Vorschlag B1 — Kondensatoren und Fadenstrahlrohr

In einem Demonstrationsexperiment zu elektrischen Feldern in Kondensatoren wird unter Verwendung eines Ölfilms, in dem Grießkörner schwimmen, die Form elektrischer Feldlinien veranschaulicht. Hierzu wird an den Kondensator eine Spannung angelegt. Ein Schattenbild der Schale, in der sich der Ölfilm mit den Grießkörnern befindet, und des Kondensators ist in Material 1 gezeigt. Das zugehörige Feldlinienbild ist in Material 2 abgebildet.

1.1

Erkläre, warum sich die Grießkörner im Bereich zwischen den Kondensatorplatten in der in Material 1 dargestellten Weise anordnen.

2 BE

1.2

Zeichne in den Punkten A und B in Material 2 jeweils die Kraft auf eine positive Probeladung qualitativ bezüglich Betrag und Richtung als Pfeil ein.

3 BE

1.3

Im Experiment kann man beobachten, dass einzelne Grießkörner eine der Platten berühren.

Beschreibe und erläutere die Beobachtung, die man daraufhin machen kann.

2 BE

1.4

In einem weiteren Experiment wird in die Mitte des Kondensators ein Metallring gelegt. Der Metallring besitzt keine elektrischen Verbindungen zur Umgebung. Zeichne in Material 3 die elektrischen Feldlinien ein und beschreibe, welche Eigenschaften der Feldlinien und des Metallrings du beim Zeichnen berücksichtigen musst.

6 BE

Nun wird ein anderer Kondensator verwendet, dessen rechteckige Platten die Kantenlängen $Formula: a = 18 \; \text{cm}$ $Formula: a = 18 \; \text{cm}$ und $Formula: b = 24 \; \text{cm}$ $Formula: b = 24 \; \text{cm}$ besitzen. Der Kondensator ist zunächst mit Luft gefüllt ( $Formula: \varepsilon_r=1$ $Formula: \varepsilon_r=1$ ) und der Plattenabstand wird auf $Formula: d = 6 \; \text{mm}$ $Formula: d = 6 \; \text{mm}$ eingestellt. Die Ladung des Kondensators beträgt $Formula: Q = 10 \; \text{nC.}$ $Formula: Q = 10 \; \text{nC.}$

2.1

Berechne die Kapazität des Kondensators, die angelegte Spannung und die im geladenen Kondensator gespeicherte elektrische Energie.

8 BE

2.2

Die Spannungsquelle wird vom Kondensator getrennt. Der Plattenabstand wird verdoppelt. Zusätzlich wird ein Dielektrikum mit $Formula: \varepsilon_r=5$ $Formula: \varepsilon_r=5$ in den Kondensator eingebracht, sodass dieses den Kondensatorinnenraum vollständig ausfüllt.

Bestimme die Faktoren, um die sich durch diese beiden Änderungen zusammen die Kapazität und die Spannung gegenüber den ursprünglichen Werten verändern.

4 BE

Ein Fadenstrahlrohr soll zur Bestimmung der spezifischen Ladung von Elektronen verwendet werden. Der Aufbau des Fadenstrahlrohrs ist in Material 4 schematisch dargestellt. Mithilfe der Helmholtz-Spulen wird im Bereich der möglichen Elektronenbahn ein homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte Formula: B (*) erzeugt, das in die Blattebene hineinzeigt.

(*) Die magnetische Flussdichte wird in manchen Lehrbüchern auch als magnetische Feldstärke bezeichnet.

3.1

Zeichne die Polung von $Formula: U_\text{B}$ $Formula: U_\text{B}$ in Material 4 ein. Erläutere die Bedeutung der Spannungen $Formula: U_\text{H}$ $Formula: U_\text{H}$ und $Formula: U_\text{B}.$ $Formula: U_\text{B}.$

3 BE

3.2

Skizziere in Material 4 eine mögliche Elektronenbahn. Zeichne an einem von dir gewählten Punkt auf der Elektronenbahn die Richtung der Lorentzkraft auf ein Elektron ein.

