Vorschlag B3

Fotoeffekt - Theorie und Anwendungen

Zur Beobachtung des Fotoeffekts wird eine negativ geladene Platte mit Cäsiumbeschichtung (Austrittsenergie $E_{ A }=1,7 \,\text{eV}$ ) jeweils mit Licht unterschiedlicher Wellenlängen beleuchtet. Unter anderem wird im Falle einer Entladung beobachtet, dass diese auch bei geringer Lichtintensität ohne Zeitverzögerung einsetzt. Diese Beobachtung ist nicht mit dem Wellenmodell des Lichts zu vereinbaren.

1.1

Nenne eine weitere Beobachtung, die nicht mit dem Wellenmodell zu vereinbaren ist, und erläutere den Widerspruch.

(4 BE)

1.2

Nach der klassischen Physik ist zu erwarten, dass die in der Platte gebundenen Elektronen die Lichtenergie so lange „sammeln“, bis sie aus der Platte austreten können. Zur Bestimmung der klassisch zu erwartenden Zeit $t_{ A }$ vom Bestrahlungsbeginn bis zur Auslösung eines Elektrons soll Folgendes angenommen werden:
Die Lichtquelle besitzt eine Leistung von $P=10\,\text W$ und strahlt gleichmäßig in alle Raumrichtungen. Die geladene Platte befindet sich in $1 \,\text m$ Entfernung von der Lichtquelle und das Licht trifft senkrecht zur Platte auf diese auf. Nur $5 \,\%$ der auf die Cäsiumschicht einfallenden Energie trägt zum Herauslösen der Elektronen bei. Die bestrahlte Fläche jedes Cäsiumatoms ist eine Kreisfläche mit einem Radius von $1 \cdot 10^{-10}\,\text m$ .
Berechne das Verhältnis zwischen dieser Kreisfläche und der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius $1\,\text m$ und zeige mithilfe des Ergebnisses, dass die nach der klassischen Physik zu erwartende Zeit $t_{ A }$ etwa 3,6 Minuten beträgt.

(6 BE)

Zur Bestimmung des Planck'schen Wirkungsquantums $h$ wird der Versuch zum Fotoeffekt nach der Gegenfeldmethode durchgeführt. Dabei wird der Zusammenhang zwischen der Wellenlänge $\lambda$ des eingestrahlten Lichts und dem Betrag der Gegenspannung $U_{ G }$ , ab der kein Strom mehr zwischen Fotokathode und Ringanode gemessen wird, untersucht. Die Ergebnisse einer Versuchsreihe sind in Material 1 dargestellt.

2.1

Skizziere und beschrifte einen Versuchsaufbau, der zur Bestimmung von $h$ mit der Gegenfeldmethode geeignet ist. Dabei soll die Skizze eine Fotokathode, eine Ringanode, das einfallende Licht und die Messgeräte enthalten.

(4 BE)

2.2

Bestimme in Material 1 die fehlenden Werte für die Frequenz $f$ des Lichts und die maximale Energie der Fotoelektronen $E_{ el }$ . Zeichne ein $f-E_{ el }$ -Diagramm und zeichne eine Ausgleichsgerade einschließlich der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein.

Material 1

Messwerte der Versuchsreihe

$\color{#f0f0f0}{\lambda}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{nm}}$	$\color{#f0f0f0}{f}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{Hz}}$	$\color{#f0f0f0}{U_{ G }}$ in $\color{#f0f0f0}{\text V}$	$\color{#f0f0f0}{E_{ el }}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{eV}}$
491		0,120
436		0,450
420		0,550
405		0,660

(7 BE)

2.3

Erläutere, wieso die Datenpunkte im Diagramm theoretisch exakt auf einer Geraden liegen müssen, und gib die physikalische Bedeutung des Schnittpunkts dieser Geraden mit der vertikalen Achse an. Ermittle mithilfe der Ausgleichsgerade aus Aufgabe 2.2 einen Wert für das Planck'sche Wirkungsquantum.

(5 BE)

2.4

Wenn der Versuch häufig durchgeführt wird, überzieht sich die Oberfläche der Ringanode mit dem Material der Fotokathode. Erläutern Sie, warum die Ringanode während der Versuchsdurchführung daher nicht vom einfallenden Licht getroffen werden sollte.

