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Aufgabe 4

Aufgaben
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Aufgabenstellung
Im Folgenden betrachten wir die Entwicklung von Wolfspopulationen. Dabei beschränken wir uns ausschließlich auf die weiblichen Mitglieder einer Population, die aus Welpen ($w$), jungen Fähen ($j$) sowie ausgewachsenen Fähen ($a$) bestehen soll. Alle Fähen sind vermehrungsfähig. Die Welpen entwickeln sich ein Jahr nach der Geburt zu jungen Fähen und ein Jahr später zu ausgewachsenen Fähen.
Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung einer in der Wildnis lebenden Population für die Jahre 2013 und 2014:
20132014
$w$6552
$j$826
$a$2016
Tabelle
Modellhaft lässt sich die Entwicklung mit der Matrix $A$ beschreiben:
von:$w$$j$$a$
$w$$\begin{pmatrix}0&1,5&2\\[2pt]b&0&0\\[2pt]0&0,5&0,6\end{pmatrix}$
nach:$j$$A=$
$a$
a) (1)  Begründe mit den Daten aus der Tabelle, dass $b=0,4$ gilt.
(3P)
(2)  Interpretiere die weiteren von Null verschiedenen Einträge in der Matrix $A$ im Sachzusammenhang.
(4P)
b) (1)  Berechne die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2015 zu erwarten ist.
(3P)
(2)  Bestimme die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2012 vorgelegen hätte.
(5P)
(3)  Ein Biologe behauptet, dass weniger als $15\,$% aller Welpen mindestens ein Alter von drei Jahren erreichen.
Prüfe, ob nach der obigen Modellierung mit der Matrix $A$ die Behauptung des Biologen zutrifft.
(4P)
c)  Wölfe, die in einem Tierpark leben, haben andere Überlebens- und Fortpflanzungsraten. Für einen Tierpark kann die Entwicklung seiner Wolfspopulation durch die folgende Matrix $B$ modelliert werden:

$B=\begin{pmatrix}0&1&d\\0,8&0&0\\0&0,75&0,7\end{pmatrix},\;c>0,\;d>0$.
(1)  Beschreibe im Sachzusammenhang die Einträge in der zweiten Spalte der Matrix $B$ im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Spalte der Matrix $A$.
(2P)
(2)  Wegen der räumlichen Beschränkung will die Tierparkleitung die Gesamtzahl der Wölfe konstant halten. Das soll durch eine strikte Geburtenkontrolle gewährleistet werden.
Zeige, dass nur für $d=0,5-0,4\cdot c$ eine von $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung existiert, d. h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
(7P)
(3)  Ermittle für $d=0,5-0,4\cdot c$ die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit
stationärer Verteilung $\vec{n}=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_ 3\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ mit natürlichen Zahlen $n_1, n_2$ und $n_3$.
(4P)
d)  Für die Population in dem obigen Tierpark wird eine neue Modellierung gewählt: Die Entwicklungsstufe der Welpen wird mit der Überlebensrate von $80\,$% beibehalten, die Entwicklungsstufen der jungen Fähen und ausgewachsenen Fähen werden zu einer Stufe zusammengefasst. Die neue Modellierung soll durch die Matrix
$C=\begin{pmatrix}0&g\\0,8&h\end{pmatrix}$

mit $g>0$ und $0\leq h <1$ dargestellt werden. Die Population der Welpen und Fähen soll mit insgesamt 19 Tieren konstant bleiben.
(1)  Zeige, dass in dem neuen Modell eine stationäre Verteilung mit mehr als 10 Welpen nicht vorkommen kann.
(8P)
(2)  Ermittle die Einträge $g$ und $h$ in der Matrix $C$ so, dass sich eine stationäre Verteilung mit 5 Welpen und 14 Fähen ergibt.
(3P)
(3)  Mit den Werten aus (2) ist $C=\begin{pmatrix}0&\frac{5}{14}\\0,8&\frac{5}{7}\end{pmatrix}$. Ein Taschenrechner liefert z. B.
$C^{17}=\begin{pmatrix}0,2222222218&0,2777777779\\0,6222222226&0,7777777777\end{pmatrix}$.
Die Potenzen $C^n$ der Matrix $C$ streben mit wachsendem $n$ gegen eine Matrix $G$.
Ermitteln Sie die exakten Werte der Einträge von $G$ aus den Ansätzen
$G\cdot C =G$ und $G\cdot \begin{pmatrix}5\\14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\14\end{pmatrix}$.
(7P)
Aufgabenstellung
Im Folgenden betrachten wir die Entwicklung von Wolfspopulationen. Dabei beschränken wir uns ausschließlich auf die weiblichen Mitglieder einer Population, die aus Welpen ($w$), jungen Fähen ($j$) sowie ausgewachsenen Fähen ($a$) bestehen soll. Alle Fähen sind vermehrungsfähig. Die Welpen entwickeln sich ein Jahr nach der Geburt zu jungen Fähen und ein Jahr später zu ausgewachsenen Fähen.
Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung einer in der Wildnis lebenden Population für die Jahre 2013 und 2014:
20132014
$w$6552
$j$826
$a$2016
Tabelle
Modellhaft lässt sich die Entwicklung mit der Matrix $A$ beschreiben:
von:$w$$j$$a$
$w$$\begin{pmatrix}0&1,5&2\\[2pt]b&0&0\\[2pt]0&0,5&0,6\end{pmatrix}$
nach:$j$$A=$
$a$
a) (1)  Begründe mit den Daten aus der Tabelle, dass $b=0,4$ gilt.
(3P)
(2)  Interpretiere die weiteren von Null verschiedenen Einträge in der Matrix $A$ im Sachzusammenhang.
(4P)
b) (1)  Berechne die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2015 zu erwarten ist.
(3P)
(2)  Bestimme die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2012 vorgelegen hätte.
(5P)
(3)  Ein Biologe behauptet, dass weniger als $15\,$% aller Welpen mindestens ein Alter von drei Jahren erreichen.
Prüfe, ob nach der obigen Modellierung mit der Matrix $A$ die Behauptung des Biologen zutrifft.
(4P)
c)  Wölfe, die in einem Tierpark leben, haben andere Überlebens- und Fortpflanzungsraten. Für einen Tierpark kann die Entwicklung seiner Wolfspopulation durch die folgende Matrix $B$ modelliert werden:

$B=\begin{pmatrix}0&1&d\\0,8&0&0\\0&0,75&0,7\end{pmatrix},\;c>0,\;d>0$.
(1)  Beschreibe im Sachzusammenhang die Einträge in der zweiten Spalte der Matrix $B$ im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Spalte der Matrix $A$.
(2P)
(2)  Wegen der räumlichen Beschränkung will die Tierparkleitung die Gesamtzahl der Wölfe konstant halten. Das soll durch eine strikte Geburtenkontrolle gewährleistet werden.
Zeige, dass nur für $d=0,5-0,4\cdot c$ eine von $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung existiert, d. h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
(7P)
(3)  Ermittle für $d=0,5-0,4\cdot c$ die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit
stationärer Verteilung $\vec{n}=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_ 3\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ mit natürlichen Zahlen $n_1, n_2$ und $n_3$.
(4P)
d)  Für die Population in dem obigen Tierpark wird eine neue Modellierung gewählt: Die Entwicklungsstufe der Welpen wird mit der Überlebensrate von $80\,$% beibehalten, die Entwicklungsstufen der jungen Fähen und ausgewachsenen Fähen werden zu einer Stufe zusammengefasst. Die neue Modellierung soll durch die Matrix
$C=\begin{pmatrix}0&g\\0,8&h\end{pmatrix}$

mit $g>0$ und $0\leq h <1$ dargestellt werden. Die Population der Welpen und Fähen soll mit insgesamt 19 Tieren konstant bleiben.
(1)  Zeige, dass in dem neuen Modell eine stationäre Verteilung mit mehr als 10 Welpen nicht vorkommen kann.
(8P)
(2)  Ermittle die Einträge $g$ und $h$ in der Matrix $C$ so, dass sich eine stationäre Verteilung mit 5 Welpen und 14 Fähen ergibt.
(3P)
(3)  Mit den Werten aus (2) ist $C=\begin{pmatrix}0&\frac{5}{14}\\0,8&\frac{5}{7}\end{pmatrix}$. Ein Taschenrechner liefert z. B.
$C^{17}=\begin{pmatrix}0,2222222218&0,2777777779\\0,6222222226&0,7777777777\end{pmatrix}$.
Die Potenzen $C^n$ der Matrix $C$ streben mit wachsendem $n$ gegen eine Matrix $G$.
Ermitteln Sie die exakten Werte der Einträge von $G$ aus den Ansätzen
$G\cdot C =G$ und $G\cdot \begin{pmatrix}5\\14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\14\end{pmatrix}$.
(7P)
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Wert für $b$ begründen
Du sollst hier anhand der Tabelle begründen, warum für den Eintrag $b$ der Matrix $A$ $b = 0,4$ gilt. Beachte dabei, dass $A$ eine Übergangsmatrix ist. Der Eintrag der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte einer Übergangsmatrix gibt die Übergangsrate von Altersgruppe $j$ in Altersgruppe $i$ an. Überlege also, welche Bedeutung der Parameter $b$ hat und ziehe anschließend Rückschlüsse auf die Tabelle.
a) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix interpretieren
In der Matrix $A$ kommen noch 4 weitere von Null verschiedene Elemente vor. Diese sollst du im Sachzusammenhang interpretieren. Nutze dazu, wie oben, die allgemeine Bedeutung der Übergangsmatrix und die Erklärungen zum Sachzusammenhang im Einleitungstext.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Verteilung für das nächste Jahr berechnen
Der Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_i$, der die Verteilung der Population im $i$-ten Entwicklungsschritt beschreibt, lässt sich allgemein über folgende Formel berechnen:
$\overrightarrow{v}_i = M \cdot \overrightarrow{v}_{i-1} = M^{i}\cdot \overrightarrow{v}_0$
Dabei ist $M$ die betrachtete Übergangsmatrix.
Im vorliegenden Fall, findet pro Jahr ein Entwicklungsschritt statt. Das bedeutet, du kannst die gesuchte Verteilung für das Jahr 2015 mit Hilfe der Verteilung für 2014 berechnen. Diese kannst du aus der Tabelle ablesen.
b) (2)
$\blacktriangleright$ Verteilung vom Vorjahr berechnen
In dieser Aufgabe sollst du nun eine vorherige Verteilung berechnen, anstatt einer zukünftigen. Dazu kannst du dieselbe Gleichung verwenden. Setze diesmal $\overrightarrow{v}_{2013}$ ein und löse das dabei entstehende lineare Gleichungssystem für $\overrightarrow{v}_{2012}= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$. $\overrightarrow{v}_{2013}$ kannst du aus der Tabelle ablesen: $\overrightarrow{v}_{2013} = \begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}$
b) (3)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Um die Behauptung des Biologen zu überprüfen, berechne den Prozentsatz der Welpen, die ein Alter von mindestens drei Jahren erreichen mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Einträge im Sachzusammenhang vergleichen
Im Aufgabenteil a) hast du bereits die Einträge der Matrix $A$ im Sachzusammenhang beschrieben. Diese Bedeutungen treffen auch auf die Einträge der Matrix $B$ zu, vergleiche also die Überlebens- und Geburtenraten.
c) (2)
$\blacktriangleright$ Existenz einer stationären Verteilung zeigen
Du sollst zeigen, dass nur für $d =0,5 -0,4c$ eine stationäre Verteilung ungleich dem Nullvektor existiert, das heißt, eine Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} $, die folgende Gleichung erfüllt:
$B\cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle das aus dieser Gleichung resultierende lineare Gleichungssystem auf. Um dieses zu lösen, setze eine der drei Unbekannten $s_1$,$s_2$ oder $s_3$ gleich $t$ und stelle die übrigen beiden in Abhängigkeit von $t$ dar. Anschließend kannst du erkennen für welche Werte von $d$ Lösungen existieren, sodass nicht $s_1 = s_2 =s_3 =0$ gilt.
c) (3)
$\blacktriangleright$ Kleinstmögliche Gesamtpopulation ermitteln
Gesucht ist hier die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung, die aus natürlichen Zahlen besteht. Natürliche Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen, also $1$,$2$, $3$,… also solche, die zum zählen verwendet werden.
Im vorherigen Aufgabenteil hast du berechnet, dass für jedes $t \in \mathbb{R}, t \neq 0$ eine stationäre Verteilung durch $\overrightarrow{s}_t = \begin{pmatrix} t \\ 0,8t\\ 2t\end{pmatrix}$ gegeben ist.
Damit also alle drei Einträge natürliche Zahlen sind, muss insbesondere $t$ eine natürliche Zahl sein. Zu beachten ist dann noch, dass $t$ die kleinste natürliche Zahl $\neq 0$ ist, sodass $0,8 \cdot t$ eine natürliche Zahl ist. Um dieses zu finden, schreibe die Kommazahl in einen Bruch um und überlege dir für welche Faktoren der Bruch verschwindet.
d)(1)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Welpen nachweisen
Hier sollst du nun zeigen, dass in dem neuen Modell mit der Übergangsmatrix $C$ und einer konstanten Gesamtpopulation von $19$ Tieren, keine stationäre Verteilung mit mehr als $10$ Welpen möglich ist.
