Aufgabe 2 — Schwingungsuntersuchung an einem Kirchturm

Hohe Bauwerke, z. B. Türme, führen bedingt durch äußere Einflüsse, z. B. Wind, mechanische Schwingungen aus. Bei Kirchtürmen können die sich im Inneren befindlichen Glocken zum Mitschwingen angeregt werden und sogar die Schwingung des Turmes verstärken. Die Glocken werden dabei als schwingungsfähige Körper betrachtet, deren Schallerzeugung für alle weiteren Betrachtungen nicht berücksichtigt wird.

Am Beispiel eines ungedämpft schwingenden Fadenpendels werden physikalische Grundlagen mechanischer Schwingungen betrachtet.

An einem Faden ist ein Körper befestigt. Dieses System ist schwingungsfähig. Die Länge dieses Fadenpendels beträgt $Formula: \ell=0{,}400\;\mathrm{m}$ $Formula: \ell=0{,}400\;\mathrm{m}$ und die Masse des angehängten Körpers $Formula: m=0{,}100\;\mathrm{kg}.$ $Formula: m=0{,}100\;\mathrm{kg}.$

Das Fadenpendel ist um den Winkel $Formula: \alpha=40^{\circ}$ $Formula: \alpha=40^{\circ}$ gegenüber der Gleichgewichtslage ausgelenkt.

Ermittle zeichnerisch den Betrag der zur Gleichgewichtslage rücktreibenden Kraft $Formula: \overrightarrow{F}_{\mathrm{rück}}.$ $Formula: \overrightarrow{F}_{\mathrm{rück}}.$

5 BE

Leite die Gleichung für die rücktreibende Kraft der harmonischen Schwingung des Fadenpendels $Formula: F_{\mathrm{rück}}=-\tfrac{m\cdot g}{\ell}\cdot y$ $Formula: F_{\mathrm{rück}}=-\tfrac{m\cdot g}{\ell}\cdot y$ auch unter Nutzung von Material 1 her. Die Auslenkung Formula: y entspricht der Länge des zum Auslenkwinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ zugehörigen Kreisbogens mit dem Radius $Formula: \ell.$ $Formula: \ell.$

3 BE

Allgemein gilt für die rücktreibende Kraft des schwingenden Fadenpendels $Formula: F_{\mathrm{rück}}=-\tfrac{m\cdot g}{\ell}\cdot\tfrac{\sin\alpha}{\alpha}\cdot y.$ $Formula: F_{\mathrm{rück}}=-\tfrac{m\cdot g}{\ell}\cdot\tfrac{\sin\alpha}{\alpha}\cdot y.$ Der Auslenkwinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ wird (in diesem Fall) im Bogenmaß gemessen.

Die Schwingung wird als harmonisch betrachtet, wenn die rücktreibende Kraft von der in Teilaufgabe 1 b angegebenen um maximal $Formula: 1{,}0\,\%$ $Formula: 1{,}0\,\%$ abweicht.

Das Fadenpendel aus Teilaufgabe 1 a wird freigegeben.

Beurteile, ob dieses harmonisch schwingt.

5 BE

Die Bewegung eines historischen Holzkirchturms wird unter Nutzung eines Beschleunigungssensors überwacht (Material 2).

Gib allgemein einen mathematischen Zusammenhang an, der zwischen der Beschleunigung eines schwingenden Körpers und der Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit besteht.

1 BE

Die maximale Geschwindigkeit des am Kirchturm befestigten Sensors beträgt $Formula: v_{\mathrm{max}}=6{,}1\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.$ $Formula: v_{\mathrm{max}}=6{,}1\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.$

Nach der DIN 4178 ist die Standsicherheit des Kirchturms mit der verwendeten Glocke nicht notwendigerweise gewährleistet. Die Glocke wird ausgetauscht und eine neue Messung gemacht (Material 2, Abbildung 1).

Beschreibe und begründe den Verlauf des Graphen.

8 BE

Ermittle den Betrag der maximalen Geschwindigkeit des an der Kirchturmwand befestigten und mitschwingenden Sensors sowie die Frequenz der Schwingung. Nutze Material 2, Abbildung 2.

[Kontrollergebnis: $Formula: v=9{,}4\cdot10^{-4}\;\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$ $Formula: v=9{,}4\cdot10^{-4}\;\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$ ]

5 BE

Bewerte auch unter Nutzung der DIN 4178 (Material 3), ob der Glockentausch sinnvoll war.

6 BE

Bei der Auswahl der Glocken muss darauf geachtet werden, dass es nicht zu Resonanz mit dem Kirchturm kommt.

Nenne die Voraussetzungen für Resonanz.

2 BE

Erläutere diesen Begriff für das System Glocke – Kirchturm. Gehe insbesondere auf die Amplitude und die Phasenverschiebung ein.

