Aufgabengruppe 1

Löse folgende Gleichungen.

$Formula: -0,5 \cdot(2,5-2 x)+x-1,5=(-1,5+2 x) \cdot 5-3 x-10,25$ $Formula: -0,5 \cdot(2,5-2 x)+x-1,5=(-1,5+2 x) \cdot 5-3 x-10,25$

$Formula: \dfrac{1}{8} \cdot(2 x+4)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3 x+8}{4}+4-2 x$ $Formula: \dfrac{1}{8} \cdot(2 x+4)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3 x+8}{4}+4-2 x$

8 P

Eine Waldameise wiegt $Formula: 0,000012\;\text{kg}.$ $Formula: 0,000012\;\text{kg}.$

Gib das Körpergewicht der Waldameise als Zehnerpotenz in Standardschreibweise an.

In einem Ameisenhügel leben $Formula: 4,65 \cdot 10^6$ $Formula: 4,65 \cdot 10^6$ Waldameisen. Berechne das Gesamtgewicht aller Waldameisen in diesem Ameisenhügel.

Gib das Ergebnis in Gramm an.

Eine einzelne Waldameise kann das bis zu Vierzigfache ihres Körpergewichts tragen.

Begründe rechnerisch, ob es ihr gelingen kann, ein $Formula: 0,6 \;\text{g}$ $Formula: 0,6 \;\text{g}$ schweres Blatt alleine zu befördern.

3 P

Zeichne in ein Koordinatensystem (Einheit $Formula: 1 \,\text{cm}$ $Formula: 1 \,\text{cm}$ ) die Punkte $Formula: A(-3 \mid 0)$ $Formula: A(-3 \mid 0)$ und $Formula: B(4 \mid-1)$ $Formula: B(4 \mid-1)$ ein und verbinde die Punkte und zur Strecke $Formula: \overline{AB}.$ $Formula: \overline{AB}.$

Hinweis zum Platzbedarf: Formula: x -Achse von Formula: -6 bis Formula: 5, Formula: y -Achse von Formula: -2 bis

Zeichne die Mittelsenkrechte zur Strecke $Formula: \overline{AB}.$ $Formula: \overline{AB}.$

Zeichne das gleichschenklige Dreieck Formula: ABC mit Seite $Formula: a=5 \;\text{cm}$ $Formula: a=5 \;\text{cm}$ und $Formula: b=5 \;\text{cm}.$ $Formula: b=5 \;\text{cm}.$

Lege den Punkt Formula: D so fest, dass das Parallelogramm Formula: ABCD entsteht, und gib die Koordinaten von an.

4 P

Die Abbildung zeigt ein Prisma, dessen Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist.

Daraus wurde ein Kegel ausgeschnitten.

Berechne das Volumen dieses Körpers.

Höhe des Kegels

Formula: h_k=6

Geometrische Skizze eines Kegels mit Maßen und Hilfslinien in einem Prisma.

Hinweise:

Abbildung nicht maßstabsgetreu,

Maße in $Formula: \text{cm}$ $Formula: \text{cm}$

5 P

Die folgende Abbildung zeigt ein Glücksrad mit gleich großen Feldern.

Glücksrad mit Gewinnen, Nieten und Trostpreisen

Das Glücksrad wird einmal gedreht.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit in Bruch- und Prozentschreibweise, einen „Gewinn“ zu erzielen.

Ben behauptet: „Wenn ich das Glücksrad $Formula: 100{-}\mathrm{mal}$ $Formula: 100{-}\mathrm{mal}$ drehe, habe ich ganz sicher einen Gewinn.“

Entscheide, ob er recht hat, und begründe.

Gib das Gegenereignis $Formula: \overline{E}$ $Formula: \overline{E}$ zu $Formula: E=\{$ $Formula: E=\{$ Gewinn oder Trostpreis $Formula: \}$ $Formula: \}$ in Mengenschreibweise an.