Stelle dazu wieder das Gleichungssystem auf, dass sich mit einer stationären Verteilung $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}$ mit $w_1 +w_2 =19$ ergibt und nutze dann die Beschränkungen für $h$ und $g$, um eine Abschätzung für $w_1$ zu erhalten.
d) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix $C$ bestimmen
Betrachte auch hier das Gleichungssystem, das sich aus der stationären Verteilung mit $5$ Welpen und $14$ Fähen ergibt und bestimme anhand dessen die Unbekannten $g$ und $h$.
d) (3)
$\blacktriangleright$ Einträge von $G$ berechnen
Die Einträge der Matrix $G$ sollen über die folgenden Ansätze bestimmt werden:
$G\cdot C = G$ und $G\cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$
Dabei ist $G =\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
Stelle also nun alle Gleichungen auf, die sich aus den beiden Ansätzen ergeben und löse die sich daraus ergebenden linearen Gleichungssysteme.
a)(1)
$\blacktriangleright$ Wert für $b$ begründen
Du sollst hier anhand der Tabelle begründen, warum für den Eintrag $b$ der Matrix $A$ $b = 0,4$ gilt. Beachte dabei, dass $A$ eine Übergangsmatrix ist. Der Eintrag der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte einer Übergangsmatrix gibt die Übergangsrate von Altersgruppe $j$ in Altersgruppe $i$ an. Überlege also, welche Bedeutung der Parameter $b$ hat und ziehe anschließend Rückschlüsse auf die Tabelle.
a) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix interpretieren
In der Matrix $A$ kommen noch 4 weitere von Null verschiedene Elemente vor. Diese sollst du im Sachzusammenhang interpretieren. Nutze dazu, wie oben, die allgemeine Bedeutung der Übergangsmatrix und die Erklärungen zum Sachzusammenhang im Einleitungstext.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Verteilung für das nächste Jahr berechnen
Der Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_i$, der die Verteilung der Population im $i$-ten Entwicklungsschritt beschreibt, lässt sich allgemein über folgende Formel berechnen:
$\overrightarrow{v}_i = M \cdot \overrightarrow{v}_{i-1} = M^{i}\cdot \overrightarrow{v}_0$
Dabei ist $M$ die betrachtete Übergangsmatrix.
Im vorliegenden Fall, findet pro Jahr ein Entwicklungsschritt statt. Das bedeutet, du kannst die gesuchte Verteilung für das Jahr 2015 mit Hilfe der Verteilung für 2014 berechnen. Diese kannst du aus der Tabelle ablesen.
b) (2)
$\blacktriangleright$ Verteilung vom Vorjahr berechnen
In dieser Aufgabe sollst du nun eine vorherige Verteilung berechnen, anstatt einer zukünftigen. Dazu kannst du dieselbe Gleichung verwenden. Setze diesmal $\overrightarrow{v}_{2013}$ ein und löse das dabei entstehende lineare Gleichungssystem für $\overrightarrow{v}_{2012}= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$. $\overrightarrow{v}_{2013}$ kannst du aus der Tabelle ablesen: $\overrightarrow{v}_{2013} = \begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}$
b) (3)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Um die Behauptung des Biologen zu überprüfen, berechne den Prozentsatz der Welpen, die ein Alter von mindestens drei Jahren erreichen mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Einträge im Sachzusammenhang vergleichen
Im Aufgabenteil a) hast du bereits die Einträge der Matrix $A$ im Sachzusammenhang beschrieben. Diese Bedeutungen treffen auch auf die Einträge der Matrix $B$ zu, vergleiche also die Überlebens- und Geburtenraten.
c) (2)
$\blacktriangleright$ Existenz einer stationären Verteilung zeigen
Du sollst zeigen, dass nur für $d =0,5 -0,4c$ eine stationäre Verteilung ungleich dem Nullvektor existiert, das heißt, eine Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} $, die folgende Gleichung erfüllt:
$B\cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle das aus dieser Gleichung resultierende lineare Gleichungssystem auf. Um dieses zu lösen, setze eine der drei Unbekannten $s_1$,$s_2$ oder $s_3$ gleich $t$ und stelle die übrigen beiden in Abhängigkeit von $t$ dar. Anschließend kannst du erkennen für welche Werte von $d$ Lösungen existieren, sodass nicht $s_1 = s_2 =s_3 =0$ gilt.
c) (3)
$\blacktriangleright$ Kleinstmögliche Gesamtpopulation ermitteln
Gesucht ist hier die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung, die aus natürlichen Zahlen besteht. Natürliche Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen, also $1$,$2$, $3$,… also solche, die zum zählen verwendet werden.
Im vorherigen Aufgabenteil hast du berechnet, dass für jedes $t \in \mathbb{R}, t \neq 0$ eine stationäre Verteilung durch $\overrightarrow{s}_t = \begin{pmatrix} t \\ 0,8t\\ 2t\end{pmatrix}$ gegeben ist.
Damit also alle drei Einträge natürliche Zahlen sind, muss insbesondere $t$ eine natürliche Zahl sein. Zu beachten ist dann noch, dass $t$ die kleinste natürliche Zahl $\neq 0$ ist, sodass $0,8 \cdot t$ eine natürliche Zahl ist. Um dieses zu finden, schreibe die Kommazahl in einen Bruch um und überlege dir für welche Faktoren der Bruch verschwindet.
d)(1)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Welpen nachweisen
Hier sollst du nun zeigen, dass in dem neuen Modell mit der Übergangsmatrix $C$ und einer konstanten Gesamtpopulation von $19$ Tieren, keine stationäre Verteilung mit mehr als $10$ Welpen möglich ist.
Stelle dazu wieder das Gleichungssystem auf, dass sich mit einer stationären Verteilung $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}$ mit $w_1 +w_2 =19$ ergibt und nutze dann die Beschränkungen für $h$ und $g$, um eine Abschätzung für $w_1$ zu erhalten.
d) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix $C$ bestimmen
Betrachte auch hier das Gleichungssystem, das sich aus der stationären Verteilung mit $5$ Welpen und $14$ Fähen ergibt und bestimme anhand dessen die Unbekannten $g$ und $h$.
d) (3)
$\blacktriangleright$ Einträge von $G$ berechnen
Die Einträge der Matrix $G$ sollen über die folgenden Ansätze bestimmt werden:
$G\cdot C = G$ und $G\cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$
Dabei ist $G =\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
Stelle also nun alle Gleichungen auf, die sich aus den beiden Ansätzen ergeben und löse die sich daraus ergebenden linearen Gleichungssysteme.
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Wert für $b$ begründen
Du sollst hier anhand der Tabelle begründen, warum für den Eintrag $b$ der Matrix $A$ $b = 0,4$ gilt. Beachte dabei, dass $A$ eine Übergangsmatrix ist. Der Eintrag der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte einer Übergangsmatrix gibt die Übergangsrate von Altersgruppe $j$ in Altersgruppe $i$ an. Überlege also, welche Bedeutung der Parameter $b$ hat und ziehe anschließend Rückschlüsse auf die Tabelle.
Die Variable $b$ steht in der Spalte $w$ und in Zeile $j$. Sie steht demnach für die Übergangsrate von $w$ nach $j$, gibt also an, wie viele der Welpen sich nach einem Jahr zu jungen Fähen entwickeln. Da innerhalb dieses Jahres auch alle zuvor vorhandenen jungen Fähen ausgewachsen sind, sind alle jungen Fähen, die im Jahr 2014 vorhanden sind im Jahr 2013 Welpen gewesen. Die Übergangsrate von $w$ nach $j$ ergibt sich also aus dem relativen Anteil der Welpen, die überleben:
$b = \dfrac{j_{2014}}{w_{2013}} = \dfrac{26}{65} = 0,4\qquad$ Aufgabe 4
Insgesamt ergibt sich also folgende Begründung:
Da $b$ die Übergangsrate der Welpen in die nächste Entwicklungsstufe der jungen Fähen angibt, und auch nur solche Tiere junge Fähen sind, die im Jahr zuvor Welpen waren, ergibt sich die Übergangsrate durch das Verhältnis der Anzahl an jungen Fähen im Jahr 2014 zur Anzahl der Welpen im Jahr 2013: $b = \dfrac{j_{2014}}{w_{2013}} = \dfrac{26}{65} = 0,4$
a) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix interpretieren
In der Matrix $A$ kommen noch 4 weitere von Null verschiedene Elemente vor. Diese sollst du im Sachzusammenhang interpretieren. Nutze dazu, wie oben, die allgemeine Bedeutung der Übergangsmatrix und die Erklärungen zum Sachzusammenhang im Einleitungstext.
Eintrag $a_{1,2} = 1,5$
Der Eintrag $a_{1,2} = 1,5$ gibt die Übergangsquote von $j$ nach $w$ an. Da sich ein Wolf natürlich nicht rückwärts entwickeln kann, bedeutet dies im Sachzusammenhang, dass jede junge Fähe im Schnitt $1,5$ Welpen gebährt.
Eintrag $a_{3,2} = 0,5$
Der Eintrag $a_{3,2} = 0,5$ gibt die Übergangsrate von $j$ nach $a$ an. Das bedeutet, dass sich die Hälfte aller jungen Fähen im nächsten Jahr zu ausgewachsenen Fähen entwickeln. Da Fähen laut Aufgabenstellung nicht zwei Jahre hintereinander jung sein können, gibt diese Übergangsquote die Überlebensrate der jungen Fähen an. Insgesamt bedeutet dies, dass nach einem Jahr die Hälfte aller jungen Fähen überlebt hat und damit ausgewachsen ist.
Eintrag $a_{1,3} = 2$
Analog zum ersten Eintrag in der zweiten Spalte, gibt der erste Eintrag der dritten Spalte die Anzahl der Welpen an, die jede ausgewachsene Fähe im Schnitt pro Jahr bekommt.
Eintrag $a_{3,3} = 2$
Dieser Eintrag gibt die Übergangsquote von ausgewachsener Fähe zu ausgewachsener Fähe an. Dies entspricht der Überlebensrate der ausgewachsenen Fähen.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Verteilung für das nächste Jahr berechnen
Der Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_i$, der die Verteilung der Population im $i$-ten Entwicklungsschritt beschreibt, lässt sich allgemein über folgende Formel berechnen:
$\overrightarrow{v}_i = M \cdot \overrightarrow{v}_{i-1} = M^{i}\cdot \overrightarrow{v}_0$
Dabei ist $M$ die betrachtete Übergangsmatrix.
Im vorliegenden Fall, findet pro Jahr ein Entwicklungsschritt statt. Das bedeutet, du kannst die gesuchte Verteilung für das Jahr 2015 mit Hilfe der Verteilung für 2014 berechnen. Diese kannst du aus der Tabelle ablesen.
Du kannst hier dein CAS verwenden. Den Befehl für Matrizen und Vektoren findest du unter
menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ 1: Erstellen $\rightarrow$ 1: Matrix
Definiere den Verteilungsvektor und die Übergangsmatrix. Dann ergibt sich insgesamt:
$\overrightarrow{v}_{2014} = \begin{pmatrix}52\\26\\16\end{pmatrix}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_{2015}&=&A \cdot \overrightarrow{v}_{2014} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0&1,5&2\\ 0,4&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}52\\26\\16\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}71\\20,8\\22,6\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Im Jahr 2015 ist eine Verteilung mit $71$ Welpen, 20,8 bzw. ca. 21 jungen Fähen und 22,6 bzw. ca. 23 ausgewachsenen Fähen zu erwarten.
b) (2)
$\blacktriangleright$ Verteilung vom Vorjahr berechnen
In dieser Aufgabe sollst du nun eine vorherige Verteilung berechnen, anstatt einer zukünftigen. Dazu kannst du dieselbe Gleichung verwenden. Setze diesmal $\overrightarrow{v}_{2013}$ ein und löse das dabei entstehende lineare Gleichungssystem für $\overrightarrow{v}_{2012}= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$. $\overrightarrow{v}_{2013}$ kannst du aus der Tabelle ablesen: $\overrightarrow{v}_{2013} = \begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_{2013}&=&A\cdot \overrightarrow{v}_{2012} \quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0&1,5&2\\ 0,4&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{array}$
$\Leftrightarrow\begin{array}{} \text{I}\quad&65&=& 0x& +&1,5y&+&2z \quad \\ \text{II}\quad&8&=&0,4x&+&0y&+&0z\quad\\ \text{III}\quad&20&=&0x&+&0,5y&+& 0,6z\quad\\ \end{array}$
Verwende den solve-Befehl deines CAS:
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Damit gilt nun $\overrightarrow{v}_{2012} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\\10\\25\end{pmatrix}$
Nach dem Modell hätte im Jahr 2012 eine Verteilung mit $20$ Welpen, $10$ jungen Fähen und $25$ ausgewachsenen Fähen vorgelegen.
b) (3)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Um die Behauptung des Biologen zu überprüfen, berechne den Prozentsatz der Welpen, die ein Alter von mindestens drei Jahren erreichen mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel.
Im Aufgabenteil a) hast du gesehen, dass der Anteil der Welpen, die ein Alter von 1 Jahr erreichen, also zu einer jungen Fähe heranwachsen, $a_{2,1}=0,4$ beträgt.
