Vorschlag A1

Schmetterlingsfarben

Die Farben mancher Schmetterlingsflügel lassen sich wellenoptisch durch Interferenz des Sonnenlichts an den Strukturen auf den Flügeloberflächen erklären. Um zu dieser Erklärung zu führen, beschäftigen sich die folgenden Aufgaben thematisch mit der Ausbreitung und Interferenz von Wellen.

In Material 1 ist eine Momentaufnahme von zwei Schwingungserregern $\text Q1$ und $\text Q2$ dargestellt, die mit gleicher Frequenz und Phase in einer Wellenwanne Wasserwellen in Form von konzentrischen Kreisen erzeugen.

Material 1: Momentaufnahme von zwei Schwingungserregern mit Wasserwellen

1.1

Bei den Wasserwellen handelt es sich in guter Näherung um Transversalwellen.

Erläutere die Begriffe Transversalwelle und Longitudinalwelle.

Gib ein Beispiel für eine Longitudinalwelle an.

(4 BE)

1.2

Zeichne in Material 1 beispielhaft eine Wellenlänge ein.

Zeichne alle Punkte in Material 1 ein, an denen konstruktive Interferenz vorliegt.

Gib jeweils die entsprechende Ordnung $n$ des Maximums $(n=0,1,2)$ an.

(6 BE)

Ein Laser erzeugt monochromatisches Licht, das so gebündelt ist, dass es einen Punkt in der Mitte eines Schirms erzeugt. Die Wellenlänge $\lambda$ des Lichts soll mithilfe eines Doppelspalts bestimmt werden, der in den Strahlengang gebracht wird (Material 2).

Der Spaltabstand $d$ des Doppelspalts beträgt $d=1,2 \,\text{mm}$ und der Abstand $e$ des Schirms vom Doppelspalt beträgt $e=5,5 \,\text{m}.$

Material 2: Versuchsaufbau zur Bestimmung der Wellenlänge $\lambda$

Die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht.

2.1

Zeichne die Größen $d$ und $e$ in Material 2 ein.

Beschreibe qualitativ das Interferenzmuster auf dem Schirm.

Erläutere die Entstehung des Interferenzmusters mithilfe des Huygens'schen Prinzips.

(7 BE)

2.2

Die Messung des Abstands der Maxima zweiter Ordnung voneinander ergibt $2 \cdot a_2=10 \,\text{mm}.$

Leite die Formel $a_n=n \cdot \dfrac{e \cdot \lambda}{d}$ für den Abstand des Maximums $n$ -ter Ordnung von der Schirmmitte (Symmetrieachse) mithilfe geeigneter Skizzen unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung her.

Berechne die Wellenlänge $\lambda$ des Lichts in der Einheit Nanometer.

Gib mithilfe von Material 3 die Farbe des Laserlichts an.

Material 3: Sechs Spektralfarbbereiche des Lichts

Farbe	Wellenlängenbereich
Rot	$\approx 770-640\,\text{nm}$
Orange	$\approx 640-600\,\text{nm}$
Gelb	$\approx 600-570\,\text{nm}$
Grün	$\approx 570-490\,\text{nm}$
Blau	$\approx 490-430\,\text{nm}$
Violett	$\approx 430-390\,\text{nm}$

(9 BE)

2.3

Statt des Doppelspalts mit dem Spaltabstand $d$ wird nun ein optisches Gitter mit einer sehr viel kleineren Gitterkonstanten $g$ verwendet $(g \lt\lt d).$

Beschreibe, wie sich das Schirmbild bei Verwendung des optischen Gitters von dem Schirmbild mit Doppelspalt qualitativ unterscheidet.

Erläutere einen messtechnischen Vorteil, den das optische Gitter gegenüber dem Doppelspalt bei der Bestimmung der Wellenlänge hat.

(4 BE)

Jetzt wird das Licht einer Glühlampe untersucht, das unter anderem alle sichtbaren Wellenlängen von $390 \,\text{nm}$ bis $770 \,\text{nm}$ enthält. Der Versuchsaufbau unterscheidet sich vom Aufbau in Aufgabe 2 dadurch, dass jetzt das Licht mit einem geeigneten optischen Aufbau gebündelt wird und statt des Doppelspalts ein optisches Gitter mit der Gitterkonstanten $g=10 \cdot 10^{-6} \,\text m$ verwendet wird. Der Abstand zwischen Gitter und Schirm beträgt jetzt $e=0,9 \,\text m.$

3.1

Berechne unter Verwendung der Näherungsformel $a_n=n \cdot \dfrac{e \cdot \lambda}{g}(n=0,1,2, \ldots)$ die Breite eines sichtbaren (kontinuierlichen) Spektrums 2. Ordnung.

