Vorschlag A2

Mechanische Schwingungen und Wellen

Zur Untersuchung von Federschwingungen wird an eine unbelastete, vertikal hängende Schraubenfeder mit der Federkonstanten $D=200 \,\dfrac{ \text N }{ \text m }$ eine Gesamtmasse $\text m=1,60 \,\text{kg}$ angehängt. Die Gesamtmasse setzt sich aus zwei Massestücken mit den Massen $400 \,\text g$ und $1200 \,\text g$ zusammen. Die Gesamtmasse wird an die entspannte Feder angehängt und zum Zeitpunkt $t=0 \,s$ losgelassen, sodass sie vom oberen Umkehrpunkt der Schwingung startend nach unten harmonisch schwingt.

1.1

Gib die Größen an, von denen die Rückstellkraft der hier vorliegenden harmonischen Schwingung abhängt, sowie die jeweilige funktionale Form der Abhängigkeit. Beschreibe, was der Wert der Federkonstanten $\text D=200 \,\dfrac{ \text N }{ \text m }$ konkret bedeutet.

(3 BE)

1.2

Bestätige ausgehend von einem geeigneten Ansatz, dass die Amplitude $s_0=7,85 \,\text{cm}$ beträgt.

(4 BE)

1.3

In Material 1 sind drei $t$ - $s$ -Diagramme einer Schwingung gegeben.

Entscheide begründet, welches der Diagramme (1) - (3) die Bewegung der Masse um die Ruhelage richtig wiedergibt.

Material 1: $t$ - $s$ -Diagramme

(4 BE)

1.4

Bei der Federschwingung fällt nach Durchlaufen einer Schwingungsperiode im oberen Umkehrpunkt das $400\,\text g$ -Massestück ab.

Untersuche quantitativ, wie sich dies auf die Schwingungsdauer und die Gleichgewichtslage auswirkt.

(4 BE)

Ein Trampolin besteht aus einem Rahmen, in den mit Federn ein Sprungtuch eingehängt ist. Vereinfachend wird angenommen, dass die Bewegung des Sprungtuchs als eine harmonische Schwingung einer senkrecht stehenden Feder mit einer Federkonstanten $\text D=2900 \dfrac{ \text N }{ \text m }$ betrachtet werden kann. Eine Person der Masse $\text m=50 \,\text{kg}$ setzt sich auf das Sprungtuch, sodass es um die Strecke $s_0$ nach unten ausgelenkt wird. Vereinfachend wird die Person als Massepunkt betrachtet. Die Masse des Sprungtuchs soll vernachlässigt werden.

2.1

Die Person führt auf dem Sprungtuch Schwingungen um die Ruhelage $s_0$ mit einer Amplitude von $10 \,\text{cm}$ so aus, dass sie zu jedem Zeitpunkt mit dem Sprungtuch in Kontakt ist. Zum Zeitpunkt $t=0 \,s$ schwingt sie durch die Ruhelage $s_0$ nach oben.

Berechne jeweils den nächsten Zeitpunkt, bei dem die Person den maximalen Geschwindigkeitsbetrag $\text V_{\max }$ bzw. den maximalen Beschleunigungsbetrag $a_{\max }$ erreicht.

Berechne die beiden Beträge $v_{\max }$ und $a_{\max }.$

(6 BE)

2.2

Die Amplitude der Schwingung wird erhöht, bis die maximale Beschleunigung größer als der Ortsfaktor $g$ ist und die Person vom Sprungtuch abhebt.

Zeige, dass dann für die Amplitude $s_{\max }$ gilt: $s_{\max }>\dfrac{g \cdot \text T^2}{4 \pi^2}$

Berechne, wie groß $s_{\max }$ mindestens sein muss, damit die Person vom Sprungtuch abhebt.

(4 BE)

2.3

Die Person wird aus der Ruhelage $s_0$ um $s_{\max }=45 \;\text{cm}$ nach unten ausgelenkt und losgelassen.

Erkläre die Gleichung (1) und die Umformungsschritte zu den Gleichungen (2) und (3) im Sachzusammenhang.

