Aufgabengruppe 2

Löse die Gleichung.

$Formula: 4,5 x-3-(1,5 x-4,5):1,5=1,5 \cdot(-2 x+4)+0,5$ $Formula: 4,5 x-3-(1,5 x-4,5):1,5=1,5 \cdot(-2 x+4)+0,5$

Eliza, Ronja, Maxi und Ben planen eine gemeinsame Reise.

Insgesamt kostet die Reise $Formula: 3000 \,\text{€}.$ $Formula: 3000 \,\text{€}.$

Ben zahlt dafür nur halb so viel wie Ronja. Für Eliza ist es $Formula: 100\,\text{€}$ $Formula: 100\,\text{€}$ teurer als für Ronja.

Maxi zahlt $Formula: 950 \,\text{€}$ $Formula: 950 \,\text{€}$ für die Reise.

Ermittle nachvollziehbar, welchen Betrag jede Person zahlen muss.

8 P

Der abgebildete Körper besteht aus einem Würfel und zwei gleichen aufgesetzten Pyramiden.

Berechne das Volumen des Körpers.

Geometrische Skizze eines Prismas mit zwei Pyramiden und eingezeichneter Höhe ha.

Formula: h_a=11

Formula: a=6

Hinweise:

Abbildung nicht maßstabsgetreu,

Maße in $Formula: \text{cm}$ $Formula: \text{cm}$

4 P

Ein regelmäßiges Fünfeck hat eine Seitenlänge von $Formula: 5\;\text {cm}.$ $Formula: 5\;\text {cm}.$

Zeichne dieses regelmäßige Fünfeck.

3 P

Die abgebildete graue Figur besteht aus zwei deckungsgleichen Rechtecken und einem gleichschenkligen Dreieck.

Daraus wurde ein Kreis ausgeschnitten.

Berechne den Flächeninhalt dieser grauen Figur.

Geometrische Zeichnung mit Maßangaben und Kreis in einer polygonalen Form.

Hinweise:

Abbildung nicht maßstabsgetreu,

Maße in $Formula: \text{mm}$ $Formula: \text{mm}$

5 P

Ein sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen.

Würfel mit schwarzen Punkten auf weißem Hintergrund

Erstelle ein Baumdiagramm mit den möglichen Ergebnissen.

Beschrifte die Äste mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in Bruchschreibweise.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit in Bruch- und Prozentschreibweise, dass eine Zahl kleiner als Formula: 3 gewürfelt wird.

Beschreibe ein Ereignis in Worten, das mit einer Wahrscheinlichkeit von $Formula: 66 \tfrac{2}{3} \,\%$ $Formula: 66 \tfrac{2}{3} \,\%$ eintritt.

Gib das Gegenereignis zu $Formula: E=\{2 ; 4\}$ $Formula: E=\{2 ; 4\}$ in Mengenschreibweise an.

4 P

Ein Händler bietet einen E-Roller sowohl im Geschäft als auch im Onlineshop an.

Gelber Stern mit Preisangabe 750,- € inkl. 19 % MwSt.

Schwarzer E-Scooter auf weißem Hintergrund

Tim hat für den Onlineshop des Händlers einen Gutschein über $Formula: 15\,\text{€}.$ $Formula: 15\,\text{€}.$

Berechne, wie viel Prozent er durch den Gutschein sparen würde.

Im Geschäft kann er den Gutschein nicht verwenden, dafür gewährt ihm der Händler einen Rabatt von $Formula: 6 \,\%.$ $Formula: 6 \,\%.$

Berechne den ermäßigten Preis des E-Rollers.

Tim möchte wissen, wie viel Mehrwertsteuer im ursprünglichen Preis enthalten ist.

Seine Berechnung enthält einen Fehler:

Prozent- und Eurowerte in einer Tabelle mit 100 %, 1 % und 19 %

Erkläre den Fehler und berechne die Mehrwertsteuer.

4 P

Für einen Herbstbasar wollen Schülerinnen und Schüler selbstgepressten Apfelsaft verkaufen.

Liniendiagramm: Saft in Litern nach Äpfeln in Kilogramm

Ermittle mithilfe des abgebildeten Graphen, wie viele Liter Saft sie aus $Formula: 9\;\text{kg}$ $Formula: 9\;\text{kg}$ Äpfeln erhalten sollten.

