Vorschlag A1 — Charakteristische Röntgenstrahlung und Anwendungen in der Archäologie

In der Archäologie ist es oft interessant, die chemische Zusammensetzung eines Fundstücks zu bestimmen. Eine zerstörungsfreie Methode ist die Röntgenfluoreszenzanalyse. Dabei wird Röntgenstrahlung auf die zu untersuchende Probe gestrahlt (primäre Röntgenstrahlung) und das Probenmaterial dadurch selbst zur Emission von charakteristischer Röntgenstrahlung angeregt (Röntgenfluoreszenz). Das Spektrum dieser sogenannten sekundären Strahlung lässt Rückschlüsse auf die Zusammensetzung des Probenmaterials zu.

Zunächst soll die Entstehung von Röntgenstrahlung allgemein betrachtet werden.

1.1

Skizziere und beschrifte den Aufbau einer Röntgenröhre mit elektrischer Schaltung.

Beschreibe die Funktionen der angelegten Spannungen

7 BE

1.2

Skizziere in Material 1 qualitativ ein typisches Spektrum der Strahlung aus einer Röntgenröhre (Röntgenspektrum).

Beschrifte darin die kurzwellige Grenze des Röntgenspektrums $Formula: \lambda_\text{g},$ $Formula: \lambda_\text{g},$ das kontinuierliche und das charakteristische Spektrum.

5 BE

1.3

Erläutere die Entstehung des kontinuierlichen Spektrums, der kurzwelligen Grenze und des charakteristischen Spektrums.

Erläutere den Einfluss des Anodenmaterials auf das charakteristische Spektrum.

7 BE

1.4

Zeige unter Vernachlässigung der Geschwindigkeit der Elektronen beim Austreten aus der Kathode, dass sich die kurzwellige Grenze des Röntgenspektrums mit der Formel

$Formula: \lambda_{\mathrm{g}}=\frac{h \cdot c}{e \cdot U_{\mathrm{A}}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{g}}=\frac{h \cdot c}{e \cdot U_{\mathrm{A}}}$ berechnen lässt.

Erläutere anhand dieser Formel den Einfluss der Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{A}}$ $Formula: U_{\mathrm{A}}$ auf die kurzwellige Grenze.

6 BE

1.5

Für eine Anwendung der Röntgenfluoreszenzanalyse wird eine primäre Röntgenstrahlung benötigt, deren kurzwellige Grenze höchstens $Formula: 25 \; \text{pm}$ $Formula: 25 \; \text{pm}$ beträgt.

Berechne die dazu mindestens notwendige Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{A}}.$ $Formula: U_{\mathrm{A}}.$

3 BE

1.6

Die Heizspannung wird bei gleicher Beschleunigungsspannung erhöht und ein Röntgenspektrum aufgezeichnet.

Vergleiche unter Vernachlässigung der Geschwindigkeit der Elektronen beim Austreten aus der Kathode die Röntgenspektren bei niedrigerer und höherer Heizspannung.

Beurteile, ob in diesem Fall eine kurzwelligere Röntgenstrahlung erzeugt werden kann.

6 BE

Mithilfe der Röntgenfluoreszenzanalyse soll geklärt werden, ob Metallspuren an einer vorgeschichtlichen Statue Eisen oder Bronze enthalten. Bronze ist eine Legierung aus Kupfer und Zinn. Dabei soll angenommen werden, dass die primäre Röntgenstrahlung Elektronen aus der K-Schale löst. In Material 2 sind für die Elemente Eisen und Kupfer vereinfachte Termschemata dargestellt.

Bestimme für die Elemente Eisen und Kupfer mithilfe der in Material 2 angegebenen Energieniveaus jeweils die Energien sowie die Wellenlängen der $Formula: \text{K}_\alpha$ $Formula: \text{K}_\alpha$ -Linie und der $Formula: \text{K}_\beta$ $Formula: \text{K}_\beta$ -Linie.

Entscheide und begründe mithilfe des in Material 3 dargestellten Spektrums der sekundären Strahlung, welche der beiden Metalle in den Metallspuren nachgewiesen werden können.

8 BE

Wird nach einer Ionisation durch die primäre Röntgenstrahlung der auf der K-Schale entstandene freie Zustand durch ein Elektron einer äußeren Schale besetzt, kann die Energiedifferenz nicht nur in Form von Röntgenstrahlung aus dem Atom abgegeben werden. Stattdessen kann die Energie auf ein anderes Hüllenelektron übertragen werden, das dann mit einer charakteristischen kinetischen Energie das Atom verlässt. Pierre Auger beobachtete als einer der Ersten dieses Phänomen. Daher heißen die Elektronen, die das Atom verlassen, Auger-Elektronen.

