Vorschlag A2 – Hall-Effekt und Induktion am Beispiel der Stromzange

Mit einer Stromzange (Material 1) kann die Stromstärke in einem Leiter kontaktlos gemessen werden, ohne den Stromkreis zu unterbrechen. Dies geschieht über die Messung des um den Leiter erzeugten Magnetfelds. In der Stromzange befindet sich ein Metallring mit dem Radius $r _{ \text{Ring} }=2 \,\text{cm}$ und der Permeabilitätszahl $\mu_{ r }=2000$ , der konzentrisch um den Leiter geschlossen wird. Um ein Teilstück des Metallrings ist eine Spule gewickelt. Zusätzlich ist im Metallring eine Hall-Sonde eingelassen. In den folgenden Aufgaben soll die Funktionsweise genauer untersucht werden. Von möglichen Einflüssen der übrigen Teile der Stromzange ist dabei abzusehen.

Material 1a: Aufbauskizze einer Stromzange um einen stromdurchflossenen Leiter

Material 1b: Stromzange während des Messvorgangs

Der Leiter ist sehr lang und wird zunächst von einem Gleichstrom durchflossen.

1.1

Skizziere in Material 2 die Magnetfeldlinien um den Leiter.

(2 BE)

1.2

Die magnetische Flussdichte im Abstand $r$ zum Leiter ist durch die Formel

$B =\mu_{ r } \cdot \mu_0 \cdot \dfrac{ I _{ L }}{2 \pi \cdot r }$ gegeben.

Berechne die magnetische Flussdichte $\text B$ im Metallring der Stromzange, wenn der Leiter von einem Strom der Stärke $I _{ L }=2 \,\text A$ durchflossen wird.

Material 2: Querschnitt eines stromdurchflossenen Leiters

(3 BE)

1.3

Die magnetische Flussdichte $B$ des durch den Leiter erzeugten Magnetfelds wird in der Stromzange durch eine Hall-Sonde (Material 3) bestimmt. Die Hall-Sonde beruht auf dem Hall-Effekt, bei welchem durch das Magnetfeld eine Hall-Spannung $U _{ H }$ erzeugt wird.

Erkläre qualitativ das Zustandekommen der Hall-Spannung $U _{ H }$ .

Zeichne die Polung der Spannung am Voltmeter in Material 3 ein.

Material 3: Hall-Sonde

Die magnetischen Feldlinien verlaufen senkrecht durch das Plättchen.

(5 BE)

1.4

Die in der Stromzange verwendete Hall-Sonde aus Wismut hat eine Dicke von $d =0,1 \,\text {mm}$ und eine Hall-Konstante von $R _{ H }=5,0 \cdot 10^{-7} \dfrac{ \text m ^3}{ \text C }$ . Durch die HallSonde fließt der Betriebsstrom $I _{ H }=100 \,\text{mA}.$

1.4.1

Die Hall-Spannung wird mit der Formel

$U_H= R _{ H } \cdot \dfrac{ I _{ H } \cdot B }{ d }$ berechnet.

Zeige mithilfe dieser Formel, dass die gemessene Hall-Spannung $U _{ H }$ proportional zur Stromstärke $I _{ L }$ im Leiter ist, und berechne die Proportionalitätskonstante $k$ .

$\bigg[$ zur Kontrolle: $k =1 \cdot 10^{-5} \frac{ \text{V}}{ \text{A}} \bigg ]$

(6 BE)

1.4.2

An der Hall-Sonde können Hall-Spannungen von $U _{ H } \geq 1 \cdot 10^{-7} \,\text V$ gemessen werden.

Bestimme die minimale Stromstärke $I _{ L }$ , die mit dieser Stromzange gemessen werden kann.

Entscheide, ob die Stromzange eine Stromstärke anzeigt, wenn die Hall-Sonde ausschließlich von dem Erdmagnetfeld mit der Flussdichte $B =48 \,\mu \text T$ durchsetzt wird.

(5 BE)

1.5

Untersuche jeweils qualitativ die Auswirkungen der in Material 4 dargestellten veränderten Durchführungen des Leiters durch die Stromzange auf den Anzeigewert der Stromzange:

Der Leiter wird in einer Schleife zweimal durch die Stromzange geführt.

