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Aufgabe 3

Aufgaben
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Aufgabenstellung
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $O(0\mid0\mid0)$, $A(6\mid8\mid0)$, $B(-2\mid14\mid0)$, $C(-8\mid6\mid0)$ und $S(-1\mid7\mid10)$ Eckpunkte der Pyramide $OABCS,$ deren Grundfläche das Viereck $OABC$ ist (siehe Abbildung).
Aufgabe 3 Abbildung
Aufgabe 3 Abbildung
Im Folgenden darf verwendet werden, dass die Seitendreiecke der Pyramide zueinander kongruent sind.
a) (1)  Zeige, dass das Viereck $OABC$ ein Quadrat ist.
(5P)
(2)  Berechne die Oberfläche der Pyramide $OABCS$.
(5P)
b) (1)  Leite eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ her, die durch die Punkte $B$, $C$ und $Q(3\mid4\mid10)$ festgelegt ist.
(5P)
$\;\;$  Diese Ebene gehört zu der durch $E_a:-4a\cdot x_1+3a\cdot x_2+25\cdot x_3=50a,\;\;\;a\in\mathbb{R}$, gegebenen Ebenenschar. [Zur Kontrolle: $E=E_5$.]
(2)  Zeige, dass die Punkte $B$ und $C$ in jeder Ebene $E_a$ liegen.
(3P)
(3)  Nenne ohne Nachweis die verschiedenen Arten von Schnittgebilden, die beim Schnitt einer der Ebenen $E_a$ mit der Pyramide $OABCS$ entstehen können.
(4P)
(4)  Für genau einen Wert von $a$ ist das Schnittgebilde von Ebene und Pyramide ein Dreieck.
Bestimme den entsprechenden Wert von $a$.
(3P)
(5)  Die Ebene $E$ zerlegt die Pyramide $OABCS$ in zwei Teilkörper. Sie können ohne Nachweis verwenden, dass das Schnittgebilde den Flächeninhalt $\dfrac{400}{9}\cdot\sqrt{2}\,[\text{FE}]$ besitzt.
Bestimme ein Verhältnis der Rauminhalte der beiden Teilkörper.
(8P)
c)  Auf der Geraden $AS$ gibt es genau einen Punkt $P$, so dass die Strecken $\overline{OP}$ und $\overline{BP}$ senkrecht zu $AS$ sind.
(1)  Bestimme die Koordinaten von $P$.
[Zur Kontrolle: $P=\left(\dfrac{11}{3}\left|\dfrac{23}{3}\right|\dfrac{10}{3}\right)$.]
(6P)
(2)  Begründe, dass der Streckenzug $\overline{OPB}$ ein kürzester Weg von $O$ nach $B$ über den Mantel der Pyramide (Mantel: Oberfläche ohne Grundfläche) ist, und berechne die Länge des Streckenzuges.
(5P)
(3)  Es gibt einen weiteren Streckenzug $\overline{ONB}\;\;(N\neq P)$, der ein kürzester Weg von $O$ nach $B$ über den Mantel der Pyramide ist.
Begründe diese Aussage und bestimme die Koordinaten von $N$.
(6P)
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a)(1)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass $OABC$ ein Quadrat ist
Hier ist es deine Aufgabe zu zeigen, dass das Viereck $OABC$ ein Quadrat ist. Die Punkte $O$, $A$, $B$ und $C$ liegen dabei in der $x_1$-$x_2$-Ebene. Also musst du Folgendes tun:
  1. Verbindungsvektoren, die die Seiten beschreiben, berechnen.
  2. Zeige, dass alle Seiten gleich lang sind.
    Die Länge der Seiten kannst du mit den Beträgen der entsprechenden Verbindungsvektoren berechnen.
  3. Zeige, dass jeder Innenwinkel ein rechter Winkel ist.
    Dies kannst du mit dem Skalarprodukt zeigen.
Hast du dies getan, so hast du gezeigt, dass $OABC$ ein Quadrat ist.
a)(2)
$\blacktriangleright$  Oberfläche der Pyramide berechnen
Der Flächeninhalt der Oberfläche $A$ ist durch eine Formel gegeben:
$A=A_G + A_M$
Hier ist $A_G$ der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide, $A_M$ ist der Flächeninhalt der Mantelfläche der Pyramide.
Die Grundfläche der Pyramide hat gerade die Form eines Quadrats. Die Länge der Seiten der Grundfläche hast du bereits in (1) berechnet.
Die Mantelfläche der Pyramide setzt sich aus den vier Seitendreiecken zusammen und entsprechendes gilt daher auch für den Flächeninhalt der Mantelfläche. Du kannst verwenden, dass die Seitendreiecke kongruent sind, also sind ihre Flächen gleich groß. Für den Flächeninhalt $A_\triangle$ eines Seitendreiecks ist der Flächeninhalt der Mantelfläche durch folgende Formel gegeben:
$A_M=4\cdot A_\triangle$
Berechne also zuerst den Flächeninhalt eines Seitendreiecks. Wähle das Seitendreieck $OAS$. Du benötigst nun die Höhe und die Länge der Grundseite des Dreiecks $OAS$. Wähle als Grundseite des Dreiecks die Seite $\overline{OA}$. Mit der Höhe $h_\triangle$ des Dreiecks kannst du die Fläche des Dreiecks folgendermaßen berechnen:
$A_\triangle=\dfrac{1}{2} \cdot h_\triangle \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right|$
Du musst noch die Höhe $h_\triangle$ berechnen. Betrachte dazu die untenstehende Skizze:
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Das Dreieck mit den Eckpunkten $EMS$ ist rechtwinklig und die Strecke zwischen $E$ und $S$ entspricht der Höhe $h_\triangle$. Also kannst du die Höhe $h_\triangle$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$h_S$ ist gerade die Höhe der Pyramide. Da die Grundfläche der Pyramide in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, ist die Höhe der Pyramide durch die $x_3$-Koordinate von $S$ gegeben. Also ist $h_S=10$. Es fehlt nun noch die Länge der Strecke $\overline{EM}$. Der Punkt $M$ ist gerade der Mittelpunkt der Grundfläche. Diese ist quadratisch und somit ist die Länge der Strecke $\overline{EM}$ die Hälfte der Länge der Seite $\overline{AB}$.
b)(1)
$\blacktriangleright$  Parameter- und Koordinatengleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$ herleiten
Da du drei Punkte gegeben hast, die in der Ebene $E$ liegen, ist es sinnvoll, zunächst die Parameterform der Ebene $E$ zu berechnen. Lege dazu fest, welchen Ortsvektor du als Stützvektor und welche Verbindungsvektoren du als Spannvektoren betrachtest. Diese kannst du dann in die Parameterform einsetzen.
Anschließend kannst du die Parameterform in die gesuchte Koordinatenform umwandeln. Berechne dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und den Parameter $d$ mit Hilfe einer Punktprobe. Damit erhältst du eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform.
b)(2)
$\blacktriangleright$  Lage der Punkte $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{C}$ in jeder Ebene $\boldsymbol{E_a}$ nachweisen
Führe eine Punktprobe durch, um zu zeigen, dass die Punkte $B$ und $C$ in jeder Ebene $E_a$ liegen. Setze dazu die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Koordinatengleichung $E_a$ ein und zeige, dass diese für alle $a \in \mathbb{R}$ erfüllt ist.
b)(3)
$\blacktriangleright$  Verschiedene Arten der Schnittgebilde nennen
Im vorigen Aufgabenteil hast du bewiesen, dass die Punkte $B$ und $C$ in jeder der Ebenen $E_a$ liegen. Damit enthält jede Ebene $E_a$ die Seitenkante $\overline{CB}$ der Pyramide. Überlege dir nun, auf welche verschiedenen Arten eine solche Ebene $E_a$ die Pyramide schneiden kann und welche Schnittgebilde daraus entstehen.
b)(4)
$\blacktriangleright$  Gesuchten Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Damit das Schnittgebilde von Ebene und Pyramide ein Dreieck ist, muss das Seitendreieck $BCS$ in der Ebene liegen. Also ist die Ebene $E_a$ gesucht, in der die Punkte $B$, $C$ und $S$ liegen.
