Vorschlag B3
Coulomb-Kraft und Elektron in Feldern
1
Im Folgenden wird die Coulomb-Kraft zwischen zwei gleichnamig geladenen Aluminiumkugeln untersucht. Jede der Kugeln trägt die elektrische Ladung 
Die Kraft 
zwischen den beiden Kugeln wird mit einem digitalen Newtonmeter gemessen. Die Experimente werden in Luft 
durchgeführt.
Die Kraft zwischen den beiden Kugeln wird mit einem digitalen Newtonmeter gemessen. Die Experimente werden in Luft durchgeführt.
1.1
In einem ersten Experiment wird die Abhängigkeit der Coulomb-Kraft von der elektrischen Ladung der Kugeln gemessen. Die Kugeln haben dabei einen konstanten Abstand. Es ergeben sich die in Material 1 angegebenen Messwerte.
Zeichne aus diesen Werten ein Ladung-Kraft-Diagramm.
Begründe aufgrund des Diagramms einen möglichen Zusammenhang zwischen der Kraft und der elektrischen Ladung.
Prüfe diesen Zusammenhang rechnerisch.
Material 1: Coulomb-Kraft zwischen zwei Kugeln: Messwerttabelle
 in  |
 in  |
|
|---|---|---|
| 30 | 1,6 | |
| 60 | 6,5 | |
| 90 | 14,5 | |
| 120 | 26,0 | |
| 150 | 40,0 | |
| 180 | 58,0 | |
| 210 | 79,0 |
(8 BE)
1.2
In einem zweiten Experiment wird die Abhängigkeit der Coulomb-Kraft vom Abstand 
der Kugelmittelpunkte untersucht. Nun ist die Ladung der Kugeln konstant. Zur Analyse der Messwerte wurden unter anderem die beiden Diagramme in Material 2 erstellt.
Begründe, dass das erste Diagramm einen Zusammenhang in Form einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten vermuten lässt und dass das zweite Diagramm den Zusammenhang 
bestätigt.
der Kugelmittelpunkte untersucht. Nun ist die Ladung der Kugeln konstant. Zur Analyse der Messwerte wurden unter anderem die beiden Diagramme in Material 2 erstellt.
Begründe, dass das erste Diagramm einen Zusammenhang in Form einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten vermuten lässt und dass das zweite Diagramm den Zusammenhang bestätigt.
Material 2: Coulomb-Kraft zwischen zwei Kugeln: Diagramme
(3 BE)
2
Zwei positiv geladene Kugeln tragen die gleiche Ladung. Im Experiment wird die zwischen den Kugeln wirkende Coulomb-Kraft von 
gemessen. Die Kugelmittelpunkte sind 
voneinander entfernt. Die Experimente werden in Luft 
durchgeführt.
gemessen. Die Kugelmittelpunkte sind voneinander entfernt. Die Experimente werden in Luft durchgeführt.
2.1
Berechne die Ladung 
auf jeder der Kugeln.
[zur Kontrolle: 
]
auf jeder der Kugeln.
[zur Kontrolle: ]
(3 BE)
2.2
Begründe ohne weitere explizite Berechnung, mit welchem Faktor sich die Coulomb-Kraft verändert, wenn (i) die Ladung auf beiden Kugeln verdoppelt wird, (ii) der Abstand verdreifacht wird.
(3 BE)
2.3
Die Ladung wird nur auf einer der Kugeln erhöht. Dadurch vergrößert sich die Coulomb-Kraft auf 
Die Kugeln haben weiterhin den Abstand 
Berechne die Ladungserhöhung 
auf der einen Kugel.
Die Kugeln haben weiterhin den Abstand
Berechne die Ladungserhöhung auf der einen Kugel.
