Aufgabengruppe 2

Löse folgende Gleichungen.

$Formula: (2,5 x-10) \cdot 0,6-0,4 x+3,5=3,75-0,5 \cdot(0,6 x-1,5)$ $Formula: (2,5 x-10) \cdot 0,6-0,4 x+3,5=3,75-0,5 \cdot(0,6 x-1,5)$

$Formula: 7,5 x+\dfrac{6 x-2}{4}-9=\dfrac{12 x+24}{2}-3,5$ $Formula: 7,5 x+\dfrac{6 x-2}{4}-9=\dfrac{12 x+24}{2}-3,5$

8 P

Die Tabelle zeigt die Entwicklung der durchschnittlichen Kraftstoffpreise in den Jahren 2018 bis 2022.

Durchschnittliche Kraftstoffpreise in Euro je Liter
Jahre	Superbenzin	Diesel
2022
2021
2020	?
2019		?
2018

Daten nach statista.com

Im Jahr 2019 war ein Liter Diesel $Formula: 11\,\%$ $Formula: 11\,\%$ günstiger als ein Liter Superbenzin.

Berechne den Preis für einen Liter Diesel im Jahr 2019.

Ermittle den Preisanstieg für Superbenzin vom Jahr 2019 bis zum Jahr 2022 in Prozent.

Der Preis für einen Liter Superbenzin ist vom Jahr 2020 bis zum Jahr 2021 um $Formula: 22,5\,\%$ $Formula: 22,5\,\%$ gestiegen.

Berechne den Preis für einen Liter Superbenzin im Jahr 2020.

Eine Zeitung berichtet: „Der Dieselpreis ist von 2018 bis 2022 stärker gestiegen als der Preis für Superbenzin.“

Überprüfe, ob diese Aussage stimmt.

4 P

Zeichne ein Koordinatensystem (Einheit $Formula: 1\;\text{cm}$ $Formula: 1\;\text{cm}$ ) und trage die Punkte $Formula: A(-4 \mid 2)$ $Formula: A(-4 \mid 2)$ und $Formula: B(1\mid-2)$ $Formula: B(1\mid-2)$ ein.

Hinweis zum Platzbedarf: Formula: x -Achse von Formula: -6 bis Formula: 6 , Formula: y -Achse von bis Formula: 6.

Verbinde die Punkte Formula: A und Formula: B zur Strecke $Formula: \overline{AB}.$ $Formula: \overline{AB}.$ Die Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks Formula: ABC. Die Schenkellänge beträgt $Formula: 8\;\text{cm}.$ $Formula: 8\;\text{cm}.$

Zeichne dieses Dreieck.

Zeichne den Punkt $Formula: D(–3\mid–1)$ $Formula: D(–3\mid–1)$ ein.

Ergänze den fehlenden Punkt Formula: E des Parallelogramms Formula: DEBA und gib die Koordinaten des Punktes an.

4 P

Die abgebildete Figur besteht aus zwei gleichschenkligen Dreiecken und zwei Viertelkreisen.

Berechne den Flächeninhalt der Figur.

Geometrische Figur mit Kreisbögen und eingezeichneten Maßen in cm.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

4 P

Der abgebildete Körper ist ein sechsseitiges regelmäßiges Prisma.

Berechne das Volumen des Körpers.

Sechseckige geometrische Figur mit Maßangaben in cm, darunter 10 und 15.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

4 P

$Formula: 3\,000$ $Formula: 3\,000$ neue Schulbücher müssen in den Keller getragen werde.

Jede Person transportiert Formula: 150 Bücher pro Stunde.

Die Arbeit soll in Formula: 4 Stunden erledigt werden.

Berechne die Anzahl der benötigten Personen.

Ermittle mithilfe des abgebildeten Graphen, von wie vielen Personen die Arbeit hier erledigt wird.

Liniendiagramm mit sinkender Bücherzahl über die Zeit in Stunden.

Notiere auf deinem Blatt die Buchstaben der korrekten Aussagen zum abgebildeten Graphen.

A	Nach einer Stunde ist die Hälfte der Arbeit erledigt.
B	Nach $Formula: \tfrac{1}{2}$ $Formula: \tfrac{1}{2}$ Stunde sind noch Bücher übrig.
C	In einer Stunde werden $Formula: 1\,000$ $Formula: 1\,000$ Bücher transportiert.
D	Nach zwei Stunden sind $Formula: 3\,000$ $Formula: 3\,000$ Bücher transportiert.

