Vorschlag A1

Elektrische und magnetische Felder in Mikrofonen

Mikrofone wandeln Schallwellen in elektrische Signale um. Zwei verbreitete Bauformen sind das Kondensatormikrofon, das in Aufgabe 1 betrachtet wird, und das Tauchspulenmikrofon, das in Aufgabe 2 betrachtet wird.

Ein Kondensatormikrofon besteht aus einer Membran, die durch Schallwellen ausgelenkt wird, und einer Gegenelektrode. Diese Bauteile bilden zusammen einen luftgefüllten Plattenkondensator (Dielektrizitätszahl $\varepsilon_{ r , \text { Luft }}=1$ ) mit kreisförmigen Platten (Radius $r=1,50 \,\text{cm}$ ), dessen elektrisches Feld als homogen angenommen werden soll (Material 1). Der Plattenabstand beträgt in der Ruhelage (ohne auftreffende Schallwellen) $d_0=40,0 \,\mu \text m.$ Treffen Schallwellen auf die Membran, so ändert sich die am Kondensator anliegende Spannung $\text U_{ \text C }.$ Daraus erzeugt eine elektrische Schaltung ein Signal, das weiterverarbeitet werden kann.

Material 1: Schematischer Aufbau eines Kondensatormikrofons

1.1

Der Kondensator wird in der Ruhelage aufgeladen, sodass die Spannung $\text U_0=48,0\,\text V$ anliegt.

Berechne die Kapazität $\text C_0$ und die Ladung $\text Q_0$ des Kondensators sowie die in seinem Feld gespeicherte Energie $\text E_{\text{el} , 0}.$

[zur Kontrolle: $\text C_0=156,5 \,\text{pF} ; \text Q_0=7,51 \,\text{nC}$ ]

(6 BE)

1.2

Für eine verzerrungsfreie Umwandlung von Schallwellen in elektrische Signale muss die Spannung $\text U_{ \text C }$ am Kondensator unter der Annahme konstanter Kondensatorladung proportional zum Plattenabstand $d$ sein.

Zeige allgemein, dass dieser Zusammenhang für Plattenkondensatoren gilt.

Erläutere mithilfe von Material 1 eine Ursache, die bei einem Kondensatormikrofon zu einer Verzerrung des Signals führen kann.

(5 BE)

1.3

Ausgehend von der Ruhelage wird die Spannung $\text U_{ \text C }$ am Kondensator nacheinander bei vier verschiedenen Plattenabständen $d$ gemessen. Die Ergebnisse findest du in Material 2.

Untersuche, ob der Kondensator die Ladung von der Ruhelage bis zur ersten Messung und dann während der Messungen verlustfrei speichert. Die berechneten Werte für die Ladungen können in die letzte Tabellenzeile eingetragen werden.

Material 2: Kondensatorspannung $\text U_\text C$ bei verschiedenen Abständen $d$

Messung Nr.	$\color{#fff}{d}$ in $\color{#fff}{\mu \text m}$	$\color{#fff}{\text U_{ \text C }}$ in $\color{#fff}{\text V}$	$\color{#fff}{\text Q}$ in $\color{#fff}{\text{nC}}$
Ruhelage	40,0	48,00	7,51
1	40,6	48,68
2	41,2	49,41
3	41,8	50,05
4	42,4	50,95

(5 BE)

1.4

Tatsächlich kann vom Kondensator auch über die elektrische Schaltung Ladung abfließen. Dies soll anhand der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand modelliert werden (Material 3). Zum Zeitpunkt $t=0 \,s$ wird der vollständig aufgeladene Kondensator von der Spannung $\text U_0=48\,\text V$ getrennt.

Material 3: Entladung eines Kondensators über einen Widerstand

hessen physik abi lk 2021 vorschlag a1 material 2 entladung eines kondensators über einen widerstand

1.4.1

Leite die Differenzialgleichung $\dfrac{1}{\text R \cdot \text C} \cdot \text Q(t)+\dot{\text Q}(t)=0$ her, die die zeitliche Änderung der Ladung $\text Q(t)$ im Kondensator beschreibt.