Skizziere ein weiteres Glücksrad mit acht gleich großen Feldern, bei dem die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei $Formula: 25 \,\%$ $Formula: 25 \,\%$ liegt.

4 P

Im Schuljahr 2023/24 wurden in einer Großstadt insgesamt Formula: 750 Schülerunfälle erfasst.

Diese verteilen sich wie folgt:

Schülerunfälle im Schuljahr 2023/24
Sport	Pause	Klassenzimmer	Schulweg

Berechne die Verteilung der Unfälle in Prozent.

Stelle diese Verteilung in einem Säulendiagramm $Formula: ( 1 \mathrm{~cm} \,\widehat{=} \,5 \,\% )$ $Formula: ( 1 \mathrm{~cm} \,\widehat{=} \,5 \,\% )$ dar.

Der Anteil an Busunfällen an den Schulwegunfällen beträgt $Formula: 5\,\%.$ $Formula: 5\,\%.$

Berechne die Anzahl der Busunfälle.

Im vorangegangenen Schuljahr wurden insgesamt $Formula: 1,6 \,\text{%}$ $Formula: 1,6 \,\text{%}$ weniger Schülerunfälle erfasst.

Berechne die Gesamtanzahl der erfassten Schülerunfälle für das Schuljahr 2022/23.

4 P

Petra benötigt für Gartenarbeiten einen Rasenmäher.

Ein Baumarkt erstellt zwei Angebote für das gleiche Modell:

Angebot A: Miete für 15 € pro Stunde, einmalige Abschlussgebühr 10 €

Angebot B mit Kaufpreis 599 € und 15 % Rabatt

Bestimme die in der Tabelle fehlenden Werte für das Angebot Formula: A:

Mietdauer in Stunden
Kosten inklusive einmaliger Abschlussgebühr in $Formula: \text{€}$ $Formula: \text{€}$

Stelle den Zusammenhang von Mietdauer und Mietkosten des Rasenmähers aus Angebot Formula: A in einem Koordinatensystem graphisch dar.

Rechtswertachse: $Formula: 1 \mathrm{~cm}\,\widehat{=}\,2$ $Formula: 1 \mathrm{~cm}\,\widehat{=}\,2$ Stunden

Hochwertachse: $Formula: 1 \mathrm{~cm}\,\widehat{=}\,20\,\text{ €}$ $Formula: 1 \mathrm{~cm}\,\widehat{=}\,20\,\text{ €}$

Hinweis zum Platzbedarf: Rechtswertachse $Formula: 9\;\text{cm},$ $Formula: 9\;\text{cm},$ Hochwertachse $Formula: 9\;\text{cm}$ $Formula: 9\;\text{cm}$

Ermittle, ab wie vielen Stunden Mietdauer es günstiger ist, sich den Rasenmäher abzüglich Rabatt zu kaufen, statt ihn zu mieten.

Stelle deinen Lösungsweg nachvollziehbar dar.

