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Aufgabe 2

Aufgaben
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Die Zeitspanne vom Sonnenaufgang (Zeitpunkt, zu dem die Oberkante der Sonne den Horizont überschreitet) bis zum Sonnenuntergang (Zeitpunkt, zu dem die Oberkante der Sonne den Horizont unterschreitet) wird als Tageslänge bezeichnet. Sie hängt vom Ort ab und ändert sich im Verlauf des Jahres.
In der folgenden Abbildung sind die Tageslängen in der kleinen ostwestfälischen Stadt Rahden für jeden ersten Tag eines Monats im Zeitraum vom 1. Januar 2017 bis zum 1. Januar 2018 aufgetragen. Darüber hinaus ist der Graph einer ganzrationalen Funktion $f$ dargestellt, mit der ein Schüler die Tageslängen modelliert hat.
Vereinfachend wird hier angenommen, dass alle Monate die gleiche Länge von $30$ Tagen haben.
Dabei entspricht $t = 0$ dem 1. Januar 2017, $t = \frac{1}{3}\approx 0,03$ entspricht dem 2. Januar 2017, …, $t = 1$ entspricht dem 1. Februar 2017, $t = 1\frac{1}{30}\approx 1,03$ entspricht dem 2. Februar 2017 usw.
a)
Entscheide anhand der Abbildung, welchen Grad die ganzrationale Funktion $f$ mindestens haben muss, und begründe deine Entscheidung.
(4 BE)
#ganzrationalefunktion
Aufgrund zu großer Abweichungen hat der Schüler die Modellierung mit der Funktion $f$ wieder verworfen. In einem neuen Ansatz hat er zur Modellierung der Tageslängen in Rahden im Zeitraum vom 1. Januar 2017 bis zum 21. Juni 2017 für $0 \leq t \leq 5,67$ die Funktion $g$ mit der Gleichung
$g (t)= -0,08\cdot t^3 +0,6324\cdot t^2 +0,54432\cdot t+8 ,$
$ g(t)= … $
$t \in \mathbb{R},$
verwendet. Dabei wird $g(t)$ als Tageslänge in Stunden aufgefasst.
b)
(1)
Ermittle mit der Funktion $g$ die Tageslänge in Rahden für den heutigen Tag (3. Mai, also $t \approx 4,07$ ) und vergleiche den von dir berechneten Wert mit der tatsächlichen heutigen Tageslänge in Rahden von $15$ Stunden und $10$ Minuten.
(4 BE)
(2)
Gib den Wert des Terms $\dfrac{g(4)-g(2)}{2}$ an und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
(4 BE)
(3)
Vom 1. Januar 2017 bis zum 21. Juni 2017 $(t \approx 5,67 )$ werden nördlich des Äquators (und damit auch in Rahden) die Tage immer länger.
Zeige rechnerisch, dass diese Tatsache durch die Funktion $g$ zutreffend modelliert wird.
(6 BE)
(4)
Weise nach, dass folgende Aussage gilt:
$g ''(t) < 0$ für alle $t \in\mathbb{R}$ mit $t > 2,635.$
Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage für $2,635 < t < 5,67$ unter Berücksichtigung von b) (3) im Sachzusammenhang.
[Hinweis: Ein Nachweis der Aussage ist nicht erforderlich.]
(7 BE)
(5)
Entscheide, ob die Funktion $g$ zur Modellierung der Tageslängen für das gesamte Jahr 2017 geeignet ist, und begründe deine Entscheidung.
(3 BE)
c)
Der 21. Juni 2017 $( t \approx 5,67 )$ ist der längste Tag des Jahres 2017, der 21. Dezember 2017 $( t \approx 11,67 )$ ist der kürzeste Tag des Jahres 2017 in Rahden.
Eine Freundin des Schülers schlägt vor, zur Modellierung der Tageslängen vom 21. Juni 2017 bis zum 1. Januar 2018 für $5,67 \leq t \leq 12$ eine ganzrationale Funktion $h$ dritten Grades zu verwenden, deren Ableitung $h'$ eine quadratische Funktion von folgender Form ist:
$ h'(t)= a \cdot ( t - 5,67) \cdot (t - 11,67) ,$ $t \in \mathbb{R},$
wobei $a$ eine noch zu ermittelnde reelle Zahl ist.
(1)
Begründe, dass es sinnvoll ist, von dem Ansatz $h'(t) = a \cdot ( t - 5,67) \cdot (t - 11,67)$ auszugehen, wenn die Tageslängen ab dem 21. Juni 2017 durch eine ganzrationale Funktion $h$ dritten Grades modelliert werden sollen.
(4 BE)
(2)
Vom 21. Juni 2017 bis zum 21. Dezember 2017 werden die Tage in Rahden um insgesamt $9,15$ Stunden kürzer.
Ermittle $a$ passend zu diesem Wert.
[Zur Kontrolle: $a \approx 0,25417$]
(4 BE)
(3)
Bestimme ausgehend von den Betrachtungen in c) (1) und (2) eine Gleichung einer Funktion $h$ zur Modellierung der Tageslängen in Rahden vom 21. Juni 2017 bis zum 1. Januar 2018, in der kein Integralzeichen auftritt.
(4 BE)
#integral
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen TI
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a)
$\blacktriangleright$  Grad der ganzrationalen Funktion angeben
Aufgabe 2 Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph mindestens zwei Wendepunkte besitzt, bei $t\approx 2$ und $t\approx 9.$ Das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt lautet $f''(t)=0.$ Die zweite Ableitung von $f$ muss also mindestens zwei Nullstellen besitzen. Da eine ganzrationale Funktion $n$-ten Grades höchstens $n$ Nullstellen besitzen kann, muss die zweite Ableitung mindestens zweiten Grades sein und damit die eigentliche Funktion $f$ mindestens vierten Grades.
b)
(1)
Aufgabe 2
Abb. 1: Berechnung mit dem CAS
Aufgabe 2
Abb. 1: Berechnung mit dem CAS
(2)
$\blacktriangleright$  Wert des Terms angeben
Wie oben ergibt sich mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{g(4)-g(2)}{2}&=& 2,09872 \end{array}$
Der Wert gibt die durchschnittliche Steigung des Graphen von $g$ im Intervall $[2;4]$ an. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Tageslänge in Stunden vom 1. März bis zum 1. Mai im Schnitt um ca. $2,1$ Stunden pro Monat zunimmt.
(3)
$\blacktriangleright$  Zutreffende Modellierung zeigen
Du sollst zeigen, dass die Funktion $g$ im Bereich $[0; 5,67]$ streng monoton wachsend ist.
Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die erste Ableitung von $g$ in diesem Bereich positiv ist, also $g'(t) >0$ gilt.
Die erste Ableitungsfunktion lautet:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)&=& 3\cdot (-0,08)\cdot t^2+2\cdot 0,6324\cdot t +0,54432 \\[5pt] &=& -0,24\cdot t^2 + 1,2648\cdot t+0,54432 \end{array}$
$ g'(t) = \approx $
Es ergibt sich folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)& >&0 \\[5pt] -0,24\cdot t^2 + 1,2648\cdot t+0,54432&>& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,24) \\[5pt] t^2-5,27\cdot t -2,268&<& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)& >&0 \\[5pt] … \\[5pt] \end{array}$
Mit der $pq$-Formel lassen sich jetzt die Stellen berechnen, an denen Gleichheit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1/2}&=& -\frac{-5,27}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-5,27}{2}\right)^2 +2,268} \\[5pt] &=& 2,635 \pm 3,035 \\[5pt] t_1&=& -0,4 \\[5pt] t_2&=& 5,67 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& -0,4 \\[5pt] t_2&=& 5,67 \\[5pt] \end{array}$
Ein Wert innerhalb des Intervalls wäre beispielsweise $t=0,$ für diesen gilt:
$0^2-5,27\cdot 0 -2,268 = -2,258 <0$
$0^2-5,27\cdot 0 -2,268 <0$
Damit ist der Term $t^2-5,27\cdot t -2,268$ für alle $t$ in dem Intervall $]-0,4;5,67[$ negativ. Aufgrund der vorherigen Umformungen ist damit auch $g'(t)>0$ für alle $t$ in dem Intervall $]-0,4; 5,67[.$
Die Funktion $g$ ist also auf diesem Intervall streng monoton steigend. Die Tageslänge wird also immer länger.
(4)
$\blacktriangleright$  Aussage nachweisen
Für die zweite Ableitung von $g$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& -0,08\cdot t^3 +0,6324\cdot t^2 +0,54432\cdot t+8 \\[5pt] g'(t)&=& -0,24\cdot t^2 + 1,2648\cdot t + 0,54432 \\[5pt] g''(t)&=& -0,48\cdot t + 1,2648 \end{array}$
$ g''(t)=… $
Bei der Geraden zu $g''$ handelt es sich um eine Gerade mit negativer Steigung, sie ist also fallend. Ihre Nullstelle liegt bei:
$\begin{array}[t]{rll} g''(t)&=& 0 \\[5pt] -0,48\cdot t + 1,2648&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1,2648 \\[5pt] -0,48\cdot t&=& -1,2648 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,48)\\[5pt] t&=& 2,635 \end{array}$
$ t= 2,635 $
Da $g''$ fallend ist, ist also $g''(t)< 0$ für alle $t> 2,635.$
$\blacktriangleright$  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren
Laut Aufgabe a) (3) gilt $f'(t)>0$ für $0\leq t < 5,67.$ Die Tage werden also immer länger.
Gilt nun noch $f''(t) <0$ für alle $t\in\mathbb{R}$ mit $t> 2,635,$ so wird diese Zunahme der Tageslänge immer langsamer.
Da $t\approx 2,635$ in etwa für den 19. März steht, werden die Tage zwar ab dem 19. März immer noch länger, allerdings wird die Differenz der Tageslängen, also der Zuwachs, immer geringer.
(5)
$\blacktriangleright$  Modellierung für das gesamte Jahr überprüfen
Aufgabe 2
Abb. 2: Nullstellenberechnung
Aufgabe 2
Abb. 2: Nullstellenberechnung
Dies ist nicht realistisch, selbst eine Tageslänge von $0$ Stunden ist nicht realistisch, da die Stadt Rahden in Nordrhein-Westfalen und damit in Deutschland liegt.
Spätestens aufgrund der negativen Werte kann $g$ also nicht zur Modellierung der Tageslänge für das gesamte Jahr 2017 geeignet sein.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Ansatz begründen
Angegeben ist, dass der 21. Juni 2017 der längste und der 21. Dezember 2017 der kürzeste Tag des Jahres ist.
Für $g$ muss also vorausgesetzt werden, dass ihr Graph an der Stelle $t\approx 5,67$ einen Hochpunkt und an der Stelle $t\approx 11,67$ einen Tiefpunkt besitzt. Für Extremstellen muss das notwendige Kriterium $h'(t)=0$ erfüllt sein.
Aufgrund der faktoriellen Darstellung wird durch den gewählten Ansatz sichergestellt, dass $h'$ an den Stellen $t= 5,67$ und $t=11,67$ Nullstellen besitzt, das obige Kriterium also erfüllt ist. Gleichzeitig sind dies die einzigen Nullstellen von $h',$ also die einzigen möglichen Extremstellen von $h,$ da eine ganzrationale Funktion zweiten Grades maximal zwei Nullstellen besitzen kann.
(2)
$\blacktriangleright$  Parameterwert berechnen
Die Bedingung, dass die Tage in Rahden insgesamt um $9,15$ Stunden kürzer werden, bedeutet: $h(5,67)- h(11,67) = 9,15.$ Da $h$ eine Stammfunktion von $h'$ sein muss, folgt:
$\begin{array}[t]{rll} h'(t) &=& a\cdot \left( t^2 -11,67\cdot t-5,67\cdot t +66,1689\right) \\[5pt] &=& a\cdot \left( t^2 -17,34\cdot t +66,1689\right)\\[10pt] h(t)&=&a\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot t^3 -8,67\cdot t^2 +66,1689\cdot t\right) +c \\[5pt] \end{array}$
$ h(t)= …$
Durch die obere Gleichung folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} 9,15&=& h(5,67)- h(11,67) \\[5pt] 9,15 &=& a\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot 5,67^3 -8,67\cdot 5,67^2 +66,1689\cdot 5,67\right) +c \\[5pt] && - \left(a\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot 11,67^3 -8,67\cdot 11,67^2 +66,1689\cdot 11,67\right) +c\right)\\[5pt] 9,15 &=&36a&\quad \scriptsize \mid\; : 36\\[5pt] 0,25417 &\approx&a \end{array}$
$ 0,25417 \approx a $
Der passende Wert ist $a\approx 0,25417.$
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Mit den Ergebnissen von oben ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} h(t)&=&a\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot t^3 -8,67\cdot t^2 +66,1689\cdot t\right) +c &\scriptsize \quad \mid \; a\approx 0,25\\[5pt] &=&0,25\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot t^3 -8,67\cdot t^2 +66,1689\cdot t\right) +c \\[5pt] &=&\frac{1}{12} \cdot t^3 - 2,1675\cdot t^2 + 16,542225 \cdot t +c \end{array}$
$ h(t)= …$
Als Bedingung für den Parameter $c$ kann verwendet werden, dass die Funktion $h$ die Tageslänge ab dem 21. Juni 2017 beschreiben soll, während die Funktion $g$ die Tageslänge bis zum 21. Juni 2017 beschreiben soll. Beide schließen den Wert $t= 5,67$ mit ein. Es sollte also $g(5,67)= h(5,67)$ gelten.
$\begin{array}[t]{rll} g(5,67)&=& -0,08\cdot 5,67^3 + 0,6324\cdot 5,67^2 + 0,54432\cdot 5,67 +8 \\[5pt] &\approx& 16,83 \\[5pt] \end{array}$
$ g(5,67)\approx 16,83 $
Es muss $c$ jetzt so gewählt werden, dass $h(5,67)=16,83$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} h(5,67)&=& 16,83 \\[5pt] \frac{1}{12}\cdot 5,67^3 - 2,1675\cdot 5,67^2 + 16,542225 \cdot 5,67 +c&=& 16,83 \\[5pt] 39,30 + c &\approx& 16,83 &\quad \scriptsize \mid\;- 39,30 \\[5pt] c&\approx& -22,47 \end{array}$
$ c\approx -22,47 $
Eine Gleichung von $h$ lautet also:
$h(t)= \frac{1}{12} \cdot t^3 - 2,1675\cdot t^2 + 16,542225 \cdot t -22,47.$
$ h(t)= … $
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Grad der ganzrationalen Funktion angeben
Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph mindestens zwei Wendepunkte besitzt, bei $t\approx 2$ und $t\approx 9.$ Das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt lautet $f''(t)=0.$ Die zweite Ableitung von $f$ muss also mindestens zwei Nullstellen besitzen. Da eine ganzrationale Funktion $n$-ten Grades höchstens $n$ Nullstellen besitzen kann, muss die zweite Ableitung mindestens zweiten Grades sein und damit die eigentliche Funktion $f$ mindestens vierten Grades.
b)
(1)
Aufgabe 2
Abb. 1: Berechnung mit dem CAS
Aufgabe 2
Abb. 1: Berechnung mit dem CAS
(2)
$\blacktriangleright$  Wert des Terms angeben
Wie oben ergibt sich mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{g(4)-g(2)}{2}&=& 2,09872 \end{array}$
Der Wert gibt die durchschnittliche Steigung des Graphen von $g$ im Intervall $[2;4]$ an. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Tageslänge in Stunden vom 1. März bis zum 1. Mai im Schnitt um ca. $2,1$ Stunden pro Monat zunimmt.
(3)
$\blacktriangleright$  Zutreffende Modellierung zeigen
Du sollst zeigen, dass die Funktion $g$ im Bereich $[0; 5,67]$ streng monoton wachsend ist.
Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die erste Ableitung von $g$ in diesem Bereich positiv ist, also $g'(t) >0$ gilt.
Die erste Ableitungsfunktion lautet:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)&=& 3\cdot (-0,08)\cdot t^2+2\cdot 0,6324\cdot t +0,54432 \\[5pt] &=& -0,24\cdot t^2 + 1,2648\cdot t+0,54432 \end{array}$
$ g'(t) = \approx $
Es ergibt sich folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)& >&0 \\[5pt] -0,24\cdot t^2 + 1,2648\cdot t+0,54432&>& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,24) \\[5pt] t^2-5,27\cdot t -2,268&<& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)& >&0 \\[5pt] … \\[5pt] \end{array}$
Mit der $pq$-Formel lassen sich jetzt die Stellen berechnen, an denen Gleichheit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1/2}&=& -\frac{-5,27}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-5,27}{2}\right)^2 +2,268} \\[5pt] &=& 2,635 \pm 3,035 \\[5pt] t_1&=& -0,4 \\[5pt] t_2&=& 5,67 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& -0,4 \\[5pt] t_2&=& 5,67 \\[5pt] \end{array}$
Ein Wert innerhalb des Intervalls wäre beispielsweise $t=0,$ für diesen gilt:
$0^2-5,27\cdot 0 -2,268 = -2,258 <0$
$0^2-5,27\cdot 0 -2,268 <0$
Damit ist der Term $t^2-5,27\cdot t -2,268$ für alle $t$ in dem Intervall $]-0,4;5,67[$ negativ. Aufgrund der vorherigen Umformungen ist damit auch $g'(t)>0$ für alle $t$ in dem Intervall $]-0,4; 5,67[.$
Die Funktion $g$ ist also auf diesem Intervall streng monoton steigend. Die Tageslänge wird also immer länger.
(4)
$\blacktriangleright$  Aussage nachweisen
Für die zweite Ableitung von $g$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& -0,08\cdot t^3 +0,6324\cdot t^2 +0,54432\cdot t+8 \\[5pt] g'(t)&=& -0,24\cdot t^2 + 1,2648\cdot t + 0,54432 \\[5pt] g''(t)&=& -0,48\cdot t + 1,2648 \end{array}$
$ g''(t)=… $
Bei der Geraden zu $g''$ handelt es sich um eine Gerade mit negativer Steigung, sie ist also fallend. Ihre Nullstelle liegt bei:
$\begin{array}[t]{rll} g''(t)&=& 0 \\[5pt] -0,48\cdot t + 1,2648&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1,2648 \\[5pt] -0,48\cdot t&=& -1,2648 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,48)\\[5pt] t&=& 2,635 \end{array}$
$ t= 2,635 $
Da $g''$ fallend ist, ist also $g''(t)< 0$ für alle $t> 2,635.$
$\blacktriangleright$  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren
Laut Aufgabe a) (3) gilt $f'(t)>0$ für $0\leq t < 5,67.$ Die Tage werden also immer länger.
Gilt nun noch $f''(t) <0$ für alle $t\in\mathbb{R}$ mit $t> 2,635,$ so wird diese Zunahme der Tageslänge immer langsamer.
Da $t\approx 2,635$ in etwa für den 19. März steht, werden die Tage zwar ab dem 19. März immer noch länger, allerdings wird die Differenz der Tageslängen, also der Zuwachs, immer geringer.
(5)
$\blacktriangleright$  Modellierung für das gesamte Jahr überprüfen
Aufgabe 2
Abb. 2: Nullstellenberechnung
Aufgabe 2
Abb. 2: Nullstellenberechnung
Dies ist nicht realistisch, selbst eine Tageslänge von $0$ Stunden ist nicht realistisch, da die Stadt Rahden in Nordrhein-Westfalen und damit in Deutschland liegt.
Spätestens aufgrund der negativen Werte kann $g$ also nicht zur Modellierung der Tageslänge für das gesamte Jahr 2017 geeignet sein.
#änderungsrate
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Ansatz begründen
Angegeben ist, dass der 21. Juni 2017 der längste und der 21. Dezember 2017 der kürzeste Tag des Jahres ist.