Da $B$ und $C$ in jeder Ebene liegen, musst du die Ebene $E_a$ bestimmen, die auch $S$ enthält. Dazu kannst du die Koordinaten von $S\left(-1 \mid 7 \mid 10\right)$ in die allgemeine Koordinatengleichung $E_a$ einsetzen und nach $a$ auflösen.
b)(5)
$\blacktriangleright$  Verhältnis der Rauminhalte der beiden Teilkörper bestimmen
Die Ebene $E$ zerlegt die Pyramide $OABCS$ in eine „kleine“ Pyramide mit Spitze $S$ (oberer Teilkörper) und einen „Restkörper“, was du in folgender Skizze gut erkennen kannst:
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Um das Verhältnis der Rauminhalte der beiden Körper zu bestimmen, kannst du wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme zunächst das Volumen der Pyramide $OABCS$. Nutze dazu die bereits in Aufgabe a)(2) berechneten Werte für Grundfläche und Höhe der Pyramide.
  2. Berechne anschließend das Volumen der „kleinen“ Pyramide. Die Höhe der kleinen Pyramide ist der Abstand der Spitze $S$ von der Ebene $E$, den du über die Hesse'sche Normalenform berechnen kannst. Die Grundfläche ist in der Aufgabenstellung gegeben.
  3. Das Volumen des „Restkörpers“ ergibt sich aus der Differenz der „kleinen“ Pyramide und der Pyramide $OABCS$.
  4. Damit kannst du dann das Verhältnis der Rauminhalte der beiden Teilkörper ermitteln.
Das Volumen einer Pyramide ist durch folgende Formel gegeben:
$V=\dfrac{1}{3} \cdot A_G \cdot h_S$
Dabei ist $A_G$ die Grundfläche der Pyramide und $h_S$ die Höhe der Pyramide.
c)(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Der gesuchte Punkt $P$ soll auf der Geraden $AS$ liegen und erfüllen, dass $\overline{OP}$ und $\overline{BP}$ senkrecht zu $AS$ sind. Ermittle also eine Geradengleichung von $AS$, um die Form der Koordinaten des Punktes $P$ in Abhängigkeit des Parameters der Geradengleichung zu erhalten. Anschließend kannst du den genauen Parameter für $P$ bestimmen, indem du das Skalarprodukt von $\overline{OP}$ oder $\overline{BP}$ und dem Richtungsvektor von $AS$ berechnest, das gleich Null sein muss.
c)(2)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{\overline{OPB}}$ als einen kürzesten Weg begründen
Ein kürzester Weg von einem Punkt zu einer Geraden ist das Lot vom Punkt auf die Gerade. Nutze diese Eigenschaft, um die Behauptung zu begründen.
$\blacktriangleright$  Länge des Streckenzugs berechnen
Berechne die Länge des Streckenzugs $\overline{OPB}$ als Summe der Länge der Vektoren $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{BP}=\begin{pmatrix} -\frac{17}{3}\\\frac{19}{3}\\-\frac{10}{3}\end{pmatrix}$.
c)(3)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Nutze die Ebene $H$, die durch die Punkte $O$, $B$ und $S$ bestimmt ist, und eine Symmetrieebene der Pyramide ist.
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{N}$ bestimmen
Da die Ebene $H$ senkrecht zur $x$-$y$-Ebene steht, liegt $N\left(n_1 \mid n_2 \mid n_3\right)$ in „gleicher Höhe über der Grundfläche“ wie $P$, d.h. die $x_3$-Koordinaten der beiden Punkte stimmen überein.
Also ist $N$ der Schnittpunkt der Geraden durch die Punkte $C$ und $S$ mit der Ebene, die die Koordinatengleichung $x_3=\dfrac{10}{3}$ besitzt. Das Berechnen dieses Schnittpunkts liefert dir $N$.
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Lösungen TI
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a)(1)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass $OABC$ ein Quadrat ist
Hier ist es deine Aufgabe zu zeigen, dass das Viereck $OABC$ ein Quadrat ist. Die Punkte $O$, $A$, $B$ und $C$ liegen dabei in der $x_1$-$x_2$-Ebene. Also musst du Folgendes tun:
  1. Verbindungsvektoren, die die Seiten beschreiben, berechnen.
  2. Zeige, dass alle Seiten gleich lang sind.
    Die Länge der Seiten kannst du mit den Beträgen der entsprechenden Verbindungsvektoren berechnen.
  3. Zeige, dass jeder Innenwinkel ein rechter Winkel ist.
    Dies kannst du mit dem Skalarprodukt zeigen.
Hast du dies getan, so hast du gezeigt, dass $OABC$ ein Quadrat ist.
1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen
Die Seiten des Vierecks sind hier die Strecken $\overline{OA}$, $\overline{AB}$, $\overline{OC}$ und $\overline{CB}$. Berechne die dazugehörigen Verbindungsvektoren:
$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}-2\\ 14\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-8\\ 6\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\ 8\\ 0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}6\\ 8\\ 0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-2\\ 14\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\ 8\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\ 6\\ 0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}-8\\ 6\\ 0\end{pmatrix}$
Damit sind insbesondere die gegenüberliegenden Seiten $\overrightarrow{CB}$ und $\overrightarrow{OA}$, sowie $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{OC}$ gleich lang.
2. Schritt: Zeigen, dass alle Seiten gleich lang sind
Im 1. Schritt hast du bereits gezeigt, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Nun musst du nur noch zeigen, dass zwei anliegende Seiten gleich lang sind. Ist dies der Fall, so sind alle Seiten gleich lang. Zeige also, dass $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|$. Den Vektorbetrag kannst du mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen. Den Befehl für Vektoren findest du unter
menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ 1: Erstellen $\rightarrow$ 1: Matrix
$\left|\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|=10$
$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=10$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Somit sind alle Seiten gleich lang.
3. Schritt: Zeigen, dass jeder Innenwinkel ein rechter Winkel ist
Hier reicht es zu zeigen, dass ein Innenwinkel 90° ist. Da alle Seiten des Vierecks gleich lang sind, kannst du daraus folgern, dass alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Dies kannst du mit dem Skalarpodukt zeigen. Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich Null, so stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Berechne also $\overrightarrow{OA} \circ \overrightarrow{OC}$. Hierzu kannst du den dotP-Befehl deines CAS verwenden.
$\overrightarrow{OA} \circ \overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}6\\ 8\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-8\\ 6\\ 0\end{pmatrix}=0$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Damit hast du gezeigt, dass alle Innenwinkel des Vierecks rechte Winkel sind. Für das Viereck $OABC$ hast du nun alle 3 Bedingungen gezeigt, also ist $OABC$ ein Quadrat.
a)(2)
$\blacktriangleright$  Oberfläche der Pyramide berechnen
Der Flächeninhalt der Oberfläche $A$ ist durch eine Formel gegeben:
$A=A_G + A_M$
Hier ist $A_G$ der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide, $A_M$ ist der Flächeninhalt der Mantelfläche der Pyramide.
