Aufgabengruppe 1

Löse die Gleichung.

$Formula: 21 x+1,48:0,4+(4 x-2):2=7 \cdot(1,1+3 x)$ $Formula: 21 x+1,48:0,4+(4 x-2):2=7 \cdot(1,1+3 x)$

Als Ziel einer Klassenfahrt stehen mehrere Städte zur Wahl. In der Klasse sind Formula: 28 Schülerinnen und Schüler. Jede Schülerin und jeder Schüler hat genau eine Stimme.

Berlin erhält Formula: 5 Stimmen mehr als Nürnberg.

Köln erhält doppelt so viele Stimmen wie Nürnberg.

Ein Viertel der Klasse möchte nach Hamburg.

Ermittle nachvollziehbar, wie viele Stimmen auf jede Stadt entfallen.

8 P

Zwei Banken bieten Sparkonten für Auszubildende an.

Hinweis zur Jugendbank mit Azubikonto für 18- bis 20-Jährige

Hamsterbank mit Jugendtarif und 2,5 % Zinsen pro Jahr

Der Formula: 18 -jährige Kai legt $Formula: 1\,200\,\text{€}$ $Formula: 1\,200\,\text{€}$ für ein Jahr bei der Hamsterbank an.

Berechne, wie viel Geld er nach einem Jahr einschließlich der Zinsen auf seinem Konto hat.

Sophie hat für ein Jahr $Formula: 5\,000\,\text{€}$ $Formula: 5\,000\,\text{€}$ bei der Jugendbank angelegt. Nach einem Jahr ist das Kapital einschließlich der Zinsen auf $Formula: 5\,115\,\text{€}$ $Formula: 5\,115\,\text{€}$ gestiegen.

Berechne den Zinssatz pro Jahr.

Luca legt sein erstes Ausbildungsgehalt von $Formula: 900\,\text{€}$ $Formula: 900\,\text{€}$ bei der Hamsterbank an.

Nach Formula: 11 Monaten hebt er das Geld einschließlich der Zinsen ab und meint:

„Jetzt kann ich mir von dem Geld das Mountainbike zum Preis von $Formula: 920\,\text{€}$ $Formula: 920\,\text{€}$ kaufen.“

Begründe rechnerisch, ob Luca recht hat.

4 P

Zeichne ein Dreieck Formula: ABC mit $Formula: \alpha= 70^{\circ}, c = 3\;\text{cm}$ $Formula: \alpha= 70^{\circ}, c = 3\;\text{cm}$ und $Formula: \beta = 70^{\circ}.$ $Formula: \beta = 70^{\circ}.$

Ergänze das Dreieck Formula: ABC zu einem regelmäßigen Vieleck.

Notiere, welches Vieleck entsteht.

Die Abbildung zeigt das Bestimmungsdreieck eines weiteren regelmäßigen Vielecks.

Entscheide um welches Vieleck es sich handelt und begründe deine Entscheidung.

Dreieck mit zwei markierten Winkeln von 72 Grad.

Hinweis: Abbildung nicht maßstabsgetreu

4 P

Das kleine Quadrat in der Abbildung hat einen Flächeninhalt von $Formula: 12,25\;\text{m}^2.$ $Formula: 12,25\;\text{m}^2.$

Bestimme den Umfang des grau gefärbten Quadrats.

Geometrische Skizze mit Flächenangabe 12,25 m² und Länge 9,1 m

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

3 P

Der abgebildete Baustein besteht aus einer Pyramide und einem Würfel mit einer durchgehenden zylinderförmigen Bohrung.

Der Baustein hat eine Gesamthöhe von $Formula: 7,5\;\text{cm}.$ $Formula: 7,5\;\text{cm}.$

Bestimme das Volumen des Bausteins.

Geometrische Skizze eines Körpers mit Maßen in cm und eingezeichneten Kreisen sowie Maßangaben 2,5 und 3,5.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

5 P

Die Tabelle zeigt drei Energieträger und die daraus gewonnenen elektrischen Energiemengen eines Landes im Jahr 2020 in Kilowattstunden $Formula: \text{(kWh)}.$ $Formula: \text{(kWh)}.$

Erneuerbare Energieträger	Energiemenge in $Formula: \text{kWh}$ $Formula: \text{kWh}$
Solarenergie	Milliarden
Wasserkraft	Milliarden
Windenergie	Milliarden

Gib die aus Solarenergie gewonnene Energiemenge in Kilowattstunden als Zehnerpotenz in Standardschreibweise an.

