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Aufgabe 3

Aufgaben
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $O (0 \mid 0 \mid 0),$ $A (6 \mid 4 \mid- 2) ,$ $B (0\mid 16\mid - 8) ,$ $C ( -6\mid 4\mid - 2)$ und $D (0 \mid 8 \mid 11)$ Eckpunkte eines schiefen Prismas[1] $OABCDEFG$ mit viereckiger Grundfläche $OABC$ (siehe Abbildung).

[1] Ein Prisma besitzt eine Grundfläche und eine dazu parallele deckungsgleiche Deckfläche. Die Seitenflächen sind Parallelogramme. Bei einem schiefen Prisma stehen die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche. Das Volumen ist das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe, die senkrecht auf der Grundfläche steht.
#prisma
a)
(1)
Stelle eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene $H$ auf, die die Punkte $O,$ $A$ und $B$ enthält.
[Mögliches Ergebnis für die Koordinatengleichung: $H:\, x_2+2x_3 = 0$]
(6 BE)
(2)
Bestimme eine Parameterform der Geraden $g,$ die $H$ senkrecht schneidet und durch $D$ verläuft.
$\left[\text{Mögliche Lösung: } g:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\3\\1}+t\cdot \pmatrix{0\\-2\\-4}, t\in \mathbb{R}\right]$
[Mögliche Lösung: $g:\, \overrightarrow{x} =$ $ \pmatrix{0\\3\\1}+t\cdot \pmatrix{0\\-2\\-4},$ $t\in \mathbb{R}$]
(3 BE)
(3)
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ und der Ebene $H.$
[Zur Kontrolle: $S( 0 \mid 2 \mid - 1 )$ ]
(3 BE)
#koordinatenform#ebenengleichung#parameterform
b)
(1)
Zeige, dass die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{OB}$ des Vierecks $OABC$ zueinander senkrecht sind und sich im Mittelpunkt $T$ von $\overline{AC}$ schneiden.
[Zur Kontrolle: $T (0 \mid 4 \mid - 2)$ ]
(7 BE)
Nach Aufgabe b) (1) ist das Viereck $OABC$ ein Drachenviereck.
(2)
Bestimme das Volumen des Prismas $OABCDEFG.$
(5 BE)
#drachenviereck
c)
Es gibt Ebenen, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile zerlegen.
(1)
Beschreibe die Lage zweier dieser Ebenen.
(3 BE)
(2)
Begründe die Volumengleichheit der beiden Teilkörper für einen der beiden Schnitte aus c) (1).
(3 BE)
d)
Der Punkt $B$ wird auf der Strecke $\overline{BO}$ zum Punkt $B'\neq O$ so verschoben, dass alle Seiten des Vierecks $OAB'C$ gleich lang sind.
Ermittle die Koordinaten von $B'.$
(4 BE)
e)
Bestimme die Koordinaten des Punktes auf der Strecke $\overline{OA},$ der von dem Punkt $D$ den kürzesten Abstand besitzt.
(6 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Parametergleichung aufstellen
Aufgabe 3 Verwendet man als Stützpunkt den Punkt $O$ und als Spannvektoren die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OB},$ so erhält man folgende Ebenengleichung:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OO}+s\cdot \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8}\\[5pt] &=& s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8}\\[5pt] \end{array}$
$ H:\quad \overrightarrow{x} = … $
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung aufstellen
Ein Normalenvektor von $H$ ergibt sich beispielsweise über das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren von oben:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{6\\4\\-2} \times \pmatrix{0\\16\\-8} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\cdot (-8)-(-2)\cdot 16\\ -2\cdot 0 -6\cdot (-8)\\ 6\cdot 16 -4\cdot 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\48\\96} \\[5pt] &=& 48\cdot \pmatrix{0\\1\\2} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = 48\cdot \pmatrix{0\\1\\2} $
Einsetzen in die allgemeine Koordinatengleichung gemeinsam mit den Koordinaten von $O$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 &=& d \\[5pt] 0\cdot 0 +1\cdot 0 + 2\cdot 0&=&d \\[5pt] 0&=& d\\[5pt] \end{array}$
$ 0 = d $
Eine Koordinatengleichung lautet also:
$H:\quad x_2+2x_3 = 0$
(2)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Damit die Gerade senkrecht zu $H$ verläuft, muss ihr Richtungsvektor senkrecht zu $H$ verlaufen. Diese Bedingung erfüllt ein Normalenvektor von $H,$ also beispielsweise der oben berechnete.