Die Grundfläche der Pyramide hat gerade die Form eines Quadrats. Die Länge der Seiten der Grundfläche hast du bereits in (1) berechnet. Also kannst du $A_G$ folgendermaßen berechnen:
$A_G=\left|\overrightarrow{OA}\right|^2=10^2=100$
Die Mantelfläche der Pyramide setzt sich aus den vier Seitendreiecken zusammen und entsprechendes gilt daher auch für den Flächeninhalt der Mantelfläche. Du kannst verwenden, dass die Seitendreiecke kongruent sind, also sind ihre Flächen gleich groß. Für den Flächeninhalt $A_\triangle$ eines Seitendreiecks ist der Flächeninhalt der Mantelfläche durch folgende Formel gegeben:
$A_M=4\cdot A_\triangle$
Berechne also zuerst den Flächeninhalt eines Seitendreiecks. Wähle das Seitendreieck $OAS$. Du benötigst nun die Höhe und die Länge der Grundseite des Dreiecks $OAS$. Wähle als Grundseite des Dreiecks die Seite $\overline{OA}$. Mit der Höhe $h_\triangle$ des Dreiecks kannst du die Fläche des Dreiecks folgendermaßen berechnen:
$A_\triangle=\dfrac{1}{2} \cdot h_\triangle \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right|$
Du musst noch die Höhe $h_\triangle$ berechnen. Betrachte dazu die untenstehende Skizze:
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Das Dreieck mit den Eckpunkten $EMS$ ist rechtwinklig und die Strecke zwischen $E$ und $S$ entspricht der Höhe $h_\triangle$. Also kannst du die Höhe $h_\triangle$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$h_S$ ist gerade die Höhe der Pyramide. Da die Grundfläche der Pyramide in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, ist die Höhe der Pyramide durch die $x_3$-Koordinate von $S$ gegeben. Also ist $h_S=10$. Es fehlt nun noch die Länge der Strecke $\overline{EM}$. Der Punkt $M$ ist gerade der Mittelpunkt der Grundfläche. Diese ist quadratisch und somit ist die Länge der Strecke $\overline{EM}$ die Hälfte der Länge der Seite $\overline{AB}$. Also gilt:
$\left|\overrightarrow{EM}\right|=\dfrac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|=\dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5$
Nun kannst du die Höhe $h_\triangle$ mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen:
$h_\triangle^2=h_S^2 + \left|\overrightarrow{EM}\right|^2=10^2 + 5^2=100 + 25=125$
Also: $h_\triangle=\sqrt{125}\approx11,18$
Damit kannst du nun die Oberfläche der Pyramide berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=A_G+A_M& \quad \scriptsize \mid\; A_M=4 \cdot A_\triangle\\[5pt] &=A_G+4\cdot A_M&\quad \scriptsize \mid\; A_\triangle=\dfrac{1}{2} \cdot h_\triangle \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right| \\[5pt] &=A_G + 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot h_\triangle \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right| \\[5pt] &=A_G + 2 \cdot h_\triangle \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right| \end{array}$
Hier kannst du die oben berechneten Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=100 + 2 \cdot 11,18 \cdot 10 \\[5pt] &=100 + 223,6 \\[5pt] &=323,61 \end{array}$
Die Oberfläche der Pyramide ist $323,61$ [FE].
b)(1)
$\blacktriangleright$  Parameter- und Koordinatengleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$ herleiten
Da du drei Punkte gegeben hast, die in der Ebene $E$ liegen, ist es sinnvoll, zunächst die Parameterform der Ebene $E$ zu berechnen. Lege dazu fest, welchen Ortsvektor du als Stützvektor und welche Verbindungsvektoren du als Spannvektoren betrachtest. Diese kannst du dann in die Parameterform einsetzen.
Anschließend kannst du die Parameterform in die gesuchte Koordinatenform umwandeln. Berechne dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und den Parameter $d$ mit Hilfe einer Punktprobe. Damit erhältst du eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform.
1. Schritt: Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
Wähle zunächst den Stützvektor und die Spannvektoren:
$\overrightarrow{OQ}$ sei der Stützvektor, $\overrightarrow{QB}$ und $\overrightarrow{QC}$ die Spannvektoren.
Du erhältst:
$\overrightarrow{OQ}=\begin{pmatrix}3\\4\\10\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OQ}= \begin{pmatrix}-2\\14\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\10\\-10\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OQ}= \begin{pmatrix}-8\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-11\\2\\-10\end{pmatrix}$ .
Einsetzen in die Parameterform liefert:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OQ} + t \cdot \overrightarrow{QB} + s \cdot \overrightarrow{QC}= \begin{pmatrix}3\\4\\10\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-5\\10\\-10\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-11\\2\\-10\end{pmatrix}$
2. Schritt: Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Für die Koordinatenform benötigst du zunächst den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$, den du mittels Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmen kannst. Anschließend kannst du den Parameter $d$ mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen. Das Kreuzprodukt lässt sich mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen:
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}-5\\10\\-10\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-11\\2\\-10\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -80\\60\\100 \end{pmatrix}$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Bestimme den Parameter $d$ mit Hilfe einer Punktprobe:
Du weißt bereits, dass $Q(3 \mid 4 \mid 10)$ aufgrund der Konstruktion in der Ebene $E$ liegt. Setze also $Q$ zusammen mit dem Normalenvektor in die Koordinatenform ein, um den Parameter $d$ zu ermitteln:
$E: n_1\cdot q_1 + n_2\cdot q_2 + n_3\cdot q_3= (-80)\cdot 3 + 60\cdot 4 + 1.000\cdot 10 =-240+240+1.000=1.000= d$
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform liefert das Ergebnis:
$\begin{array}{rll} E: &-80\cdot x_1 + 60\cdot x_2 + 100 \cdot x_3 =1.000 &\scriptsize \mid \ :4 \\[5pt] E: &-20 \cdot x_1 + 15\cdot x_2 + 25 \cdot x_3 =250 \end{array}$
Je nachdem, welche Vektoren als Stütz- und Spannvektoren gewählt wurden, sind noch andere Lösungsansätze möglich.
b)(2)
$\blacktriangleright$  Lage der Punkte $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{C}$ in jeder Ebene $\boldsymbol{E_a}$ nachweisen
Führe eine Punktprobe durch, um zu zeigen, dass die Punkte $B$ und $C$ in jeder Ebene $E_a$ liegen. Setze dazu die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Koordinatengleichung $E_a$ ein und zeige, dass diese für alle $a \in \mathbb{R}$ erfüllt ist.
$\blacktriangleright$  Lage von $\boldsymbol{B}$ in jeder Ebene $\boldsymbol{E_a}$ nachweisen
Einsetzen von $B\left(-2 \mid 14 \mid 0\right)$ in $E_a$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -4\cdot a \cdot (-2) + 3\cdot a \cdot 14 + 25 \cdot 0 =&50\cdot a \\[5pt] 8\cdot a + 42\cdot a =&50\cdot a \\[5pt] 50\cdot a =&50\cdot a &\scriptsize \mid\; :50 \\[5pt] a =& a \end{array}$
Diese Gleichung gilt für alle $a \in \mathbb{R}$, also liegt der Punkt $B$ in jeder Ebene $E_a$.
$\blacktriangleright$  Lage von $\boldsymbol{C}$ in jeder Ebene $\boldsymbol{E_a}$ nachweisen
Einsetzen von $B\left(-8 \mid 6 \mid 0\right)$ in $E_a$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -4\cdot a \cdot (-8) + 3\cdot a \cdot 6 + 25 \cdot 0 =&50\cdot a \\[5pt] 32\cdot a + 18\cdot a =&50\cdot a \\[5pt] 50\cdot a =&50\cdot a &\scriptsize \mid\; :50 \\[5pt] a =& a \end{array}$
Diese Gleichung gilt für alle $a \in \mathbb{R}$, also liegt der Punkt $C$ in jeder Ebene $E_a$.
b)(3)
$\blacktriangleright$  Verschiedene Arten der Schnittgebilde nennen
Im vorigen Aufgabenteil hast du bewiesen, dass die Punkte $B$ und $C$ in jeder der Ebenen $E_a$ liegen. Damit enthält jede Ebene $E_a$ die Seitenkante $\overline{CB}$ der Pyramide. Überlege dir nun, auf welche verschiedenen Arten eine solche Ebene $E_a$ die Pyramide schneiden kann und welche Schnittgebilde daraus entstehen:
  • Strecke: Die Ebene $E_a$ schneidet die Pyramide nur in der Seitenkante $\overline{CB}$.