Deute die Größe $x$ und berechne den Wert von $x.$

(1) $\dfrac{1}{2} \cdot \text D \cdot\left(s_0+s_{\max }\right)^2=\text m \cdot \text g \cdot h$

(2) $\dfrac{1}{2} \cdot \text D \cdot\left(\dfrac{\text m \cdot \text g}{\text D}+s_{\max }\right)^2=\text m \cdot \text g \cdot h$

(3) $h=\dfrac{\text D \cdot\left(\dfrac{\text m \cdot \text g}{\text D}+s_{\max }\right)^2}{2 \cdot \text m \cdot \text g}$

(4) $x=h-\left(s_0+s_{\max }\right)$

(8 BE)

In einem Schwimmbecken werden ebene harmonische Wellen mit der Frequenz $0,50 \,\text{Hz}$ erzeugt, die sich mit der Geschwindigkeit von $3,30 \dfrac{ \text m }{ s }$ über die Länge des Beckens von $25 \,\text m$ ausbreiten. Zum Zeitpunkt $t=0 \,s$ beginnt am Ort $x=0 \,\text m$ die Erzeugung der Wellen aus der Ruhelage heraus mit einer Bewegung nach unten. Vereinfachend soll angenommen werden, dass es sich um Transversalwellen handelt, deren Amplitude von $20\,\text{cm}$ mit der Entfernung vom Erreger konstant bleibt.

3.1

Berechne die maximale Anzahl der Wellenberge, die im Schwimmbecken gleichzeitig beobachtbar sind. Von reflektierten Wellen ist abzusehen.

(3 BE)

3.2

Material 2 zeigt ein $x$ - $y$ -Diagramm des Längsschnitts der sich ausbreitenden Welle zu einem Zeitpunkt $t_1.$

Berechne $t_1$ und die Elongation des Wellenerzeugers zu diesem Zeitpunkt.

Material 2: $x$ - $y$ -Diagramm des Längsschnitts der sich ausbreitenden Welle

(4 BE)

3.3

Ein Wasserball befindet sich in $9,9 \,\text m$ direkter Entfernung zum Wellenerzeuger.

Berechne, wann er in Bewegung gerät und zeichne seine Bewegung in den ersten 7 Sekunden nach Beginn der Bewegung des Wellenerzeugers in ein geeignetes $t$ - $y$ -Diagramm ein.

(6 BE)

3.4

Die Wellen werden am anderen Ende des Beckens mit gleicher Amplitude reflektiert.

Beurteile, ob sich dadurch stehende Wellen ausbilden können.

(4 BE)

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1.1

Es gilt:

$F _{ r }=- D \cdot s$

dabei entsprechen $F _{ r }$ der Rückstellkraft, $D$ der Federkonstanten und $s$ der Auslenkung.

Beim hier harmonisch schwingenden Federpendel ist die Rückstellkraft $F _{ r }$ proportional zur Auslenkung $s$ aus der Ruhelage; die Proportionalitätskonstante entspricht der Federkonstanten $D.$

Wird eine Masse mit einer Gewichtskraft von $200\;\text{N}$ angehängt, so wird die Feder um einen Meter gedehnt, womit $D=200 \frac{\text{N}}{\text{m}}$ folgt.

1.2

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \left| F _{ r }\right|&=& \left| F _{ G }\right| \\[5pt] D \cdot s _0&=& m \cdot g &\quad \scriptsize \mid\;:D \\[5pt] s_0&=& \dfrac{ m \cdot g }{ D } \end{array}$

Einsetzen:

$s _0=\dfrac{1,60 \;\text{kg} \cdot 9,81 \frac{ \;\text{m}}{ \;\text{s} ^2}}{200 \frac{ \;\text{N} }{ \;\text{m}}}$ $=0,0785 \;\text{m}$ $=7,85 \;\text{cm}$

1.3

Die Feder ist zu $t =0 s$ maximal ausgelenkt.

Es gilt:

$T =2 \pi \cdot \sqrt{\frac{ \;\text{m} }{ \;\text{D} }}$ $=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{1,60 \;\text{kg}}{200 \frac{ \;\text{N} }{ \;\text{m} }}}$ $=0,56 \;\text{s}$

Nur Diagramm 3 hat eine Schwingungsdauer von $0,56 \;\text{s}$ (Zeit vom oberen Umkehrpunkt bis zum nächsten oberen Umkehrpunkt).

1.4

Aus $T =2 \pi \cdot \sqrt{\frac{ \;\text{m} }{ \;\text{D} }}$ folgt:

die Auslenkung $s_0$ ist proportional zu $m.$ Je kleiner $m,$ desto höher die Ruhelage.
die Schwingungsdauer ist proportional zu $\sqrt{ m }$ ist. Wenn $m$ kleiner wird, so verringert auch die Schwingungsdauer $T.$

2.1

Aus Abbildung 1 folgt, dass die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0 \;\text{s}$ (beim Durchgang durch die Ruhelage) maximal ist und es keine Auslenkung gibt.

Oberer Umkehrpunkt: Geschwindigkeit des Pendels ist null, Auslenkung des Pendels maximal.

