Die Schraubenfeder eines Federbeins wird mit einer Masse belastet, wodurch sie um gestaucht wird. Berechne die Federkonstante der Schraubenfeder.

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Erläutere, wie der Stoßdämpfer durch Energieumwandlung die Schwingungsenergie der Fahrzeugkarosserie „absorbiert“.

Bei einem Auto werden die Stoßdämpfer ausgebaut, sodass die vier Federbeine nur noch aus den Schraubenfedern bestehen. Damit soll das Fahrverhalten bei defekten Stoßdämpfern analysiert werden. Die auftretenden Schwingungen sollen als ungedämpft angenommen werden.

1.3.1

Eine der Schraubenfedern wird zu einer freien Schwingung angeregt. Berechne die Schwingungsdauer und die Frequenz dieser Schwingung, wenn die schwingende Masse beträgt und die Schraubenfeder die in Aufgabe 1.1 berechnete Federkonstante besitzt.

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5 BE

1.3.2

Skizziere eine volle Schwingung der Schraubenfeder in ein Diagramm, wenn als mathematischer Ansatz zur Beschreibung der Elongation der Schwingung die Funktion gewählt wird. Dabei ist die Amplitude und die Kreisfrequenz der Schwingung.

Gib qualitativ den Betrag von Geschwindigkeit und Beschleunigung zu den Zeitpunkten der maximalen Elongation und während des Durchgangs durch die Ruhelage an.

7 BE

1.3.3

Das Auto wird nun zur genauen Analyse auf einer Teststrecke gefahren. Diese verläuft geradlinig horizontal und es sind in gleichmäßigen Abständen () Bodenwellen genau rechtwinklig zur Vorwärtsbewegung des Autos eingebaut (Material 2). Das Auto wird dabei mit einer konstanten Geschwindigkeit über die Strecke gefahren. Jedes der vier Federbeine ist dabei so belastet, dass es bei einer freien Schwingung so schwingen würde, wie in Aufgabe 1.3.1 berechnet. Erkläre, warum eine kritische Geschwindigkeit existiert, die es zu vermeiden gilt, und berechne diese kritische Geschwindigkeit.

6 BE

Nenne die Bedingungen, damit ganz allgemein bei der Überlagerung zweier Wellen eine stehende Welle entstehen kann.

Berechne die Wellenlänge.

An den Punkten P und Q bildet sich jeweils ein Schwingungsbauch aus.

Skizziere die im gegebenen Fall entstehende stehende Welle in Material 3.

Die Frequenz des Sinustons der Lautsprecher soll nun verändert werden. An den Lautsprechern befinden sich Schwingungsbäuche. Bestimme eine mögliche Frequenz, sodass an den Punkten P und Q Schwingungsknoten entstehen. Erkläre kurz deine Vorgehensweise.

Beurteile folgende Aussage: „In der Theorie erzeugen die Lautsprecher an verschiedenen Orten im Fahrzeug einen Schwingungsknoten, in der Praxis hört eine Person dort aber immer noch einen leisen Ton.“

In Material 4a) ist das Diagramm eines Sinustons dargestellt.

Zeichne in das Material das Diagramm eines Tons, welchen der Lautsprecher erzeugen müsste, um den Sinuston vollständig auszulöschen.

Um eine vollständige Auslöschung durch Gegenschall zu erreichen, müssen Frequenz, Amplitude und zeitlicher Verlauf exakt auf den Ausgangston angepasst sein. In Material 4b) und 4c) sind Signalverläufe dargestellt, in welchen die Frequenz des Gegenschalls passend ist, aber

	die Amplitude des Gegenschalls für eine vollständige Auslöschung zu klein ist,
	der Gegenschall relativ zum Ausgangston zeitlich nicht genau passend verschoben ist.

Ordne diese beiden Fälle den Darstellungen in Material 4b) und 4c) zu.

Zeichne für beide Fälle das Diagramm der resultierenden Schwingung durch die Überlagerung des Ausgangstons und des Gegenschalls in das Material ein. Begründe anhand deiner Zeichnung, dass es in beiden Fällen zu einer Geräuschminderung kommt.