4 P

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$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,5\cdot(2,5-2 x)+x-1,5&=&(-1,5+2 x)\cdot5 -3 x-10,25 \\[5pt] -1,25+x+x-1,5&=&-7,5+10x-3x-10,25 \\[5pt] -2,75+2x&=&-17,75+7x &\mid\; -7x \\[5pt] -2,75-5x&=&-17,75 &\mid\; +2,75 \\[5pt] -5x&=&-15 &\mid\; :(-5) \\[5pt] x&=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,5\cdot(2,5-2 x)+x-1,5&=&(-1,5+2 x)\cdot5 -3 x-10,25 \\[5pt] -1,25+x+x-1,5&=&-7,5+10x-3x-10,25 \\[5pt] -2,75+2x&=&-17,75+7x &\mid\; -7x \\[5pt] -2,75-5x&=&-17,75 &\mid\; +2,75 \\[5pt] -5x&=&-15 &\mid\; :(-5) \\[5pt] x&=&3 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{8}\cdot(2 x+4)+\dfrac{1}{4}&=&\dfrac{3x+8}{4}+4-2x \\[5pt] 0,25x+0,5+0,25&=&(3x+8)\cdot 0,25 +4-2x \\[5pt] 0,25x+0,75&=&0,75x+2+4-2x &\mid\;-0,75 \\[5pt] 0,25x&=&-1,25x+5,25& \mid\; +1,25x \\[5pt] 1,5x&=&5,25 &\mid\; :1,5 \\[5pt] x&=&3,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{8}\cdot(2 x+4)+\dfrac{1}{4}&=&\dfrac{3x+8}{4}+4-2x \\[5pt] 0,25x+0,5+0,25&=&(3x+8)\cdot 0,25 +4-2x \\[5pt] 0,25x+0,75&=&0,75x+2+4-2x &\mid\;-0,75 \\[5pt] 0,25x&=&-1,25x+5,25& \mid\; +1,25x \\[5pt] 1,5x&=&5,25 &\mid\; :1,5 \\[5pt] x&=&3,5 \end{array}$

$Formula: \begin{aligned} 0,000012 \mathrm{~kg} & =0,00012 \cdot 10^{-1} \mathrm{~kg} \\ & =0,0012 \cdot 10^{-2} \mathrm{~kg} \\ & =0,012 \cdot 10^{-3} \mathrm{~kg} \\ & =0,12 \cdot 10^{-4} \mathrm{~kg} \\ & =1,2 \cdot 10^{-5} \mathrm{~kg}\end{aligned}$ $Formula: \begin{aligned} 0,000012 \mathrm{~kg} & =0,00012 \cdot 10^{-1} \mathrm{~kg} \\ & =0,0012 \cdot 10^{-2} \mathrm{~kg} \\ & =0,012 \cdot 10^{-3} \mathrm{~kg} \\ & =0,12 \cdot 10^{-4} \mathrm{~kg} \\ & =1,2 \cdot 10^{-5} \mathrm{~kg}\end{aligned}$

Für das Gewicht der Ameise in Gramm gilt:

$Formula: 0,000012\;\text{kg}=1,2 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{~g}$ $Formula: 0,000012\;\text{kg}=1,2 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{~g}$

Für das Gesamtgewicht folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m_{\text{gesamt}}&=&4,65 \cdot 10^6 \cdot1,2 \cdot 10^{-2}\;\mathrm{g} \\[5pt] &=&(4,65 \cdot 1,2) \cdot10^6 \cdot 10^{-2}\;\text{g} \\[5pt] &=&5,58 \cdot 10^4\;\text{g} \\[5pt] &=&55\,800\;\text{g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m_{\text{gesamt}}&=&4,65 \cdot 10^6 \cdot1,2 \cdot 10^{-2}\;\mathrm{g} \\[5pt] &=&(4,65 \cdot 1,2) \cdot10^6 \cdot 10^{-2}\;\text{g} \\[5pt] &=&5,58 \cdot 10^4\;\text{g} \\[5pt] &=&55\,800\;\text{g} \end{array}$

Für das Gewicht einer Ameise in $Formula: \text{g}$ $Formula: \text{g}$ gilt:

$Formula: 0,000012\;\text{kg}=0,012\;\text{g}$ $Formula: 0,000012\;\text{kg}=0,012\;\text{g}$

Das vierzigfache Gewicht einer Ameise beträgt:

$Formula: 0,012\;\text{g}\cdot 40=0,48\;\text{g}$ $Formula: 0,012\;\text{g}\cdot 40=0,48\;\text{g}$

Da $Formula: 0,48\;\mathrm{g}<0,6\;\mathrm{g}$ $Formula: 0,48\;\mathrm{g}<0,6\;\mathrm{g}$ kann sie das $Formula: 0,6\;\text{g}$ $Formula: 0,6\;\text{g}$ Blatt nicht befördern.

Koordinatensystem mit Punkten A(-3|0) und B(4|-1), verbunden durch eine schräge Linie.