In Material 4 ist ein Vorgang zur Emission eines Auger-Elektrons anhand eines vereinfachten Termschemas dargestellt und in drei Schritten beschrieben.

Begründe, dass das Auger-Elektron in dem beschriebenen Vorgang eine kinetische Energie $Formula: E_{\mathrm{kin}}=7964,35 \; \mathrm{eV}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}}=7964,35 \; \mathrm{eV}$ besitzt.

Berechne mit einer nichtrelativistischen Rechnung die Geschwindigkeit des Elektrons.

Zeige, dass die so berechnete Geschwindigkeit mehr als $Formula: 10 \%$ $Formula: 10 \%$ der Lichtgeschwindigkeit beträgt.

8 BE

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Material 1: Koordinatensystem

Leeres Koordinatensystem mit y-Achse "Intensität" und x-Achse "Wellenlänge λ".

Material 2: Vereinfachte Termschemata für

a) Eisen	b) Kupfer

a) Eisen

Diagramm der Bindungsenergie in eV mit Ionisationsgrenze und Energieniveaus K, L und M.

b) Kupfer

Hinweis: Die Termschemata sind nicht maßstäblich dargestellt. Die Doppellinien können jeweils als ein Energieniveau aufgefasst werden.

Material 3: Idealisierter Auszug einer Röntgenfluoreszenzanalyse-Messkurve der Metallspuren der Statue

Bei der Intensität wurde auf die Angabe einer Einheit verzichtet.

Material 4: Emission eines Auger-Elektrons

a) Schematische Darstellung

b) Drei Schritte zur Emission des Auger-Elektrons

$Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$	Ionisation des Atoms durch ein von außen kommendes Röntgenphoton, das ein Elektron aus der K-Schale löst
$Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$	Besetzung des freien Zustands in der K-Schale durch ein Elektron der L-Schale unter Abgabe von Energie
$Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$	Aufnahme der Energie durch ein Elektron der M-Schale, das das Atom als Auger-Elektron verlässt

a) Schematische Darstellung

b) Drei Schritte zur Emission des Auger-Elektrons

$Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$	Ionisation des Atoms durch ein von außen kommendes Röntgenphoton, das ein Elektron aus der K-Schale löst
$Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$	Besetzung des freien Zustands in der K-Schale durch ein Elektron der L-Schale unter Abgabe von Energie
$Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$	Aufnahme der Energie durch ein Elektron der M-Schale, das das Atom als Auger-Elektron verlässt

Idealisierte Darstellung der Vorgänge zur Emission eines Auger-Elektrons in einem vereinfachten Termschema für Kupfer. Die Doppellinien können jeweils als ein Energieniveau aufgefasst werden.

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1.1

Skizze mit Beschriftung einer Röntgenröhre

Evakuierter Glaskolben mit Anode, Glühkathode und Spannungsanschlüssen (UA, UHeiz)

Beschreiben der Funktionen der angelegten Spannungen

Die angelegte Heizspannung $Formula: U_{\mathrm{Heiz}}$ $Formula: U_{\mathrm{Heiz}}$ bewirkt einen Stromfluss, der die Glühkathode erhitzt, sodass Elektronen aus der Glühkathode austreten. Die Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{A}}$ $Formula: U_{\mathrm{A}}$ beschleunigt diese Elektronen in Richtung der Anode.

1.2

Diagramm: Intensität über Wellenlänge mit kontinuierlichem Spektrum und zwei charakteristischen scharfen Linien.

1.3

Erläutern der Entstehung

Kontinuierliches Spektrum: Treffen schnelle Elektronen auf die Anode, werden sie durch die Wechselwirkung mit dem Anodenmaterial abgebremst. Es findet eine Umwandlung ihrer kinetischen Energie in andere Energieformen statt. Wird die kinetische Energie in elektromagnetische Strahlung umgewandelt, entsteht das kontinuierliche Spektrum. Wird die kinetische Energie vollständig in elektromagnetische Strahlung umgewandelt, besitzen die Photonen die maximal mögliche Energie mit der minimalen Wellenlänge $Formula: \lambda_\text{g}.$ $Formula: \lambda_\text{g}.$ Wird nur ein Teil der kinetischen Energie in elektromagnetische Strahlung umgewandelt, besitzt diese eine größere Wellenlänge, sodass das kontinuierliche Spektrum aus elektromagnetischer Strahlung mit $Formula: \lambda>\lambda_{\mathrm{g}}$ $Formula: \lambda>\lambda_{\mathrm{g}}$ besteht.