Analog dazu, beträgt der Anteil der jungen Fähen, die ein Alter von $2$ Jahren erreichen, also zu ausgewachsenen Fähen heranwachsen, $0,5$, also $50\,\%$ und der Anteil der ausgewachsenen Fähen, die das nächste Lebensjahr erreichen beträgt $0,6 = 60\,\%$.
Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich dementsprechend folgender Prozentsatz:
$p = 0,4\cdot 0,5\cdot 0,6 = 0,12 = 12\,\%$.
Nach dem angegebenen Modell mit der Matrix A erreichen durchschnittlich $12\,\%$ aller Welpen mindestens ein Alter von $3$ Jahren. Die Behauptung des Biologen trifft nach diesem Modell also zu.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Einträge im Sachzusammenhang vergleichen
Im Aufgabenteil a) hast du bereits die Einträge der Matrix $A$ im Sachzusammenhang beschrieben. Diese Bedeutungen treffen auch auf die Einträge der Matrix $B$ zu, vergleiche also die Überlebens- und Geburtenraten:
Eintrag $b_{3,1} = 0$
Der erste Eintrag der dritten Zeile ist identisch. Denn auch hier können Welpen in einem Zeitschritt nicht direkt zu ausgewachsenen Fähen werden.
Eintrag $b_{3,2} = 0,75$
Die Überlebensrate der jungen Fähen in dem Tierpark ist mit $0,75 = 75\,\%$ deutlich höher als die der jungen Fähen in freier Wildbahn mit $50\,\%$.
Eintrag $b_{3,3} = 0,7$
Auch die Überlebensrate der ausgewachsenen Fähen ist im Tierpark mit $0,7 = 70\,\%$ höher als in freier Wildbahn mit $60\,\%$.
c) (2)
$\blacktriangleright$ Existenz einer stationären Verteilung zeigen
Du sollst zeigen, dass nur für $d =0,5 -0,4c$ eine stationäre Verteilung ungleich dem Nullvektor existiert, das heißt, eine Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} $, die folgende Gleichung erfüllt:
$B\cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle das aus dieser Gleichung resultierende lineare Gleichungssystem auf. Um dieses zu lösen, setze eine der drei Unbekannten $s_1$,$s_2$ oder $s_3$ gleich $t$ und stelle die übrigen beiden in Abhängigkeit von $t$ dar. Anschließend kannst du erkennen für welche Werte von $d$ Lösungen existieren, sodass nicht $s_1 = s_2 =s_3 =0$ gilt.
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{pmatrix}0&c&d\\0,8&0&0\\0&0,75&0,7\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} $ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&s_1&=&0\cdot s_1&+&c\cdot s_2&+&d\cdot s_3&\quad\\ \text{II}\quad&s_2&=&0,8\cdot s_1&+&0\cdot s_2&+&0\cdot s_3&\quad\\ \text{III}\quad&s_3&=&0\cdot s_1&+&0,75\cdot s_2&+&0,7\cdot s_3&\quad\\ \end{array}$
Aus $\text{II}$ weißt du $s_2 = 0,8\cdot s_1$, setze also beispielsweise $s_1 = t$. Dann gilt $s_2 = 0,8\cdot t$. Eingesetzt in $\text{III}$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} s_3&=&0,75\cdot s_2 + 0,7\cdot s_3 \quad & \scriptsize s_2 = 0,8\cdot t \\[5pt] s_3&=&0,75\cdot 0,8 \cdot t +0,7\cdot s_3 \quad &\scriptsize \mid\;-0,7\cdot s_3 \\[5pt] 0,3\cdot s_3&=& 0,6\cdot t\quad &\scriptsize \mid\; :0,3 \\[5pt] s_3&=&2\cdot t \end{array}$
Setzt du diese Darstellungen für $s_1$,$s_2$ und $s_3$ nun in $\text{I}$ ein so erhältst du folgende Gleichung, die du nach $d$ lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} s_1&=& c\cdot s_2 + d\cdot s_3 \quad &\scriptsize s_1 = t, s_2 = 0,8t , s_3 = 2t \\[5pt] t&=&0,8\cdot c\cdot t+d\cdot 2t \quad \\[5pt] t&=&(0,8c+d\cdot 2)\cdot t \quad &\scriptsize \mid\; :t \neq 0 \\[5pt] 1&=&0,8c+d\cdot 2 \quad &\scriptsize \mid\; -0,8c\\[5pt] 1-0,8c&=&d\cdot 2 \quad &\scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 0,5-0,4c&=&d \end{array}$
Die Gleichung $\text{I}$ ist für $t =0$ und beliebiges $d$ oder auch für $ d = 0,5-0,4c$ und beliebiges $t$ erfüllt. $t =0$ kommt allerdings als Lösung nicht in Frage, da dann $s_1 = s_2 =s_3 =0$ gelten würde und diese Verteilung bereits in der Aufgabenstellung ausgeschlossen wurde.
Insgesamt lautet die gesuchte Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix} t \\ 0,8t\\ 2t\end{pmatrix}$ mit $t \neq 0, t \in \mathbb{R}$. Diese existiert nur für $d =0,5-0,4c$.
c) (3)
$\blacktriangleright$ Kleinstmögliche Gesamtpopulation ermitteln
Gesucht ist hier die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung, die aus natürlichen Zahlen besteht. Natürliche Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen, also $1$,$2$, $3$,… also solche, die zum zählen verwendet werden.
Im vorherigen Aufgabenteil hast du berechnet, dass für jedes $t \in \mathbb{R}, t \neq 0$ eine stationäre Verteilung durch $\overrightarrow{s}_t = \begin{pmatrix} t \\ 0,8t\\ 2t\end{pmatrix}$ gegeben ist.
Damit also alle drei Einträge natürliche Zahlen sind, muss insbesondere $t$ eine natürliche Zahl sein. Zu beachten ist dann noch, dass $t$ die kleinste natürliche Zahl $\neq 0$ ist, sodass $0,8 \cdot t$ eine natürliche Zahl ist. Um dieses zu finden, schreibe die Kommazahl in einen Bruch um und überlege dir für welche Faktoren der Bruch verschwindet.
$0,8 t = \frac{4}{5}\cdot t$
Du kannst sehen, dass $t$ mindestens $5$ oder ein größeres Vielfaches von $5$ sein muss um den Bruch kürzen zu können. Daraus folgt, dass die kleinste Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung für $t =5$ gegeben ist:
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4\\ 10\end{pmatrix}$
Die kleinste Gesamtpopulation besteht dann aus $5+4+10 = 19 $ Individuen.
Die stationäre Verteilung mit der kleinstmöglichen Gesamtpopulation mit natürlichen Zahlen, ist gegeben durch $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4\\ 10\end{pmatrix}$, also mit insgesamt $19$ Individuen.
d)(1)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Welpen nachweisen
Hier sollst du nun zeigen, dass in dem neuen Modell mit der Übergangsmatrix $C$ und einer konstanten Gesamtpopulation von $19$ Tieren, keine stationäre Verteilung mit mehr als $10$ Welpen möglich ist.
Stelle dazu wieder das Gleichungssystem auf, dass sich mit einer stationären Verteilung $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}$ mit $w_1 +w_2 =19$ ergibt und nutze dann die Beschränkungen für $h$ und $g$, um eine Abschätzung für $w_1$ zu erhalten.
$\begin{pmatrix}0& g\\0,8 & h \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&19&=&w_1&+&w_2&\quad \\ \text{II}\quad&w_1&=&0\cdot w_1&+&g\cdot w_2&\quad\\ \text{III}\quad&w_2&=&0,8\cdot w_1&+&h\cdot w_2&\quad\\ \end{array}$
Formst du nun die dritte Gleichung nach $w_1$ um, so erhältst du folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} 0,8\cdot w_1 + h\cdot w_2 &=& w_2\quad &\scriptsize \mid\; -h\cdot w_2 \\[5pt] 0,8 \cdot w_1&=&(1-h)\cdot w_2 \quad &\scriptsize \mid\; :0,8 \\[5pt] w_1&=&\dfrac{1-h}{0,8}\cdot w_2 \quad &\scriptsize 0\leq h\\[5pt] &\leq& \dfrac{1-0}{0,8}\cdot w_2\quad \\[5pt] &=&1,25\cdot w_2 \end{array}$
Setzt du diese Abschätzung nun in die Gleichung $w_1 +w_2 =19$ ein, so erhältst du folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} 19 &=& w_1 +w_2 \\[5pt] 19 &\leq&1,25\cdot w_2 +w_2 \\[5pt] 19 &\leq& 2,25\cdot w_2 \quad &\scriptsize \mid\; : 2,25\\[5pt] 8,45&\leq& w_2 \\[5pt] 9&\leq& w_2 \\[5pt] \end{array}$
Da mindestens $9$ Fähen vorhanden sein müssen, dürfen damit auch nur höchstens 10 Welpen vorhanden sein.
d) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix $C$ bestimmen
Betrachte auch hier das Gleichungssystem, das sich aus der stationären Verteilung mit $5$ Welpen und $14$ Fähen ergibt und bestimme anhand dessen die Unbekannten $g$ und $h$:
$\begin{pmatrix}0& g\\0,8 & h \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&5&=&0\cdot 5&+&g\cdot 14&\quad \\ \text{II}\quad&14&=&0,8\cdot 5&+&h\cdot 14&\quad\\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung erhältst du dann:
$\begin{array}[t]{rll} 5 &=& g\cdot 14 \quad &\scriptsize \mid\; : 14\\[5pt] \frac{5}{14} &=& g \\[5pt] \end{array}$
Aus der zweiten Gleichung dementsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} 14 &=& 0,8 \cdot 5 + h\cdot 14 \quad \scriptsize &\mid\; -4\\[5pt] 10 &=& h\cdot 14 \quad \scriptsize &\mid\; :14\\[5pt] \frac{5}{7} &=& h \end{array}$
Eine stationäre Verteilung mit $5$ Welpen und $14$ Fähen ergibt sich für $g =\frac{5}{14}$ und $h=\frac{5}{7}$.
d) (3)
$\blacktriangleright$ Einträge von $G$ berechnen
Die Einträge der Matrix $G$ sollen über die folgenden Ansätze bestimmt werden:
$G\cdot C = G$ und $G\cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$
Dabei ist $G =\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
Stelle also nun alle Gleichungen auf, die sich aus den beiden Ansätzen ergeben und löse die sich daraus ergebenden linearen Gleichungssysteme.
$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & \frac{5}{14} \\ 0,8 & \frac{5}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&a&=&0\cdot a&+&0,8\cdot b&\\ \text{II}\quad&b&=& \frac{5}{14}\cdot a&+&\frac{5}{7} \cdot b&\quad\\ \text{III}\quad&c&=&0\cdot c&+&0,8 \cdot d&\quad\\ \text{IV}\quad&d&=&\frac{5}{14}\cdot c&+&\frac{5}{7} \cdot d&\quad\\ \end{array}$
$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{V}\quad&5&=&5\cdot a&+&14\cdot b&\quad \\ \text{VI}\quad&14&=&5\cdot c&+&14\cdot d\quad\\ \end{array}$
Du kannst erkennen, dass es nur Gleichungen gibt, in denen jeweils entweder $a$ und $b$ oder $c$ und $d$ vorkommen. Du kannst die Gleichungen also so aufteilen, dass du zwei Gleichungssysteme mit jeweils drei Gleichungen erhältst:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a&=&0\cdot a&+&0,8\cdot b&\\ \text{II}\quad&b&=& \frac{5}{14}\cdot a&+&\frac{5}{7} \cdot b&\quad\\ \text{V}\quad&5&=&5\cdot a&+&14\cdot b&\quad \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{III}\quad&c&=&0\cdot c&+&0,8 \cdot d&\quad\\ \text{IV}\quad&d&=&\frac{5}{14}\cdot c&+&\frac{5}{7} \cdot d&\quad\\ \text{VI}\quad&14&=&5\cdot c&+&14\cdot d\quad\\ \end{array}$
Betrachte zunächst das Gleichungssystem mit $a$ und $b$. Die erste Gleichung stellt direkt $a$ in Abhängigkeit von $b$ dar. Setzt du diese in $\text{V}$ ein, so kannst du daraus eine Lösung für $b$ berechnen und diese Lösung wiederum in $\text{I}$ einsetzen um $a$ zu berechnen. Anschließend musst du die Lösungen noch zur Probe in $\text{II}$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{V}\quad 5&=&5\cdot a +14\cdot b \quad \scriptsize a = 0,8\cdot b \\[5pt] 5&=&5\cdot 0,8\cdot b +14\cdot b \\[5pt] 5&=&18\cdot b \quad \scriptsize \mid\; :18\\[5pt] \frac{5}{18}&=&b \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{I }\quad a&=& 0,8\cdot b \\[5pt] &=& 0,8\cdot \frac{5}{18} \\[5pt] &=&\frac{2}{9}\\[5pt] \end{array}$
Probe:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II }\quad b&=& \frac{5}{14}\cdot a + \frac{5}{7} \cdot b \\[5pt] \frac{5}{18}&=& \frac{5}{14}\cdot \frac{2}{9} + \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{18} \\[5pt] \frac{5}{18}&=&\frac{5}{18} \end{array}$ Aufgabe 4
Betrachte nun das zweite Gleichungssystem mit $c$ und $d$. Hier kannst du analog vorgehen, setze also $\text{III}$ in $ \text{VI}$ ein und löse nach $d$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{VI }\quad 14&=&5\cdot c+ 14 \cdot d \\[5pt] 14&=& 5\cdot 0,8\cdot d + 14 \cdot d \\[5pt] 14&=&18\cdot d\quad \scriptsize \mid\; : 18\\[5pt] \frac{7}{9}&=& d \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{III }\quad c&=&0,8 \cdot d \quad \scriptsize d = \frac{7}{9}\\[5pt] &=&0,8\cdot \frac{7}{9}\\[5pt] &=&\frac{28}{45}\\[5pt] \end{array}$
Probe:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IV }\quad d&=&\frac{5}{14} \cdot c +\frac{5}{7} \cdot d\quad \scriptsize d = \frac{7}{9}, c =\frac{28}{45}\\[5pt] \frac{7}{9}&=&\frac{5}{14} \cdot \frac{28}{45} +\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{9}\\[5pt] \frac{7}{9}&=&\frac{7}{9} \end{array}$ Aufgabe 4
Damit lauten die exakten Einträge von $G$ wie folgt:
$G = \begin{pmatrix}\frac{2}{9} & \frac{5}{18} \\ \frac{28}{45} & \frac{7}{9} \end{pmatrix}$
a)(1)
$\blacktriangleright$ Wert für $b$ begründen
Du sollst hier anhand der Tabelle begründen, warum für den Eintrag $b$ der Matrix $A$ $b = 0,4$ gilt. Beachte dabei, dass $A$ eine Übergangsmatrix ist. Der Eintrag der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte einer Übergangsmatrix gibt die Übergangsrate von Altersgruppe $j$ in Altersgruppe $i$ an. Überlege also, welche Bedeutung der Parameter $b$ hat und ziehe anschließend Rückschlüsse auf die Tabelle.