Gib die Reihenfolge der Farben in diesem Spektrum an, beginnend mit der Farbe, die der Schirmmitte am nächsten liegt.

(5 BE)

3.2

Prüfe unter Verwendung der Näherungsformel, ob sich die Spektren 2. und 3. Ordnung überlappen.

Untersuche die Abhängigkeit des Ergebnisses von der Gitterkonstanten $g.$

(6 BE)

3.3

Die Verwendung der Näherungsformel soll als zulässig gelten, solange die Ergebnisse nicht mehr als $2 \%$ von den Ergebnissen der genauen Rechnung abweichen.

Beurteile, ob zur Berechnung der Lösungen der Aufgabe 3.1 die Näherungsformel zulässig ist.

(4 BE)

Bei manchen Schmetterlingsarten wird die Farbe der Flügel durch Interferenzeffekte erzeugt. Wird die Oberfläche eines Flügels mit einem Lichtmikroskop vergrößert, so zeigt sich eine Rillenstruktur (Material 4a). Untersucht man mit stärkerer Vergrößerung eine einzelne dieser Rillen unter dem Raster-Elektronenmikroskop, so wird eine Struktur sichtbar, die Tannenbaumstruktur genannt wird. Lichtstrahlen, die senkrecht auf die Stufen dieser Tannenbaumstruktur treffen, werden reflektiert und interferieren mit den reflektierten Lichtstrahlen der jeweils benachbarten Stufen. Der Gangunterschied $\Delta s$ dieser Lichtstrahlen beträgt $\Delta s=2 \cdot h$ (Material 4b). Ein Flügel wird wie in Material 4b abgebildet von Sonnenlicht beschienen. Die Stufenhöhe $h$ beträgt $h=220\,\text{nm}.$

Untersuche, für welche Wellenlängen das reflektierte Licht konstruktiv interferiert und in welcher Farbe dieser Flügel deshalb einem Betrachter erscheint, der den Flügel aus der in Material 4b eingezeichneten Einfalls- bzw. Reflexionsrichtung des Sonnenlichts betrachtet.

Material 4: Oberfläche eines Schmetterlingsflügels

hessen physik abi gk 2021 aufgabe a1 material 4a oberfläche eines schmetterlingsflügels

hessen physik abi gk 2021 aufgabe a1 material 4b oberfläche eines schmetterlingsflügels

(5 BE)

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1.1

Mechanische Wellen brauchen ein Wellenmedium, das aus einer Kette von miteinander verbundenen Oszillatoren besteht. Diese Oszillatoren können Kraft aufeinander ausüben und somit die Bewegung übertragen. Jeder einzelne Oszillator bleibt dabei in seiner Ruhelage und schwingt lediglich um diese herum.

Transversalwellen und Longitudinalwellen sind zwei Arten von mechanischen Wellen, die sich in der Art und Weise unterscheiden, wie sie sich im Medium ausbreiten.

Eine Transversalwelle ist eine Welle, bei der die Schwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle erfolgt.

Eine Longitudinalwelle ist eine Welle, bei der die Schwingung parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle erfolgt. Ein klassisches Beispiel einer Longitudinalwelle ist der Schall. Wenn Schallwellen durch ein Medium wie Luft oder Wasser propagieren, drücken und ziehen sie die Teilchen des Mediums in Richtung der Ausbreitung der Welle zusammen und auseinander. Die Schwingungen der Teilchen sind also parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle.

Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass sich Transversalwellen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ausbreiten und die Schwingungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung erfolgen, während sich Longitudinalwellen parallel zur Ausbreitungsrichtung ausbreiten und die Schwingungen parallel zur Ausbreitungsrichtung erfolgen.