Berechne die in der Tabelle fehlenden Werte:

Äpfel in Kilogramm
Apfelsaft in Liter

Beim Basarverkauf verlangen die Schülerinnen und Schüler für einen Becher

mit $Formula: 200\;\text{m}\ell$ $Formula: 200\;\text{m}\ell$ Apfelsaft $Formula: 1,60\,\text{€}.$ $Formula: 1,60\,\text{€}.$

Sara behauptet: „Mit dem Saft aus $Formula: 45\;\text{kg}$ $Formula: 45\;\text{kg}$ Äpfeln werden wir $Formula: 300 \,\text{€}$ $Formula: 300 \,\text{€}$ einnehmen.“

Begründe rechnerisch, ob Sara recht hat.

4 P

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$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 4,5x-3-\dfrac{(1,5x-4,5)}{1,5}&=&1,5 \cdot(-2x+4)+0,5 \\[5pt] 4,5x-3-(x-3)&=&-3x+6,5 \\[5pt] 4,5x-3-x+3&=&-3x+6,5&\mid\; +3x \\[5pt] 6,5x&=&6,5 &\mid\; :6,5 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 4,5x-3-\dfrac{(1,5x-4,5)}{1,5}&=&1,5 \cdot(-2x+4)+0,5 \\[5pt] 4,5x-3-(x-3)&=&-3x+6,5 \\[5pt] 4,5x-3-x+3&=&-3x+6,5&\mid\; +3x \\[5pt] 6,5x&=&6,5 &\mid\; :6,5 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$

Folgende Werte ergeben insgesamt $Formula: 3000\,\text {€}:$ $Formula: 3000\,\text {€}:$

Ronja: Formula: x

Ben: Formula: 0,5x

Eliza: $Formula: x+100\,\text {€}$ $Formula: x+100\,\text {€}$

Maxi: $Formula: 950\,\text{€}$ $Formula: 950\,\text{€}$

Somit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x+0,5x+x+100\,\text{€}+950\,\text{€}&=&3000\,\text{€} \\[5pt] 2,5x+1050 \,\text{€}&=&3000 \,\text{€} &\mid\; -1050\,\text{€} \\[5pt] 2,5x&=&1950\,\text{€} &\mid\; :2,5 \\[5pt] x&=&780\,\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x+0,5x+x+100\,\text{€}+950\,\text{€}&=&3000\,\text{€} \\[5pt] 2,5x+1050 \,\text{€}&=&3000 \,\text{€} &\mid\; -1050\,\text{€} \\[5pt] 2,5x&=&1950\,\text{€} &\mid\; :2,5 \\[5pt] x&=&780\,\text{€} \end{array}$

Für die Beträge gilt:

Ronja: $Formula: 780 \,\text{€}$ $Formula: 780 \,\text{€}$

Ben: $Formula: 780 \,\text{€}\cdot 0,5= 390 \,\text{€}$ $Formula: 780 \,\text{€}\cdot 0,5= 390 \,\text{€}$

Eliza: $Formula: 780 \,\text{€}+100 \,\text{€}=880 \,\text{€}$ $Formula: 780 \,\text{€}+100 \,\text{€}=880 \,\text{€}$

Maxi: $Formula: 950 \,\text{€}$ $Formula: 950 \,\text{€}$

Für das Volumen des Würfels gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Würfel }}&=&a^3 \\[5pt] &=&6^3 \\[5pt] &=&216\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Würfel }}&=&a^3 \\[5pt] &=&6^3 \\[5pt] &=&216\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für die Höhe einer Pyramide folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Würfel }}&=&(h_p)^2+(\dfrac{a}{2})^2=(h_a)^2 \\[5pt] (h_p)^2+3^2&=&11^2 \\[5pt] (h_p)^2+9&=&121 &\mid\; -9 \\[5pt] (h_p)^2&=&112 &\mid\;\sqrt{112} \\[5pt] h_p&=&\sqrt{112} \\[5pt] &=&10,58\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Würfel }}&=&(h_p)^2+(\dfrac{a}{2})^2=(h_a)^2 \\[5pt] (h_p)^2+3^2&=&11^2 \\[5pt] (h_p)^2+9&=&121 &\mid\; -9 \\[5pt] (h_p)^2&=&112 &\mid\;\sqrt{112} \\[5pt] h_p&=&\sqrt{112} \\[5pt] &=&10,58\;\text{cm} \end{array}$

Für das Volumen einer Pyramide folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Pyramide }}&=&\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_p \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10,58 \\[5pt] &=&126,96 \;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Pyramide }}&=&\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_p \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10,58 \\[5pt] &=&126,96 \;\text{cm}^3 \end{array}$