Formula: 6 Schülerinnen und Schüler bieten ihre Hilfe an.

Berechne, wie viele Bücher sie in Formula: 3 Stunden transportieren könnten.

4 P

Anna würfelt mehrfach mit einem sechsseitigen Spielwürfel.

Mithilfe einer Strichliste wurden die Ergebnisse festgehalten.

Würfel mit Punkt und Strichliste auf lila Hintergrund

Würfel mit zwei Punkten auf hellem Hintergrund

Würfel mit drei Punkten und Strichliste darunter

Würfel mit sechs Seiten und Strichmarkierung

Würfel mit fünf Augen auf hellem Hintergrund

Würfel mit sechs Augen auf blauem Hintergrund

Ermittle die relative Häufigkeit in Prozent, mit der Anna eine Formula: 2 gewürfelt hat.

Anna würfelt noch ein weiteres Mal.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit in Bruch- und Prozentschreibweise, mit der sie eine Zahl größer als Formula: 4 erhält.

Beschreibe die Ereignismenge $Formula: E=\{2 ; 4 ; 6\}$ $Formula: E=\{2 ; 4 ; 6\}$ bei einmaligem Würfeln in Worten.

Anna behauptete: „Wenn ich $Formula: 1\,000$ $Formula: 1\,000$ -mal würfle, ist zu erwarten, dass die Augenzahl Formula: 6 etwa Formula: 250 -mal erscheint.“

Entscheide, ob Anna recht hat und begründe rechnerisch.

4 P

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$Formula: \begin{array}[t]{rlll} (2,5 x-10) \cdot 0,6-0,4 x+3,5&=&3,75-0,5 \cdot(0,6 x-1,5) \\[5pt] 1,5 x-6-0,4 x+3,5&=&3,75-0,3 x+0,75 \\[5pt] 1,1 x-2,5&=&4,5-0,3 x &\mid\;+0,3x \\[5pt] 1,4 x-2,5&=&4,5 &\mid\;+2,5\\[5pt] 1,4x&=&7 &\mid\;:1,4 \\[5pt] x&=&5 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} (2,5 x-10) \cdot 0,6-0,4 x+3,5&=&3,75-0,5 \cdot(0,6 x-1,5) \\[5pt] 1,5 x-6-0,4 x+3,5&=&3,75-0,3 x+0,75 \\[5pt] 1,1 x-2,5&=&4,5-0,3 x &\mid\;+0,3x \\[5pt] 1,4 x-2,5&=&4,5 &\mid\;+2,5\\[5pt] 1,4x&=&7 &\mid\;:1,4 \\[5pt] x&=&5 \\[5pt] \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 7,5 x+\dfrac{6 x-2}{4}-9&=&\dfrac{12 x+24}{2}-3,5 \\[5pt] 7,5 x \cdot 4+(6 x-2)-9 \cdot 4&=&(12 x+24) \cdot 2-3,5 \cdot 4\\[5pt] 36 x-38&=&24 x+34 &\mid\;+38 \\[5pt] 36x&=&24x+72 &\mid\;-24x \\[5pt] 12x&=&72 &\mid\;:12 \\[5pt] x&=&6 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 7,5 x+\dfrac{6 x-2}{4}-9&=&\dfrac{12 x+24}{2}-3,5 \\[5pt] 7,5 x \cdot 4+(6 x-2)-9 \cdot 4&=&(12 x+24) \cdot 2-3,5 \cdot 4\\[5pt] 36 x-38&=&24 x+34 &\mid\;+38 \\[5pt] 36x&=&24x+72 &\mid\;-24x \\[5pt] 12x&=&72 &\mid\;:12 \\[5pt] x&=&6 \\[5pt] \end{array}$

Für die $Formula: 11\,\%$ $Formula: 11\,\%$ von $Formula: 1,43\,\text{€}$ $Formula: 1,43\,\text{€}$ gilt:

$Formula: 1,43 \cdot \frac{11}{100}=0,1573\,\text{€}$ $Formula: 1,43 \cdot \frac{11}{100}=0,1573\,\text{€}$

Somit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1,43-0,1573&=&1,2727 € \\[5pt] &\approx&1,27\,\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1,43-0,1573&=&1,2727 € \\[5pt] &\approx&1,27\,\text{€} \end{array}$