Beschleunigung: durch rücktreibende Kraft, Auslenkung entgegengerichtet, maximal an Umkehrpunkten

Es gilt:

$t _{ v , \max }=\dfrac{1}{2} T$ und $t _{ a , \max }=\frac{1}{4} T$

$T =2 \pi \cdot \sqrt{\frac{ \text{m} }{ \text{D} }}$ $=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{50 \;\text{kg} }{2900 \frac{ \text{N} }{ \text{m}}}}$ $=0,825 \;\text{s}$

Daraus folgt:

$t _{ v , \max }=\dfrac{1}{2} T$ $=\dfrac{1}{2} \cdot 0,825 \;\text{s}$ $=0,41 \;\text{s}$

$t _{ a , \max }=\dfrac{1}{4} T$ $=\dfrac{1}{4} \cdot 0,825 \;\text{s}$ $=0,21 \;\text{s}$

Betragsmaxima

Folgender Zusammenhang gilt:

$s ( t ) = s _{\max } \cdot \cos (\omega \cdot t)+s_0$

$v ( t )$ $=\dot{ s }( t )$ $=- s _{\max } \cdot \omega \cdot \sin (\omega \cdot t)$ $=- v _{\max } \cdot \sin (\omega \cdot t )$

$a ( t ) =\dot{ v }( t )=\ddot{ s }( t )$ $=- s _{\max } \cdot \omega^2 \cdot \sin (\omega \cdot t )$ $=- a _{\max } \cdot \cos (\omega \cdot t )$

Die Betragsmaxima ergeben sich aus den Amplituden:

$v _{\text {max }}= s _{\max } \cdot \omega \text { und } a _{\max }= s _{\max } \cdot \omega^2$

Es gilt $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ und somit:

$v _{\text {max }}$ $= v \left( t _{ v , \text { max }}\right)$ $= s _{\text {max }} \cdot \frac{2 \pi}{ T }$ $=0,10\;\text{m} \cdot \frac{2 \pi}{0,825 \;\text{s} }=0,76 \frac{\text{m} }{\text{s}}$

$a _{\max }$ $= a \left( t _{ a , \text { max }}\right)$ $= s _{\max } \cdot\left(\frac{2 \pi}{ T }\right)^2$ $=0,10 \;\text{m}\cdot\left(\frac{2 \pi}{0,825 \;\text{s}}\right)^2$ $=5,8 \frac{\text{m} }{ \;\text{s}^2}$

2.2

Es gilt:

$a_{\max }=s_{\max } \cdot \omega^2.$

Mit $\omega=\frac{2 \pi}{ T }$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} s _{\max } \cdot \frac{4 \pi^2}{ T ^2}&\gt & g \\[5pt] s _{\max }&\gt& \dfrac{ g \cdot T ^2}{4 \pi^2} \end{array}$

Einsetzen ergibt:

$s _{\max }\gt \frac{9,81 \frac{ \text{m} }{ \text{s} ^2} \cdot(0,825 \text{s})^2}{4 \pi^2}$ $=0,169 \;\text{m} =16,9\;\text{cm}$

Die Amplitude muss mindestens $17 \;\text{cm}$ betragen, dass die Person abhebt.

Alternativer Lösungsweg:

Mit $T =2 \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D} }$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} s _{\max }& \gt& \dfrac{ g \cdot T ^2}{4 \pi^2} \\[5pt] &\gt& \dfrac{ g }{4 \pi^2} \cdot\left(4 \pi^2 \cdot \dfrac{ m }{ D }\right) \\[5pt] &\gt& \dfrac{ m \cdot g }{ D } &\quad \scriptsize \mid\;\cdot D \\[5pt] s _{\max }\cdot D&\gt& m\cdot g \end{array}$

2.3

In der Ruhelage gilt: Kräftegleichgewicht zwischen der Gewichtskraft der Person und der rücktreibenden Kraft des Tuchs.

Die Person wird in der Lage $s _0+ s _{\max }$ losgelassen und bewegt sich bis zum oberen Umkehrpunkt nach oben, danach nach unten.

Im oberen Umkehrpunkt gilt:

$\begin{array}[t]{rll} E _{\text {spann }}&=& E _{\text {Lage }} \\[5pt] \dfrac{1}{2} D \cdot\left( s _0+ s _{\max }\right)^2&=& m \cdot g \cdot h \quad \scriptsize \mid\; (1) \end{array}$

Dies ist in Gleichung (1) dargestellt.