3 BE

3.3

Die spezifische Ladung der Elektronen kann aus den experimentellen Daten mithilfe der Formel $Formula: \tfrac{e}{m_e}=\tfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}}}{B^2 \cdot r^2}$ $Formula: \tfrac{e}{m_e}=\tfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}}}{B^2 \cdot r^2}$ berechnet werden. Hierbei ist Formula: r der Radius der Kreisbahn.

Leite diese Formel aus einem Kraftansatz unter Verwendung der Formel $Formula: v=\sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{e}}}$ $Formula: v=\sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{e}}}$ für die Geschwindigkeit der Elektronen auf der Kreisbahn her.

5 BE

3.4

In einem Experiment wurde der Durchmesser d der jeweiligen Elektronenbahnen in Abhängigkeit von der Stromstärke $Formula: I_\text{Sp}$ $Formula: I_\text{Sp}$ in den Helmholtz-Spulen gemessen (Material 5). Bei der Ermittlung aller Messwerte wurde $Formula: U_{\mathrm{B}}=100 \; \mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}=100 \; \mathrm{V}$ verwendet. Zur Berechnung der von den Helmholtz-Spulen erzeugten magnetischen Flussdichte im Fadenstrahlrohr wird die Formel $Formula: B=7,79 \cdot 10^{-4} \; \tfrac{\mathrm{T}}{\mathrm{A}} \cdot I_{\mathrm{Sp}}$ $Formula: B=7,79 \cdot 10^{-4} \; \tfrac{\mathrm{T}}{\mathrm{A}} \cdot I_{\mathrm{Sp}}$ verwendet.

3.4.1

Berechne die in Material 5 fehlenden Werte. Zeichne alle zur dritten und fünften Spalte gehörenden Wertepaare in Material 6 ein und begründe mithilfe des Diagramms, dass die magnetische Flussdichte Formula: B proportional zu $Formula: \tfrac{1}{r}$ $Formula: \tfrac{1}{r}$ ist.

9 BE

3.4.2

Berechne unter Verwendung der Formel aus Aufgabe 3.3 für die Messung mit $Formula: d = 6,2 \; \text{cm}$ $Formula: d = 6,2 \; \text{cm}$ den experimentellen Wert der spezifischen Ladung. Zeige durch eine Einheitenbetrachtung der Formel für $Formula: \tfrac{e}{m_{\mathrm{e}}}$ $Formula: \tfrac{e}{m_{\mathrm{e}}}$ aus Aufgabe 3.3, dass die Einheit der spezifischen Ladung $Formula: 1 \; \tfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}$ $Formula: 1 \; \tfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}$ ist.

5 BE

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1.1

Innerhalb des elektrischen Feldes eines Kondensators erfahren die Grießkörner eine Polarisation. Dies führt dazu, dass sich die entgegengesetzten Enden benachbarter Grießkörner gegenseitig anziehen, wodurch sie sich in einer Kette entlang der Feldlinien ausrichten.

1.2

Skizze: horizontale Feldlinien zwischen zwei Platten, Punkt A mittig mit Kraftpfeil nach rechts, Punkt B oben mit gebogenem Pfeil

Dabei ist wichtig, dass der Vektorpfeil der Kraft am Punkt A erkennbar länger dargestellt wird als der Vektorpfeil am Punkt B.

1.3

Sobald ein Grießkorn eine der Kondensatorplatten berührt, wird es von dieser elektrisch geladen. Infolgedessen wird das nun geladene Grießkorn von der berührten gleich geladenen Platte abgestoßen, während es gleichzeitig von der gegenüberliegenden, entgegengesetzt geladenen Platte angezogen wird. Dadurch bewegt sich das Grießkorn in Richtung der gegenüberliegenden Platte.

1.4

Einzeichnen der elektrischen Feldlinien

Diagramm elektrisches Feld zwischen zwei Platten; Feldlinien verlaufen von Plus- zu Minuspol, Ring im Zentrum lenkt Linien.