Erläutere die Herleitungsschritte.

Zeige, dass der Ansatz $\text Q(t)=\text C \cdot \text U_0 \cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{\tau} \cdot t}$ die Differenzialgleichung löst und bestimme dabei einen Ausdruck für die Zeitkonstante $\tau.$

(8 BE)

1.4.2

Untersuche, wie groß der Widerstand $\text R$ bei einer Kapazität von $\text C_0=156,5 \,\text{pF}$ mindestens sein muss, damit sich eine Ladung $\text Q_0$ des Kondensators in der Ruhelage in der Zeitspanne einer Periodendauer eines Tones mit der Frequenz $f=400 \,\text{Hz}$ durch Entladung um höchstens $3 \,\%$ verringert.

(5 BE)

Auch in Tauchspulenmikrofonen wird eine Membran durch Schallwellen in Bewegung versetzt. An der Membran ist eine Spule befestigt, die in das Feld eines Permanentmagneten eintaucht (Material 4). Der kreisförmige Querschnitt der hier verwendeten Tauchspule hat einen Radius von $r=1,5 \,\text{cm}.$ Die Spule ist $l=2\,\text{cm}$ lang und hat $n=100$ Windungen.

Material 4: Schematischer Aufbau eines Tauchspulenmikrofons

2.1

Erkläre, wie ein Tauchspulenmikrofon Schallwellen in elektrische Signale umwandelt.

(2 BE)

In den folgenden beiden Aufgaben soll angenommen werden, dass die magnetischen Feldlinien senkrecht durch die Querschnittsfläche der Tauchspule treten und dass das magnetische Feld in der Spule homogen ist.

2.2

Berechne die in der Tauchspule entstehende Spannung, wenn sich die magnetische Flussdichte in der Spule innerhalb von $2 \,\text{ms}$ gleichmäßig um $500 \,\mu \text T$ ändert.

(3 BE)

2.3

Die Membran des hier verwendeten Tauchspulenmikrofons wird durch eine Schallwelle so in eine harmonische Schwingung versetzt, dass der zeitliche Verlauf der magnetischen Flussdichte in der Spule durch die Funktion $\text B(t)=\text B_0 \cdot\left(1+0,001 \cdot \sin \left(2765 \dfrac{1}{ s } \cdot t\right)\right)$ gegeben ist.

Leite aus dem Induktionsgesetz eine Gleichung her, die den zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung für den gegebenen Aufbau beschreibt.

Berechne die magnetische Flussdichte $\text B_0,$ die notwendig ist, um eine maximale Induktionsspannung von $\text U_{\text {ind,max }}=20\,\text{mV}$ zu erzeugen.

(8 BE)

2.4

Erläutere, warum man Kondensatormikrofone als Elongationsempfänger, Tauchspulenmikrofone hingegen als Geschwindigkeitsempfänger bezeichnet.

(2 BE)

2.5

In Material 5 sind die Eigenschaften der beiden Mikrofontypen in der Praxis zusammengestellt. Tauchspulenmikrofone werden z.B. bei Konzerten eingesetzt, während Kondensatormikrofone oft in Tonstudios verwendet werden.

Nenne mithilfe von Material 5 hierfür jeweils zwei Gründe.

Begründe, warum ein Tauchspulenmikrofon bauartbedingt weniger empfindlich auf Nebengeräusche reagiert als ein Kondensatormikrofon.