Die Variable $b$ steht in der Spalte $w$ und in Zeile $j$. Sie steht demnach für die Übergangsrate von $w$ nach $j$, gibt also an, wie viele der Welpen sich nach einem Jahr zu jungen Fähen entwickeln. Da innerhalb dieses Jahres auch alle zuvor vorhandenen jungen Fähen ausgewachsen sind, sind alle jungen Fähen, die im Jahr 2014 vorhanden sind im Jahr 2013 Welpen gewesen. Die Übergangsrate von $w$ nach $j$ ergibt sich also aus dem relativen Anteil der Welpen, die überleben:
$b = \dfrac{j_{2014}}{w_{2013}} = \dfrac{26}{65} = 0,4\qquad$ Aufgabe 4
Insgesamt ergibt sich also folgende Begründung:
Da $b$ die Übergangsrate der Welpen in die nächste Entwicklungsstufe der jungen Fähen angibt, und auch nur solche Tiere junge Fähen sind, die im Jahr zuvor Welpen waren, ergibt sich die Übergangsrate durch das Verhältnis der Anzahl an jungen Fähen im Jahr 2014 zur Anzahl der Welpen im Jahr 2013: $b = \dfrac{j_{2014}}{w_{2013}} = \dfrac{26}{65} = 0,4$
a) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix interpretieren
In der Matrix $A$ kommen noch 4 weitere von Null verschiedene Elemente vor. Diese sollst du im Sachzusammenhang interpretieren. Nutze dazu, wie oben, die allgemeine Bedeutung der Übergangsmatrix und die Erklärungen zum Sachzusammenhang im Einleitungstext.
Eintrag $a_{1,2} = 1,5$
Der Eintrag $a_{1,2} = 1,5$ gibt die Übergangsquote von $j$ nach $w$ an. Da sich ein Wolf natürlich nicht rückwärts entwickeln kann, bedeutet dies im Sachzusammenhang, dass jede junge Fähe im Schnitt $1,5$ Welpen gebährt.
Eintrag $a_{3,2} = 0,5$
Der Eintrag $a_{3,2} = 0,5$ gibt die Übergangsrate von $j$ nach $a$ an. Das bedeutet, dass sich die Hälfte aller jungen Fähen im nächsten Jahr zu ausgewachsenen Fähen entwickeln. Da Fähen laut Aufgabenstellung nicht zwei Jahre hintereinander jung sein können, gibt diese Übergangsquote die Überlebensrate der jungen Fähen an. Insgesamt bedeutet dies, dass nach einem Jahr die Hälfte aller jungen Fähen überlebt hat und damit ausgewachsen ist.
Eintrag $a_{1,3} = 2$
Analog zum ersten Eintrag in der zweiten Spalte, gibt der erste Eintrag der dritten Spalte die Anzahl der Welpen an, die jede ausgewachsene Fähe im Schnitt pro Jahr bekommt.
Eintrag $a_{3,3} = 2$
Dieser Eintrag gibt die Übergangsquote von ausgewachsener Fähe zu ausgewachsener Fähe an. Dies entspricht der Überlebensrate der ausgewachsenen Fähen.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Verteilung für das nächste Jahr berechnen
Der Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_i$, der die Verteilung der Population im $i$-ten Entwicklungsschritt beschreibt, lässt sich allgemein über folgende Formel berechnen:
$\overrightarrow{v}_i = M \cdot \overrightarrow{v}_{i-1} = M^{i}\cdot \overrightarrow{v}_0$
Dabei ist $M$ die betrachtete Übergangsmatrix.
Im vorliegenden Fall, findet pro Jahr ein Entwicklungsschritt statt. Das bedeutet, du kannst die gesuchte Verteilung für das Jahr 2015 mit Hilfe der Verteilung für 2014 berechnen. Diese kannst du aus der Tabelle ablesen.
Du kannst hier dein CAS verwenden. Den Befehl für Matrizen und Vektoren findest du unter
menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ 1: Erstellen $\rightarrow$ 1: Matrix
Definiere den Verteilungsvektor und die Übergangsmatrix. Dann ergibt sich insgesamt:
$\overrightarrow{v}_{2014} = \begin{pmatrix}52\\26\\16\end{pmatrix}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_{2015}&=&A \cdot \overrightarrow{v}_{2014} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0&1,5&2\\ 0,4&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}52\\26\\16\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}71\\20,8\\22,6\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Im Jahr 2015 ist eine Verteilung mit $71$ Welpen, 20,8 bzw. ca. 21 jungen Fähen und 22,6 bzw. ca. 23 ausgewachsenen Fähen zu erwarten.
b) (2)
$\blacktriangleright$ Verteilung vom Vorjahr berechnen
In dieser Aufgabe sollst du nun eine vorherige Verteilung berechnen, anstatt einer zukünftigen. Dazu kannst du dieselbe Gleichung verwenden. Setze diesmal $\overrightarrow{v}_{2013}$ ein und löse das dabei entstehende lineare Gleichungssystem für $\overrightarrow{v}_{2012}= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$. $\overrightarrow{v}_{2013}$ kannst du aus der Tabelle ablesen: $\overrightarrow{v}_{2013} = \begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_{2013}&=&A\cdot \overrightarrow{v}_{2012} \quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0&1,5&2\\ 0,4&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{array}$
$\Leftrightarrow\begin{array}{} \text{I}\quad&65&=& 0x& +&1,5y&+&2z \quad \\ \text{II}\quad&8&=&0,4x&+&0y&+&0z\quad\\ \text{III}\quad&20&=&0x&+&0,5y&+& 0,6z\quad\\ \end{array}$
Verwende den solve-Befehl deines CAS:
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Damit gilt nun $\overrightarrow{v}_{2012} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\\10\\25\end{pmatrix}$
Nach dem Modell hätte im Jahr 2012 eine Verteilung mit $20$ Welpen, $10$ jungen Fähen und $25$ ausgewachsenen Fähen vorgelegen.
b) (3)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Um die Behauptung des Biologen zu überprüfen, berechne den Prozentsatz der Welpen, die ein Alter von mindestens drei Jahren erreichen mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel.
Im Aufgabenteil a) hast du gesehen, dass der Anteil der Welpen, die ein Alter von 1 Jahr erreichen, also zu einer jungen Fähe heranwachsen, $a_{2,1}=0,4$ beträgt.
Analog dazu, beträgt der Anteil der jungen Fähen, die ein Alter von $2$ Jahren erreichen, also zu ausgewachsenen Fähen heranwachsen, $0,5$, also $50\,\%$ und der Anteil der ausgewachsenen Fähen, die das nächste Lebensjahr erreichen beträgt $0,6 = 60\,\%$.
Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich dementsprechend folgender Prozentsatz:
$p = 0,4\cdot 0,5\cdot 0,6 = 0,12 = 12\,\%$.
Nach dem angegebenen Modell mit der Matrix A erreichen durchschnittlich $12\,\%$ aller Welpen mindestens ein Alter von $3$ Jahren. Die Behauptung des Biologen trifft nach diesem Modell also zu.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Einträge im Sachzusammenhang vergleichen
Im Aufgabenteil a) hast du bereits die Einträge der Matrix $A$ im Sachzusammenhang beschrieben. Diese Bedeutungen treffen auch auf die Einträge der Matrix $B$ zu, vergleiche also die Überlebens- und Geburtenraten:
Eintrag $b_{3,1} = 0$
Der erste Eintrag der dritten Zeile ist identisch. Denn auch hier können Welpen in einem Zeitschritt nicht direkt zu ausgewachsenen Fähen werden.
Eintrag $b_{3,2} = 0,75$
Die Überlebensrate der jungen Fähen in dem Tierpark ist mit $0,75 = 75\,\%$ deutlich höher als die der jungen Fähen in freier Wildbahn mit $50\,\%$.
Eintrag $b_{3,3} = 0,7$
Auch die Überlebensrate der ausgewachsenen Fähen ist im Tierpark mit $0,7 = 70\,\%$ höher als in freier Wildbahn mit $60\,\%$.
c) (2)
$\blacktriangleright$ Existenz einer stationären Verteilung zeigen
Du sollst zeigen, dass nur für $d =0,5 -0,4c$ eine stationäre Verteilung ungleich dem Nullvektor existiert, das heißt, eine Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} $, die folgende Gleichung erfüllt:
$B\cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle das aus dieser Gleichung resultierende lineare Gleichungssystem auf. Um dieses zu lösen, setze eine der drei Unbekannten $s_1$,$s_2$ oder $s_3$ gleich $t$ und stelle die übrigen beiden in Abhängigkeit von $t$ dar. Anschließend kannst du erkennen für welche Werte von $d$ Lösungen existieren, sodass nicht $s_1 = s_2 =s_3 =0$ gilt.
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{pmatrix}0&c&d\\0,8&0&0\\0&0,75&0,7\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} $ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&s_1&=&0\cdot s_1&+&c\cdot s_2&+&d\cdot s_3&\quad\\ \text{II}\quad&s_2&=&0,8\cdot s_1&+&0\cdot s_2&+&0\cdot s_3&\quad\\ \text{III}\quad&s_3&=&0\cdot s_1&+&0,75\cdot s_2&+&0,7\cdot s_3&\quad\\ \end{array}$
Aus $\text{II}$ weißt du $s_2 = 0,8\cdot s_1$, setze also beispielsweise $s_1 = t$. Dann gilt $s_2 = 0,8\cdot t$. Eingesetzt in $\text{III}$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} s_3&=&0,75\cdot s_2 + 0,7\cdot s_3 \quad & \scriptsize s_2 = 0,8\cdot t \\[5pt] s_3&=&0,75\cdot 0,8 \cdot t +0,7\cdot s_3 \quad &\scriptsize \mid\;-0,7\cdot s_3 \\[5pt] 0,3\cdot s_3&=& 0,6\cdot t\quad &\scriptsize \mid\; :0,3 \\[5pt] s_3&=&2\cdot t \end{array}$
Setzt du diese Darstellungen für $s_1$,$s_2$ und $s_3$ nun in $\text{I}$ ein so erhältst du folgende Gleichung, die du nach $d$ lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} s_1&=& c\cdot s_2 + d\cdot s_3 \quad &\scriptsize s_1 = t, s_2 = 0,8t , s_3 = 2t \\[5pt] t&=&0,8\cdot c\cdot t+d\cdot 2t \quad \\[5pt] t&=&(0,8c+d\cdot 2)\cdot t \quad &\scriptsize \mid\; :t \neq 0 \\[5pt] 1&=&0,8c+d\cdot 2 \quad &\scriptsize \mid\; -0,8c\\[5pt] 1-0,8c&=&d\cdot 2 \quad &\scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 0,5-0,4c&=&d \end{array}$
Die Gleichung $\text{I}$ ist für $t =0$ und beliebiges $d$ oder auch für $ d = 0,5-0,4c$ und beliebiges $t$ erfüllt. $t =0$ kommt allerdings als Lösung nicht in Frage, da dann $s_1 = s_2 =s_3 =0$ gelten würde und diese Verteilung bereits in der Aufgabenstellung ausgeschlossen wurde.