Charakteristisches Spektrum: In die Anode eindringende Elektronen lösen aus den Atomen des Anodenmaterials Elektronen aus niedrigen Energieniveaus heraus. Die freigewordenen Zustände werden von Elektronen aus höheren Energieniveaus besetzt. Dabei entstehen Photonen mit bestimmten charakteristischen Wellenlängen, da bei dem Wechsel zwischen den Energieniveaus nur bestimmte Energiebeträge abgegeben werden.

Erläutern des Einflusses des Anodenmaterials

Wird ein anderes Anodenmaterial verwendet, verändern sich die Wellenlängen des charakteristischen Spektrums, da jedes Anodenmaterial ein anderes Energieniveauschema besitzt.

1.4

Zeigen der angegebenen Formel

Bei der Grenzwellenlänge $Formula: \lambda_\text{g}$ $Formula: \lambda_\text{g}$ geht die gesamte elektrische Energie $Formula: E_{\mathrm{el}}$ $Formula: E_{\mathrm{el}}$ in die Energie eines Photons $Formula: E_{\mathrm{ph}}$ $Formula: E_{\mathrm{ph}}$ über, es gilt also $Formula: E_{\mathrm{el}}=E_{\mathrm{ph}} ,$ $Formula: E_{\mathrm{el}}=E_{\mathrm{ph}} ,$ daraus folgt:

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{el}} & = & E_{\mathrm{Ph}} \\[5pt] e \cdot U_{\mathrm{A}} & = & h \cdot f_{\mathrm{g}} \\[5pt] e \cdot U_{\mathrm{A}} & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda_{\mathrm{g}}} \\[5pt] \Rightarrow \lambda_{\mathrm{g}} & = & \dfrac{h \cdot c}{e \cdot U_{\mathrm{A}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{el}} & = & E_{\mathrm{Ph}} \\[5pt] e \cdot U_{\mathrm{A}} & = & h \cdot f_{\mathrm{g}} \\[5pt] e \cdot U_{\mathrm{A}} & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda_{\mathrm{g}}} \\[5pt] \Rightarrow \lambda_{\mathrm{g}} & = & \dfrac{h \cdot c}{e \cdot U_{\mathrm{A}}} \end{array}$

Erläutern des Einflusses der Beschleunigungsspannung

In der hergeleiteten Formel steht $Formula: U_{\mathrm{A}}$ $Formula: U_{\mathrm{A}}$ im Nenner, somit verschiebt sich die Grenzwellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{g}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{g}}$ mit steigender Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{A}}$ $Formula: U_{\mathrm{A}}$ zu kleineren Werten.

1.5

Die Formel aus Aufgabe 1.4 lässt sich nach $Formula: U_{\mathrm{A}}$ $Formula: U_{\mathrm{A}}$ auflösen, dort lassen sich dann die gegebenen Werte einsetzen:

$Formula: \begin{array}{rll} U_{\mathrm{A}} & = & \dfrac{h \cdot c}{e \cdot \lambda_{\mathrm{g}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h \cdot c}{e \cdot 25 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}} \\[5pt] & = & 50 \cdot 10^3 \; \mathrm{V} = 50 \; \mathrm{kV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} U_{\mathrm{A}} & = & \dfrac{h \cdot c}{e \cdot \lambda_{\mathrm{g}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h \cdot c}{e \cdot 25 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}} \\[5pt] & = & 50 \cdot 10^3 \; \mathrm{V} = 50 \; \mathrm{kV} \end{array}$

Somit muss die Beschleunigungsspannung mindestens $Formula: U_{\mathrm{A}}=50 \; \mathrm{kV}$ $Formula: U_{\mathrm{A}}=50 \; \mathrm{kV}$ betragen, um den geforderten Wellenlängenbereich einzuhalten.

1.6

Vergleichen der Röntgenspektren

Wird die Röhre mit einer höheren Heizspannung betrieben, ist im Vergleich zu einem Spektrum bei niedrigerer Heizspannung eine höhere Intensität der nachgewiesenen Röntgenstrahlung zu erwarten, wobei die Grenzwellenlänge sowie die Lage der Maxima der charakteristischen Strahlung unverändert bleiben.

Erzeugen einer kurzwelligeren Röntgenstrahlung

Beim Betrieb einer Röntgenröhre mit einer höheren Heizspannung, bei der die Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{A}}$ $Formula: U_{\mathrm{A}}$ aber gleich bleibt, erhöht sich die Energie der einzelnen Elektronen auch nicht. Somit kann keine kurzwelligere (energiereichere) Röntgenstrahlung erzeugt werden.

