Vorschlag B1

Bestimmung der spezifischen Ladung im Fadenstrahlrohr

Um die Bewegung von Elektronen im homogenen Magnetfeld zu untersuchen, kann ein Fadenstrahlrohr genutzt werden, das im Inneren eines Helmholtz-Spulenpaares platziert wird. Das Fadenstrahlrohr ist mit einem Leuchtgas bei geringem Druck gefüllt, um die Flugbahn der Elektronen beobachtbar zu machen. Wenn durch das Helmholtz-Spulenpaar ein elektrischer Strom fließt, wird im Fadenstrahlrohr ein homogenes Magnetfeld erzeugt, das senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen gerichtet ist.

Im Inneren des Fadenstrahlrohrs befindet sich eine Elektronenkanone, mit der ein Elektronenstrahl erzeugt wird (Material 1).

Material 1

Elektronenkanone im Fadenstrahlrohr

Quelle: https://virtuelle-experimente.de/kanone/uebungen/uebung.php

1.1

Beschrifte die beiden mit Pfeilen markierten Bauteile der Elektronenkanone und die Beschleunigungsspannung mit der Polung in Material 1. Erläutere die Funktion der einzelnen Bauteile außer der Funktion des Wehneltzylinders.

(5 BE)

1.2

Die Elektronen treten aus der Glühkathode mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit aus.
Zeige, dass die Elektronen nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsspannung $U_{ \text B }$ die Elektronenkanone mit der Geschwindigkeit $v=\sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{ \text B }}{m_{ e }}}$ verlassen.

(3 BE)

1.3

Berechne die Beschleunigungsspannung $U_{ \text B }$ für den Fall, dass die Elektronen mit der Geschwindigkeit $v=9,38 \cdot 10^6 \dfrac{ \text m }{ \text s }$ aus der Elektronenkanone austreten.

(3 BE)

Im Folgenden wird jeweils die Bahn der Elektronen für verschiedene Werte der Stromstärke im Helmholtz-Spulenpaar untersucht. Material 2 zeigt die Kreisbahn von Elektronen bei einem bestimmten Spulenstrom. Wenn durch die Helmholtz-Spulen kein Strom fließt, verläuft der Elektronenstrahl nach dem Austritt aus der Elektronenkanone horizontal nach rechts. Wenn ein Strom fließt, ist die Stromrichtung so gewählt, dass die Elektronen beim Austritt aus der Elektronenkanone nach oben abgelenkt werden. Die Beschleunigungsspannung, die die Elektronen durchlaufen, beträgt dabei immer konstant $U_{\text B }=250\,\text V.$

Material 2

Fadenstrahlrohr mit Kreisbahn der Elektronen

Quelle: https://virtuelle-experimente.de/b-feld/e-m-bestimmung/edurchm.php

2.1

Erläutere die Veränderung der Elektronenbahn, wenn der Spulenstrom ausgehend von $I=0 \,\text A$ kontinuierlich erhöht wird.

(3 BE)

2.2

Zeichne in einem beliebig gewählten Punkt der Elektronenbahn in Material 2 die Richtung der Lorentzkraft auf ein Elektron und die Richtung der Elektronengeschwindigkeit ein.
Gib die Richtung der magnetischen Flussdichte bzw. Feldstärke $B$ im Fadenstrahlrohr an.
Gib mithilfe des in Material 2 angegebenen Maßstabs den Radius der Kreisbahn an und berechne den Betrag der Lorentzkraft, die auf ein Elektron wirkt.

(7 BE)

Im Folgenden wird die spezifische Ladung von Elektronen $\dfrac{e}{m_{ e }}$ experimentell bestimmt.

3.1

Leite die Formel $\dfrac{e}{m_{ e }}=\dfrac{2 \cdot U_{\text B }}{ B^2 \cdot r^2}$ für die spezifische Ladung von Elektronen her.