  • Dreieck: Die Ebene $E_a$ schneidet die Pyramide im Seitendreieck $CBS$.
  • Quadrat: Die Ebene $E_a$ schneidet die Pyramide im Viereck $OABC$.
  • Trapez: Die Ebene $E_a$ schneidet die Pyramide in der Trapezfläche, die durch $B$, $C$ und jeweils einen Punkt auf der Seitenkanten $\overline{AS}$ und $\overline{OS}$ definiert ist.
b)(4)
$\blacktriangleright$  Gesuchten Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Damit das Schnittgebilde von Ebene und Pyramide ein Dreieck ist, muss das Seitendreieck $BCS$ in der Ebene liegen. Also ist die Ebene $E_a$ gesucht, in der die Punkte $B$, $C$ und $S$ liegen.
Da $B$ und $C$ in jeder Ebene liegen, musst du die Ebene $E_a$ bestimmen, die auch $S$ enthält. Dazu kannst du die Koordinaten von $S\left(-1 \mid 7 \mid 10\right)$ in die allgemeine Koordinatengleichung $E_a$ einsetzen und nach $a$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} -4\cdot a \cdot (-1) + 3\cdot a \cdot 7 + 25 \cdot 10 =&50\cdot a \\[5pt] 4\cdot a + 21\cdot a + 250 =&50\cdot a & \scriptsize \mid\; - 25\cdot a \\[5pt] 250 =&25\cdot a & \scriptsize \mid\; : 25 \\[5pt] 10 =&a \end{array}$
Also ist für $a=10$ das Schnittgebilde von Ebene und Pyramide das Dreieck $BCS$.
b)(5)
$\blacktriangleright$  Verhältnis der Rauminhalte der beiden Teilkörper bestimmen
Die Ebene $E$ zerlegt die Pyramide $OABCS$ in eine „kleine“ Pyramide mit Spitze $S$ (oberer Teilkörper) und einen „Restkörper“, was du in folgender Skizze gut erkennen kannst:
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Um das Verhältnis der Rauminhalte der beiden Körper zu bestimmen, kannst du wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme zunächst das Volumen der Pyramide $OABCS$. Nutze dazu die bereits in Aufgabe a)(2) berechneten Werte für Grundfläche und Höhe der Pyramide.
  2. Berechne anschließend das Volumen der „kleinen“ Pyramide. Die Höhe der kleinen Pyramide ist der Abstand der Spitze $S$ von der Ebene $E$, den du über die Hesse'sche Normalenform berechnen kannst. Die Grundfläche ist in der Aufgabenstellung gegeben.
  3. Das Volumen des „Restkörpers“ ergibt sich aus der Differenz der „kleinen“ Pyramide und der Pyramide $OABCS$.
  4. Damit kannst du dann das Verhältnis der Rauminhalte der beiden Teilkörper ermitteln.
Das Volumen einer Pyramide ist durch folgende Formel gegeben:
$V=\dfrac{1}{3} \cdot A_G \cdot h_S$
Dabei ist $A_G$ die Grundfläche der Pyramide und $h_S$ die Höhe der Pyramide.
1. Schritt: Volumen der Pyramide $\boldsymbol{ABCS}$ berechnen
Die Grundfläche der Pyramide $A_G=100$ und die Höhe $h_S=10$ hast du bereits in Aufgabe a) (2) berechnet.
$V= \dfrac{1}{3} \cdot 100 \cdot 10 = \dfrac{1.000}{3}\approx 333,33$.
2. Schritt: Volumen der „kleinen“ Pyramide berechnen
Die Grundfläche der „kleinen“ Pyramide $A_1=\dfrac{400}{9} \cdot \sqrt{2}$ ist in der Aufgabenstellung gegeben. Berechne also die Höhe $h_1$.
Bestimme zunächst die Hesse'sche Normalenform von der Ebene $ E: \, -20 \cdot x_1 + 15\cdot x_2 + 25 \cdot x_3 =250$. Lese dazu den Normalenvektor
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}-20\\15\\25\end{pmatrix}$:
aus der Koordinatengleichung von $E$ ab und bestimme dessen Länge:
$\left|\overrightarrow{n}\right| = \left|\begin{pmatrix}-20\\15\\25\end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-20)^2+15^2+25^2}=\sqrt{400+225+625}=\sqrt{1.250}=25 \cdot \sqrt{2}$
Damit erhältst du die Hesse'sche Normalenform von $E$:
$\dfrac{-20 \cdot x_1 + 15\cdot x_2 + 25 \cdot x_3-250}{25 \cdot \sqrt{2}}=0$.
Einsetzen von $S\left(-1 \mid 7 \mid 10\right)$ in die linke Seite der Hesse'schen Normalenform von $E$ liefert dir den Abstand von $S$ zur Ebene $E$, was gerade der gesuchten Höhe entspricht:
$h_1= \dfrac{-20 \cdot (-1) + 15\cdot 7 + 25 \cdot 10-250}{25 \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{20 + 105 + 250-250}{25 \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{125}{25 \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$
Nun kannst du $h_1$ und $A_1$ in die Formel zum Berechnen des Volumens einer Pyramide einsetzen und erhältst für das Volumen $V_1$ der „kleinen“ Pyramide:
$V_1=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{400}{9} \cdot \sqrt{2} \cdot \dfrac{5}{\sqrt{2}}= \dfrac{400 \cdot 5 \cdot \color{#dc1400}{\sqrt{2}}}{3 \cdot 9 \cdot \color{#dc1400}{\sqrt{2}}}=\dfrac{2.000}{27}\approx 74,07$.
3. Schritt: Volumen des „Restkörpers“ berechnen
Das Volumen $V_2$ des „Restkörpers“ ist die Differenz aus den Volumina der gesamten und der „kleinen“ Pyramide, also:
$V_2=\dfrac{1.000}{3}-\dfrac{2.000}{27}=\dfrac{9.000}{27}-\dfrac{2.000}{27}=\dfrac{7.000}{27}\approx 259,26$.
4. Schritt: Verhältnis ermitteln
Setze die beiden errechneten Volumina in Verhältnis zueinander:
$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\frac{2.000}{27}}{\frac{7.000}{27}}=\dfrac{2}{7}$.
Damit beträgt das Verhältnis von der „kleinen“ Pyramide zum „Restkörper“ $2:7$.
c)(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Der gesuchte Punkt $P$ soll auf der Geraden $AS$ liegen und erfüllen, dass $\overline{OP}$ und $\overline{BP}$ senkrecht zu $AS$ sind. Ermittle also eine Geradengleichung von $AS$, um die Form der Koordinaten des Punktes $P$ in Abhängigkeit des Parameters der Geradengleichung zu erhalten. Anschließend kannst du den genauen Parameter für $P$ bestimmen, indem du das Skalarprodukt von $\overline{OP}$ oder $\overline{BP}$ und dem Richtungsvektor von $AS$ berechnest, das gleich Null sein muss.
Da die Punkte $A\left(6 \mid 8 \mid 0\right)$ und $S\left(-1 \mid 7 \mid 10\right)$ auf der Geraden $AS$ liegen, kannst du $\overrightarrow{OA}$ als Stützvektor der Geraden und den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AS}$ als Richtungsvektor auffassen. Somit ergibt sich die Geradengleichung $g$:
$g \, : \,\overrightarrow{x}= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AS} \cdot r = \begin{pmatrix}6\\8\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-7\\-1\\10\end{pmatrix} \cdot r, \, r \in \mathbb{R}$
Also hat ein Punkt $P$ auf der Geraden $g$ folgende Gestalt:
$P\left( 6-7 \cdot r \mid 8 - r \mid 10 \cdot r\right)$.