Im Jahr 2020 betrug die Gesamtmenge der genutzten Energie des Landes Formula: 74,9 Milliarden $Formula: \text{kWh}.$ $Formula: \text{kWh}.$

Berechne den prozentualen Anteil der aus der Windenergie gewonnenen Energiemenge.

Berechne die Energiemenge, die zusammen aus Wasserkraft und Windenergie gewonnen wurde.

Gib das Ergebnis in Gigawattstunden $Formula: \text{(GWh)}$ $Formula: \text{(GWh)}$ an.

In Deutschland leben Formula: 84 Millionen Menschen und verbrauchen insgesamt $Formula: 1,512\cdot10^{11}$ $Formula: 1,512\cdot10^{11}$ Kilowattstunden $Formula: \text{(kWh)}$ $Formula: \text{(kWh)}$ im Jahr.

Ermittle den jährlichen Verbrauch pro Person.

4 P

Die folgende Tabelle zeigt den Futterbedarf eines Elefanten pro Tag.

Bestimme die in der Tabelle fehlenden Werte:

Anzahl der Elefanten		?
Futter in $Formula: \text{kg}$ $Formula: \text{kg}$		$Formula: 1\,000$ $Formula: 1\,000$	?

Stelle den Zusammenhang von Futtermenge und Anzahl der Elefanten in einem Koordinatensystem graphisch dar.

Rechtswertachse: $Formula: 1 \mathrm{~cm} \widehat{=} 1$ $Formula: 1 \mathrm{~cm} \widehat{=} 1$ Elefant

Hochwertachse: $Formula: 1 \mathrm{~cm} \widehat{=} 200\;\text{kg}$ $Formula: 1 \mathrm{~cm} \widehat{=} 200\;\text{kg}$

Hinweis zum Platzbedarf: Rechtswertachse $Formula: 9\;\text{cm}$ $Formula: 9\;\text{cm}$ , Hochwertachse $Formula: 9\;\text{cm}$ $Formula: 9\;\text{cm}$

Im Lager befinden sich Formula: 5,4 Tonnen Futter.

Berechne, wie viele Tage Formula: 3 Elefanten damit gefüttert werden können.

4 P

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$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 21 x+\dfrac{1,48}{0,4}+\dfrac{(4 x-2)}{2}&=&7 \cdot(1,1+3 x) \\[5pt] 21x+3,7+2x-1&=&7,7+21x &\mid\;-21x\\[5pt] 2x+2,7&=&7,7 &\mid\;-2,7 \\[5pt] 2x&=&5 &\mid\;:2 \\[5pt] x&=&2,5 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 21 x+\dfrac{1,48}{0,4}+\dfrac{(4 x-2)}{2}&=&7 \cdot(1,1+3 x) \\[5pt] 21x+3,7+2x-1&=&7,7+21x &\mid\;-21x\\[5pt] 2x+2,7&=&7,7 &\mid\;-2,7 \\[5pt] 2x&=&5 &\mid\;:2 \\[5pt] x&=&2,5 \\[5pt] \end{array}$

Ein Viertel der Klasse stimmt für Hamburg. Somit folgt:

$Formula: \dfrac{28}{4}=7$ $Formula: \dfrac{28}{4}=7$

Nürnberg erhält Formula: x Stimmen. Somit gilt:

Nürnberg: Formula: x

Berlin: Formula: x+5

Köln: Formula: 2 x

Hamburg: Formula: 7

Da alle Stimmen zusammen Formula: 28 ergeben, folgt:

Formula: x+(x+5)+2 x+7=28

Für Nürnberg ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x+(x+5)+2 x+7&=&28 \\[5pt] 4x+12&=&28 &\mid\;-12 \\[5pt] 4x&=&16 &\mid\;:4\\[5pt] x&=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x+(x+5)+2 x+7&=&28 \\[5pt] 4x+12&=&28 &\mid\;-12 \\[5pt] 4x&=&16 &\mid\;:4\\[5pt] x&=&4 \end{array}$

Für Berlin folgt:

Formula: 4+5=9

Für Köln gilt:

$Formula: 2\cdot4=8$ $Formula: 2\cdot4=8$

Für die Zinsen bei der Hamsterbank gilt:

$Formula: 1200\,\text{€} \cdot 0,025=30\,\text{€}$ $Formula: 1200\,\text{€} \cdot 0,025=30\,\text{€}$

Für den Endbetrag auf seinem Konto inklusive Zinsen folgt:

$Formula: 1200\,\text{€}+30\,\text{€}=1230\,\text{€}$ $Formula: 1200\,\text{€}+30\,\text{€}=1230\,\text{€}$

Für die Zinsen gilt:

$Formula: 5115\,\text{€}-5000\,\text{€}=115 \,\text{€}$ $Formula: 5115\,\text{€}-5000\,\text{€}=115 \,\text{€}$