5 BE

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Material 1: Periodendauer einer harmonischen Schwingung

Für die Periodendauer Formula: T einer harmonischen Schwingung gilt $Formula: T = 2 \pi \sqrt{\tfrac{m}{D}}$ $Formula: T = 2 \pi \sqrt{\tfrac{m}{D}}$ mit der Richtgröße Formula: D. Für ein Fadenpendel gilt $Formula: T = 2 \pi \sqrt{\tfrac{\ell}{g}}$ $Formula: T = 2 \pi \sqrt{\tfrac{\ell}{g}}$ für kleine Auslenkwinkel $Formula: \alpha.$ $Formula: \alpha.$

Material 2: Untersuchung der Schwingung des Kirchturms

Ein Beschleunigungssensor ist am höchsten Punkt der Kirchturmwand angebracht. Aus dessen Messwerten wird die Auslenkung des Kirchturms Formula: y(t) aus der Gleichgewichtslage ermittelt und ausgegeben. Der Ort des Sensors ist der Referenzpunkt für die Auslenkung des Kirchturms.

Ab dem Zeitpunkt Formula: t = 0, kurz bevor die Glocke mitschwingt, wird das nachfolgend dargestellte $Formula: y(t)\text{-}$ $Formula: y(t)\text{-}$ Diagramm für die horizontale Auslenkung des Kirchturms aufgezeichnet (Abbildung 1). Die Aufhängung der Glocke ist mit dem Kirchturm fest verbunden.

Diagramm einer gedämpften Schwingung mit zunehmender Amplitude bis etwa 40 Sekunden.

Abbildung 1: $Formula: y(t)\text{-}$ $Formula: y(t)\text{-}$ Diagramm für die horizontale Auslenkung des Kirchturms

Sinusförmige Schwingung eines y-t-Diagramms mit Amplitude 0,3 mm.

Abbildung 2: Ausschnitt aus dem $Formula: y(t)\text{-}$ $Formula: y(t)\text{-}$ Diagramm aus Abbildung 1

Material 3: Auszug aus der DIN 4178 „Orientierungswerte der Schwinggeschwindigkeit bei Glockentürmen“

Deutsche Industrienormen (DIN) sind einheitliche Regeln und Standards, die in Deutschland für Technik, Produkte und Verfahren gelten. Die DIN 4178 ist eine solche Norm und enthält Vorgaben für den Neubau, Umbau und für Sanierungen von Glockentürmen.

Auszug aus der DIN 4178:

„Der Maximalwert der Schwinggeschwindigkeit ist bei resonanznaher Schwingung von balkenartigen Strukturen proportional zu den Beanspruchungen. [Die Tabelle] enthält Orientierungswerte der Schwinggeschwindigkeit gemessen im obersten Turmgeschoss [...], bei deren Einhaltung nach bisheriger Erfahrung keine weiteren dynamischen Untersuchungen rechnerischer oder messtechnischer Art erforderlich sind. Werden die Orientierungswerte nicht eingehalten, so heißt dies nicht, dass Schäden zu erwarten sind. Es ist dann aber die Unbedenklichkeit der Schwingungen hinsichtlich der Standsicherheit und Gebrauchstauglichkeit durch Plausibilitätsüberlegungen – auch unter Verwendung weiterer Messergebnisse –, Vergleichsbetrachtungen oder rechnerische Nachweise zu belegen. Die Abschätzung nach [der Tabelle] setzt voraus, dass der Turm keine Mängel aufweist, welche die Standsicherheit beeinträchtigen.“

Zeile	Bauart	Orientierungswert $Formula: \boldsymbol{v}$ $Formula: \boldsymbol{v}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mm}\cdot\mathrm{s}^{-1}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mm}\cdot\mathrm{s}^{-1}}$
	Historische Türme, allgemein
	Historische Holztürme
	Türme aus Ingenieurmauerwerk
	Türme aus Ingenieurholzbau
	Türme aus Stahlbeton
	Stahltürme

Tabelle 1: bauartabhängige Orientierungswerte
Quelle: DIN 4178

Ist ein Gebäude standsicher, so liegt eine dauerhafte Stabilität des Gebäudes vor. Es wird also nicht umkippen, einstürzen oder in anderer Weise unzulässig verformt werden. Dies bedeutet, dass das Gebäude alle auftretenden Kräfte sicher aufnehmen und ableiten kann, ohne dass eine Gefährdung vorliegt.

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Die Gewichtskraft des Pendelkörpers beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{G}} & = & m\cdot g\\[5pt]& = & 0{,}100\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\\[5pt]& = & 0{,}981\;\mathrm{N}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{G}} & = & m\cdot g\\[5pt]& = & 0{,}100\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\\[5pt]& = & 0{,}981\;\mathrm{N}\end{array}$

In der maßstäblichen Kraftzerlegung ist die tangential zur Pendelbahn und zur Gleichgewichtslage gerichtete Komponente die rücktreibende Kraft. Der Vergleich mit dem Kraftpfeil für $Formula: 1\;\mathrm{N}$ $Formula: 1\;\mathrm{N}$ ergibt $Formula: |F_{\mathrm{rück}}|\approx 0{,}63\;\mathrm{N}.$ $Formula: |F_{\mathrm{rück}}|\approx 0{,}63\;\mathrm{N}.$

Kräftezerlegung eines schwingenden Pendels mit Rückstellkraft und Gewichtskraft.

Material 1 gibt für eine harmonische Schwingung $Formula: T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}$ $Formula: T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}$ und für ein Fadenpendel bei kleinen Auslenkwinkeln $Formula: T=2\pi\sqrt{\tfrac{\ell}{g}}$ $Formula: T=2\pi\sqrt{\tfrac{\ell}{g}}$ an. Durch Gleichsetzen und Umstellen folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{m}{D} & = & \dfrac{\ell}{g} &\quad\scriptsize\mid\,\text{Kehrwert} \\[5pt] \dfrac{D}{m} & = & \dfrac{g}{\ell} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot m \\[5pt] D & = & \dfrac{m\cdot g}{\ell}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{m}{D} & = & \dfrac{\ell}{g} &\quad\scriptsize\mid\,\text{Kehrwert} \\[5pt] \dfrac{D}{m} & = & \dfrac{g}{\ell} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot m \\[5pt] D & = & \dfrac{m\cdot g}{\ell}\end{array}$

Mit dem linearen Kraftgesetz $Formula: F_{\mathrm{rück}}=-D\cdot y$ $Formula: F_{\mathrm{rück}}=-D\cdot y$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{rück}} & = & -D\cdot y\\[5pt]& = & -\dfrac{m\cdot g}{\ell}\cdot y\\[5pt]& = & -\dfrac{m\cdot g\cdot y}{\ell}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{rück}} & = & -D\cdot y\\[5pt]& = & -\dfrac{m\cdot g}{\ell}\cdot y\\[5pt]& = & -\dfrac{m\cdot g\cdot y}{\ell}\end{array}$

Bei gleicher Auslenkung Formula: y ist das Verhältnis der Kraftbeträge $Formula: \tfrac{|F_{\mathrm{rück,allg}}|}{|F_{\mathrm{rück,harm}}|}=\tfrac{\sin\alpha}{\alpha\cdot\tfrac{\pi}{180^{\circ}}}.$ $Formula: \tfrac{|F_{\mathrm{rück,allg}}|}{|F_{\mathrm{rück,harm}}|}=\tfrac{\sin\alpha}{\alpha\cdot\tfrac{\pi}{180^{\circ}}}.$ Für $Formula: \alpha=40^{\circ}$ $Formula: \alpha=40^{\circ}$ ergibt sich die relative Abweichung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\delta & = & 1-\dfrac{\sin\alpha}{\alpha\cdot\tfrac{\pi}{180^{\circ}}}\\[5pt]& = & 1-\dfrac{\sin(40^{\circ})}{40^{\circ}\cdot\tfrac{\pi}{180^{\circ}}}\\[5pt]& \approx & 0{,}079=7{,}9\,\%\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\delta & = & 1-\dfrac{\sin\alpha}{\alpha\cdot\tfrac{\pi}{180^{\circ}}}\\[5pt]& = & 1-\dfrac{\sin(40^{\circ})}{40^{\circ}\cdot\tfrac{\pi}{180^{\circ}}}\\[5pt]& \approx & 0{,}079=7{,}9\,\%\end{array}$

Die Abweichung ist größer als $Formula: 1{,}0\,\%.$ $Formula: 1{,}0\,\%.$ Das Pendel schwingt bei dieser Anfangsauslenkung nach dem vorgegebenen Kriterium nicht harmonisch.

Die Beschleunigung ist die zweite zeitliche Ableitung der Auslenkung:

$Formula: a(t)=\dfrac{\mathrm{d}^2y(t)}{\mathrm{d}t^2}$ $Formula: a(t)=\dfrac{\mathrm{d}^2y(t)}{\mathrm{d}t^2}$

