von $98\,\%$ positiv. Liegt bei einer Person keine Glutenunverträglichkeit vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis dennoch positiv ist, $4\,\%.$ Bei einer Person, die aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählt wurde, wird der Test durchgeführt.
(1)
Erstelle zu dem beschriebenen Sachverhalt ein beschriftetes Baumdiagramm.
(4 BE)
(2)
Ermittle für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
„Bei der Person liegt eine Glutenunverträglichkeit vor und das Testergebnis ist positiv.“
„Das Testergebnis ist negativ.“
(4 BE)
(3)
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, wenn das Testergebnis positiv ist.
(4 BE)
#baumdiagramm
b)
Im Rahmen einer Studie sollen aus der Bevölkerung Deutschlands $20.000$ Personen zufällig ausgewählt werden. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der ausgewählten Personen an, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt.
(1)
Erläutere, warum das Modell der binomialverteilten Zufallsgröße zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten hier geeignet ist.
(3 BE)
(2)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ abweicht.
(5 BE)
#binomialverteilung
c)
Der Test wird mithilfe eines Teststreifens durchgeführt, auf dem eine Substanz als Indikator aufgebracht ist. Ist die Indikatormenge auf einem Teststreifen zu gering, so ist dieser unbrauchbar.
Der Hersteller der Teststreifen verfolgt das Ziel, dass höchstens $10\,\%$ der hergestellten Teststreifen unbrauchbar sind, und führt deshalb regelmäßig eine Qualitätskontrolle durch. Dazu wird der laufenden Produktion eine Stichprobe von $100$ Teststreifen entnommen. Nur wenn sich darunter mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen befinden, entscheidet man sich dafür, das Herstellungsverfahren zu verbessern.
(1)
Beschreibe, welche Fehlentscheidungen bei dieser Qualitätskontrolle auftreten können.
(4 BE)
(2)
Bestimme, wie hoch die Fehlerwahrscheinlichkeit höchstens ist, dass der Hersteller sich aufgrund seiner Entscheidungsregel irrtümlich um eine Verbesserung des Herstellungsverfahrens bemüht.
[Zur Kontrolle: $3,99\,\%$]
(3 BE)
(3)
Der Hersteller entschließt sich, die Kontrolle künftig mit einer größeren Stichprobe von $200$ Teststreifen durchzuführen. Die Wahrscheinlichkeit für eine unnötige Verbesserung des Herstellungsverfahrens soll durch diese Änderung nur noch ein Drittel der ursprünglichen Wahrscheinlichkeit für eine unnötige Verbesserung des Verfahrens betragen.
Ermittle, wie groß die Anzahl unbrauchbarer Teststreifen, ab der man sich dafür entscheidet, das Herstellungsverfahren zu verbessern, nun mindestens sein muss.
(4 BE)
(4)
Von einer früheren Qualitätskontrolle mit nicht mehr bekanntem Stichprobenumfang weiß man, dass der Erwartungswert für die binomialverteilte Anzahl unbrauchbarer Teststreifen bei $18$ und die Standardabweichung bei $4$ lag.
Bestimme, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen unbrauchbaren Teststreifen und der Stichprobenumfang bei dieser Qualitätskontrolle waren.
(3 BE)
#erwartungswert#standardabweichung
d)
Die Indikatormenge auf den Teststreifen ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von $20\,\text{mg}$ und einer Standardabweichung von $4,0\,\text{mg}.$ Ein Teststreifen ist unbrauchbar, wenn die Indikatormenge auf dem Teststreifen kleiner als $15\,\text{mg}$ ist.
(1)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teststreifen unbrauchbar ist.
[Zur Kontrolle: $10,56\,\%$]
(3 BE)
(2)
Durch eine Verbesserung konnte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teststreifen aufgrund der Indikatormenge unbrauchbar ist, halbiert werden. Der Erwartungswert für die Indikatormenge blieb dabei unverändert.
Bestimme die geänderte Standardabweichung auf eine Nachkommastelle genau.
(3 BE)
#normalverteilung#erwartungswert#standardabweichung
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen
Aufgabe 5 Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:
  • $G:$ Es liegt eine Glutenunverträglichkeit vor
  • $\overline{G}:$ Es liegt keine Glutenunverträglichkeit vor
  • $T:$ Der Test liefert ein positives Ergebnis.
  • $\overline{T}:$ Der Test liefert ein negatives Ergebnis.
