Aufgabengruppe 1

Löse folgende Gleichung.

$Formula: (12 x-6:0,3) \cdot 3=8,5 \cdot(x+4,4)-(10,2-0,86 x) \cdot 5$ $Formula: (12 x-6:0,3) \cdot 3=8,5 \cdot(x+4,4)-(10,2-0,86 x) \cdot 5$

4 P

Löse folgende Gleichung.

$Formula: \dfrac{20-18 x}{5}+\dfrac{1}{5} \cdot(5-47 x)=15-(18 x-15)$ $Formula: \dfrac{20-18 x}{5}+\dfrac{1}{5} \cdot(5-47 x)=15-(18 x-15)$

4 P

Zeichne in ein Koordinatensystem Formula: ( Einheit $Formula: 1\;\text{cm})$ $Formula: 1\;\text{cm})$ die Punkte $Formula: A(-4 \mid 3)$ $Formula: A(-4 \mid 3)$ sowie $Formula: B(-4 \mid-2).$ $Formula: B(-4 \mid-2).$

Hinweis zum Platzbedarf: Formula: x -Achse von Formula: -5 bis Formula: 6 , Formula: y -Achse von Formula: -3 bis Formula: 7

Verbinde die Punkte Formula: A, B und den Punkt $Formula: C(6\mid-2)$ $Formula: C(6\mid-2)$ zu einem Dreieck.

Gib an, welches besondere Dreieck entsteht.

Zeichne die Senkrechte zu $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ durch den Punkt Formula: B.

Lege den Punkt Formula: D so fest, dass ein Drachenviereck Formula: ABCD entsteht, und gib die Koordinaten von an.

4 P

Hubert möchte sich ein neues Smartphone kaufen.

Der Verkaufspreis beträgt $Formula: 240\,\text{€}.$ $Formula: 240\,\text{€}.$

Mit Rabatt kostet das Smartphone $Formula: 204\,\text{€}.$ $Formula: 204\,\text{€}.$

Berechne den Rabatt in Prozent.

Da er das Smartphone sofort bezahlt, erhält er zusätzlich $Formula: 2 \,\%$ $Formula: 2 \,\%$ Skonto.

Berechne den Preis, den Hubert dann bezahlen muss.

Im Preis von $Formula: 204\,\text{€}$ $Formula: 204\,\text{€}$ sind $Formula: 19 \,\%$ $Formula: 19 \,\%$ Mehrwertsteuer enthalten.

Die folgende Berechnung des Preises ohne Mehrwertsteuer ist fehlerhaft.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 100 \,\% &\widehat{=}&204\,\text{€} \\[5pt] 1 \,\%&\widehat{=}& 2,04\,\text{€} \\[5pt] 81 \,\% &\widehat{=}& 165,24 \,\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 100 \,\% &\widehat{=}&204\,\text{€} \\[5pt] 1 \,\%&\widehat{=}& 2,04\,\text{€} \\[5pt] 81 \,\% &\widehat{=}& 165,24 \,\text{€} \end{array}$

Erkläre den Fehler und berechne den Preis ohne Mehrwertsteuer.

4 P

Das abgebildete Werkstück besteht aus einem Quader und zwei gleichen Dreiecksprismen.

Berechne das Volumen des Werkstücks.

Technische Skizze eines Körpers mit Maßangaben in cm.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

5 P

Die abgebildete Figur besteht aus Formula: 16 kleinen Quadraten und zwei deckungsgleichen Dreiecken.

Berechne den Flächeninhalt der grau markierten Flächen.

Geometrische Figur mit Maßen in cm und kariertem Mittelteil.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

4 P

Zwei Streamingdienste werben mit folgenden Angeboten:

Angebot Formula: A

keine monatliche

Grundgebühr

$Formula: 2\,\text{€}$ $Formula: 2\,\text{€}$ pro Film

Angebot Formula: B

$Formula: 7,50 \,\text{€}$ $Formula: 7,50 \,\text{€}$ monatliche

Grundgebühr

$Formula: 55\,\text{Cent}$ $Formula: 55\,\text{Cent}$ pro Film

Drei Preis-Graphen mit verschiedenen Steigungen im Koordinatensystem.

