Vorschlag A2
Elektromagnetischer Schwingkreis und Teslatransformator
In einem elektromagnetischen Schwingkreis wird ein Kondensator verwendet, dessen Kapazität sich in einem bestimmten Bereich stufenlos verändern lässt. So kann die Eigenfrequenz
des Schwingkreises eingestellt werden.
1
Der Kondensator hat zunächst eine Kapazität von 
und wird auf eine Spannung von 
aufgeladen. Er wird dann über eine Spule entladen. Material 1 zeigt den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator für den ungedämpften Fall.
und wird auf eine Spannung von aufgeladen. Er wird dann über eine Spule entladen. Material 1 zeigt den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator für den ungedämpften Fall.
Material 1
Zeitlicher Verlauf der Spannung am Kondensator für den ungedämpften Fall
1.1
Skizziere einen Schaltplan des Versuchsaufbaus, der auch die Schaltung zum Aufladen des Kondensators und das Gerät zum Messen der Spannung am Kondensator enthält.
(3 BE)
1.2
Bestätige mithilfe von Material 1, dass 
den dargestellten Spannungsverlauf beschreibt.
(2 BE)
1.3
Ermittle einen Term, der den zeitlichen Verlauf der Ladung 
des Kondensators angibt, und einen Term, der den zeitlichen Verlauf der Stromstärke 
für den verwendeten Schwingkreis angibt. Zeichne den zeitlichen Verlauf von und eine dazu geeignete Skala der vertikalen Achse in Material 1 ein.
des Kondensators angibt, und einen Term, der den zeitlichen Verlauf der Stromstärke für den verwendeten Schwingkreis angibt. Zeichne den zeitlichen Verlauf von und eine dazu geeignete Skala der vertikalen Achse in Material 1 ein.
(6 BE)
1.4
Beschreibe den Spannungs- und Stromstärkeverlauf im Schwingkreis für eine halbe Schwingungsdauer.
Begründe unter Einbeziehung der damit verbundenen Energieumwandlungen und physikalischen Effekte die Vorgänge, die diese zeitlichen Verläufe verursachen.
Begründe unter Einbeziehung der damit verbundenen Energieumwandlungen und physikalischen Effekte die Vorgänge, die diese zeitlichen Verläufe verursachen.
(6 BE)
2
In einem Versuch wird nun die Abhängigkeit der Eigenfrequenz des Schwingkreises von der Kapazität 
des Kondensators bei konstanter Induktivität untersucht. Die Messergebnisse sind in Material 2 dargestellt.
des Schwingkreises von der Kapazität des Kondensators bei konstanter Induktivität untersucht. Die Messergebnisse sind in Material 2 dargestellt.
Material 2
Messreihe| Messung Nr. |  in |
 in |
|---|---|---|
| 1 | 2,8 | 1,10 |
| 2 | 1,3 | 1,55 |
| 3 | 0,71 | 2,10 |
| 4 | 0,50 | 2,51 |
2.1
Stelle 
in Abhängigkeit von 
in einem Diagramm dar.
Erläutere mithilfe einer geeigneten Formel, dass die Wertepaare im Diagramm Punkte ergeben, die theoretisch auf einer Geraden liegen müssen.
Ermittle mithilfe des Diagramms die Induktivität
der Schwingkreisspule.
in Abhängigkeit von in einem Diagramm dar.
Erläutere mithilfe einer geeigneten Formel, dass die Wertepaare im Diagramm Punkte ergeben, die theoretisch auf einer Geraden liegen müssen.
Ermittle mithilfe des Diagramms die Induktivität
der Schwingkreisspule.
(9 BE)
2.2
In Material 3 wird eine Differenzialgleichung für die Ladung auf dem Kondensator hergeleitet.
Erläutere, wie sich die Zeilen (1) bis (4) ergeben.
Zeige, dass der allgemeine Lösungsansatz
die Differenzialgleichung zu jedem Zeitpunkt erfüllen kann.
Leite damit eine Gleichung zur Berechnung der Schwingungsdauer
der elektromagnetischen Schwingung her.
auf dem Kondensator hergeleitet.
Erläutere, wie sich die Zeilen (1) bis (4) ergeben.
Zeige, dass der allgemeine Lösungsansatz
die Differenzialgleichung zu jedem Zeitpunkt erfüllen kann.