Aufgabe 5
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 5
Abb. 1: Baumdiagramm
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten ermitteln
Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(G)\cdot P_G(T) \\[5pt] &=& 0,01\cdot 0,98\\[5pt] &=& 0,0098 \\[5pt] &=&0,98\,\% \\[10pt] P(B)&=& P(G)\cdot P_G(\overline{T}) + P(\overline{G})\cdot P_{\overline{G}}(\overline{T}) \\[5pt] &=& 0,01\cdot 0,02 +0,99\dot 0,96 \\[5pt] &=& 0,9506 \\[5pt] &=& 95,06\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,98\,\% \\[10pt] P(B)&=& 95,06\,\% \end{array}$
(3)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_T(G)&=& \dfrac{P_G(T)\cdot P(G)}{P(T)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,98\cdot 0,01}{0,01\cdot 0,98+0,99\cdot 0,04} \\[5pt] &\approx& 0,1984 \\[5pt] &=& 19,84\,\%\\[5pt] \end{array}$
$P_T(G)\approx 19,84\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $19,84\,\%$ liegt eine Glutenunverträglichkeit vor, wenn das Testergebnis positiv ist.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Eignung der Binomialverteilung erläutern
Da die Personen für die Studie aus der gesamten Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählt werden, kann man davon ausgehen, dass das Auftreten der Glutenunverträglichkeit bei den einzelnen Personen unabhängig von den übrigen Personen ist.
Der Anteil der Bevölkerung mit $1\,\%$ kann also als Wahrscheinlichkeit angesehen werden, da die Menge aus der die Personen ausgewählt werden hinreichend groß ist.
Zudem gibt es pro Person in der Studie nur zwei mögliche Ergebnisse, entweder es liegt eine Glutenunverträglichkeit vor oder nicht. Die Binomialverteilung ist also geeignet.
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
$X$ kann nach b) (1) als binomialverteilt angenommen werden mit $n= 20.000$ und $p=0,01.$ Der Erwartungswert ergibt sich also zu:
$\mu = n\cdot p = 20.000\cdot 0,01 = 200$
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich mithilfe des CAS zu:
$\begin{array}[t]{rll} &P(X< 200 - 200\cdot 0,1) + P(200+200\cdot 0,1< X)\\[5pt] =& 1-P(180\leq X \leq 220) \\[5pt] \approx& 1- 0,8550 \\[5pt] =& 0,1450 \\[5pt] =&14,50\,\% \end{array}$
$ … \approx 14,50\,\% $
Aufgabe 5
Abb. 2: menu $\to$ 6: Statistik $\to$ 5: Verteilungen $\to$ E: binomialCdf
Aufgabe 5
Abb. 2: menu $\to$ 6: Statistik $\to$ 5: Verteilungen $\to$ E: binomialCdf
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $14,50\,\%$ weicht die Anzahl der Personen mit Glutenunverträglichkeit um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ ab.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Fehlentscheidungen beschreiben
Werden mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden, entscheidet man sich dafür, das Herstellungsverfahren zu verbessern. Es kann jedoch sein, dass der Anteil der unbrauchbaren Teststreifen tatsächlich nicht über $10\,\%$ liegt und man sich dafür entscheidet das Herstellungsverfahren zu verbessern, obwohl dies nicht nötig wäre.
Werden weniger als $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden, wird das Herstellungsverfahren nicht verbssert. Es kann aber sein, dass der Anteil der unbrauchbaren Teststreifen in der Realität tatsächlich über $10\,\%$ liegt und man fälschlicherweise von einer besseren Fehlerquote ausgeht. In dem Fall könnten eventuell wichtige Verbesserungsmaßnahmen nicht vorgenommen werden.
(2)
$\blacktriangleright$  Fehlerwahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verbesserung bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsvariable $Y,$ die die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen unter $100$ Teststreifen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ angenommen werden.
Der beschriebene Fehler tritt auf, wenn $p\leq 0,1$ gilt, aber trotzdem mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden werden. Nimmt man also für $Y$ die größtmögliche Wahrscheinlichkeit $p=0,1$ an, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verbesserung zu:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 16 )&=&1-P(Y\leq 15) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 1-0,9601 \\[5pt] &=& 0,0399 \\[5pt] &=& 3,99\,\% \end{array}$
$ P(Y\geq 16 )\approx 3,99\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $3,99\,\%$ bemüht sich der Hersteller irrtümlich um eine Verbesserung des Herstellungsverfahrens.
(3)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Teststreifen ermitteln
Betrachetet wird nun die Zufallsvariable $Y_{200},$ die wie $Y$ als binomialverteilt angenommen wird mit $n=200$ und $p=0,1.$
Gesucht ist nun $k,$ sodass die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq k)$ ca. $\frac{1}{3}\cdot3,99\,\% $ beträgt.