1.2

Wellenlänge - Abstand zweier Wellenberge (hier)

Konstruktive Interferenz: Zwei Wellenberge treffen aufeinander oder zwei Wellentäler treffen aufeinander

Konstruktive Interferenz

Ordnung $n=0,1,2$ der Maxima

2.1

Die Entstehung des Interferenzmusters auf dem Schirm erfolgt aufgrund der Beugung des monochromatischen Lichts an den beiden schmalen Spalten im Doppelspalt.

Wenn Licht auf die Spalte trifft, werden die einzelnen Spalte zu neuen Quellen von Elementarwellen, die sich in alle Richtungen ausbreiten. Diese Elementarwellen überlagern sich auf dem Schirm, und an bestimmten Stellen interferieren sie konstruktiv, was zu hellen Streifen führt, während an anderen Stellen destruktive Interferenz auftritt, was zu dunklen Streifen führt.

Das resultierende Interferenzmuster auf dem Schirm besteht aus abwechselnd hellen und dunklen Streifen und wird als Interferenzbild bezeichnet.

Das Huygens'sche Prinzip besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt neuer, kreisförmiger Elementarwellen betrachtet werden kann, die sich in alle Richtungen ausbreiten. Die neue Wellenfront ergibt sich dann als Überlagerung all dieser Elementarwellen.

Entstehung des Interferenzmusters mit dem Huygens'schen Prinzip

Jeder Spalt wird als Quelle von kreisförmigen Elementarwellen betrachtet, die sich in alle Richtungen ausbreiten. Diese Elementarwellen überlagern sich auf dem Schirm, wo sie ein Interferenzmuster erzeugen.

An den Stellen, an denen die Elementarwellen in Phase sind, also sich in gleicher Richtung und zur gleichen Zeit bewegen, addieren sich die Amplituden der Wellen, um einen helleren Bereich auf dem Schirm zu erzeugen. An den Stellen, an denen sie gegenphasig sind, also sich in entgegengesetzter Richtung und zur gleichen Zeit bewegen, heben sich die Amplituden auf und erzeugen einen dunkleren Bereich auf dem Schirm.

Die genaue Form des Interferenzmusters hängt von der Phasenverschiebung zwischen den Elementarwellen ab, die von den beiden Spalten ausgehen. Wenn der Abstand zwischen den Spalten groß im Vergleich zur Wellenlänge des Lichts ist, entsteht ein Muster mit vielen hellen und dunklen Streifen. Wenn der Abstand zwischen den Spalten klein im Vergleich zur Wellenlänge des Lichts ist, entsteht ein Muster mit wenigen Streifen.

2.2

Wenn die Lichtwellen auf den Doppelspalt treffen, werden sie gebeugt an den Spalten. Die Elementarwellen, die von den Spalten ausgehen interferieren miteinander auf dem Schirm.

Es gilt: $\sin(\alpha_n)=\dfrac{\delta_n}{d}$

Für $\alpha_n = n \cdot \lambda$ entstehen Intensitätsmaxima und für $\alpha_n = \dfrac{2n-1}{2}$ entstehen Intensitätsminima für $n=1;2;3;...$

Für Winkel mit $\sin(\alpha_n)=\dfrac{n \cdot \lambda}{d}$ entstehen Maxima, die Minima liegen dazwischen.

Die Abstände $d_n$ der Maxima vom Maximum 0. Ordnung lassen sich mit $\tan(\alpha_n)=\dfrac{d_n}{e}$ berechnen. $e$ entspricht dem Abstand des Schirms zum Doppelspalt.

Für kleine Winkel $\alpha_k$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin (\alpha_n)&=& \tan (\alpha_n) \\[5pt] \dfrac{n \cdot \lambda}{d}&=& \dfrac{d_n}{e} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot e \\[5pt] \dfrac{n \cdot \lambda}{d}\cdot e&=& d_n \\[5pt] a_n &=& n\cdot \dfrac{\lambda \cdot e}{d} \end{array}$

Wellenlänge des Laserlichts

$\lambda=\dfrac{a_n\cdot d}{n\cdot e}$

Rechenweg anzeigen

$\lambda \approx 550 \;\text{nm}$

Somit handelt es sich um grünes Licht.

2.3

Ein optisches Gitter ist ein optisches Element, das aus vielen schmalen Spalten besteht, die gleichmäßig angeordnet sind. Im Gegensatz zum Doppelspalt erzeugt das optische Gitter ein Interferenzmuster auf dem Schirm, das aus vielen eng beieinander liegenden hellen und dunklen Streifen besteht.