(5 BE)

3.2

Um den Wert der spezifischen Ladung zu bestimmen, wurde die in Material 3 dargestellte Messreihe aufgenommen.
Bestimme unter Verwendung aller Messwerte einen Mittelwert für die spezifische Ladung von Elektronen in wissenschaftlicher Schreibweise auf drei Nachkommastellen und die prozentuale Abweichung des Mittelwertes vom Literaturwert $\dfrac{e}{m_e}=1,759 \cdot 10^{11} \dfrac{ \text C }{ \text{kg} }.$

Material 3

Messreihe zur Bestimmung der spezifischen Ladung von Elektronen

Die Beschleunigungsspannung beträgt immer $U_{ \text B }=250 \,\text V.$

$\color{#f0f0f0}{B}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{mT}}$	$\color{#f0f0f0}{r}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{cm}}$	$\color{#f0f0f0}{\dfrac{e}{m_{ e }}}$ in $\color{#f0f0f0}{10^{11} \dfrac{ \text C }{ \text{kg} }}$
1,1	4,7
1,3	4,1
1,5	3,6
1,7	3,2
1,9	2,8

(8 BE)

In den folgenden Aufgaben werden Auswirkungen von Veränderungen im experimentellen Aufbau betrachtet. Die jeweils nicht erwähnten Größen bleiben konstant.

4.1

Beurteile die folgenden Aussagen:

(1)

Vervierfacht man die Beschleunigungsspannung, so verdoppelt sich der Radius der Elektronenbahn.

(2)

Erhöht man die magnetische Flussdichte, so vergrößert sich der Radius der Elektronenbahn.

(3)

Verringert man die Stromstärke in den Helmholtz-Spulen, so benötigt man eine höhere Beschleunigungsspannung, um den Radius der Elektronenbahn konstant zu halten.

(6 BE)

4.2

Nun soll ein zum Fadenstrahlrohr analoger experimenteller Aufbau für Protonen betrachtet werden. Die Glühkathode wird durch eine Protonenquelle ersetzt, aus der die Protonen ohne Anfangsgeschwindigkeit austreten. Die austretenden Protonen sollen dann durch eine Spannung zu einer Kathode, in deren Mitte sich ein Loch befindet, hin beschleunigt werden. Hierbei sollen die Protonen auf die gleiche Geschwindigkeit $v=9,38 \cdot 10^6 \dfrac{ \text m }{ \text s }$ wie die Elektronen in Aufgabe 1.3 beschleunigt werden. Nach der Beschleunigungsstrecke treten die Protonen in ein homogenes Magnetfeld ein.

4.2.1

Erläutere, wie die Beschleunigungsspannung gegenüber dem in den Aufgaben 1 bis 3 betrachteten Experiment mit Elektronen verändert werden muss. Berechne den Betrag der notwendigen Beschleunigungsspannung $U_{ \text B }.$

(5 BE)

4.2.2

Der Radius der Protonenbahn soll $r=6\,\text{cm}$ betragen.
Berechne den Betrag der magnetischen Flussdichte zum Erreichen dieses Radius.
Beurteile die Möglichkeit einer technischen Umsetzung unter Verwendung von Material 4.

Material 4

Magnetische Flussdichten in Natur und Technik

Magnetische Flussdichte	Beispiel
$50 \,\mu \text T$	Erdmagnetfeld in Deutschland
$0,1\,\text T$	handelsüblicher Permanentmagnet
$1,0\,\text T$ bis $1,6\,\text T$	NdFeB-Magnet (auch Supermagnet genannter Permanentmagnet)
$0,35\,\text T$ bis $3,0\,\text T$	Kernspintomograf
bis zu $8,6\,\text T$	supraleitende Spulen der Dipolmagnete des Large Hadron Collider am CERN
$12\,\text T$ bis $20\,\text T$	supraleitende Spulen in Kernfusions-Forschungsreaktoren

(5 BE)

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1.1

Funktionsweise der Glühkathode

Mittels Heizspannung wird die Glühkathode erhitzt und emmitiert Elektronen. Es entsteht eine Elektronenwolke.

Funktionsweise der Anode

Die Beschleunigungsspannung erzeugt ein elektrisches Feld zwischen Glühkathode und Anode, in welchem die Elektronen beschleunigt werden. Aufgrund der Polung der Beschleunigungsspannung ist die Anode positiv geladen, weswegen sich die Elektronen in Richtung Anode bewegen.

