Ernest Rutherford beschoss Metallfolien mit sich schnell bewegenden -Teilchen. Beschreibe anhand einer beschrifteten Skizze die Durchführung und das Ergebnis dieses Experiments. Erläutere die Deutung des Ergebnisses durch Rutherford.

Für die Berechnung der Spektrallinien von Wasserstoff fand der Baseler Gymnasiallehrer Johann Jakob Balmer 1885, ohne die eigentlichen physikalischen Hintergründe genau zu kennen, die nach ihm benannte Formel (Balmer-Formel): mit

Erläutere den Zusammenhang zwischen dieser Formel und dem Atommodell von Niels Bohr.

Das Bohr'sche Atommodell postuliert, dass im atomaren Bereich die klassische Physik nur noch eingeschränkt gültig ist. Erläutere zwei Widersprüche des Bohr'schen Atommodells zur klassischen Physik.

Berechne mithilfe der Balmer-Formel, welchem Übergang die blaugrüne Linie mit der Wellenlänge zugeordnet werden kann.

Erläutere kurz die folgende Gleichung: Leite aus dieser Gleichung unter Verwendung der beiden Formeln (Radien der Bohr'schen Bahnen) und (Geschwindigkeiten der Elektronen auf diesen Bahnen) die allgemeine Formel für die Berechnung der Frequenzen der Wasserstofflinien (Rydberg-Formel) her. Zeige, dass lediglich aus Naturkonstanten bestimmt wird.

Betrachtet man Atome mit mehreren Elektronen, kann man ähnliche chemische Eigenschaften mit dem Schalenmodell erklären. Atome von Alkalimetallen, wie z.B. Natrium (Material 1), besitzen nur ein einziges Elektron in der äußeren Schale (Valenzelektron) und deshalb eine geringe Ionisierungsenergie. Ein Natriumatom besitzt die Kernladungszahl und die Ionisierungsenergie die sich aus der Formel ergibt. Hierbei ist die Nummer der äußeren Schale, die Rydbergkonstante und eine für das Atom spezifische Abschirmkonstante.

Material 1: Schalenmodell eines Natriumatoms

Berechne die Wellenlänge und Frequenz der elektromagnetischen Strahlung, die zur Ionisierung von Natriumatomen benötigt wird.

Berechne die Abschirmkonstante für ein Natriumatom. Erläutere anhand des Schalenmodells die physikalische Bedeutung der Abschirmkonstante und gib den Wert an, der demnach für die Abschirmkonstante zu erwarten wäre.

Es wird jetzt ein einfach ionisiertes Helium betrachtet (Material 2). Begründe mithilfe der Formel aus Aufgabe 2.5, dass für die Energiezustände des -Ions folgende Gleichung gilt: Vergleiche quantitativ die Energiezustände des Wasserstoffatoms mit denen des -Ions. Zeichne das Energieniveauschema von für maßstabsgetreu.

Material 2: Schalenmodell eines -Ions

Die von Bohr aufgestellten Postulate erscheinen willkürlich und lassen sich in seinem Modell nicht aus theoretischen Überlegungen ableiten. Eine Weiterentwicklung stellt das quantenmechanische Atommodell des linearen Potenzialtopfs dar.

Erläutere das Modell des linearen Potenzialtopfs. Skizziere den Verlauf der potenziellen Energie eines Teilchens in diesem Modell.

Ein Teilchen der Masse befinde sich in einem eindimensionalen Potenzialtopf der Länge L. Zeigen Sie, dass die kinetische Energie des Teilchens nur die diskreten Werte annehmen kann.

Beschreibung der Experimentdurchführung Ernest Rutherford beobachtete, dass bei seinem Versuch mit α-Teilchen, die auf eine Goldfolie trafen, die meisten Teilchen die Folie ungehindert passierten oder nur leicht abgelenkt wurden. Eine kleine Anzahl von Teilchen wurden stark abgelenkt, sogar in einem Winkel größer als 90°. Einige Teilchen wurden sogar reflektiert (Ablenkwinkel von 180°). Deutung des Ergebnisses durch Rutherford Basierend auf diesen Beobachtungen schloss Rutherford, dass die Atommodelle, die davon ausgingen, dass Atome massive Kugeln seien, nicht zutreffen können. Stattdessen vermutete er, dass ein winzig kleiner, undurchdringbarer Kern existieren müsse, der die abgelenkten Teilchen verursachte. Rutherford folgerte, dass dieser Kern positiv geladen sein müsse, da die positiv geladenen Teilchen von ihm abgestoßen wurden. Dies war die bahnbrechende Entdeckung des Atomkerns.

Die Balmer-Formel beschreibt die charakteristischen Frequenzen der sichtbaren Spektrallinien des Wasserstoffatoms. Sie steht in Zusammenhang mit dem Bohrschen Atommodell, welches besagt, dass Elektronen nur auf bestimmten diskreten Energieniveaus um den Atomkern kreisen können. Beim Übergang eines Elektrons von einem höheren auf ein niedrigeres Energieniveau gibt es die überschüssige Energie in Form eines Photons ab. Die Balmer-Formel verknüpft die Energieniveaus mit der charakteristischen Frequenz der Spektrallinien. Balmer entdeckte empirisch, dass die Frequenzen durch eine einfache Formel beschrieben werden können. Dabei handelt es sich um die Frequenz f, die durch die Energiedifferenz der beiden Niveaus bestimmt wird und die Wellenlänge der entsprechenden Linie im Spektrum festlegt.

