Aufgabengruppe 2

Löse folgende Gleichungen.

$Formula: 8,4 x-3,6-0,125 \cdot(9,6+1,2 x)=36,45$ $Formula: 8,4 x-3,6-0,125 \cdot(9,6+1,2 x)=36,45$

$Formula: \dfrac{3 x+3}{5}=-\dfrac{1}{2} x+10,5$ $Formula: \dfrac{3 x+3}{5}=-\dfrac{1}{2} x+10,5$

7 P

Berechne das Volumen des Körpers.

Technische Skizze mit Maßen und Zickzack-Linie eines geometrischen Körpers.

Hinweise:

Skizze nicht maßstabsgetreu

Körper ist symmetrisch zur

eingezeichneten Achse

Maße in $Formula: \text{mm}$ $Formula: \text{mm}$

4 P

Zeichne die Strecke $Formula: \overline{AB}=\,6 \mathrm{~cm} .\overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}=\,6 \mathrm{~cm} .\overline{AB}$ ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks Formula: ABC mit einem Flächeninhalt von $Formula: 12 \mathrm{~cm}^2.$ $Formula: 12 \mathrm{~cm}^2.$

Zeichne dieses Dreieck.

Lege den Punkt Formula: D so fest, dass das Viereck Formula: ABCD ein Parallelogramm ist. Zeichne das Parallelogramm und bestimme dessen Flächeninhalt.

4 P

Jasmin zieht zufällig eine Karte aus einem Kartenstapel mit den folgenden Karten:

Farbige Formen in Karten: Kreise, Quadrate und Dreiecke in Grün, Gelb und Blau.

Begründe rechnerisch, welches der beiden Ereignisse „gelbe Figur“ oder „Dreieck“ wahrscheinlicher ist.

Gib eine Karte an, die entfernt werden muss, damit die Ereignisse „grüne Figur“ und „blaue Figur“ gleich wahrscheinlich sind.

Nenne zwei Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit größer als $Formula: 40\,\%$ $Formula: 40\,\%$ ist.

3 P

Eine Mittelschule führt die Aktion „Unsere Schule klettert“ durch.

Die Klasse 9a besucht einen Klettergarten mit folgenden Eintrittspreisen:

Einzelkarte: $Formula: 16,50\,\text{€}$ $Formula: 16,50\,\text{€}$
Gruppe ab Personen:	$Formula: 20 \,\%$ $Formula: 20 \,\%$ Rabatt auf jede Karte
Gruppe ab Personen:	$Formula: 28 \,\%$ $Formula: 28 \,\%$ Rabatt auf jede Karte

Jeder muss für die Eintrittskarte $Formula: 11,88\,\text{€}$ $Formula: 11,88\,\text{€}$ bezahlen.

Berechne, wie viele Personen mindestens beim Besuch des Klettergartens dabei sind.

Die Klasse 9b besucht eine Kletterhalle.

Sie bekommt $Formula: 13\, \%$ $Formula: 13\, \%$ Rabatt auf den Eintrittspreis und bezahlte $Formula: 435\,\text{€}.$ $Formula: 435\,\text{€}.$

Berechne, wie viel die Klasse ohne den Rabatt bezahlt hätte.

Die Schule schafft Klettergurte an.

Die Mehrwertsteuer $Formula: (19 \,\%)$ $Formula: (19 \,\%)$ für einen Klettergurt beträgt $Formula: 5,70\,\text{€}.$ $Formula: 5,70\,\text{€}.$

Ermittle, wie viel ein Klettergurt inklusive Mehrwertsteuer kostet.

4 P

Die abgebildete Figur besteht aus einem Halbkreis und der Hälfte eines regelmäßigen Sechsecks.

Berechne den Flächeninhalt der Figur in $Formula: \mathrm{cm}^2.$ $Formula: \mathrm{cm}^2.$

Geometrische Figur mit Maßangaben in cm und gestrichelten Hilfslinien.

4 P

Das Volumen eines Wassertropfens beträgt $Formula: 5 \cdot 10^{-9} \mathrm{~m}^3.$ $Formula: 5 \cdot 10^{-9} \mathrm{~m}^3.$

Gib das Volumen eines Wassertropfens in $Formula: \mathrm{mm}^3$ $Formula: \mathrm{mm}^3$ an.

Ermittle, wie viele Wassertropfen zusammen $Formula: 1 \mathrm{~m}^3$ $Formula: 1 \mathrm{~m}^3$ Wasser ergeben.