Der Leiter wird in einem Bogen zweimal durch die Stromzange geführt.

Material 4: Durchführung eines Leiters durch den Metallring der Stromzange

(4 BE)

Um mit der Stromzange Wechselströme messen zu können, ist um den Metallring eine Spule gewickelt (Material 5). Sie hat einen Radius von $r _{\text {Spule }}=0,5 \,\text{cm}$ und $N =50$ Windungen. Die an dieser Spule gemessene Spannung ist ein Maß für die Stromstärke $I_ L$ im Leiter.

Material 5: Messung von Wechselstrom mit einer Spule

2.1

Erkläre, wie die Spannung an den Spulenenden in Material 5 entsteht, wenn der Leiter von einem Wechselstrom durchflossen wird.

(4 BE)

2.2

Mit der Stromzange wird nun ein sinusförmiger Wechselstrom gemessen. Die zeitliche Funktion der Stromstärke durch den Leiter ist durch die Formel $I_ L(t)=I_{\max } \cdot \sin (2 \pi \cdot f \cdot t)$ gegeben. Dabei ist $f =50 \,\text{Hz}$ die Frequenz des Wechselstroms und $I _{\max }=10 \,\text A$ die Amplitude.

Es soll angenommen werden, dass das Magnetfeld im Metallring den Querschnitt der Spule senkrecht durchsetzt und in diesem Bereich homogen ist.

Leite für die induzierte Spannung in der Spule die folgende Formel her:

Formel anzeigen

Berechne die maximal in der Spule induzierte Spannung.

(10 BE)

2.3

Beurteile für die beiden Messmethoden Hall-Sonde und Spule, ob Stromzangen mit nur einer dieser Messmethoden sowohl Gleich- als auch Wechselströme messen können.

(3 BE)

Ein Gurterkennungssystem prüft in einem Fahrzeug, ob ein Sicherheitsgurt geöffnet oder geschlossen ist. In Material 6 a ist ein System skizziert, welches mit einer Hall-Sonde arbeitet. In Material 6 b ist ein System skizziert, welches mit einer Spule arbeitet.

Ein Gurterkennungssystem soll die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:

Das System muss zwischen Öffnen und Schließen des Gurtes unterscheiden können.

ii)

Das System muss zu jedem Zeitpunkt in der Lage sein, den aktuellen Zustand des Gurtes (geschlossen oder offen) zu erkennen.

Erläutere, wie das Öffnen und das Schließen des Gurtes in den Systemen aus Material 6 a und 6 b jeweils erkannt werden kann.

Untersuche, ob beide Systeme jeweils die beiden oben angegebenen Bedingungen erfüllen.

Material 6a: Gurterkennung mit Hall-Sonde

Hinweis: Die Aufbauskizzen stellen nicht alle benötigten Bauteile und elektrischen Verbindungen dar, die für die tatsächliche Erkennung des Gurtes notwendig sind.

Material 6b: Gurterkennung mit Spule

Hinweis: Die Aufbauskizzen stellen nicht alle benötigten Bauteile und elektrischen Verbindungen dar, die für die tatsächliche Erkennung des Gurtes notwendig sind.

(8 BE)

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1.1

1.2

Gegeben: $I_L= 2 \;\text{A},$ $\mu_0,$ $\mu_{\text{Ring}}= 2 \;\text{cm}= 0,02\;\text{m}$

Gesucht: $B$

Lösung:

Rechenweg anzeigen

$B = 0,04 \;\text{T} \quad$

1.3

Zustandekommen der Hall-Spannung

Die Hall-Spannung tritt in stromdurchflossenen Leitern auf, wenn ein senkrecht zur Stromrichtung angelegtes Magnetfeld vorhanden ist. Ladungsträger werden durch die Lorentzkraft, die auf sie, aufgrund des Magnetfeldes, wirkt, abgelenkt. Es kommt zu einer Ladungstrennung innerhalb des Leiters, wobei sich die Ladung verteilt. Diese Ablenkung erzeugt eine Ladungsverteilung im Leiter, was zu einer Hall-Spannung senkrecht zur Stromrichtung führt.