Für das Gesamtvolumen des Körpers gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text{gesamt}}&=&V_{\text {Würfel }}+2 \cdot V_{\text {Pyramide }}\\[5pt] &=&216 \;\text{cm}^3+2 \cdot 126,96 \;\text{cm}^3\\[5pt] &=&469,92 \;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text{gesamt}}&=&V_{\text {Würfel }}+2 \cdot V_{\text {Pyramide }}\\[5pt] &=&216 \;\text{cm}^3+2 \cdot 126,96 \;\text{cm}^3\\[5pt] &=&469,92 \;\text{cm}^3 \end{array}$

Für den Mittelpunktswinkel $Formula: \gamma$ $Formula: \gamma$ gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \gamma&=&\dfrac{360^{\circ}}{5} \\[5pt] &=&72^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \gamma&=&\dfrac{360^{\circ}}{5} \\[5pt] &=&72^{\circ} \end{array}$

Für den Basiswinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2 \alpha+72^{\circ}&=&180^{\circ} \mid\;-72^{\circ} \\[5pt] 2\alpha&=&108^{\circ} \mid\;:2 \\[5pt] \alpha&=&54^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2 \alpha+72^{\circ}&=&180^{\circ} \mid\;-72^{\circ} \\[5pt] 2\alpha&=&108^{\circ} \mid\;:2 \\[5pt] \alpha&=&54^{\circ} \end{array}$

Fünfeck mit gleich langen Seiten und den Punkten A, B, C, D und E.

Für die Fläche der zwei Rechtecke gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{Rechtecke}}&=&2\cdot (40\;\text{mm} \cdot65\;\text{mm}) \\[5pt] &=&2 \cdot2600 \;\text{mm}^2\\[5pt] &=&5200 \;\text{mm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{Rechtecke}}&=&2\cdot (40\;\text{mm} \cdot65\;\text{mm}) \\[5pt] &=&2 \cdot2600 \;\text{mm}^2\\[5pt] &=&5200 \;\text{mm}^2 \end{array}$

Für die Höhe des Dreiecks gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2+25^2&=&65^2 \\[5pt] h^2+625&=&4225 \mid\;-625 \\[5pt] h^2&=&3600 &\mid\;\sqrt{3600}\\[5pt] h&=&\sqrt{3600} \\[5pt] h&=&60\;\text{mm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2+25^2&=&65^2 \\[5pt] h^2+625&=&4225 \mid\;-625 \\[5pt] h^2&=&3600 &\mid\;\sqrt{3600}\\[5pt] h&=&\sqrt{3600} \\[5pt] h&=&60\;\text{mm} \end{array}$

Für die Fläche des Dreiecks folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{Dreieck}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot50\;\text{mm} \cdot60\;\text{mm} \\[5pt] &=&1500\;\text{mm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{Dreieck}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot50\;\text{mm} \cdot60\;\text{mm} \\[5pt] &=&1500\;\text{mm}^2 \end{array}$

Für die Fläche des Kreises gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{Kreis}}&=&\pi \cdot r^2 \\[5pt] &=&\pi \cdot10 \;\text{mm}^2 \\[5pt] &=&100\pi \\[5pt] &\approx&314\;\text{mm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{Kreis}}&=&\pi \cdot r^2 \\[5pt] &=&\pi \cdot10 \;\text{mm}^2 \\[5pt] &=&100\pi \\[5pt] &\approx&314\;\text{mm}^2 \end{array}$

Für den Gesamtflächeninhalt folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{gesamt}}&=&A_{\text {Rechtecke }}+A_{\text {Dreieck }}-A_{\text {Kreis}} \\[5pt] &=&5200 \;\text{mm}^2+1500 \;\text{mm}^2-314\;\text{mm}^2 \\[5pt] &=&100\pi \\[5pt] &=&6386\;\text{mm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{gesamt}}&=&A_{\text {Rechtecke }}+A_{\text {Dreieck }}-A_{\text {Kreis}} \\[5pt] &=&5200 \;\text{mm}^2+1500 \;\text{mm}^2-314\;\text{mm}^2 \\[5pt] &=&100\pi \\[5pt] &=&6386\;\text{mm}^2 \end{array}$

Wahrscheinlichkeitsdiagramm mit sechs gleich wahrscheinlichen Ergebnissen.