Leite damit eine Gleichung zur Berechnung der Schwingungsdauer
der elektromagnetischen Schwingung her.
Material 3
Herleitung einer Differenzialgleichung für die Ladung
(9 BE)
3
Für einen Schwingkreis mit der Kapazität 
und einer Eigenfrequenz 
wird nun der Ohm'sche Widerstand 
der Spule mit der Induktivität 
berücksichtigt. Eine Messung der Abnahme der Spannungsamplitude 
am Kondensator liefert die Messwerte in Material 4.
Für die zeitliche Abnahme der Spannungsamplitude gilt 
wobei 
die Spannungsamplitude zum Zeitpunkt 
ist.
und einer Eigenfrequenz wird nun der Ohm'sche Widerstand der Spule mit der Induktivität am Kondensator liefert die Messwerte in Material 4.
Für die zeitliche Abnahme der Spannungsamplitude gilt wobei die Spannungsamplitude zum Zeitpunkt ist.
Material 4
Gedämpfte Schwingung |
 in  |
|---|---|
| 0 | 40,0 |
| 8 | 25,6 |
| 16 | 16,3 |
| 24 | 10,4 |
3.1
Bestätige rechnerisch anhand der Messwerte in Material 4, dass eine exponentielle Abnahme der Spannungsamplitude vorliegt.
Bestimme den Ohm'schen Widerstand der Spule.
[zur Kontrolle:
]
vorliegt.
Bestimme den Ohm'schen Widerstand
der Spule.
[zur Kontrolle:
(5 BE)
3.2
Untersuche, nach wie vielen vollständigen Schwingungen die Gesamtenergie des Schwingkreises zum ersten Mal weniger als 
seiner Anfangsenergie beträgt, wenn der Kondensator zum Zeitpunkt vollständig geladen ist. Es gilt 
.
seiner Anfangsenergie beträgt, wenn der Kondensator zum Zeitpunkt vollständig geladen ist. Es gilt
(4 BE)
4
Bei einem Teslatransformator, mit dem sehr hohe Spannungen erzeugt werden können, werden zwei Schwingkreise induktiv gekoppelt. Material 5 zeigt den prinzipiellen Aufbau sowie ein Schaltbild eines Teslatransformators und beschreibt dessen Funktion.
Die zeitliche Änderung der Stromstärke und die damit verbundene zeitliche Änderung des magnetischen Flusses im Primärschwingkreis induziert eine zeitlich veränderliche Spannung im Sekundärschwingkreis. Dabei auftretende Energieverluste sollen vernachlässigt werden.
Der vom Physiker Nikola Tesla Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Teslatransformator ist in der Lage, sehr große, hochfrequente Spannungen zu erzeugen. Er besteht aus zwei miteinander gekoppelten elektromagnetischen Schwingkreisen.
Der primäre Schwingkreis besteht aus einer Spule mit geringer Induktivität
und einem Kondensator mit großer Kapazität 
. Im Sekundärkreis dagegen ist die Induktivität 
sehr groß und die Kapazität 
sehr klein. Dabei bildet das Oberteil in Form eines Torus oder einer Kugel zusammen mit der Erde den Kondensator im Sekundärschwingkreis. Anders als beim normalen Transformator hängt das Verhältnis von Sekundär- zu Primärspannung hier nicht direkt proportional von dem Windungsverhältnis der beiden Spulen ab.
Im Betrieb wird der Kondensator über eine Hochspannungsquelle aufgeladen. Die Funkenstrecke hat die Funktion eines Schalters. Sobald an der Funkenstrecke eine bestimmte Feldstärke (etwa 1 kV pro mm) anliegt, zündet die Funkenstrecke. Die Luft zwischen den Elektroden wird ionisiert und damit leitfähig, der Primärschwingkreis ist nun geschlossen und kann schwingen. Die beiden sehr unterschiedlichen Schwingkreise haben gleiche Eigenfrequenzen und befinden sich in Resonanz. Aus dem Primärschwingkreis wird Energie in den Sekundärschwingkreis übertragen, so lange bis idealerweise die gesamte Energie übertragen wurde und der Funke in der Funkenstrecke erlischt. Am Kondensator des sekundären Schwingkreises entstehen so sehr große Wechselspannungen, die mehr als 1 MV betragen können.