1.4.1

Proportionalität nachweisen

Einsetzen der Formel für die magnetische Flussdichte aus Teilaufgabe 1.2 in die angegebene Formel für die Hall-Spannung ergibt:

Rechenweg anzeigen

$U_{H} \sim I_L$

Proportionalitätskonstante berechnen

Einsetzen der Werte in $k$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$c= 1 \cdot 10^{-5} \;\dfrac{\text{V}}{\text{A}}$

1.4.2

Minimale Stromstärke bestimmen

Gegeben: $U_H \geq 1\cdot 10^{-7},$ $k$

Gesucht: $U_H$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} U_H&=& k\cdot I_L &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{k} \\[5pt] \dfrac{U_H}{c}&=& I_L &\quad \scriptsize \mid\; k= 1 \cdot 10^{-5} \;\dfrac{\text{V}}{\text{A}} \\[5pt] \dfrac{U_H}{1 \cdot 10^{-5} \;\dfrac{\text{V}}{\text{A}}}&=& I_L & \end{array}$

Werte einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} I_{L,\text{min}}&=& \dfrac{U_{L,\text{min}}}{1 \cdot 10^{-5} \;\dfrac{\text{V}}{\text{A}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1 \cdot 10^{-7} \;\text{V}}{1 \cdot 10^{-5} \;\dfrac{\text{V}}{\mathrm{A}}} & \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1 \cdot 10^{-2} \;\text{V} & \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10 \;\text{mV} & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Untersuchung des Einflusses des Ermagnetfeldes

Gegeben: $d=0,1\;\text{mm},$ $R_H= 5,0\cdot 10^{-7} \;\frac{\text{m}^3}{\text{C}},$ $I_H= 100\;\text{mA},$ $B= 48\;\mu T= 48 \cdot 10^{-6} \;\text{T}$

Gesucht: $U_H$

Lösung:

Rechenweg anzeigen

$U_H=2,4 \cdot 10^{-8} \;\text{V}$

Das Ergebnis ist kleiner als die angegebene Minimalspannung von $U_{L,\text{min}}=10^{-7} \;\text{V}.$ Folglich ist die errechnete Spannung zu klein, um von der Hall-Sonde erfasst zu werden.

1.5

a: Schleife

Der Leiter wird zweimal durch den Ring geführt. Die Richtung des Leiters ist bei beiden Einführungen gleich (von links nach rechts). Jeder Leiter hat ein eigenes Magnetfeld, welche sich aufgrund der gleichen Einführungsrichtung addieren. Die Stromzange registriert folglich einen größeren Strom.

b: Bogen

Der Leiter wird wie im ersten Fall zweimal durch den Ring geführt. Die Richtung des Leiters ist bei den beiden Einführungen jeweis entgegengesetzt (von links nach rechts und von rechts nach links). Die Magnetfelder der beiden Leiter heben sich teilweise gegenseitig auf, da die Hin- und Rückleitungen teilweise gemeinsam von der Stromzange umschlossen sind. Die Stromzange registriert folglich eine kleinere Stromstärke.

2.1

Wechselstromzangen nutzen das Transformator-Prinzip zur Strommessung. Der Metallring fungiert dabei als Trafokern, wobei der zu messende Leiter die Primärwicklung bildet. Die Spule um den Metallring im Messgerät dient als Sekundärwicklung. Der Strom im Leiter erzeugt ein Magnetfeld im Metallring, das den Kern magnetisiert. Diese Magnetisierung induziert eine Spannung in der Sekundärwicklung, der kleinen Spule. Diese Spannung ist proportional zur Stromstärke im Leiter. Dadurch entsteht eine Wechselspannung an den Enden der Spule, die als Messsignal zur Bestimmung der Stromstärke genutzt wird.

