Vorschlag A1

Fotoeffekt

In vielen technischen Anwendungen wird der Fotoeffekt genutzt. Die Deutung dieses Phänomens durch Albert Einstein im Jahr 1905 veränderte die Modellvorstellung vom Licht grundlegend.

1.1

Beschreibe das Phänomen, das als Fotoeffekt bezeichnet wird, am Beispiel eines Versuchs mit einer Zinkplatte.

(3 BE)

1.2

Beschreibe eine experimentelle Beobachtung beim Fotoeffekt, die im Widerspruch zum klassischen Wellenmodell des Lichts steht, und erläutere diesen Widerspruch.

(4 BE)

1.3

Beschreibe die Deutung des Fotoeffekts durch Einstein, deren zentrales Element das Lichtquant (Photon) ist.
Erläutere in diesem Zusammenhang die Einstein'sche Gleichung $h \cdot f=E_{\text{kin} }+E_{ \text A }.$
Erläutere schließlich, wie der in Aufgabe 1.2 erläuterte Widerspruch im Photonenmodell aufgelöst wird.

(6 BE)

In Material 1 ist ein Versuchsaufbau zum Fotoeffekt skizziert, mit dem die kinetische Energie der ausgelösten Elektronen bestimmt werden kann.

Material 1

Versuchsaufbau zum Fotoeffekt

2.1

Beschrifte den Versuchsaufbau, indem du die vier leeren Kästchen in Material 1 ausfüllst.
Beschreibe die Versuchsdurchführung und die Methode zur Bestimmung der maximalen kinetischen Energie der ausgelösten Elektronen.

(6 BE)

2.2

Eine Fotozelle mit einer Fotokathode aus Cäsium wird mit Licht verschiedener Wellenlängen bestrahlt. Für jede Wellenlänge wird die Gegenspannung $U_{\text G }$ ermittelt, bei der kein Fotostrom mehr fließt. Im Material 2 sind die Ergebnisse dieses Experiments tabellarisch dargestellt.
Berechne die in der dritten und vierten Zeile in Material 2 fehlenden Werte.
Stelle die Abhängigkeit des Produkts $e \cdot U_{\text G }$ von der Frequenz $f$ als Graph in einem Koordinatensystem dar.

Material 2

Versuchsergebnisse

$\color{#f0f0f0}{\lambda}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{nm}}$	$\color{#f0f0f0}{U_{ \text G }}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{V}}$	$\color{#f0f0f0}{f}$ in $\color{#f0f0f0}{10^{14} \,\text{Hz}}$	$\color{#f0f0f0}{e \cdot U_{ \text G }}$ in $\color{#f0f0f0}{10^{-19}\,\text J}$
470	0,874	6,38	1,40
510	0,655	5,88	1,05
520	0,624	5,77	1,05
550	0,487
580	0,356
630	0,175	4,76	0,28

(7 BE)

2.3

Erläutere mithilfe der Einstein'schen Gleichung, dass beim Graphen aus Aufgabe 2.2 theoretisch die Datenpunkte auf einer Geraden liegen sollten.
Ermittle mithilfe einer Ausgleichsgeraden im Graphen aus Aufgabe 2.2 einen Wert für das Planck'sche Wirkungsquantum $h$ , die Grenzfrequenz $f_{\text G }$ der Fotozelle und die Austrittsenergie $E_{ \text A }.$
Berechne die prozentuale Abweichung des experimentell ermittelten Werts für $h$ vom Literaturwert.

(11 BE)

2.4

Bei einem Versuch wird eine Fotozelle mit einer Austrittsenergie $E_{\text A }=4,48\,\text{eV}$ verwendet. Ein Fotostrom ist nur für die Wellenlängen $\lambda$ messbar, die kleiner als eine Grenzwellenlänge $\lambda_{\text G }$ sind.
Berechne die Grenzwellenlänge $\lambda_{\text G }$ für diese Fotozelle.

(3 BE)

Ein Fotometer ist ein Messgerät, mit dem die Intensität von Licht gemessen werden kann. Es besteht aus einer empfindlichen Fotodiode, die das einfallende Licht mithilfe des Fotoeffekts in elektrischen Strom umwandelt. Die Stärke dieses Fotostroms wird mit einem Amperemeter gemessen. Zur Messung in einem breiten Frequenzspektrum von $f_{\text {rot }}=4,3 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$ bis $f_{\text {blau }}=7,0 \cdot 10^{14} \,\text{Hz}$ stehen zwei Fotodioden aus unterschiedlichem Material mit verschiedenen Werten für die Austrittsenergie zur Verfügung: $E_{\text A 1}=4,1 \cdot 10^{-19}\,\text J$ und $E_{\text A 2}=2,5 \cdot 10^{-19}\,\text J.$

3.1

Untersuche, welche der Fotodioden für das Fotometer geeignet ist.