Insgesamt lautet die gesuchte Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix} t \\ 0,8t\\ 2t\end{pmatrix}$ mit $t \neq 0, t \in \mathbb{R}$. Diese existiert nur für $d =0,5-0,4c$.
c) (3)
$\blacktriangleright$ Kleinstmögliche Gesamtpopulation ermitteln
Gesucht ist hier die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung, die aus natürlichen Zahlen besteht. Natürliche Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen, also $1$,$2$, $3$,… also solche, die zum zählen verwendet werden.
Im vorherigen Aufgabenteil hast du berechnet, dass für jedes $t \in \mathbb{R}, t \neq 0$ eine stationäre Verteilung durch $\overrightarrow{s}_t = \begin{pmatrix} t \\ 0,8t\\ 2t\end{pmatrix}$ gegeben ist.
Damit also alle drei Einträge natürliche Zahlen sind, muss insbesondere $t$ eine natürliche Zahl sein. Zu beachten ist dann noch, dass $t$ die kleinste natürliche Zahl $\neq 0$ ist, sodass $0,8 \cdot t$ eine natürliche Zahl ist. Um dieses zu finden, schreibe die Kommazahl in einen Bruch um und überlege dir für welche Faktoren der Bruch verschwindet.
$0,8 t = \frac{4}{5}\cdot t$
Du kannst sehen, dass $t$ mindestens $5$ oder ein größeres Vielfaches von $5$ sein muss um den Bruch kürzen zu können. Daraus folgt, dass die kleinste Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung für $t =5$ gegeben ist:
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4\\ 10\end{pmatrix}$
Die kleinste Gesamtpopulation besteht dann aus $5+4+10 = 19 $ Individuen.
Die stationäre Verteilung mit der kleinstmöglichen Gesamtpopulation mit natürlichen Zahlen, ist gegeben durch $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4\\ 10\end{pmatrix}$, also mit insgesamt $19$ Individuen.
d)(1)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Welpen nachweisen
Hier sollst du nun zeigen, dass in dem neuen Modell mit der Übergangsmatrix $C$ und einer konstanten Gesamtpopulation von $19$ Tieren, keine stationäre Verteilung mit mehr als $10$ Welpen möglich ist.
Stelle dazu wieder das Gleichungssystem auf, dass sich mit einer stationären Verteilung $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}$ mit $w_1 +w_2 =19$ ergibt und nutze dann die Beschränkungen für $h$ und $g$, um eine Abschätzung für $w_1$ zu erhalten.
$\begin{pmatrix}0& g\\0,8 & h \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&19&=&w_1&+&w_2&\quad \\ \text{II}\quad&w_1&=&0\cdot w_1&+&g\cdot w_2&\quad\\ \text{III}\quad&w_2&=&0,8\cdot w_1&+&h\cdot w_2&\quad\\ \end{array}$
Formst du nun die dritte Gleichung nach $w_1$ um, so erhältst du folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} 0,8\cdot w_1 + h\cdot w_2 &=& w_2\quad &\scriptsize \mid\; -h\cdot w_2 \\[5pt] 0,8 \cdot w_1&=&(1-h)\cdot w_2 \quad &\scriptsize \mid\; :0,8 \\[5pt] w_1&=&\dfrac{1-h}{0,8}\cdot w_2 \quad &\scriptsize 0\leq h\\[5pt] &\leq& \dfrac{1-0}{0,8}\cdot w_2\quad \\[5pt] &=&1,25\cdot w_2 \end{array}$
Setzt du diese Abschätzung nun in die Gleichung $w_1 +w_2 =19$ ein, so erhältst du folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} 19 &=& w_1 +w_2 \\[5pt] 19 &\leq&1,25\cdot w_2 +w_2 \\[5pt] 19 &\leq& 2,25\cdot w_2 \quad &\scriptsize \mid\; : 2,25\\[5pt] 8,45&\leq& w_2 \\[5pt] 9&\leq& w_2 \\[5pt] \end{array}$
Da mindestens $9$ Fähen vorhanden sein müssen, dürfen damit auch nur höchstens 10 Welpen vorhanden sein.
d) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix $C$ bestimmen
Betrachte auch hier das Gleichungssystem, das sich aus der stationären Verteilung mit $5$ Welpen und $14$ Fähen ergibt und bestimme anhand dessen die Unbekannten $g$ und $h$:
$\begin{pmatrix}0& g\\0,8 & h \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&5&=&0\cdot 5&+&g\cdot 14&\quad \\ \text{II}\quad&14&=&0,8\cdot 5&+&h\cdot 14&\quad\\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung erhältst du dann:
$\begin{array}[t]{rll} 5 &=& g\cdot 14 \quad &\scriptsize \mid\; : 14\\[5pt] \frac{5}{14} &=& g \\[5pt] \end{array}$
Aus der zweiten Gleichung dementsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} 14 &=& 0,8 \cdot 5 + h\cdot 14 \quad \scriptsize &\mid\; -4\\[5pt] 10 &=& h\cdot 14 \quad \scriptsize &\mid\; :14\\[5pt] \frac{5}{7} &=& h \end{array}$
Eine stationäre Verteilung mit $5$ Welpen und $14$ Fähen ergibt sich für $g =\frac{5}{14}$ und $h=\frac{5}{7}$.
d) (3)
$\blacktriangleright$ Einträge von $G$ berechnen
Die Einträge der Matrix $G$ sollen über die folgenden Ansätze bestimmt werden:
$G\cdot C = G$ und $G\cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$
Dabei ist $G =\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
Stelle also nun alle Gleichungen auf, die sich aus den beiden Ansätzen ergeben und löse die sich daraus ergebenden linearen Gleichungssysteme.
$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & \frac{5}{14} \\ 0,8 & \frac{5}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&a&=&0\cdot a&+&0,8\cdot b&\\ \text{II}\quad&b&=& \frac{5}{14}\cdot a&+&\frac{5}{7} \cdot b&\quad\\ \text{III}\quad&c&=&0\cdot c&+&0,8 \cdot d&\quad\\ \text{IV}\quad&d&=&\frac{5}{14}\cdot c&+&\frac{5}{7} \cdot d&\quad\\ \end{array}$
$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{V}\quad&5&=&5\cdot a&+&14\cdot b&\quad \\ \text{VI}\quad&14&=&5\cdot c&+&14\cdot d\quad\\ \end{array}$
Du kannst erkennen, dass es nur Gleichungen gibt, in denen jeweils entweder $a$ und $b$ oder $c$ und $d$ vorkommen. Du kannst die Gleichungen also so aufteilen, dass du zwei Gleichungssysteme mit jeweils drei Gleichungen erhältst:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a&=&0\cdot a&+&0,8\cdot b&\\ \text{II}\quad&b&=& \frac{5}{14}\cdot a&+&\frac{5}{7} \cdot b&\quad\\ \text{V}\quad&5&=&5\cdot a&+&14\cdot b&\quad \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{III}\quad&c&=&0\cdot c&+&0,8 \cdot d&\quad\\ \text{IV}\quad&d&=&\frac{5}{14}\cdot c&+&\frac{5}{7} \cdot d&\quad\\ \text{VI}\quad&14&=&5\cdot c&+&14\cdot d\quad\\ \end{array}$
Betrachte zunächst das Gleichungssystem mit $a$ und $b$. Die erste Gleichung stellt direkt $a$ in Abhängigkeit von $b$ dar. Setzt du diese in $\text{V}$ ein, so kannst du daraus eine Lösung für $b$ berechnen und diese Lösung wiederum in $\text{I}$ einsetzen um $a$ zu berechnen. Anschließend musst du die Lösungen noch zur Probe in $\text{II}$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{V}\quad 5&=&5\cdot a +14\cdot b \quad \scriptsize a = 0,8\cdot b \\[5pt] 5&=&5\cdot 0,8\cdot b +14\cdot b \\[5pt] 5&=&18\cdot b \quad \scriptsize \mid\; :18\\[5pt] \frac{5}{18}&=&b \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{I }\quad a&=& 0,8\cdot b \\[5pt] &=& 0,8\cdot \frac{5}{18} \\[5pt] &=&\frac{2}{9}\\[5pt] \end{array}$
Probe:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II }\quad b&=& \frac{5}{14}\cdot a + \frac{5}{7} \cdot b \\[5pt] \frac{5}{18}&=& \frac{5}{14}\cdot \frac{2}{9} + \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{18} \\[5pt] \frac{5}{18}&=&\frac{5}{18} \end{array}$ Aufgabe 4
Betrachte nun das zweite Gleichungssystem mit $c$ und $d$. Hier kannst du analog vorgehen, setze also $\text{III}$ in $ \text{VI}$ ein und löse nach $d$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{VI }\quad 14&=&5\cdot c+ 14 \cdot d \\[5pt] 14&=& 5\cdot 0,8\cdot d + 14 \cdot d \\[5pt] 14&=&18\cdot d\quad \scriptsize \mid\; : 18\\[5pt] \frac{7}{9}&=& d \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{III }\quad c&=&0,8 \cdot d \quad \scriptsize d = \frac{7}{9}\\[5pt] &=&0,8\cdot \frac{7}{9}\\[5pt] &=&\frac{28}{45}\\[5pt] \end{array}$
Probe:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IV }\quad d&=&\frac{5}{14} \cdot c +\frac{5}{7} \cdot d\quad \scriptsize d = \frac{7}{9}, c =\frac{28}{45}\\[5pt] \frac{7}{9}&=&\frac{5}{14} \cdot \frac{28}{45} +\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{9}\\[5pt] \frac{7}{9}&=&\frac{7}{9} \end{array}$ Aufgabe 4
Damit lauten die exakten Einträge von $G$ wie folgt:
$G = \begin{pmatrix}\frac{2}{9} & \frac{5}{18} \\ \frac{28}{45} & \frac{7}{9} \end{pmatrix}$
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a)(1)
$\blacktriangleright$ Wert für $b$ begründen
Du sollst hier anhand der Tabelle begründen, warum für den Eintrag $b$ der Matrix $A$ $b = 0,4$ gilt. Beachte dabei, dass $A$ eine Übergangsmatrix ist. Der Eintrag der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte einer Übergangsmatrix gibt die Übergangsrate von Altersgruppe $j$ in Altersgruppe $i$ an. Überlege also, welche Bedeutung der Parameter $b$ hat und ziehe anschließend Rückschlüsse auf die Tabelle.
Die Variable $b$ steht in der Spalte $w$ und in Zeile $j$. Sie steht demnach für die Übergangsrate von $w$ nach $j$, gibt also an, wie viele der Welpen sich nach einem Jahr zu jungen Fähen entwickeln. Da innerhalb dieses Jahres auch alle zuvor vorhandenen jungen Fähen ausgewachsen sind, sind alle jungen Fähen, die im Jahr 2014 vorhanden sind im Jahr 2013 Welpen gewesen. Die Übergangsrate von $w$ nach $j$ ergibt sich also aus dem relativen Anteil der Welpen, die überleben:
$b = \dfrac{j_{2014}}{w_{2013}} = \dfrac{26}{65} = 0,4\qquad$ Aufgabe 4
Insgesamt ergibt sich also folgende Begründung:
Da $b$ die Übergangsrate der Welpen in die nächste Entwicklungsstufe der jungen Fähen angibt, und auch nur solche Tiere junge Fähen sind, die im Jahr zuvor Welpen waren, ergibt sich die Übergangsrate durch das Verhältnis der Anzahl an jungen Fähen im Jahr 2014 zur Anzahl der Welpen im Jahr 2013: $b = \dfrac{j_{2014}}{w_{2013}} = \dfrac{26}{65} = 0,4$
a) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix interpretieren
In der Matrix $A$ kommen noch 4 weitere von Null verschiedene Elemente vor. Diese sollst du im Sachzusammenhang interpretieren. Nutze dazu, wie oben, die allgemeine Bedeutung der Übergangsmatrix und die Erklärungen zum Sachzusammenhang im Einleitungstext.
Eintrag $a_{1,2} = 1,5$
Der Eintrag $a_{1,2} = 1,5$ gibt die Übergangsquote von $j$ nach $w$ an. Da sich ein Wolf natürlich nicht rückwärts entwickeln kann, bedeutet dies im Sachzusammenhang, dass jede junge Fähe im Schnitt $1,5$ Welpen gebährt.
Eintrag $a_{3,2} = 0,5$
Der Eintrag $a_{3,2} = 0,5$ gibt die Übergangsrate von $j$ nach $a$ an. Das bedeutet, dass sich die Hälfte aller jungen Fähen im nächsten Jahr zu ausgewachsenen Fähen entwickeln. Da Fähen laut Aufgabenstellung nicht zwei Jahre hintereinander jung sein können, gibt diese Übergangsquote die Überlebensrate der jungen Fähen an. Insgesamt bedeutet dies, dass nach einem Jahr die Hälfte aller jungen Fähen überlebt hat und damit ausgewachsen ist.
Eintrag $a_{1,3} = 2$
Analog zum ersten Eintrag in der zweiten Spalte, gibt der erste Eintrag der dritten Spalte die Anzahl der Welpen an, die jede ausgewachsene Fähe im Schnitt pro Jahr bekommt.