Für die Preiserhöhung gilt:

$Formula: 1,94-1,43=0,51\,\text{€}$ $Formula: 1,94-1,43=0,51\,\text{€}$

Für den prozentualen Anstieg folgt:

$Formula: \frac{0,51}{1,43} \cdot 100 \,\%=35,66\,\%$ $Formula: \frac{0,51}{1,43} \cdot 100 \,\%=35,66\,\%$

Der Preis von 2021 beträgt $Formula: 1,58\,\text{€}.$ $Formula: 1,58\,\text{€}.$ Nach einem Anstieg von $Formula: 22,5\,\%$ $Formula: 22,5\,\%$ entspricht das $Formula: 122,5\, \%$ $Formula: 122,5\, \%$ des ursprünglichen Preises. Es folgt:

$Formula: \dfrac{1,58}{1,225} \approx 1,29\,\text{€}$ $Formula: \dfrac{1,58}{1,225} \approx 1,29\,\text{€}$

Für den Diesel gilt:

$Formula: 1,97\,\text{€}-1,30\,\text{€}=0,67\,\text{€}$ $Formula: 1,97\,\text{€}-1,30\,\text{€}=0,67\,\text{€}$

Für Superbenzin folgt:

$Formula: 1,94\,\text{€} -1,46\,\text{€}=0,48\,\text{€}$ $Formula: 1,94\,\text{€} -1,46\,\text{€}=0,48\,\text{€}$

Beim Vergleich ergibt sich:

$Formula: 0,67\,\text{€} >0,48\,\text{€}$ $Formula: 0,67\,\text{€} >0,48\,\text{€}$

Die Aussage stimmt.

Koordinatensystem mit einer fallenden Geraden zwischen den Punkten A und B.

Koordinatensystem mit den Punkten A, B und C, verbunden zu einem Dreieck.

Koordinatensystem mit Punkten A, B, C, D und E, verbunden durch Linien.

Für die Koordinaten des Punktes Formula: E gilt:

$Formula: E(2 \mid –5)$ $Formula: E(2 \mid –5)$

Für die Seitenlänge im Dreieck gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} a^2+a^2&=&4^2\\[5pt] 2a^2&=&16 &\mid\;:2\\[5pt] a^2&=&8 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] a&=&2\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} a^2+a^2&=&4^2\\[5pt] 2a^2&=&16 &\mid\;:2\\[5pt] a^2&=&8 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] a&=&2\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks folgt:

$Formula: A_\text{Dreieck}=\dfrac{1}{2} \cdot a^2$ $Formula: A_\text{Dreieck}=\dfrac{1}{2} \cdot a^2$

Mit Formula: a^2=8 folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_\text{Dreieck}&=&\dfrac{1}{2} \cdot 8\\[5pt] &=&4 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_\text{Dreieck}&=&\dfrac{1}{2} \cdot 8\\[5pt] &=&4 \\[5pt] \end{array}$

Es gibt zwei solcher Dreiecke. Somit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Dreiecke }}&=&2 \cdot 4\\[5pt] &=&8 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Dreiecke }}&=&2 \cdot 4\\[5pt] &=&8 \\[5pt] \end{array}$

Für den Flächeninhalt eines Viertelkreises ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Viertelkreis }}&=&\dfrac{1}{4} \pi r^2\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4} \pi \cdot 8 \\[5pt] &=&2\pi \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Viertelkreis }}&=&\dfrac{1}{4} \pi r^2\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4} \pi \cdot 8 \\[5pt] &=&2\pi \end{array}$

Da es zwei Viertelkreise gibt, folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Viertelkreise }}&=&2 \cdot 2 \pi\\[5pt] &=&4\pi \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Viertelkreise }}&=&2 \cdot 2 \pi\\[5pt] &=&4\pi \end{array}$

Für die Gesamtfläche gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&8+4 \pi \\[5pt] &\approx& 8+4 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&8+12,56 \\[5pt] &\approx&20,56\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&8+4 \pi \\[5pt] &\approx& 8+4 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&8+12,56 \\[5pt] &\approx&20,56\;\text{cm}^2 \end{array}$