(4 BE)
3
Die beiden quadratischen Platten eines luftgefüllten Plattenkondensators 
mit der Seitenlänge 
haben einen Abstand von 
und sind vertikal angeordnet. An die Platten wird die Spannung 
angelegt. Die Anordnung ist in Material 3 dargestellt. Vereinfachend wird angenommen, dass im Inneren des Kondensators ein homogenes elektrisches Feld vorliegt, außerhalb des Kondensators dagegen keine elektrische Feldstärke vorliegt. Der Kondensator besitzt in der Mitte der rechten Platte ein Loch. Hinter der rechten Kondensatorplatte schließt sich ein scharf begrenztes homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte 
an, das senkrecht in die Zeichenebene hinein zeigt. Das Magnetfeld erstreckt sich 
in 
-Richtung und 
in die positive und negative 
-Richtung. Bei den folgenden Berechnungen soll zunächst die Gewichtskraft vernachlässigt werden.
mit der Seitenlänge haben einen Abstand von und sind vertikal angeordnet. An die Platten wird die Spannung angelegt. Die Anordnung ist in Material 3 dargestellt. Vereinfachend wird angenommen, dass im Inneren des Kondensators ein homogenes elektrisches Feld vorliegt, außerhalb des Kondensators dagegen keine elektrische Feldstärke vorliegt. Der Kondensator besitzt in der Mitte der rechten Platte ein Loch. Hinter der rechten Kondensatorplatte schließt sich ein scharf begrenztes homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte an, das senkrecht in die Zeichenebene hinein zeigt. Das Magnetfeld erstreckt sich in -Richtung und in die positive und negative -Richtung. Bei den folgenden Berechnungen soll zunächst die Gewichtskraft vernachlässigt werden.
Material 3: Versuchsanordnung zu Aufgabe 3 (Seitenansicht)
Der Bereich, in dem das Magnetfeld wirkt, ist grau hinterlegt. Das Feld ist senkrecht in die Zeichenebene hinein orientiert.
3.1
Berechne die Kapazität des Kondensators, die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators und die Ladungsmenge auf den Platten des Kondensators.
(6 BE)
3.2
Berechne die Geschwindigkeit eines Elektrons, das durch das elektrische Feld des Kondensators aus der Ruhe heraus von der linken Platte zur rechten Platte hin beschleunigt wurde und den Kondensator durch das Loch in der rechten Platte verlässt.
[zur Kontrolle: 
]
]
(4 BE)
3.3
Nach Verlassen des Kondensators tritt das Elektron in das magnetische Feld hinter der rechten Kondensatorplatte ein.
3.3.1
Begründe, dass die Flugbahn des Elektrons ein Kreisbogen ist.
Berechne den Radius dieser Bahn und skizziere die Flugbahn in Material 3.
[zur Kontrolle: 
]
dieser Bahn und skizziere die Flugbahn in Material 3.
[zur Kontrolle: ]
(7 BE)
3.3.2
Erläutere, mit welchem Geschwindigkeitsbetrag und in welche Richtung das Elektron das Magnetfeld verlässt.
(3 BE)
3.3.3
Berechne die Zeit, die das Elektron benötigt, um den kompletten Plattenkondensator sowie das magnetische Feld bis zu seinem Rand zu durchlaufen.
[zur Kontrolle: 
]
]
(6 BE)
3.4
Beurteile mithilfe einer Rechnung die Behauptung, dass die Gewichtskraft messbar den Austrittspunkt des Elektrons aus dem Magnetfeld beeinflusst.
(3 BE)
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1.1
annehmen lässt. Dieser wird im Folgenden überprüft.
Rechnerische Überprüfung
| in |
in |
 in  |
|---|---|---|
| 30 | 1,6 | 1,76 |
| 60 | 6,5 | 1,81 |
| 90 | 14,5 | 1,79 |
| 120 | 26,0 | 1,81 |
| 150 | 40,0 | 1,78 |
| 180 | 58,0 | 1,79 |
| 210 | 79,0 | 1,79 |
1.2
Auf dem zweiten Diagramm liegen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden. Damit wird die Proportionalität 
bestätigt.
Der Zusammenhang der Proportionalität lässt sich auch schreiben als 
Daraus ergibt sich ein Diagramm in Form einer Potenzfunktion mit dem negativem Exponenten 
Dieses ist im ersten Diagramm dargestellt.
bestätigt.
Der Zusammenhang der Proportionalität lässt sich auch schreiben als Daraus ergibt sich ein Diagramm in Form einer Potenzfunktion mit dem negativem Exponenten Dieses ist im ersten Diagramm dargestellt.