Koordinatensystem mit Punkten A, M und B sowie einer Geraden.

Punktdiagramm mit Koordinatensystem und eingezeichneten Strecken zwischen A, B, C und M.

Koordinatensystem mit Punkten A, B, C, D und M, verbunden durch Linien

Der Durchmesser der Grundfläche beträgt $Formula: 3\;\text{cm}.$ $Formula: 3\;\text{cm}.$ Daher folgt für den Radius:

$Formula: r=\dfrac{3}{2}=1,5 \;\text{cm}$ $Formula: r=\dfrac{3}{2}=1,5 \;\text{cm}$

Für das Volumen des Kegels folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text{Kegel}}&=&\dfrac{1}{3}\cdot r^2 \cdot\pi \cdot h_K \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot1,5\;\text{cm}\cdot1,5\;\text{cm}\cdot3,14\cdot6\;\text{cm}\\[5pt] &=&14,13\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text{Kegel}}&=&\dfrac{1}{3}\cdot r^2 \cdot\pi \cdot h_K \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot1,5\;\text{cm}\cdot1,5\;\text{cm}\cdot3,14\cdot6\;\text{cm}\\[5pt] &=&14,13\;\text{cm}^3 \end{array}$

$Formula: P\text{(Gewinn )}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$ $Formula: P\text{(Gewinn )}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$

Für die Prozentschreibweise folgt:

$Formula: \dfrac{1}{6}\approx0,1667= 16,67 \,\%$ $Formula: \dfrac{1}{6}\approx0,1667= 16,67 \,\%$

Ben hat nicht recht, denn auch bei Formula: 100 Drehungen ist ein Gewinn nicht sicher.

Es besteht bei jeder Drehung die Möglichkeit, keinen Gewinn zu erzielen, sodass auch nach Formula: 100 Drehungen theoretisch kein Gewinn auftreten kann.

$Formula: \overline{E}=\,\text{{Niete}}$ $Formula: \overline{E}=\,\text{{Niete}}$

Glücksrad mit Gewinn, Niete und Trostpreis

Für die Verteilung der Unfälle gilt:

$Formula: \text{Anteil} =\dfrac{\text { Anzahl }}{750} \cdot 100\,\%$ $Formula: \text{Anteil} =\dfrac{\text { Anzahl }}{750} \cdot 100\,\%$

Somit folgt für den Sport:

$Formula: \dfrac{270}{750} \cdot 100\,\%= 36 \,\%$ $Formula: \dfrac{270}{750} \cdot 100\,\%= 36 \,\%$

Für die Pause gilt:

$Formula: \dfrac{210}{750} \cdot 100\,\%= 28 \,\%$ $Formula: \dfrac{210}{750} \cdot 100\,\%= 28 \,\%$

Für das Klassenzimmer ergibt sich:

$Formula: \dfrac{150}{750} \cdot 100\,\%= 20 \,\%$ $Formula: \dfrac{150}{750} \cdot 100\,\%= 20 \,\%$

Für den Schulweg folgt:

$Formula: \dfrac{120}{750} \cdot 100\,\%= 16 \,\%$ $Formula: \dfrac{120}{750} \cdot 100\,\%= 16 \,\%$

Für die Säulenhöhe mit $Formula: 5 \,\%\;\widehat{=}\,1 \;\text{cm}$ $Formula: 5 \,\%\;\widehat{=}\,1 \;\text{cm}$ gilt:

$Formula: \text{Säulenhöhe} =\dfrac{\text { Prozentwert }}{5}$ $Formula: \text{Säulenhöhe} =\dfrac{\text { Prozentwert }}{5}$

Somit ergibt sich für den Sport:

$Formula: \dfrac{36}{5}=7,2 \;\text{cm}$ $Formula: \dfrac{36}{5}=7,2 \;\text{cm}$

Für die Pause folgt:

$Formula: \dfrac{28}{5}=5,6 \;\text{cm}$ $Formula: \dfrac{28}{5}=5,6 \;\text{cm}$

Für das Klassenzimmer ergibt sich:

$Formula: \dfrac{20}{5}=4 \;\text{cm}$ $Formula: \dfrac{20}{5}=4 \;\text{cm}$

Für den Schulweg gilt:

$Formula: \dfrac{16}{5}=3,2\;\text{cm}$ $Formula: \dfrac{16}{5}=3,2\;\text{cm}$

Somit folgt für das Säulendiagramm:

Balkendiagramm zu Schülerunfällen im Schuljahr 2023/24 nach Ort und Prozentanteil.

Mit Formula: 120 Unfällen auf dem Schulweg und einem Anteil von $Formula: 5\,\%$ $Formula: 5\,\%$ an Busunfällen folgt:

$Formula: 0,05 \cdot 120=6$ $Formula: 0,05 \cdot 120=6$

$Formula: \begin{array}{rlll} 100 \,\% &\widehat{=}& 750\;\text{Unfälle} \\[5pt] 1 \,\% &\widehat{=}& 7,5\;\text{Unfälle} \\[5pt] 98,4 \,\% &\widehat{=}& 7,5\;\text{Unfälle} \cdot 98,4 \\[5pt] &=&738\;\text{Schülerunfälle} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 100 \,\% &\widehat{=}& 750\;\text{Unfälle} \\[5pt] 1 \,\% &\widehat{=}& 7,5\;\text{Unfälle} \\[5pt] 98,4 \,\% &\widehat{=}& 7,5\;\text{Unfälle} \cdot 98,4 \\[5pt] &=&738\;\text{Schülerunfälle} \end{array}$

Für die Kosten der Miete ohne Gebühr folgt:

$Formula: 40\,\text{€}-10\,\text{€}=30 \,\text{€}$ $Formula: 40\,\text{€}-10\,\text{€}=30 \,\text{€}$

Da Formula: 1 Stunde $Formula: 15\,\text{€}$ $Formula: 15\,\text{€}$ entspricht, gilt:

$Formula: \dfrac{30}{15}=2$ $Formula: \dfrac{30}{15}=2$ Stunden

Für die Gesamtkosten einer Mietdauer von Formula: 11 Stunden gilt:

$Formula: 15\,\text {€} \cdot 11=165\,\text {€}$ $Formula: 15\,\text {€} \cdot 11=165\,\text {€}$

Nach der inklusiven einmaligen Abschlussgebühr folgt:

$Formula: 165\,\text {€}+10\,\text {€}=175 \,\text {€}$ $Formula: 165\,\text {€}+10\,\text {€}=175 \,\text {€}$

Für die Tabelle folgt:

Mietdauer in Stunden
Kosten inklusive einmaliger Abschlussgebühr in $Formula: \text{€}$ $Formula: \text{€}$

Diagramm einer linearen Kostenfunktion mit Punkten und Geraden, Achsen Mietdauer und Mietkosten in Euro.

Für den Kaufpreis mit $Formula: 15\,\%$ $Formula: 15\,\%$ Rabatt gilt:

$Formula: 599\,\text{€}-15\,\% \cdot599=509,15\,\text{€}$ $Formula: 599\,\text{€}-15\,\% \cdot599=509,15\,\text{€}$

Es gilt:

$Formula: 509,15 \,\text{€}-10 \,\text{€}=499,15 \,\text{€}$ $Formula: 509,15 \,\text{€}-10 \,\text{€}=499,15 \,\text{€}$

Es wird durch eine Stunde geteilt, daraus ergibt sich:

$Formula: \dfrac{499,15 \,\text{€}}{15\,\text{€}} = 33,27$ $Formula: \dfrac{499,15 \,\text{€}}{15\,\text{€}} = 33,27$

Somit ist der Kauf des Rasenmähers ab Formula: 34 Stunden günstiger.

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