Analysis 2

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f_a mit

$Formula: f_a(x)=\dfrac{60}{a}\cdot x\cdot(x-a)^2$ $Formula: f_a(x)=\dfrac{60}{a}\cdot x\cdot(x-a)^2$ und $Formula: a\in\mathbb{R}^+.$ $Formula: a\in\mathbb{R}^+.$

Der Graph von Formula: f_a wird mit Formula: G_a bezeichnet.

(1)

Begründe mithilfe des Funktionsterms von Formula: f_a, dass die Punkte $Formula: A(0\mid0)$ $Formula: A(0\mid0)$ und $Formula: B(a\mid0)$ $Formula: B(a\mid0)$ die einzigen gemeinsamen Punkte von Formula: G_a und der Formula: x -Achse sind.

Zeige, dass die Steigung von Formula: G_a im Punkt Formula: A dem Formula: 60 -fachen Wert von entspricht und dass die Formula: x -Achse die Tangente an im Punkt Formula: B ist.

(2)

Für jeden Wert von Formula: a schließt Formula: G_a mit der Formula: x -Achse eine Fläche ein.

Berechne den Wert von Formula: a, für den der Inhalt dieser Fläche $Formula: 10\;\mathrm{FE}$ $Formula: 10\;\mathrm{FE}$ beträgt.

(3)

Es gibt einen Wert von Formula: a, für den der Wendepunkt von Formula: G_a auf der Geraden mit der Gleichung Formula: y=x liegt.

Berechne diesen Wert von Formula: a.

(4)

Der Graph der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: w_a mit $Formula: w_a(x)=\tfrac{11}{10}\cdot f_a\left(\tfrac{11}{10}\cdot(12-x)\right)$ $Formula: w_a(x)=\tfrac{11}{10}\cdot f_a\left(\tfrac{11}{10}\cdot(12-x)\right)$ kann schrittweise aus Formula: G_a erzeugt werden durch:

Streckung mit einem Faktor in -Richtung.
Streckung mit einem Faktor in -Richtung.
Spiegelung an der -Achse.
Verschiebung um in positive -Richtung.

Betrachtet werden die auf Formula: G_a liegenden Punkte $Formula: A(0\mid0),$ $Formula: A(0\mid0),$ $Formula: B(a\mid0)$ $Formula: B(a\mid0)$ und $Formula: C(x_C\mid f_a(x_C))$ $Formula: C(x_C\mid f_a(x_C))$ mit Formula: 0<x_C<a. Auf dem Graphen von Formula: w_a gibt es Punkte $Formula: A^{\prime}, B^{\prime}$ $Formula: A^{\prime}, B^{\prime}$ und $Formula: C^{\prime},$ $Formula: C^{\prime},$ die durch die oben beschriebene Hintereinanderausführung der Transformationen 1. bis 4. aus den Punkten Formula: A, B bzw. hervorgehen.

Gib die Faktoren Formula: s_x und Formula: s_y an und beurteile folgende Aussage:

Die Dreiecke Formula: ABC und Formula: A'B'C' haben den gleichen Flächeninhalt.

(4 + 3 + 4 + 5 Punkte)

An einem bestimmten Sommertag hat das Strandbad an einem Badesee von 9:00 Uhr bis 21:00 Uhr geöffnet. Außerhalb der Öffnungszeiten befindet sich kein Gast im Strandbad. Am betrachteten Tag wird die Anzahl der Gäste erfasst, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad betreten. Dabei wird vereinfachend angenommen, dass an diesem Tag kein Gast mehr als einmal das Strandbad betritt.

Die in Formula: [0;12] definierte Funktion Formula: g ist durch

$Formula: g(x)=\begin{cases}f_{11}(x)&\text{für }0\leq x\leq11,\\0&\text{für }11\lt x\leq 12\end{cases}$ $Formula: g(x)=\begin{cases}f_{11}(x)&\text{für }0\leq x\leq11,\\0&\text{für }11\lt x\leq 12\end{cases}$

festgelegt. Die Funktion Formula: g beschreibt modellhaft die momentane Änderungsrate der erfassten Anzahl, die als Eingangsrate bezeichnet wird. Dabei ist Formula: x die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und Formula: g(x) die Eingangsrate in der Einheit „Gäste pro Stunde“.