Um sicher zu stellen, dass die Gerade durch den Punkt $D$ verläuft, kann dieser als Stützpunkt gewählt werden. Es ergibt sich folgende Gleichung:
$g:\overrightarrow{x}= \pmatrix{0\\8\\11} +t\cdot \pmatrix{0\\1\\2},$ $t\in\mathbb{R}$
(3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Für die Geradengleichung gilt:
$g:\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3}= \pmatrix{0\\8\\11} +t\cdot \pmatrix{0\\1\\2}$
Einsetzen der Koordinaten in die Koordinatengleichung von $H$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x_2+2x_3&=& 0 \\[5pt] 8+1t +2\cdot (11+2t)&=&0 \\[5pt] 30 +5t&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;-30 \\[5pt] 5t&=& -30 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] t&=& -6 \end{array}$
$ t= -6 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert wiederum:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{0\\8\\11} -6\cdot \pmatrix{0\\1\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\2\\-1} \end{array}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{0\\2\\-1}$
Die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $H$ lauten $S(0\mid 2\mid -1).$
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Senkrechte Lage nachweisen
Die beiden Diagonalen sind senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt der zugehörigen Verbindungsvektoren null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{OB}&=& \pmatrix{-12\\0\\0}\circ\pmatrix{0\\16\\-8} \\[5pt] &=& -12\cdot 0 +0\cdot 16 +0\cdot (-8) \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{OB} = 0$
Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $ \overrightarrow{OB},$ und damit auch die zugehörigen Strecken, stehen also senkrecht zueinander.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt nachweisen
Die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AC}$ können mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OT}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{6\\4\\-2}+\pmatrix{-6\\4\\-2} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\4\\-2} \end{array}$
$\overrightarrow{OT} = \pmatrix{0\\4\\-2} $
Die Koordinaten des Mittelpunkts lauten also $T(0\mid 4\mid -2).$
Damit dies der Schnittpunkt von $\overline{AC}$ und $\overline{OB}$ ist, muss $T$ auch auf der Strecke $\overrightarrow{OB}$ liegen. Das ist der Fall wenn $\overrightarrow{OT}$ und $\overrightarrow{OB}$ linear abhängig sind:
$ \pmatrix{0\\16\\-8} = 4\cdot \pmatrix{0\\4\\-2} $
Es gilt also $ \overrightarrow{OB} = 4\cdot\overrightarrow{OT}.$ Da der Faktor $4$ positiv und größer als $1$ ist, liegt der Punkt $T$ zwischen $O$ und $B$ und liegt damit ebenfalls auf der Strecke $\overline{OB}.$
$T$ ist demnach der Schnittpunkt von $\overline{AC}$ und $\overline{OB}.$
(2)
$\blacktriangleright$  Volumen bestimmen
1. Schritt: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Der Flächeninhalt der Grundfläche $OABC$ ergibt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu:
$\begin{array}[t]{rll} G&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{AC} \right|\cdot \left|\overrightarrow{OB} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-12\\0\\0} \right| \cdot \left| \pmatrix{0\\16\\-8}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\sqrt{(-12)^2+0^2+0^2} \right| \cdot \left| \sqrt{0^2+16^2+(-8)^2}\right| \\[5pt] &=& 48\sqrt{5}\\[5pt] \end{array}$
$ G= 48\sqrt{5}$
2. Schritt: Höhe berechnen
Da Grund- und Deckfläche parallel sind und die Grundfläche in der Ebene $H$ liegt, entspricht die Höhe des schiefen Prismas beispielsweise dem Abstand des Punkts $D$ zur Ebene $H.$ Mithilfe der bereits bestimmten Koordinatengleichung von $H$ kann die Hessesche Normalform bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad x_2+2x_3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: \sqrt{0^2+1^2+2^2} \\[5pt] \dfrac{x_2+2x_2}{\sqrt{5}}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{x_2+2x_2}{\sqrt{5}}= 0 $
Mit dieser kann nun der Abstand zum Punkt $D$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&d(H,D)\\[5pt] &=& \dfrac{8+2\cdot11}{\sqrt{5}} \\[5pt] &=& \dfrac{30}{\sqrt{5}} \\[5pt] \end{array}$
$ h = \dfrac{30}{\sqrt{5}} $
3. Schritt: Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &=& 48\sqrt{5}\cdot \dfrac{30}{\sqrt{5}}\\[5pt] &=& 1.440 \end{array}$
$ V = 1.440 $
Das Volumen des Prismas $OABCDEFG$ beträgt $1.440\,\text{VE}.$
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Die Lage zweier Ebenen beschreiben
Eine Ebene, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile teilt, ist die, die parallel zu der Grundfläche und der Deckfläche und genau in der Mitte zwischen ihnen verläuft.