Ordne den Angeboten Formula: A und Formula: B jeweils den passenden Graphen zu.

Ermittle die Anzahl der Filme, die man zum Preis von $Formula: 13\,\text{€}$ $Formula: 13\,\text{€}$ bei Angebot Formula: B erhält.

Bestimme, ab wie vielen Filmen Angebot Formula: B günstiger ist als Angebot Formula: A, und begründe deine Entscheidung.

Formuliere ein passendes Angebot zu Graph Formula: 1.

4 P

Ein Wassertropfen hat ein Volumen von $Formula: 5 \cdot 10^{-5}$ $Formula: 5 \cdot 10^{-5}$ Liter.

Berechne, wie viele Wassertropfen in ein Schwimmbecken mit $Formula: 48 \mathrm{~m}^3$ $Formula: 48 \mathrm{~m}^3$ Fassungsvermögen passen.

An einem heißen Sommertag verdunsten in einer Sekunde durchschnittlich Formula: 5 Wassertropfen aus dem Schwimmbecken.

Martin behauptet: „Das sind $Formula: 900\;\text{m}\ell$ $Formula: 900\;\text{m}\ell$ in der Stunde!“

Hat er recht? Begründe rechnerisch.

3 P

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$Formula: \begin{array}[t]{rlll} (12 x-6:0,3) \cdot 3&=&8,5 \cdot(x+4,4)-(10,2-0,86 x) \cdot 5 \\[5pt] (12 x-20) \cdot 3&=&8,5 \cdot(x+4,4)-(10,2-0,86 x) \cdot 5 \\[5pt] (36 x-60)&=&(8,5 x+37,4)-(51-4,3 x) \\[5pt] 36 x-60&=&12,8 x-13,6 &\mid\;-12,8x \\[5pt] 23,2x-60&=&-13,6 &\mid\;+60 \\[5pt] 23,2x&=&46,4 &\mid\; :23,2 \\[5pt] x&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} (12 x-6:0,3) \cdot 3&=&8,5 \cdot(x+4,4)-(10,2-0,86 x) \cdot 5 \\[5pt] (12 x-20) \cdot 3&=&8,5 \cdot(x+4,4)-(10,2-0,86 x) \cdot 5 \\[5pt] (36 x-60)&=&(8,5 x+37,4)-(51-4,3 x) \\[5pt] 36 x-60&=&12,8 x-13,6 &\mid\;-12,8x \\[5pt] 23,2x-60&=&-13,6 &\mid\;+60 \\[5pt] 23,2x&=&46,4 &\mid\; :23,2 \\[5pt] x&=&2 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{20-18 x}{5}+\dfrac{1}{5} \cdot(5-47 x)&=&15-(18 x-15) &\mid\;\cdot5 \\[5pt] (20-18 x)+(5-47 x)&=&5 \cdot 15-5 \cdot(18 x-15) \\[5pt] 20-18 x+5-47 x&=&75-90 x+75 \\[5pt] 25-65 x&=&-90 x+150 &\mid\;-25 \\[5pt] -65x&=&-90x+125 &\mid\;+90x \\[5pt] 25x&=&125 &\mid\; :25 \\[5pt] x&=&5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{20-18 x}{5}+\dfrac{1}{5} \cdot(5-47 x)&=&15-(18 x-15) &\mid\;\cdot5 \\[5pt] (20-18 x)+(5-47 x)&=&5 \cdot 15-5 \cdot(18 x-15) \\[5pt] 20-18 x+5-47 x&=&75-90 x+75 \\[5pt] 25-65 x&=&-90 x+150 &\mid\;-25 \\[5pt] -65x&=&-90x+125 &\mid\;+90x \\[5pt] 25x&=&125 &\mid\; :25 \\[5pt] x&=&5 \end{array}$

Koordinatensystem mit einer Geraden und den Punkten A, B und C.

Koordinatensystem mit zwei Geraden und markierten Punkten A, B und C.

Die Koordinaten von Punkt Formula: D betragen $Formula: D(0 \mid 6).$ $Formula: D(0 \mid 6).$

Koordinatensystem mit eingezeichneten Punkten A, B, C und D sowie mehreren Geraden.