(4 BE)

3.2

Eine solche Fotodiode wird mit dem roten Licht eines Lasers mit der Wellenlänge $\lambda=650\,\text{nm}$ und der Strahlungsleistung $0,01\,\text{mW}$ beleuchtet. Es wird angenommen, dass $10 \,\%$ der Photonen ein Elektron aus der Fotokathode auslösen.
Beurteile, ob zur Messung des Fotostroms ein Amperemeter mit einer Messgenauigkeit von $10 \,\mu \text A$ verwendet werden kann.

(6 BE)

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1.1

Der Fotoeffekt beschreibt das Phänomen, bei dem Licht, das auf eine Zinkplatte fällt, Elektronen aus dem Material herausschlägt. Dabei ist die entscheidende Erkenntnis, dass die Frequenz des einfallenden Lichts ausschlaggebend ist. Nur Licht mit ausreichend hoher Frequenz kann Elektronen freisetzen, während Licht niedriger Frequenz dazu nicht in der Lage ist. Dieses Phänomen zeigt, dass Licht in diskreten Einheiten, den Photonen, Energie überträgt.

1.2

Experimentelle Beobachtungen beim Fotoeffekt

Der Fotoeffekt setzt sofort ein.
Die kinetische Energie der Fotoelektronen hängt von der Frequenz des einfallenden Lichts ab, nicht von der Intensität: Je höher die Frequenz, desto größer ist die kinetische Energie.
Es setzt kein Fotoeffekt bei Licht ein, dass eine geringere Frequenz als die Grenzfrequenz hat.

Widerspruch zum Wellenmodell des Lichts

Der Fotoeffekt stellt einen Widerspruch zum klassischen Wellenmodell des Lichts dar, da die Lichtintensität entgegen der Erwartung keine direkte Auswirkung auf die Anzahl der herausgelösten Elektronen hat. Im klassischen Modell würde eine höhere Lichtintensität eine größere Anzahl herausgelöster Elektronen bedeuten, was jedoch im Fotoeffekt-Experiment nicht beobachtet wird. Stattdessen beeinflusst die Lichtfrequenz dieses Phänomen.

1.3

Deutung des Fotoeffekts

Der Fotoeffekt beschreibt die Emission von Elektronen aus einer Metalloberfläche unter Lichteinwirkung. Einstein erklärte dies durch die Annahme von Lichtquanten, den sogenannten Photonen. Licht wird als Strom von Photonen betrachtet, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, unterteilbar sind und nur als Ganzes erzeugt oder absorbiert werden können.

Einstein'sche Gleichung

Ein Photon hat eine Energie, die von seiner Frequenz abhängt: $E_{\text{Photon}} = h \cdot f.$ Das Planck'sche Wirkungsquantum $h$ ist die Proportionalitätskonstante. Die gesamte Energie eines Photons $E_{\text{Photon}}$ setzt sich aus der kinetischen Energie $E_{\text{kin}}$ und der Austrittsarbeit $E_A$ des Elektrons zusammen:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{Photon}}&=& E_{\text{kin}}+E_A&\quad \scriptsize \mid\;E_{\text{Photon}}=h\cdot f \\[5pt] h\cdot f&=& E_{\text{kin}}+E_A \end{array}$

Lösung des Widerspruchs im Photonenmodell

Wenn die Energie eines Photons ausreicht, um die Austrittsarbeit eines Elektrons zu überwinden $E ≥ E_A,$ wird das Elektron herausgelöst. Dieses Modell löst den Widerspruch im klassischen Wellenmodell, indem es zeigt, dass die Lichtintensität keine Rolle spielt, sondern die Frequenz des Lichts entscheidend ist.

2.1

Eine spezifische Lichtquelle strahlt Licht durch einen Farbfilter, welcher Licht unterschiedlicher Wellenlänge selektiert, auf die Fotokathode ab, aus welcher dadurch Elektronen herausgelöst werden. Eine regulierbare Spannungsquelle wird zwischen der Ringanode und der Fotokathode positioniert, um ein elektrisches Feld zu erzeugen. Dieses elektrische Feld bewirkt, dass die ausgelösten Elektronen in Richtung der Ringanode gelenkt werden und dabei kinetische Energie erhalten.