2.1
![\(\begin{array}[t]{rll}
F _{ C }&=&\dfrac{1}{4 \pi \cdot e _0} \cdot \dfrac{ Q _1 \cdot Q _2}{ r ^2} \\[5pt]
F _{ C }&=&\dfrac{1}{4 \pi \cdot e _0} \cdot \dfrac{ Q ^2}{ r ^2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4 \pi \cdot e _0\cdot r^2 \\[5pt]
F _{ C }\cdot 4 \pi \cdot e _0\cdot r^2 &=& Q^2 \\[5pt]
Q^2&=& F _{ C }\cdot 4 \pi \cdot e _0\cdot r^2 \\[5pt]
Q&=& \sqrt{ F _{ C }\cdot 4 \pi \cdot e _0\cdot r^2 } \\[5pt]
Q&=& \sqrt{51 \cdot 10^{-3} \;\text{N} \cdot(0,09 \;\text{m} )^2 \cdot 4 \pi \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} }} \\[5pt]
&=& 2,14 \cdot 10^{-7} \;\text{C}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e93e3398f74a1960374163a9ddd89899b62cf59e0ec17952207818d0eb1190b5_light.svg)
2.2
Folgender Zusammenhang gilt: 
und 
und
(i)
Für 
folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
F_{C_{\text{neu}}}& \sim & Q_{\text{neu}}^2 \\[5pt]
F_{C_{\text{neu}}}& \sim & (2\cdot Q)^2 \\[5pt]
F_{C_{\text{neu}}}& \sim & 4\cdot Q^2 \\[5pt]
F_{C_{\text{neu}}}&\sim & 4\cdot F_C
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d8ba927561f640e63321097354331b0ca48829dccb718b717d9a4fd41d10367b_light.svg)
Wird die Ladung verdoppelt, resultiert daraus die vierfache Coulomb-Kraft.
folgt:
Wird die Ladung verdoppelt, resultiert daraus die vierfache Coulomb-Kraft.
(ii)
Für 
folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
F_{C_{\text{neu}}}& \sim & \dfrac{1}{r_{\text{neu}}^2} \\[5pt]
F_{C_{\text{neu}}}& \sim & \dfrac{1}{(3r)^2} \\[5pt]
F_{C_{\text{neu}}}& \sim & \dfrac{1}{9\cdot r^2} \\[5pt]
F_{C_{\text{neu}}}& \sim & \dfrac{1}{9}\cdot \dfrac{1}{r^2} \\[5pt]
F_{C_{\text{neu}}}& \sim & \dfrac{1}{9}\cdot F_C
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7218ed88435c1f2d0d9b27a0763ef0b69b89aec9308dbc388c279e8e533af32d_light.svg)
Wird der Abstand verdreifacht, sinkt die Coulomb-Kraft auf 
folgt:
Wird der Abstand verdreifacht, sinkt die Coulomb-Kraft auf
2.3
Werte einsetzen ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
F _{ C } &=& \dfrac{1}{4 \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \dfrac{ Q _1 \cdot Q _2}{ r ^2} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{4 \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \dfrac{Q_1 \cdot\left(Q_1+\Delta Q \right)}{ r ^2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4 \pi \cdot \varepsilon_0\cdot r^2 \\[5pt]
4 \pi \cdot \varepsilon_0\cdot r^2&=& Q_1 \cdot\left(Q_1+\Delta Q \right) &\quad \scriptsize \mid\;:Q_1 \\[5pt]
\dfrac{4 \pi \cdot \varepsilon_0\cdot r^2}{Q_1}&=& Q_1+\Delta Q&\quad \scriptsize \mid\;-Q_1 \\[5pt]
\dfrac{4 \pi \cdot \varepsilon_0\cdot r^2}{Q_1} -Q_1&=&\Delta Q \\[5pt]
\Delta Q&=& \dfrac{4 \pi \cdot \varepsilon_0\cdot r^2}{Q_1} -Q_1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e8aed40e26a33d9c964e42ef0f3cd5ba3f89d633736c17a559bb71afe7f79284_light.svg)
3.1
3.2
![\(\begin{array}[t]{rll}
E _{ el }&=&E _{ kin } \\[5pt]
e \cdot U&=& \dfrac{1}{2} m \cdot v ^2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \;\mid\;:m \\[5pt]
\dfrac{2\cdot e \cdot U}{m}&=&v^2 \\[5pt]
v^2&=& \dfrac{2\cdot e \cdot U}{m} \\[5pt]
&=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \cdot 640\;\text{V} }{9,109 \cdot 10^{-31} \;\text{kg} }} \\[5pt]
&=& 1,50 \cdot 10^7 \frac{ \text{m} }{ \text{s} }
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ccc6ba4bd794eb3da3104722ea92d2d13e0f8094c69bfb2e252443c9be114ffe_light.svg)
3.3.1
Wenn sich das Elektron im magnetischen Feld hinter der Kondensatorplatte bewegt, erfährt es eine magnetische Kraft (Lorentzkraft), die es von seiner ursprünglichen Bahn ablenkt. Diese Kraft wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung des Elektrons und führt dazu, dass es sich auf einer Kreisbahn bewegt, da die magnetische Kraft als Zentripetalkraft wirkt.