$Formula: P\text{( kleiner als 3)}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ $Formula: P\text{( kleiner als 3)}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Für die Prozentschreibweise folgt:

$Formula: \dfrac{1}{3}\approx33,33\,\%$ $Formula: \dfrac{1}{3}\approx33,33\,\%$

„Es wird eine Zahl gewürfelt, die größer als Formula: 2 ist.“

$Formula: \overline{E}={1 ; 3 ; 5 ; 6}$ $Formula: \overline{E}={1 ; 3 ; 5 ; 6}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} p \,\%&=&\dfrac{15}{750} \cdot 100 \,\%\\[5pt] &=&\dfrac{1}{50} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &=&2\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} p \,\%&=&\dfrac{15}{750} \cdot 100 \,\%\\[5pt] &=&\dfrac{1}{50} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &=&2\,\% \end{array}$

Für den Rabatt gilt:

$Formula: 750\,\text{€}\cdot 0,06=45\,\text{€}$ $Formula: 750\,\text{€}\cdot 0,06=45\,\text{€}$

Für den neuen Preis folgt:

$Formula: 750\,\text{€}-45 \,\text{€}=705 \,\text{€}$ $Formula: 750\,\text{€}-45 \,\text{€}=705 \,\text{€}$

Für die Erklärung von Tims Fehler folgt:

Tim rechnet mit $Formula: 100 \,\%$ $Formula: 100 \,\%$ statt mit $Formula: 119 \,\%.$ $Formula: 119 \,\%.$ Da die Mehrwertsteuer im Preis von $Formula: 750\,\text{€}$ $Formula: 750\,\text{€}$ bereits enthalten ist, entspricht dieser Betrag $Formula: 119 \,\%$ $Formula: 119 \,\%$ ( $Formula: 100 \,\%$ $Formula: 100 \,\%$ Nettopreis + $Formula: 19 \,\%$ $Formula: 19 \,\%$ Steuer). Um $Formula: 1 \,\%$ $Formula: 1 \,\%$ zu berechnen, wird durch geteilt, nicht durch Formula: 100.

Für die Mehrwertsteuer folgt:

$Formula: 119 \,\%\widehat{=} 750\,\text{€}$ $Formula: 119 \,\%\widehat{=} 750\,\text{€}$

Für $Formula: 1\,\%$ $Formula: 1\,\%$ gilt:

$Formula: 1 \,\%\; \widehat{=} \dfrac{750}{119} \approx 6,3025 \,\text{€}$ $Formula: 1 \,\%\; \widehat{=} \dfrac{750}{119} \approx 6,3025 \,\text{€}$

Für $Formula: 19\,\%$ $Formula: 19\,\%$ Mehrwertsteuer folgt:

$Formula: 19 \,\% \widehat{=} 6,3025\,\text{€} \cdot 19$ $Formula: 19 \,\% \widehat{=} 6,3025\,\text{€} \cdot 19$

$Formula: 19\,\%\,\widehat{\approx}\, 119,76\,\text{€}$ $Formula: 19\,\%\,\widehat{\approx}\, 119,76\,\text{€}$

Nach dem Ablesen des Graphen an der Stelle Formula: x=9 folgt das Ergebnis:

Aus $Formula: 9\;\text{kg}$ $Formula: 9\;\text{kg}$ Äpfeln erhält man Formula: 6 Liter Saft.

Mit der Steigung $Formula: \tfrac{2}{3}$ $Formula: \tfrac{2}{3}$ aus dem Graphen, folgt:

$Formula: 42 \cdot \dfrac{2}{3}=28$ $Formula: 42 \cdot \dfrac{2}{3}=28$ Liter

Für die Apfelmenge für Formula: 92 Liter Saft gilt:

$Formula: 92 \cdot 1,5=138 \;\text{kg}$ $Formula: 92 \cdot 1,5=138 \;\text{kg}$

Für die vollständige Tabelle ergibt sich:

Äpfel in Kilogramm
Apfelsaft in Liter

Für die Menge Apfelsaft aus $Formula: 45\;\text{kg}$ $Formula: 45\;\text{kg}$ Äpfel, folgt:

$Formula: 45 \cdot \dfrac{2}{3}=30$ $Formula: 45 \cdot \dfrac{2}{3}=30$ Liter

Für die Anzahl der Becher folgt:

$Formula: \dfrac{30}{0,2}= 150$ $Formula: \dfrac{30}{0,2}= 150$ Becher

Für die Gesamteinnahmen ergeben sich:

$Formula: 150 \cdot 1,60 \,\text{€}=240\,\text{€}$ $Formula: 150 \cdot 1,60 \,\text{€}=240\,\text{€}$

Somit folgt:

Sara hat nicht recht. Mit dem Saft aus $Formula: 45\;\text{kg}$ $Formula: 45\;\text{kg}$ Äpfeln nehmen die Schülerinnen und Schüler $Formula: 240 \,\text{€}$ $Formula: 240 \,\text{€}$ ein und nicht $Formula: 300 \,\text{€}.$ $Formula: 300 \,\text{€}.$

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