Beschreiben der Eigenschaften

Die elektrischen Feldlinien verlaufen von der positiv zur negativ geladenen Kondensatorplatte und treffen dabei stets im rechten Winkel ( $Formula: 90^{\circ}$ $Formula: 90^{\circ}$ ) auf die Oberflächen der Leiter. Ein in das Feld eingebrachter Metallring fungiert dabei als Faraday’scher Käfig. Durch die Ladungsverschiebung an der Oberfläche des Metallrings wird das elektrische Feld im Inneren des Rings vollständig kompensiert. Folglich ist der Innenraum des Metallrings feldfrei, somit gibt es dort auch keine Feldlinien.

2.1

Zunächst wird die Kapazität Formula: C des Plattenkondensators mithilfe der Fläche $Formula: A = a \cdot b$ $Formula: A = a \cdot b$ und dem Plattenabstand Formula: d berechnet:

$Formula: \begin{array}{rll} C & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{A}{d} = \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{a \cdot b}{d} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{0,18 \; \mathrm{m} \cdot 0,24 \; \mathrm{m}}{0,006 \; \mathrm{m}} \\[5pt] & = & 6,38 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} C & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{A}{d} = \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{a \cdot b}{d} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{0,18 \; \mathrm{m} \cdot 0,24 \; \mathrm{m}}{0,006 \; \mathrm{m}} \\[5pt] & = & 6,38 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{F} \end{array}$

Anschließend lässt sich die anliegende Spannung Formula: U über die Ladung Formula: Q und die zuvor berechnete Kapazität Formula: C mit Hilfe der Beziehung $Formula: C = \tfrac{Q}{U}$ $Formula: C = \tfrac{Q}{U}$ bestimmen:

$Formula: \begin{array}{rll} U & = & \dfrac{Q}{C} \\[5pt] & = & \dfrac{10 \cdot 10^{-9} \; \mathrm{C}}{6,38 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{F}} \\[5pt] & = & 157 \; \mathrm{V} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} U & = & \dfrac{Q}{C} \\[5pt] & = & \dfrac{10 \cdot 10^{-9} \; \mathrm{C}}{6,38 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{F}} \\[5pt] & = & 157 \; \mathrm{V} \end{array}$

Die im elektrischen Feld gespeicherte Energie $Formula: E_{\mathrm{el}}$ $Formula: E_{\mathrm{el}}$ ergibt sich mit den zuvor berechneten Werten für die anliegende Spannung Formula: U und der Kapazität Formula: C wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{el}} & = & \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^{2} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 6,38 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{F} \cdot (157 \; \mathrm{V})^{2} \\[5pt] & = & 7,84 \cdot 10^{-7} \; \mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{el}} & = & \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^{2} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 6,38 \cdot 10^{-11} \; \mathrm{F} \cdot (157 \; \mathrm{V})^{2} \\[5pt] & = & 7,84 \cdot 10^{-7} \; \mathrm{J} \end{array}$

2.2

Da der Kondensator nach dem Ladevorgang von der Spannungsquelle getrennt wurde, bleibt die Ladung Formula: Q konstant. Durch das Einführen eines Dielektrikums mit $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 5$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 5$ und die Verdopplung des Plattenabstands $Formula: d^{*} = 2 \cdot d$ $Formula: d^{*} = 2 \cdot d$ ergeben sich neue Werte für die Kapazität $Formula: C^{*}$ $Formula: C^{*}$ und die Spannung $Formula: U^{*}\text{:}$ $Formula: U^{*}\text{:}$

Änderung der Kapazität: Die neue Kapazität $Formula: C^{*}$ $Formula: C^{*}$ berechnet sich zu:

$Formula: \begin{array}{rll} C^{*} & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{A}{d^{*}} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot 5 \cdot \dfrac{A}{2 \cdot d} \\[5pt] & = & \dfrac{5}{2} \cdot C \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} C^{*} & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{A}{d^{*}} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot 5 \cdot \dfrac{A}{2 \cdot d} \\[5pt] & = & \dfrac{5}{2} \cdot C \end{array}$

Die Kapazität verändert sich somit um den Faktor Formula: 2,5.

Änderung der Spannung: Da Formula: Q konstant ist, folgt für die neue Spannung $Formula: U^{*}\text{:}$ $Formula: U^{*}\text{:}$

$Formula: \begin{array}{rll} U^{*} & = & \dfrac{Q}{C^{*}} = \dfrac{Q}{2,5 \cdot C} \\[5pt] & = & \dfrac{2}{5} \cdot U \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} U^{*} & = & \dfrac{Q}{C^{*}} = \dfrac{Q}{2,5 \cdot C} \\[5pt] & = & \dfrac{2}{5} \cdot U \end{array}$

Die Spannung verändert sich somit um den Faktor Formula: 0,4.

3.1

Einzeichnen der Polung in Material 4

Schematische Darstellung einer Helmholtz-Spule mit angeschlossenem Voltmeter, Amperemeter und Spannungsquelle.

Erläutern der Bedeutung der Spannungen

Die Heizspannung $Formula: U_{\mathrm{H}}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}$ dient dem Betrieb der Glühkathode. Durch das Anlegen dieser Spannung fließt ein elektrischer Strom durch die Glühkathode, dadurch erhitzt sich diese so stark, dass Elektronen aus der Glühkathode freigesetzt werden (glühelektrischer Effekt).

Zwischen der Glühkathode und der Lochanode ist die Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ angelegt, welche die freigesetzten Elektronen in Richtung der Anode beschleunigt und ihnen kinetische Energie zuführt.

3.2

Schematische Darstellung: Kreisförmige Probe in Helmholtz-Spulen mit Voltmeter, Amperemeter und Richtungspfeil

Hinweis: Die Lorentzkraft muss in Richtung des Mittelpunkts der Elektronenbahn zeigen.

3.3

Da sich die Elektronen auf einer Kreisbahn bewegen, muss die Lorentzkraft $Formula: F_{\mathrm{L}}$ $Formula: F_{\mathrm{L}}$ der Zentripetalkraft $Formula: F_{\mathrm{Z}}$ $Formula: F_{\mathrm{Z}}$ entsprechen:

$Formula: \begin{array}{rll} F_{\mathrm{L}} & = & F_{\mathrm{Z}} \\[5pt] e \cdot v \cdot B & = & \dfrac{m_{\mathrm{e}} \cdot v^{2}}{r} \quad \text{|}\cdot \tfrac{1}{v} \\[5pt] e \cdot B & = & \dfrac{m_{\mathrm{e}} \cdot v}{r} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} F_{\mathrm{L}} & = & F_{\mathrm{Z}} \\[5pt] e \cdot v \cdot B & = & \dfrac{m_{\mathrm{e}} \cdot v^{2}}{r} \quad \text{|}\cdot \tfrac{1}{v} \\[5pt] e \cdot B & = & \dfrac{m_{\mathrm{e}} \cdot v}{r} \end{array}$

In der Aufgabenstellung ist die Formel für die Geschwindigkeit $Formula: v = \sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}}}$ $Formula: v = \sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}}}$ gegeben. Das kann in die obige Gleichung eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} e \cdot B & = & \dfrac{m_{\mathrm{e}} \cdot \sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}}}}{r} \quad \text{|Quadrieren} \\[5pt] (e \cdot B)^{2} & = & \dfrac{m_{\mathrm{e}}^{2} \cdot \tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}}}{r^{2}} \quad \text{|Kürzen}\\[5pt] e \cdot B^{2} & = & \dfrac{2 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot U_{\mathrm{B}}}{r^{2}} \\[5pt] \Rightarrow \dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}} & = & \dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}}}{B^{2} \cdot r^{2}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} e \cdot B & = & \dfrac{m_{\mathrm{e}} \cdot \sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}}}}{r} \quad \text{|Quadrieren} \\[5pt] (e \cdot B)^{2} & = & \dfrac{m_{\mathrm{e}}^{2} \cdot \tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}}}{r^{2}} \quad \text{|Kürzen}\\[5pt] e \cdot B^{2} & = & \dfrac{2 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot U_{\mathrm{B}}}{r^{2}} \\[5pt] \Rightarrow \dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}} & = & \dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}}}{B^{2} \cdot r^{2}} \end{array}$

Das entspricht der herzuleitenden Formel für die spezifische Ladung der Elektronen.