Im Vergleich zum Doppelspalt-Interferenzmuster hat das Interferenzmuster des optischen Gitters eine höhere Auflösung, da es aus vielen eng beieinander liegenden Streifen besteht. Das optische Gitter erzeugt auch ein regelmäßigeres Muster, da die Spalte gleichmäßig angeordnet sind, im Gegensatz zum Doppelspalt, wo die beiden Spalte nur auf zwei Punkte auf dem Schirm gerichtet sind.

Ein weiterer Unterschied zwischen dem Doppelspalt und dem optischen Gitter besteht darin, dass das Interferenzmuster des optischen Gitters aufgrund der vielen Spalte und der regelmäßigen Anordnung der Spalte eine höhere Intensität aufweist. Dies bedeutet, dass das Interferenzmuster des optischen Gitters auf dem Schirm insgesamt heller erscheint als das Muster des Doppelspalts.

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass das Interferenzmuster des optischen Gitters im Vergleich zum Doppelspalt-Interferenzmuster ein höher aufgelöstes und regelmäßigeres Muster mit höherer Intensität aufweist.

Das optische Gitter hat einen messtechnischen Vorteil gegenüber dem Doppelspalt bei der Bestimmung der Wellenlänge von Licht, da das Interferenzmuster des optischen Gitters eine höhere Auflösung aufweist und aus vielen eng beieinander liegenden hellen und dunklen Streifen besteht.

Durch die höhere Auflösung des Interferenzmusters können die Abstände zwischen den benachbarten Maxima und Minima des Musters präziser gemessen werden. Dies ist ein wichtiger Faktor bei der Bestimmung der Wellenlänge des Lichts mit hoher Genauigkeit.

Im Gegensatz dazu hat das Doppelspalt-Interferenzmuster eine niedrigere Auflösung und besteht aus nur wenigen Maxima und Minima. Dies erschwert die präzise Messung der Abstände zwischen den Maxima und Minima, was zu einer geringeren Genauigkeit bei der Bestimmung der Wellenlänge führen kann.

Darüber hinaus ist das Interferenzmuster des optischen Gitters aufgrund der regelmäßigen Anordnung der Spalte und der höheren Intensität des Musters insgesamt stabiler und reproduzierbarer als das Muster des Doppelspalts. Dies ermöglicht eine bessere Messgenauigkeit und -präzision bei der Bestimmung der Wellenlänge des Lichts.

Insgesamt bietet das optische Gitter aufgrund seiner höheren Auflösung, Stabilität und Reproduzierbarkeit im Vergleich zum Doppelspalt einen messtechnischen Vorteil bei der Bestimmung der Wellenlänge von Licht.

3.1

$\begin{array}[t]{rll} a _{2, \text { violett }}&=& 2 \cdot \frac{ e \cdot \lambda_{\text {violett }}}{ g } \\[5pt] &=&2 \cdot \frac{0,9 m \cdot 390 \cdot 10^{-9} m }{10 \cdot 10^{-6} m } \\[5pt] &=& 0,0702 \;\text{m} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} a _{2, \text { rot }}&=& 2 \cdot \frac{ e \cdot \lambda_{\text {rot }}}{ g } \\[5pt] &=& 2 \cdot \frac{0,9 m \cdot 770 \cdot 10^{-9} m }{10 \cdot 10^{-6} m } \\[5pt] &=&0,1386 \;\text{m} \end{array}$

$\Delta a _2= a _{2, \text { rot }}- a _{2, \text { violett }}$ $=0,1386 \;\text{m} -0,0702 \;\text{m}$ $=0,068 \;\text{m}$ $=6,8 \;\text{cm}$

Farbreihenfolge

Wenn weißes Licht einer Glühlampe verwendet wird, entsteht auf einem Schirm ein helles Hauptmaximum und farbige Spektren in höheren Ordnungen. Das Spektrum ist kontinuierlich, da alle Lichtfarben nahtlos ineinander übergehen. Im Hauptmaximum interferieren alle Farben konstruktiv, was es weiß macht. Die höheren Ordnungen reichen von blau über grün, gelb und orange bis hin zu rot und erstrecken sich von der Mitte des Schirms nach außen.