Eine weitere ist die Ebene, die die beiden Diagonalen $\overline{OB}$ und $\overline{DF}$ enthält.
(2)
$\blacktriangleright$  Volumengleichheit begründen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Zur Grund- und Deckfläche parallele Ebene
Durch diese Ebene wird das Prisma in zwei gleiche Teilprismen geteilt. Die Grund- und Deckflächen sind genauso groß, wie die des gesamten Prismas $OABCDEFG.$
Die Höhe wird halbiert, sodass das Volumen des gesamten Prismas ebenfalls halbiert wird. Es entstehen also zwei Teilprismen mit gleicher Höhe, gleichgroßer Grundfläche und dementsprechend auch gleichem Volumen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg b: Ebene durch die beiden Diagonalen
Da es sich bei der Grundfläche und damit auch bei der Deckfläche um Drachenvierecke handelt, deren Symmetrieachse die Diagonale $\overline{OB}$ bzw. $\overline{DF}$ ist, werden die Grundfläche und die Deckfläche durch diese Ebene in zwei gleichgroße Dreiecke geteilt, die wiederum Grund- und Deckfläche der entstehenden Teilkörper bilden. Bei diesen Teilkörpern handelt es sich wieder um schiefe Prismen, deren Grundflächen gleich groß sind.
Die Höhe wird durch diesen Schnitt nicht verändert, beide Teilprismen besitzen also die gleiche Größe der Grundfläche und die gleiche Höhe und damit auch das gleiche Volumen. Es entstehen durch den Schnitt also zwei Teilkörper mit gleichem Volumen.
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Da der Punkt $B'$ auf der Strecke $\overline{OB}$ liegen muss, liegt er auf der Geraden mit der folgenden Gleichung:
$h:\quad \overrightarrow{OB'} = t\cdot \overrightarrow{OB} = t\cdot \pmatrix{0\\16\\-8}$
Der Parameter $t$ muss so gewählt werden, dass alle vier Seiten gleich lang sind, dass also insbesondere $\left|\overrightarrow{B'C}\right| =\left|\overrightarrow{OC}\right| $ gilt.
Aufgabe 3
Abb. 1: menu $\to$ 7: Matrix und Vektor $\to$ 1: Erstellen $\to$ 1: Matrix
Aufgabe 3
Abb. 1: menu $\to$ 7: Matrix und Vektor $\to$ 1: Erstellen $\to$ 1: Matrix
Für $t=0$ wäre $B'=O,$ was zum einen in der Aufgabenstellung ausgeschlossen ist, zum anderen dazu führen würde, dass es sich nicht mehr um ein Viereck handeln würde. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB'}&=& \frac{1}{2}\cdot \pmatrix{0\\16\\-8} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\8\\-4} \end{array}$
$ \overrightarrow{OB'} = \pmatrix{0\\8\\-4} $
Die Koordinaten von $B'$ lauten $B'(0\mid 8\mid -4).$
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Der gesuchte Punkt $P$ soll auf der Strecke $\overline{OA}$ liegen, muss also $s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2}$ erfüllen. Der Abstand vom Punkt $D$ kann als Funktion in $s$ aufgefasst werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(s)&=&\left|\overrightarrow{PD} \right| \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{-6s\\8-4s\\11+2s} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-6s)^2+(8-4s)^2+(11+2s)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{36s^2+ 64-64s+16s^2+121+44s+4s^2} \\[5pt] &=& \sqrt{56s^2 -20s +185} \\[5pt] \end{array}$
$ d(s)= … $
Aufgabe 3
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
Aufgabe 3
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
Betrachtet wird das Intervall $[0;1]$, da Werte außerhalb des Intervalls nicht relevant sind, da der Punkt dann nicht mehr auf der Strecke $\overline{OA}$ läge.