Für $g$ muss also vorausgesetzt werden, dass ihr Graph an der Stelle $t\approx 5,67$ einen Hochpunkt und an der Stelle $t\approx 11,67$ einen Tiefpunkt besitzt. Für Extremstellen muss das notwendige Kriterium $h'(t)=0$ erfüllt sein.
Aufgrund der faktoriellen Darstellung wird durch den gewählten Ansatz sichergestellt, dass $h'$ an den Stellen $t= 5,67$ und $t=11,67$ Nullstellen besitzt, das obige Kriterium also erfüllt ist. Gleichzeitig sind dies die einzigen Nullstellen von $h',$ also die einzigen möglichen Extremstellen von $h,$ da eine ganzrationale Funktion zweiten Grades maximal zwei Nullstellen besitzen kann.
(2)
$\blacktriangleright$  Parameterwert berechnen
Die Bedingung, dass die Tage in Rahden insgesamt um $9,15$ Stunden kürzer werden, bedeutet: $h(5,67)- h(11,67) = 9,15.$ Da $h$ eine Stammfunktion von $h'$ sein muss, folgt:
$\begin{array}[t]{rll} h'(t) &=& a\cdot \left( t^2 -11,67\cdot t-5,67\cdot t +66,1689\right) \\[5pt] &=& a\cdot \left( t^2 -17,34\cdot t +66,1689\right)\\[10pt] h(t)&=&a\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot t^3 -8,67\cdot t^2 +66,1689\cdot t\right) +c \\[5pt] \end{array}$
$ h(t)= …$
Durch die obere Gleichung folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} 9,15&=& h(5,67)- h(11,67) \\[5pt] 9,15 &=& a\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot 5,67^3 -8,67\cdot 5,67^2 +66,1689\cdot 5,67\right) +c \\[5pt] && - \left(a\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot 11,67^3 -8,67\cdot 11,67^2 +66,1689\cdot 11,67\right) +c\right)\\[5pt] 9,15 &=&36a&\quad \scriptsize \mid\; : 36\\[5pt] 0,25417 &\approx&a \end{array}$
$ 0,25417 \approx a $
Der passende Wert ist $a\approx 0,25417.$
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Mit den Ergebnissen von oben ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} h(t)&=&a\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot t^3 -8,67\cdot t^2 +66,1689\cdot t\right) +c &\scriptsize \quad \mid \; a\approx 0,25\\[5pt] &=&0,25\cdot \left( \frac{1}{3}\cdot t^3 -8,67\cdot t^2 +66,1689\cdot t\right) +c \\[5pt] &=&\frac{1}{12} \cdot t^3 - 2,1675\cdot t^2 + 16,542225 \cdot t +c \end{array}$
$ h(t)= …$
Als Bedingung für den Parameter $c$ kann verwendet werden, dass die Funktion $h$ die Tageslänge ab dem 21. Juni 2017 beschreiben soll, während die Funktion $g$ die Tageslänge bis zum 21. Juni 2017 beschreiben soll. Beide schließen den Wert $t= 5,67$ mit ein. Es sollte also $g(5,67)= h(5,67)$ gelten.
$\begin{array}[t]{rll} g(5,67)&=& -0,08\cdot 5,67^3 + 0,6324\cdot 5,67^2 + 0,54432\cdot 5,67 +8 \\[5pt] &\approx& 16,83 \\[5pt] \end{array}$
$ g(5,67)\approx 16,83 $
Es muss $c$ jetzt so gewählt werden, dass $h(5,67)=16,83$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} h(5,67)&=& 16,83 \\[5pt] \frac{1}{12}\cdot 5,67^3 - 2,1675\cdot 5,67^2 + 16,542225 \cdot 5,67 +c&=& 16,83 \\[5pt] 39,30 + c &\approx& 16,83 &\quad \scriptsize \mid\;- 39,30 \\[5pt] c&\approx& -22,47 \end{array}$
$ c\approx -22,47 $
Eine Gleichung von $h$ lautet also:
$h(t)= \frac{1}{12} \cdot t^3 - 2,1675\cdot t^2 + 16,542225 \cdot t -22,47.$
$ h(t)= … $
#stammfunktion
Bildnachweise [nach oben]
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