Aufgabengruppe 1

Löse die Gleichung.

$Formula: 16,8 x-7,2-(1,2 x+16,8):4=-2,5 \cdot(4,2 x-1)-0,4$ $Formula: 16,8 x-7,2-(1,2 x+16,8):4=-2,5 \cdot(4,2 x-1)-0,4$

Eine Formula: 9. Klasse kauft für das Schulfest Getränke:

dreimal so viele Flaschen Traubensaft wie Limonadenflaschen,
Flaschen Apfelschorle weniger als Limonadenflaschen und
Flaschen Wasser.

Insgesamt sind das Formula: 220 Flaschen.

Stelle eine Gleichung auf, die den obigen Sachverhalt korrekt und vollständig darstellt.

Die Gleichung muss nicht gelöst werden.

6 P

Berechne den Gesamtinhalt der weißen Flächen.

Technische Skizze eines symmetrischen Bauteils mit Maßen und Kreisöffnung.

Hinweise:

Skizze nicht maßstabsgetreu

Abbildung ist symmetrisch

Maße in $Formula: \text{cm}$ $Formula: \text{cm}$

4 P

Markus dreht mehrmals das hier abgebildete Glücksrad und erhält folgende Ergebnisse.

Gewinnrad mit Pfeil und fünf farbigen Feldern, eines davon mit dem Wort „Gewinn“

Ergebnisliste von Markus
Feld	Ergebnisse
Gewinn	mal
	mal
	mal
	mal
	mal

Ermittle die relative Häufigkeit in Prozent, mit der der Pfeil laut der Ergebnisliste von Markus auf ein graues Feld gezeigt hat.

Gib die Wahrscheinlichkeit in Bruchschreibweise an, mit der der Pfeil bei einem weiteren Drehen des Glücksrads auf eine Zahl zeigen wird.

Markus behauptet: „Es ist unwahrscheinlicher ein graues Feld zu erhalten, als ein Feld mit einer geraden Zahl.“ Erkläre, ob er recht hat.

3 P

Zeichne in ein Koordinatensystem (Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}$ $Formula: 1\;\text{cm}$ ) die Punkte $Formula: A(-3 \mid-2)$ $Formula: A(-3 \mid-2)$ sowie $Formula: C(1 \mid 0)$ $Formula: C(1 \mid 0)$ und verbinde sie zur Strecke $Formula: \overline{AC}.$ $Formula: \overline{AC}.$

Hinweis zum Platzbedarf: Formula: x -Achse von Formula: -5 bis Formula: 5 , Formula: y -Achse von bis

Zeichne die Senkrechte auf die Strecke $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ durch den Punkt Formula: A.

Diese schneidet die Formula: x -Achse im Punkt Formula: S.

Kennzeichne den Punkt Formula: S und gib seine Koordinaten an.

Die Strecke $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ ist eine Diagonale des Quadrats Formula: ABCD.

Zeichne dieses Quadrat.

4 P

Abgebildet ist ein Viertelzylinder (siehe Skizze).

Berechne seinen Oberflächeninhalt.

Geometrische Skizze eines Körpers mit Maßangaben und Kreis- bzw. Bogenlinien.

Hinweise:

Skizze nicht maßstabsgetreu

Maße in $Formula: \text{cm}$ $Formula: \text{cm}$

4 P

Bei einem elektronischen Buch (E-Book) benötigt man ungefähr $Formula: 5 \cdot 10^3$ $Formula: 5 \cdot 10^3$ Byte Speicherplatz pro Seite.

Berechne den benötigten Speicherplatz für ein E-Book mit Formula: 560 Seiten.

Gib das Ergebnis in Megabyte $Formula: (\text{MB})$ $Formula: (\text{MB})$ an.

Celina hat auf ihrem Smartphone Formula: 64 Gigabyte $Formula: (\text{GB})$ $Formula: (\text{GB})$ freien Speicherplatz übrig.

Berechne, wie viele Lieder sie noch höchstens auf ihrem Smartphone speichern kann, wenn ein Lied durchschnittlich Formula: 4 Megabyte $Formula: (\text{MB})$ $Formula: (\text{MB})$ Speicherplatz benötigt.