Damit $\overline{OP}$ senkrecht zur Geraden $g$ ist, muss das Skalarprodukt aus $\overline{OP}$ und dem Richtungsvektor von $g$ gerade Null ergeben, die daraus resultierende Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS nach $r$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix} 6-7 \cdot r\\8 - r\\10 \cdot r\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-7\\-1\\10\end{pmatrix} \stackrel{!}{=}&0 \\[5pt] r =& \dfrac{1}{3} \end{array}$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Einsetzen von $r=\dfrac{1}{3}$ in die Koordinaten von $P$ ergibt:
$P\left( 6-7 \cdot \dfrac{1}{3} \mid 8 - \dfrac{1}{3} \mid 10 \cdot \dfrac{1}{3}\right) = P\left(\dfrac{11}{3} \mid \dfrac{23}{3} \mid \dfrac{10}{3}\right)$
Da man nur eine mögliche Lösung erhält, sind dies die gesuchten Koordinaten von $P$. Also lauten die Koordinaten $P\left(\dfrac{11}{3} \mid \dfrac{23}{3} \mid \dfrac{10}{3}\right)$.
c)(2)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{\overline{OPB}}$ als einen kürzesten Weg begründen
Ein kürzester Weg von einem Punkt zu einer Geraden ist das Lot vom Punkt auf die Gerade. Nutze diese Eigenschaft, um die Behauptung zu begründen.
Zunächst gilt, dass der Punkt $P$ auf der Seitenkante $\overline{AS}$ liegt:
$\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} \frac{11}{3}\\\frac{23}{3}\\\frac{10}{3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6\\8\\0 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}-7\\-1\\10\end{pmatrix}=\overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{3} \cdot \overrightarrow{AS}$
$P$ ist Fußpunkt des Lotes von $O$ auf $g$ sowie des Lotes von $B$ auf $g$, was du im vorigen Aufgabenteil bewiesen hast ($\overline{OP}$ und $\overline{BP}$ sind senkrecht zu $g$). Damit ist $\overline{OP}$ der kürzeste Weg von $O$ zur Geraden $g$ und $\overline{BP}$ der kürzeste Weg von $B$ zur Geraden $g$. Deswegen ist der Streckenzug $\overline{OPB}$ der kürzeste Weg von $O$ nach $B$ über die Dreiecksflächen $OAS$ und $ABS$.
Da die Ebene $H$, die durch die Punkte $O$, $B$ und $S$ bestimmt ist, eine Symmetrieebene der Pyramide ist ($H$ teilt die Pyramide in zwei symmetrische Teilkörper), gibt es keinen kürzeren Weg über die Dreiecksflächen $OCS$ und $CBS$.
$\blacktriangleright$  Länge des Streckenzugs berechnen
Berechne die Länge des Streckenzugs $\overline{OPB}$ als Summe der Länge der Vektoren $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{BP}=\begin{pmatrix} -\frac{17}{3}\\\frac{19}{3}\\-\frac{10}{3}\end{pmatrix}$.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overline{OPB}\right|=& \left|\overrightarrow{OP}\right| + \left|\overrightarrow{BP}\right| \\[5pt] =&\left|\begin{pmatrix} \frac{11}{3}\\\frac{23}{3}\\\frac{10}{3}\end{pmatrix}\right| + \left|\begin{pmatrix} -\frac{17}{3}\\\frac{19}{3}\\-\frac{10}{3}\end{pmatrix}\right| \\[5pt] =&\frac{2}{3} \cdot \sqrt{750} \\[5pt] \approx&18,26 \end{array}$
Also beträgt die Länge des Streckenzugs $\overline{OPB}$ etwa $18,26$ [LE].
c)(3)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Nutze die Ebene $H$, die durch die Punkte $O$, $B$ und $S$ bestimmt ist, und eine Symmetrieebene der Pyramide ist. Aufgrund dieser Symmetrie besitzt ein zu $\overline{OPB}$ entsprechender Streckenzug $\overline{ONB}$, der über die Dreiecksflächen $OCS$ und $CBS$ verläuft, dieselbe Länge. $N$ liegt dabei entsprechend auf der Kante $\overline{CS}$. Also ist $\overline{ONB}$ ebenso ein kürzester Weg über die Mantelfläche der Pyramide.
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{N}$ bestimmen
Da die Ebene $H$ senkrecht zur $x$-$y$-Ebene steht, liegt $N\left(n_1 \mid n_2 \mid n_3\right)$ in „gleicher Höhe über der Grundfläche“ wie $P$, d.h. die $x_3$-Koordinaten der beiden Punkte stimmen überein.
Also ist $N$ der Schnittpunkt der Geraden durch die Punkte $C$ und $S$ mit der Ebene, die die Koordinatengleichung $x_3=\dfrac{10}{3}$ besitzt. Das Berechnen dieses Schnittpunkts liefert dir $N$.
Die Geradengleichung der Geraden durch die Punkte $C$ und $S$ erhältst du, indem du $\overrightarrow{OC}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{CS}$ als Richtungsvektor wählst:
$h\, : \, \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OC} +\overrightarrow{CS} \cdot t= \begin{pmatrix} -8\\6\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}7\\1\\10\end{pmatrix}\cdot t, \, t \in \mathbb{R} $.
Für einen Schnittpunkt der Geraden $h$ und der Ebene mit Koordinatengleichung $x_3=\dfrac{10}{3}$ muss gelten:
$\dfrac{10}{3}=10\cdot t \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3}$.
Einsetzen von $t = \dfrac{1}{3}$ in die Geradengleichung $h$ liefert die Koordinaten von $N$:
$N\left(-8 + 7 \cdot \dfrac{1}{3} \mid 6 + \dfrac{1}{3} \mid 10 \cdot \dfrac{1}{3}\right)=N\left(-\dfrac{17}{3} \mid \dfrac{19}{3} \mid \dfrac{10}{3}\right)$.
Damit lauten die Koordinaten von $N$: $n_1=-\dfrac{17}{3}, \, n_2=\dfrac{19}{3}$ und $n_3=\dfrac{10}{3}$.
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a)(1)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass $OABC$ ein Quadrat ist
Hier ist es deine Aufgabe zu zeigen, dass das Viereck $OABC$ ein Quadrat ist. Die Punkte $O$, $A$, $B$ und $C$ liegen dabei in der $x_1$-$x_2$-Ebene. Also musst du Folgendes tun:
  1. Verbindungsvektoren, die die Seiten beschreiben, berechnen.
  2. Zeige, dass alle Seiten gleich lang sind.
    Die Länge der Seiten kannst du mit den Beträgen der entsprechenden Verbindungsvektoren berechnen.
  3. Zeige, dass jeder Innenwinkel ein rechter Winkel ist.
    Dies kannst du mit dem Skalarprodukt zeigen.
Hast du dies getan, so hast du gezeigt, dass $OABC$ ein Quadrat ist.
1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen
Die Seiten des Vierecks sind hier die Strecken $\overline{OA}$, $\overline{AB}$, $\overline{OC}$ und $\overline{CB}$. Berechne die dazugehörigen Verbindungsvektoren:
$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}-2\\ 14\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-8\\ 6\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\ 8\\ 0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}6\\ 8\\ 0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-2\\ 14\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\ 8\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\ 6\\ 0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}-8\\ 6\\ 0\end{pmatrix}$
Damit sind insbesondere die gegenüberliegenden Seiten $\overrightarrow{CB}$ und $\overrightarrow{OA}$, sowie $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{OC}$ gleich lang.
2. Schritt: Zeigen, dass alle Seiten gleich lang sind
Im 1. Schritt hast du bereits gezeigt, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Nun musst du nur noch zeigen, dass zwei anliegende Seiten gleich lang sind. Ist dies der Fall, so sind alle Seiten gleich lang. Zeige also, dass $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|$. Den Vektorbetrag kannst du mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen. Den Befehl für Vektoren findest du unter
keyboard $\rightarrow$ 2D $\rightarrow$ Calc
$\left|\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|=10$
$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=10$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Somit sind alle Seiten gleich lang.