(2 BE)

2.5

Material 2 zeigt die sogenannte Kennlinie einer Fotozelle bei Bestrahlung mit monochromatischem Licht der Wellenlänge $\lambda$ . Die Kennlinie gibt die Stromstärke in Abhängigkeit von der angelegten Spannung wieder. Dabei wird das Vorzeichen der Spannung durch Umpolung während der Aufnahme der Kennlinie geändert.

Material 2

Kennlinie einer Fotozelle

2.5.1

Erläutere die Auswirkungen der unterschiedlichen Vorzeichen der angelegten Spannung auf den Fotostrom.

(4 BE)

2.5.2

Untersuche die Auswirkung der veränderten Versuchsdurchführung in den Fällen a) und b) und die theoretische Auswirkung der Annahme in Fall c) auf die Kennlinie in Material 2.

Die Kennlinie wird mit Licht einer kleineren Wellenlänge aufgenommen. Die Anzahl der pro Sekunde auf die Kathode treffenden Photonen ändert sich nicht.

Die Kennlinie wird mit Licht der gleichen Wellenlänge aufgenommen, die Anzahl der pro Sekunde auf die Kathode treffenden Photonen ist höher als zuvor.

Für den Versuch mit gleicher Wellenlänge und gleicher Photonenanzahl soll angenommen werden, dass alle Fotoelektronen beim Austritt aus der Kathode die gleiche maximale kinetische Energie besitzen und direkt auf die Ringanode fliegen.

(6 BE)

Bildverstärker machen schwach leuchtende Gegenstände auf einem Leuchtschirm sichtbar. Der schematische Aufbau eines Bildverstärkers ist in Material 3 dargestellt, die Funktion wird allgemein erläutert und es werden spezielle Werte für den im Folgenden betrachteten Bildverstärker angegeben.

Material 3

Schematischer Aufbau und Funktion eines Bildverstärkers

Das Objekt wird mithilfe einer Optik auf eine Fotokathode abgebildet, die eine Austrittsenergie von $1,3\,\text{eV}$ besitzt. Auf der Kathode werden an jedem beleuchteten Punkt Elektronen ausgelöst. Diese werden zwischen Kathode und Anode (Phosphorschirm) durch eine angelegte Spannung beschleunigt. Auf dieser Beschleunigungstrecke liegt eine Mikrokanalplatte, die von mikroskopisch kleinen Kanälen durchsetzt ist, die leicht schräg zur Einfallsrichtung der Elektronen stehen. Dadurch treffen die Elektronen beim Durchfliegen der Mikrokanalplatte mehrmals die Kanalwand und lösen dort weitere Elektronen aus. Diese werden dann ebenfalls beschleunigt.
Vereinfacht nehmen wir an, dass Elektronen, die eine Bewegungsenergie unter $30\,\text{eV}$ besitzen, keine Energie an die Kanalwand abgeben. Sobald ein Elektron aber eine Bewegungsenergie von $30\,\text{eV}$ erreicht hat, wird seine gesamte Energie an ein Elektron in der Kanalwand abgegeben, das sich dadurch aus der Kanalwand löst. Beide Elektronen werden dann aus der Ruhe beschleunigt, bis sie bei einer Energie von $30 \,\text{eV}$ jeweils wieder ein Elektron auslösen.

3.1

Prüfe, ob die Fotokathode des Bildverstärkers geeignet ist, Licht mit Wellenlängen über $800\,\text{nm}$ nachzuweisen.

(4 BE)

3.2

Das Licht der Wellenlänge $700\,\text{nm}$ , das von einem weit entfernten Objekt ausgestrahlt wird, trifft mit einer Leistung von $1\,\text{nW}$ senkrecht zu ihrer Oberfläche auf die Fotokathode.
Berechne die Anzahl der pro Sekunde aus der Kathode ausgelösten Fotoelektronen unter der Annahme, dass nur jedes zehnte Photon ein Elektron auslöst.

(4 BE)

3.3

Ein einzelnes an der Fotokathode ausgelöstes Elektron führt in der Mikrokanalplatte zu einer lawinenartigen Vermehrung von Elektronen.
Bestimme unter der Verwendung der Daten aus Material 3 die maximale Anzahl der Elektronen, die pro einfallendes Elektron die Mikrokanalplatte verlassen.