(1)

Begründe die folgende Aussage:

Das Modell steht in Einklang damit, dass bereits ab 20:00 Uhr kein Gast mehr eingelassen wird.

(2)

Es gibt genau einen Zeitpunkt, zu dem die Eingangsrate ihren größten Wert annimmt.

Ermittle rechnerisch sowohl den Zeitpunkt als auch den Wert.

Die Anzahl der Gäste, die an dem betrachteten Tag bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad verlassen, wird ebenfalls erfasst. Die momentane Änderungsrate dieser Anzahl (Ausgangsrate) wird durch die in Formula: [0;12] definierte Funktion Formula: h beschrieben. Dabei ist Formula: x die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und Formula: h(x) die Ausgangsrate in der Einheit „Gäste pro Stunde“. In der Abbildung sind die Graphen von Formula: g und dargestellt.

Zwei überlappende Kurven: voller Graph g und gestrichelter Graph h, drei schattierte Bereiche I, II, III.

(3)

Die beiden Graphen und die Formula: x -Achse schließen drei Flächen ein, die in der Abbildung mit $Formula: \text{I}, \text{II}$ $Formula: \text{I}, \text{II}$ und $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ bezeichnet sind.

Erläutere im Sachzusammenhang, dass die Inhalte der Flächen $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ und $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ gleich sind.

(4)

Betrachtet wird zudem die in Formula: [0;12] definierte Funktion Formula: D mit

$Formula: D(x)=\displaystyle\int_0^x(g(t)-h(t))\,\mathrm dt.$ $Formula: D(x)=\displaystyle\int_0^x(g(t)-h(t))\,\mathrm dt.$

Im Bereich $Formula: 2\leq x\leq11$ $Formula: 2\leq x\leq11$ nimmt die Funktion Formula: D ihr Maximum an. In diesem Bereich schneiden sich die Graphen von Formula: g und Formula: h genau in einem Punkt, dessen Formula: x -Koordinate mit Formula: x_S bezeichnet wird.

Begründe, dass das Maximum von Formula: D an der Stelle Formula: x_S vorliegt, und gib die Bedeutung des Maximums von im Sachzusammenhang an.

(2 + 4 + 4 + 4 Punkte)

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(1)

Schnittpunkte mit der $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ Achse berechnen

Nach dem Satz des Nullprodukts sind die einzigen Nullstellen der Funktion Formula: x_1=0 und Formula: x_2=a. Somit schneidet der Graph die -Achse nur in den Punkten Formula: A und Formula: B.

Steigung von $Formula: \boldsymbol{G_a}$ $Formula: \boldsymbol{G_a}$ zeigen

Mit dem CAS folgt für die erste Ableitung von Formula: f_a:

$Formula: f_a'(x)=\frac{60}{a}\cdot (x-a)(3x-a)$ $Formula: f_a'(x)=\frac{60}{a}\cdot (x-a)(3x-a)$

Für Formula: x=0 gilt:

$Formula: \begin{array}{rcl}f_a'(0)&=&\dfrac{60}{a}\cdot(0-a)(3\cdot0-a)\\[5pt]&=&60a\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}f_a'(0)&=&\dfrac{60}{a}\cdot(0-a)(3\cdot0-a)\\[5pt]&=&60a\end{array}$

Tangente an $Formula: \boldsymbol{G_a}$ $Formula: \boldsymbol{G_a}$ zeigen

Für Formula: x=a gilt:

$Formula: f_a'(a)=\frac{60}{a}\cdot (a-a)(3a-a)=0$ $Formula: f_a'(a)=\frac{60}{a}\cdot (a-a)(3a-a)=0$

Die Tangente im Punkt $Formula: B(a \mid 0)$ $Formula: B(a \mid 0)$ ist also waagerecht. Da auf der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse liegt, ist die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse somit die Tangente an Formula: G_a im Punkt Formula: B.