Aus dem Kräftegleichgewicht der Ruhelage folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left| F _{ r }\right|&=& \left| F _{ G }\right| \\[5pt] D \cdot s _0&=& m \cdot g &\quad \scriptsize \mid\;:D \\[5pt] s _0&=& \dfrac{m\cdot g}{D} \end{array}$

$s _0$ eingesetzt in (1) ergibt (2):

$\dfrac{1}{2} D \cdot\left( \dfrac{m\cdot g}{D}+ s _{\max }\right)^2 = m \cdot g \cdot h$

Rechenweg anzeigen

$h= \dfrac{D \cdot\left( \dfrac{m\cdot g}{D}+ s _{\max }\right)^2}{2\cdot m\cdot g} \quad \scriptsize \mid\; (3)$

Die Person bewegt sich insgesamt (inklusive der Auslenkung nach unten beim Start) um $h$ nach oben.

$x$ entspricht der Höhe über der Ruhelage.

Werte einsetzen:

$s _0=\dfrac{ m \cdot g }{ D }$ $=\dfrac{50 \;\text{kg} \cdot 9,81 \frac{ \text{m} }{\text{s}^2}}{2900 \frac{ \text{N}}{\text{m} }}=0,169 \; \text{m}$

$h =\dfrac{ D \cdot\left( s _0+ s _{\max }\right)^2}{2\cdot m \cdot g }$ $=\dfrac{2900 \frac{ \text{N} }{ \text{m} } \cdot(0,169\; \text{m} +0,45\; \text{m} )^2}{2 \cdot 50 \;\text{kg} \cdot 9,81 \frac{\text{m}}{ \text{s}^2}}$ $=1,13 \;\text{m}$

$\begin{array}[t]{rll} x&=& h -\left( s _0+ s _{\max }\right) \\[5pt] &=& 1,13 \;\text{m} -0,619 \;\text{m} \\[5pt] &=& 0,51 \;\text{m} \end{array}$

3.1

Es gilt $v =\lambda \cdot f$ und $\lambda= \dfrac{f}{v}$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} n& \leq & \frac{25 \;\text{m} }{\lambda} \\[5pt] &=&\dfrac{25 \;\text{m} \cdot f }{ v } \\[5pt] &=& \dfrac{25 \;\text{m} \cdot 0,50 \;\text{z} }{3,30 \frac{\text{m}}{\text{s}}} \\[5pt] &=& 3,8 \end{array}$

Zu sehen sind folglich bis zu vier Wellenberge, nämlich drei vollständige Wellenzüge und einer eines Teilwellenzuges.

3.2

Zeitpunkt $t_1:$

Es gilt $v =\dfrac{ s _1}{ t _1},$ woraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& \dfrac{ s _1}{ v } \\[5pt] &=& \dfrac{14 \;\text{m}}{3,30 \frac{\text{m} }{\text{s}}} \\[5pt] &=& 2,24 \;\text{s} \end{array}$

Für die Elongation folgt:

$\begin{array}[t]{rll} y\left(t_1\right)&=& -\hat{y} \cdot \sin \left(\omega \cdot t _1\right) \\[5pt] &=& -\hat{ y } \cdot \sin \left(2 \pi \cdot f \cdot t _1\right) \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$y(4,24 \;\text{s} )= - 14\;\text{cm}$

3.3

Zeitpunkt zu dem sich der Wasserball zu bewegen beginnt:

Es gilt: $v =\dfrac{ s }{ t },$ woraus folgt:

$t =\dfrac{ s }{ v }$ $=\dfrac{9,9 \;\text{m} }{3,30 \frac{ \text{m} }{ \text{s} }}=3,0 \;\text{s}$

Ort des Wasserballs nach $7 \;\text{s}$

Der Ball beginnt sich nach einer Zeit von $3 \;\text{s}$ an nach unten zu bewegen, somit ist die Elongation nach $4 \;\text{s}$ gesucht:

$y(4 \;\text{s})=-0,20 \;\text{m}\cdot \sin (2 \pi \cdot 0,50 \;\text{Hz} \cdot 4 \;\text{s})$ $=0 \;\text{m}$

$T=\dfrac{1}{f}$ $=\dfrac{1}{0,50\;\text{Hz} }$ $=2 \;\text{s}.$ Nach $4\;\text{s}$

$t$ - $y$ -Diagramm

3.4

Wenn Wasserwellen mit gleicher Amplitude und Frequenz aber mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung aufeinander treffen, interferieren sie zu einer stehenden Welle.

Es entstehen stehende Wellen im Schwimmbecken durch die Reflexion an einer Wand, die parallel zum Auslöser steht, unter der Bedingung, dass die Amplitude konstant bleibt.

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Mechanische Schwingungen und Wellen

Material 1: --Diagramme

Material 2: --Diagramm des Längsschnitts der sich ausbreitenden Welle

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Material 1: $t$ - $s$ -Diagramme

Material 2: $x$ - $y$ -Diagramm des Längsschnitts der sich ausbreitenden Welle