Für den Preisnachlass gilt:

$Formula: 240\,\text{€}-204\,\text{€}=36\,\text{€}$ $Formula: 240\,\text{€}-204\,\text{€}=36\,\text{€}$

Für den Rabatt in Prozent folgt:

$Formula: \dfrac{36}{240} \cdot 100\,\%=15 \,\%$ $Formula: \dfrac{36}{240} \cdot 100\,\%=15 \,\%$

Für den Preis mit $Formula: 2\,\%$ $Formula: 2\,\%$ Skonto gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 204 \cdot 0,02&=&4,08\,\text{€} \\[5pt] 204\,\text{€}-4,08\,\text{€}&=&199,92\,\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 204 \cdot 0,02&=&4,08\,\text{€} \\[5pt] 204\,\text{€}-4,08\,\text{€}&=&199,92\,\text{€} \end{array}$

Der Fehler liegt darin, dass die $Formula: 204 \,\text{€}$ $Formula: 204 \,\text{€}$ nicht $Formula: 100 \,\%,$ $Formula: 100 \,\%,$ sondern $Formula: 119 \,\%$ $Formula: 119 \,\%$ entsprechen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 119 \,\% &\widehat{=}& 204\,\text{€} \\[5pt] 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{204\,\text{€}}{119} \\[5pt] 100\,\% &\widehat{=}&\dfrac{204\,\text{€}}{119}\cdot 100\,\% \\[5pt] &\approx& 171,43\,\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 119 \,\% &\widehat{=}& 204\,\text{€} \\[5pt] 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{204\,\text{€}}{119} \\[5pt] 100\,\% &\widehat{=}&\dfrac{204\,\text{€}}{119}\cdot 100\,\% \\[5pt] &\approx& 171,43\,\text{€} \end{array}$

Für die Grundseite des Dreiecks gilt:

$Formula: \dfrac{65-35}{2}=15 \mathrm{~cm}$ $Formula: \dfrac{65-35}{2}=15 \mathrm{~cm}$

Die Höhe des Dreiecks beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2+15^2&=&25^2 &\mid\;-15^2 \\[5pt] h^2&=&400 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] h&=&20 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2+15^2&=&25^2 &\mid\;-15^2 \\[5pt] h^2&=&400 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] h&=&20 \mathrm{~cm} \end{array}$

Für das Volumen des Quaders folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text{Quader}}&=&35 \cdot 70 \cdot 140 \\[5pt] &=&343\,000 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text{Quader}}&=&35 \cdot 70 \cdot 140 \\[5pt] &=&343\,000 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für die Fläche eines der Dreiecke gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} G_D&=&\dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 \\[5pt] &=&150 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} G_D&=&\dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 \\[5pt] &=&150 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Für das Volumen eines Dreiecksprismas ergibt sich damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_D&=&150 \cdot 140 \\[5pt] &=&21\,000 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_D&=&150 \cdot 140 \\[5pt] &=&21\,000 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für das Gesamtvolumen folgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text{Gesamt}}&=&343\,000+2\cdot21\,000 \\[5pt] &=&385\,000 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text{Gesamt}}&=&343\,000+2\cdot21\,000 \\[5pt] &=&385\,000 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für die Seitenlänge eines kleinen Quadrats gilt:

$Formula: \dfrac{5,6}{4}=1,4 \mathrm{~cm}$ $Formula: \dfrac{5,6}{4}=1,4 \mathrm{~cm}$

Die Fläche eines kleinen Quadrats beträgt somit:

$Formula: 1,4 \cdot 1,4=1,96 \mathrm{~cm}^2$ $Formula: 1,4 \cdot 1,4=1,96 \mathrm{~cm}^2$

Es sind Formula: 8 graue Quadrate. Somit folgt:

$Formula: 8 \cdot 1,96=15,68 \mathrm{~cm}^2$ $Formula: 8 \cdot 1,96=15,68 \mathrm{~cm}^2$

Für die Höhe der Dreiecke gilt jeweils:

$Formula: \dfrac{1}{2}\cdot(12-5,6)=3,2 \mathrm{~cm}$ $Formula: \dfrac{1}{2}\cdot(12-5,6)=3,2 \mathrm{~cm}$

Für die Fläche eines Dreiecks gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot 5,6 \cdot 3,2\\[5pt] &=&8,96 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot 5,6 \cdot 3,2\\[5pt] &=&8,96 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Für die beiden Dreiecke folgt:

$Formula: 2 \cdot 8,96=17,92 \mathrm{~cm}^2$ $Formula: 2 \cdot 8,96=17,92 \mathrm{~cm}^2$

Für die graue Gesamtfläche ergibt sich somit:

$Formula: 15,68+17,92=33,6\;\text{cm}^2$ $Formula: 15,68+17,92=33,6\;\text{cm}^2$

Angebot Formula: A gehört zu Graph Formula: 3, da es keine Grundgebühr gibt und der Preis pro Film um $Formula: 2\,\text{€}$ $Formula: 2\,\text{€}$ steigt.

Angebot Formula: B gehört zu Graph Formula: 2, weil der Graph bei $Formula: 7,50\,\text{€}$ $Formula: 7,50\,\text{€}$ beginnt und der Preis pro Film nur um $Formula: 0,55\,\text{€}$ $Formula: 0,55\,\text{€}$ steigt.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 7,50+0,55x&=&13 &\mid\;-7,50 \\[5pt] 0,55x&=&5,50 &\mid\;:0,55 \\[5pt] x&=&10 \end{array}$ Mit der Abbildung folgt, dass Formula: 10 Filme erhalten werden.

Die Kosten für Formula: 5 Filme bei Angebot Formula: A betragen:

$Formula: 5 \cdot 2=10\,\text{€}$ $Formula: 5 \cdot 2=10\,\text{€}$

Für Angebot Formula: B gilt:

$Formula: 7,50+5 \cdot 0,55=10,25\,\text{€}$ $Formula: 7,50+5 \cdot 0,55=10,25\,\text{€}$

Die Kosten für Formula: 6 Filme bei Angebot Formula: A betragen:

$Formula: 6 \cdot 2=12\,\text{€}$ $Formula: 6 \cdot 2=12\,\text{€}$

Für Angebot Formula: B gilt:

$Formula: 7,50+6 \cdot 0,55=10,80\,\text{€}$ $Formula: 7,50+6 \cdot 0,55=10,80\,\text{€}$

Somit ist ab Formula: 6 Filmen Angebot Formula: B günstiger.

Unbegrenzt viele Filme streamen, es fällt nur eine monatliche Gebühr von $Formula: 14\,\text{€}$ $Formula: 14\,\text{€}$ an und keine sonstigen Kosten!

Für die passende Umrechnung gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1 \mathrm{~m}^3&=&1\,000\;\ell \\[5pt] 48 \mathrm{~m}^3&=&48\,000\;\ell \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1 \mathrm{~m}^3&=&1\,000\;\ell \\[5pt] 48 \mathrm{~m}^3&=&48\,000\;\ell \end{array}$

Für ein Tropfen gilt:

$Formula: 5 \cdot 10^{-5}\;\ell =0,00005\;\ell$ $Formula: 5 \cdot 10^{-5}\;\ell =0,00005\;\ell$

Für die Anzahl der Tropfen folgt:

$Formula: \dfrac{48\,000}{0,00005}=960\,000\,000$ $Formula: \dfrac{48\,000}{0,00005}=960\,000\,000$

Pro Sekunde verdunsten Formula: 5 Tropfen. Somit folgt:

$Formula: 5 \cdot 0,00005\;\ell=0,00025\;\ell$ $Formula: 5 \cdot 0,00005\;\ell=0,00025\;\ell$

Eine Stunde hat Formula: 3600 Sekunden. Es gilt:

$Formula: 0,00025 \cdot 3600=0,9\;\ell$ $Formula: 0,00025 \cdot 3600=0,9\;\ell$

Da $Formula: 0,9\;\ell=900 \mathrm{m}\ell$ $Formula: 0,9\;\ell=900 \mathrm{m}\ell$ gilt, hat Martin recht.

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