Um die Federkonstante der Fahrzeugfederung zu bestimmen, wird das Gleichgewicht zwischen der Gewichtskraft und der Federkraft herangezogen. Aus der Auslenkung bei einer Masse ergibt sich:

Durch Umstellen nach der Federkonstante ergibt sich:

Die Aufgabe des Stoßdämpfers besteht darin, die Schwingungsenergie der Karosserie zu minimieren. Dies geschieht, indem das Öl innerhalb des Dämpfers zwischen zwei Arbeitskammern hin- und hergepresst wird. Dabei wird die kinetische Energie der Schwingung durch die Reibung in thermische Energie (Wärme) umgewandelt, was zu einer Dämpfung der Bewegung führt.

1.3.1

Für die Berechnung der Schwingungsdauer wird die Formel für die Winkelgeschwindigkeit verwendet:

Die daraus resultierende Eigenfrequenz berechnet sich als Kehrwert der Periodendauer:

1.3.2

Skizzieren einer vollen Schwingung

Angeben von Geschwindigkeit und Beschleunigung

Zu den Zeitpunkten der maximalen Elongation (Umkehrpunkte) ist die Geschwindigkeit null, während die Rückstellkraft und somit der Betrag der Beschleunigung ihren Maximalwert erreichen.

Beim Durchgang durch die Ruhelage ist die Auslenkung null. Hier ist der Betrag der Geschwindigkeit maximal, während keine Rückstellkraft auf die Masse wirkt, wodurch die Beschleunigung null ist.

1.3.3

Erklären der kritischen Geschwindigkeit

Bei der Fahrt über die Teststrecke kommt es zu einer periodischen Anregung des Federungssystems des Wagens. Es handelt sich physikalisch betrachtet um eine erzwungene Schwingung. Die Frequenz dieser Anregung wird durch die Fahrgeschwindigkeit bestimmt. Wenn die Anregungsfrequenz mit der Eigenfrequenz der Federn übereinstimmt, tritt das Phänomen der Resonanz auf. Dies führt zu besonders hohen Amplituden, die das Fahrzeug instabil und unkontrollierbar machen können. Somit soll diese Geschwindigkeit vermieden werden.

Berechnen der kritischen Geschwindigkeit

Die Periodendauer der Federn beträgt gemäß Aufgabe 1.3.1 Somit muss das Auto alle eine Bodenwelle passieren. Daraus folgt für die kritische Geschwindigkeit

1. Die beiden Wellen müssen sich gegenläufig überlagern

2. Die Amplitude der beiden Wellen müssen gleich sein.

Berechnen der Wellenlänge

Die Wellenlänge der Schallwelle bei einer gegebenen Frequenz und einer Schallgeschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

Skizzieren der stehenden Welle in Material 3

Um die Bedingungen für die Punkte P und Q zu erfüllen, müssen sich dort je ein Schwingungsknoten befinden, während an den Lautsprechern jeweils ein Schwingungsbauch liegen muss. Da der Abstand zwischen einem Knoten und dem benachbarten Bauch beträgt, entspricht die Teilstrecke von genau einem Viertel der Wellenlänge. Zwischen den beiden Knoten P und Q liegt folglich genau ein Schwingungsbauch.

Daraus ergibt sich die neue Wellenlänge:

Die zugehörige Frequenz wird wie folgt bestimmt:

An den Schwingungsknoten der stehenden Welle ist die Amplitude null. Somit sollte an diesen Punkten theoretisch kein Ton wahrgenommen werden. In der Praxis ist die Aussage, dass überall ein Ton hörbar ist, dennoch zutreffend. Das liegt zum einen daran, dass die Lautsprecher die Schallwellen nicht nur linear in Richtung des anderen Lautsprechers aussenden, sondern den gesamten Raum füllen. Durch Reflexionen an den Innenwänden des Fahrzeugs gelangt Schall aus verschiedenen Richtungen an jeden Punkt, sodass auch an theoretischen Knotenpunkten ein (wenn auch leiserer) Ton wahrnehmbar bleibt.

Zuordnen zu den Diagrammen

Es lässt sich folgende Zuordnung treffen:

• Material 4b) entspricht dem Fall (1).

• Material 4c) entspricht dem Fall (2).

Einzeichnen in den Diagrammen

Material 4b):

Material 4c):

Begründen der Geräuschminderung

In beiden untersuchten Szenarien ist erkennbar, dass die Amplitude der resultierenden Gesamtschwingung signifikant kleiner ausfällt als die Amplitude des ursprünglichen Tons. Da die Lautstärke eines Schalls direkt von seiner Amplitude abhängt, ist der wahrgenommene Ton in beiden Fällen leiser als der Ausgangston.