Bestimmen der Wellenlängen

Die Wellenlänge berechnet sich mit $Formula: \lambda=\tfrac{h \cdot c}{E},$ $Formula: \lambda=\tfrac{h \cdot c}{E},$ wobei Formula: E die Energiedifferenz der beiden beteiligten Energieniveaus ist.

Mit den Werten aus Material 2 ergeben sich somit für Eisen folgende Werte:

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{K}_{\alpha}} & = & E_{\mathrm{L}} - E_{\mathrm{K}} \\[5pt] & = & -714,6 \; \mathrm{eV} - (-7112,0 \; \mathrm{eV}) \\[5pt] & = & 6397,4 \; \mathrm{eV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{K}_{\alpha}} & = & E_{\mathrm{L}} - E_{\mathrm{K}} \\[5pt] & = & -714,6 \; \mathrm{eV} - (-7112,0 \; \mathrm{eV}) \\[5pt] & = & 6397,4 \; \mathrm{eV} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{K}_{\beta}} & = & E_{\mathrm{M}} - E_{\mathrm{K}} \\[5pt] & = & -54,0 \; \mathrm{eV} - (-7112,0 \; \mathrm{eV}) \\[5pt] & = & 7058,0 \; \mathrm{eV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{K}_{\beta}} & = & E_{\mathrm{M}} - E_{\mathrm{K}} \\[5pt] & = & -54,0 \; \mathrm{eV} - (-7112,0 \; \mathrm{eV}) \\[5pt] & = & 7058,0 \; \mathrm{eV} \end{array}$

Daraus folgt für die Wellenlängen bei Eisen:

$Formula: \begin{array}{rll} \lambda_{K_{\alpha}} & = & \dfrac{h \cdot c}{E_{\mathrm{K}_{\alpha}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h \cdot c}{6397,4 \; \mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 1,94 \cdot 10^{-10} \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \lambda_{K_{\alpha}} & = & \dfrac{h \cdot c}{E_{\mathrm{K}_{\alpha}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h \cdot c}{6397,4 \; \mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 1,94 \cdot 10^{-10} \; \mathrm{m} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rll} \lambda_{K_{\beta}} & = & \dfrac{h \cdot c}{E_{\mathrm{K}_{\beta}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h \cdot c}{7058,0 \; \mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 1,76 \cdot 10^{-10} \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \lambda_{K_{\beta}} & = & \dfrac{h \cdot c}{E_{\mathrm{K}_{\beta}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h \cdot c}{7058,0 \; \mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 1,76 \cdot 10^{-10} \; \mathrm{m} \end{array}$

Mit den Werten für Kupfer aus Material 2 ergeben sich für Kupfer folgende Werte:

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{K}_{\alpha}} & = & E_{\mathrm{L}} - E_{\mathrm{K}} \\[5pt] & = & -941,05 \; \mathrm{eV} - (-8979,0 \; \mathrm{eV}) \\[5pt] & = & 8037,95 \; \mathrm{eV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{K}_{\alpha}} & = & E_{\mathrm{L}} - E_{\mathrm{K}} \\[5pt] & = & -941,05 \; \mathrm{eV} - (-8979,0 \; \mathrm{eV}) \\[5pt] & = & 8037,95 \; \mathrm{eV} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{K}_{\beta}} & = & E_{\mathrm{M}} - E_{\mathrm{K}} \\[5pt] & = & -73,6 \; \mathrm{eV} + 8979,0 \; \mathrm{eV} \\[5pt] & = & 8905,4 \; \mathrm{eV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{K}_{\beta}} & = & E_{\mathrm{M}} - E_{\mathrm{K}} \\[5pt] & = & -73,6 \; \mathrm{eV} + 8979,0 \; \mathrm{eV} \\[5pt] & = & 8905,4 \; \mathrm{eV} \end{array}$

Daraus folgt für die Wellenlängen bei Kupfer:

$Formula: \begin{array}{rll} \lambda_{K_{\alpha}} & = & \dfrac{h \cdot c}{E_{\mathrm{K}_{\alpha}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h \cdot c}{8037,95 \; \mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 1,54 \cdot 10^{-10} \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \lambda_{K_{\alpha}} & = & \dfrac{h \cdot c}{E_{\mathrm{K}_{\alpha}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h \cdot c}{8037,95 \; \mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 1,54 \cdot 10^{-10} \; \mathrm{m} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rll} \lambda_{K_{\beta}} & = & \dfrac{h \cdot c}{E_{\mathrm{K}_{\beta}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h \cdot c}{8905,4 \; \mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 1,39 \cdot 10^{-10} \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \lambda_{K_{\beta}} & = & \dfrac{h \cdot c}{E_{\mathrm{K}_{\beta}}} \\[5pt] & = & \dfrac{h \cdot c}{8905,4 \; \mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 1,39 \cdot 10^{-10} \; \mathrm{m} \end{array}$