3.4

3.4.1

Berechnen der fehlenden Werte

Zur Berechnen der magnetischen Flussdichte Formula: B kann die in der Aufgabenstellung gegebene Formel verwendet werden. Daraus ergibt sich folgende ausgefüllte Tabelle:

$Formula: \boldsymbol{I_\text{Sp}}$ $Formula: \boldsymbol{I_\text{Sp}}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{A}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{A}}$
$Formula: \boldsymbol{d}$ $Formula: \boldsymbol{d}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{cm}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{cm}}$
$Formula: \boldsymbol{B}$ $Formula: \boldsymbol{B}$ in $Formula: \boldsymbol{10^{-4} \; \mathrm{T}}$ $Formula: \boldsymbol{10^{-4} \; \mathrm{T}}$
$Formula: \boldsymbol{r=\tfrac{1}{2} d}$ $Formula: \boldsymbol{r=\tfrac{1}{2} d}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{m}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{m}}$
$Formula: \boldsymbol{\tfrac{1}{r}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{1}{r}}$ in $Formula: \boldsymbol{\tfrac{1}{\text{m}}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{1}{\text{m}}}$

Einzeichnen der Werte in Material 6

Liniendiagramm mit Messpunkten und Ausgleichslinie: B (in 10^-4 T) gegen 1/r (1/m)

Begründen der Proportionalität

Da sich die Messpunkte im $Formula: B\text{-}\tfrac{1}{r}\text{-}$ $Formula: B\text{-}\tfrac{1}{r}\text{-}$ Diagramm durch eine Ursprungsgerade annähern lassen, ist die magnetische Flussdichte proportional zu $Formula: \tfrac{1}{r}.$ $Formula: \tfrac{1}{r}.$

3.4.2

Berechnen der spezifischen Ladung

Beispielhaft für die Messwerte bei $Formula: d=6,2\;\text{cm}$ $Formula: d=6,2\;\text{cm}$ (siehe Tabelle Aufgabe 3.4.1) ergibt sich mit der Formel aus Aufgabe 3.3:

$Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}} & = & \dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}}}{B^{2} \cdot r^{2}} \\[5pt] & = & \dfrac{2 \cdot 100 \; \mathrm{V}}{(10,906 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{T})^{2} \cdot (0,031 \; \mathrm{m})^{2}} \\[5pt] & = & 1,75 \cdot 10^{11} \; \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}} & = & \dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}}}{B^{2} \cdot r^{2}} \\[5pt] & = & \dfrac{2 \cdot 100 \; \mathrm{V}}{(10,906 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{T})^{2} \cdot (0,031 \; \mathrm{m})^{2}} \\[5pt] & = & 1,75 \cdot 10^{11} \; \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}} \end{array}$

Zeigen der Einheiten

Eine Einheitenbetrachtung mit der Formel aus Aufgabe 3.3 ergibt:

$Formula: \begin{array}{rll} \left[ \dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}} \right] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{T}^{2} \cdot \mathrm{m}^{2}} \\[5pt] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{V}}{\left( \tfrac{\mathrm{V} \cdot \mathrm{s}}{\mathrm{m}^{2}} \right)^{2} \cdot \mathrm{m}^{2}} \\[5pt] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{V} \cdot \mathrm{s}^{2}} \\[5pt] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{m}^{2}}{\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} \cdot \mathrm{s}^{2}} \\[5pt] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{C} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\tfrac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}} \cdot \mathrm{s}^{2}} \\[5pt] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \left[ \dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}} \right] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{T}^{2} \cdot \mathrm{m}^{2}} \\[5pt] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{V}}{\left( \tfrac{\mathrm{V} \cdot \mathrm{s}}{\mathrm{m}^{2}} \right)^{2} \cdot \mathrm{m}^{2}} \\[5pt] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{V} \cdot \mathrm{s}^{2}} \\[5pt] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{m}^{2}}{\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} \cdot \mathrm{s}^{2}} \\[5pt] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{C} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\tfrac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}} \cdot \mathrm{s}^{2}} \\[5pt] & = & 1 \; \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}} \end{array}$