1.2

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{el}}&=& E_{\text{kin}}&\quad \scriptsize \\[5pt] U_B\cdot e&=& \dfrac{1}{2}\cdot m_e\cdot v^2&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{2}{m_e}\\[5pt] \dfrac{U_B\cdot e\cdot 2}{m_e}&=& v^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] \sqrt{\dfrac{U_B\cdot e\cdot 2}{m_e}}&=& v &\quad \scriptsize \\[5pt] v&=& \sqrt{\dfrac{U_B\cdot e\cdot 2}{m_e}} \end{array}$

1.3

Gegeben: $v= 9,38 \cdot 10^6 \;\dfrac{\text{m}}{\text{s}},$ $e,m_e$

Gesucht: $U_B$

Lösung: Formel für die Geschwindigkeit aus der Aufgabenstellung 1.2 nach der Beschleunigungsspannung $U_B$ umstellen und Werte einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} v&=& \sqrt{\dfrac{U_B\cdot e\cdot 2}{m_e}}&\quad \scriptsize \mid\;\left(\;\right)^2 \\[5pt] v^2&=& \dfrac{U_B\cdot e\cdot 2}{m_e}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot m_e \\[5pt] v^2\cdot m_e&=& U_B\cdot e\cdot 2&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{2\cdot e} \\[5pt] \dfrac{ m_e\cdot v^2}{2\cdot e} &=& U_B &\quad \scriptsize \\[5pt] U_B &=& \dfrac{ m_e\cdot v^2}{2\cdot e} \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$U_B =250,14 \;\text{V}$

2.1

Wenn der Spulenstrom im Helmholtz-Spulenpaar von $I = 0 \,\text{A}$ erhöht wird, entsteht ein homogenes Magnetfeld senkrecht zur Elektronenbewegung. Da die Elektronen negativ geladen sind, erfahren sie eine seitliche Kraft aufgrund der Lorentzkraft, die sie in eine Kreisbahn ablenkt. So ändert sich ihre Bahn von einer horizontalen Bewegung zu einer vertikalen Kreisbahn.

2.2

Die Richtung der magnetischen Flussdichte $B$ im Fadenstrahlrohr verläuft senkrecht zur Ebene des Fadenstrahlrohrs und des Elektronenstrahls. Gemäß der linken-Hand-Regel zeigt die magnetische Flussdichte in den Bildschirm hinein. Dabei steht der Daumen für die Geschwindigkeit, der Zeigefinger repräsentiert die magnetische Flussdichte, und der Mittelfinger entspricht der Lorentzkraft.

3.1

$\begin{array}[t]{rll} F_z&=& F_L &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{m_e\cdot v^2}{r}&=& e\cdot v\cdot B &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{r}{v\cdot m_e} \\[5pt] v&=& \dfrac{e\cdot B \cdot r}{m_e} \end{array}$

Es gilt außerdem:

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{e}{m_e}= \dfrac{U_B\cdot 2}{ B^2\cdot r^2}$

3.2

Vorüberlegung

Für die Einheiten gilt:

Rechenweg anzeigen

$\left[\dfrac{\text{V}}{\left(\text{cm}\right)^2\cdot \left(\text{mT}\right)^2} \right] =10^{10}\cdot \left[ \dfrac{\text{C}}{\text{kg}} \right]$

Berechnung der spezifische Ladungen $\dfrac{e}{m_e}$

Für die erste Spalte ergibt sich damit:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{e}{m_e}&=& \dfrac{U_B\cdot 2}{ B^2\cdot r^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{250 \cdot 2}{ 1,1^2\cdot 4,7^2} \cdot 10^{10}\;\dfrac{\text{C}}{\text{kg}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 18,7 \cdot 10^{10}\;\dfrac{\text{C}}{\text{kg}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,87 \cdot 10^{11}\;\dfrac{\text{C}}{\text{kg}} \end{array}$

$\color{#f0f0f0}{B}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{mT}}$	$\color{#f0f0f0}{r}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{cm}}$	$\color{#f0f0f0}{\dfrac{e}{m_{ e }}}$ in $\color{#f0f0f0}{10^{11} \dfrac{ \text C }{ \text{kg} }}$
1,1	4,7	1,871
1,3	4,1	1,760
1,5	3,6	1,715
1,7	3,2	1,690
1,9	2,8	1,767

Mittelwert der spezifische Ladungen

Für den Mittelwert für die spezifische Ladung von Elektronen gilt:

Rechenweg anzeigen

$\overline{\dfrac{e}{\text{m}_e}}=1,761 \cdot 10^{11}\;\dfrac{\text{C}}{\text{kg}}$

prozentuale Abweichung des Mittelwerts

Für die prozentuale Abweichung des Mittelwerts von dem Literaturwert ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$\text{Prozentuale Abweichung (%)}=0,1 \;\%$

4.1

Beurteilung Aussage (1)

Für die Aussage (1) ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{e}{m_e}&=& \dfrac{2\cdot 2U_B}{ B^2\cdot \left(2r\right)^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot 2\cdot U_B}{ B^2\cdot 4 \cdot r^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2\cdot U_B}{ B^2\cdot r^2} \end{array}$

Die Aussage (1) ist folglich nicht korrekt, da die spezifische Ladung des Elektrons sich sonst halbieren würde, anstatt konstant zu bleiben.

Beispielsweise eine verdopplung der magnetische Flussdichte ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{e}{m_e}&=& \dfrac{2\cdot U_B}{ \left(2B\right)^2\cdot r^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot U_B}{ 4\cdot B^2\cdot r^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2\cdot U_B}{ B^2\cdot r^2} \end{array}$

Beurteilung Aussage (2)

Die Aussage (2) ist nicht korrekt, da sich der Radius um den gleichen Wert verkleinern muss, um den sich die magnetische Flussdichte erhöht, damit die anderen Werte konstant bleiben.

Beispielsweise eine Halbierung der magnetischen Flussdichte ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{e}{m_e}&=& \dfrac{2\cdot U_B}{ \left(\dfrac{B}{2}\right)^2\cdot r^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot 4U_B}{ B^2\cdot r^2} \end{array}$

Beurteilung Aussage (3)

Die Aussage (3) ist korrekt. Wenn die Stromstärke in den Helmholtz-Spulen verringert wird, was zu einer Verringerung der magnetischen Flussdichte $B$ führt, muss die Beschleunigungsspannung $U_B$ um den quadratischen Wert erhöht werden, um den Radius $r$ der Elektronenbahn konstant zu halten.

4.2

Da Protonen positive Ladungsträger sind und Elektronen negativ geladen sind, benötigen Protonen eine höhere Spannung, um die gleiche Geschwindigkeit wie Elektronen zu erreichen. Dies liegt daran, dass die Polarität der Ladung die Richtung der Beschleunigung beeinflusst. Positive Ladungen werden in Richtung des elektrischen Feldes beschleunigt, während negative Ladungen in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt werden. Daher muss die Beschleunigungsspannung für Protonen höher sein, um sie auf die gleiche Geschwindigkeit zu bringen wie Elektronen.

Für die Beschleunigungsspannung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{el}}&=& E_{\text{kin}}&\quad \scriptsize \\[5pt] U_B\cdot e&=& \dfrac{1}{2}\cdot m_p\cdot v^2&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{e}\\[5pt] U_B&=&\dfrac{ m_p\cdot v^2}{2\cdot e} \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$U_B= 4,59 \cdot 10^5 \;\text{V}$

4.3

Gegeben: $U_B=4,59 \cdot 10^5 \;\text{V};$ $m_p=1,673 \cdot 10^{−27} \;\text{kg};$ $e=1,602 \cdot 10^{−19} \text{C};$ $r=6 \;\text{cm}=6 \cdot 10^{-2}\;\text{m}$

Gesucht: $B$

Lösung: Für die magnetische Flussdichte $B$ gilt mit dem Zusammenhang aus 3.1:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{U_B\cdot 2}{ B^2\cdot r^2}&=& \dfrac{e}{m_p}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{B^2\cdot m_p}{e} \\[5pt] \dfrac{U_B\cdot 2\cdot m_p}{ e\cdot r^2}&=& B^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] \sqrt{\dfrac{U_B\cdot 2\cdot m_p}{ e\cdot r^2}}&=& B \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$B =1,63 \;\text{T}$

Da Kernspintomografen magnetische Flussdichten von bis zu $3,0 \, \text{T}$ und supraleitende Spulen des Large Hadron Collider am CERN magnetische Flussdichten von bis zu $8,6 \, \text{T}$ verwenden, gibt es technische Möglichkeiten zur Erzeugung einer magnetischen Flussdichte von $1,63 \, \text{T}.$ Allerdings haben sowohl der NdFeB-Magnet als auch handelsübliche Permanentmagneten eine zu geringe magnetische Flussstärke.

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