(4 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1.1

Entgegen dem Wellenmodell hängt die kinetische Energie der Elektronen nicht von der Lichtintensität, sondern von der Lichtfrequenz ab. Elektronen werden nur freigesetzt, wenn die Lichtfrequenz eine bestimmte Mindestgrenze überschreitet.

1.2

Berechnung des Verhältnisses

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{A_{\text {Kreis }}}{A_{\text {Kugel }}}&=& \dfrac{r_{\text{Cs}}^2 \cdot \pi}{4 R^2 \cdot \pi}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{r_{\text{Cs}}^2 }{ R^2 }&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot \left(\dfrac{1 \cdot 10^{-10} \,\text{m}}{ 1\,\text{m} }\right)^2&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,5\cdot 10^{-21} \end{array}$

Überprïfung der Zeit $t_A$

Gegeben: $P=10 \,\text{W};$ $\eta =5 \,\% = 0,05 ;$ $\dfrac{A_{\text {Kreis }}}{A_{\text {Kugel }}}=2,5\cdot 10^{-21} ;$ $E_A= 1,7 \,\text{eV}$

Gesucht: $t_A$

Lösung

Für die Energiemenge, die von der Lichtquelle ausgehend am Ort der Cäsiumschicht in jeder Sekunde zum Auslösen eines Elektrons zur Verfügung steht, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& P\cdot t \cdot \eta \cdot \dfrac{A_{\text {Kreis }}}{A_{\text {Kugel }}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10 \,\text{W} \cdot 1 \,\text{s} \cdot 0,05 \cdot 2,5 \cdot 10^{-21}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,25\cdot 10^{-21} \,\text{J} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1,25\cdot 10^{-21} \,\text{J} }{1,602\cdot 10^{-19} \,\frac{\text{J}}{\text{eV}} }&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,8\cdot 10^{-3} \,\text{eV} \end{array}$

Zum Herauslösen eines Elektrons aus der Cäsiumschicht ist die Energie $E_A$ nötig. Die in der Platte gebundenen Elektronen sammeln die Energie. Es folgt für die Austrittszeit $t_A$ :

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{t_A}{1 \,\text{s}}&=& \dfrac{E_A}{E}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 1 \,\text{s} \\[5pt] t_A&=& \dfrac{E_A}{E}\cdot 1 \,\text{s} &\quad \scriptsize \\[5pt] t_A&=& \dfrac{1,7 \,\text{eV}}{7,8\cdot 10^{-3} \,\text{eV}}\cdot 1 \,\text{s} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 218 \,\text{s} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,6 \,\text{min} \end{array}$

2.1

2.2

Für die Frequenzen $f$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f&=&\dfrac{c}{\lambda} &\quad \scriptsize \mid\; c=3\cdot 10^8 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \\[5pt] \end{array}$

Damit ergibt sich beispielsweise für $\lambda=436 \;\text{nm}:$

$\begin{array}[t]{rll} f&=& \dfrac{c}{\lambda}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{3\cdot 10^8 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{436 \;\text{nm}}&\quad \scriptsize \mid\; 1\;\text{nm}=1\cdot 10^{-9}\;\text{m} \\[5pt] &=&\dfrac{3\cdot 10^8 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{436 \cdot 10^{-9}\;\text{m}}&\quad \scriptsize \mid\;1 \dfrac{1}{\text s} = 1\;\text{Hz}\\[5pt] &=& 6,110\cdot 10^{14} \,\text{Hz} \end{array}$

$\color{#f0f0f0}{\lambda}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{nm}}$	$\color{#f0f0f0}{f}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{Hz}}$	$\color{#f0f0f0}{U_{ G }}$ in $\color{#f0f0f0}{\text V}$	$\color{#f0f0f0}{E_{ el }}$ in $\color{#f0f0f0}{\text{eV}}$
491	$6,110\cdot 10^{14}$	0,120	0,120
436	$6,881\cdot 10^{14}$	0,450	0,450
420	$7,143\cdot 10^{14}$	0,550	0,550
405	$7,407 \cdot 10^{14}$	0,660	0,660

2.3

linearer Zusammenhang

Die Einstein'sche Gleichung für den Fotoeffekt lautet:

$\begin{array}[t]{rll} E_{el}&=&h\cdot f-W_A \end{array}$

Die Energie $E_{el}$ eines emittierten Elektrons ist die Differenz zwischen der Energie $h \cdot f$ des einfallenden Photons und der Austrittsarbeit $W_A.$ Wenn die Energie des Photons die Austrittsarbeit übersteigt, wird das Elektron ausgelöst, und die überschüssige Energie wird zu kinetischer Energie. Die Einstein'sche Gleichung zeigt einen linearen Zusammenhang zwischen der Energie des Fotoelektrons und der Frequenz des einfallenden Lichts aufgrund der Konstante $h$ und der materialabhängigen Austrittsarbeit $W_A$ . Im $f$ - $E_{\text{el}}$ -Diagramm ergibt sich eine Gerade.

Bedeutung des Schnittpunkts

Die Geradengleichung $y=m \cdot x+b$ hat die Steigung $m$ und den $y$ -Achsenabschnitt $b$ . Im Kontext der Einstein'schen Gleichung entspricht der Achsenabschnitt $b$ der negativen Austrittsarbeit ${W}_{{A}}$ und sein Betrag der Austrittsarbeit ${W}_{{A}}$ des Kathodenmaterials.

Ermittlung des Planck'schen Wirkungsquantums

Das Planck'sche Wirkungsquantum $h$ ist nach der Einstein'schen Gleichung gleich der Steigung der Geraden im $f-E_{\text{el}}$ Diagramm. Für die Steigung gilt mit Hilfe des Steigungsdreicks:

$\begin{array}[t]{rll} h&=&\dfrac{\Delta E_{\text{el}}}{\Delta f} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,5 \text{eV}-(-2,4 \text{eV})}{7,0 \cdot 10^{14} \,\text{Hz}- 0\,\text{Hz}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2,9 \,\text{eV}}{7,0 \cdot 10^{14} \,\text{Hz}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,14\cdot 10^{-15} \,\text{eVs} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,14 \cdot 10^{-15} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \,\text{As} \cdot \text{Vs} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6,6 \cdot 10^{-34} \,\text{Js} \end{array}$

2.4

Direktes Auftreffen des Lichts auf die Ringanode könnte Elektronen direkt auslösen, was zu einem störenden Hintergrundstrom führen und die Fotostrommessergebnisse beeinträchtigen würde.

2.5.1

Ohne angelegte Spannung erreichen einige Fotoelektronen aufgrund ihrer hohen kinetischen Energie die Anode und erzeugen einen geringen Stromfluss.
Mit einer positiven Spannung werden die von der Kathode emittierten Elektronen zur Ringanode beschleunigt. Der Strom steigt nahezu linear mit der Spannung, bis eine Sättigung eintritt. Diese tritt auf, wenn alle emittierten Elektronen die Ringanode erreichen.
Durch Umpolen auf eine negative Spannung wird die Stromstärke verringert, da ein entgegengerichtetes elektrisches Feld zwischen Ringanode und Kathode aufgebaut wird und Elektronen abgebremst werden. Mit zunehmender negativer Spannung erreichen immer weniger Elektronen die Anode, bis bei einem bestimmten Wert von $\left(-{U}_{G}\right)$ kein Elektron mehr die Ringanode erreicht.

2.5.2

a) Kürzere Wellenlängen bedeuten höhere Frequenzen und damit mehr Energie gemäß $E=h\cdot f.$ Dies führt zu einer verstärkten negativen Gegenspannung (der Punkt, an dem die Kennlinie die waagerechte Achse schneidet), was eine Verschiebung nach links bewirkt. Die Anzahl der Photonen pro Sekunde bleibt konstant, und somit bleibt auch der Sättigungsstromwert unverändert. Insgesamt zeigt die Kennlinie eine Verschiebung nach links.

b) Eine höhere Photonenzahl bewirkt eine vermehrte Auslösung von Elektronen an der Kathode, was zu einem Anstieg der Sättigungsstromstärke führt. Da die Wellenlänge konstant bleibt, ändert sich der Wert der maximalen Gegenspannung nicht. Insgesamt erfolgt eine Streckung der Kurve in Richtung der senkrechten Achse.

c) Die Fotoelektronen, die austreten, haben alle die gleiche kinetische Energie und erreichen die Ringanode. Dadurch steigt der Fotostrom abrupt auf den Wert der Sättigungsstromstärke an und bleibt konstant, sobald eine bestimmte negative Gegenspannung erreicht ist. Bei Unterschreitung dieser Spannung ist die Fotostromstärke null.