2 P

Beim Befüllen eines zu Beginn leeren quaderförmigen Pools steigt der Wasserstand pro Stunde um $Formula: 20\;\text{cm}.$ $Formula: 20\;\text{cm}.$

Bestimme die in der Tabelle fehlenden Werte.

Zeit in Stunden
Wasserstand in $Formula: \text{cm}$ $Formula: \text{cm}$

Stelle den Zusammenhang von Zeit und Wasserstand in einem Koordinatensystem graphisch dar.

Rechtswertachse: 1 Stunde $Formula: \widehat{=}\,1 \mathrm{~cm}$ $Formula: \widehat{=}\,1 \mathrm{~cm}$

Hochwertachse: $Formula: 20\;\text{cm}$ $Formula: 20\;\text{cm}$ Wasserstand $Formula: \widehat{=}\, 1 \mathrm{~cm}$ $Formula: \widehat{=}\, 1 \mathrm{~cm}$

Hinweis zum Platzbedarf: Rechtswertachse $Formula: 6\;\text{cm}$ $Formula: 6\;\text{cm}$ , Hochwertachse $Formula: 6\;\text{cm}$ $Formula: 6\;\text{cm}$

Das Befüllen des Pools beginnt um Formula: 8:00 Uhr.

Berechne die Uhrzeit, zu der der Wasserstand $Formula: 1,50 \mathrm{~m}$ $Formula: 1,50 \mathrm{~m}$ beträgt.

4 P

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$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 8,4 x-3,6-0,125 \cdot(9,6+1,2 x)&=&36,45 \\[5pt] 8,4 x-3,6-(1,2+0,15 x)&=&36,45 \\[5pt] 8,4 x-3,6-1,2-0,15 x&=&36,45 \\[5pt] 8,25 x-4,8&=&36,45 &\mid\;+4,8 \\[5pt] 8,25x&=&41,25 &\mid\;:8,25 \\[5pt] x&=&5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 8,4 x-3,6-0,125 \cdot(9,6+1,2 x)&=&36,45 \\[5pt] 8,4 x-3,6-(1,2+0,15 x)&=&36,45 \\[5pt] 8,4 x-3,6-1,2-0,15 x&=&36,45 \\[5pt] 8,25 x-4,8&=&36,45 &\mid\;+4,8 \\[5pt] 8,25x&=&41,25 &\mid\;:8,25 \\[5pt] x&=&5 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3 x+3}{5}&=&-\dfrac{1}{2} x+10,5 &\mid\;\cdot10 \\[5pt] 2 \cdot(3 x+3)&=&-5 x+10 \cdot 10,5 \\[5pt] 6 x+6&=&-5 x+105 &\mid\;-6 \\[5pt] 6x&=&-5x+99 &\mid\;+5x \\[5pt] 11x&=&99 &\mid\;:11 \\[5pt] x&=&9 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3 x+3}{5}&=&-\dfrac{1}{2} x+10,5 &\mid\;\cdot10 \\[5pt] 2 \cdot(3 x+3)&=&-5 x+10 \cdot 10,5 \\[5pt] 6 x+6&=&-5 x+105 &\mid\;-6 \\[5pt] 6x&=&-5x+99 &\mid\;+5x \\[5pt] 11x&=&99 &\mid\;:11 \\[5pt] x&=&9 \end{array}$

Für die Höhe der Dreiecke gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2+5^2&=&13^2 &\mid\;-5^2 \\[5pt] h^2&=&144 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] h&=&12\;\text{mm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2+5^2&=&13^2 &\mid\;-5^2 \\[5pt] h^2&=&144 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] h&=&12\;\text{mm} \end{array}$

Bei der Fläche der Vorderseite folgt für das Rechteck:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_R&=&20 \cdot 20\\[5pt] &=&400 \mathrm{~mm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_R&=&20 \cdot 20\\[5pt] &=&400 \mathrm{~mm}^2 \end{array}$

Für die oberhalb liegenden vier rechtwinkligen Dreiecke folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{Dreiecke}}&=&4\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12\\[5pt] &=&120\;\text{mm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text{Dreiecke}}&=&4\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12\\[5pt] &=&120\;\text{mm}^2 \end{array}$

Damit gilt für die Vorderseite als Grundfläche:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} G&=&400+120\\[5pt] &=&520 \mathrm{~mm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} G&=&400+120\\[5pt] &=&520 \mathrm{~mm}^2 \end{array}$

Für das Volumen folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&G \cdot 10 \\[5pt] &=&520 \cdot 10\\[5pt] &=&5200 \mathrm{~mm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&G \cdot 10 \\[5pt] &=&520 \cdot 10\\[5pt] &=&5200 \mathrm{~mm}^3 \end{array}$