Für die Höhe des gleichseitigen Dreiecks gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2&=&(10 \mathrm{~cm})^2-(5 \mathrm{~cm})^2 \\[5pt] &=&100 \mathrm{~cm}^2-25 \mathrm{~cm}^2\\[5pt] &=&75 \mathrm{~cm}^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h&\approx&8,66\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2&=&(10 \mathrm{~cm})^2-(5 \mathrm{~cm})^2 \\[5pt] &=&100 \mathrm{~cm}^2-25 \mathrm{~cm}^2\\[5pt] &=&75 \mathrm{~cm}^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h&\approx&8,66\;\text{cm} \end{array}$

Für den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{Dreieck}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot 10 \mathrm{~cm} \cdot 8,66 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&43,3 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{Dreieck}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot 10 \mathrm{~cm} \cdot 8,66 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&43,3 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Für den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_{\text{Sechseck}}&=&6 \cdot 43,3 \mathrm{~cm}^2 \\[5pt] &=&259,8\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_{\text{Sechseck}}&=&6 \cdot 43,3 \mathrm{~cm}^2 \\[5pt] &=&259,8\;\text{cm}^2 \end{array}$

Mit $Formula: h_{\text{Prisma}}=15\;\text{cm}$ $Formula: h_{\text{Prisma}}=15\;\text{cm}$ folgt für das Volumen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&259,8 \mathrm{~cm}^2 \cdot 15 \mathrm{~cm}\\[5pt] &\approx&3897\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&259,8 \mathrm{~cm}^2 \cdot 15 \mathrm{~cm}\\[5pt] &\approx&3897\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für die Anzahl der transportierten Bücher einer Person in vier Stunden gilt:

$Formula: 150 \cdot 4=600$ $Formula: 150 \cdot 4=600$ Bücher

Insgesamt müssen Formula: 3000 Bücher transportiert werden. Somit folgt:

$Formula: \dfrac{3000}{600}=5$ $Formula: \dfrac{3000}{600}=5$ Personen

Die Arbeit kann von Formula: 5 Personen in Formula: 4 Stunden erledigt werden.

Eine Person trägt Formula: 150 Bücher pro Stunde und damit Formula: 300 in zwei Stunden. Somit gilt:

$Formula: \dfrac{3000}{300}=10\;\text{Personen}$ $Formula: \dfrac{3000}{300}=10\;\text{Personen}$

Formula: A und Formula: D sind korrekte Aussagen zum Graph.

Für die Anzahl der Bücher pro Stunde bei Formula: 6 Personen folgt:

$Formula: 6 \cdot 150=900$ $Formula: 6 \cdot 150=900$ Bücher

Für die Anzahl der Bücher in Formula: 3 Stunden gilt:

$Formula: 900 \cdot 3=2700$ $Formula: 900 \cdot 3=2700$ Bücher

Die Formula: 2 wurde laut Strichliste Formula: 4 -mal gewürfelt. Für die Summe der Würfe folgt:

Formula: 5+4+5+6+3+2=25

Für die relative Häufigkeit gilt:

$Formula: \dfrac{4}{25} \cdot 100 \,\%=16 \,\%$ $Formula: \dfrac{4}{25} \cdot 100 \,\%=16 \,\%$

Größer als Formula: 4 sind die Augenzahlen Formula: 5 und Formula: 6. Es gibt also Formula: 2 günstige von möglichen Ergebnissen. Somit folgt für die Bruchschreibweise:

$Formula: P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ $Formula: P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

In Prozentschreibweise gilt:

$Formula: \dfrac{1}{3} \cdot 100 \,\% \approx 33,3 \,\%$ $Formula: \dfrac{1}{3} \cdot 100 \,\% \approx 33,3 \,\%$

Für die Ergebnismenge $Formula: E=\{2 ; 4 ; 6\}$ $Formula: E=\{2 ; 4 ; 6\}$ gilt:

Es wird eine gerade Augenzahl gewürfelt.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Formula: 6 beträgt:

$Formula: P(6)=\dfrac{1}{6}$ $Formula: P(6)=\dfrac{1}{6}$

Für Formula: 1000 Würfe folgt:

$Formula: 1000 \cdot \dfrac{1}{6} \approx 166,7$ $Formula: 1000 \cdot \dfrac{1}{6} \approx 166,7$

Somit ist die Zahl Formula: 6 ungefähr Formula: 167 -mal zu erwarten. Damit hat Anna nicht recht.

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