Die zeitliche Änderung der Stromstärke und die damit verbundene zeitliche Änderung des magnetischen Flusses im Primärschwingkreis induziert eine zeitlich veränderliche Spannung im Sekundärschwingkreis. Dabei auftretende Energieverluste sollen vernachlässigt werden.
Material 5
Teslatransformator
Prinzipieller Aufbau:
Vereinfachtes Schaltbild:
Beschreibung des Funktionsprinzips:
Der vom Physiker Nikola Tesla Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Teslatransformator ist in der Lage, sehr große, hochfrequente Spannungen zu erzeugen. Er besteht aus zwei miteinander gekoppelten elektromagnetischen Schwingkreisen.
Der primäre Schwingkreis besteht aus einer Spule mit geringer Induktivität
und einem Kondensator mit großer Kapazität . Im Sekundärkreis dagegen ist die Induktivität sehr groß und die Kapazität sehr klein. Dabei bildet das Oberteil in Form eines Torus oder einer Kugel zusammen mit der Erde den Kondensator im Sekundärschwingkreis. Anders als beim normalen Transformator hängt das Verhältnis von Sekundär- zu Primärspannung hier nicht direkt proportional von dem Windungsverhältnis der beiden Spulen ab.
Im Betrieb wird der Kondensator
über eine Hochspannungsquelle aufgeladen. Die Funkenstrecke hat die Funktion eines Schalters. Sobald an der Funkenstrecke eine bestimmte Feldstärke (etwa 1 kV pro mm) anliegt, zündet die Funkenstrecke. Die Luft zwischen den Elektroden wird ionisiert und damit leitfähig, der Primärschwingkreis ist nun geschlossen und kann schwingen. Die beiden sehr unterschiedlichen Schwingkreise haben gleiche Eigenfrequenzen und befinden sich in Resonanz. Aus dem Primärschwingkreis wird Energie in den Sekundärschwingkreis übertragen, so lange bis idealerweise die gesamte Energie übertragen wurde und der Funke in der Funkenstrecke erlischt. Am Kondensator des sekundären Schwingkreises entstehen so sehr große Wechselspannungen, die mehr als 1 MV betragen können.
4.1
Im Primärschwingkreis eines Teslatransformators besitzt die Spule eine Induktivität von 
und der Kondensator eine Kapazität von 
. Im Sekundärschwingkreis hat die Induktivität der Spule den Wert 
.
Berechne die Kapazität im Sekundärschwingkreis.
Berechne die Kapazität im Sekundärschwingkreis.
(3 BE)
4.2
Erkläre unter Bezugnahme auf die Energieerhaltung in den elektrischen Schwingkreisen sowie die Energieübertragung zwischen Primär- und Sekundärschwingkreis, dass die Verwendung einer kleinen Kapazität beim Sekundärschwingkreis eines Teslatransformators zu hohen Spannungen führt.
(3 BE)
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1.1
1.2
Da es sich hier um harmonische Schwingung handelt, kann diese allgemein mit der Cosinusfunktion dargestellt werden:
1.3
Für die Ladung eines Kondensators gilt:
Für die zeitabhängige Stromstärke 
gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
Q\left(t\right)&=& C\cdot U(t) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kapazität} \;C= 50\cdot 10^{-12} \;\text{F}; \quad U(t) =20\;\text{V} \cdot \cos \left(\dfrac{\pi \cdot 10^{6}}{ 2\;\text{s}} \cdot t\right)\\[5pt]
&=& 50\cdot 10^{-12} \;\text{F} \cdot 20\;\text{V} \cdot \cos \left(\dfrac{\pi \cdot 10^{6}}{ 2\;\text{s}} \cdot t\right) &\quad \scriptsize \mid\;1000\cdot 10^{-12} \text{F}\cdot \text{V}=1\cdot 10^{-9}\text{C} \\[5pt]
&=&1\cdot 10^{-9} \;\text{C} \cdot \cos \left(\dfrac{\pi \cdot 10^{6}}{ 2\;\text{s}} \cdot t\right) &\quad \scriptsize \mid\;1\cdot 10^{-9} \;\text{C}=1 \;\text{nC}\\[5pt]
&=& 1 \;\text{nC} \cdot \cos \left(\dfrac{\pi \cdot 10^{6}}{ 2\;\text{s}} \cdot t\right)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/34bcef69449634f5402b17f347b978ed445eba68e95264b377658ae7a001c293_light.svg)
1.4
Vollständig aufgeladener Kondensator bei 
Zwischen den Kondensatorplatten entsteht ein elektrisches Feld, dessen Spannung am höchsten ist. In diesem Zustand fließt kein elektrischer Strom, die Stromstärke beträgt null. Die gesamte Energie des Schwingkreises ist im elektrischen Feld gespeichert.