Bohrs Atommodell besagt, dass Elektronen sich auf stabilen Bahnen um den Atomkern bewegen, auf denen keine Energie abgestrahlt wird. Dies steht im Widerspruch zu den Vorhersagen der klassischen Elektrodynamik, welche besagen, dass eine beschleunigte Ladung Energie abstrahlen müsste. Dies würde bedeuten, dass das Elektron im Laufe der Zeit in den Atomkern stürzen würde. Ein weiterer Widerspruch zum klassischen Physikverständnis besteht darin, dass das Bohrsche Atommodell voraussagt, dass die Energie der ausgesendeten Photonen proportional zu ihrer Frequenz ist und nicht, wie es klassisch erwartet wird, von der Amplitude und somit der Intensität der Lichtwelle abhängt.

Ermittlung der zugehörigen Frequenz aus der gegebnen Wellenlänge liefert: Gesucht wird der passende Übergang von Die ersten beiden Frequenzen liefert das Einsetzen von und in die gegebene Balmer-Formel: Die berechnete Frequenz aus der gegebenen Wellenlänge stimmt mit überein. Die blaugrüne Linie entsteht folglich, wenn ein Photon beim Übergang eines Elektrons vom 4. Niveau auf das 2. Niveau emittiert wird.

Die Gesamtenergie eines Elektrons in einem Atom setzt sich aus der potenziellen und kinetischen Energie zusammen. Die potenzielle Energie ergibt sich aus der Coulomb-Kraft zwischen dem Elektron und dem Atomkern. Die Energie eines Elektrons auf der n-ten Bahn kann durch eine Gleichung ausgedrückt werden: Die Berechnung der potenziellen Energie eines Elektrons im Radialfeld des Atomkerns, der eine positive Ladung aufweist, erfolgt auf Basis des Coulomb-Gesetzes: Für die kinetische Energie des Elektrons auf der n-ten Bahn gilt: Für die Gesamtenergie folgt damit: Einsetzen der angegebnen Formeln für und in die Gleichung für ergibt: Für die Energie des abgestrahlten Photons beim Übergang eines Elektrons von einem Energieniveau auf ein niedrigeres Energieniveau gilt: Wie aus der oben abgeleiteten Formel für hervorgeht, enthält der Term lediglich Naturkonstanten wie die Masse des Elektrons , die Elementarladung , die elektrische Feldkonstante und das Planck'sche Wirkungsquantum

Die Ionisierungsenergie ist die zur Ionisierung des Na-Atoms benötigte Energie. Für die benötigte Frequenz gilt damit: Einsetzen der Werte liefert: Für die benötigte Wellenlänge gilt:

Berechnung der Abschirmkonstante \(\sigma_{ Na }\) Einsetzen der Werte liefert: Bedeutung der Abschirmkonstante Im Atom mit N Elektronen wird das elektrische Feld, das auf ein einzelnes Elektron wirkt, nicht nur von dem Kern mit der Kernladungszahl Z erzeugt, sondern auch von den restlichen N-1 Elektronen. Dies führt zu einer Abschirmung, bei der die Elektronen näher am Kern das Feld für das betrachtete Elektron reduzieren. Dies gilt insbesondere für das Valenzelektron, das nur das Feld des Kerns spürt, welches teilweise durch die Rumpfelektronen abgeschirmt wird. Die Abschirmung führt zur effektiven Kernladungszahl , wobei die Abschirmkonstante ist. Für ein Natriumatom mit N = 11 werden das Valenzelektron und das Feld des Kerns von den 10 Rumpfelektronen teilweise abgeschirmt. Der erwartete Wert für die Abschirmkonstante beträgt daher 10.

Für ein -Ion mit befindet sich nur ein Außenelektron im Atom. Da es keine Rumpfelektronen gibt, wird das elektrische Feld des Kerns nicht abgeschirmt. Daher ist die Abschirmkonstante gleich Null. Um ein Elektron vollständig aus einem Atom zu entfernen, muss Energie aufgewendet werden. Daher sind die Energien der im Atom gebundenen Elektronen negativ. Durch Einsetzen in die Gleichung aus 2.5 ergibt sich: Die Energiezustände von Wasserstoff lassen sich mit folgender Formel berechnen: Die Energiezustände von berechnen sich mit der angegebnen Formel: Für ergeben sich folgenden Energien: Die Energiezustände des -Ion sind im Vergleich zum Wasserstoff betragsmäßig größer. Das Elektron des -Ions ist stärker an den Atomkern gebunden als das Elektron des Wasserstoffatoms. Die 2. und 4. Energiestufe des -Ions stimmen mit den ersten zwei Stufen des Wasserstoffatoms überein.

Das lineare Potenzialtopfmodell beschreibt einen begrenzten Raum, in dem sich Elektronen in einer Raumdimension frei bewegen können. Die Bewegung findet dabei entlang der x-Achse statt und wird durch unüberwindbare Wände begrenzt. Die Länge des Raums ist dabei durch definiert und im Inneren des Raums herrscht eine konstante potenzielle Energie, welche auf den Wert festgelegt ist. An den Rändern des Raums, an und , ist die potenzielle Energie unendlich groß. Dieses unendlich hohe Potenzialprofil ähnelt dem eines Topfes, welcher unendlich hohe Wände besitzt und daher wird das Modell als linearer Potenzialtopf bezeichnet.

In einem eindimensionalen Potentialtopf bilden sich stehende Wellen aus, die an beiden Seiten Knoten besitzen.Die benachbarten Knoten haben jeweils einen Abstand von . Es folgt mit der Länge des Potentialtopfes: ist die De-Broglie-Wellenlänge: Für die kinetische Energie gilt: