Vorschlag B2

Schallwellen bei der Panflöte

Eine Panflöte besteht aus einer Reihe von Bambusröhrchen, die verschiedene Längen besitzen (Material 1). Um eine Panflöte selbst zu bauen, schneidet man Bambusrohr auf die entsprechende Länge zu. Die Röhrchen werden von unten mit Wachs verschlossen und zusammengebunden.

Im Folgenden soll für die Schallgeschwindigkeit $c_{ \text S }=340 \;\dfrac{ \text m }{ \text s }$ verwendet werden.

Material 1

Panflöte

https://www.vivat.de/panflote/?__shop=1&nosto=nosto-category-segment-slider

Zunächst soll unabhängig von dem Instrument eine Schallwelle mit einer Frequenz von $f=264\,\text{Hz}$ betrachtet werden.

1.1

Entscheide und begründe, ob es sich bei Schallwellen in Luft um Longitudinalwellen oder Transversalwellen handelt.

(2 BE)

1.2

Berechne die Schwingungsdauer $T$ und die Wellenlänge $\lambda$ der Schallwelle.

(4 BE)

1.3

Skizziere für eine Schallwelle, die sich in $x$ -Richtung mit der oben angegebenen Frequenz ausbreitet, ein $x$ -Elongations-Diagramm über zwei Wellenlängen für den Zeitpunkt $t=2\,T$ und ein dazu passendes $t$ -Elongations-Diagramm am Ort $x=0\,\text m$ über zwei Schwingungsperioden. Zum Zeitpunkt $t=0\,\text s$ ist am Ort $x=0\,\text m$ die Elongation $0\,\text m.$ Die Amplitude kann frei gewählt werden.
Zeichne - sofern möglich - in den Diagrammen die Größen Wellenlänge, Schwingungsdauer und Amplitude ein.

(6 BE)

Durch „Anblasen“ der einzelnen Röhrchen der Panflöte entsteht ein Ton, da die Luftmoleküle im Röhrchen zu Schwingungen angeregt werden und sich eine stehende Welle mit einem festen und einem losen Ende (Schwingungsknoten und Schwingungsbauch) ausbildet. An einem Ende befindet sich ein Schwingungsknoten, am anderen Ende ein Schwingungsbauch. Darüber hinaus gibt es bei der Grundschwingung keine Knoten und keine Bäuche. Allgemein gilt für die stehende Welle, dass der Abstand zweier benachbarter Schwingungsknoten zueinander $\dfrac{\lambda}{2}$ beträgt.
Dies gilt in gleicher Weise für den Abstand zweier benachbarter Schwingungsbäuche zueinander.

2.1

Skizziere die Grundschwingung der stehenden Welle und erläutere deine Skizze.

(4 BE)

2.2

Erläutere, wie ein einzelnes Rohr einer Panflöte gestimmt, d. h. die Frequenz eingestellt werden kann.

(2 BE)

2.3

Der Grundton $\(c$ hat eine Frequenz von $f=264\,\text{Hz}.$ Berechne unter Verwendung von Material 2 die innere Länge des Röhrchens für eine Quarte sowie für eine Quinte zu diesem Grundton.

Material 2

Frequenzverhältnisse verschiedener Töne zum Grundton $\(c$

Ton	Tonschritt	Frequenz
$\(c$	Prim	$f_0=264\,\text{Hz}$
$\(d$	gr. Sekunde	$\dfrac{9}{8} f_0$
$\(e$	gr. Terz	$\dfrac{5}{4} f_0$
$\(f$	Quarte	$\dfrac{4}{3} f_0$
$\(g$	Quinte	$\dfrac{3}{2} f_0$
$\(a$	gr. Sexte	$\dfrac{5}{3} f_0$
$\(h$	gr. Septime	$\dfrac{15}{8} f_0$
$\(c$	Oktave	$2 \cdot f_0$

(6 BE)

2.4

Durch kräftigeres „Anblasen“ (Überblasen) des Röhrchens für den Ton $\(c$ können verschiedene höhere Töne erzeugt werden, die sogenannten Obertöne. Die innere Länge des Röhrchens beträgt $l=0,322\,\text m.$
Erkläre das Zustandekommen von Obertönen und bestimme die Frequenz des ersten Obertons.

(6 BE)

2.5

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ von Schall in Luft ist von der Temperatur abhängig. Für die Schallgeschwindigkeit in trockener Luft bei einer Temperatur $\vartheta$ (gemessen in ${ }^{\circ} \text C$ ) gilt der Zusammenhang $c=\sqrt{402,52 \dfrac{ \text m ^2}{ \text s ^2 \cdot{ }^{\circ} C } \cdot\left(273^{\circ} \text C +\vartheta\right)}.$
Damit auch bei veränderter Temperatur die Frequenz und damit die Tonhöhe eines Tons konstant bleibt, muss die Länge des Röhrchens durch Verschieben des Wachskügelchens angepasst werden.

Bestimme die prozentuale Veränderung der Frequenz, wenn sich die Temperatur von $23^{\circ} \text C$ auf $-10^{\circ} \text C$ verringert. Dabei soll eine Längenänderung des Röhrchens durch die Temperaturänderung nicht berücksichtigt werden.
Zeige, dass die prozentuale Veränderung der Tonhöhe unabhängig von der Länge des Röhrchens ist.

(6 BE)

Zwei Schallquellen $\left( \text S _1\right.$ und $\text S _2$ ) erzeugen im Abstand von $d=1\,\text m$ den Ton $c ^{\prime \prime}$ mit $f=528\,\text{Hz}$ (Material 3). Ein Mikrofon wird dabei entlang der in Material 3 gezeichneten gestrichelten Linie in $a=1,4\,\text m$ an den Schallquellen vorbei bewegt. Nimm an, dass die von den Schallquellen erzeugten Schallwellen gleichphasig sind.

Material 3

Zwei Schallquellen (und ein Mikrofon auf einer Linie parallel dazu)

3.1

Erläutere unter Verwendung des Begriffs Gangunterschied, warum mit dem Mikrofon entlang seines Weges Schwankungen in der Lautstärke registriert werden können.

(4 BE)

3.2

Untersuche, ob an der Stelle $\text P$ ein Maximum oder ein Minimum der Lautstärke vorliegt.

(5 BE)

3.2

Das Mikrofon wird entlang der gestrichelten Linie sehr weit nach links bewegt. Begründe, dass der Gangunterschied näherungsweise dem Abstand der Schallquellen entspricht.
Der Abstand der Schallquellen entspricht dem maximalen Gangunterschied. Ermittle daraus die Anzahl der Maxima, die mit dem Mikrofon insgesamt theoretisch registriert werden können.

(5 BE)

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1.1

Schallwellen in Luft sind Longitudinalwellen, weil die Schwingungen parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle verlaufen. In einem Medium wie Luft erfahren die Teilchen periodische Kompressionen und Verdünnungen in dieselbe Richtung wie die Schallausbreitung.

1.2

Für die Schwingungsdauer $T$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} T&=&\dfrac{1}{f} &\quad \scriptsize \\[5pt] T&=&\dfrac{1}{264 \;\text{Hz}} &\quad \scriptsize \mid\;1\;\text{Hz}=1 \;\frac{1}{\text{s}} \\[5pt] &=& 3,8 \cdot 10^{-3}\;\text{s} \end{array}$

Für die Wellenlänge $\lambda$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda&=& \dfrac{c_s}{f}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{340 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{264 \;\text{Hz}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{340 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{264 \;\frac{\text{1}}{\text{s}}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,3 \;\text{m} \end{array}$

1.3

$x$ -Elogations-Diagramm

$t$ -Elogations-Diagramm

2.1

Ein Schwingungsknoten ist eine Stelle in der Welle, an der die Amplitude (der maximale Ausschlag der Schwingung) minimal ist. Ein Schwingungsbauch ist dagegen eine Stelle, an der die Amplitude maximal ist.Die Luftmoleküle schwingen mit großer Amplitude hin und her. In der Grundschwingung gibt es keine weiteren Schwingungsknoten oder Schwingungsbäuche innerhalb des Röhrchens. Die Welle schwingt also in einer einzigen großen Schleife zwischen dem Schwingungsknoten und dem Schwingungsbauch hin und her. Der Abstand zwischen dem Schwingungsknoten und dem Schwingungsbauch entspricht genau der halben Wellenlänge $\dfrac{\lambda}{2}$ der Grundschwingung. Das bedeutet, dass die Grundschwingung in einem Röhrchen der Panflöte genau eine halbe Wellenlänge der Schallwelle entspricht.

2.2

Die Frequenz eines einzelnen Rohrs einer Panflöte wird durch die Anpassung seiner effektiven Länge gestimmt:

$f = \dfrac{v}{2L}$

Die Frequenz wird erhöht, indem die effektive Länge verkürzt wird, beispielsweise durch Schließen von Löchern. Umgekehrt wird die Frequenz gesenkt, indem die effektive Länge verlängert wird, beispielsweise durch Öffnen von Löchern.