Kondensator entlädt sich bei 
Die in dem Kondensator gespeicherte elektrische Feldenergie bewirkt einen Stromfluss durch die Spule. Dieser erzeugte Strom induziert ein Magnetfeld in der Spule. Gemäß der Lenz'schen Regel wirkt dieses entstandene Magnetfeld der ursprünglichen Ursache entgegen und verlangsamt den Stromfluss. Die elektrische Feldenergie des Kondensators wird während dieses Prozesses in magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt.
Vollständig entladener Kondensator bei 
Die Spannung am Kondensator beträgt null, und die Stromstärke erreicht ihr Maximum. In diesem Zustand wurde die gesamte elektrische Feldenergie des Kondensators in magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt.
Kondensator wird aufgeladen bei 
Die Stromstärke nimmt ab, was zu einer Verringerung des magnetischen Flusses in der Spule führt. Gemäß der Lenz'schen Regel entsteht ein Induktionsstrom, der der ursprünglichen Ursache entgegenwirkt. Dies bedeutet, dass dieser Induktionsstrom für eine gewisse Zeit in die gleiche Richtung fließt wie der anfängliche Strom. Dieser Ladungsfluss bewirkt, dass der Kondensator nun mit entgegengesetzter Polarität aufgeladen wird. Das Magnetfeld wird abgebaut, und die magnetische Feldenergie wandelt sich in elektrische Energie des Kondensators um.
Vollständig entladener Kondensator bei 
Die Stromstärke hat sich auf null verringert, und die Spannung am Kondensator erreicht ihren Maximalwert, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen. Der Kondensator ist nun vollständig mit umgekehrter Polarität aufgeladen. Die zuvor vorhandene magnetische Feldenergie wurde vollständig in elektrische Feldenergie des Kondensators umgewandelt.
Zwischen den Kondensatorplatten entsteht ein elektrisches Feld, dessen Spannung am höchsten ist. In diesem Zustand fließt kein elektrischer Strom, die Stromstärke beträgt null. Die gesamte Energie des Schwingkreises ist im elektrischen Feld gespeichert.
Kondensator entlädt sich bei
Die Spannung am Kondensator beträgt null, und die Stromstärke erreicht ihr Maximum. In diesem Zustand wurde die gesamte elektrische Feldenergie des Kondensators in magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt.
Kondensator wird aufgeladen bei
Die Stromstärke nimmt ab, was zu einer Verringerung des magnetischen Flusses in der Spule führt. Gemäß der Lenz'schen Regel entsteht ein Induktionsstrom, der der ursprünglichen Ursache entgegenwirkt. Dies bedeutet, dass dieser Induktionsstrom für eine gewisse Zeit in die gleiche Richtung fließt wie der anfängliche Strom. Dieser Ladungsfluss bewirkt, dass der Kondensator nun mit entgegengesetzter Polarität aufgeladen wird. Das Magnetfeld wird abgebaut, und die magnetische Feldenergie wandelt sich in elektrische Energie des Kondensators um.