Material 5: Eigenschaften von Tauchspulen- und Kondensatormikrofonen in der Praxis

Vor allem aus dem Live Bereich ist das dynamische Mikrofon [Anm.: bei einem dynamischen Mikrofon handelt es sich um ein Tauchspulenmikrofon] als Handmikrofon nicht mehr weg zu denken. [...] Einer der Hauptgründe ist die Robustheit. Ein dynamisches Mikrofon hält einiges aus. Selbst den einen oder anderen Sturz überstehen dynamische Mikrofone ohne großen Schaden. Außerdem sind sie weitaus resistenter gegen schlechtes Wetter als ein Kondensatormikrofon. [...]

Ohne zu übersteuern gelingt die Aufnahme von hohem Schalldruck [mit einem dynamischen Mikrofon] problemlos. Manch anderer Mikrofontyp stößt hier an die Grenzen. Während ein Kondensatormikrofon empfindlich auf das Umfeld reagiert und verschiedene Störgeräusche aufschnappt, [...] landen [bei einem dynamischen Mikrofon] weniger Nebengeräusche in der Aufnahmespur [...]. Darüber hinaus ist keine Versorgungsspannung [...] nötig. [...]

Ein Vorteil der Kondensatormikrofone liegt eindeutig in der Klangqualität. Verantwortlich ist die geringe Masse der Membrane. Im Gegensatz zu den robusten dynamischen Mikrofonen, reagiert die federleichte Membran empfindlicher und bildet die Schallwellen präzise ab. [...]

Kommen wir zu den Nachteilen. Einerseits leidet aufgrund der Bauart die Robustheit und das Mikrofon ist empfindlich gegenüber hohen Temperaturen oder Luftfeuchtigkeit. [...]

Aufgrund der hohen Empfindlichkeit nimmt es mehr Störgeräusche als andere Mikrofonarten auf. [...]

https://www.mikrofonwelt.de/dynamisches-mikrofon/ (abgerufen am 26.09.2020).
https://www.mikrofonwelt.de/kondensatormikrofon/ (abgerufen am 26.09.2020).

(6 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1.1

Rechenweg anzeigen

$C_0 = 156 \;\text{pF}$

$\begin{array}[t]{rll} Q _0&=& C _0 \cdot U _0 \\[5pt] &=& 1,56 \cdot 10^{-10} \;\text{F} \cdot 48,0 \;\text{V} \\[5pt] &=& 7,49 \cdot 10^{-9} \;\text{C} \\[5pt] &=& 7,49 \;\text{nC} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} E _{ el , 0}&=&\dfrac{1}{2} C _0 \cdot U _0^2 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 1,56 \cdot 10^{-10} \;\text{F} \cdot(48,0 \;\text{V} )^2 \\[5pt] &=& 1,80 \cdot 10^{-7} \;\text{J} \end{array}$

1.2

Proportionalität

Für die Spannung gilt:

$U_{C}=\dfrac{Q}{C}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{ r } \cdot \frac{A}{d}}$ $=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{ r } \cdot A } \cdot d$

Wenn die Ladungsmenge $Q$ und die Kondensatorfläche $A$ konstant sind, ist $U_C \sim d.$

Es kann zur Signalverzerrung kommen, da die Membran an den Rändern eingespannt ist und somit nicht parallel ausgelenkt wird. Dadurch ist der Abstand zwischen der Membran und Gegenelektrode bei Auslenkung nicht überall gleich groß.

1.3

Es gilt:

$Q =\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot A \cdot \dfrac{U}{d}$ $=\varepsilon_0 \cdot \pi \cdot r ^2 \cdot \dfrac{ U _{ C }}{ d }$

Somit ergeben sich für die Ladungen des Kondensators die folgenden Werte:

Messung Nr.	$\color{#fff}{d}$ in $\color{#fff}{\mu \text m}$	$\color{#fff}{\text U_{ \text C }}$ in $\color{#fff}{\text V}$	$\color{#fff}{\text Q}$ in $\color{#fff}{\text{nC}}$
Ruhelage	40,0	48,00	7,51
1	40,6	48,68	7,5
2	41,2	49,41	7,5
3	41,8	50,05	7,49
4	42,4	50,95	7,52

Da die Werte ungefähr konstant sind, speichert der Kondensator die Ladungen während der Messungen verlustfrei.