Eintrag $a_{3,3} = 2$
Dieser Eintrag gibt die Übergangsquote von ausgewachsener Fähe zu ausgewachsener Fähe an. Dies entspricht der Überlebensrate der ausgewachsenen Fähen.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Verteilung für das nächste Jahr berechnen
Der Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_i$, der die Verteilung der Population im $i$-ten Entwicklungsschritt beschreibt, lässt sich allgemein über folgende Formel berechnen:
$\overrightarrow{v}_i = M \cdot \overrightarrow{v}_{i-1} = M^{i}\cdot \overrightarrow{v}_0$
Dabei ist $M$ die betrachtete Übergangsmatrix.
Im vorliegenden Fall, findet pro Jahr ein Entwicklungsschritt statt. Das bedeutet, du kannst die gesuchte Verteilung für das Jahr 2015 mit Hilfe der Verteilung für 2014 berechnen. Diese kannst du aus der Tabelle ablesen.
Du kannst hier dein CAS verwenden. Die Befehle für Matrizen und Vektoren findest du unter
keyboard $\rightarrow$ 2D $\rightarrow$ Calc
Definiere den Verteilungsvektor und die Übergangsmatrix. Dann ergibt sich insgesamt:
$\overrightarrow{v}_{2014} = \begin{pmatrix}52\\26\\16\end{pmatrix}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_{2015}&=&A \cdot \overrightarrow{v}_{2014} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0&1,5&2\\ 0,4&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}52\\26\\16\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}71\\20,8\\22,6\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Im Jahr 2015 ist eine Verteilung mit $71$ Welpen, 20,8 bzw. ca. 21 jungen Fähen und 22,6 bzw. ca. 23 ausgewachsenen Fähen zu erwarten.
b) (2)
$\blacktriangleright$ Verteilung vom Vorjahr berechnen
In dieser Aufgabe sollst du nun eine vorherige Verteilung berechnen, anstatt einer zukünftigen. Dazu kannst du dieselbe Gleichung verwenden. Setze diesmal $\overrightarrow{v}_{2013}$ ein und löse das dabei entstehende lineare Gleichungssystem für $\overrightarrow{v}_{2012}= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$. $\overrightarrow{v}_{2013}$ kannst du aus der Tabelle ablesen: $\overrightarrow{v}_{2013} = \begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_{2013}&=&A\cdot \overrightarrow{v}_{2012} \quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0&1,5&2\\ 0,4&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{array}$
$\Leftrightarrow\begin{array}{} \text{I}\quad&65&=& 0x& +&1,5y&+&2z \quad \\ \text{II}\quad&8&=&0,4x&+&0y&+&0z\quad\\ \text{III}\quad&20&=&0x&+&0,5y&+& 0,6z\quad\\ \end{array}$
Verwende den solve-Befehl deines CAS:
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Damit gilt nun $\overrightarrow{v}_{2012} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\\10\\25\end{pmatrix}$
Nach dem Modell hätte im Jahr 2012 eine Verteilung mit $20$ Welpen, $10$ jungen Fähen und $25$ ausgewachsenen Fähen vorgelegen.
b) (3)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Um die Behauptung des Biologen zu überprüfen, berechne den Prozentsatz der Welpen, die ein Alter von mindestens drei Jahren erreichen mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel.
Im Aufgabenteil a) hast du gesehen, dass der Anteil der Welpen, die ein Alter von 1 Jahr erreichen, also zu einer jungen Fähe heranwachsen, $a_{2,1}=0,4$ beträgt.
Analog dazu, beträgt der Anteil der jungen Fähen, die ein Alter von $2$ Jahren erreichen, also zu ausgewachsenen Fähen heranwachsen, $0,5$, also $50\,\%$ und der Anteil der ausgewachsenen Fähen, die das nächste Lebensjahr erreichen beträgt $0,6 = 60\,\%$.
Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich dementsprechend folgender Prozentsatz:
$p = 0,4\cdot 0,5\cdot 0,6 = 0,12 = 12\,\%$.
Nach dem angegebenen Modell mit der Matrix A erreichen durchschnittlich $12\,\%$ aller Welpen mindestens ein Alter von $3$ Jahren. Die Behauptung des Biologen trifft nach diesem Modell also zu.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Einträge im Sachzusammenhang vergleichen
Im Aufgabenteil a) hast du bereits die Einträge der Matrix $A$ im Sachzusammenhang beschrieben. Diese Bedeutungen treffen auch auf die Einträge der Matrix $B$ zu, vergleiche also die Überlebens- und Geburtenraten:
Eintrag $b_{3,1} = 0$
Der erste Eintrag der dritten Zeile ist identisch. Denn auch hier können Welpen in einem Zeitschritt nicht direkt zu ausgewachsenen Fähen werden.
Eintrag $b_{3,2} = 0,75$
Die Überlebensrate der jungen Fähen in dem Tierpark ist mit $0,75 = 75\,\%$ deutlich höher als die der jungen Fähen in freier Wildbahn mit $50\,\%$.
Eintrag $b_{3,3} = 0,7$
Auch die Überlebensrate der ausgewachsenen Fähen ist im Tierpark mit $0,7 = 70\,\%$ höher als in freier Wildbahn mit $60\,\%$.
c) (2)
$\blacktriangleright$ Existenz einer stationären Verteilung zeigen
Du sollst zeigen, dass nur für $d =0,5 -0,4c$ eine stationäre Verteilung ungleich dem Nullvektor existiert, das heißt, eine Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} $, die folgende Gleichung erfüllt:
$B\cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle das aus dieser Gleichung resultierende lineare Gleichungssystem auf. Um dieses zu lösen, setze eine der drei Unbekannten $s_1$,$s_2$ oder $s_3$ gleich $t$ und stelle die übrigen beiden in Abhängigkeit von $t$ dar. Anschließend kannst du erkennen für welche Werte von $d$ Lösungen existieren, sodass nicht $s_1 = s_2 =s_3 =0$ gilt.
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{pmatrix}0&c&d\\0,8&0&0\\0&0,75&0,7\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} $ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&s_1&=&0\cdot s_1&+&c\cdot s_2&+&d\cdot s_3&\quad\\ \text{II}\quad&s_2&=&0,8\cdot s_1&+&0\cdot s_2&+&0\cdot s_3&\quad\\ \text{III}\quad&s_3&=&0\cdot s_1&+&0,75\cdot s_2&+&0,7\cdot s_3&\quad\\ \end{array}$
Aus $\text{II}$ weißt du $s_2 = 0,8\cdot s_1$, setze also beispielsweise $s_1 = t$. Dann gilt $s_2 = 0,8\cdot t$. Eingesetzt in $\text{III}$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} s_3&=&0,75\cdot s_2 + 0,7\cdot s_3 \quad & \scriptsize s_2 = 0,8\cdot t \\[5pt] s_3&=&0,75\cdot 0,8 \cdot t +0,7\cdot s_3 \quad &\scriptsize \mid\;-0,7\cdot s_3 \\[5pt] 0,3\cdot s_3&=& 0,6\cdot t\quad &\scriptsize \mid\; :0,3 \\[5pt] s_3&=&2\cdot t \end{array}$
Setzt du diese Darstellungen für $s_1$,$s_2$ und $s_3$ nun in $\text{I}$ ein so erhältst du folgende Gleichung, die du nach $d$ lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} s_1&=& c\cdot s_2 + d\cdot s_3 \quad &\scriptsize s_1 = t, s_2 = 0,8t , s_3 = 2t \\[5pt] t&=&0,8\cdot c\cdot t+d\cdot 2t \quad \\[5pt] t&=&(0,8c+d\cdot 2)\cdot t \quad &\scriptsize \mid\; :t \neq 0 \\[5pt] 1&=&0,8c+d\cdot 2 \quad &\scriptsize \mid\; -0,8c\\[5pt] 1-0,8c&=&d\cdot 2 \quad &\scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 0,5-0,4c&=&d \end{array}$
Die Gleichung $\text{I}$ ist für $t =0$ und beliebiges $d$ oder auch für $ d = 0,5-0,4c$ und beliebiges $t$ erfüllt. $t =0$ kommt allerdings als Lösung nicht in Frage, da dann $s_1 = s_2 =s_3 =0$ gelten würde und diese Verteilung bereits in der Aufgabenstellung ausgeschlossen wurde.
Insgesamt lautet die gesuchte Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix} t \\ 0,8t\\ 2t\end{pmatrix}$ mit $t \neq 0, t \in \mathbb{R}$. Diese existiert nur für $d =0,5-0,4c$.
c) (3)
$\blacktriangleright$ Kleinstmögliche Gesamtpopulation ermitteln
Gesucht ist hier die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung, die aus natürlichen Zahlen besteht. Natürliche Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen, also $1$,$2$, $3$,… also solche, die zum zählen verwendet werden.
Im vorherigen Aufgabenteil hast du berechnet, dass für jedes $t \in \mathbb{R}, t \neq 0$ eine stationäre Verteilung durch $\overrightarrow{s}_t = \begin{pmatrix} t \\ 0,8t\\ 2t\end{pmatrix}$ gegeben ist.
Damit also alle drei Einträge natürliche Zahlen sind, muss insbesondere $t$ eine natürliche Zahl sein. Zu beachten ist dann noch, dass $t$ die kleinste natürliche Zahl $\neq 0$ ist, sodass $0,8 \cdot t$ eine natürliche Zahl ist. Um dieses zu finden, schreibe die Kommazahl in einen Bruch um und überlege dir für welche Faktoren der Bruch verschwindet.
$0,8 t = \frac{4}{5}\cdot t$
Du kannst sehen, dass $t$ mindestens $5$ oder ein größeres Vielfaches von $5$ sein muss um den Bruch kürzen zu können. Daraus folgt, dass die kleinste Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung für $t =5$ gegeben ist:
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4\\ 10\end{pmatrix}$
Die kleinste Gesamtpopulation besteht dann aus $5+4+10 = 19 $ Individuen.
Die stationäre Verteilung mit der kleinstmöglichen Gesamtpopulation mit natürlichen Zahlen, ist gegeben durch $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4\\ 10\end{pmatrix}$, also mit insgesamt $19$ Individuen.
d)(1)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Welpen nachweisen
Hier sollst du nun zeigen, dass in dem neuen Modell mit der Übergangsmatrix $C$ und einer konstanten Gesamtpopulation von $19$ Tieren, keine stationäre Verteilung mit mehr als $10$ Welpen möglich ist.
Stelle dazu wieder das Gleichungssystem auf, dass sich mit einer stationären Verteilung $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}$ mit $w_1 +w_2 =19$ ergibt und nutze dann die Beschränkungen für $h$ und $g$, um eine Abschätzung für $w_1$ zu erhalten.
$\begin{pmatrix}0& g\\0,8 & h \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&19&=&w_1&+&w_2&\quad \\ \text{II}\quad&w_1&=&0\cdot w_1&+&g\cdot w_2&\quad\\ \text{III}\quad&w_2&=&0,8\cdot w_1&+&h\cdot w_2&\quad\\ \end{array}$
Formst du nun die dritte Gleichung nach $w_1$ um, so erhältst du folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} 0,8\cdot w_1 + h\cdot w_2 &=& w_2\quad &\scriptsize \mid\; -h\cdot w_2 \\[5pt] 0,8 \cdot w_1&=&(1-h)\cdot w_2 \quad &\scriptsize \mid\; :0,8 \\[5pt] w_1&=&\dfrac{1-h}{0,8}\cdot w_2 \quad &\scriptsize 0\leq h\\[5pt] &\leq& \dfrac{1-0}{0,8}\cdot w_2\quad \\[5pt] &=&1,25\cdot w_2 \end{array}$
Setzt du diese Abschätzung nun in die Gleichung $w_1 +w_2 =19$ ein, so erhältst du folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} 19 &=& w_1 +w_2 \\[5pt] 19 &\leq&1,25\cdot w_2 +w_2 \\[5pt] 19 &\leq& 2,25\cdot w_2 \quad &\scriptsize \mid\; : 2,25\\[5pt] 8,45&\leq& w_2 \\[5pt] 9&\leq& w_2 \\[5pt] \end{array}$
Da mindestens $9$ Fähen vorhanden sein müssen, dürfen damit auch nur höchstens 10 Welpen vorhanden sein.
d) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix $C$ bestimmen
Betrachte auch hier das Gleichungssystem, das sich aus der stationären Verteilung mit $5$ Welpen und $14$ Fähen ergibt und bestimme anhand dessen die Unbekannten $g$ und $h$:
$\begin{pmatrix}0& g\\0,8 & h \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&5&=&0\cdot 5&+&g\cdot 14&\quad \\ \text{II}\quad&14&=&0,8\cdot 5&+&h\cdot 14&\quad\\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung erhältst du dann:
$\begin{array}[t]{rll} 5 &=& g\cdot 14 \quad &\scriptsize \mid\; : 14\\[5pt] \frac{5}{14} &=& g \\[5pt] \end{array}$
Aus der zweiten Gleichung dementsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} 14 &=& 0,8 \cdot 5 + h\cdot 14 \quad \scriptsize &\mid\; -4\\[5pt] 10 &=& h\cdot 14 \quad \scriptsize &\mid\; :14\\[5pt] \frac{5}{7} &=& h \end{array}$
Eine stationäre Verteilung mit $5$ Welpen und $14$ Fähen ergibt sich für $g =\frac{5}{14}$ und $h=\frac{5}{7}$.
d) (3)
$\blacktriangleright$ Einträge von $G$ berechnen
Die Einträge der Matrix $G$ sollen über die folgenden Ansätze bestimmt werden:
$G\cdot C = G$ und $G\cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$
Dabei ist $G =\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
Stelle also nun alle Gleichungen auf, die sich aus den beiden Ansätzen ergeben und löse die sich daraus ergebenden linearen Gleichungssysteme.