Vollständig entladener Kondensator bei
2.1
| Messung | in |
 |
in |
 in |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2,80 | 0,36 | 1,10 | 1,21 |
| 2 | 1,30 | 0,77 | 1,55 | 2,40 |
| 3 | 0,71 | 1,41 | 2,10 | 4,41 |
| 4 | 0,50 | 2,00 | 2,51 | 6,30 |
proportional zu 
gilt:
Einsetzen in den Ausdruck für die Steigung 
![\(\begin{array}[t]{rll}
m&=& \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \dfrac{\Delta f^2}{\Delta \frac{1}{\text C}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \dfrac{\left(6,30-0\right) \cdot 10^{10}\text{Hz}^2}{\left(2,00-0\right)\cdot 10^{10} \frac{1}{\text F}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 3,15 \,\dfrac{10^{10} \text{Hz}^2}{10^{10}\text{F}^{-1}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 3,15 \,\dfrac{ \text{F}}{\text{s}^2} &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{ \text{F}}{\text{s}^2}=\dfrac{ \text{A}}{\text{Vs}} \\[5pt]
&=& 3,15 \,\dfrac{ \text{A}}{\text{Vs}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4d9bf436403b0533750f85f0f6b99a468cea5fd23ca20bad50562a90c1ac11f4_light.svg)
liefert:
2.2
Herleitung der Differentialgleichung
Bei dem elektromagnetischen Schwingkreis wandeln sich elektrische Feldenergie im Kondensator und magnetische Feldenergie an der Spule ineinander um. Aufgrund der Energieerhaltung gilt:
Vorüberlegung
Für die Ableitungen gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{dQ(t)^2}{dt}&\overset{\text{Kettenregel}}{=}& 2\cdot Q(t)\cdot \dot{Q}(t)&\quad \scriptsize \\[5pt]
\dfrac{dI(t)^2}{dt}&\overset{\text{Kettenregel}}{=}& 2\cdot I(t)\cdot \dot{I}(t)&\quad \scriptsize \\[5pt]
\dfrac{d(\text{Konstante})}{dt}&=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/27ff879f7725218c132cca7d0ff5723edc0b3c01e5f4bfb228e096194aa31514_light.svg)
Beide Seiten der Gleichung 
nach der Zeit ableiten liefert:
Einsezten des Zusammenhangs 
in 
liefert Gleichung 
Gleichung 
durch 
teilen liefert Gleichung 
Allgmeiner Lösungsansatz
![\(\begin{array}[t]{rll}
Q(t)&=& Q_{\max } \cdot \cos (\omega \cdot t) &\quad \scriptsize \\[5pt]
\dot{Q}(t)&=& -Q_{\max } \cdot \omega \cdot \sin (\omega \cdot t) &\quad \scriptsize \\[5pt]
\ddot{Q}(t)&=& -Q_{\max } \cdot \omega^2 \cdot \cos (\omega \cdot t)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/api/node/mathjax-to-svg/28e083fea85b0412b16a69ceffe723f16c7b2cc9ec80a7e4afc82d95a8bbe00c?mode=light)
Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:
Wenn 
gilt, ist die Differentialgleichung für alle Zeiten 
erfüllt. Somit ist 
als Lösungsansatz geeignet.
Thomson'sche Schwingungsgleichung
Für 
gilt der hergeleitete Zusammenhang:
![\(\begin{array}[t]{rll}
E_{\text{el}} + E_{\text{magn}}&=& \text{konstant} &\quad \scriptsize \mid\;E_{\text{el}}= \dfrac{1}{2} \cdot Q \cdot U \overset{U=\frac{Q}{C}}{=}\dfrac{1}{2\cdot C} \cdot Q^2 ,\quad E_{\text{magn}}=\dfrac{1}{2} \cdot L \cdot I^2\\[5pt]
\dfrac{1}{2\cdot C} \cdot Q(t)^2+\dfrac{1}{2} \cdot L \cdot I(t)^2&=& \text{konstant} &\quad \scriptsize (1)\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9a4f85519ae943eec6e72370c22cc8341dfad3d9f8c511e0380222798932748d_light.svg)
Beide Seiten der Gleichung nach der Zeit ableiten liefert:
Einsezten des Zusammenhangs 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{1}{2\cdot C} \cdot 2\cdot Q(t)\cdot \dot{Q}(t) +\dfrac{1}{2} \cdot L \cdot 2\cdot I(t)\cdot \dot{I}(t)&=& 0 &\quad \scriptsize (2)\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f3a4852787135d4731496d957b9d73be1ecb2cdfa4412f6c5c177b168cd1c24c_light.svg)