3 P

Seit einigen Jahren steigt der Verkauf von E-Bikes in Deutschland.

Diagramm zu E-Bike-Verkäufen in Deutschland und Fahrradverkauf 2021

Quelle: https://de.statista.com/infografik/8752/e-bike-absatz-in-deutschland/

Im Jahr 2017 wurden $Formula: 18 \,\%$ $Formula: 18 \,\%$ mehr E-Bikes verkauft als 2016.

Berechne, wie viele E-Bikes 2017 verkauft wurden.

Im Jahr 2020 stieg der E-Bike-Verkauf gegenüber dem Vorjahr um $Formula: 43 \,\%.$ $Formula: 43 \,\%.$

Berechne, wie viele E-Bikes 2019 verkauft wurden.

Im Jahr 2021 wurden Formula: 2 Millionen E-Bikes verkauft.

Berechne den prozentualen Anstieg von 2018 bis 2021.

Samuel behauptet: „Im Jahr 2021 war jedes vierte verkaufte Fahrrad ein E-Bike.“

Hat Samuel recht?

Begründe rechnerisch.

4 P

Die Tabelle zeigt, wie viel Plastikmüll jeder Einwohner eines Landes im Durchschnitt jährlich verursacht.

Jährliche Menge an Plastikmüll pro Einwohner
Land	Frankreich	Deutschland	Niederlande	Tschechien
Menge	$Formula: 32\;\text{kg}$ $Formula: 32\;\text{kg}$	$Formula: 37,5\;\text{kg}$ $Formula: 37,5\;\text{kg}$	$Formula: 28\;\text{kg}$ $Formula: 28\;\text{kg}$

Quelle: https://www.iwd.de/artikel/das-plastik-problem-368426/

Stelle die Werte für Frankreich, Deutschland und die Niederlande in einem Säulendiagramm dar $Formula: ( 5 \mathrm{~kg}\, \widehat{=}\, 1 \mathrm{~cm} ).$ $Formula: ( 5 \mathrm{~kg}\, \widehat{=}\, 1 \mathrm{~cm} ).$

Hinweis: Achte auf die richtigen Beschriftungen.

In Tschechien leben Formula: 10,7 Millionen Menschen, die jährlich insgesamt Formula: 251,45 Millionen Kilogramm Plastikmüll verursachen.

Berechne für Tschechien die durchschnittliche Menge an Plastikmüll pro Einwohner in einem Jahr.

In den Niederlanden leben rund Formula: 17,2 Millionen Menschen.

Ermittle, wie viele Tonnen Plastikmüll in den Niederlanden insgesamt pro Jahr entstehen.

4 P

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$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 16,8 x-7,2-(1,2 x+16,8):4&=&-2,5 \cdot(4,2 x-1)-0,4 \\[5pt] 16,8 x-7,2-0,3 x-4,2&=&-10,5 x+2,5-0,4 \\[5pt] 16,5x-11,4&=&-10,5x+2,1 &\mid\;+10,5x \\[5pt] 27x-11,4&=&2,1 &\mid\;+11,4 \\[5pt] 27x&=&13,5 &\mid\;:27 \\[5pt] x&=&0,5 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 16,8 x-7,2-(1,2 x+16,8):4&=&-2,5 \cdot(4,2 x-1)-0,4 \\[5pt] 16,8 x-7,2-0,3 x-4,2&=&-10,5 x+2,5-0,4 \\[5pt] 16,5x-11,4&=&-10,5x+2,1 &\mid\;+10,5x \\[5pt] 27x-11,4&=&2,1 &\mid\;+11,4 \\[5pt] 27x&=&13,5 &\mid\;:27 \\[5pt] x&=&0,5 \\[5pt] \end{array}$

Insgesamt sind es Formula: 220 Flaschen. Somit folgt:

Limonade Formula: : x

Traubensaft Formula: : 3x

Apfelschorle Formula: : x-15

Wasser Formula: : 80

Somit gilt für die Gleichung:

Formula: x+3 x+x-15+80=220

Für die Höhe des Trapezes gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2+\left(\dfrac{14}{2}\right)^2&=&25^2 &\mid\;-7^2 \\[5pt] h^2&=&576 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h&=&24\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h^2+\left(\dfrac{14}{2}\right)^2&=&25^2 &\mid\;-7^2 \\[5pt] h^2&=&576 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h&=&24\;\text{cm} \end{array}$

Für die Fläche des Trapezes folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Trapez }}&=&\dfrac{26+12}{2} \cdot 24 \\[5pt] &=&19 \cdot 24 \\[5pt] &=&456 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Trapez }}&=&\dfrac{26+12}{2} \cdot 24 \\[5pt] &=&19 \cdot 24 \\[5pt] &=&456 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Für die Fläche des Kreises ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Kreis }}&=&\pi \cdot r^2 \\[5pt] &=&\pi\cdot 6^2 \\[5pt] &=&113,04\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Kreis }}&=&\pi \cdot r^2 \\[5pt] &=&\pi\cdot 6^2 \\[5pt] &=&113,04\;\text{cm}^2 \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {gesamt }}&=&456+113,04 \\[5pt] &=&559,04 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{\text {gesamt }}&=&456+113,04 \\[5pt] &=&559,04 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Die Gesamtzahl der Versuche beträgt:

Formula: 3+3+4+2+8=20

Für die Anzahl der grauen Ergebnisse gilt:

Formula: 3+4+8=15

Für die relative Häufigkeit folgt:

$Formula: \dfrac{15}{20} \cdot 100 \,\%=75\, \%$ $Formula: \dfrac{15}{20} \cdot 100 \,\%=75\, \%$

Es gibt vier gleich große Felder mit einer Zahl. Somit gilt:

$Formula: P\text{(Zahl)}=\dfrac{4}{5}$ $Formula: P\text{(Zahl)}=\dfrac{4}{5}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein graues Feld beträgt:

$Formula: P\text{(graues Feld)}=\dfrac{3}{5}$ $Formula: P\text{(graues Feld)}=\dfrac{3}{5}$

Gerade Zahlen sind Formula: 2 und Formula: 4. Somit gilt:

$Formula: P\text{(gerade Zahl)}=\dfrac{2}{5}$ $Formula: P\text{(gerade Zahl)}=\dfrac{2}{5}$

Für den Vergleich gilt:

$Formula: \dfrac{3}{5}>\dfrac{2}{5}$ $Formula: \dfrac{3}{5}>\dfrac{2}{5}$

Somit hat Markus nicht recht.

Koordinatensystem mit einer Strecke zwischen den Punkten A und C.

Koordinatensystem mit den Punkten S, A und C, verbunden durch Linien.

Geometrische Zeichnung im Koordinatensystem mit Punkten und Strecken.

Für den Radius des Seitenkreises gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} r^2+24^2&=&26^2 &\mid\;-24^2 \\[5pt] r^2&=&100 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] r&=&10\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} r^2+24^2&=&26^2 &\mid\;-24^2 \\[5pt] r^2&=&100 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] r&=&10\;\text{cm} \end{array}$

Für den Flächeninhalt der zwei Viertelkreise folgt damit insgesamt:

$Formula: 2\cdot \dfrac{\pi\cdot10^2}{4}=50\pi$ $Formula: 2\cdot \dfrac{\pi\cdot10^2}{4}=50\pi$

Für den Flächeninhalt der zwei rechteckigen Flächen gilt:

$Formula: 2 \cdot 10 \cdot 24=480$ $Formula: 2 \cdot 10 \cdot 24=480$

Die gekrümmte Mantelfläche beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{4} \cdot 2 \pi r \cdot 24&=&\dfrac{1}{2} \pi \cdot 10 \cdot 24\\[5pt] &=&120\pi \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{4} \cdot 2 \pi r \cdot 24&=&\dfrac{1}{2} \pi \cdot 10 \cdot 24\\[5pt] &=&120\pi \end{array}$