$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & \frac{5}{14} \\ 0,8 & \frac{5}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&a&=&0\cdot a&+&0,8\cdot b&\\ \text{II}\quad&b&=& \frac{5}{14}\cdot a&+&\frac{5}{7} \cdot b&\quad\\ \text{III}\quad&c&=&0\cdot c&+&0,8 \cdot d&\quad\\ \text{IV}\quad&d&=&\frac{5}{14}\cdot c&+&\frac{5}{7} \cdot d&\quad\\ \end{array}$
$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{V}\quad&5&=&5\cdot a&+&14\cdot b&\quad \\ \text{VI}\quad&14&=&5\cdot c&+&14\cdot d\quad\\ \end{array}$
Du kannst erkennen, dass es nur Gleichungen gibt, in denen jeweils entweder $a$ und $b$ oder $c$ und $d$ vorkommen. Du kannst die Gleichungen also so aufteilen, dass du zwei Gleichungssysteme mit jeweils drei Gleichungen erhältst:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a&=&0\cdot a&+&0,8\cdot b&\\ \text{II}\quad&b&=& \frac{5}{14}\cdot a&+&\frac{5}{7} \cdot b&\quad\\ \text{V}\quad&5&=&5\cdot a&+&14\cdot b&\quad \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{III}\quad&c&=&0\cdot c&+&0,8 \cdot d&\quad\\ \text{IV}\quad&d&=&\frac{5}{14}\cdot c&+&\frac{5}{7} \cdot d&\quad\\ \text{VI}\quad&14&=&5\cdot c&+&14\cdot d\quad\\ \end{array}$
Betrachte zunächst das Gleichungssystem mit $a$ und $b$. Die erste Gleichung stellt direkt $a$ in Abhängigkeit von $b$ dar. Setzt du diese in $\text{V}$ ein, so kannst du daraus eine Lösung für $b$ berechnen und diese Lösung wiederum in $\text{I}$ einsetzen um $a$ zu berechnen. Anschließend musst du die Lösungen noch zur Probe in $\text{II}$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{V}\quad 5&=&5\cdot a +14\cdot b \quad \scriptsize a = 0,8\cdot b \\[5pt] 5&=&5\cdot 0,8\cdot b +14\cdot b \\[5pt] 5&=&18\cdot b \quad \scriptsize \mid\; :18\\[5pt] \frac{5}{18}&=&b \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{I }\quad a&=& 0,8\cdot b \\[5pt] &=& 0,8\cdot \frac{5}{18} \\[5pt] &=&\frac{2}{9}\\[5pt] \end{array}$
Probe:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II }\quad b&=& \frac{5}{14}\cdot a + \frac{5}{7} \cdot b \\[5pt] \frac{5}{18}&=& \frac{5}{14}\cdot \frac{2}{9} + \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{18} \\[5pt] \frac{5}{18}&=&\frac{5}{18} \end{array}$ Aufgabe 4
Betrachte nun das zweite Gleichungssystem mit $c$ und $d$. Hier kannst du analog vorgehen, setze also $\text{III}$ in $ \text{VI}$ ein und löse nach $d$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{VI }\quad 14&=&5\cdot c+ 14 \cdot d \\[5pt] 14&=& 5\cdot 0,8\cdot d + 14 \cdot d \\[5pt] 14&=&18\cdot d\quad \scriptsize \mid\; : 18\\[5pt] \frac{7}{9}&=& d \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{III }\quad c&=&0,8 \cdot d \quad \scriptsize d = \frac{7}{9}\\[5pt] &=&0,8\cdot \frac{7}{9}\\[5pt] &=&\frac{28}{45}\\[5pt] \end{array}$
Probe:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IV }\quad d&=&\frac{5}{14} \cdot c +\frac{5}{7} \cdot d\quad \scriptsize d = \frac{7}{9}, c =\frac{28}{45}\\[5pt] \frac{7}{9}&=&\frac{5}{14} \cdot \frac{28}{45} +\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{9}\\[5pt] \frac{7}{9}&=&\frac{7}{9} \end{array}$ Aufgabe 4
Damit lauten die exakten Einträge von $G$ wie folgt:
$G = \begin{pmatrix}\frac{2}{9} & \frac{5}{18} \\ \frac{28}{45} & \frac{7}{9} \end{pmatrix}$
a)(1)
$\blacktriangleright$ Wert für $b$ begründen
Du sollst hier anhand der Tabelle begründen, warum für den Eintrag $b$ der Matrix $A$ $b = 0,4$ gilt. Beachte dabei, dass $A$ eine Übergangsmatrix ist. Der Eintrag der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte einer Übergangsmatrix gibt die Übergangsrate von Altersgruppe $j$ in Altersgruppe $i$ an. Überlege also, welche Bedeutung der Parameter $b$ hat und ziehe anschließend Rückschlüsse auf die Tabelle.
Die Variable $b$ steht in der Spalte $w$ und in Zeile $j$. Sie steht demnach für die Übergangsrate von $w$ nach $j$, gibt also an, wie viele der Welpen sich nach einem Jahr zu jungen Fähen entwickeln. Da innerhalb dieses Jahres auch alle zuvor vorhandenen jungen Fähen ausgewachsen sind, sind alle jungen Fähen, die im Jahr 2014 vorhanden sind im Jahr 2013 Welpen gewesen. Die Übergangsrate von $w$ nach $j$ ergibt sich also aus dem relativen Anteil der Welpen, die überleben:
$b = \dfrac{j_{2014}}{w_{2013}} = \dfrac{26}{65} = 0,4\qquad$ Aufgabe 4
Insgesamt ergibt sich also folgende Begründung:
Da $b$ die Übergangsrate der Welpen in die nächste Entwicklungsstufe der jungen Fähen angibt, und auch nur solche Tiere junge Fähen sind, die im Jahr zuvor Welpen waren, ergibt sich die Übergangsrate durch das Verhältnis der Anzahl an jungen Fähen im Jahr 2014 zur Anzahl der Welpen im Jahr 2013: $b = \dfrac{j_{2014}}{w_{2013}} = \dfrac{26}{65} = 0,4$
a) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix interpretieren
In der Matrix $A$ kommen noch 4 weitere von Null verschiedene Elemente vor. Diese sollst du im Sachzusammenhang interpretieren. Nutze dazu, wie oben, die allgemeine Bedeutung der Übergangsmatrix und die Erklärungen zum Sachzusammenhang im Einleitungstext.
Eintrag $a_{1,2} = 1,5$
Der Eintrag $a_{1,2} = 1,5$ gibt die Übergangsquote von $j$ nach $w$ an. Da sich ein Wolf natürlich nicht rückwärts entwickeln kann, bedeutet dies im Sachzusammenhang, dass jede junge Fähe im Schnitt $1,5$ Welpen gebährt.
Eintrag $a_{3,2} = 0,5$
Der Eintrag $a_{3,2} = 0,5$ gibt die Übergangsrate von $j$ nach $a$ an. Das bedeutet, dass sich die Hälfte aller jungen Fähen im nächsten Jahr zu ausgewachsenen Fähen entwickeln. Da Fähen laut Aufgabenstellung nicht zwei Jahre hintereinander jung sein können, gibt diese Übergangsquote die Überlebensrate der jungen Fähen an. Insgesamt bedeutet dies, dass nach einem Jahr die Hälfte aller jungen Fähen überlebt hat und damit ausgewachsen ist.
Eintrag $a_{1,3} = 2$
Analog zum ersten Eintrag in der zweiten Spalte, gibt der erste Eintrag der dritten Spalte die Anzahl der Welpen an, die jede ausgewachsene Fähe im Schnitt pro Jahr bekommt.
Eintrag $a_{3,3} = 2$
Dieser Eintrag gibt die Übergangsquote von ausgewachsener Fähe zu ausgewachsener Fähe an. Dies entspricht der Überlebensrate der ausgewachsenen Fähen.
b)(1)
$\blacktriangleright$ Verteilung für das nächste Jahr berechnen
Der Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_i$, der die Verteilung der Population im $i$-ten Entwicklungsschritt beschreibt, lässt sich allgemein über folgende Formel berechnen:
$\overrightarrow{v}_i = M \cdot \overrightarrow{v}_{i-1} = M^{i}\cdot \overrightarrow{v}_0$
Dabei ist $M$ die betrachtete Übergangsmatrix.
Im vorliegenden Fall, findet pro Jahr ein Entwicklungsschritt statt. Das bedeutet, du kannst die gesuchte Verteilung für das Jahr 2015 mit Hilfe der Verteilung für 2014 berechnen. Diese kannst du aus der Tabelle ablesen.
Du kannst hier dein CAS verwenden. Die Befehle für Matrizen und Vektoren findest du unter
keyboard $\rightarrow$ 2D $\rightarrow$ Calc
Definiere den Verteilungsvektor und die Übergangsmatrix. Dann ergibt sich insgesamt:
$\overrightarrow{v}_{2014} = \begin{pmatrix}52\\26\\16\end{pmatrix}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_{2015}&=&A \cdot \overrightarrow{v}_{2014} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0&1,5&2\\ 0,4&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}52\\26\\16\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}71\\20,8\\22,6\end{pmatrix} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Im Jahr 2015 ist eine Verteilung mit $71$ Welpen, 20,8 bzw. ca. 21 jungen Fähen und 22,6 bzw. ca. 23 ausgewachsenen Fähen zu erwarten.
b) (2)
$\blacktriangleright$ Verteilung vom Vorjahr berechnen
In dieser Aufgabe sollst du nun eine vorherige Verteilung berechnen, anstatt einer zukünftigen. Dazu kannst du dieselbe Gleichung verwenden. Setze diesmal $\overrightarrow{v}_{2013}$ ein und löse das dabei entstehende lineare Gleichungssystem für $\overrightarrow{v}_{2012}= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$. $\overrightarrow{v}_{2013}$ kannst du aus der Tabelle ablesen: $\overrightarrow{v}_{2013} = \begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}_{2013}&=&A\cdot \overrightarrow{v}_{2012} \quad \scriptsize \\[5pt] \begin{pmatrix}65\\8\\20\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0&1,5&2\\ 0,4&0&0\\0&0,5&0,6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{array}$
$\Leftrightarrow\begin{array}{} \text{I}\quad&65&=& 0x& +&1,5y&+&2z \quad \\ \text{II}\quad&8&=&0,4x&+&0y&+&0z\quad\\ \text{III}\quad&20&=&0x&+&0,5y&+& 0,6z\quad\\ \end{array}$
Verwende den solve-Befehl deines CAS:
Aufgabe 4
Aufgabe 4
Damit gilt nun $\overrightarrow{v}_{2012} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\\10\\25\end{pmatrix}$
Nach dem Modell hätte im Jahr 2012 eine Verteilung mit $20$ Welpen, $10$ jungen Fähen und $25$ ausgewachsenen Fähen vorgelegen.
b) (3)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Um die Behauptung des Biologen zu überprüfen, berechne den Prozentsatz der Welpen, die ein Alter von mindestens drei Jahren erreichen mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel.
Im Aufgabenteil a) hast du gesehen, dass der Anteil der Welpen, die ein Alter von 1 Jahr erreichen, also zu einer jungen Fähe heranwachsen, $a_{2,1}=0,4$ beträgt.
Analog dazu, beträgt der Anteil der jungen Fähen, die ein Alter von $2$ Jahren erreichen, also zu ausgewachsenen Fähen heranwachsen, $0,5$, also $50\,\%$ und der Anteil der ausgewachsenen Fähen, die das nächste Lebensjahr erreichen beträgt $0,6 = 60\,\%$.
Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich dementsprechend folgender Prozentsatz:
$p = 0,4\cdot 0,5\cdot 0,6 = 0,12 = 12\,\%$.
Nach dem angegebenen Modell mit der Matrix A erreichen durchschnittlich $12\,\%$ aller Welpen mindestens ein Alter von $3$ Jahren. Die Behauptung des Biologen trifft nach diesem Modell also zu.
c)(1)
$\blacktriangleright$ Einträge im Sachzusammenhang vergleichen
Im Aufgabenteil a) hast du bereits die Einträge der Matrix $A$ im Sachzusammenhang beschrieben. Diese Bedeutungen treffen auch auf die Einträge der Matrix $B$ zu, vergleiche also die Überlebens- und Geburtenraten:
Eintrag $b_{3,1} = 0$
Der erste Eintrag der dritten Zeile ist identisch. Denn auch hier können Welpen in einem Zeitschritt nicht direkt zu ausgewachsenen Fähen werden.
Eintrag $b_{3,2} = 0,75$
Die Überlebensrate der jungen Fähen in dem Tierpark ist mit $0,75 = 75\,\%$ deutlich höher als die der jungen Fähen in freier Wildbahn mit $50\,\%$.