(2)

$Formula: \begin{array}{rcll} \displaystyle\int_0^a f_a(x) \;\mathrm dx &=& 10 \\[5pt] \displaystyle\int_0^a \left(\dfrac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2\right) \;\mathrm dx &=& 10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \displaystyle\int_0^a f_a(x) \;\mathrm dx &=& 10 \\[5pt] \displaystyle\int_0^a \left(\dfrac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2\right) \;\mathrm dx &=& 10 \end{array}$

Auflösen nach Formula: a mit dem CAS liefert:

$Formula: a=\sqrt[3]{2}$ $Formula: a=\sqrt[3]{2}$

(3)

Für die zweite und dritte Ableitung von Formula: f_a folgt mit dem CAS:

$Formula: f_a''(x)=\frac{60}{a}(6x-4a)$ $Formula: f_a''(x)=\frac{60}{a}(6x-4a)$

$Formula: f_a'''(x)=\dfrac{360}{a}$ $Formula: f_a'''(x)=\dfrac{360}{a}$

Auflösen der notwendigen Bedingung für Wendestellen Formula: f_a''(x)=0 nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: x=\dfrac{2}{3}a$ $Formula: x=\dfrac{2}{3}a$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Wendestellen ergibt dann:

$Formula: f_a'''\left(\dfrac{2}{3}a\right) = \dfrac{360}{a}\gt 0$ $Formula: f_a'''\left(\dfrac{2}{3}a\right) = \dfrac{360}{a}\gt 0$

Damit ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Also liegt bei $Formula: x=\tfrac{2}{3}a$ $Formula: x=\tfrac{2}{3}a$ tatsächlich eine Wendestelle von Formula: G_a vor. Für den Funktionswert gilt:

$Formula: \begin{array}{rcl}f_a\left(\dfrac{2}{3}a\right)&=&\dfrac{60}{a}\cdot\dfrac{2}{3}a\cdot\left(\dfrac{2}{3}a-a\right)^2\\[5pt]&=&\dfrac{40}{9}a^2\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}f_a\left(\dfrac{2}{3}a\right)&=&\dfrac{60}{a}\cdot\dfrac{2}{3}a\cdot\left(\dfrac{2}{3}a-a\right)^2\\[5pt]&=&\dfrac{40}{9}a^2\end{array}$

Auflösen der Gleichung $Formula: \tfrac{40}{9}a^2=\tfrac{2}{3}a$ $Formula: \tfrac{40}{9}a^2=\tfrac{2}{3}a$ nach Formula: a mit dem CAS liefert:

$Formula: a=\dfrac{3}{20}$ $Formula: a=\dfrac{3}{20}$

Für den Wert $Formula: a = \tfrac{3}{20}$ $Formula: a = \tfrac{3}{20}$ liegt der Wendepunkt von Formula: G_a somit auf der Geraden Formula: y=x.

(4)

Faktoren angeben

$Formula: \begin{array}{rcl}s_x&=&\dfrac{10}{11} \\[5pt] s_y&=&\dfrac{11}{10} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}s_x&=&\dfrac{10}{11} \\[5pt] s_y&=&\dfrac{11}{10} \end{array}$

Aussage beurteilen

Die Strecken $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ und $Formula: \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ $Formula: \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ werden als die Grundseiten der Dreiecke Formula: ABC bzw. $Formula: A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ $Formula: A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ betrachtet. Die zugehörigen Höhen sind die Formula: y -Koordinaten Formula: y_C und $Formula: y_{C^{\prime}}$ $Formula: y_{C^{\prime}}$ der Punkte Formula: C bzw. $Formula: C^{\prime}.$ $Formula: C^{\prime}.$ Wegen $Formula: \left|\overline{A^{\prime} B^{\prime}}\right|=s_x \cdot\left|\overline{A B}\right|$ $Formula: \left|\overline{A^{\prime} B^{\prime}}\right|=s_x \cdot\left|\overline{A B}\right|$ und $Formula: y_{C^{\prime}}=s_y \cdot y_C$ $Formula: y_{C^{\prime}}=s_y \cdot y_C$ muss $Formula: s_x \cdot s_y=1$ $Formula: s_x \cdot s_y=1$ gelten, damit die Aussage wahr ist. Da $Formula: \tfrac{10}{11}\cdot\tfrac{11}{10}=1$ $Formula: \tfrac{10}{11}\cdot\tfrac{11}{10}=1$ gilt, ist das der Fall.