3.1

Damit Elektronen ausgelöst werden, müssen die einfallenden Photonen mindestens die Austrittsenergie $1,3 \,\text{eV}$ der Elektronen an der Fotokathode haben. Die erforderliche Mindestfrequenz des Lichts, um Fotoelektronen zu erzeugen, wird als Grenzfrequenz bezeichnet. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} E_A&=& h\cdot f_G&\quad \scriptsize \mid\;\dfrac{1}{h} \\[5pt] \dfrac{E_A}{h}&=& f_G&\quad \scriptsize \\[5pt] f_G&=& \dfrac{E_A}{h} \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f_G&=& \dfrac{E_A}{h}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1,3 \,\text{V} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \,\text{C}}{6,626 \cdot 10^{-34} \,\text{Js}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,14\cdot 10^{14} \,\text{Hz} \end{array}$

Für die maximale Wellenlänge ergibt sich damit:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda&=&\dfrac{c}{f_G} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{3,00 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}}}{3,14 \cdot 10^{14} \,\text{Hz}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 954\cdot 10^{-9} \; \text{m}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 954 \; \text{nm} \end{array}$

Daher kann die Fotokathode auch Licht mit Wellenlängen über $800 \,\text{nm}$ und unter $954 \,\text{nm}$ nachweisen.

3.2

Gegeben: $P= 1 \,\text{nW} = 1 \cdot 10^{-9}\,\text{W} ;$ $\lambda= 700 \,\text{nm} = 700 \cdot \,\text{m}$

Gesucht: Anzahl $n_e$ der ausgelösten Elektronen pro Sekunde

Lösung: Für die Photonenenergie $E_{{\text{ph}}}$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$E_{{\text{ph}}}=2,84 \cdot 10^{-19} \,\text{J}$

Für die Anzahl $n_{ph}$ der pro Sekunde einfallenden Photonen ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P&=& n_{ph}\cdot E_{{\text{ph}}} &\quad \scriptsize \mid\;\dfrac{1}{E_{{\text{ph}}}} \\[5pt] \dfrac{P}{E_{{\text{ph}}}}&=& n_{ph} &\quad \scriptsize \\[5pt] n_{ph}&=& \dfrac{P}{E_{{\text{ph}}}} \end{array}$

Einsetzen der Werte lifert:

$\begin{array}[t]{rll} n_{ph}&=& \dfrac{P}{E_{{\text{ph}}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1 \cdot 10^{-9} \,\text{W}}{2,84 \cdot 10^{-19} \,\text{J}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,52 \cdot 10^9 \, \dfrac{1}{\text s} \end{array}$

Nur jedes zehnte Photon löst ein Elektron aus. Für die Anzahl $n_e$ der ausgelösten Elektronen pro Sekunde gilt:

$\begin{array}[t]{rll} n_e&=& \dfrac{n_{ph}}{10}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3,52 \cdot 10^9 \, \dfrac{1}{\text s}}{10}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,52 \cdot 10^8 \, \dfrac{1}{\text s} \end{array}$

3.3

Ein Elektron mit $30 \text{eV}$ Energie schlägt in die Mikrokanalplatte ein und löst ein weiteres Elektron aus. Beide werden erneut beschleunigt, bis sie jeweils $30 \text{eV}$ Energie haben und weitere Elektronen auslösen. Die Mikrokanalplatte hat eine Spannung von $430 \text{V}$ (vgl. Skizze in Material 3). Die maximal mögliche Anzahl der Beschleunigungsvorgänge in der Platte beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{430 \,\text{V}}{30 \,\text{V}}&=& 14,33 \end{array}$

Ein Elektron schlägt beim ersten Einschlag in die Kanalwand maximal 15 weitere Male ein, wobei sich bei jedem Einschlag die Anzahl der Elektronen verdoppelt. Für die Anzahl $N$ der Elektronen, die die Mikrokanalplatte verlassen, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} N&=& 2^{15}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 32768 \end{array}$

Daher verlassen pro eintretendem Elektron maximal $32768$ Elektronen die Mikrokanalplatte.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?