$\begin{array}[t]{rll} P(Y_{200}\geq k)&=& 0,0133 \\[5pt] 1-P(Y_{200}\leq k-1)&=& 0,0133 \\[5pt] P(Y_{200}\leq k-1)&=& 0,9867 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(Y_{200}\geq k)&=& 0,0133 \\[5pt] 1-P(Y_{200}\leq k-1)&=& 0,0133 \\[5pt] P(Y_{200}\leq k-1)&=& 0,9867 \\[5pt] \end{array}$
Aufgabe 5
Abb. 3: menu $\to $ 4: Statistik $\to$ 2: Verteilungen $\to$ E: Binom Cdf
Aufgabe 5
Abb. 3: menu $\to $ 4: Statistik $\to$ 2: Verteilungen $\to$ E: Binom Cdf
Die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen muss nun mindestens $30$ betragen.
(4)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit und Stichprobenumfang berechnen
Die Zufallsgröße $B,$ die die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen beschreibt, ist laut Aufgabenstellung binomialverteilt. Gesucht sind der Stichprobenumfang $n$ und die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen unbrauchbaren Teststreifen.
Entsprechend der Binomialverteilung können der Erwartungswert und die Standardabweichung wie folgt berechnet werden:
$\mu = n\cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$
Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 18&=& n\cdot p \\ \text{II}\quad& 4&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\ \end{array}$
$\text{I}$ kann in $\text{II}$ eingesetzt werden:
$\begin{array}[t]{rll} 4&=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] 4&=& \sqrt{18\cdot (1-p)} &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] 16&=& 18\cdot (1-p)&\quad \scriptsize \mid\;:18 \\[5pt] \frac{8}{9}&=&1-p &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -\frac{1}{9} &=&-p &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] \frac{1}{9}&=& p \end{array}$
$ \frac{1}{9}= p $
Einsetzen in die erste Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 18&=& n\cdot p \\[5pt] 18&=& n\cdot \frac{1}{9}&\quad \scriptsize \mid\; :\frac{1}{9} \\[5pt] 162&=& n \end{array}$
$ 162=n $
Der Stichprobenumfang ist $n=162,$ die Wahrscheinlichkeit für einen unbrauchbaren Teststreifen beträgt $p=\frac{1}{9}.$
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Aufgabe 5
Abb. 4: menu $\to$ 6: Statistik $\to$ 5: Verteilungen $\to$ 2: normal Cdf
Aufgabe 5
Abb. 4: menu $\to$ 6: Statistik $\to$ 5: Verteilungen $\to$ 2: normal Cdf
(2)
$\blacktriangleright$  Geänderte Standardabweichung bestimmen
Aufgabe 5
Abb. 5: Schrittweite der Tabelle: $0,1$
Aufgabe 5
Abb. 5: Schrittweite der Tabelle: $0,1$
Für $\sigma\approx 3,1$ halbiert sich die Wahrscheinlichkeit für einen unbrauchbaren Teststreifen also.
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[5]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen
Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:
  • $G:$ Es liegt eine Glutenunverträglichkeit vor
  • $\overline{G}:$ Es liegt keine Glutenunverträglichkeit vor
  • $T:$ Der Test liefert ein positives Ergebnis.
  • $\overline{T}:$ Der Test liefert ein negatives Ergebnis.
Aufgabe 5
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 5
Abb. 1: Baumdiagramm
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten ermitteln
Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(G)\cdot P_G(T) \\[5pt] &=& 0,01\cdot 0,98\\[5pt] &=& 0,0098 \\[5pt] &=&0,98\,\% \\[10pt] P(B)&=& P(G)\cdot P_G(\overline{T}) + P(\overline{G})\cdot P_{\overline{G}}(\overline{T}) \\[5pt] &=& 0,01\cdot 0,02 +0,99\dot 0,96 \\[5pt] &=& 0,9506 \\[5pt] &=& 95,06\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,98\,\% \\[10pt] P(B)&=& 95,06\,\% \end{array}$
(3)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_T(G)&=& \dfrac{P_G(T)\cdot P(G)}{P(T)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,98\cdot 0,01}{0,01\cdot 0,98+0,99\cdot 0,04} \\[5pt] &\approx& 0,1984 \\[5pt] &=& 19,84\,\%\\[5pt] \end{array}$
$P_T(G)\approx 19,84\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $19,84\,\%$ liegt eine Glutenunverträglichkeit vor, wenn das Testergebnis positiv ist.
#satzvonbayes#pfadregeln
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Eignung der Binomialverteilung erläutern
Da die Personen für die Studie aus der gesamten Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählt werden, kann man davon ausgehen, dass das Auftreten der Glutenunverträglichkeit bei den einzelnen Personen unabhängig von den übrigen Personen ist.
Der Anteil der Bevölkerung mit $1\,\%$ kann also als Wahrscheinlichkeit angesehen werden, da die Menge aus der die Personen ausgewählt werden hinreichend groß ist.
Zudem gibt es pro Person in der Studie nur zwei mögliche Ergebnisse, entweder es liegt eine Glutenunverträglichkeit vor oder nicht. Die Binomialverteilung ist also geeignet.