Für die Intervallränder gilt:
$\begin{array}[t]{rll} d(\frac{5}{28})&\approx&13,54 \\[5pt] d(0)&\approx& 13,60 \\[5pt] d(1)&\approx& 14,87 \end{array}$
Der Wert, für den $d$ also minimal ist, ist $s= \frac{5}{28}.$ Der Ortsvektor des zugehörigen Punkts ergibt sich zu:
$\overrightarrow{OP} = \frac{5}{28} \cdot \pmatrix{6\\4\\-2} = \pmatrix{\frac{15}{14}\\\frac{5}{12} \\ -\frac{5}{14}}$
$ \overrightarrow{OP} =\pmatrix{\frac{15}{14}\\\frac{5}{12} \\ -\frac{5}{14}} $
Die Koordinaten des Punkts mit dem geringsten Abstand zum Punkt $D$ lauten $P(\frac{15}{14}\mid \frac{5}{12} \mid -\frac{5}{14}).$
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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a)
(1)
$\blacktriangleright$  Parametergleichung aufstellen
Verwendet man als Stützpunkt den Punkt $O$ und als Spannvektoren die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OB},$ so erhält man folgende Ebenengleichung:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OO}+s\cdot \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8}\\[5pt] &=& s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2} +r\cdot\pmatrix{0\\16\\-8}\\[5pt] \end{array}$
$ H:\quad \overrightarrow{x} = … $
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung aufstellen
Ein Normalenvektor von $H$ ergibt sich beispielsweise über das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren von oben:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{6\\4\\-2} \times \pmatrix{0\\16\\-8} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\cdot (-8)-(-2)\cdot 16\\ -2\cdot 0 -6\cdot (-8)\\ 6\cdot 16 -4\cdot 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\48\\96} \\[5pt] &=& 48\cdot \pmatrix{0\\1\\2} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = 48\cdot \pmatrix{0\\1\\2} $
Einsetzen in die allgemeine Koordinatengleichung gemeinsam mit den Koordinaten von $O$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 &=& d \\[5pt] 0\cdot 0 +1\cdot 0 + 2\cdot 0&=&d \\[5pt] 0&=& d\\[5pt] \end{array}$
$ 0 = d $
Eine Koordinatengleichung lautet also:
$H:\quad x_2+2x_3 = 0$
(2)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Damit die Gerade senkrecht zu $H$ verläuft, muss ihr Richtungsvektor senkrecht zu $H$ verlaufen. Diese Bedingung erfüllt ein Normalenvektor von $H,$ also beispielsweise der oben berechnete.