Nachweisen eines Metalls in den Metallspuren

Die Maxima im vorliegenden Diagramm aus Material 3 liegen bei etwa $Formula: 1,74 \cdot 10^{-10} \;\mathrm{m}$ $Formula: 1,74 \cdot 10^{-10} \;\mathrm{m}$ und $Formula: 1,93 \cdot 10^{-10} \;\mathrm{m}.$ $Formula: 1,93 \cdot 10^{-10} \;\mathrm{m}.$ Es fällt auf, dass dies den Wellenlängen der $Formula: \text{K}_\alpha$ $Formula: \text{K}_\alpha$ -Linie und der $Formula: \text{K}_\beta$ $Formula: \text{K}_\beta$ -Linie von Eisen entspricht, das lässt darauf schließen, dass in den Metallspuren Eisen enthalten ist. Da sich bei den Wellenlängen der $Formula: \text{K}_\alpha$ $Formula: \text{K}_\alpha$ -Linie und der $Formula: \text{K}_\beta$ $Formula: \text{K}_\beta$ -Linie von Kupfer im Diagramm aus Material 3 keine Maxima erkennen lassen, kann Kupfer nicht nachgewiesen werden.

Begründen der kinetischen Energie

Ein Elektron der M-Schale nimmt die Energie des $Formula: \text{K}_\alpha$ $Formula: \text{K}_\alpha$ -Übergangs gemäß Material 4 auf und verlässt durch diese aufgenommene Energie das Atom als Auger-Elektron. Die kinetische Energie $Formula: E_{\mathrm{kin}}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}}$ nach dem Verlassen des Atoms ist somit die Differenz aus der Energie des $Formula: \text{K}_\alpha$ $Formula: \text{K}_\alpha$ -Übergangs und der Ionisierungsenergie der M-Schale:

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{kin}} & = & E_{\mathrm{K}_{\alpha}} + E_{\mathrm{M}} \\[5pt] & = & E_{\mathrm{L}} - E_{\mathrm{K}} + E_{\mathrm{M}} \\[5pt] & = & -941,05 \; \mathrm{eV} + 8979,0 \; \mathrm{eV} - 73,6 \; \mathrm{eV} \\[5pt] & = & 7964,35 \; \mathrm{eV} \\[5pt] & = & 1,28 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{kin}} & = & E_{\mathrm{K}_{\alpha}} + E_{\mathrm{M}} \\[5pt] & = & E_{\mathrm{L}} - E_{\mathrm{K}} + E_{\mathrm{M}} \\[5pt] & = & -941,05 \; \mathrm{eV} + 8979,0 \; \mathrm{eV} - 73,6 \; \mathrm{eV} \\[5pt] & = & 7964,35 \; \mathrm{eV} \\[5pt] & = & 1,28 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J} \end{array}$

Berechnen der Geschwindigkeit des Elektrons

Die nicht-relativistische Formel für die kinetische Energie $Formula: E_{\mathrm{kin}}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}}$ kann nach der Geschwindigkeit Formula: v aufgelöst werden:

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{kin}} & = & \dfrac{1}{2} m_{\mathrm{e}} \cdot v^2 \\[5pt] v & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot E_{\mathrm{kin}}}{m_{\mathrm{e}}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{kin}} & = & \dfrac{1}{2} m_{\mathrm{e}} \cdot v^2 \\[5pt] v & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot E_{\mathrm{kin}}}{m_{\mathrm{e}}}} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: \begin{array}{rll} v & = &\sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,28 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}}{m_{\mathrm{e}}}} \\[5pt] & = & 5,29 \cdot 10^7 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} v & = &\sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,28 \cdot 10^{-15} \; \mathrm{J}}{m_{\mathrm{e}}}} \\[5pt] & = & 5,29 \cdot 10^7 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}$

Vergleich mit der Lichtgeschwindigkeit

Der relative Anteil der berechneten Geschwindigkeit Formula: v von der Lichtgeschwindigkeit Formula: c beträgt:

$Formula: \frac{v}{c} = \frac{5,29 \cdot 10^7 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{c} \approx 0,18$ $Formula: \frac{v}{c} = \frac{5,29 \cdot 10^7 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{c} \approx 0,18$

Die berechnete Geschwindigkeit Formula: v beträgt also etwa $Formula: 18\%$ $Formula: 18\%$ der Lichtgeschwindigkeit Formula: c und liegt somit deutlich über den $Formula: 10\%.$ $Formula: 10\%.$

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