Radius berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
F _{ L }&=& F _{ Z }\\[5pt]
e \cdot v \cdot B &=& \dfrac{ m _{ e } \cdot v ^2}{ r }&\quad \scriptsize \mid\;\cdot r \\[5pt]
e \cdot v \cdot B\cdot r &=& m _{ e } \cdot v ^2&\quad \scriptsize \mid\;:e \cdot v \cdot B\\[5pt]
r&=& \dfrac{ m _{ e } \cdot v ^2}{ e \cdot v \cdot B }\\[5pt]
r&=& \dfrac{ m _{ e } \cdot v}{ e \cdot B }\\[5pt]
&=& \dfrac{9,109 \cdot 10^{-31} \;\text{kg} \cdot 1,5 \cdot 10^7 \frac{ \text{m} }{ \text{s} }}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{C} \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} \text{T} } \\[5pt]
&=& 0,17\;\text{m} \\[5pt]
&=& 17\;\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7f8c5022c402aef8a4bf548cc8ee7c45e312223d820ccedc8bd38d83f8db933a_light.svg)
3.3.2
Das Elektron bewegt sich auf einer geradlinigen Flugbahn parallel zur -Achse in das Magnetfeld hinein. Nachdem es einen halben Kreisbogen im Magnetfeld durchlaufen hat, verlässt es das Magnetfeld in entgegengesetzter Richtung. Die neue Flugbahn nach Verlassen des Magnetfelds ist wieder parallel zur -Achse, aber um den Abstand 
vom Eintrittspunkt verschoben. Der Betrag der Geschwindigkeit des Elektrons hat sich dabei nicht verändert, da die Lorentzkraft immer senkrecht auf die Bewegungsrichtung des Elektrons wirkt und somit nur die Richtung der Geschwindigkeit, nicht aber den Betrag, verändern kann.
-Achse in das Magnetfeld hinein. Nachdem es einen halben Kreisbogen im Magnetfeld durchlaufen hat, verlässt es das Magnetfeld in entgegengesetzter Richtung. Die neue Flugbahn nach Verlassen des Magnetfelds ist wieder parallel zur -Achse, aber um den Abstand vom Eintrittspunkt verschoben. Der Betrag der Geschwindigkeit des Elektrons hat sich dabei nicht verändert, da die Lorentzkraft immer senkrecht auf die Bewegungsrichtung des Elektrons wirkt und somit nur die Richtung der Geschwindigkeit, nicht aber den Betrag, verändern kann.
3.3.3
Das Elektron bewegt sich im elektrischen Feld geradlinig beschleunigt.
![\(\begin{array}[t]{rll}
d&=&\dfrac{1}{2} a \cdot t _{C}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \cdot a \\[5pt]
\sqrt{\dfrac{2 d }{ a }}&=&t _{ C} \\[5pt]
t _{ C} &=&\sqrt{\dfrac{2 d }{ a }}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fb35316d5252de07f8ef9be409c9b611b6c9d6e32cfae77bb9cc73d80a712850_light.svg)
Für die Beschleunigung 
folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
F_{e l}&=& =a \cdot m_e \\[5pt]
a&=&\dfrac{F_{e l}}{m_e}\\[5pt]
&=&\dfrac{e \cdot E}{m_e} \\[5pt]
&=&\dfrac{e \cdot U}{m_e \cdot d}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f80853da602a7e6e073c5ca419e37656bec82df9b535a6df03b9d321ae6c36e6_light.svg)
Einsetzen ergibt:
Werte einsetzen:
Das Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn im magnetischen Feld. Für die Länge des halben Kreisbogens folgt:
Daraus folgt:
Es folgt: 
3.4
Die Aussage ist falsch. Die Gewichtskraft ist vernachlässigbar im Vergleich zur Lorentzkraft