Für die Gesamtoberfläche folgt damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} O&=&50 \pi+480+120 \pi\\[5pt] &=&1\,013,8 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} O&=&50 \pi+480+120 \pi\\[5pt] &=&1\,013,8 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Es gilt:

$Formula: 560 \cdot 5 \cdot 10^3=2\,800\,000\;\text{Byte}$ $Formula: 560 \cdot 5 \cdot 10^3=2\,800\,000\;\text{Byte}$

Da $Formula: 1 \mathrm{MB}=10^6\;\text{Byte}$ $Formula: 1 \mathrm{MB}=10^6\;\text{Byte}$ beträgt, folgt:

$Formula: 2\,800\,000\;\text{Byte}=2,8 \;\mathrm{MB}$ $Formula: 2\,800\,000\;\text{Byte}=2,8 \;\mathrm{MB}$

$Formula: 64 \mathrm{~GB}$ $Formula: 64 \mathrm{~GB}$ entsprechen $Formula: 64\,000 \;\mathrm{MB}.$ $Formula: 64\,000 \;\mathrm{MB}.$ Somit gilt:

$Formula: \dfrac{64\,000}{4}=16\,000$ $Formula: \dfrac{64\,000}{4}=16\,000$

Es gilt:

$Formula: 610\,000 \cdot 1,18=719\,800$ $Formula: 610\,000 \cdot 1,18=719\,800$

2017 wurden $Formula: 719\,800$ $Formula: 719\,800$ E-Bikes verkauft.

Der Wert von 2020 entspricht $Formula: 143 \,\%$ $Formula: 143 \,\%$ des Wertes von 2019. Somit folgt:

$Formula: \dfrac{1\,950\,000}{1,43} \approx 1\,363\,636$ $Formula: \dfrac{1\,950\,000}{1,43} \approx 1\,363\,636$

2019 wurden damit $Formula: 1\,363\,636$ $Formula: 1\,363\,636$ E-Bikes verkauft.

Für den prozentualen Anstieg gilt:

$Formula: \dfrac{2\,000\,000-980\,000}{980\,000} \cdot 100\,\% \approx 104 \,\%$ $Formula: \dfrac{2\,000\,000-980\,000}{980\,000} \cdot 100\,\% \approx 104 \,\%$

Der prozentuale Anstieg von 2018 bis 2021 beträgt $Formula: 104\,\%.$ $Formula: 104\,\%.$

Für die Anzahl der verkauften E-Bikes 2021 gilt:

$Formula: 2\,000\,000+4\,050\,000=6\,050\,000$ $Formula: 2\,000\,000+4\,050\,000=6\,050\,000$

Für den Anteil der E-Bikes folgt:

$Formula: \dfrac{2\,000\,000}{6\,050\,000} \cdot 100\,\% \approx 33,1 \,\%>25\,\%$ $Formula: \dfrac{2\,000\,000}{6\,050\,000} \cdot 100\,\% \approx 33,1 \,\%>25\,\%$

Somit hat Samuel nicht recht.

Balkendiagramm zum jährlichen Plastikmüll pro Einwohner in Frankreich, Deutschland und den Niederlanden.

Für den Plastikmüll pro Einwohner in Tschechien pro Jahr gilt:

$Formula: \dfrac{251,2\;\text{Mio.}\;\text{kg}}{10,7\;\text{Mio.}}=23,5\;\text{kg}$ $Formula: \dfrac{251,2\;\text{Mio.}\;\text{kg}}{10,7\;\text{Mio.}}=23,5\;\text{kg}$

Für den Plastikmüll in der Niederlande pro Jahr gilt:

$Formula: 17,2\;\text{Mio.} \cdot 28\;\text{kg}=481,6\;\text{Mio.}\;\text{kg}$ $Formula: 17,2\;\text{Mio.} \cdot 28\;\text{kg}=481,6\;\text{Mio.}\;\text{kg}$

Da eine Tonne $Formula: 1000\:\text{kg}$ $Formula: 1000\:\text{kg}$ entspricht, entstehen in den Niederlanden somit jährlich insgesamt $Formula: 481\,600\;\text{t}$ $Formula: 481\,600\;\text{t}$ Plastikmüll.

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