in liefert Gleichung 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{1}{2\cdot C} \cdot 2\cdot Q(t)\cdot \dot{Q}(t) +\dfrac{1}{2} \cdot L \cdot 2\cdot I(t)\cdot \dot{I}(t)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; I(t)=\dot{Q}(t) \Rightarrow \dot{I}(t)=\ddot{Q}(t)\\[5pt]
\dfrac{1}{2\cdot C} \cdot 2\cdot Q(t)\cdot \dot{Q}(t) +\dfrac{1}{2} \cdot L \cdot 2\cdot \dot{Q}(t)\cdot \ddot{Q}(t)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt]
\dfrac{Q(t)}{ C} \cdot \dot{Q}(t) + L \cdot \dot{Q}(t)\cdot \ddot{Q}(t)&=& 0 &\quad \scriptsize (3)\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9e415889a852f4de04d366e3950e1bb5257f60ee05bd9127dadd487f08318109_light.svg)
durch teilen liefert Gleichung
Allgmeiner Lösungsansatz
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{Q(t)}{ C} \cdot \dot{Q}(t) + L \cdot \dot{Q}(t)\cdot \ddot{Q}(t)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{\dot{Q}(t)}\\[5pt]
\dfrac{Q(t)}{ C} + L \cdot \ddot{Q}(t)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{L}\\[5pt]
\dfrac{Q(t)}{L\cdot C} + \ddot{Q}(t)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt]
\ddot{Q}(t) + \dfrac{1}{L\cdot C} \cdot Q(t) &=& 0 &\quad \scriptsize (4)\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/18b506894af2d3daf0b57b58138daf44c3c77997de2408a14bbac02306792c21_light.svg)
erfüllt. Somit ist
Für gilt der hergeleitete Zusammenhang:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\omega&=& \sqrt{\dfrac{1}{L\cdot C }}&\quad \scriptsize \mid\;\omega=\dfrac{2\pi}{T} \\[5pt]
\dfrac{2\pi}{T} &=& \sqrt{\dfrac{1}{L\cdot C }}&\quad \scriptsize \mid\; \left(\;\right)^2 \\[5pt]
\dfrac{4\pi^2}{T^2} &=& \dfrac{1}{L\cdot C }&\quad \scriptsize \mid\; \cdot T^2\\[5pt]
4\pi^2 &=& \dfrac{1}{L\cdot C }\cdot T^2&\quad \scriptsize \mid\; \cdot L\cdot C\\[5pt]
4\pi^2 \cdot L \cdot C&=& T^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt]
\sqrt{4\pi^2 \cdot L \cdot C}&=& T&\quad \scriptsize \\[5pt]
2\pi \cdot\sqrt{ L \cdot C}&=& T&\quad \scriptsize \\[5pt]
T&=& 2\pi \cdot\sqrt{ L \cdot C}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e4a4bbdafb421af7e7d93f860c2a187c47b2055cf9823ba3b183487e3427c59d_light.svg)
3.1
Exponentielle Abnahme
Eine exponentielle Abnahme liegt dann vor, wenn die Dämpfungskonstante 
für alle Messwertpaare den gleichen Wert besitzt. Umstellen nach der Gleichung für die zeitliche Abnahme der Spannungsamplitude liefert:
Einsetzen der Werte liefert jeweils für 
Im Rahmen der Messgenauigkeit ergeben sich für die Dämpfungskonstanten die gleichen Werte. Somit liegt eine exponentielle Abnahme vor, die Dämpfungskonstante beträgt 
Bestimmung des ohmschen Widerstands
![\(\begin{array}[t]{rll}
k&=& \dfrac{R}{2 L}&\quad \scriptsize \mid\; 2L \\[5pt]
k\cdot 2L&=& R &\quad \scriptsize \\[5pt]
R&=& k\cdot 2L
\end{array}\)](https://www.schullv.de/api/node/mathjax-to-svg/27ec8d4e6c7922ad59fd2874a31d97ef9aa9eb028dd5f9c1a1a05bd0b4c4f687?mode=light)
Einsetzen der Werte liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
R&=& k\cdot 2L &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 5,6 \cdot 10^4 \dfrac{1}{\text{s}}\cdot 2 \cdot 8,2 \cdot 10^{-3} \;\text{H} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 9,2 \cdot 10^2 \;\Omega &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 0,92 \;\text k\Omega
\end{array}\)](https://www.schullv.de/api/node/mathjax-to-svg/d6278037608b6120c30ca52f8878d2fe3b7817b4483021359d9777e4268ca499?mode=light)
für alle Messwertpaare den gleichen Wert besitzt. Umstellen nach der Gleichung für die zeitliche Abnahme der Spannungsamplitude liefert:
Einsetzen der Werte liefert jeweils für ![\(\begin{array}[t]{rll}
U_{\max}(\text{t}) &=& U_0 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}&\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{1}{U_0}\\[5pt]
\dfrac{U_{\max}(\text{t}) }{U_0}&=& \mathrm{e}^{-k \cdot t}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\left(\;\right) \\[5pt]
\ln\left(\dfrac{U_{\max}(\text{t}) }{U_0}\right)&=& \ln\left(\mathrm{e}^{-k \cdot t}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt]
\ln\left(\dfrac{U_{\max}(\text{t}) }{U_0}\right)&=& \ln\left(\mathrm{e}\right)\left(-k \cdot t\right)&\quad \scriptsize \mid\; \ln\left(\mathrm{e}\right)=1\\[5pt]
\ln\left(\dfrac{U_{\max}(\text{t}) }{U_0}\right)&=& -k \cdot t&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{-t}\\[5pt]
-\dfrac{\ln\left(\dfrac{U_{\max}(\text{t}) }{U_0}\right)}{t}&=& k&\quad \scriptsize \\[5pt]
k&=& -\dfrac{\ln\left(\dfrac{U_{\max}(\text{t}) }{U_0}\right)}{t}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/38a1b75ff4362985b912e5e48e59250dd77f08c395c66d445f4b3bc4045f86ad_light.svg)
|
in |
 in |
|
|---|---|---|---|
| 0 | 40,0 | 0,00 | - |
| 8 | 25,6 | 0,45 | 5,58 |
| 16 | 16,3 | 0,90 | 5,61 |
| 24 | 10,4 | 1,35 | 5,61 |
die gleichen Werte. Somit liegt eine exponentielle Abnahme vor, die Dämpfungskonstante beträgt
Bestimmung des ohmschen Widerstands
3.2
Zum Zeitpunkt 
ist der Kondensator vollständig geladen und die Gesamtenergie des Schwingkreises entspricht genau der Energie des elektrischen Feldes im Kondensator. Dieser Zustand tritt erneut nach der Zeit 
auf. Die Energie des elektrischen Feldes ist also zu den Zeitpunkten 
gleich der Gesamtenergie. Daher gilt für 
:
Für die Gesamtenergie 
die der Schwingkreis nach 
vollständigen Schwingungen besitzt, gilt:
Gesucht ist nun dasjenige 
, oberhalb dessen die Gesamtenergie kleiner als 
der Ausgangsenergie ist. Es muss also gelten:
Demnach beträgt die Gesamtenergie des Schwingkreises nach 6 vollständigen Schwingungen zum ersten Mal weniger als 
der Anfangsenergie.
auf. Die Energie des elektrischen Feldes ist also zu den Zeitpunkten :
Für die Gesamtenergie 
vollständigen Schwingungen besitzt, gilt:
Gesucht ist nun dasjenige 
![\(\begin{array}[t]{rll}
E_{\text{ges}}\left(t_n\right)&=&\dfrac{1}{2}\cdot C\cdot U^2_{\text{max}}\left(t_n\right) &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot C\cdot U^2_n &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot C\cdot \left(U_0 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot n\cdot T}\right)^2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot C\cdot U^2_0 \cdot \mathrm{e}^{-2k \cdot n\cdot T} &\quad \scriptsize \mid\; U(0)= U_0 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot n\cdot 0} =U_0\\[5pt]
&=& E_{\text{ges}}\left(t_0\right) \cdot \mathrm{e}^{-2k \cdot n\cdot T}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1d368694070c6589a056912b16e7d8ce027b5ca374807872d213a3442eae3415_light.svg)
, oberhalb dessen die Gesamtenergie kleiner als der Ausgangsenergie ist. Es muss also gelten:
Demnach beträgt die Gesamtenergie des Schwingkreises nach 6 vollständigen Schwingungen zum ersten Mal weniger als 
4.1
Beide induktiv gekoppelte Schwingkreise besitzen die gleichen Eigenfrequenzen. Sie befinden sich in Resonanz. Daher gilt:
Einsetzen der Werte liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