Von $Formula: 0\;\mathrm{s}$ $Formula: 0\;\mathrm{s}$ bis etwa $Formula: 10\;\mathrm{s}$ $Formula: 10\;\mathrm{s}$ schwingt der Turm periodisch mit einer kleinen, nahezu konstanten Amplitude. Eine äußere Einwirkung, beispielsweise Wind, kann die Schwingung anregen; die Glocke bewegt sich zunächst ohne nennenswerte Relativbewegung mit dem Turm.
Von etwa $Formula: 10\;\mathrm{s}$ $Formula: 10\;\mathrm{s}$ bis $Formula: 37\;\mathrm{s}$ $Formula: 37\;\mathrm{s}$ wächst die Amplitude stetig. Die mitschwingende Glocke überträgt Energie auf den Turm. Wenn die Schwingung der Glocke zunimmt, kann auch die dem Turm zugeführte Energie zunehmen.
Zwischen etwa $Formula: 37\;\mathrm{s}$ $Formula: 37\;\mathrm{s}$ und $Formula: 53\;\mathrm{s}$ $Formula: 53\;\mathrm{s}$ bleibt die maximale Auslenkung ungefähr bei $Formula: 0{,}30\;\mathrm{mm}.$ $Formula: 0{,}30\;\mathrm{mm}.$ Die Energiezufuhr und die Energieverluste durch Dämpfung halten sich näherungsweise die Waage.
Danach nimmt die Amplitude bis etwa $Formula: 70\;\mathrm{s}$ $Formula: 70\;\mathrm{s}$ wieder ab. Der Turm verliert dann mehr Schwingungsenergie, als ihm zugeführt wird; beispielsweise könnte die Glocke ausschwingen und den Turm schwächer anregen.

Aus Material 2, Abbildung 2, lassen sich $Formula: T\approx 2{,}0\;\mathrm{s}$ $Formula: T\approx 2{,}0\;\mathrm{s}$ und $Formula: y_{\mathrm{max}}\approx 0{,}30\;\mathrm{mm}=3{,}0\cdot 10^{-4}\;\mathrm{m}$ $Formula: y_{\mathrm{max}}\approx 0{,}30\;\mathrm{mm}=3{,}0\cdot 10^{-4}\;\mathrm{m}$ ablesen. Damit ist die Frequenz:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}f & = & \dfrac{1}{T}\\[5pt]& = & \dfrac{1}{2{,}0\;\mathrm{s}}\\[5pt]& = & 0{,}50\;\mathrm{Hz}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}f & = & \dfrac{1}{T}\\[5pt]& = & \dfrac{1}{2{,}0\;\mathrm{s}}\\[5pt]& = & 0{,}50\;\mathrm{Hz}\end{array}$

Für die maximale Geschwindigkeit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}v_{\mathrm{max}} & = & \omega\cdot y_{\mathrm{max}}\\[5pt]& = & \dfrac{2\pi}{T}\cdot y_{\mathrm{max}}\\[5pt]& \approx & 9{,}4\cdot 10^{-4}\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}v_{\mathrm{max}} & = & \omega\cdot y_{\mathrm{max}}\\[5pt]& = & \dfrac{2\pi}{T}\cdot y_{\mathrm{max}}\\[5pt]& \approx & 9{,}4\cdot 10^{-4}\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{array}$

Mit der alten Glocke betrug die maximale Schwinggeschwindigkeit $Formula: 6{,}1\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}.$ $Formula: 6{,}1\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}.$ Sie lag damit über dem DIN-Orientierungswert von $Formula: 5\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 5\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}$ für historische Holztürme. Nach dem Austausch beträgt sie nur noch etwa $Formula: 0{,}94\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 0{,}94\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}$ und liegt deutlich darunter.

Der Austausch verringert die Schwingungsbeanspruchung und ist aus technischer Sicht sinnvoll. Ein Überschreiten des Orientierungswertes beweist laut Material 3 jedoch keine mangelnde Standsicherheit. Bei der alten Glocke wären weitere Untersuchungen erforderlich gewesen. Wenn diese die Unbedenklichkeit bestätigt hätten und der Turm keine standsicherheitsrelevanten Mängel aufwiese, wäre ein Austausch möglicherweise nicht nötig gewesen.

Resonanz setzt ein schwingungsfähiges System, eine gekoppelte periodische Anregung und eine Erregerfrequenz in der Nähe der Eigenfrequenz des Systems voraus.

Die Glocke regt den Kirchturm periodisch an. Liegt ihre Frequenz nahe der Eigenfrequenz des Turms, wird besonders viel Energie übertragen. Die Amplitude der Turmschwingung wächst stark und erreicht ein durch Dämpfung begrenztes Maximum.

Im Resonanzfall beträgt die Phasenverschiebung zwischen der Anregung durch die Glocke und der Auslenkung des Turms näherungsweise $Formula: \Delta\varphi\approx\tfrac{\pi}{2}.$ $Formula: \Delta\varphi\approx\tfrac{\pi}{2}.$ Ist die Turmauslenkung maximal, ist die Auslenkung der anregenden Glockenschwingung in dieser idealisierten Betrachtung gerade null.

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