3. Schritt: Zeigen, dass jeder Innenwinkel ein rechter Winkel ist
Hier reicht es zu zeigen, dass ein Innenwinkel 90° ist. Da alle Seiten des Vierecks gleich lang sind, kannst du daraus folgern, dass alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Dies kannst du mit dem Skalarpodukt zeigen. Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich Null, so stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Berechne also $\overrightarrow{OA} \circ \overrightarrow{OC}$. Hierzu kannst du den dotP-Befehl deines CAS verwenden.
$\overrightarrow{OA} \circ \overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}6\\ 8\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-8\\ 6\\ 0\end{pmatrix}=0$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Damit hast du gezeigt, dass alle Innenwinkel des Vierecks rechte Winkel sind. Für das Viereck $OABC$ hast du nun alle 3 Bedingungen gezeigt, also ist $OABC$ ein Quadrat.
a)(2)
$\blacktriangleright$  Oberfläche der Pyramide berechnen
Der Flächeninhalt der Oberfläche $A$ ist durch eine Formel gegeben:
$A=A_G + A_M$
Hier ist $A_G$ der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide, $A_M$ ist der Flächeninhalt der Mantelfläche der Pyramide.
Die Grundfläche der Pyramide hat gerade die Form eines Quadrats. Die Länge der Seiten der Grundfläche hast du bereits in (1) berechnet. Also kannst du $A_G$ folgendermaßen berechnen:
$A_G=\left|\overrightarrow{OA}\right|^2=10^2=100$
Die Mantelfläche der Pyramide setzt sich aus den vier Seitendreiecken zusammen und entsprechendes gilt daher auch für den Flächeninhalt der Mantelfläche. Du kannst verwenden, dass die Seitendreiecke kongruent sind, also sind ihre Flächen gleich groß. Für den Flächeninhalt $A_\triangle$ eines Seitendreiecks ist der Flächeninhalt der Mantelfläche durch folgende Formel gegeben:
$A_M=4\cdot A_\triangle$
Berechne also zuerst den Flächeninhalt eines Seitendreiecks. Wähle das Seitendreieck $OAS$. Du benötigst nun die Höhe und die Länge der Grundseite des Dreiecks $OAS$. Wähle als Grundseite des Dreiecks die Seite $\overline{OA}$. Mit der Höhe $h_\triangle$ des Dreiecks kannst du die Fläche des Dreiecks folgendermaßen berechnen:
$A_\triangle=\dfrac{1}{2} \cdot h_\triangle \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right|$
Du musst noch die Höhe $h_\triangle$ berechnen. Betrachte dazu die untenstehende Skizze:
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Das Dreieck mit den Eckpunkten $EMS$ ist rechtwinklig und die Strecke zwischen $E$ und $S$ entspricht der Höhe $h_\triangle$. Also kannst du die Höhe $h_\triangle$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$h_S$ ist gerade die Höhe der Pyramide. Da die Grundfläche der Pyramide in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, ist die Höhe der Pyramide durch die $x_3$-Koordinate von $S$ gegeben. Also ist $h_S=10$. Es fehlt nun noch die Länge der Strecke $\overline{EM}$. Der Punkt $M$ ist gerade der Mittelpunkt der Grundfläche. Diese ist quadratisch und somit ist die Länge der Strecke $\overline{EM}$ die Hälfte der Länge der Seite $\overline{AB}$. Also gilt:
$\left|\overrightarrow{EM}\right|=\dfrac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|=\dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5$
Nun kannst du die Höhe $h_\triangle$ mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen:
$h_\triangle^2=h_S^2 + \left|\overrightarrow{EM}\right|^2=10^2 + 5^2=100 + 25=125$
Also: $h_\triangle=\sqrt{125}\approx11,18$
Damit kannst du nun die Oberfläche der Pyramide berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=A_G+A_M& \quad \scriptsize \mid\; A_M=4 \cdot A_\triangle\\[5pt] &=A_G+4\cdot A_M&\quad \scriptsize \mid\; A_\triangle=\dfrac{1}{2} \cdot h_\triangle \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right| \\[5pt] &=A_G + 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot h_\triangle \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right| \\[5pt] &=A_G + 2 \cdot h_\triangle \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right| \end{array}$
Hier kannst du die oben berechneten Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=100 + 2 \cdot 11,18 \cdot 10 \\[5pt] &=100 + 223,6 \\[5pt] &=323,61 \end{array}$
Die Oberfläche der Pyramide ist $323,61$ [FE].
b)(1)
$\blacktriangleright$  Parameter- und Koordinatengleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$ herleiten
Da du drei Punkte gegeben hast, die in der Ebene $E$ liegen, ist es sinnvoll, zunächst die Parameterform der Ebene $E$ zu berechnen. Lege dazu fest, welchen Ortsvektor du als Stützvektor und welche Verbindungsvektoren du als Spannvektoren betrachtest. Diese kannst du dann in die Parameterform einsetzen.
Anschließend kannst du die Parameterform in die gesuchte Koordinatenform umwandeln. Berechne dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und den Parameter $d$ mit Hilfe einer Punktprobe. Damit erhältst du eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform.
1. Schritt: Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
Wähle zunächst den Stützvektor und die Spannvektoren:
$\overrightarrow{OQ}$ sei der Stützvektor, $\overrightarrow{QB}$ und $\overrightarrow{QC}$ die Spannvektoren.
Du erhältst:
$\overrightarrow{OQ}=\begin{pmatrix}3\\4\\10\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OQ}= \begin{pmatrix}-2\\14\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\10\\-10\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OQ}= \begin{pmatrix}-8\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-11\\2\\-10\end{pmatrix}$ .
Einsetzen in die Parameterform liefert:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OQ} + t \cdot \overrightarrow{QB} + s \cdot \overrightarrow{QC}= \begin{pmatrix}3\\4\\10\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-5\\10\\-10\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-11\\2\\-10\end{pmatrix}$
2. Schritt: Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Für die Koordinatenform benötigst du zunächst den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$, den du mittels Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmen kannst. Anschließend kannst du den Parameter $d$ mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen. Das Kreuzprodukt lässt sich mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen:
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}-5\\10\\-10\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-11\\2\\-10\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -80\\60\\100 \end{pmatrix}$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Bestimme den Parameter $d$ mit Hilfe einer Punktprobe:
Du weißt bereits, dass $Q(3 \mid 4 \mid 10)$ aufgrund der Konstruktion in der Ebene $E$ liegt. Setze also $Q$ zusammen mit dem Normalenvektor in die Koordinatenform ein, um den Parameter $d$ zu ermitteln:
$E: n_1\cdot q_1 + n_2\cdot q_2 + n_3\cdot q_3= (-80)\cdot 3 + 60\cdot 4 + 1.000\cdot 10 =-240+240+1.000=1.000= d$
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform liefert das Ergebnis:
$\begin{array}{rll} E: &-80\cdot x_1 + 60\cdot x_2 + 100 \cdot x_3 =1.000 &\scriptsize \mid \ :4 \\[5pt] E: &-20 \cdot x_1 + 15\cdot x_2 + 25 \cdot x_3 =250 \end{array}$
Je nachdem, welche Vektoren als Stütz- und Spannvektoren gewählt wurden, sind noch andere Lösungsansätze möglich.
b)(2)
$\blacktriangleright$  Lage der Punkte $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{C}$ in jeder Ebene $\boldsymbol{E_a}$ nachweisen
Führe eine Punktprobe durch, um zu zeigen, dass die Punkte $B$ und $C$ in jeder Ebene $E_a$ liegen. Setze dazu die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Koordinatengleichung $E_a$ ein und zeige, dass diese für alle $a \in \mathbb{R}$ erfüllt ist.