(1)

Im Modell entspricht Formula: x=11 dem Zeitpunkt 20:00 Uhr. Für $Formula: x \geq 11$ $Formula: x \geq 11$ gilt Formula: g(x)=0 und damit ist die Eingangsrate gemäß dem Modell gleich Null. Das Modell steht daher im Einklang mit der Aussage.

(2)

Für $Formula: 0 \leq x \leq 11$ $Formula: 0 \leq x \leq 11$ gilt:

$Formula: g'(x)=f_{11}'(x)=\frac{60}{11}\cdot (x-11)(3x-11)$ $Formula: g'(x)=f_{11}'(x)=\frac{60}{11}\cdot (x-11)(3x-11)$

Für $Formula: 11 < x \leq 12$ $Formula: 11 < x \leq 12$ gilt:

Formula: g'(x) = 0

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen $Formula: g'(x)=f'_{11}(x)=0$ $Formula: g'(x)=f'_{11}(x)=0$ im Intervall Formula: [0;11] liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$Formula: \begin{array}{rcl}x_1&=&\dfrac{11}{3} \\[5pt] x_2&=&11 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}x_1&=&\dfrac{11}{3} \\[5pt] x_2&=&11 \end{array}$

Für die möglichen Funktionswerte der Hochstelle folgt:

$Formula: \begin{array}{rcl}g(11)&=&\dfrac{60}{11} \cdot 11 \cdot (11-11)^2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g(11)&=&\dfrac{60}{11} \cdot 11 \cdot (11-11)^2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}g\left( \dfrac{11}{3} \right)&=& \dfrac{60}{11} \cdot \dfrac{11}{3} \cdot \left(\dfrac{11}{3} -11 \right)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{9680}{9} \\[5pt] &\approx&1075,56 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g\left( \dfrac{11}{3} \right)&=& \dfrac{60}{11} \cdot \dfrac{11}{3} \cdot \left(\dfrac{11}{3} -11 \right)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{9680}{9} \\[5pt] &\approx&1075,56 \end{array}$

Somit nimmt die Funktion Formula: g bei $Formula: x= \tfrac{11}{3}$ $Formula: x= \tfrac{11}{3}$ den maximalen Wert an. Es gilt $Formula: \tfrac{11}{3}\cdot 60 = 220.$ $Formula: \tfrac{11}{3}\cdot 60 = 220.$ Somit ist die Eingangsrate ca. 3:40 Stunden nach 9:00 Uhr, d.h. um 12:40 Uhr mit etwa Formula: 1076 Personen pro Stunde, am größten.

(3)

Der Inhalt der Fläche, die der Graph von Formula: g und die Formula: x -Achse einschließen, entspricht der Anzahl aller Gäste, die am betrachteten Tag das Strandbad betreten. Der Inhalt der Fläche, die der Graph von Formula: h und die -Achse einschließen, entspricht der Anzahl aller Gäste, die am betrachteten Tag das Strandbad verlassen. Die Gleichheit der Inhalte der Flächen $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ und $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ ist somit gleichbedeutend mit der Tatsache, dass am betrachteten Tag ebenso viele Gäste das Strandbad betreten wie verlassen.

(4)

Im Bereich $Formula: 2 \leq x \leq 11$ $Formula: 2 \leq x \leq 11$ ist Formula: x_S wegen $Formula: D^{\prime}(x)=g(x)-h(x)$ $Formula: D^{\prime}(x)=g(x)-h(x)$ die einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion Formula: D' von Formula: D. Da es sich um eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus handelt, nimmt die Funktion an dieser Stelle ihr Maximum an. Dieses Maximum entspricht im Modell der größten Anzahl der am betrachteten Tag sich gleichzeitig im Strandbad befindenden Gäste.

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