2.3

Für die effektive Länge des Rohrs $L$ für die Quarte zu dem Grundton $\(c$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$L \approx 0,52 \;\text{m}$

Analog gilt für die anderen Tonarten:

Ton	Tonschritt	Frequenz	L für Quarte eine in m	L für Quinte eine in m
$\(c$	Prim	$f_0=264\,\text{Hz}$	0,48	0,51
$\(d$	gr. Sekunde	$\dfrac{9}{8} f_0$	0,26	0,46
$\(e$	gr. Terz	$\dfrac{5}{4} f_0$	0,39	0,41
$\(f$	Quarte	$\dfrac{4}{3} f_0$	0,36	0,39
$\(g$	Quinte	$\dfrac{3}{2} f_0$	0,32	0,34
$\(a$	gr. Sexte	$\dfrac{5}{3} f_0$	0,29	0,31
$\(h$	gr. Septime	$\dfrac{15}{8} f_0$	0,26	0,27
$\(c$	Oktave	$2 \cdot f_0$	0,24	0,26

2.4

Obertöne entstehen, wenn ein schwingendes Medium, wie Luft in einem Röhrchen, durch kräftigeres Anblasen in verschiedenen Teilen des Röhrchens schwingt. Dies führt zu Vielfachen der Grundfrequenz, wodurch höhere Töne erzeugt werden. Obertöne entstehen durch die Überlagerung von Schwingungsmustern im Röhrchen. Der erste Oberton entsteht, wenn die Gesamtlänge des schwingenden Luftsäulenröhrchens die halbe Wellenlänge des Obertons beträgt.

Die Formel für die Wellenlänge $\lambda$ in einem Rohr, das an einem Ende offen ist, lautet:

Rechenweg anzeigen

$f_{\text{Oberton 1}}=\dfrac{c_\text S}{2\cdot l }$

2.5

Für die Schallgeschwindigkeit $c_{1}$ bei $23^{\circ}\text{C}$ ist:

Rechenweg anzeigen

$c_{1}=345\;\dfrac{\text m}{ \text s}$

Für die Schallgeschwindigkeit $c_{2}$ bei $-10^{\circ}\text{C}$ ist:

Rechenweg anzeigen

$c_{2} = 325 \;\dfrac{\text m}{ \text s}$

Für die prozentuale Veränderung der Frequenz gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\Delta f}{f_1}&=&\dfrac{f_2-f_1}{f_1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\dfrac{c_{2}}{2\cdot l }-\dfrac{c_1}{2\cdot l }}{\dfrac{c_1}{2\cdot l }} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{c_2-c_1}{c_1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{325 \;\dfrac{\text m}{ \text s}-345\;\dfrac{\text m}{ \text s}}{345 \;\dfrac{\text m}{ \text s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -0,058 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -5,8 \% \end{array}$

Da die Länge des Röhrchens $l$ hier herausgekürzt werden kann, ist die prozentuale Veränderung der Frequenz unabhängig von der Länge des Röhrchens.

3.1

Schwankungen in der Lautstärke entstehen, weil das Mikrofon entlang seiner Bahn unterschiedliche Gangunterschiede zwischen den Schallwellen von $S_1$ und $S_2$ erfährt. Der Gangunterschied, bedingt durch die räumliche Anordnung der Schallquellen und des Mikrofons, führt zu periodischer konstruktiver und destruktiver Interferenz. Dadurch verstärken sich oder löschen sich die Schallwellen teilweise aus, was zu variierenden Lautstärken am Mikrofon führt.

3.2

Für ein Maximum in der Lautstärke muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} S_2P - S_1P &=& \text{m} \cdot \dfrac{c}{f}&\quad \scriptsize \mid\; m \in \mathbb{N} \\[5pt] \end{array}$

Für ein Minimum in der Lautstärke muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} S_2P - S_1P &=& (m + \dfrac{1}{2}) \cdot \dfrac{c}{f} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

Rechenweg anzeigen

$0+\dfrac{1}{2}= x$

Da $x=0+\dfrac{1}{2}=m+\dfrac{1}{2}$ ist, handelt es sich um destruktive Interferenz und damit um ein Minimum der Lautstärke.

3.3.

Wenn das Mikrofon entlang der gestrichelten Linie sehr weit nach links bewegt wird, wird die horizontale Verschiebung $x$ gegen unendlich gehen:

Rechenweg anzeigen

Wenn der Abstand der Schallquellen dem maximalen Gangunterschied entspricht, gilt:

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{d\cdot f}{c}= m$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{d\cdot f}{c} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{1 \; \text m\cdot 528 \;\text{Hz}}{ 340 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& 1,6 \end{array}$

Da $m$ eine ganze Zahl sein muss, ist die nächstgelegene ganze Zahl 2 zu betrachten. Daher können mit dem Mikrofon insgesamt theoretisch $2$ Maxima registriert werden, wenn der Abstand der Schallquellen dem maximalen Gangunterschied entspricht.

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