C_s &=& \dfrac{L_p\cdot C_p}{L_s} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \dfrac{1,25 \cdot 10^{-6} \;\text{H}}{2,9 \cdot 10^{-2} \;\text{H}} \cdot 1000 \cdot 10^{-12} \;\text{F} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 4,3 \cdot 10^{-14} \;\text{F}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fc830b2b95616c615a462b92d742b485f5c6b123cc52e346f20ba331d575cde1_light.svg)
Die Kapazität im Sekundärschwingkreis beträgt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
{f}_{\text {eigen, } \text{p}}&=& {f}_{\text {eigen, } \text{s}} &\quad \scriptsize \mid\; f=\dfrac{1}{T} \\[5pt]
\dfrac{1}{{T}_{\text {eigen, } \text{p}}}&=& \dfrac{1}{{T}_{\text {eigen, } \text{s}}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot {T}_{\text {eigen, } \text{p}}\cdot {T}_{\text {eigen, } \text{s}}\\[5pt]
{T}_{\text {eigen, } \text{p}}&=& {T}_{\text {eigen, } \text{s}} &\quad \scriptsize \mid\; T=2\pi\cdot \sqrt{L\cdot C} \\[5pt]
2\pi\cdot \sqrt{L_p\cdot C_p} &=& 2\pi\cdot \sqrt{L_s\cdot C_s} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{2\pi} \\[5pt]
\sqrt{L_p\cdot C_p} &=& \sqrt{L_s\cdot C_s} &\quad \scriptsize \mid\; \left(\;\right)^2\\[5pt]
L_p\cdot C_p &=& L_s\cdot C_s &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{1}{L_s}\\[5pt]
\dfrac{L_p\cdot C_p}{L_s} &=& C_s &\quad \scriptsize \\[5pt]
C_s &=& \dfrac{L_p\cdot C_p}{L_s}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/893bc9f0b07600853df9db4e3b6e054a838dd100cbe03c5b5a46897cb45f91aa_light.svg)
Die Kapazität im Sekundärschwingkreis beträgt
4.2
Bei einem Teslatransformator wird unter Einhaltung des Energieerhaltungssatzes und unter Vernachlässigung von Verlusten die gesamte Energie des Primärschwingkreises vollständig in den Sekundärschwingkreis übertragen. Das impliziert, dass der maximale Wert der Gesamtenergie in beiden Schwingkreisen identisch sein muss.
In einem Schwingkreis erfolgt eine ständige Umwandlung der Gesamtenergie zwischen der elektrischen Energie des Kondensators und der magnetischen Energie der Spule. Zu bestimmten Zeitpunkten befindet sich die Gesamtenergie ausschließlich im elektrischen Feld des Kondensators in beiden Schwingkreisen. Daher müssen die maximalen Werte der elektrischen Energien in beiden Schwingkreisen ebenfalls gleich sein.
Es gilt daher:
![\(\begin{array}[t]{rll}
E_{\max , \text{p}}&=& {E}_{\max , \text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\dfrac{1}{2} \cdot {C}_{\text{p}} \cdot {U}_{\max , \text{p}}^2&=& \dfrac{1}{2} \cdot {C}_{\text{s}} \cdot {U}_{\max , \text{s}}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{2}{C_\text s}\\[5pt]
\dfrac{{C}_{\text{p}} }{C_\text s} \cdot {U}_{\max , \text{p}}^2&=& {U}_{\max , \text{s}}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt]
\sqrt{\dfrac{{C}_{\text{p}} }{C_\text s} \cdot {U}_{\max , \text{p}}^2}&=& {U}_{\max , \text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\sqrt{\dfrac{{C}_{\text{p}} }{C_\text s}} \cdot {U}_{\max , \text{p}}&=& {U}_{\max , \text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
{U}_{\max , \text{s}}&=& \sqrt{\dfrac{{C}_{\text{p}} }{C_\text s}} \cdot {U}_{\max , \text{p}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/168e641d650f857f6deefe538a8cc389faa561d43d0c3c245aa1633f537d40cc_light.svg)
Bei gegebener Kapazität des Kondensators im Primärschwingkreis ist folglich die Spannung im Sekundärschwingkreis umso höher, je kleiner die Kapazität des Kondensators im Sekundärschwingkreis ist.
Bei gegebener Kapazität des Kondensators im Primärschwingkreis ist folglich die Spannung im Sekundärschwingkreis umso höher, je kleiner die Kapazität des Kondensators im Sekundärschwingkreis ist.