Für die Höhe des Dreiecks gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{g\cdot h}{2} \\[5pt] 12\;\text{cm}^2&=&\dfrac{6\;\text{cm}\cdot h}{2} &\mid\;\cdot2 \\[5pt] 24\;\text{cm}^2&=&6\;\text{cm}\cdot h &\mid\;:6\;\text{cm} \\[5pt] 4\;\text{cm}&=&h \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{g\cdot h}{2} \\[5pt] 12\;\text{cm}^2&=&\dfrac{6\;\text{cm}\cdot h}{2} &\mid\;\cdot2 \\[5pt] 24\;\text{cm}^2&=&6\;\text{cm}\cdot h &\mid\;:6\;\text{cm} \\[5pt] 4\;\text{cm}&=&h \end{array}$

Für das Dreieck folgt:

Geometrische Zeichnung eines Dreiecks mit den Punkten A, M, B und C auf einem Koordinatengitter.

Für das Parallelogramm gilt:

Geometrische Zeichnung mit Punkten A, B, C, D und M auf einem Gitternetz.

Für den Flächeninhalt des Parallelogramms folgt mit $Formula: A_{\text {Dreieck }}=12 \mathrm{~cm}^2:$ $Formula: A_{\text {Dreieck }}=12 \mathrm{~cm}^2:$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Parallelogramm }}&=&2 \cdot 12 \mathrm{~cm}^2\\[5pt] &=&24 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Parallelogramm }}&=&2 \cdot 12 \mathrm{~cm}^2\\[5pt] &=&24 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Insgesamt gibt es Formula: 9 Karten. Für die gelbe Figur folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P\text{(gelbe Figur)}&=&\dfrac{2}{9}\\[5pt] &\approx& 22,2 \,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P\text{(gelbe Figur)}&=&\dfrac{2}{9}\\[5pt] &\approx& 22,2 \,\% \end{array}$

Für das Dreieck gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P\text{(Dreieck)}&=&\dfrac{3}{9}\\[5pt] &\approx& 33,3 \,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P\text{(Dreieck)}&=&\dfrac{3}{9}\\[5pt] &\approx& 33,3 \,\% \end{array}$

Somit ist das Ereignis „Dreieck“ wahrscheinlicher.

Es gibt Formula: 3 grüne und Formula: 4 blaue Figuren. Daher muss eine Karte mit einer blauen Figur entfernt werden, zum Beispiel die Karte mit dem blauen Kreis.

Zwei mögliche Ereignisse sind:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\text {blaue Figur})&=&\dfrac{4}{9}\\[5pt] &\approx& 44,4 \,\% \\[5pt] P(\text {Quadrat})&=&\dfrac{4}{9} \\[5pt] &\approx& 44,4 \,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\text {blaue Figur})&=&\dfrac{4}{9}\\[5pt] &\approx& 44,4 \,\% \\[5pt] P(\text {Quadrat})&=&\dfrac{4}{9} \\[5pt] &\approx& 44,4 \,\% \end{array}$

Bei $Formula: 20\,\%$ $Formula: 20\,\%$ Rabatt,folgt für die Kosten einer Einzelkarte:

$Formula: 16,50 \cdot 0,80=13,20\,\text{€}$ $Formula: 16,50 \cdot 0,80=13,20\,\text{€}$

Bei $Formula: 28\,\%$ $Formula: 28\,\%$ gilt:

$Formula: 16,50 \cdot 0,72=11,88\,\text{€}$ $Formula: 16,50 \cdot 0,72=11,88\,\text{€}$

Beim Besuch des Klettergartens sind somit mindestens Formula: 20 Schülerinnen und Schüler dabei.

Nach $Formula: 13 \,\%$ $Formula: 13 \,\%$ Rabatt entsprechen $Formula: 435\,\text{€}$ $Formula: 435\,\text{€}$ noch $Formula: 87\,\%$ $Formula: 87\,\%$ des ursprünglichen Preises. Es gilt:

$Formula: \dfrac{435}{0,87}=500$ $Formula: \dfrac{435}{0,87}=500$

Ohne Rabatt hätte die Klasse $Formula: 500\,\text{€}$ $Formula: 500\,\text{€}$ bezahlt.