Eintrag $b_{3,3} = 0,7$
Auch die Überlebensrate der ausgewachsenen Fähen ist im Tierpark mit $0,7 = 70\,\%$ höher als in freier Wildbahn mit $60\,\%$.
c) (2)
$\blacktriangleright$ Existenz einer stationären Verteilung zeigen
Du sollst zeigen, dass nur für $d =0,5 -0,4c$ eine stationäre Verteilung ungleich dem Nullvektor existiert, das heißt, eine Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} $, die folgende Gleichung erfüllt:
$B\cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Stelle das aus dieser Gleichung resultierende lineare Gleichungssystem auf. Um dieses zu lösen, setze eine der drei Unbekannten $s_1$,$s_2$ oder $s_3$ gleich $t$ und stelle die übrigen beiden in Abhängigkeit von $t$ dar. Anschließend kannst du erkennen für welche Werte von $d$ Lösungen existieren, sodass nicht $s_1 = s_2 =s_3 =0$ gilt.
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{pmatrix}0&c&d\\0,8&0&0\\0&0,75&0,7\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix} $ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&s_1&=&0\cdot s_1&+&c\cdot s_2&+&d\cdot s_3&\quad\\ \text{II}\quad&s_2&=&0,8\cdot s_1&+&0\cdot s_2&+&0\cdot s_3&\quad\\ \text{III}\quad&s_3&=&0\cdot s_1&+&0,75\cdot s_2&+&0,7\cdot s_3&\quad\\ \end{array}$
Aus $\text{II}$ weißt du $s_2 = 0,8\cdot s_1$, setze also beispielsweise $s_1 = t$. Dann gilt $s_2 = 0,8\cdot t$. Eingesetzt in $\text{III}$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} s_3&=&0,75\cdot s_2 + 0,7\cdot s_3 \quad & \scriptsize s_2 = 0,8\cdot t \\[5pt] s_3&=&0,75\cdot 0,8 \cdot t +0,7\cdot s_3 \quad &\scriptsize \mid\;-0,7\cdot s_3 \\[5pt] 0,3\cdot s_3&=& 0,6\cdot t\quad &\scriptsize \mid\; :0,3 \\[5pt] s_3&=&2\cdot t \end{array}$
Setzt du diese Darstellungen für $s_1$,$s_2$ und $s_3$ nun in $\text{I}$ ein so erhältst du folgende Gleichung, die du nach $d$ lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} s_1&=& c\cdot s_2 + d\cdot s_3 \quad &\scriptsize s_1 = t, s_2 = 0,8t , s_3 = 2t \\[5pt] t&=&0,8\cdot c\cdot t+d\cdot 2t \quad \\[5pt] t&=&(0,8c+d\cdot 2)\cdot t \quad &\scriptsize \mid\; :t \neq 0 \\[5pt] 1&=&0,8c+d\cdot 2 \quad &\scriptsize \mid\; -0,8c\\[5pt] 1-0,8c&=&d\cdot 2 \quad &\scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 0,5-0,4c&=&d \end{array}$
Die Gleichung $\text{I}$ ist für $t =0$ und beliebiges $d$ oder auch für $ d = 0,5-0,4c$ und beliebiges $t$ erfüllt. $t =0$ kommt allerdings als Lösung nicht in Frage, da dann $s_1 = s_2 =s_3 =0$ gelten würde und diese Verteilung bereits in der Aufgabenstellung ausgeschlossen wurde.
Insgesamt lautet die gesuchte Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix} t \\ 0,8t\\ 2t\end{pmatrix}$ mit $t \neq 0, t \in \mathbb{R}$. Diese existiert nur für $d =0,5-0,4c$.
c) (3)
$\blacktriangleright$ Kleinstmögliche Gesamtpopulation ermitteln
Gesucht ist hier die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung, die aus natürlichen Zahlen besteht. Natürliche Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen, also $1$,$2$, $3$,… also solche, die zum zählen verwendet werden.
Im vorherigen Aufgabenteil hast du berechnet, dass für jedes $t \in \mathbb{R}, t \neq 0$ eine stationäre Verteilung durch $\overrightarrow{s}_t = \begin{pmatrix} t \\ 0,8t\\ 2t\end{pmatrix}$ gegeben ist.
Damit also alle drei Einträge natürliche Zahlen sind, muss insbesondere $t$ eine natürliche Zahl sein. Zu beachten ist dann noch, dass $t$ die kleinste natürliche Zahl $\neq 0$ ist, sodass $0,8 \cdot t$ eine natürliche Zahl ist. Um dieses zu finden, schreibe die Kommazahl in einen Bruch um und überlege dir für welche Faktoren der Bruch verschwindet.
$0,8 t = \frac{4}{5}\cdot t$
Du kannst sehen, dass $t$ mindestens $5$ oder ein größeres Vielfaches von $5$ sein muss um den Bruch kürzen zu können. Daraus folgt, dass die kleinste Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung für $t =5$ gegeben ist:
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4\\ 10\end{pmatrix}$
Die kleinste Gesamtpopulation besteht dann aus $5+4+10 = 19 $ Individuen.
Die stationäre Verteilung mit der kleinstmöglichen Gesamtpopulation mit natürlichen Zahlen, ist gegeben durch $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4\\ 10\end{pmatrix}$, also mit insgesamt $19$ Individuen.
d)(1)
$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Welpen nachweisen
Hier sollst du nun zeigen, dass in dem neuen Modell mit der Übergangsmatrix $C$ und einer konstanten Gesamtpopulation von $19$ Tieren, keine stationäre Verteilung mit mehr als $10$ Welpen möglich ist.
Stelle dazu wieder das Gleichungssystem auf, dass sich mit einer stationären Verteilung $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}$ mit $w_1 +w_2 =19$ ergibt und nutze dann die Beschränkungen für $h$ und $g$, um eine Abschätzung für $w_1$ zu erhalten.
$\begin{pmatrix}0& g\\0,8 & h \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&19&=&w_1&+&w_2&\quad \\ \text{II}\quad&w_1&=&0\cdot w_1&+&g\cdot w_2&\quad\\ \text{III}\quad&w_2&=&0,8\cdot w_1&+&h\cdot w_2&\quad\\ \end{array}$
Formst du nun die dritte Gleichung nach $w_1$ um, so erhältst du folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} 0,8\cdot w_1 + h\cdot w_2 &=& w_2\quad &\scriptsize \mid\; -h\cdot w_2 \\[5pt] 0,8 \cdot w_1&=&(1-h)\cdot w_2 \quad &\scriptsize \mid\; :0,8 \\[5pt] w_1&=&\dfrac{1-h}{0,8}\cdot w_2 \quad &\scriptsize 0\leq h\\[5pt] &\leq& \dfrac{1-0}{0,8}\cdot w_2\quad \\[5pt] &=&1,25\cdot w_2 \end{array}$
Setzt du diese Abschätzung nun in die Gleichung $w_1 +w_2 =19$ ein, so erhältst du folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} 19 &=& w_1 +w_2 \\[5pt] 19 &\leq&1,25\cdot w_2 +w_2 \\[5pt] 19 &\leq& 2,25\cdot w_2 \quad &\scriptsize \mid\; : 2,25\\[5pt] 8,45&\leq& w_2 \\[5pt] 9&\leq& w_2 \\[5pt] \end{array}$
Da mindestens $9$ Fähen vorhanden sein müssen, dürfen damit auch nur höchstens 10 Welpen vorhanden sein.
d) (2)
$\blacktriangleright$ Einträge der Matrix $C$ bestimmen
Betrachte auch hier das Gleichungssystem, das sich aus der stationären Verteilung mit $5$ Welpen und $14$ Fähen ergibt und bestimme anhand dessen die Unbekannten $g$ und $h$:
$\begin{pmatrix}0& g\\0,8 & h \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&5&=&0\cdot 5&+&g\cdot 14&\quad \\ \text{II}\quad&14&=&0,8\cdot 5&+&h\cdot 14&\quad\\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung erhältst du dann:
$\begin{array}[t]{rll} 5 &=& g\cdot 14 \quad &\scriptsize \mid\; : 14\\[5pt] \frac{5}{14} &=& g \\[5pt] \end{array}$
Aus der zweiten Gleichung dementsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} 14 &=& 0,8 \cdot 5 + h\cdot 14 \quad \scriptsize &\mid\; -4\\[5pt] 10 &=& h\cdot 14 \quad \scriptsize &\mid\; :14\\[5pt] \frac{5}{7} &=& h \end{array}$
Eine stationäre Verteilung mit $5$ Welpen und $14$ Fähen ergibt sich für $g =\frac{5}{14}$ und $h=\frac{5}{7}$.
d) (3)
$\blacktriangleright$ Einträge von $G$ berechnen
Die Einträge der Matrix $G$ sollen über die folgenden Ansätze bestimmt werden:
$G\cdot C = G$ und $G\cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$
Dabei ist $G =\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
Stelle also nun alle Gleichungen auf, die sich aus den beiden Ansätzen ergeben und löse die sich daraus ergebenden linearen Gleichungssysteme.
$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & \frac{5}{14} \\ 0,8 & \frac{5}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{I}\quad&a&=&0\cdot a&+&0,8\cdot b&\\ \text{II}\quad&b&=& \frac{5}{14}\cdot a&+&\frac{5}{7} \cdot b&\quad\\ \text{III}\quad&c&=&0\cdot c&+&0,8 \cdot d&\quad\\ \text{IV}\quad&d&=&\frac{5}{14}\cdot c&+&\frac{5}{7} \cdot d&\quad\\ \end{array}$
$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\14 \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{} \text{V}\quad&5&=&5\cdot a&+&14\cdot b&\quad \\ \text{VI}\quad&14&=&5\cdot c&+&14\cdot d\quad\\ \end{array}$
Du kannst erkennen, dass es nur Gleichungen gibt, in denen jeweils entweder $a$ und $b$ oder $c$ und $d$ vorkommen. Du kannst die Gleichungen also so aufteilen, dass du zwei Gleichungssysteme mit jeweils drei Gleichungen erhältst:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a&=&0\cdot a&+&0,8\cdot b&\\ \text{II}\quad&b&=& \frac{5}{14}\cdot a&+&\frac{5}{7} \cdot b&\quad\\ \text{V}\quad&5&=&5\cdot a&+&14\cdot b&\quad \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{III}\quad&c&=&0\cdot c&+&0,8 \cdot d&\quad\\ \text{IV}\quad&d&=&\frac{5}{14}\cdot c&+&\frac{5}{7} \cdot d&\quad\\ \text{VI}\quad&14&=&5\cdot c&+&14\cdot d\quad\\ \end{array}$
Betrachte zunächst das Gleichungssystem mit $a$ und $b$. Die erste Gleichung stellt direkt $a$ in Abhängigkeit von $b$ dar. Setzt du diese in $\text{V}$ ein, so kannst du daraus eine Lösung für $b$ berechnen und diese Lösung wiederum in $\text{I}$ einsetzen um $a$ zu berechnen. Anschließend musst du die Lösungen noch zur Probe in $\text{II}$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{V}\quad 5&=&5\cdot a +14\cdot b \quad \scriptsize a = 0,8\cdot b \\[5pt] 5&=&5\cdot 0,8\cdot b +14\cdot b \\[5pt] 5&=&18\cdot b \quad \scriptsize \mid\; :18\\[5pt] \frac{5}{18}&=&b \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{I }\quad a&=& 0,8\cdot b \\[5pt] &=& 0,8\cdot \frac{5}{18} \\[5pt] &=&\frac{2}{9}\\[5pt] \end{array}$
Probe:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II }\quad b&=& \frac{5}{14}\cdot a + \frac{5}{7} \cdot b \\[5pt] \frac{5}{18}&=& \frac{5}{14}\cdot \frac{2}{9} + \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{18} \\[5pt] \frac{5}{18}&=&\frac{5}{18} \end{array}$ Aufgabe 4
Betrachte nun das zweite Gleichungssystem mit $c$ und $d$. Hier kannst du analog vorgehen, setze also $\text{III}$ in $ \text{VI}$ ein und löse nach $d$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{VI }\quad 14&=&5\cdot c+ 14 \cdot d \\[5pt] 14&=& 5\cdot 0,8\cdot d + 14 \cdot d \\[5pt] 14&=&18\cdot d\quad \scriptsize \mid\; : 18\\[5pt] \frac{7}{9}&=& d \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{III }\quad c&=&0,8 \cdot d \quad \scriptsize d = \frac{7}{9}\\[5pt] &=&0,8\cdot \frac{7}{9}\\[5pt] &=&\frac{28}{45}\\[5pt] \end{array}$
Probe:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IV }\quad d&=&\frac{5}{14} \cdot c +\frac{5}{7} \cdot d\quad \scriptsize d = \frac{7}{9}, c =\frac{28}{45}\\[5pt] \frac{7}{9}&=&\frac{5}{14} \cdot \frac{28}{45} +\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{9}\\[5pt] \frac{7}{9}&=&\frac{7}{9} \end{array}$ Aufgabe 4
Damit lauten die exakten Einträge von $G$ wie folgt:
$G = \begin{pmatrix}\frac{2}{9} & \frac{5}{18} \\ \frac{28}{45} & \frac{7}{9} \end{pmatrix}$
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