Für den Zinssatz folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} p\,\%&=&\dfrac{115\,\text{€}}{5000\,\text{€}} \cdot 100\,\% \\[5pt] &=&2,3\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} p\,\%&=&\dfrac{115\,\text{€}}{5000\,\text{€}} \cdot 100\,\% \\[5pt] &=&2,3\,\% \end{array}$

Für die Jahreszinsen gilt:

$Formula: 900\,\text{€} \cdot \dfrac{2,5}{100}=22,50\,\text{€}$ $Formula: 900\,\text{€} \cdot \dfrac{2,5}{100}=22,50\,\text{€}$

Für die Zinsen für Formula: 11 Monate folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 22,50\,\text{€} \cdot \dfrac{11}{12}&=&20,625\,\text{€} \\[5pt] &\approx&20,63\,\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 22,50\,\text{€} \cdot \dfrac{11}{12}&=&20,625\,\text{€} \\[5pt] &\approx&20,63\,\text{€} \end{array}$

Für den Endbetrag gilt:

$Formula: 900\,\text{€}+20,63\,\text{€}=920,63\,\text{€}$ $Formula: 900\,\text{€}+20,63\,\text{€}=920,63\,\text{€}$

Für den Vergleich folgt:

$Formula: 920,63\,\text{€}>920\,\text{€}$ $Formula: 920,63\,\text{€}>920\,\text{€}$

Somit hat Luca recht.

Regelmäßiges Neuneck mit Winkelangaben und Seitenlänge c = 3 cm

Es entsteht ein regelmäßiges Neuneck.

Die beiden Basiswinkel betragen jeweils $Formula: 72^{\circ}.$ $Formula: 72^{\circ}.$ Für den Winkel $Formula: \gamma$ $Formula: \gamma$ an der Spitze gilt:

$Formula: 180^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}$
$Formula: 180^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}$

Der Mittelpunktswinkel beträgt also $Formula: 36^{\circ}.$ $Formula: 36^{\circ}.$ Somit folgt:

$Formula: \dfrac{360^{\circ}}{36^{\circ}}=10$ $Formula: \dfrac{360^{\circ}}{36^{\circ}}=10$

Es handelt sich um ein regelmäßiges Zehneck.

Für die Seitenlänge des kleinen Quadrats gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&a^2 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] \sqrt{12,25 \mathrm{~m}^2}&=&a \\[5pt] 3,5\;\text{m}&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&a^2 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] \sqrt{12,25 \mathrm{~m}^2}&=&a \\[5pt] 3,5\;\text{m}&=&a \end{array}$

Für die Seitenlänge des grauen Quadrats folgt mit dem Satz des Pythagoras:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x^2+3,5^2&=&9,1^2 \\[5pt] x^2+12,25&=&82,81 &\mid\;-12,25 \\[5pt] x^2&=&70,56 &\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x&=&8,4\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x^2+3,5^2&=&9,1^2 \\[5pt] x^2+12,25&=&82,81 &\mid\;-12,25 \\[5pt] x^2&=&70,56 &\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x&=&8,4\;\text{m} \end{array}$

Für den Umfang gilt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} U&=&4\cdot8,4\;\text{m} \\[5pt] &=&33,6\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} U&=&4\cdot8,4\;\text{m} \\[5pt] &=&33,6\;\text{m} \end{array}$

Für die Höhe der Pyramide gilt:

$Formula: h_{\text {Pyramide }}=7,5-3,5=4 \mathrm{~cm}$ $Formula: h_{\text {Pyramide }}=7,5-3,5=4 \mathrm{~cm}$

Für das Volumen des Würfels ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Würfel }}&=&a^3 \\[5pt] &=&3,5^3 \\[5pt] &\approx&42,88\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Würfel }}&=&a^3 \\[5pt] &=&3,5^3 \\[5pt] &\approx&42,88\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für das Volumen der Pyramide gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Pyramide }}&=&\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot 12,25\cdot 4 \\[5pt] &\approx&16,33\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Pyramide }}&=&\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot 12,25\cdot 4 \\[5pt] &\approx&16,33\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für das Volumen der zylinderförmigen Bohrung folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\mathrm{Zylinder}}&=&\pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] &=&\pi \cdot 1,25^2 \cdot 3,5 \\[5pt] &\approx&17,18\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\mathrm{Zylinder}}&=&\pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] &=&\pi \cdot 1,25^2 \cdot 3,5 \\[5pt] &\approx&17,18\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für das Volumen des Bausteins ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&V_{\text {Würfel }}+V_{\text {Pyramide }}-V_{\text {Zylinder }} \\[5pt] &=&42,88+16,33-17,18 \\[5pt] &=&42,04\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&V_{\text {Würfel }}+V_{\text {Pyramide }}-V_{\text {Zylinder }} \\[5pt] &=&42,88+16,33-17,18 \\[5pt] &=&42,04\;\text{cm}^3 \end{array}$