(2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
$X$ kann nach b) (1) als binomialverteilt angenommen werden mit $n= 20.000$ und $p=0,01.$ Der Erwartungswert ergibt sich also zu:
$\mu = n\cdot p = 20.000\cdot 0,01 = 200$
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich mithilfe des CAS zu:
$\begin{array}[t]{rll} &P(X< 200 - 200\cdot 0,1) + P(200+200\cdot 0,1< X)\\[5pt] =& 1-P(180\leq X \leq 220) \\[5pt] \approx& 1- 0,8550 \\[5pt] =& 0,1450 \\[5pt] =&14,50\,\% \end{array}$
$ … \approx 14,50\,\% $
Aufgabe 5
Abb. 2: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf
Aufgabe 5
Abb. 2: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $14,50\,\%$ weicht die Anzahl der Personen mit Glutenunverträglichkeit um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ ab.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Fehlentscheidungen beschreiben
Werden mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden, entscheidet man sich dafür, das Herstellungsverfahren zu verbessern. Es kann jedoch sein, dass der Anteil der unbrauchbaren Teststreifen tatsächlich nicht über $10\,\%$ liegt und man sich dafür entscheidet das Herstellungsverfahren zu verbessern, obwohl dies nicht nötig wäre.
Werden weniger als $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden, wird das Herstellungsverfahren nicht verbssert. Es kann aber sein, dass der Anteil der unbrauchbaren Teststreifen in der Realität tatsächlich über $10\,\%$ liegt und man fälschlicherweise von einer besseren Fehlerquote ausgeht. In dem Fall könnten eventuell wichtige Verbesserungsmaßnahmen nicht vorgenommen werden.
(2)
$\blacktriangleright$  Fehlerwahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verbesserung bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsvariable $Y,$ die die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen unter $100$ Teststreifen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ angenommen werden.
Der beschriebene Fehler tritt auf, wenn $p\leq 0,1$ gilt, aber trotzdem mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden werden. Nimmt man also für $Y$ die größtmögliche Wahrscheinlichkeit $p=0,1$ an, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verbesserung zu:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 16 )&=&1-P(Y\leq 15) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 1-0,9601 \\[5pt] &=& 0,0399 \\[5pt] &=& 3,99\,\% \end{array}$
$ P(Y\geq 16 )\approx 3,99\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $3,99\,\%$ bemüht sich der Hersteller irrtümlich um eine Verbesserung des Herstellungsverfahrens.
(3)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Teststreifen ermitteln
Betrachetet wird nun die Zufallsvariable $Y_{200},$ die wie $Y$ als binomialverteilt angenommen wird mit $n=200$ und $p=0,1.$
Aufgabe 5
Abb. 3: Berechnung mit dem CAS
Aufgabe 5
Abb. 3: Berechnung mit dem CAS
Die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen muss nun mindestens $30$ betragen.
(4)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit und Stichprobenumfang berechnen
Die Zufallsgröße $B,$ die die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen beschreibt, ist laut Aufgabenstellung binomialverteilt. Gesucht sind der Stichprobenumfang $n$ und die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen unbrauchbaren Teststreifen.
Entsprechend der Binomialverteilung können der Erwartungswert und die Standardabweichung wie folgt berechnet werden:
$\mu = n\cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$
Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 18&=& n\cdot p \\ \text{II}\quad& 4&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\ \end{array}$
$\text{I}$ kann in $\text{II}$ eingesetzt werden:
$\begin{array}[t]{rll} 4&=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] 4&=& \sqrt{18\cdot (1-p)} &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] 16&=& 18\cdot (1-p)&\quad \scriptsize \mid\;:18 \\[5pt] \frac{8}{9}&=&1-p &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -\frac{1}{9} &=&-p &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] \frac{1}{9}&=& p \end{array}$
$ \frac{1}{9}= p $
Einsetzen in die erste Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 18&=& n\cdot p \\[5pt] 18&=& n\cdot \frac{1}{9}&\quad \scriptsize \mid\; :\frac{1}{9} \\[5pt] 162&=& n \end{array}$
$ 162=n $
Der Stichprobenumfang ist $n=162,$ die Wahrscheinlichkeit für einen unbrauchbaren Teststreifen beträgt $p=\frac{1}{9}.$
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Aufgabe 5
Abb. 4: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Fortlaufend $\to$ normCDf
Aufgabe 5
Abb. 4: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Fortlaufend $\to$ normCDf
(2)
$\blacktriangleright$  Geänderte Standardabweichung bestimmen
Aufgabe 5
Abb. 5: Schrittweite der Tabelle: $0,1$
Aufgabe 5
Abb. 5: Schrittweite der Tabelle: $0,1$
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[5]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App