2.2

Herleitung der Formel

Der Spulenquerschnitt der Spule $A$ ist konstant. Für die Induktionsspannung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{ind}}(t)&=& -\text{N} \cdot \dot{\Phi} &\quad \scriptsize \mid\; \dot{\Phi} =\text{A}\cdot \dot{\text{B}} \\[5pt] &=& -\text{N} \cdot \text{A}\cdot \dot{\text{B}} &\quad \scriptsize \mid\;\dot{\text{B}} = \dfrac{\text{dB}}{\text{dt}} \\[5pt] &=& -\text{N} \cdot \text{A}\cdot \dfrac{\text{dB}}{\text{dt}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Es gilt für das Magnetfeld:

Rechenweg anzeigen

Für die erste Ableitung dieser Formel gilt:

Rechenweg anzeigen

Einsetzen der Ableitung $\dfrac{\text{dB}}{\text{dt}}$ in die hergeleitete Gleichung für die Induktionsspannung ergibt:

Rechenweg anzeigen

Maximale induzierte Spannung

Der Kosinus muss seinen maximalen Wert von 1 annehmen, damit die maximale Induktionsspannung erreicht wird. Es gilt:

Rechenweg anzeigen

$U_{\text{ind}}(t) = \text{U}_{\max } \cdot \cos (2 \pi \cdot \text{f} \cdot \text{t})$

Einsetzen der Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$\text{U}_{\max } =0,25 \;\text{V}$

2.3

Wechselstrom erzeugt aufgrund der wechselnden Bewegungsrichtung der Elektronen ein periodisches Magnetfeld um den Leiter. Aufgrund dieser Wechselgeschwindigkeit kann keine Hall-Spannung entstehen, da keine Ladungstrennung stattfindet. Daher ist eine Stromzange mit Hall-Spannung ungeeignet für die Messung von Wechselstrom.

Im Gegensatz dazu erzeugt Gleichstrom konstante magnetische Felder um stromdurchflossene Leiter. Eine Stromzange mit Hall-Spannung ist daher gut geeignet für die Messung von Gleichstrom.

Bei Wechselstrom ändert sich die magnetische Flussdichte, während sie bei Gleichstrom konstant bleibt. Diese Änderung der magnetischen Flussdichte führt zu einer induzierten Spannung. Daher ist Wechselstrom zwingend erforderlich, um die Stromstärke mit einer Stromzange zu messen, die mit einer Spule um den Metallring arbeitet. Gleichstrom ist für diese Methode dagegen ungeeignet, da keine induzierte Spannung entsteht.

Wenn eine Stromzange sowohl Gleichstrom als auch Wechselstrom messen können soll, müssen beide Messmethoden integriert sein.

Erkennung des Öffnens und des Schließens des Gurtes

Wenn der Gurt geöffnet ist, liegt der Nordpol eines Permanentmagneten vor der Hall-Sonde.

Wenn der Gurt geschlossen ist, wird der Permanentmagnet gegen eine Feder nach unten gedrückt. Infolgedessen gelangt ein weiterer Permanentmagnet mit entgegengesetzter Polung vor die Hall-Sonde. Der Südpol ist folglich vor der Hall-Sonde, wenn der Gurt geschlossen ist.

Die Hall-Spannung zeigt über einen Vorzeichenwechsel, der durch die Umpolung der Magnete und den damit verbundenen Richtungswechsel der Elektronen hervorgerufen wird, ob der Gurt geschlossen oder geöffnet ist.

Erfüllung der Bedingungen

Wenn der Gurt geschlossen wird, wird dabei ein senkrecht angeordneter Permanentmagnet in die Spule gedrückt. Im inneren der Spule wird durch die Änderung der magnetischen Flussdichte eine Spannung induziert. Infolgedessen registriert das System das Schließen des Gurtes.

Das Öffnen des Gurtes registriert das System dadurch, dass sich beim Öffnen der Permanentmagnet in entgegengesetzter Richtung aus der Spule bewegt und dadurch eine Spannung mit entgegengesetztem Vorzeichen induziert wird. Nur bei einer Änderung der magnetischen Flussdichte wird eine Spannung induziert. Diese Spannung ist notwenig zur Bestimmung des Zustandes des Systems. Wenn der Permanentmagent allerdings in Ruhe ist, wird keine solche Spannung induziert, so dass keine Aussage darüber getroffen werden kann, ob das Schloss offen oder geschlossen ist.

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