$\blacktriangleright$  Lage von $\boldsymbol{B}$ in jeder Ebene $\boldsymbol{E_a}$ nachweisen
Einsetzen von $B\left(-2 \mid 14 \mid 0\right)$ in $E_a$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -4\cdot a \cdot (-2) + 3\cdot a \cdot 14 + 25 \cdot 0 =&50\cdot a \\[5pt] 8\cdot a + 42\cdot a =&50\cdot a \\[5pt] 50\cdot a =&50\cdot a &\scriptsize \mid\; :50 \\[5pt] a =& a \end{array}$
Diese Gleichung gilt für alle $a \in \mathbb{R}$, also liegt der Punkt $B$ in jeder Ebene $E_a$.
$\blacktriangleright$  Lage von $\boldsymbol{C}$ in jeder Ebene $\boldsymbol{E_a}$ nachweisen
Einsetzen von $B\left(-8 \mid 6 \mid 0\right)$ in $E_a$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -4\cdot a \cdot (-8) + 3\cdot a \cdot 6 + 25 \cdot 0 =&50\cdot a \\[5pt] 32\cdot a + 18\cdot a =&50\cdot a \\[5pt] 50\cdot a =&50\cdot a &\scriptsize \mid\; :50 \\[5pt] a =& a \end{array}$
Diese Gleichung gilt für alle $a \in \mathbb{R}$, also liegt der Punkt $C$ in jeder Ebene $E_a$.
b)(3)
$\blacktriangleright$  Verschiedene Arten der Schnittgebilde nennen
Im vorigen Aufgabenteil hast du bewiesen, dass die Punkte $B$ und $C$ in jeder der Ebenen $E_a$ liegen. Damit enthält jede Ebene $E_a$ die Seitenkante $\overline{CB}$ der Pyramide. Überlege dir nun, auf welche verschiedenen Arten eine solche Ebene $E_a$ die Pyramide schneiden kann und welche Schnittgebilde daraus entstehen:
  • Strecke: Die Ebene $E_a$ schneidet die Pyramide nur in der Seitenkante $\overline{CB}$.
  • Dreieck: Die Ebene $E_a$ schneidet die Pyramide im Seitendreieck $CBS$.
  • Quadrat: Die Ebene $E_a$ schneidet die Pyramide im Viereck $OABC$.
  • Trapez: Die Ebene $E_a$ schneidet die Pyramide in der Trapezfläche, die durch $B$, $C$ und jeweils einen Punkt auf der Seitenkanten $\overline{AS}$ und $\overline{OS}$ definiert ist.
b)(4)
$\blacktriangleright$  Gesuchten Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Damit das Schnittgebilde von Ebene und Pyramide ein Dreieck ist, muss das Seitendreieck $BCS$ in der Ebene liegen. Also ist die Ebene $E_a$ gesucht, in der die Punkte $B$, $C$ und $S$ liegen.
Da $B$ und $C$ in jeder Ebene liegen, musst du die Ebene $E_a$ bestimmen, die auch $S$ enthält. Dazu kannst du die Koordinaten von $S\left(-1 \mid 7 \mid 10\right)$ in die allgemeine Koordinatengleichung $E_a$ einsetzen und nach $a$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} -4\cdot a \cdot (-1) + 3\cdot a \cdot 7 + 25 \cdot 10 =&50\cdot a \\[5pt] 4\cdot a + 21\cdot a + 250 =&50\cdot a & \scriptsize \mid\; - 25\cdot a \\[5pt] 250 =&25\cdot a & \scriptsize \mid\; : 25 \\[5pt] 10 =&a \end{array}$
Also ist für $a=10$ das Schnittgebilde von Ebene und Pyramide das Dreieck $BCS$.
b)(5)
$\blacktriangleright$  Verhältnis der Rauminhalte der beiden Teilkörper bestimmen
Die Ebene $E$ zerlegt die Pyramide $OABCS$ in eine „kleine“ Pyramide mit Spitze $S$ (oberer Teilkörper) und einen „Restkörper“, was du in folgender Skizze gut erkennen kannst:
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Um das Verhältnis der Rauminhalte der beiden Körper zu bestimmen, kannst du wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme zunächst das Volumen der Pyramide $OABCS$. Nutze dazu die bereits in Aufgabe a)(2) berechneten Werte für Grundfläche und Höhe der Pyramide.
  2. Berechne anschließend das Volumen der „kleinen“ Pyramide. Die Höhe der kleinen Pyramide ist der Abstand der Spitze $S$ von der Ebene $E$, den du über die Hesse'sche Normalenform berechnen kannst. Die Grundfläche ist in der Aufgabenstellung gegeben.
  3. Das Volumen des „Restkörpers“ ergibt sich aus der Differenz der „kleinen“ Pyramide und der Pyramide $OABCS$.
  4. Damit kannst du dann das Verhältnis der Rauminhalte der beiden Teilkörper ermitteln.
Das Volumen einer Pyramide ist durch folgende Formel gegeben:
$V=\dfrac{1}{3} \cdot A_G \cdot h_S$
Dabei ist $A_G$ die Grundfläche der Pyramide und $h_S$ die Höhe der Pyramide.
1. Schritt: Volumen der Pyramide $\boldsymbol{ABCS}$ berechnen
Die Grundfläche der Pyramide $A_G=100$ und die Höhe $h_S=10$ hast du bereits in Aufgabe a) (2) berechnet.
$V= \dfrac{1}{3} \cdot 100 \cdot 10 = \dfrac{1.000}{3}\approx 333,33$.
2. Schritt: Volumen der „kleinen“ Pyramide berechnen
Die Grundfläche der „kleinen“ Pyramide $A_1=\dfrac{400}{9} \cdot \sqrt{2}$ ist in der Aufgabenstellung gegeben. Berechne also die Höhe $h_1$.
Bestimme zunächst die Hesse'sche Normalenform von der Ebene $ E: \, -20 \cdot x_1 + 15\cdot x_2 + 25 \cdot x_3 =250$. Lese dazu den Normalenvektor
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}-20\\15\\25\end{pmatrix}$:
aus der Koordinatengleichung von $E$ ab und bestimme dessen Länge:
$\left|\overrightarrow{n}\right| = \left|\begin{pmatrix}-20\\15\\25\end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-20)^2+15^2+25^2}=\sqrt{400+225+625}=\sqrt{1.250}=25 \cdot \sqrt{2}$
Damit erhältst du die Hesse'sche Normalenform von $E$:
$\dfrac{-20 \cdot x_1 + 15\cdot x_2 + 25 \cdot x_3-250}{25 \cdot \sqrt{2}}=0$.
Einsetzen von $S\left(-1 \mid 7 \mid 10\right)$ in die linke Seite der Hesse'schen Normalenform von $E$ liefert dir den Abstand von $S$ zur Ebene $E$, was gerade der gesuchten Höhe entspricht:
$h_1= \dfrac{-20 \cdot (-1) + 15\cdot 7 + 25 \cdot 10-250}{25 \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{20 + 105 + 250-250}{25 \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{125}{25 \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$
Nun kannst du $h_1$ und $A_1$ in die Formel zum Berechnen des Volumens einer Pyramide einsetzen und erhältst für das Volumen $V_1$ der „kleinen“ Pyramide:
$V_1=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{400}{9} \cdot \sqrt{2} \cdot \dfrac{5}{\sqrt{2}}= \dfrac{400 \cdot 5 \cdot \color{#dc1400}{\sqrt{2}}}{3 \cdot 9 \cdot \color{#dc1400}{\sqrt{2}}}=\dfrac{2.000}{27}\approx 74,07$.
3. Schritt: Volumen des „Restkörpers“ berechnen
Das Volumen $V_2$ des „Restkörpers“ ist die Differenz aus den Volumina der gesamten und der „kleinen“ Pyramide, also:
$V_2=\dfrac{1.000}{3}-\dfrac{2.000}{27}=\dfrac{9.000}{27}-\dfrac{2.000}{27}=\dfrac{7.000}{27}\approx 259,26$.
4. Schritt: Verhältnis ermitteln
Setze die beiden errechneten Volumina in Verhältnis zueinander:
$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\frac{2.000}{27}}{\frac{7.000}{27}}=\dfrac{2}{7}$.
Damit beträgt das Verhältnis von der „kleinen“ Pyramide zum „Restkörper“ $2:7$.
c)(1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Der gesuchte Punkt $P$ soll auf der Geraden $AS$ liegen und erfüllen, dass $\overline{OP}$ und $\overline{BP}$ senkrecht zu $AS$ sind. Ermittle also eine Geradengleichung von $AS$, um die Form der Koordinaten des Punktes $P$ in Abhängigkeit des Parameters der Geradengleichung zu erhalten. Anschließend kannst du den genauen Parameter für $P$ bestimmen, indem du das Skalarprodukt von $\overline{OP}$ oder $\overline{BP}$ und dem Richtungsvektor von $AS$ berechnest, das gleich Null sein muss.
Da die Punkte $A\left(6 \mid 8 \mid 0\right)$ und $S\left(-1 \mid 7 \mid 10\right)$ auf der Geraden $AS$ liegen, kannst du $\overrightarrow{OA}$ als Stützvektor der Geraden und den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AS}$ als Richtungsvektor auffassen. Somit ergibt sich die Geradengleichung $g$:
$g \, : \,\overrightarrow{x}= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AS} \cdot r = \begin{pmatrix}6\\8\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-7\\-1\\10\end{pmatrix} \cdot r, \, r \in \mathbb{R}$
Also hat ein Punkt $P$ auf der Geraden $g$ folgende Gestalt:
$P\left( 6-7 \cdot r \mid 8 - r \mid 10 \cdot r\right)$.
Damit $\overline{OP}$ senkrecht zur Geraden $g$ ist, muss das Skalarprodukt aus $\overline{OP}$ und dem Richtungsvektor von $g$ gerade Null ergeben, die daraus resultierende Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS nach $r$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix} 6-7 \cdot r\\8 - r\\10 \cdot r\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-7\\-1\\10\end{pmatrix} \stackrel{!}{=}&0 \\[5pt] r =& \dfrac{1}{3} \end{array}$
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Einsetzen von $r=\dfrac{1}{3}$ in die Koordinaten von $P$ ergibt:
$P\left( 6-7 \cdot \dfrac{1}{3} \mid 8 - \dfrac{1}{3} \mid 10 \cdot \dfrac{1}{3}\right) = P\left(\dfrac{11}{3} \mid \dfrac{23}{3} \mid \dfrac{10}{3}\right)$
Da man nur eine mögliche Lösung erhält, sind dies die gesuchten Koordinaten von $P$. Also lauten die Koordinaten $P\left(\dfrac{11}{3} \mid \dfrac{23}{3} \mid \dfrac{10}{3}\right)$.
c)(2)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{\overline{OPB}}$ als einen kürzesten Weg begründen
Ein kürzester Weg von einem Punkt zu einer Geraden ist das Lot vom Punkt auf die Gerade. Nutze diese Eigenschaft, um die Behauptung zu begründen.
Zunächst gilt, dass der Punkt $P$ auf der Seitenkante $\overline{AS}$ liegt:
$\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} \frac{11}{3}\\\frac{23}{3}\\\frac{10}{3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6\\8\\0 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}-7\\-1\\10\end{pmatrix}=\overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{3} \cdot \overrightarrow{AS}$
$P$ ist Fußpunkt des Lotes von $O$ auf $g$ sowie des Lotes von $B$ auf $g$, was du im vorigen Aufgabenteil bewiesen hast ($\overline{OP}$ und $\overline{BP}$ sind senkrecht zu $g$). Damit ist $\overline{OP}$ der kürzeste Weg von $O$ zur Geraden $g$ und $\overline{BP}$ der kürzeste Weg von $B$ zur Geraden $g$. Deswegen ist der Streckenzug $\overline{OPB}$ der kürzeste Weg von $O$ nach $B$ über die Dreiecksflächen $OAS$ und $ABS$.
Da die Ebene $H$, die durch die Punkte $O$, $B$ und $S$ bestimmt ist, eine Symmetrieebene der Pyramide ist ($H$ teilt die Pyramide in zwei symmetrische Teilkörper), gibt es keinen kürzeren Weg über die Dreiecksflächen $OCS$ und $CBS$.
$\blacktriangleright$  Länge des Streckenzugs berechnen
Berechne die Länge des Streckenzugs $\overline{OPB}$ als Summe der Länge der Vektoren $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{BP}=\begin{pmatrix} -\frac{17}{3}\\\frac{19}{3}\\-\frac{10}{3}\end{pmatrix}$.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overline{OPB}\right|=& \left|\overrightarrow{OP}\right| + \left|\overrightarrow{BP}\right| \\[5pt] =&\left|\begin{pmatrix} \frac{11}{3}\\\frac{23}{3}\\\frac{10}{3}\end{pmatrix}\right| + \left|\begin{pmatrix} -\frac{17}{3}\\\frac{19}{3}\\-\frac{10}{3}\end{pmatrix}\right| \\[5pt] =&\frac{2}{3} \cdot \sqrt{750} \\[5pt] \approx&18,26 \end{array}$
Also beträgt die Länge des Streckenzugs $\overline{OPB}$ etwa $18,26$ [LE].
c)(3)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Nutze die Ebene $H$, die durch die Punkte $O$, $B$ und $S$ bestimmt ist, und eine Symmetrieebene der Pyramide ist. Aufgrund dieser Symmetrie besitzt ein zu $\overline{OPB}$ entsprechender Streckenzug $\overline{ONB}$, der über die Dreiecksflächen $OCS$ und $CBS$ verläuft, dieselbe Länge. $N$ liegt dabei entsprechend auf der Kante $\overline{CS}$. Also ist $\overline{ONB}$ ebenso ein kürzester Weg über die Mantelfläche der Pyramide.
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{N}$ bestimmen
Da die Ebene $H$ senkrecht zur $x$-$y$-Ebene steht, liegt $N\left(n_1 \mid n_2 \mid n_3\right)$ in „gleicher Höhe über der Grundfläche“ wie $P$, d.h. die $x_3$-Koordinaten der beiden Punkte stimmen überein.
Also ist $N$ der Schnittpunkt der Geraden durch die Punkte $C$ und $S$ mit der Ebene, die die Koordinatengleichung $x_3=\dfrac{10}{3}$ besitzt. Das Berechnen dieses Schnittpunkts liefert dir $N$.
Die Geradengleichung der Geraden durch die Punkte $C$ und $S$ erhältst du, indem du $\overrightarrow{OC}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{CS}$ als Richtungsvektor wählst:
$h\, : \, \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OC} +\overrightarrow{CS} \cdot t= \begin{pmatrix} -8\\6\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}7\\1\\10\end{pmatrix}\cdot t, \, t \in \mathbb{R} $.
Für einen Schnittpunkt der Geraden $h$ und der Ebene mit Koordinatengleichung $x_3=\dfrac{10}{3}$ muss gelten:
$\dfrac{10}{3}=10\cdot t \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3}$.
Einsetzen von $t = \dfrac{1}{3}$ in die Geradengleichung $h$ liefert die Koordinaten von $N$:
$N\left(-8 + 7 \cdot \dfrac{1}{3} \mid 6 + \dfrac{1}{3} \mid 10 \cdot \dfrac{1}{3}\right)=N\left(-\dfrac{17}{3} \mid \dfrac{19}{3} \mid \dfrac{10}{3}\right)$.
Damit lauten die Koordinaten von $N$: $n_1=-\dfrac{17}{3}, \, n_2=\dfrac{19}{3}$ und $n_3=\dfrac{10}{3}$.
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