Die maximale kinetische Energie der Elektronen wird mithilfe der Gleichung $E_{\text{kin}} = eU$ bestimmt, wobei $e$ die Elementarladung und $U$ das elektrische Potential zwischen den Platten des Detektors ist. Wenn die Spannung $U$ ausreichend hoch ist, werden die Elektronen mit der maximal möglichen kinetischen Energie von der Fotokathode weg beschleunigt.

2.2

Für die Wellenlänge $\lambda = 550 \;\text{nm}$ ergibt sich folgende Frequenz:

Rechenweg anzeigen

$f=5,46 \cdot 10^{14} \; \text{Hz}$

Analog ergibt sich für die Wellenlänge $\lambda = 580 \;\text{nm}$ folgende Frequenz:

$\begin{array}[t]{rll} f&=& \dfrac{c}{\lambda}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 10^8 \; \dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{580\;\text{nm}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 10^8 \; \dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{580 \cdot 10^{-9} \;\text{m}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5,17\cdot 10^{14} \; \text{Hz} \end{array}$

Für die Spannung $0,487 \,\text{V}$ ergibt sich :

Rechenweg anzeigen

$e\cdot U_ \text G =0,78\cdot 10^{-19} \text{J}$

Analog gilt für die Spannung $0,356 \,\text{V}:$

Rechenweg anzeigen

$e\cdot U_ \text G=0,57\cdot 10^{-19} \text{J}$

$\color{#f0f0f0}{\lambda}$	$\color{#f0f0f0}{U_{ \text G }}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{V}}$	$\color{#f0f0f0}{f}$ in $\color{#f0f0f0}{10^{14} \,\text{Hz}}$	$\color{#f0f0f0}{e \cdot U_{ \text G }}$ in $\color{#f0f0f0}{10^{-19}\,\text J}$
470	0,874	8,38	1,40
510	0,655	5,88	1,05
520	0,624	5,77	1,05
550	0,487	5,46	0,78
580	0,356	5,17	0,57
630	0,175	4,76	0,28

2.3

Datenpunkte auf Geraden

Aus der Einstein'sche Gleichung ergibt sich der lineare Zusammenhang von $e\cdot U_{\text{G}}$ und $f:$

Rechenweg anzeigen

$e\cdot U_{\text{G}}= h \cdot f-E_{\text{A}}$

Aufgrund des linearen Zusammenhangs, sollten die Punkte auf einer Geraden liegen.

Planck'sche Wirkungsquantum $h$

Das Planck'sche Wirkungsquantum $h$ entspricht der Steigung der Geraden und lässt sich deshalb mit dem Steigungsdreieck berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} h&=& \dfrac{\Delta \left(e\cdot U_G\right)}{\Delta f}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{\left(0,75 -0\right) 10^{-19}\,\text{J}}{\left(5,5 -2,75\right) 10^{14}\,\text{Hz}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,75 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{2,75\cdot 10^{14}\,\text{s}^{-1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,27 \cdot 10^{-19}\,\text{J}\cdot 10^{-14}\,\text{s}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,7 \cdot 10^{-34}\,\text{Js} \end{array}$

Austrittsenergie $E_A$

Die Austrittsenergie $E_A$ entpsricht dem $y$ -Achsenabschnitt bzw. dem $E_{\text{kin}}$ -Achsenabschnitt :

$\begin{array}[t]{rll} E_A&=& 0,74\cdot 10^{-19}\;\text{J} \end{array}$

Dmait ergibt sich für die Ausgleichgerade:

Rechenweg anzeigen

Grenzfrequenz $f_G$

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& h\cdot f_{\text{G}}- E_{\text{A}}&\quad \scriptsize \mid\;+E_{\text{A}} \\[5pt] E_{\text{A}} &=&h\cdot f_{\text{G}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{h} \\[5pt] \dfrac{E_{\text{A}}}{h} &=& f_{\text{G}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{0,74\cdot 10^{-19}\;\text{J}}{ 2,7 \cdot 10^{-34}\;\text{Js}}&=& f_{\text{G}}&\quad \scriptsize \\[5pt] 2,74 \cdot 10^{14} \,\text{Hz}&=& f_{\text{G}} \end{array}$

prozentuale Abweichung

Der Literaturwert von $h$ liegt bei: $6,626 \cdot 10^{-34}\;\text{Js}.$ Für die prozentuale Abweichung des experimentell ermittelten Werts für $h$ ergibt sich damit:

Rechenweg anzeigen

$\text{Abweichung}=59 \%$

2.4

Damit ein Fotostrom messbar ist, muss gelten: $E_{\text{Ph}}\geq E_{\text{A}}.$ Daraus folgt für die Grenzwellenlänge $\lambda_{\text{G}}:$

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{Ph}}&=& E_{\text{A}}&\quad \scriptsize \mid\;h\cdot f= E_{\text{Ph}}\\[5pt] h\cdot f&=& E_{\text{A}}&\quad \scriptsize \mid\; f= \dfrac{c}{\lambda_{\text{G}}} \\[5pt] h\cdot \dfrac{c}{\lambda_{\text{G}}} &=& E_{\text{A}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \lambda_{\text{G}} \\[5pt] h\cdot c &=& E_{\text{A}} \cdot \lambda_{\text{G}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{ E_{\text{A}} } \\[5pt] \dfrac{h\cdot c}{ E_{\text{A}} }&=& \lambda_{\text{G}} \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$\lambda_{\text{G}}= 277 \;\text{nm}$

3.1

Um den Fotoeffekt auszulösen gilt für die Energie eines Photons:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{Ph}}&=& W_A &\quad \scriptsize \mid\;E_{\text{Ph}}=h\cdot f \\[5pt] h\cdot f&=& W_A &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{1}{h} \\[5pt] f&=& \dfrac{W_A}{h} \end{array}$

Grenzfrequenzen der Fotodioden

Gegeben: $E_{A1}=4,1\cdot 10^{-19} \,\text{J},$ $E_{A2}=2,5\cdot 10^{-19} \,\text{J}$

Gesucht: $f_{G,1},f_{G,2}$

Lösung: Werte einsetzen

1. Fotozelle:

$\begin{array}[t]{rll} f_{G,1}&=&\dfrac{4,1\cdot 10^{-19} \,\text{J}}{6,625\cdot 10^{14} \,\text{Js}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6,19\cdot 10^{14} \,\text{Hz} \end{array}$

2. Fotozelle:

$\begin{array}[t]{rll} f_{G,1}&=&\dfrac{2,5\cdot 10^{-19} \,\text{J}}{6,625\cdot 10^{14} \,\text{Js}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,77 \cdot 10^{14} \,\text{Hz} \end{array}$

Untersuchung der Eignung

Oberhalb der Grenzfrequenz wird der Fotoeffekt nicht ausgelöst.

Frequenzspektrum: $f_{\text{rot}}=4,3 \cdot 10^{14} \,\text{Hz}$ und $f_{\text{rot}}=7 \cdot 10^{14} \,\text{Hz}$

Vergleich der Frequenzen:

$\begin{array}[t]{rll} f_{\text{rot}}&\lt& f_{G,1} \lt f_{\text{blau}}&\quad \scriptsize \\[5pt] f_{G,2}&\lt& f_{\text{rot}} \lt f_{\text{blau}} \end{array}$

Lösung: Fotodiode 1 ist für das Fotometer geeignet.

3.2

Für die Energie eines einzelnen Photons gilt:

Rechenweg anzeigen

$E=3,1 \cdot 10^{-16}\;\text{J}$

Berechnung der Anzahl der Photonen pro Sekunde, die auf die Fotodiode treffen ergibt:

Rechenweg anzeigen

$3,3 \cdot 10^{13}\,\dfrac{\text{Photonen}}{\text{s}}$

$10 \%$ der Photonen lösen Elektronen heraus. Für die Anzahl der herausgelösten Elektronen pro Sekunde gilt damit:

Rechenweg anzeigen

$3,3\cdot 10^{12} \dfrac{\text{Elektronen}}{\text{s}}$

Für den Fotostrom gilt:

Rechenweg anzeigen

$\text{Fotostrom}= 5,28 \cdot 10^{-1} \;\mu\text{A}$

Der erwartete Fotostrom beträgt etwa $5,28 \cdot 10^{-1} \;\mu\text{A}$ was deutlich unter der Messgenauigkeit von $10 \;\mu\text{A}$ liegt. Daher kann das Amperemeter zur Messung des Fotostroms nicht verwendet werden.

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