Formula: 13 Milliarden $Formula: \text{kWh} = 13\,000\,000\,000\;\text{kWh}$ $Formula: \text{kWh} = 13\,000\,000\,000\;\text{kWh}$

Daraus ergibt sich die Standardschreibweise $Formula: 1,3\cdot 10^{10}\;\text{kWh}.$ $Formula: 1,3\cdot 10^{10}\;\text{kWh}.$

Mit der Windenergie von Formula: 4,9 Milliarden $Formula: \text{kWh}$ $Formula: \text{kWh}$ und der Gesamtenergie von Formula: 74,9 Milliarden $Formula: \text{kWh}$ $Formula: \text{kWh}$ folgt:

$Formula: \dfrac{4,9}{74,9} \cdot 100\,\% \approx 6,542\,\%$ $Formula: \dfrac{4,9}{74,9} \cdot 100\,\% \approx 6,542\,\%$

Die Windenergie hat somit einen Anteil von ungefähr $Formula: 6,54\,\%.$ $Formula: 6,54\,\%.$

Die Summe von der Wasserkraft und Windenergie beträgt:

Formula: 11,1+4,9=16

Zusammen wurden also Formula: 16 Milliarden $Formula: \text{kWh}$ $Formula: \text{kWh}$ gewonnen. Es gilt:

$Formula: 1 \;\mathrm{GWh}=1\,000\,000 \;\mathrm{kWh}$ $Formula: 1 \;\mathrm{GWh}=1\,000\,000 \;\mathrm{kWh}$

Somit folgt:

$Formula: 16\,000\;\text{GWh}$ $Formula: 16\,000\;\text{GWh}$

Für die Einwohnerzahl gilt:

$Formula: 84\;\text{Millionen}=84 \cdot 10^6$ $Formula: 84\;\text{Millionen}=84 \cdot 10^6$

Da der Gesamtverbrauch $Formula: 1,512 \cdot 10^{11}\; \mathrm{kWh}$ $Formula: 1,512 \cdot 10^{11}\; \mathrm{kWh}$ beträgt, folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1,512 \cdot 10^{11}}{84 \cdot 10^6}&=&\dfrac{1,512}{84} \cdot 10^5 \\[5pt] &=&0,018 \cdot 10^5 \\[5pt] &=&1\,800\;\text{kWh} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1,512 \cdot 10^{11}}{84 \cdot 10^6}&=&\dfrac{1,512}{84} \cdot 10^5 \\[5pt] &=&0,018 \cdot 10^5 \\[5pt] &=&1\,800\;\text{kWh} \end{array}$

Eine Person verbraucht durchschnittlich $Formula: 1\,800\;\text{kWh}$ $Formula: 1\,800\;\text{kWh}$ pro Jahr.

Ein Elefant benötigt pro Tag $Formula: 200\;\text{kg}$ $Formula: 200\;\text{kg}$ Futter. Für $Formula: 1000\;\text{kg}$ $Formula: 1000\;\text{kg}$ gilt:

$Formula: \dfrac{1000}{200}=5$ $Formula: \dfrac{1000}{200}=5$

Für Formula: 8 Elefanten gilt somit:

$Formula: 8 \cdot 200=1600$ $Formula: 8 \cdot 200=1600$

Für die Tabelle folgt:

Anzahl der Elefanten
Futter in $Formula: \text{kg}$ $Formula: \text{kg}$		$Formula: 1\,000$ $Formula: 1\,000$	$Formula: 1\,600$ $Formula: 1\,600$

Diagramm zum Futterbedarf von Elefanten pro Tag mit linearem Verlauf.

Die Futtermenge im Lager beträgt $Formula: 5,4 \;\text{t}=5\,400 \;\text{kg}.$ $Formula: 5,4 \;\text{t}=5\,400 \;\text{kg}.$ Die Futtermenge für drei Elefanten pro Tag beträgt:

$Formula: 3 \cdot 200 \mathrm{~kg}=600 \mathrm{~kg}$ $Formula: 3 \cdot 200 \mathrm{~kg}=600 \mathrm{~kg}$

Für die Anzahl der Tage gilt:

$Formula: \dfrac{5400}{600}=9\;\text{Tage}$ $Formula: \dfrac{5400}{600}=9\;\text{Tage}$

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