Um sicher zu stellen, dass die Gerade durch den Punkt $D$ verläuft, kann dieser als Stützpunkt gewählt werden. Es ergibt sich folgende Gleichung:
$g:\overrightarrow{x}= \pmatrix{0\\8\\11} +t\cdot \pmatrix{0\\1\\2},$ $t\in\mathbb{R}$
(3)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Für die Geradengleichung gilt:
$g:\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3}= \pmatrix{0\\8\\11} +t\cdot \pmatrix{0\\1\\2}$
Einsetzen der Koordinaten in die Koordinatengleichung von $H$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x_2+2x_3&=& 0 \\[5pt] 8+1t +2\cdot (11+2t)&=&0 \\[5pt] 30 +5t&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;-30 \\[5pt] 5t&=& -30 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] t&=& -6 \end{array}$
$ t= -6 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert wiederum:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{0\\8\\11} -6\cdot \pmatrix{0\\1\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\2\\-1} \end{array}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{0\\2\\-1}$
Die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $H$ lauten $S(0\mid 2\mid -1).$
#kreuzprodukt
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Senkrechte Lage nachweisen
Die beiden Diagonalen sind senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt der zugehörigen Verbindungsvektoren null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{OB}&=& \pmatrix{-12\\0\\0}\circ\pmatrix{0\\16\\-8} \\[5pt] &=& -12\cdot 0 +0\cdot 16 +0\cdot (-8) \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{OB} = 0$
Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $ \overrightarrow{OB},$ und damit auch die zugehörigen Strecken, stehen also senkrecht zueinander.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt nachweisen
Die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AC}$ können mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OT}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{6\\4\\-2}+\pmatrix{-6\\4\\-2} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\4\\-2} \end{array}$
$\overrightarrow{OT} = \pmatrix{0\\4\\-2} $
Die Koordinaten des Mittelpunkts lauten also $T(0\mid 4\mid -2).$
Damit dies der Schnittpunkt von $\overline{AC}$ und $\overline{OB}$ ist, muss $T$ auch auf der Strecke $\overrightarrow{OB}$ liegen. Das ist der Fall wenn $\overrightarrow{OT}$ und $\overrightarrow{OB}$ linear abhängig sind:
$ \pmatrix{0\\16\\-8} = 4\cdot \pmatrix{0\\4\\-2} $
Es gilt also $ \overrightarrow{OB} = 4\cdot\overrightarrow{OT}.$ Da der Faktor $4$ positiv und größer als $1$ ist, liegt der Punkt $T$ zwischen $O$ und $B$ und liegt damit ebenfalls auf der Strecke $\overline{OB}.$
$T$ ist demnach der Schnittpunkt von $\overline{AC}$ und $\overline{OB}.$
(2)
$\blacktriangleright$  Volumen bestimmen
1. Schritt: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Der Flächeninhalt der Grundfläche $OABC$ ergibt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu:
$\begin{array}[t]{rll} G&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{AC} \right|\cdot \left|\overrightarrow{OB} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-12\\0\\0} \right| \cdot \left| \pmatrix{0\\16\\-8}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\sqrt{(-12)^2+0^2+0^2} \right| \cdot \left| \sqrt{0^2+16^2+(-8)^2}\right| \\[5pt] &=& 48\sqrt{5}\\[5pt] \end{array}$
$ G= 48\sqrt{5}$
2. Schritt: Höhe berechnen
Da Grund- und Deckfläche parallel sind und die Grundfläche in der Ebene $H$ liegt, entspricht die Höhe des schiefen Prismas beispielsweise dem Abstand des Punkts $D$ zur Ebene $H.$ Mithilfe der bereits bestimmten Koordinatengleichung von $H$ kann die Hessesche Normalform bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad x_2+2x_3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: \sqrt{0^2+1^2+2^2} \\[5pt] \dfrac{x_2+2x_2}{\sqrt{5}}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{x_2+2x_2}{\sqrt{5}}= 0 $
Mit dieser kann nun der Abstand zum Punkt $D$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&d(H,D)\\[5pt] &=& \dfrac{8+2\cdot11}{\sqrt{5}} \\[5pt] &=& \dfrac{30}{\sqrt{5}} \\[5pt] \end{array}$
$ h = \dfrac{30}{\sqrt{5}} $
3. Schritt: Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &=& 48\sqrt{5}\cdot \dfrac{30}{\sqrt{5}}\\[5pt] &=& 1.440 \end{array}$
$ V = 1.440 $
Das Volumen des Prismas $OABCDEFG$ beträgt $1.440\,\text{VE}.$
#skalarprodukt#vektorbetrag
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Die Lage zweier Ebenen beschreiben
Eine Ebene, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile teilt, ist die, die parallel zu der Grundfläche und der Deckfläche und genau in der Mitte zwischen ihnen verläuft.
Eine weitere ist die Ebene, die die beiden Diagonalen $\overline{OB}$ und $\overline{DF}$ enthält.