1.4.1

Differenzialgleichung herleiten

Da der Kondensator von der Spannungsquelle getrennt wird, liegt keine Spannung an. Somit ergibt nach dem zweiten Kirchhoff'schen Gesetz (Maschenregel) die Summe der Teilspannungen Null.

Daraus ergibt sich der Ansatz:

$U_R(t)+ U_C(t) = 0$

Es gilt:

$Q(t)= C \cdot U,$ woraus $U_C(t)= \dfrac{Q(t)}{C}$ folgt.

Aus dem Ohmschen Gesetz folgt $U_R(t)=R \cdot I(t).$

Einsetzen in den Ansatz:

$\begin{array}[t]{rll} U_R(t)+ U_C(t)&=& 0 \\[5pt] R \cdot I(t)+ \dfrac{Q(t)}{C}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; I(t)= \dot{Q}(t) \\[5pt] R \cdot \dot{Q}(t)+ \dfrac{Q(t)}{C}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:R \\[5pt] \dot{Q}(t)+ \dfrac{Q(t)}{C\cdot R}&=& 0 \\[5pt] Q(t)\cdot \dfrac{1}{C\cdot R} +\dot{Q}(t) &=& 0 \end{array}$

Dies entspricht der Differenzialgleichung $\dfrac{1}{\text R \cdot \text C} \cdot Q(t)+\dot{ Q}(t)=0.$

Ansatz prüfen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} Q(t)&=&\text C \cdot \text U_0 \cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} \\[5pt] \dot Q(t)&=& \dfrac{\mathrm d}{\mathrm d t}(Q(t)) \end{array}$

Kettenregel anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} \dot Q(t)&=& \dfrac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\text C \cdot \text U_0 \cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{\tau} \cdot t}) \\[5pt] &=& \text C \cdot \text U_0 \cdot \left(-\dfrac{1}{\tau}\right) \mathrm e ^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} \\[5pt] &=& \text C \cdot \text U_0\cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} \cdot \left(-\dfrac{1}{\tau}\right)\\[5pt] &=& Q(t) \cdot \left(-\dfrac{1}{\tau}\right) \end{array}$

$\dot Q(t)$ in die Differenzialgleichung einsetzen:

$\dfrac{1}{C\cdot R} \cdot Q(t)+\dot{Q}(t)=0$

Rechenweg anzeigen

$\tau = C\cdot R$

1.4.2

$\begin{array}[t]{rll} T&=& \dfrac{1}{f} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{400 \;\text{Hz}} \\[5pt] &=& 0,00250 \;\text{s} \end{array}$

Die prozentuale Abweichung ergibt sich aus dem Quotienten $\dfrac{Q(T)}{Q_0}.$

Rechenweg anzeigen

$R \geq 524 \;\text{M}\Omega$

2.1

Ein Tauchspulenmikrofon arbeitet nach dem umgekehrten Prinzip eines Lautsprechers. Dabei ist die Membran des Mikrofons fest mit einer Spule verbunden, die als elektrischer Leiter dient. Die Spule taucht in das Magnetfeld eines Permanentmagneten ein. Wenn Schall auf die Membran trifft, bewegt sich die Membran und die Spule im Magnetfeld. Durch die Bewegung der Spule im Magnetfeld ändert sich der magnetische Fluss und es wird eine Spannung erzeugt, die im Rhythmus der Bewegungsänderung ist. Diese Spannung kann am Ausgang des Mikrofons abgegriffen werden.