3.2

$a _{3, \text { violett }}$ $=3 \cdot \dfrac{ e \cdot \lambda_{\text {violett }}}{ g }$ $=3 \cdot \dfrac{0,9 \;\text{m} \cdot 390 \cdot 10^{-9} \;\text{m} }{10 \cdot 10^{-6} \;\text{m} }$ $=0,1053 \;\text{m}$

Wegen $a _{3 \text {, violett }}\lt a _{2 \text {, rot }}$ überlappen sich die beiden Spektren.

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} a_{3, \text { violett }}& \lt & a_{2, \text { rot }} \\[5pt] \dfrac{a_{3, \text { violett }}}{a_{2 \text {, rot }}}& \lt & 1\\[5pt] \dfrac{3 \cdot \frac{e \cdot \lambda_{\text {violet }}}{ g }}{2 \cdot \frac{e \cdot \lambda_{\text {rot }}}{ g }}& \lt & 1\\[5pt] \dfrac{3 \lambda_{\text {violett }}}{2 \lambda_{\text {rot }}}& \lt& 1 \end{array}$

In die Überlappbedingung gehen nur die Ordnungen und die Wellenlängen ein, nicht der Schirmabstand und die Gitterkonstante.

3.3

Es gilt: $\sin (\alpha_n)=.$

$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha_n)&=& \dfrac{a_n}{e} \\[5pt] a_n &=& e \cdot \tan (\alpha_n) \end{array}$

Außerdem gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin (\alpha_n)&=& \dfrac{\delta_n}{ g } \\[5pt] \alpha_n&=& \sin^{-1} \left(\dfrac{\delta_n}{ g }\right) \end{array}$

Einsetzen von $\alpha_n$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} a_n &=& e \cdot \tan \left(\sin^{-1} \left(\dfrac{\delta_n}{ g }\right) \right) \\[5pt] a_n &=& e \cdot \tan \left(\sin^{-1} \left(\dfrac{n \cdot \lambda}{ g }\right) \right) \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$a _{2, \text { violett }}=0,9\;\text{m} \cdot \tan \left(\sin ^{-1}\left(\frac{2 \cdot 390 \cdot 10^{-9} \;\text{m} }{10 \cdot 10^{-6} \;\text{m} }\right)\right)$ $=0,0704 \;\text{m}$

$a _{2, \text { rot }}=0,9 \;\text{m} \cdot \tan \left(\sin ^{-1}\left(\frac{2 \cdot 770 \cdot 10^{-9} \;\text{m} }{10 \cdot 10^{-6} \;\text{m}}\right)\right)$ $=0,1403 \;\text{m}$

Wert der Breite des sichtbaren Spektrums :

$\Delta a _{2}$ $= a _{2, \text { rot }}- a _{2, \text { violett }}$ $=14,03 \;\text{cm} -7,04 \;\text{cm}$ $=6,99\;\text{cm}$

Prozentuale Abweichung:

$\dfrac{6,99 \;\text{cm} -6,84 \;\text{cm} }{6,99 \;\text{cm} }=2,15 \%$

Da $2,15 \% \gt 2 \%,$ ist die Näherungsformel nicht zulässig.

Es gilt: $\Delta s = n \cdot \lambda$ mit $n =0,1,2,3,...$

$\begin{array}[t]{rll} \Delta s&=& n \cdot \lambda &\quad \scriptsize \mid\;:n \\[5pt] \dfrac{\Delta s }{ n }&=&\lambda_n \\[5pt] \lambda_n&=&\dfrac{\Delta s }{ n } \\[5pt] &=&\dfrac{2h}{ n } \end{array}$

Mit $h=220 \;\text{nm}$ folgt:

$\lambda_1 =\dfrac{2 \cdot 220 \;\text{nm} }{1}$ $=440 \;\text{nm}$

$\lambda_2 =\dfrac{2 \cdot 220 \;\text{nm} }{2}$ $=220 \;\text{nm}$

Laut Material 3 liegt die Wellenlänge $\lambda_1$ im blauen Bereich des sichtbaren Spektrums. $\lambda_2$ liegt nicht mehr im sichtbaren Bereich des Spektrums, ebenso die Wellenlängen zu allen höheren Ordnungen $n\gt 2.$

Dem Betrachter kommt der Flügel daher blau vor.

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