(2)
$\blacktriangleright$  Volumengleichheit begründen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Zur Grund- und Deckfläche parallele Ebene
Durch diese Ebene wird das Prisma in zwei gleiche Teilprismen geteilt. Die Grund- und Deckflächen sind genauso groß, wie die des gesamten Prismas $OABCDEFG.$
Die Höhe wird halbiert, sodass das Volumen des gesamten Prismas ebenfalls halbiert wird. Es entstehen also zwei Teilprismen mit gleicher Höhe, gleichgroßer Grundfläche und dementsprechend auch gleichem Volumen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg b: Ebene durch die beiden Diagonalen
Da es sich bei der Grundfläche und damit auch bei der Deckfläche um Drachenvierecke handelt, deren Symmetrieachse die Diagonale $\overline{OB}$ bzw. $\overline{DF}$ ist, werden die Grundfläche und die Deckfläche durch diese Ebene in zwei gleichgroße Dreiecke geteilt, die wiederum Grund- und Deckfläche der entstehenden Teilkörper bilden. Bei diesen Teilkörpern handelt es sich wieder um schiefe Prismen, deren Grundflächen gleich groß sind.
Die Höhe wird durch diesen Schnitt nicht verändert, beide Teilprismen besitzen also die gleiche Größe der Grundfläche und die gleiche Höhe und damit auch das gleiche Volumen. Es entstehen durch den Schnitt also zwei Teilkörper mit gleichem Volumen.
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Da der Punkt $B'$ auf der Strecke $\overline{OB}$ liegen muss, liegt er auf der Geraden mit der folgenden Gleichung:
$h:\quad \overrightarrow{OB'} = t\cdot \overrightarrow{OB} = t\cdot \pmatrix{0\\16\\-8}$
Der Parameter $t$ muss so gewählt werden, dass alle vier Seiten gleich lang sind, dass also insbesondere $\left|\overrightarrow{B'C}\right| =\left|\overrightarrow{OC}\right| $ gilt. Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
Aufgabe 3
Abb. 1: keyboard $\to$ Math2
Aufgabe 3
Abb. 1: keyboard $\to$ Math2
Für $t=0$ wäre $B'=O,$ was zum einen in der Aufgabenstellung ausgeschlossen ist, zum anderen dazu führen würde, dass es sich nicht mehr um ein Viereck handeln würde. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB'}&=& \frac{1}{2}\cdot \pmatrix{0\\16\\-8} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\8\\-4} \end{array}$
$ \overrightarrow{OB'} = \pmatrix{0\\8\\-4} $
Die Koordinaten von $B'$ lauten $B'(0\mid 8\mid -4).$
#vektorbetrag
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Der gesuchte Punkt $P$ soll auf der Strecke $\overline{OA}$ liegen, muss also $s\cdot \pmatrix{6\\4\\-2}$ erfüllen. Der Abstand vom Punkt $D$ kann als Funktion in $s$ aufgefasst werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(s)&=&\left|\overrightarrow{PD} \right| \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{-6s\\8-4s\\11+2s} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-6s)^2+(8-4s)^2+(11+2s)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{36s^2+ 64-64s+16s^2+121+44s+4s^2} \\[5pt] &=& \sqrt{56s^2 -20s +185} \\[5pt] \end{array}$
$ d(s)= … $
Aufgabe 3
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
Aufgabe 3
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
Betrachtet wird das Intervall $[0;1]$, da Werte außerhalb des Intervalls nicht relevant sind, da der Punkt dann nicht mehr auf der Strecke $\overline{OA}$ läge.
Für die Intervallränder gilt:
$\begin{array}[t]{rll} d(\frac{5}{28})&\approx&13,54 \\[5pt] d(0)&\approx& 13,60 \\[5pt] d(1)&\approx& 14,87 \end{array}$
Der Wert, für den $d$ also minimal ist, ist $s= \frac{5}{28}.$ Der Ortsvektor des zugehörigen Punkts ergibt sich zu:
$\overrightarrow{OP} = \frac{5}{28} \cdot \pmatrix{6\\4\\-2} = \pmatrix{\frac{15}{14}\\\frac{5}{12} \\ -\frac{5}{14}}$
$ \overrightarrow{OP} =\pmatrix{\frac{15}{14}\\\frac{5}{12} \\ -\frac{5}{14}} $
Die Koordinaten des Punkts mit dem geringsten Abstand zum Punkt $D$ lauten $P(\frac{15}{14}\mid \frac{5}{12} \mid -\frac{5}{14}).$
#extrempunkt#vektorbetrag
Bildnachweise [nach oben]
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