2.2

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text {ind }}&=& -n \cdot \dot{\Phi}( t ) \\[5pt] &=& - n \cdot A \cdot \dot{ B }( t ) \\[5pt] &=& - n \cdot \pi \cdot r ^2 \cdot \dfrac{\Delta B }{\Delta t } \\[5pt] &=& -100 \pi \cdot(0,015 \;\text{m})^2 \cdot \dfrac{500 \cdot 10^{-6} \;\text{T}}{2 \cdot 10^{-3} \;\text{s}} \\[5pt] &=& -1,8 \cdot 10^{-2} \;\text{V} \\[5pt] &=& -18\;\text{mV} \end{array}$

2.3

Gleichung herleiten

$\begin{array}[t]{rll} U _{\text {ind }}&=& - n \cdot \dot{\Phi}( t )\\[5pt] &=& - n \cdot A \cdot \dot{ B }( t ) \\[5pt] &=& - n \cdot A \cdot \frac{\mathrm d }{\mathrm dt }(B(t)) \end{array}$

Es gilt:

Rechenweg anzeigen

$\frac{\mathrm d }{\mathrm dt }(B(t))=...$

Einsetzen ergibt:

Rechenweg anzeigen

$U _{\text {ind }}=...$

$B_0$ bestimmen

Wenn $\cos \left(2765 \frac{1}{\text{s}} \cdot t \right)=1$ ist, wird die maximale Induktionsspannung erreicht. Daraus folgt:

Rechenweg anzeigen

$U _{\text {ind, max}}=...$

2.4

Bei Kondensatormikrofonen wird die Membranbewegung als Änderung der Kapazität interpretiert: Die vom Mikrofon erzeugte elektrische Spannung ist proportional zur Elongation.

Bei Tauchspulenmikrofonen wird die Membranbewegung als Änderung der Geschwindigkeit der Spule im Magnetfeld interpretiert: Die vom Mikrofon erzeugte elektrische Spannung ist proportional zur Momentangeschwindigkeit.

2.5

Gründe für den Einsatz von Tauchspulenmikrofonen bei Konzerten:

Robustheit: Tauchspulenmikrofone sind sehr widerstandsfähig und können auch Stürze oder schlechtes Wetter aushalten, was sie ideal für den Einsatz in Live-Situationen macht.
Hohe Schalldruckfestigkeit: Tauchspulenmikrofone können hohen Schalldruck ohne Übersteuern aufnehmen, was bei Konzerten, bei denen oft laute Musik gespielt wird, von Vorteil ist.

Gründe für den Einsatz von Kondensatormikrofonen im Tonstudio:

Klangqualität: Kondensatormikrofone haben aufgrund ihrer geringen Membranmasse eine höhere Präzision in der Schallwiedergabe und erzeugen dadurch eine bessere Klangqualität.
Empfindlichkeit: Kondensatormikrofone sind empfindlicher und können feinere Details aufnehmen, was im Tonstudio bei der Aufnahme von Musik oder Gesang von Vorteil sein kann.

Ein Tauchspulenmikrofon reagiert bauartbedingt weniger empfindlich auf Nebengeräusche als ein Kondensatormikrofon, weil es als Geschwindigkeitsempfänger funktioniert. Es reagiert somit nur auf die Bewegung der Membran und weniger auf die Luftmoleküle um sie herum. Im Gegensatz dazu funktioniert ein Kondensatormikrofon als Elongationsempfänger und reagiert somit auf jede Bewegung der Membran, einschließlich der Bewegungen aufgrund von Umgebungsgeräuschen.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Vorschlag A1

Elektrische und magnetische Felder in Mikrofonen

Material 1: Schematischer Aufbau eines Kondensatormikrofons

Material 2: Kondensatorspannung bei verschiedenen Abständen

Material 3: Entladung eines Kondensators über einen Widerstand

Material 4: Schematischer Aufbau eines Tauchspulenmikrofons

Material 5: Eigenschaften von Tauchspulen- und Kondensatormikrofonen in der Praxis

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

Material 2: Kondensatorspannung $\text U_\text C$ bei verschiedenen Abständen $d$