Die $Formula: 5,70\,\text{€}$ $Formula: 5,70\,\text{€}$ Mehrwertsteuer entsprechen $Formula: 19\,\%$ $Formula: 19\,\%$ des Nettopreises. Es folgt:

$Formula: \dfrac{5,70}{0,19}=30\,\text{€}$ $Formula: \dfrac{5,70}{0,19}=30\,\text{€}$

Mit dem Nettopreis von $Formula: 30\,\text{€}$ $Formula: 30\,\text{€}$ folgt:

$Formula: 30+5,70=35,70\,\text{€}$ $Formula: 30+5,70=35,70\,\text{€}$

Ein Klettergurt kostet inklusive Mehrwertsteuer $Formula: 35,70\,\text{€}.$ $Formula: 35,70\,\text{€}.$

Der Durchmesser beträgt $Formula: 30\,\text{cm}.$ $Formula: 30\,\text{cm}.$ Für den Halbkreis folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Halbkreis }}&=&\dfrac{1}{2} \pi r^2 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \pi \cdot 15^2 \\[5pt] &=&353,25 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Halbkreis }}&=&\dfrac{1}{2} \pi r^2 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \pi \cdot 15^2 \\[5pt] &=&353,25 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Die Hälfte des Sechsecks besteht aus drei gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge $Formula: 15\;\text{cm}.$ $Formula: 15\;\text{cm}.$ Für die Höhe dieser Dreiecke gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2+\left(\dfrac{1}{2}\cdot15\right)^2&=&15^2 &\mid\;-\left(7,5\right)^2 \\[5pt] h^2&=&168,75 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h&\approx&13\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2+\left(\dfrac{1}{2}\cdot15\right)^2&=&15^2 &\mid\;-\left(7,5\right)^2 \\[5pt] h^2&=&168,75 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h&\approx&13\;\text{cm} \end{array}$

Damit ergibt sich für den Flächeninhalt eines Dreiecks:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Dreieck }}&=&\dfrac{1}{2} \cdot 15\cdot 13\\[5pt] &=&97,5\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Dreieck }}&=&\dfrac{1}{2} \cdot 15\cdot 13\\[5pt] &=&97,5\;\text{cm}^2 \end{array}$

Für Formula: 3 Dreiecke folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Sechseckhälfte}}&=&3 \cdot 97,5\;\text{cm}^2\\[5pt] &=&292,5\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Sechseckhälfte}}&=&3 \cdot 97,5\;\text{cm}^2\\[5pt] &=&292,5\;\text{cm}^2 \end{array}$

Somit folgt für die Gesamtfläche:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&353, 25+292, 28\\[5pt] &=&645,75 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&353, 25+292, 28\\[5pt] &=&645,75 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Da $Formula: 1 \mathrm{~m}^3=10^9 \mathrm{~mm}^3,$ $Formula: 1 \mathrm{~m}^3=10^9 \mathrm{~mm}^3,$ gilt:

$Formula: 5 \cdot 10^{-9} \cdot 10^9=5\;\text{mm}^3$ $Formula: 5 \cdot 10^{-9} \cdot 10^9=5\;\text{mm}^3$

Es gilt:

$Formula: \dfrac{1}{5 \cdot 10^{-9}}=2 \cdot 10^8$ $Formula: \dfrac{1}{5 \cdot 10^{-9}}=2 \cdot 10^8$

In $Formula: 1\;\text{m}^3$ $Formula: 1\;\text{m}^3$ Wasser passen somit $Formula: 200\,000\,000$ $Formula: 200\,000\,000$ Wassertropfen.

Der Wasserstand steigt pro Stunde um $Formula: 20\,\text{cm}.$ $Formula: 20\,\text{cm}.$ Nach Formula: 3 Stunden gilt:

$Formula: 3 \cdot 20=60 \mathrm{~cm}$ $Formula: 3 \cdot 20=60 \mathrm{~cm}$

Für $Formula: 90\;\text{cm}$ $Formula: 90\;\text{cm}$ folgt:

$Formula: \dfrac{90}{20}=4,5$ $Formula: \dfrac{90}{20}=4,5$ Stunden.

Nach Formula: 5 Stunden ergibt sich:

$Formula: 5 \cdot 20=100 \mathrm{~cm}$ $Formula: 5 \cdot 20=100 \mathrm{~cm}$

Für die Tabelle folgt:

Zeit in Stunden
Wasserstand in $Formula: \text{cm}$

Liniendiagramm zu Zeit und Wasserstand mit markierten Messpunkten.

Einen Wasserstand von $Formula: 1,50\;\text{m}$ $Formula: 1,50\;\text{m}$ zu erreichen benötigt die folgende Zeit:

$Formula: \dfrac{150}{20}=7,5\;\text{h}$ $Formula: \dfrac{150}{20}=7,5\;\text{h}$

Um Formula: 15:30 Uhr beträgt der Füllstand somit $Formula: 1,50\;\text{m}.$ $Formula: 1,50\;\text{m}.$

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